Stochastische Modellen in Operations Management (153088)

Transcriptie

1 Stochastische Modellen in Oerations Management (15388) S1 S2 Ack X ms X ms S 24 ms R1 R2 R3 L1 L2 1 ms 1 ms D Internet D1 D2 Richard Boucherie Stochastische Oerations Research TW, Ravelijn H 219 htt://wwwhome.math.utwente.nl/~boucherierj/onderwijs/15388/15388.html

2 Mededelingen Rooster hoorcollege: zie website voor zalen Rooster werkcollege: zie website data in rooster zijn correct (was fout o website) O werkcollege: beantwoorden vragen NIET: voormaken van de ogaven Werkcollege start morgen Docenten: Judith Vink-Timmer, Laurence Groot Bruinderink Transaranten als df o website

3 Last time on. SMOM Markov keten is een stochastisch roces dat voldoet aan de de Markov eigenscha: P(X t+1 i t+1 X t i t, X t-1 i t-1,,x 1 i 1, X i ) P(X t+1 i t+1 X t i t ) Homogeen P(X t+1 j X t i) ij ij overgangskansen voor de Markov keten P ij (n) P(X m+n j X m i) P(X n j X i) is de n-stas overgangskans voor een transitie van i naar j. P ij (n) ij element van P n

4 Markov keten voor beurskoersen Markov keten voor koersen beleggingsrekening i,i+1, i,i-1 1- Dronkemanswandeling (random walk) htt:// Beaalde n stas overgangskansen P ij ( n) n k k (1 ) n k, j i k ( n k), of k ( n + j i) / 2

5 Food for thought: geheugen in Markov keten? Betere weerman? Kans regen hangt af van weer vandaag en gisteren P(morgen regen vandaag en gister regen).7 P(morgen regen vandaag regen, gister droog).5 P(morgen regen vandaag droog, gister regen).4 P(morgen regen vandaag en gister droog).2 Toestand weer o dag n? Markov keten?

6 RJ1 Food for thought: geheugen in Markov keten? Betere weerman? Kans regen hangt af van weer vandaag en gisteren maak Markov keten X n toestand weer o dag n en dag n-1 Toestand 1 : regen vandaag en gisteren Toestand 2 : regen vandaag, droog gisteren Toestand 3: droog vandaag, regen gisteren Toestand 4: droog vandaag en gisteren 11 P(morgen regen vandaag en gisteren regen).7 21 P(morgen regen vandaag regen, gisteren droog).5 32 P(morgen regen vandaag droog, gisteren regen).4 42 P(morgen regen vandaag en gisteren droog).2 P

7 Slide 6 RJ1 let o, bij betere weerman noemen dat voor Xn+1 vandaag en gisteren komt overeen met voor Xn morgen en vandaag!! Geef laatje betere weerman o bord van Markov keten!! Boucherie;

8 Vandaag: Voorbeeld: Cola voorbeeld uit boek Classificatie toestanden Evenwichtsverdeling Toeassing Markov ketens in beslissingsroblemen Terugkeertijden Samenvatting Markov ketens

9 Cola voorbeeld: gedrag MK Stel twee soorten cola (is aanname voor voorbeeld), ersonen wisselen voorkeur met mate, alle ersonen statistisch gelijk (willekeurig individu). Een ersoon die cola 1 koot zal volgende keer met kans 9% weer cola 1 koen. Een ersoon die cola 2 koot zal volgende keer met kans 8% weer cola 2 koen. 1. Wanneer een ersoon nu cola 2 drinker is, wat is de kans dat hij/zij bij tweede aankoo na nu cola 1 koot? 2. Wanneer een ersoon nu cola X drinker is, wat is de kans dat hij/zij bij tweede aankoo na nu cola 1 koot? 3. Wat is het toekomstig marktaandeel van cola 1? Vragen die van groot belang zijn voor bijvoorbeeld de beurskoers, of voor beslissingen van management voor inzet extra reclamemiddelen (waarom?)

10 The Cola Examle Modelleer aankoo van een ersoon als Markov keten met toestand o ieder moment de soort cola die de ersoon als laatste heeft gekocht. Cola aankoo dan modelleren als Markov keten met twee toestanden Toestand 1 ersoon heeft als laatste cola 1 gekocht Toestand 2 ersoon heeft als laatste cola 2 gekocht Laat X n het tye cola gekocht door ersoon bij nde aankoo, dan is X, X 1, een Markov keten met overgangs matrix: cola 1 kans 9% weer cola 1 cola 2 kans 8% weer cola 2 Cola1 Cola1.9 P Cola Cola

11 Cola 1 Cola 2 Cola Cola P Cola Hiermee kunnen we vragen 1 en 2 beantwoorden. 1. Wanneer een ersoon nu cola 2 drinker is, wat is de kans dat hij/zij bij tweede aankoo na nu cola 1 koot? We zoeken P(X 2 1 X 2) P 21 (2) element 21 van P 2 : P Dus, P 21 (2) De kans dat een cola 2 drinker na twee aankoen cola 1 koot is.34 We kunnen dit antwoord ook vinden mbv elementaire kansrekening.17.66

12 Cola 2. Wanneer een ersoon nu cola X drinker is, wat is de kans dat hij/zij bij tweede aankoo na nu cola 1 koot? We weten nu niet welke cola ersoon drinkt, en moeten daarom aanname doen over de fractie ersonen die nu cola 1 drinkt (bijvoorbeeld via marktonderzoek). We vinden zo q[q 1, q 2 ] de beginverdeling De gezochte kans is voor j1 i 2 i 1 q i P ij (2)

13 Cola Wat is het toekomstig marktaandeel van cola 1? Stel nu dat we de toestand van de Markov keten niet kennen o tijdsti. We willen toch weten wat toekomstig marktaandeel is van cola 1. We bekijken eerst de n-stas overgangsmatrix voor verschillende waarden van n. Voor grote n lijkt (blijkt) de kans o cola 1 aankoo.67 te zijn onafhankelijk van de voorkeur o tijdsti n P 11 (n) P 12 (n) P 21 (n) P 22 (n)

14 Cola Wat is het toekomstig marktaandeel van cola 1? Stel nu dat we de toestand van de Markov keten niet kennen o tijdsti. We willen toch weten wat toekomstig marktaandeel is van cola 1. We bekijken eerst de n-stas overgangsmatrix voor verschillende waarden van n. Voor grote n lijkt (blijkt) de kans o cola 1 aankoo.67 te zijn onafhankelijk van de voorkeur o tijdsti n P 11 (n) P 12 (n) P 21 (n) P 22 (n) Verklaring / intuïtie? Formeel?

15 Vandaag: Voorbeeld: Cola voorbeeld uit boek Classificatie toestanden Evenwichtsverdeling Toeassing Markov ketens in beslissingsroblemen Terugkeertijden Samenvatting Markov ketens

16 RJ5 Markov keten: classificatie toestanden P PLAATJE j bereikbaar vanuit i als er ad is van i naar j i en j communiceren als j bereikbaar vanuit i en i bereikbaar vanuit j Set toestanden S gesloten set als geen toestand buiten S bereikbaar vanuit toestand in S Toestand i absorberende toestand als ii 1

17 Slide 15 RJ5 laatjes uit boek o bord tekenen! Boucherie;

18 RJ12 Markov keten: classificatie toestanden.4.5 P Toestand i transiënt als er toestand j is die bereikbaar is vanuit i, maar i niet bereikbaar vanuit j Recurrente toestand niet transiënte toestand Toestand i eriodiek met eriode k>1 als k is kleinste getal waarvoor alle aden van i naar i lengte hebben die veelvoud is van k. Aeriodiek: recurrente toestand die niet eriodiek is Ergodische Markov keten: alle toestanden communiceren, zijn recurrent, en aeriodiek

19 Slide 16 RJ12 laatjes uit boek o bord tekenen! Boucherie;

20 Vandaag: Voorbeeld: Cola voorbeeld uit boek Classificatie toestanden Evenwichtsverdeling Toeassing Markov ketens in beslissingsroblemen Terugkeertijden Samenvatting Markov ketens

21 Markov keten: evenwichtsverdeling Evenwichtsverdeling beschrijft gedrag van de Markov keten o de lange duur Stelling 1: Laat P de transitie matrix van een ergodische Markov keten met s toestanden. Er bestaat een unieke vector π [π 1 π 2 π s ] zo dat s s s n n P π π π π π π π π π L M M M L L lim RJ6

22 Slide 18 RJ6 geef voorbeeld weerman o bord kansstromen uitleggen Boucherie;

23 RJ13 Markov keten: evenwichtsverdeling Ofwel lim P( X n j X n i) P ij ( n) π j onafhankelijk begintoestand De vector π [π 1 π 2 π s ] noemen we stationaire verdeling of evenwichtsverdeling van de Markov keten Stationair: wanneer we starten met beginverdeling π dan blijft de verdeling π. We kunnen π bealen uit π πp met normeringsvoorwaarde π π s 1. π limqp n n πp

24 Slide 19 RJ13 geef voorbeeld weerman o bord kansstromen uitleggen Boucherie;

25 RJ14 Markov keten: evenwichtsverdeling Stationaire verdeling Chaman-Kolmogorov vergelijkingen: ij s k 1 P ( n + 1) P ( n) ik kj Voor grote n P ij ( n + 1) P ( n) ij π j Invullen geeft j s π π k 1 k kj Interretatie?

26 Slide 2 RJ14 geef voorbeeld weerman o bord kansstromen uitleggen Boucherie;

27 Transiënt gedrag & Intuïtie Gedrag Markov keten voor stationair of evenwicht transiënt (korte termijn) gedrag. Intuïtie evenwichtsvergelijkingen π j k π k kj k π j jk In evenwicht is de kansstroom naar iedere toestand gelijk aan de kansstroom uit iedere toestand. k π k kj

28 Vandaag: Voorbeeld: Cola voorbeeld uit boek Classificatie toestanden Evenwichtsverdeling Toeassing Markov ketens in beslissingsroblemen Terugkeertijden Samenvatting Markov ketens

29 Evenwichtsverdeling voor beslissingen: Cola Neem aan dat iedere ersoon 1 maal er week cola koot. Stel 1 miljoen cola drinkers (koers) Verkoen van een fles cola kost de verkoer $1 aan roductiekosten; fles wordt verkocht voor $2. Advertentiebedrijf garandeert dat zij voor $5 miljoen er jaar de kans dat een cola 1 drinker wisselt naar cola 2 kan terugbrengen van 1% naar 5%. Is het verstandig voor bedrijf dat cola 1 verkoot (roduceert) om het advertentiebedrijf in te huren?

30 Analyse Momenteel is fractie π 1 ⅔ van alle cola aankoen van tye cola 1. Elke cola 1 aankoo geeft $1 winst. Momenteel is jaarlijkse winst 52*2/3*1..*$1$3,466,666,667. Advertentiebedrijf biedt aan de matrix P veranderen in P

31 Voor P 1, vinden we de evenwichtsvergelijkingen π 1.95π 1 +.2π 2 π 2.5π 1 +.8π 2 met normeringsvoorwaarde π 1 + π 2 1 Olossen geeft π 1.8 en π 2.2. Met deze verdeling is de jaarlijkse winst voor bedrijf cola 1 52*.8*1,,*$1-$5$3,66,, (na aftrek kosten $5 miljoen voor advertentiebedrijf) Dit is meer dan $3,466,666,667. Dus cola 1 bedrijf doet er verstandig aan advertentie bedrijf in te huren.

32 Vandaag: Voorbeeld: Cola voorbeeld uit boek Classificatie toestanden Evenwichtsverdeling Toeassing Markov ketens in beslissingsroblemen Terugkeertijden Samenvatting Markov ketens

33 Terugkeertijden Voor ergodische Markov keten, laat m ij verwachte aantal transities nodig om j voor het eerst te bereiken vanuit i m ij is mean first assage time van i naar j. Neem aan dat we nu in i zitten. Met kans ij hebben we 1 sta nodig om van i naar j te gaan. Voor k j moeten we eerst met kans ik naar toestand k. In dit geval hebben we 1 + m kj staen nodig om van i naar j te komen. We vinden zo m ij 1 ij + ij k j + k j ik (1 + m ( m kj ) kj ) ik

34 We kunnen stelsel olossen m 1+ ij k j In het bijzonder kunnen we de terugkeertijd bealen, waarvoor we tevens kunnen laten zien dat ik m kj m ii 1 π i Waarom? Interretatie evenwichtsverdeling

35 Samenvatting Markov ketens Markov eigenscha (Markov roces) P X i X i,..., X i, X i ) P( X i X ( n+ 1 n+ 1 n n 1 1 n+ 1 n+ 1 n in Overganskansen n-stas overgangskansen P Classificatie toestanden ij n+ n P( X 1 j X i) ij m + n m n ( n ) P ( X j X i) P ( X j X i) ) Evenwichtsverdeling Terugkeertijden π i m 1+ ij π k j fractie aantal staen ( tijd ) in toestand i j lim n ik P ij m ( n) kj π j m ii π k k 1 π i kj