Stochastische Modellen in Operations Management (153088)

Transcriptie

1 R1 L1 R2 1 S0 Stochastische Modellen in Operations Management (153088) 240 ms 10 ms Ack Internet Richard Boucherie Stochastische Operations Research TW, Ravelijn H D1 L2

2 Stochastische dynamische programmering 2 Fasen n aantal opeenvolgende momenten waarop beslissingen moeten worden genomen Toestandsruimte S n verzameling van mogelijke toestanden i die kunnen optreden in fase n Beslissingsruimte D n (i) verzameling van mogelijk acties d die beschikbaar zijn bij toestand i in fase n Directe resultaat r n (i,d) Verwachte opbrengst gedurende fase n als gevolg van beslissing d in toestand i Overgang j i,d : p n (j i,d) kans op toestand j als gevolg van beslissing d bij toestand i in fase n

3 Stochastische dynamische programmering Doelstelling maximaliseer de verwachte resultaten over de gehele planningshorizon : Optimale waardefunctie definieer f n (i) als het maximale verwachte resultaat vanaf fase n vanuit toestand i S n Recurrente betrekkingen deze werken achterwaarts! N max E r n (i n,d n ) n= 0 f n (i) = max d D n (i) r n (i,d) + p n ( j i,d) f n +1 ( j) j S n+1

4 4 Vandaag: Voorbeelden Machine onderhoud: belangrijke toepassing onderhoudsstrategie relatie directe kosten en overgangskansen Goudmijn: continue toestandsruimte Voorraad probleem belangrijke toepassing voorraadstrategie Roulette optimale strategie voor maximale winstkans

5 Machine onderhoud (1) 5 Machine aan begin iedere week in toestand Werkend of Kapot Indien machine gedurende week werkt: opbrengst 200 Indien machine gedurende week kapot gaat: opbrengst 0 Indien machine aan begin week werkt: beslissing onderhoud onderhoudkosten 20 met onderhoud kans kapot 0.4 zonder onderhoud kans kapot 0.7 Indien machine begin week kapot: besl vervangen of repareren reparatiekosten 40 kans gerepareerde machine kapot 0.4 vervangingskosten 90 vervangen machine gaat in eerste week niet kapot Bepaal een politiek welke de winst (opbrengst kosten) gedurende de komende 4 weken maximaliseert, indien de eerste week start met een werkende machine

6 Machine onderhoud (2) 6 Fasen n Nummers van de perioden Toestandsruimte S n Toestand machine begin van week in fase n, S n ={0,1}, 0=kapot, 1= werkend Beslissingsruimte D n (i) Beslissingsruimte in iedere fase dezelfde D(0)={repareren, vervangen} D(1)={geen onderhoud, wel onderhoud} Directe resultaat r(i,d) In iedere fase gelijk r(0,repareren)=(0.4*0+0.6*200)-40=80 r(0,vervangen)=1*200-90=110 r(1,geen onderhoud)=0.7*0+0.3*200=60 r(1,wel onderhoud)=(0.4*0+0.6*200)-20=100

7 Machine onderhoud (3) Directe resultaat r(i,d) In iedere fase gelijk r(0,repareren)=(0.4*0+0.6*200)-40=80 r(0,vervangen)=1*200-90=110 r(1,geen onderhoud)=0.7*0+0.3*200=60 r(1,wel onderhoud)=(0.4*0+0.6*200)-20=100 Overgangskansen P(j i,d) P(0 0,repareren)=0.4 P(1 0,repareren)=0.6 P(0 0,vervangen)=0 P(1 0,vervangen)=1 P(0 1,geen onderhoud)=0.7 P(1 1,geen onderhoud)=0.3 P(0 1,onderhoud)=0.4 P(1 1,onderhoud)=0.6 Recursie: f n (i) = verwachte maximale winst in de fasen n,n+1,,4 vanuit toestand i 7

8 Intermezzo: interpretatie recursie Directe resultaat r(i,d) r(0,repareren)=(0.4*0+0.6*200)-40=80 r(0,vervangen)=1*200-90=110 Overgangskansen P(j i,d) P(0 0,repareren)=0.4 P(1 0,repareren)=0.6 P(0 0,vervangen)=0 P(1 0,vervangen)=1 Recursie 8

9 Machine onderhoud (4) 9 Maximale verwachte winst met gevonden (stationaire) politiek

10 10 Vandaag: Voorbeelden Machine onderhoud: belangrijke toepassing onderhoudsstrategie relatie directe kosten en overgangskansen Goudmijn: continue toestandsruimte Voorraad probleem belangrijke toepassing voorraadstrategie Roulette optimale strategie voor maximale winstkans

11 Goudmijn (1) 11 Situatieschets Goudmijnen A en B met winbare hoeveelh. goud X resp. Y ton 1 graafmachine, kan in beide mijnen worden ingezet Inzet mijn A: kans p A dat fractie r A aanwezige voorraad gedolven, kans 1-p A direct kapot; Machine kan niet worden gerepareerd Inzet mijn B: idem, parameters p B, r B Machine na gebruik niet defect, dan opnieuw inzetbaar in zelfde of andere mijn; max. 3 maal inzetbaar, daarna kapot Gevraagd Politiek die verw. hoev. gedolven gouderts maximaliseert voor p A =0.8, p B =0.6, r A =0.2, r B =0.5, X=Y=100

12 Goudmijn (2) 12 Fasen Rangnummers van de opeenvolgende beslismom: n=1,2,3 Toestandsruimte S n S={(x,y): 0 x X, 0 y Y}, x en y resterende goud in A en B Beslissingsruimte D n (x,y) Op ieder moment kiezen waar inzet machine, D n (x,y)={a,b} Optimale waardefunctie definieer f n (x,y) als de maximale verwachte hoeveelheid gedolven gouderts in perioden n,,3 indien resterende hoeveelheid goud op beslismoment n (x,y) eenheden in mijn (A,B) bedraagt. f 1 (X,Y) is maximale verwachte hoeveelheid gedolven gouderts

13 Goudmijn (3) 13 Optimale waardefunctie definieer f n (x,y) als de maximale verwachte hoeveelheid gedolven gouderts in perioden n,,3 indien resterende hoeveelheid goud op beslismoment n (x,y) eenh.in mijn (A,B) bedraagt. Recursie

14 Goudmijn (4) Oplossing voor p A =0.8, p B =0.6, r A =0.2, r B =0.5, X=Y=100 14

15 15 Geb I Geb II Geb III Maximale verwachte opbrengst is 46.8 ton en de eerste optimale beslissing is [A]

16 16 Vandaag: Voorbeelden Machine onderhoud: belangrijke toepassing onderhoudsstrategie relatie directe kosten en overgangskansen Goudmijn: continue toestandsruimte Voorraad probleem belangrijke toepassing voorraadstrategie Roulette optimale strategie voor maximale winstkans

17 Situatieschets Voorraadprobleem (1) een fabrikant van een bederfelijk product moet iedere 5- daagse werkweek een planning maken voor de productie de uiterste verkoopdatum van een produkt is 2 dagen na productie de winst bedraagt w>0 per houdbaar product, en v<0 per bedorven product de vraag per dag is stochastisch : de kans op k producten per dag is p k er geldt een beperkte productiecapaciteit van K producten per dag orders worden aan het eind van de dag uit voorraad geleverd Gevraagd de optimale strategie en de max verwachte winst per week 17

18 Voorraadprobleem (2) 18 Fasen Rangnummers van de opeenvolgende beslismomenten: dagen Toestandsruimte S n S n ={(i 1,i 2 ): 0 i 1, 0 i 2 }, i 1 en i 2 producten van één resp. twee dagen oud op voorraad aan begin van dag n Beslissingsruimte D n (x,y) Op ieder moment kiezen hoeveel produceren D n (i 1,i 2 )={0,,K} Optimale waardefunctie definieer f n (i 1,i 2 ) als de maximale verwachte winst vanaf dag n indien er op dat moment i 1 en i 2 producten van één resp. twee dagen oud op voorraad liggen f 1 (0,0) is maximale verwachte winst per week bij beginvoorraad 0

19 Voorraadprobleem (3) Recurrente betrekkingen Voor recursie tellen we bij productie direct de winst w, indien product moet worden weggegooid tellen we w op bij verlies aan het begin van dag 6 moet de resterende voorraad weggegooid worden, d.w.z. f 6 (i 1,i 2 ) = (v-w) (i 1 + i 2 ) voor alle i 1,i 2 verder gelden de volgende recurrente betrekkingen voor n=1...5 : 19

20 Voorbeeld Voorraadprobleem (4) winst- en verliesmarges w = 1 en v = -2 de produktiecapaciteit0 of 1 producten per dag (K=1) vraag per dag is uniform verdeeld tussen 0 en 2 produkten Optimale strategie 20 Dus: verw. max. winst per week bedraagt 2.79

21 21 Vandaag: Voorbeelden Machine onderhoud: belangrijke toepassing onderhoudsstrategie relatie directe kosten en overgangskansen Goudmijn: continue toestandsruimte Voorraad probleem belangrijke toepassing voorraadstrategie Roulette optimale strategie voor maximale winstkans

22 22 Situatieschets Roulette (1) je begint met A fiches en wil met tenminste B>A fiches eindigen vanwege de tijdsdruk kun je hooguit N keer roulette spelen (rood of zwart) de winstkans bedraagt p=18/37 Gevraagd de optimale strategie en de maximale kans op succes

23 Fasen Roulette (2) Opeenvolgende pogingen n = 0,...,N 23 Toestandsruimte S n S n ={i: 0 i B}, i aantal fiches in bezit aan begin dag n Beslissingsruimte D n (x) Op ieder moment inzet kiezen D n (x)={0 min{x,b-x}} Optimale waardefunctie definieer f n (i) als de kans op het bereiken van tenminste B fiches als je al n keer gespeeld hebt en over i fiches beschikt Recurrente betrekkingen na N pogingen is spel uit, d.w.z. f N (B)=1, en f N (i)=0 als i<b voor 0 n< N geldt het volgende: f n (i) = max 0 d min{i,b i} p f n +1 (i + d) + (1 p) f n +1 (i d) { }

24 Roulette (3) Voorbeeld (A=1, B=5, N=5) f 5 (x) = 0, x=0,,4, f 5 (5) = 1 f 4 (x) = 0, x=0,1,2, f 4 (x) = , x=3,4, f 4 (5)=1 f 3 (x) = 0, x=0,1, f 3 (5)=1 f 2 (0) = 0, f 1 (0) = 0, Recurrente betrekkingen 24 f 3 (4) = f 4(5) f 4(3) = f 3 (3) = max 18 f (4) + 18 f 37 4(5) + 19 f (2) f = max 37 4(1) = f 3 (2) = max f 19 4 (3) + f (1) f 37 4(4) + 19 f 37 4(0) = max = &

25 Roulette (4) 25 Recurrente betrekkingen (vervolg) f 2 (4) = 18 f (5) + f 37 3 (3) = f 2 (3) = max f 2 (2) = max 18 f (4) + 18 f 37 3(5) + 19 f 37 3(1) 18 f 37 3(3) + 19 f 37 3(1) 18 f 37 3(4) + 19 f (2) = max = f = max 37 3(0) = f 2 (1) = f 3(2) f 3(0) = f 1 (2) = max f 2(3) + 19 f 37 2(1) f 37 2(4) + 19 f = max 37 2(0) = f 1 (1) = 18 f (2) + f 37 2 (0) = f 0 (1) = 18 f (2) + f 37 1 (0) =

26 26 Vandaag: Voorbeelden Machine onderhoud: belangrijke toepassing onderhoudsstrategie relatie directe kosten en overgangskansen Goudmijn: continue toestandsruimte Voorraad probleem belangrijke toepassing voorraadstrategie Roulette optimale strategie voor maximale winstkans