Stochastische Modellen in Operations Management (153088)
|
|
|
- Stefan van den Pol
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Stochastische Modellen in Operations Management (53088) S S Ack X ms X ms S0 40 ms R R R3 L L 0 ms 0 ms D0 Internet D D Richard Boucherie Stochastische Operations Research TW, Ravelijn H 9
2 Algemenere wachtsystemen Poolen en prioriteiten Andere wachtsystemen Netwerken van wachtrijen: evenwichtsverdeling aantal taken Output M/M/ rij Tandem netwerk Feedforward netwerk
3 Definities Het M G model Poisson aankomstproces enkele bediende alleen de verwachting en de variantie van de bedieningsduur zijn gegeven μ σ 0 0 tdb ( t) < ( t μ ) db ( t) <
4 Eigenschappen Het M G model: PK formule de gemiddelde wachttijd wordt gegeven door de Pollaczek-Khintchine formule : EW { } ρ μ( ρ) { ( μσ) } + hierin bedraagt μσ de variatie-coefficient van de bedieningsduurverdeling gemiddelde wachttijd deterministische bedieningsduur is helft gem wachttijd exponentieel verdeelde bediendingsduur
5 Poolen? Situatieschets E { W ρ ρ ) + beschouw een kopieermachine waarop zowel studenten als medewerkers mogen kopieren de aankomstprocessen van studenten en medewerkers zijn Poisson met gemiddelden van resp. 4 per uur de bedieningsduren van studenten en medewerkers zijn exponentieel verdeeld met gemiddeldes van 0 resp. 5 minuten Optie : delen van een machine met snelheid Optie : aparte machines snelheid Welke optie is beter voor gemiddelde wachttijd? Welke optie is beter voor gemiddelde verblijftijd? } ( ( μσ ) μ
6 Optie : delen machine snelheid s 3, 0 0 μ σ, Poolen? ρ E{ W } ( ρ ) W 00 m W s W 3 0 Optie : aparte machines snelheid 5 9 μ 30 0, s m 5, μ m, ( μσ ) μ CV ongeveer, dus winst snelle machine groter dan verlies door variantie W s { } 5 Wm { } W /0 / 5 0 3
7 Stel nu meer uiteenliggende jobgrootte, dus hogere variantie Optie : delen machine snelheid s 30, s 8 m 5 m μ,, μ 3, 0 0 μ σ, W 00 9 m W s W 3 0 Optie : aparte machines snelheid W s Poolen? ρ E{ W } ( ρ ) Wm W 4 + ( μσ ) μ.0 CV ongeveer 3, en winst snelle machine teniet gedaan door grotere variantie
8 Wachtsystemen met prioriteiten Voorbeeld (M M ) n typen klachten type i heeft voorrang boven type j als i < j tussenaankomsttijden en bedieningsduren zijn exp. verdeeld met parameters i en μ i de bediening van een klant kan niet worden onderbroken
9 Resultaten Wachtsystemen met prioriteiten def. ρ k als de verkeersintensiteit die wordt geleverd door de eerste k typen klanten: k i ρ k μ i de gemiddelde wachttijd W k per klant van type k bedraagt dan (zie Winston) : μ n μn W k ( ρk ) ( ρk ) in het gevaln reduceert dit weer tot : i EW { } μ ρ ρ μ ( ρ)
10 Situatieschets Een kopieermachine beschouw een kopieermachine waarop zowel studenten als medewerkers mogen kopieren de aankomstprocessen van studenten en medewerkers zijn Poisson met gemiddelden van resp. 4 per uur de bedieningsduren van studenten en medewerkers zijn exponentieel verdeeld met gemiddelden van 0 resp. 5 minuten Optie : niemand voorrang Optie : studenten voorrang Optie 3 : medewerkers voorrang
11 Een kopieermachine Optie : niemand voorrang 0 Optie : studenten voorrang, μ, σ W Optie 3 : medewerkers voorrang, μ,, μ W 75., W 5., W 5. LET OP: Voor opties en 3 zijn wachttijden typen gelijk, immers ρ s ρ w maar fractie studenten niet gelijk aan fractie medewerkers, zodat gem wachttijd verschillend , μ,, μ s W W m W 75., W 5., W
12 Mengen van klantenstromen? Het hangt sterk af van de variantie in de bedieningsduren of mengen dan wel apart behandelen raadzaam is Klanten met voorrang behandelen kan nuttig zijn bij sterk uiteenlopende bedieningsduren In het algemeen is het raadzaam te vermijden om korte klanten te laten wachten op lange klanten
13 3 Algemenere wachtsystemen Poolen en prioriteiten Andere wachtsystemen Netwerken van wachtrijen: evenwichtsverdeling aantal taken Output M/M/ rij Tandem netwerk Feedforward netwerk
14 Situatieschets Een batch systeem beschouw een systeem met Poisson aankomsten, waarbij bediening in batches van twee klanten tegelijkertijd plaatsvindt Transitiediagram 0 Geef evenwichtsverdeling μ μ μ 3 μ (etcetera)
15 Situatieschets Een batch systeem () beschouw een systeem met Poisson aankomsten, waarbij bediening in batches van twee klanten tegelijkertijd plaatsvindt Transitiediagram 0 P μ P 0 μ P μ ( P + P ) 3 μ P μ ( P + P ) μ P μ ( P + P ) (etcetera)
16 Een batch-systeem () Algemene oplossing (ga na) Evenwichtsvergelijkingen 4 0 ρ β ρ β β β μ β μ β μ β μ β n+ n+ n Normaliseren P P P n n n n αβ ρ αβ β P n P n n α β α β ρ, 0 + α β ρ β β
17 Situatieschets Oud & Nieuw () fabrikant maakt gebruik van twee machines, een oud en een nieuw type, die beiden aan storing onderhevig zijn de produktiecapaciteiten van beide machines bedragen achtereenvolgens 00 en 50 produkten per dag de levensduren van de machines zijn exponentieel verdeeld met gemiddelden van 0 resp. 5 dagen de reparatietijden van de machines zijn exponentieel verdeeld met gemiddelden van resp. dagen reparatie-afdeling kan maar één machine tegelijkertijd repareren, en geeft derhalve altijd de hoogste prioriteit aan de nieuwe machine Gevraagd bezettingsgraad van de reparatie afdeling en de machines de totale produktiecapaciteit per dag
18 Oud & Nieuw () Transitiediagram up /5 up /0 up down / down up /0 Evenwichtsvergelijkingen down down / P 050. P + P UU UD DU 060. P 00. P + P UD UU DD 0. P 00. DU P UU P 00. P P DD UD DU
19 Oud & Nieuw (3) Stationaire verdeling (ga na) P U U P U D P D U Bezettingsgraad reparatieafdeling Bezettingsgraad nieuwe machine P D D P + P + P P UD DU DD UU Bezettingsgraad oude machine P Produktiecapaciteit per dag P UU UU + P 09. UD + P 069. DU 50 P + 00 P + 50 P 5 UU UD DU
20 0 Algemenere wachtsystemen Poolen en prioriteiten Andere wachtsystemen Netwerken van wachtrijen: evenwichtsverdeling aantal taken Output M/M/ rij Tandem netwerk Feedforward netwerk
21 Netwerken van wachtrijen 3 4 5
22 Algemenere wachtsystemen Poolen en prioriteiten Andere wachtsystemen Netwerken van wachtrijen: evenwichtsverdeling aantal taken Output M/M/ rij Tandem netwerk Feedforward netwerk
23 3 Tandem systeem Klanten arriveren volgens Poisson proces met parameter Klanten wachten op hun beurt Bedieningsduur is exponentieel verdeelde variabele met parameter Een bediende Output proces voor tijdstip t is onafhankelijk van toestand van wachtsysteem op tijdstip t, en dit proces is een Poisson proces met parameter
24 4 Tandem systeem Output proces voor tijdstip t is onafhankelijk van toestand van wachtsysteem op tijdstip t, en dit proces is een Poisson proces met parameter Output proces van eerste wachtrij is input proces van tweede wachtrij. Toestand tweede wachtrij op tijdstip t wordt bepaald door aankomstproces voor tijdstip t Toestand tweede wachtrij op tijdstip t is onafhankelijk van toestand eerste wachtrij op tijdstip t
25 5 Tandem systeem Klanten arriveren volgens Poisson proces met parameter Klanten wachten op hun beurt Bedieningsduur is exponentieel verdeelde variabele met parameter bij wachtrij en bij wachtrij Een bediende bij iedere wachtrij Output proces voor tijdstip t is onafhankelijk van toestand van wachtsysteem op tijdstip t, en dit proces is een Poisson proces met parameter
26 Tandem systeem: stationaire verdeling Stationaire verdeling van eerste M/M/ rij P n n ) ( ρ ) ρ n 0,,,... ρ γ / ( μ Stationaire verdeling van de tweede M/M/ rij P n n) ( ρ ) ρ n 0,,,... ρ γ / ( μ En vanwege onafhankelijkheid P n n ( n, n) ( ρ) ρ ( ρ) ρ n, n 0,,,... ρ γ / μ i i
27 7 Algemenere wachtsystemen Poolen en prioriteiten Andere wachtsystemen Netwerken van wachtrijen: evenwichtsverdeling aantal taken Output M/M/ rij Tandem netwerk Feedforward netwerk
28 Netwerken van wachtrijen Maar dan kunnen we dit netwerk ook! Waarom?
29 Notatie Open feed forward netwerken N : aantal stations γ i : de externe aankomstintensiteit bij station i i : de totale (interne + externe) aankomstintensiteit bij station i /μ i : de gemiddelde bedieningsduur op station i r ij : de kans dat een klant na bediening op station i naar station j gaat Kans verlaten systeem vanuit i Stroomvergelijkingen N i i j ji j rij i,..., γ + r i,..., N N j N Stabiliteit i < i,..., μ i N
30 Netwerken van wachtrijen γ i : de externe aankomstint bij station i, stel γ, γ /μ i : de gemiddelde bedieningsduur op station i Stelμ i voor alle i r ij : kans dat klant na bediening op i naar j gaat r 3, r 3, r 34 /3, r 35 /3 i : de totale (interne + externe) aankomstint bij station i,, 3 3, 4, 5
31 Open feedforward netwerken N i i j ji j γ + r i,..., N Stelling (open exponentiële netwerken) stationaire verdeling mits ρ i i /μ i < : N N,..., k N ) Pi ( k i ) ( ρ i ) i i P ( k ρ met andere woorden: ieder station i kan worden opgevat als een onaf M M systeem met parameters i en μ i Stationaire verdeling is produkt marginalen: kennelijk zijn op een vast moment (in evenwicht) de aantallen klanten bij de stations onafhankelijk Niet:de processen bij de verschillende stations zijn onafhankelijk! k i i
32 Een orderverzamelsysteem () Situatieschets beschouw een gangenmagazijn waarin 4 orderverzamelaars afzonderlijk werken in aaneengesloten gangen de benodigde tijden per order per gang zijn exponentieel verdeeld met een gemiddelde van resp. 6, 5, 4 en 3 minuten Gevraagd μ μ μ 3 μ 4 de maximale verwerkingscapaciteit van het orderverzamelsysteem de gemiddelde wachttijd en doorlooptijd per order bij max verwerkingscapaciteit de gemiddelde tussenvoorraden bij elk van de gangen bij maximale verwerkingscapaciteit
33 Een orderverzamelsysteem () Uitkomsten ergeldt: μ 0, μ, μ 3 5 en μ 4 0 routering ligt vast: 3 4 eerste station is traagst: max verwerkingscapaciteit van het systeem bedraagt 0 orders per uur, dus 0 verkeersint bedragen resp. ρ 5/6, ρ 3 /3 en ρ 4 / μ μ μ 3 μ 4 gem voorraad bij elk van de gangen resp. 5, en orders gemiddelde wachttijden tussen de opeenvolgende gangen bedragen resp. 5, 8 en 3 minuten per order gemiddelde doorlooptijd bedraagt daarmee minuten per order kansverdeling aantal orders tussen de verschillende gangen luidt : k k 3 k 4 5 P ( k, k 3, k 4 )
34 Volgende keer Feedforward netwerken: klantenstromen zijn Poisson stromen op vast tijdstip zijn rijlengten onafhankelijk 34 Algemene open en gesloten netwerken geen Poisson stromen, geen onafhankelijkheid toch zelfde vorm evenwichtsverdeling 3 4 5
Stochastische Modellen in Operations Management (153088)
Stochastische Modellen in Operations Management (53088) S S Ack X ms X ms S0 40 ms R R R3 L L 0 ms 0 ms D0 Internet D D Richard Boucherie Stochastische Operations Research TW, Ravelijn H 9 http://wwwhome.math.utwente.nl/~boucherierj/onderwijs/53088/53088.html
Stochastische Modellen in Operations Management (153088)
S1 S2 X ms X ms Stochastische Modellen in Operations Management (153088) R1 S0 240 ms Ack Internet R2 L1 R3 L2 10 ms 1 10 ms D1 Richard Boucherie Stochastische Operations Research TW, Ravelijn H 219 http://wwwhome.math.utwente.nl/~boucherierj/onderwijs/153088/153088.html
Stochastische Modellen in Operations Management (153088)
S1 S2 X ms X ms Stochastische Modellen in Operations Management (153088) R1 S0 240 ms Ack Internet R2 L1 R3 L2 10 ms 1 10 ms D1 Richard Boucherie Stochastische Operations Research TW, Ravelijn H 219 http://wwwhome.math.utwente.nl/~boucherierj/onderwijs/153088/153088.html
S n = tijdstip van de n-de gebeurtenis, T n = S n S n 1 = tijd tussen n-de en (n 1)-de gebeurtenis.
VERNIEUWINGSPROCESSEN In hoofdstuk 3 hebben we gezien wat een Poisson proces is. Definitie van een Poisson proces: Een Poisson proces met intensiteit λ (notatie P P (λ)) is een stochastisch proces {N(t),
WACHTRIJMODELLEN. aankomstproces van klanten; wachtruimte (met eindige of oneindige capaciteit); bedieningsstation (met één of meerdere bediendes).
Verschillende soorten toepassingen WACHTRIJMODELLEN alledaagse toepassingen; toepassingen uit produktieomgeving; toepassingen in de communicatiesfeer. Typische onderdelen van een wachtrijmodel aankomstproces
Inleiding Modelmatige beschrijving Kansverdelingen Het overgangsdiagram De stellingen van Little M/M/1 M/M/1/N Afsluiti.
11 juni 2013 Maartje van de Vrugt, CHOIR Wat is het belang van wachtrijtheorie? Inleiding Modelmatige beschrijving Kansverdelingen Het overgangsdiagram De stellingen van Little M/M/1 Evenwichtskansen Wachtrij
WACHTRIJMODELLEN. aankomstproces van klanten; wachtruimte (met eindige of oneindige capaciteit); bedieningsstation (met één of meerdere bediendes).
Verschillende soorten toepassingen WACHTRIJMODELLEN alledaagse toepassingen; toepassingen uit produktieomgeving; toepassingen in de communicatiesfeer. Typische onderdelen van een wachtrijmodel aankomstproces
S n = tijdstip van de n-de gebeurtenis, T n = S n S n 1 = tijd tussen n-de en (n 1)-de gebeurtenis.
HET POISSON PROCES In veel praktische toepassingen kan het aaankomstproces van personen, orders,..., gemodelleerd worden door een zogenaamd Poisson proces. Definitie van een Poisson proces: Een Poisson
0 2λ µ 0
Example 6.7 Machine werkplaats met vier onafhankelijke machines 1, 2, 3 en 4. Bedrijfsduur machine i (i = 1, 2, 3, 4) is B i Exp(µ), reparatieduur wegens defect machine i is R i Exp(λ). Er zijn twee reparateurs
We zullen de volgende modellen bekijken: Het M/M/ model 1/14
De analyse en resultaten van de voorgaande twee modellen (het M/M/1/K model en het M/M/1 model) kunnen uitgebreid worden naar modellen met meerdere bediendes. We zullen de volgende modellen bekijken: Het
o Dit tentamen bestaat uit vier opgaven o Beantwoord de opgaven 1 en 2 enerzijds, en de opgaven 3 en 4 anderzijds op aparte vellen papier
Toets Stochastic Models (theorie) Maandag 22 rnei 2OL7 van 8.45-1-1-.45 uur Onderdeel van de modules: o Modelling and analysis of stochastic processes for MATH (20L400434) o Modelling and analysis of stochastic
Vragen die je wilt beantwoorden zijn:
Net als bij een discrete-tijd Markov keten is men bij de bestudering van een continue-tijd Markov keten zowel geïnteresseerd in het korte-termijn gedrag als in het lange-termijn gedrag. Vragen die je wilt
Stochastische Modellen in Operations Management (153088)
R1 L1 R2 1 S0 Stochastische Modellen in Operations Management (153088) 240 ms 10 ms Ack Internet Richard Boucherie Stochastische Operations Research TW, Ravelijn H 219 http://wwwhome.math.utwente.nl/~boucherierj/onderwijs/153088/153088.html
P (X n+1 = j X n = i, X n 1,..., X 0 ) = P (X n+1 = j X n = i).
MARKOV PROCESSEN Continue-tijd Markov ketens (CTMCs) In de voorafgaande colleges hebben we uitgebreid gekeken naar discrete-tijd Markov ketens (DTMCs). Definitie van discrete-tijd Markov keten: Een stochastisch
LIMIETGEDRAG VAN CONTINUE-TIJD MARKOV KETENS
LIMIETGEDRAG VAN CONTINUE-TIJD MARKOV KETENS Hoofdstelling over limietgedrag van continue-tijd Markov ketens. Stelling: Een irreducibele, continue-tijd Markov keten met toestandsruimte S = {1, 2,..., N}
Model: Er is één bediende en de capaciteit van de wachtrij is onbegrensd. 1/19. 1 ) = σ 2 + τ 2 = s 2.
Het M/G/1 model In veel toepassingen is de aanname van exponentiële bedieningstijden niet realistisch (denk bijv. aan produktietijden). Daarom zullen we nu naar het model kijken met willekeurig verdeelde
NETWERKEN VAN WACHTRIJEN
NETWERKEN VAN WACHTRIJEN Tot nog toe keken we naar wachtrijmodellen bestaande uit 1 station. Klanten komen aan bij het station,... staan (al dan niet) een tijdje in de wachtrij,... worden bediend door
S n = tijdstip van de n-de gebeurtenis, T n = S n S n 1 = tijd tussen n-de en (n 1)-de gebeurtenis.
VERNIEUWINGSPROCESSEN In hoofdstuk 6 hebben we gezien wat een Poisson proces is. Definitie van een Poisson proces: Een Poisson proces met intensiteit λ (notatie P P (λ)) is een stochastisch proces {N(t),
Hoofdstuk 20 Wachtrijentheorie
Hoofdstuk 20 Wachtrijentheorie Beschrijving Iedereen van ons heeft al tijd gespendeerd in een wachtrij: b.v. aanschuiven in de Alma restaurants. In dit hoofdstuk onwikkelen we mathematische modellen voor
Wachten of niet wachten: Dat is de vraag
Wachten of niet wachten: Dat is de vraag Sindo Núñez-Queija Centrum voor Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven Wachten of niet wachten: Dat is de vraag Wanneer heeft u voor het laatst
Reserveringssystemen
I. Verstraten Reserveringssystemen Bachelorscriptie, 26 juli 203 Scriptiebegeleider: Dr. F.M. Spieksma Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave Inleiding 3 2 Twee systemen 4 2. Zonder
Chapter 4: Continuous-time Markov Chains (Part I)
Stochastic Operations Research I (2014/2015) Selection of exercises from book and previous exams. Chapter 4: Continuous-time Markov Chains (Part I) 1.1 Book pp 179 185 These are useful exercises to learn
GESLOTEN NETWERKEN VAN WACHTRIJEN
GESLOTEN NETWERKEN VAN WACHTRIJEN In het vorige college hebben we gekeken naar een model waarbij klanten van buitenaf het netwerk inkomen, een (stochastisch) aantal keren van het ene station naar het andere
p j r j = LIMIETGEDRAG VAN CONTINUE-TIJD MARKOV KETENS Hoofdstelling over het limietgedrag van continue-tijd Markov ketens formuleren.
LIMIETGEDRAG VAN CONTINUE-TIJD MARKOV KETENS Hoofdstelling over het limietgedrag van continue-tijd Markov ketens formuleren. Stelling: Een irreducibele, continue-tijd Markov keten met toestandsruimte S
Definitie van continue-tijd Markov keten:
Definitie van continue-tijd Markov keten: Een stochastisch proces {X(t), t 0} met toestandsruimte S heet een continue-tijd Markov keten (CTMC) als voor alle i en j in S en voor alle tijden s, t 0 geldt
Waarom wachten voor verkeerslichten? Inhoud 2/16/2010. Introductie Wachtrijtheorie Simpel model: een opengebroken weg
Waarom wachten voor verkeerslichten? Marko Boon Nationale Wiskunde Dagen 2010 Inhoud Introductie Simpel model: een opengebroken weg Met vaste afstellingen Met dynamische afstellingen Ingewikkeldere kruispunten
Q is het deel van de overgangsmatrix dat correspondeert met overgangen
COHORTE MODELLEN Stel we hebben een groep personen, waarvan het gedrag van ieder persoon afzonderlijk beschreven wordt door een Markov keten met toestandsruimte S = {0, 1, 2,..., N} en overgangsmatrix
Definitie van continue-tijd Markov keten:
Definitie van continue-tijd Markov keten: Een stochastisch proces {X(t), t 0} met toestandsruimte S heet een continue-tijd Markov keten (CTMC) als voor alle i en j in S en voor alle tijden s, t 0 geldt
Deeltentamen Vraag 1 (0.25 punten) Vraag 2 (0.25 punten) Vraag 3 (0.25 punten) Vraag 4 (0.25 punten) *-vragen ( relatief simpel 2 punten)
Deeltentamen 2013 *-vragen ( relatief simpel 2 punten) Vraag 1 (0.25 punten) In wachtrijtheorie (blz. 226) wordt het symbool λ gebruikt voor: A. De gemiddelde tijd tussen twee aankomsten B. Het gemiddeld
Zo geldt voor o.o. continue s.v.-en en X en Y dat de kansdichtheid van X + Y gegeven wordt door
APP.1 Appendix A.1 Erlang verdeling verdeling met parameters n en λ Voor o.o. discrete s.v.-en X en Y geldt P (X + Y = z) =P (X = x 1 en Y = z x 1 )+P(X = x en Y = z x )+... = P (X = x 1 )P (Y = z x 1
Wachtrijtheorie op verkeersmodellen
Wachtrijtheorie op verkeersmodellen Jan Jelle de Wit 20 juli 202 Bachelorscriptie Begeleiding: prof.dr. R. Núñez Queija KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Stochastische Modellen in Operations Management (153088)
Stochastische Modellen in Operations Management (153088) S1 S2 X ms X ms R1 S0 240 ms Ack L1 R2 10 ms Internet R3 L2 D0 10 ms D1 D2 Richard Boucherie Stochastische Operations Research TW, Ravelijn H 219
Stochastische Modellen in Operations Management (153088)
S1 S2 X ms X ms Stochastische Modellen in Operations Management (153088) R1 S0 240 ms Ack Internet R2 L1 R3 L2 10 ms 1 10 ms D1 Richard Boucherie Stochastische Operations Research TW, Ravelijn H 219 http://wwwhome.math.utwente.nl/~boucherierj/onderwijs/153088/153088.html
Kansrekening en stochastische processen 2DE18
Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Docent : Jacques Resing E-mail: resing@win.tue.nl 1/23 Voor een verzameling stochastische variabelen X 1,..., X n, de verwachting van W n = X 1 + + X n is
Stochastische Modellen in Operations Management (153088)
R1 L1 R2 S0 Stochastische Modellen in Operations Management (153088) 240 ms 10 ms Ack Internet Richard Boucherie Stochastische Operations Research TW, Ravelijn H 219 http://wwwhome.math.utwente.nl/~boucherierj/onderwijs/153088/153088.html
b. de aantallen aankomsten in disjuncte tijdsintervallen zijn onafhankelijk van elkaar
APPENDIX: HET POISSON PROCES Een stochastisch proces dat onlosmakelijk verbonden is met de Poisson verdeling is het Poisson proces. Dit is een telproces dat het aantal optredens van een bepaalde gebeurtenis
Benaderingen voor wachttijden in k-gelimiteerde polling modellen
TU/e Technische Universiteit Eindhoven Bachelor technische wiskunde Bachelor project 28 januari 2016 Benaderingen voor wachttijden in k-gelimiteerde polling modellen Auteur: Iris Theeuwes 0828283, i.theeuwes@student.tue.nl
Practicum wachtrijtheorie
SPM0001 1e week Technische Bestuurskunde Woensdag 5 september 2012, 10:30 12:30 uur Plaats: TBM begane grond (zalen B, C, D1, D2, computerzaal A en studielandschap) Practicum wachtrijtheorie Het practicum
Wachtrijtheorie. Hester Vogels en Franziska van Dalen. 11 juni 2013
Wachtrijtheorie Hester Vogels en Franziska van Dalen 11 juni 2013 1 1 Inleiding Een mens wacht gemiddeld 15.000 uur in zijn leven. Dit is bijvoorbeeld in de rij bij de kassa van een winkel, aan de telefoon
Kansrekening en stochastische processen 2S610
Kansrekening en stochastische processen 2S610 Docent : Jacques Resing E-mail: j.a.c.resing@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2s610 1/28 Schatten van de verwachting We hebben een stochast X en
Voorbehouden voor de correctoren Vraag 1 Vraag 2 Vraag 3 Vraag 4 Vraag 5 Totaal. Toets Kansrekenen I. 28 maart 2014
Voorbehouden voor de correctoren Vraag 1 Vraag 2 Vraag 3 Vraag 4 Vraag 5 Totaal Toets Kansrekenen I 28 maart 2014 Naam : Richting : Lees volgende aanwijzingen alvorens aan het examen te beginnen Wie de
Stochastische Modellen in Operations Management (153088)
Stochastische Modellen in Oerations Management (15388) S1 S2 Ack X ms X ms S 24 ms R1 R2 R3 L1 L2 1 ms 1 ms D Internet D1 D2 Richard Boucherie Stochastische Oerations Research TW, Ravelijn H 219 htt://wwwhome.math.utwente.nl/~boucherierj/onderwijs/15388/15388.html
INLEIDING. Definitie Stochastisch Proces:
Definitie Stochastisch Proces: INLEIDING Verzameling van stochastische variabelen die het gedrag in de tijd beschrijven van een systeem dat onderhevig is aan toeval. Tijdparameter: discreet: {X n, n 0};
Personeelsplanning in een schoolkantine
Personeelsplanning in een schoolkantine BWI werkstuk Januari 212 Petra Vis Begeleider: prof. dr. R.D. van der Mei Vrije Universiteit Faculteit der Exacte Wetenschappen Bedrijfswiskunde en Informatica De
Het tentamen heeft 25 onderdelen. Met ieder onderdeel kan maximaal 2 punten verdiend worden.
Hertentamen Inleiding Kansrekening WI64. 9 augustus, 9:-: Het tentamen heeft 5 onderdelen. Met ieder onderdeel kan maximaal punten verdiend worden. Het tentamen is open boek. Boeken, nota s en een (eventueel
Kansrekening en statistiek wi2105in deel I 29 januari 2010, uur
Kansrekening en statistiek wi20in deel I 29 januari 200, 400 700 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt grafische rekenmachine toegestaan Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop inleveren
Mobiele communicatie: reken maar!
Mobiele communicatie: reken maar! Richard J. Boucherie Stochastische Operationele Research Toen : telefooncentrale Erlang verliesmodel Nu : GSM Straks : Video on demand Toen : CPU Processor sharing model
BESLISKUNDE A. Najaar 2016 Deel 2. L.C.M. KALLENBERG en F.M. SPIEKSMA
BESLISKUNDE A Najaar 016 Deel L.C.M. KALLENBERG en F.M. SPIEKSMA UNIVERSITEIT LEIDEN Inhoudsopgave 5 WACHTTIJDTHEORIE 1 5.1 Inleiding.......................................... 1 5. Wachttijdparadox.....................................
Uitwerkingen oefenopdrachten WEX6
Uitwerkingen oefenopdrachten WEX6 Marc Bremer August 9, 2009 Serie : Wachttijdtheorie Contact Dit document is samengesteld door onderwijsbureau Bijles en Training. Wij zijn DE expert op het gebied van
Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening
Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Inleveren: 12 januari 2011, VOOR het college Afspraken Serie 1 mag gemaakt en ingeleverd worden in tweetallen. Schrijf duidelijk je naam, e-mail
CPU scheduling : introductie
CPU scheduling : introductie CPU scheduling nodig bij multiprogrammering doel: een zo hoog mogelijke CPU-bezetting, bij tevreden gebruikers proces bestaat uit afwisselend CPU-bursts en I/O-bursts lengte
Vergelijken van modellen voor het aanbieden van tolken Een wiskundig model voor Capio
Vergelijken van modellen voor het aanbieden van tolken Een wiskundig model voor Capio Anke Gasseling, Wouter Lardinois en Eloy Stoppels 15 juni 2015 1 1 Abstract Capio is een bedrijf dat een applicatie
Vandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 3. Recap 2. Recap 1. Recap Centrale limietstelling T-verdeling Toetsen van hypotheses
Vandaag Onderzoeksmethoden: Statistiek 3 Peter de Waal (gebaseerd op slides Peter de Waal, Marjan van den Akker) Departement Informatica Beta-faculteit, Universiteit Utrecht Recap Centrale limietstelling
Hertentamen Biostatistiek 3 / Biomedische wiskunde
Hertentamen Biostatistiek 3 / Biomedische wiskunde 2 juni 2014; 18:30-20:30 NB. Geef een duidelijke toelichting bij de antwoorden. Na correctie liggen de tentamens ter inzage bij het onderwijsbureau. Het
BESLISKUNDE A. Najaar 2017 Deel 2. L.C.M. KALLENBERG en F.M. SPIEKSMA
BESLISKUNDE A Najaar 2017 Deel 2 L.C.M. KALLENBERG en F.M. SPIEKSMA UNIVERSITEIT LEIDEN Inhoudsopgave 5 WACHTTIJDTHEORIE 1 5.1 Inleiding.......................................... 1 5.2 Wachttijdparadox.....................................
Milieustraat Project Modelleren C
Den Dolech 2, 5612 AZ Eindhoven Postbus 513, 5600 MB Eindhoven www.tue.nl Auteur Wouter van der Heide & Thomas Beekenkamp ID (resp.): 0739052 & 0743557 Begeleider: J.A.C. Resing Opdrachtgever: M. Boon
Deze week: Verdelingsfuncties. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties. Bernoulli verdeling. Bernoulli verdeling.
Deze week: Verdelingsfuncties Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties Cursusjaar 29 Peter de Waal Toepassingen Kansmassafuncties / kansdichtheidsfuncties Eigenschappen Departement Informatica
Kansrekening en stochastische processen 2S610
Kansrekening en stochastische processen 2S610 Docent : Jacques Resing E-mail: j.a.c.resing@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2s610 1/39 Een stochastisch proces (stochastic proces) X (t) bestaat
Opslag strategieën in een multi-deep magazijn
Opslag strategieën in een multi-deep magazijn J. Manders Universiteit Twente. Technische Wiskunde 18 juli 2016 Samenvatting In dit onderzoek wordt het gebruik van een multi-deep automatisch magazijn inclusief
Triage op de spoedeisende hulp
Triage op de spoedeisende hulp BWI Werkstuk, augustus 2008 Matthijs Kooy Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Eacte Wetenschappen De Boelelaan 1081a 1081 HV Amsterdam Voorwoord Een van de laatste
Cursus Statistiek Hoofdstuk 4. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen. Definitie (Verwachting van discrete stochast) Voorbeeld (1)
Cursus Statistiek Hoofdstuk 4 Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Departement Informatica Inhoud Verwachtingen Variantie Momenten en Momentengenererende functie
Stochastische Modellen in Operations Management (153088)
Stochastische Modellen in Oerations Management (153088) S1 S2 Ack X ms X ms S0 240 ms R1 R2 R3 L1 L2 10 ms 10 ms D0 Internet D1 D2 Richard Boucherie Stochastische Oerations Research TW, Citadel 125 htt://wwwhome.math.utwente.nl/~boucherierj/onderwijs/153088/153088.html
Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni 2010, uur
Technische Universiteit Delft Mekelweg Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica 8 CD Delft Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni, 9.. uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische
Hoofdstuk 7 : Continue distributies als stochastische modellen. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent
Hoofdstuk 7 : Continue distributies als stochastische modellen Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Continue distributies als stochastische
Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, uur
Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, 14.00 17.00 uur Het tentamen bestaat uit 15 meerkeuzevragen 2 open vragen. Een formuleblad wordt uitgedeeld. Normering: 0.4 punt per MC antwoord
Attractielogistiek. Bachelorproject. Where innovation starts. Faculteit Wiskunde en Informatica
Faculteit Wiskunde en Informatica Den Dolech 2, 5612 AZ Eindhoven Postbus 513, 5600 MB Eindhoven Auteur Yves Houben Opdrachtgever prof.dr.ir. O.J. Boxma, dr.ir. M.A.A. Boon Datum 14 juni 2011 Attractielogistiek
Milieustraat Project Modelleren C
Den Dolech 2, 562 AZ Eindhoven Postbus 53, 5600 MB Eindhoven www.tue.nl Auteur Wouter van der Heide & Thomas Beekenkamp ID (resp.): 0739052 & 0743557 Begeleider: J.A.C. Resing Opdrachtgever: M. Boon Faculteit:
Tentamen Voortgezette Kansrekening (WB006C)
WB6C: Voortgezette Kansrekening Donderdag 26 januari 212 Tentamen Voortgezette Kansrekening (WB6C) Het is een open boek tentamen. Gebruik van een rekenmachine of andere hulpmiddelen is niet toegestaan.
Kostenbesparing bij voorraadbeheer
Kostenbesparing bij voorraadbeheer Douwe Hut Universiteit Twente d.a.hut@student.utwente.nl 3 augustus 207 Samenvatting In dit artikel worden twee samenwerkingsstrategieën voor gezamenlijke inkoop van
Data analyse Inleiding statistiek
Data analyse Inleiding statistiek Terugblik - Inductieve statistiek Afleiden van eigenschappen van een populatie op basis van een beperkt aantal metingen (steekproef) Kennis gemaakt met kans & kansverdelingen
Wachtrijmodellen voor optimalisatie in het dagelijks leven
Wachtrijmodellen voor optimalisatie in het dagelijks leven Richard J. Boucherie Stochastische Operationele Research Abstract Wachten doen we allemaal: bij de kassa van de supermarkt, in het verkeer, maar
Tentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, uur Docent: F. den Hollander
Universiteit Leiden Niels Bohrweg Tentamen Inleiding Kansrekening 25 juni 2009, 0.00 3.00 uur Docent: F. den Hollander Mathematisch Instituut 2333 CA Leiden Bij dit tentamen is het gebruik van een (grafische)
Doorlooptijd variantie reductie in productielijnen
Auteur Erik van Rhee (0589036) Begeleider dr. J.A.C. Resing Doorlooptijd variantie reductie in productielijnen Opdrachtgever dr. ir. M. van Vuuren (CQM) Datum 7 oktober 2009 Versie 2.0 Abstract Consider
f) (9 pnt) Wat is bij Wachtebeke de gemiddelde wachttijd voor een vrachtwagen voordat hij gelost wordt?
Contact Dit document is samengesteld door onderwijsbureau Bijles en Training. Wij zijn DE expert op het gebied van bijlessen en trainingen in de exacte vakken, van VMBO tot universiteit. Zowel voor individuele
De Wachttijd-paradox
De Wachttijd-paradox Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Mastercourse 15 november 25 Peter Spreij spreij@science.uva.nl 1 Het probleem In deze mastercourse behandelen
Modellen en Simulatie Lesliematrices Markovketens
Utrecht, 6 april 3 Modellen en Simulatie Lesliematrices Markovketens Program Meerdere leeftijdsklassen Leslie matrices Eigenwaarden en eigenvectoren Dominante eigenvector Irreducibele, a-periodieke matrices
UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE STUDIE VAN FILES VEROORZAAKT DOOR TRAGE VOERTUIGEN
UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Academiejaar 2010 2011 STUDIE VAN FILES VEROORZAAKT DOOR TRAGE VOERTUIGEN Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van Master of Science
Kansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur
Kansrekening en statistiek WI05IN deel I 4 november 0, 4.00 7.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Een formuleblad wordt uitgereikt. Meerkeuzevragen Toelichting:
OefenDeeltentamen 2 Kansrekening 2011/ Beschouw een continue stochast X met kansdichtheidsfunctie cx 4, 0 x 1 f X (x) = f(x) = 0, anders.
Universiteit Utrecht *=Universiteit-Utrecht Boedapestlaan 6 Mathematisch Instituut 3584 CD Utrecht OefenDeeltentamen Kansrekening 11/1 1. Beschouw een continue stochast X met kansdichtheidsfunctie c 4,
Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur.
Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS4, dinsdag 17 juni 28, van 9. 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen
Deze week: Schatten. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 6: Schatten. Voorbeeld Medicijnentest. Statistische inferentie
Deze week: Schatten Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 6: Schatten Cursusjaar 2009 Peter de Waal Departement Informatica Statistische inferentie A Priori en posteriori verdelingen Geconjugeerde a priori
module SC 12 Inleiding Risicotheorie donderdag 7 november uur
module SC 1 Inleiding Risicotheorie donderdag 7 november 013 13.30-16.30 uur Examen module SC 1 Inleiding Risicotheorie donderdag 7 november 013 Voordat u met de beantwoording van de vragen van dit examen
Uitwerking Tentamen Inleiding Kansrekening 11 juni 2015, uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander
Uitwerking Tentamen Inleiding Kansrekening juni 25,. 3. uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander () [6] Zij F een gebeurtenissenruimte. Laat zien dat voor elke B F de verzameling G {A B : A F} opnieuw een
Verbeterde afsprakenplanning voor patiënt en gipsverbandmeester
Verbeterde afsprakenplanning voor patiënt en gipsverbandmeester Maartje van de Vrugt, Petra Matel, Richard J. Boucherie, Peter van Engelen, Tiny Beukman en John de Laat. De gipsverbandmeesters van het
b) Uit Bayes volgt, gebruik makend van onderdeel a) P (T V )P (V ) P (T ) = (0.09)(0.07)
Uitwerkingen tentamen 6 juli 22. We stellen T de gebeurtenis test geeft positief resultaat, F de gebeurtenis, chauffeur heeft gefraudeerd, V de gebeurtenis, chauffeur heeft vergissing gemaakt C de gebeurtenis,
VU University Amsterdam 2018, Maart 27
Department of Mathematics Exam: Voortgezette biostatistiek VU University Amsterdam 2018, Maart 27 c Dept. of Mathematics, VU University Amsterdam NB. Geef een duidelijke toelichting bij de antwoorden.
Hertentamen Voortgezette biostatistiek / Biomedische wiskunde
Hertentamen Voortgezette biostatistiek / Biomedische wiskunde 1 juni 2016; 18:30-20:30 NB. Geef een duidelijke toelichting bij de antwoorden. Na correctie liggen de tentamens ter inzage bij het onderwijsbureau.
Zeldzame en extreme gebeurtenissen
24 March 215 Outline 1 Inleiding 2 Extreme gebeurtenissen 3 4 Staarten 5 Het maximum 6 Kwantielen 23 maart 215 Het Financieele Dagblad Vijf grootste rampen (verzekerd kapitaal) 1 Orkaan Katrina (25, MU$
Tentamen Inleiding Kansrekening 11 augustus 2011, uur
Mathematisch Instituut Niels Bohrweg Universiteit Leiden 2 CA Leiden Delft Tentamen Inleiding Kansrekening augustus 20, 09.00 2.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een evt. grafische) rekenmachine
Wachten in de supermarkt
Wachten in de supermarkt Rik Schepens 0772841 Rob Wu 0787817 22 juni 2012 Begeleider: Marko Boon Modelleren A Vakcode: 2WH01 Inhoudsopgave Samenvatting 1 1 Inleiding 1 2 Theorie 1 3 Model 3 4 Resultaten
6.1 Beschouw de populatie die beschreven wordt door onderstaande kansverdeling.
Opgaven hoofdstuk 6 I Basistechnieken 6.1 Beschouw de populatie die beschreven wordt door onderstaande kansverdeling. x 0 2 4 6 p(x) ¼ ¼ ¼ ¼ a. Schrijf alle mogelijke verschillende steekproeven van n =
Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter
Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter 25 februari, 2008 Hans Maassen 1. Inleiding Het Kalman filter schat de toestand van een systeem op basis van een reeks, door ruis verstoorde waarnemingen. Een meer
P (X n+1 = j X n = i, X n 1,..., X 0 ) = P (X n+1 = j X n = i). P (X n+1 = j X n = i) MARKOV KETENS. Definitie van Markov keten:
Definitie van Markov keten: MARKOV KETENS Een stochastisch proces {X n, n 0} met toestandsruimte S heet een discrete-tijd Markov keten (DTMC) als voor alle i en j in S geldt P (X n+1 = j X n = i, X n 1,...,
Optimale regeling van de bedieningscapaciteit van een wachtlijnsysteem
UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE ACADEMIEJAAR 2009 200 Optimale regeling van de bedieningscapaciteit van een wachtlijnsysteem Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad
Bedrijfskunde. Hoofdstuk 1. Vraag 1.1 Welke naam hoort bij het concept Elementaire bewegingen voor arbeidsanalyse
Hoofdstuk 1 Bedrijfskunde Vraag 1.1 Welke naam hoort bij het concept Elementaire bewegingen voor arbeidsanalyse - McGregor - Elton Mayo - Frank Lilian Gilbreth - Alfred Sloan - Henri Fayol Vraag 1.2 Je
P (X n+1 = j X n = i, X n 1,..., X 0 ) = P (X n+1 = j X n = i). P (X n+1 = j X n = i) MARKOV KETENS. Definitie van Markov keten:
Definitie van Markov keten: MARKOV KETENS Een stochastisch proces {X n, n 0} met toestandsruimte S heet een discrete-tijd Markov keten (DTMC) als voor alle i en j in S geldt P (X n+ = j X n = i, X n,...,
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Kansrekening en Stochastische Processen S60) op vrijdag 4 januari 0, 4.00 7.00 uur.. Gegeven zijn twee stochastische
Deel 2 van Wiskunde 2
Deel 2 van Wiskunde 2 Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Jacques Resing Thu 1+2 Aud 1+4 Jacques Resing Werkcollege Tue 7+8 Aud 6+15 Jacques Resing Instructie
samenvatting interactie ioniserende straling materie
samenvatting interactie ioniserende straling materie Sytze Brandenburg sb/radsaf2005/1 ioniserende straling geladen deeltjes α-deeltjes electronen en positronen electromagnetische straling Röntgenstaling
Eindhoven University of Technology BACHELOR. Wachtrijsystemen met toestandsafhankelijke bedieningssnelheid. Schutte, Mattijn.
Eindhoven University of Technology BACHELOR Wachtrijsystemen met toestandsafhankelijke bedieningssnelheid Schutte, Mattijn Award date: 2008 Link to publication Disclaimer This document contains a student