Stochastische Modellen in Operations Management (153088)

Transcriptie

1 S1 S2 X ms X ms Stochastische Modellen in Operations Management (153088) R1 S0 240 ms Ack Internet R2 L1 R3 L2 10 ms 1 10 ms D1 Richard Boucherie Stochastische Operations Research TW, Ravelijn H D2

2 Karakteristieken Dynamische Programmering 2 Probleem kan worden opgedeeld in fasen Elke fase is geassocieerd met een aantal toestanden Actie / beslissing in toestand legt volgende toestand vast Gegeven huidige toestand mag beslissing voor volgende fasen niet afhangen van eerdere fasen (principe van optimaliteit, Bellman) Er is een recursie die verwachte kosten / opbrengst van fasen n, n+1,, T relateert aan kosten van fasen n+1,, T Kosten zijn zeker, volgende toestand is zeker Kosten zijn onzeker, volgende toestand is zeker Kosten zijn onzeker, volgende toestand is onzeker

3 Fasen n Variabelen aantal opeenvolgende momenten waarop beslissingen moeten worden genomen 3 Toestandsruimte S n verzameling van mogelijke toestanden i die kunnen optreden in fase n Beslissingsruimte D n (i) verzameling van mogelijk acties d die beschikbaar zijn bij toestand i in fase n Directe resultaat r n (i,d) verwachte opbrengst gedurende fase n als gevolg van beslissing d in toestand i Overgang j i,d Overgang naar toestand j als gevolg van beslissing d bij toestand i in fase n

4 4 Vandaag: Beleggen in opties Stochastisch dynamische programmering Dobbelspelletje Beslisbomen Samenvatting How to gamble if you must

5 Beleggen in opties (1) 5 Situatieschets je bezit een optie om gedurende de komende N dagen een hoeveelheid aandelen te kopen tegen een vaste prijs van c Euro per aandeel je maakt een winst van max{0,i-c} Euro per aandeel als de koers gelijk is aan i Euro op de dag van aankoop de huidige koers van het aandeel is s, maar verandert per dag met +1, -1 of 0, met bijbehorende kansen p, q en 1-p-q Gevraagd de optimale strategie en de maximale verwachte winst per aandeel Opgave (N=5, s=c=50, p=q=1/3) Bepaal de optimale strategie

6 Fasen Beleggen in opties (2) opeenvolgende dagen : n = 0,...,N Toestand koers v/h aandeel : i n {s - n,...,s + n} Beslissing kopen of niet kopen? Optimale waardefunctie definieer f n (i) als de maximale verwachte winst indien de koers i Euro bedraagt als er n dagen verstreken zijn 6 Recurrente betrekkingen?

7 Beleggen in opties (3) Optimale waardefunctie definieer f n (i) als de maximale verwachte winst indien de koers i gulden bedraagt als er n dagen verstreken zijn Recurrente betrekkingen na N dagen is de optie verlopen, d.w.z. 7 f N (i) = max{0,i-c} voor alle i voor 0 n< N geldt het volgende:

8 Beleggen in opties (4) 8 Voorbeeld (N=5, s=c=50, p=q=1/3) de optimale strategie laat zich eenvoudig aflezen uit de volgende tabel (rood = beslissing kopen): de maximale verwachte winst bedraagt hierbij f 0 (50)=72 cent per aandeel (is waarde optie op tijdstip 0)

10 10 Deterministische Stochastische Dynamische Programmering Toepassingen beslissingsproblemen over een eindige horizon waarbij de beslismomenten geordend zijn (doorgaans in de tijd) Probleemstructuur optimale strategie m.b.v. recursie fase n toestand i n S n beslissing d n D n ( i n ) overgangskansen pi n n+1 ( i n+1 ii n,, d n ) directe resultaat r n ( i n, d n )

11 11 SDP (kosten onzeker, volgende toestand onzeker) Fasen n aantal opeenvolgende momenten waarop beslissingen moeten worden genomen Toestandsruimte S n verzameling van mogelijke toestanden i die kunnen optreden in fase n Beslissingsruimte D n (i) verzameling van mogelijk acties d die beschikbaar zijn bij toestand i in fase n Directe resultaat r n (i,d) verwachte opbrengst gedurende fase n als gevolg van beslissing d in toestand i Overgangskansen p n (j i,d) kans op toestand j als gevolg van beslissing d bij toestand i in fase n

12 Doelstelling Optimalisatie maximaliseer de verwachte resultaten over de gehele planningshorizon : Optimale waardefunctie N max E r n (i n,d n ) definieer f n (i) als het maximale verwachte resultaat vanaf fase n vanuit toestand i S n Recurrente betrekkingen Stopcriterium f n (i) = max d D n (i) n= 0 r n (i,d) + p n ( j i,d) f n +1 ( j) j S n+1 aan het eind van de planningshorizon ligt alles vast, d.w.z. f N (i) moet gegeven zijn voor alle i S N 12

13 Verschillende varianten Determistisch vs. stochastisch bij deterministische DP problemen zijn de gevolgen van iedere beslissing bekend: p n (j i,d)=1 voor zekere j bij alle n,i,d bij stochastische DP problemen is dat niet (altijd) het geval Discreet vs. continu bij discrete DP problemen is aantal toestanden aftelbaar bij continue DP problemen is aantal toestanden overaftelbaar Eén vs. meerdere dimensies een toestand uit de toestandsruimte kan soms uit meerdere variabelen bestaan Doelstellingen maximale verwachtingswaarde van... maximale kans op... 13

15 15 Situatieschets Een dobbelspelletje (1) je mag maximaal N maal werpen met een (zuivere) dobbelsteen na elke worp moet je beslissen of je doorgaat of stopt de uitbetaling van het spel is het aantal gegooide ogen in de laatste worp Gevraagd de optimale strategie en de maximale verwachte uitbetaling of `hoeveel wilt u inzetten om mee te doen? Optimale waardefunctie definieer f n (i) als de maximale verwachte uitbetaling indien je n maal gegooid hebt, en het aantal ogen in de laatste worp gelijk is aan i

16 Fasen Een dobbelspelletje (2) opeenvolgende worpen : n = 0,...,N Toestand aantal ogen in laatste worp : i {1,...,6} Beslissing stoppen of doorgaan? Optimale waardefunctie f n (i) max verwachte uitbetaling indien je n maal gegooid hebt, en aantal ogen in de laatste worp is i Recurrente betrekkingen na N worpen is het spelletje afgelopen f N (i)=i, i=1,,6 voor 0 n< N geldt 6 f n (i) = max i, 1 6 f n +1 ( j) j=1 16

17 17 Voorbeeld (N=6) Een dobbelspelletje (4) de optimale strategie laat zich eenvoudig aflezen uit de volgende tabel (rood = beslissing stoppen) de verwachte uitbetaling van het spel bedraagt f 0 (0)=(5/6)*5.130+(1/6)*6=5.275 gulden

19 Wasmachine fabrikant (1) Pilgrim benaderd door het warenhuis D&V met het aanbod om exclusief voor D&V wasmachines te maken. Huidige winst van Pilgrim uit eigen verkopen is 1 miljoen euro. Accepteert Pilgrim het aanbod dan levert dit een jaarlijkse winstbijdrage van E ,-. Door substitutie effecten dalen de eigen verkopen. Geschatte winstdaling op de eigen verkopen is 25% met kans 0.1, 30% met kans 0.6 en 35% met kans 0.3. Indien Pilgrim aanbod afslaat zal met kans 0.4 een concurrent het aanbod accepteren, in welk geval de hiervoor genoemde winstdaling toch optreedt. Pilgrim kan in dit geval echter ook tot actie overgaan, hetzij door de eigen prijs te verlagen, hetzij door meer reclame te maken. De extra reclame kost jaarlijks E ,-- en heeft als effect dat de winstdaling minder is en wel 10% met kans 0.2, 15% met kans 0.7 en 20% met kans 0.1. Prijsverlaging beperkt de winstdaling tot 10% met kans 0.1, 15% met kans 0.8 en 20% met kans 0.1, mits de concurrent niet ook zijn prijs omlaag doet. Kans dat concurrent met een prijsverlaging reageert als Pilgrim hiertoe besluit is 0.5, met als gevolg dat Pilgrim's winstdaling 10% is met kans 0.1, 15% met kans 0.6 of 20% met kans 0.3. Welke politiek moet Pilgrim toepassen opdat zijn verwachte winstdaling zo klein mogelijk is? 19

20 Huidige winst E 1 miljoen uit eigen verkoop aanbod warenhuis: maak exclusief machines voor warenhuis acceptatie: winstbijdrage E maar minder eigen verkopen (substitutie): 25% met kans 0.1, 30% met kans 0.6, 35% met kans 0.3 afslaan: concurrent accepteert aanbod met kans 40% dan zelfde winstdaling mogelijke actie bij acceptatie aanbod door concurrent: prijs verlagen -- minder eigen verkopen als conc. prijs gelijk: 10% met kans 0.1, 15% met kans 0.8, 20% met kans als conc. prijs lager (kans hierop 50%): 10% met kans 0.1, 15% met kans 0.6, 20% met kans 0.3 reclame maken (kosten E ) -- minder eigen verkopen: 10% met kans 0.2, 15% met kans 0.7, 20% met kans 0.1 niets doen 20

21 Wasmachine fabrikant (2) 21 beslisboom beslissing realisatie; gevolg omgeving

22 22 Beslisbomen Vaak meerdere besluiten Aantal besluiten niet altijd vooraf bekend Structuur van beslisprobleem vaak gecompliceerd Beslisboom geeft structuur aan beslissingsprobleem Decompositie in meerdere deelproblemen Visualisatie van beslissingsprobleem

23 Achterwaarts Wasmachine fabrikant (3) f 2 minimale verwachte winstderving in situatie 2 f 1 minimale verwachte winstderving in situatie 1 23 Het is optimaal bod te accepteren, met verw. winstderving 60

25 Stochastische dynamische programmering Doelstelling maximaliseer de verwachte resultaten over de gehele planningshorizon : N max E r n (i n,d n ) Optimale waardefunctie n= 0 definieer f n (i) als het maximale verwachte resultaat vanaf fase n vanuit toestand i S n Recurrente betrekkingen f n (i) = max d D n (i) r n (i,d) + p n ( j i,d) f n +1 ( j) j S n+1 25 Beslisbomen: grafische voorstelling Extra voorbeelden W & dictaat OR II

26 Geluidbelasting Schiphol

27 27

29 29 How to gamble if you must U heeft 2 Euro en dringend behoefte uw kapitaal te vergroten tot 16 Euro U heeft de mogelijkheid deel te nemen aan een gokspel, met winstkans 40%, verlieskans 60% Inzet bij dit spel is ongelimiteerd, maar in hele Euro s Uitbetaling bij winst is twee maal uw inzet Bepaal een strategie om uw kans op bereiken doel te maximaliseren