Stochastische Modellen in Operations Management (153088)

Transcriptie

1 S1 S2 X ms X ms Stochastische Modellen in Operations Management (153088) R1 S0 240 ms Ack Internet R2 L1 R3 L2 10 ms 1 10 ms D1 Richard Boucherie Stochastische Operations Research TW, Ravelijn H D2

2 Wanneer? Wachttijdtheorie Kassa, brug, verkeerslicht, machine, computer, Internet, telefoonnetwerk, lift, spoorwegen, Wat? Prestatiemaat, meestal wachttijd, verblijftijd, doorzet (throughput), blokkeringskans Hoe? Markov ketens Meestal stationair, soms transiënt

3 3 Een eenvoudig wachtsysteem Klanten arriveren volgens stochastisch proces Klanten wachten op hun beurt Bedieningsduur is stochastische variabele Een bediende of meerdere bedienden? Gemiddelde wachttijd? Kans op wachten? Dimensionering systeem?

4 Why waiting? 4

5 Wachttijdtheorie Hoe hoog mag de belasting van een machine zijn? EF/EB=1/(1-p) F= verblijftijd B = bedieningsduur p= bezettingsgraad En hier al 100 x je staat hier 10 x je bedieningstijd te wachten

6 6 Wachttijdtheorie Motivatie Terminologie Aankomstprocessen Veel gebruikte verdelingen Geheugenloosheid exponentiële verdeling Poisson proces Food for thought: Wachttijdparadox Een eenvoudig wachtsysteem

7 Terminologie Terminologie: klanten Bediening, server Aankomstproces eindige klantenbron oneindige klantenbron Wachtruimte eindige capaciteit oneindige capaciteit Bediening één server meerdere servers bedieningsduurverdeling Prioriteiten first in first out (FIFO,FCFS) last in first out (LIFO,LCFS) Processor sharing (PS) Netwerken open systemen gesloten systemen

8 8 Wachttijdtheorie Motivatie Terminologie Aankomstprocessen Veel gebruikte verdelingen Geheugenloosheid exponentiële verdeling Poisson proces Food for thought: Wachttijdparadox Een eenvoudig wachtsysteem; Aannamen

9 Aankomsttijdstippen Vormen rij stochastische tijdstippen laat T n het aankomsttijdstip van de n-e klant zijn, met T 1 =0. defineer verder X n =T n+1 -T n als de lengten van de zgn. tussenaankomsttijden. Definitie Aankomstprocessen indien voor iedere n 2 de stochastische variabelen X 1,...,X n onderling onafhankelijk en identiek verdeeld zijn, dan noemen we het aankomstproces een vernieuwingsproces, en X 1,...,X n een vernieuwingsrij. Aanname Aankomstproces = vernieuwingsproces Dus aankomstproces gekarakteriseerd door rij X i

10 Aankomstprocessen Aankomsttijdstippen; vernieuwingsproces X n =T n+1 -T n tussenaankomsttijden. Eigenschap zij N(t) het aantal vernieuwingen gedurende (0,t], en laat E{X i }=1/λ, dan geldt de volgende relatie: lim t E N(t) t = λ de grootheid λ is de aankomstintensiteit, d.w.z. het gemiddelde aantal aankomsten per tijdseenheid

11 11 Wachttijdtheorie Motivatie Terminologie Aankomstprocessen Veel gebruikte verdelingen Geheugenloosheid exponentiële verdeling Poisson proces Een eenvoudig wachtsysteem; Aannamen Food for thought: Wachttijdparadox

12 Veel gebruikte verdelingen (aankomst en bediening) Exponentiële verdeling VC=1 Gamma verdeling met n fasen Erlang verdeling met n fasen Hyper-exponentiële verdeling A(t) = a(t) = n α j (1 exp[ λ j t]) j=1 n α j λ j exp[ λ j t] j=1 Var(X) = 2 α j λ 1 2 j λ 2 n j=1 VC>1 VC<1

13 13 Wachttijdtheorie Motivatie Terminologie Aankomstprocessen Veel gebruikte verdelingen Geheugenloosheid exponentiële verdeling Poisson proces Food for thought: Wachttijdparadox Een eenvoudig wachtsysteem

14 Geheugenloosheid exponentiële verdeling Exponentiele verdeling bijzondere plaats Vaak goede beschrijving werkelijkheid Analytisch interessant Geheugenloosheid een verdelingsfunctie A(.) noemen we geheugenloos indien de bijbehorende stochastische variabele X de volgende eigenschap bezit, voor alle t > s : P(X > t X > s) = P(X > t s) Equivalent met, voor alle t > s : 1 A(t) 1 A(s) =1 A(t s)

15 Geheugenloosheid exponentiële verdeling Geheugenloos: P(X > t X > s) = P(X > t s) 1 A(t) 1 A(s) =1 A(t s) Exponentiële verdeling er kan eenvoudig worden aangetoond dat de exponentiële verdeling A(t)=1-e -λt aan deze relatie voldoet, immers: 1 A(t) 1 A(s) = e λ t e λ s = e λ (t s) =1 A(t s)

16 16 Wachttijdtheorie Motivatie Terminologie Aankomstprocessen Veel gebruikte verdelingen Geheugenloosheid exponentiële verdeling Poisson proces Food for thought: Wachttijdparadox Een eenvoudig wachtsysteem

17 Definitie Poisson proces (1) indien aankomstproces een vernieuwingsproces is en de tussenaankomsttijden exponentieel verdeeld zijn, dan is het aankomstproces een Poisson proces Telprocess aantal aankomsten N(t) in (0,t]

18 Berekening Poisson proces (1 )

19 Poisson verdeling Poisson proces (2) het aantal aankomsten N(t) gedurende (0,t] bezit dus een Poisson-verdeling met parameter λt de verwachting en de variantie van N(t) zijn:

20 Eigenschappen Poisson proces (3) de aankomstenprocessen in twee willekeurige disjuncte intervallen zijn onderling onafhankelijk, en alleen afhankelijk van lengte intervallen De superpositie van twee Poisson processen met intensiteiten λ 1 en λ 2, levert wederom een Poisson proces, met intensiteit λ 1 + λ 2 het willekeurig uitdunnen van een Poisson proces met intensiteit λ (klanten gaan met kans p<1 het systeem binnen) levert wederom een Poisson proces maar nu met intensiteit p λ. Wanneer Poisson proces?

21 21 Wachttijdtheorie Motivatie Terminologie Aankomstprocessen Veel gebruikte verdelingen Geheugenloosheid exponentiële verdeling Poisson proces Food for thought: Wachttijdparadox Een eenvoudig wachtsysteem

22 Queueing paradox Bussen arriveren bij bushalte volgens stochastisch aankomst proces, gemiddeld 4 bussen per uur U arriveert op willekeurig tijdstip Is de verwachte tijd tot aankomst volgende bus - minder dan 7.5 minuten - gelijk aan 7.5 minuten - meer dan 7.5 minuten

23 Poisson proces (4) Tijd tussen willekeurig tijdstip t en eerstvolgende aankomsttijdstip Poisson proces Voor Poisson proces met intensiteit λ geldt dus tijd tot eerstvolgende aankomst exponentieel verdeeld onafhakelijk van t.

24 Poisson proces (5) Tijd tussen willekeurig tijdstip t en voorgaande aankomsttijdstip Poisson proces Dus tijd vanaf voorgaande aankomsttijdstip is exponentieel verdeeld, onafhankelijk van t

25 Wachttijdparadox Stel bussen komen aan volgens Poisson proces, met intensiteit 4 per uur. U komt op willekeurig tijdstip aan bij bushalte. Wat is verwachting resterende tijd tot eerstvolgende bus? Wat is verwachting tijd verstreken vanaf vertrek voorgaande bus? Conclusie?

26 26 Wachttijdtheorie Motivatie Terminologie Aankomstprocessen Veel gebruikte verdelingen Geheugenloosheid exponentiële verdeling Poisson proces Food for thought: Wachttijdparadox Een eenvoudig wachtsysteem

27 27 Een eenvoudig wachtsysteem Klanten arriveren volgens Poisson proces Klanten wachten op hun beurt Bedieningsduur is exponentieel verdeelde variabele Een bediende Gemiddelde wachttijd? Kans op wachten? Dimensionering systeem?

28 Het M M 1 model (1)

29 Het M M 1 model (2)

30 Het M M 1 model (3)

31 Het M M 1 model (4)

32 Het M M 1 model (5) P kn (t) = P(Z(t) = n Z(0) = k)

33 Het M M 1 model (6)

34 Het M M 1 model (7) Kolmogorov s diff. vergelijkingen d P (t) = λ P (t) + µ P (t) dt d P dt n(t) = λ P n 1 (t) (λ + µ) P n (t) + µ P n +1 (t) waarbij P n (t) =1, t 0 n= 0 P n = lim t P n (t) ρ = λ µ <1

35 Het M M 1 model (8) Globale evenwichtsvergelijkingen interpretatie µ P n +1 = λ P n P n = ρ n P 0 = (1 ρ) ρ n n = 0,1,2,...

36 Transitiediagram Het M M 1 model (9) λ P 0 = µ P 1 λ P 1 = µ P 2 λ P 2 = µ P 3 λ P 3 = µ P 4

37 Het M M 1 model (10) Bezettingsgraad n=1 P n =1 P 0 = ρ

38 Wachttijdtheorie Hoe hoog mag de belasting van een machine zijn? En hier al 100 x je staat hier 10 x je bedieningstijd te wachten

39 39 Een eenvoudig wachtsysteem Klanten arriveren volgens Poisson proces Klanten wachten op hun beurt Bedieningsduur is exponentieel verdeelde variabele Een bediende Gemiddelde wachttijd? Kans op wachten? Dimensionering systeem? Andere wachtsystemen?