Zeldzame en extreme gebeurtenissen

Transcriptie

1 24 March 215 Outline 1 Inleiding 2 Extreme gebeurtenissen 3 4 Staarten 5 Het maximum 6 Kwantielen

2 23 maart 215 Het Financieele Dagblad Vijf grootste rampen (verzekerd kapitaal) 1 Orkaan Katrina (25, MU$ 8). 2 Aardbeving en tsunami Japan (211, MU$ 37665). 3 Orkaan Sandy (212, MU$ 3689). 4 Orkaan Andrew (1992, MU$ 27594) sep 21 (WTC, MU$ 25664).

3 Vijf grootste rampen (verzekerd kapitaal) 6 verlies (U$ 1e6) datum Vijf grootste rampen (verzekerd kapitaal) 6 slachtoffers verlies (U$ 1e6)

4 Vijf grootste rampen (mensenlevens) 1 Overstromingen Bangladesh (197) (3). 2 Aardbeving China (1976) (255). 3 Aardbeving Haiti (21) (22257). 4 Tsunami Indonesia, Thailand (24) (22). 5 Cycloon Nargis Myanmar (28) (138). (Gegevens uit Sigma (214-1), Swiss Re) Aandelen: S&P SP datum

5 Aandelen: S&P5.1 dag return SP datum Aandelen: S&P5.1 dag return SP datum

6 Wiskunde, statistiek en extremen Waarnemingen zijn uitkomsten van een (vaak impliciet) kansexperiment. Weinig empirische informatie (gelukkig maar!). Extrapoleer vanuit waarnemingen, gebaseerd op theorie. Vandaag: maximum en hoog kwantiel. Opzet: waarnemingen X 1,..., X n zijn waarnemingen met een bepaalde kansverdeling F (x). We willen graag uitspraken doen over M n = max(x 1,..., X n ) (denk aan dijkhoogte). Ook willen we graag iets kunnen zeggen over q p in Pr(X q p ) = F (q p ) = 1 p met p dicht bij. Beschouw het volgende kansexperiment: gooi n keer met een dobbelsteen en noteer het gemiddeld aantal ogen. X n = 1 n Xi, ook X n is een toevalsvariabele, met een kansverdeling. X i is uniform verdeeld op 1,..., 6. n = 1 x Pr( X 1 = x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 n = 2 x Pr( X 2 = x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 x Pr( X 2 = x) 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

7 n= kans gemiddelde n=2.15 kans gemiddelde

8 n=5.1.8 kans gemiddelde n=1.6 kans gemiddelde

9 Als n toeneemt, convergeert verdeling van X n naar een normale verdeling. Is dit toeval? Volgende experiment: exponentiële verdeling. Pr(X x) = 1 exp( x). (parameter λ = 1). Wachttijden. X n = 1 n Xi, maar nu is X continu, dus histogram in plaats van discrete kansverdeling. exponentiele verdeling, n=1 4 3 kans gemiddelde

10 exponentiele verdeling, n= kans gemiddelde exponentiele verdeling, n= kans gemiddelde

11 exponentiele verdeling, n= kans gemiddelde exponentiele verdeling 5 1 n=1 n=5 kans n=1 n= gemiddelde

12 Centrale limietstelling Als X 1,..., X n onderling onafhankelijk zijn, met eindige verwachting µ en eindige variantie σ 2, dan ( X n µ σ/ = X ) n a n asy N (, 1). n b n Met andere woorden: we hoeven niet zo veel te weten over de verdeling van X om toch iets te kunnen zeggen over de verdeling van X n. Let op: de centrering µ hangt niet van n af, de schaling σ/ n wel. Kunnen we iets vergelijkbaars afleiden voor de verdeling van het maximum M n = max(x 1,..., X n )? Wat is het maximum in het dobbelsteenvoorbeeld? Wat is het maximum in het wachttijdenvoorbeeld? Gemiddelde? Verrassing en grote impact. Extrapolatie normale verdeling fout, dikke staarten. Onbekende onbekenden. Maak systemen robuust tegen onverwachte, negatieve gebeurtenissen.

13 Dunne staarten en dikke staarten Verliesmodel: S(t) = X X N(t). Start met kapitaal u en vraag premie c, dan is kapitaal op tijdstip t Als nu dan U(t) = u + ct S(t). Ee hx <, < h < h Pr(U(t) < ) e ku. (k > ). Kapitaal is een erg machtig middel om ruïne kans te beperken: verdubbel kapitaal, kwadrateer kans op ruïne. Dunne staarten en dikke staarten Praktijk: Ee hx <, < h < h geldt vaak niet! Gaat de staart van de kansverdeling exponentieel naar of niet? Dikstaartige verdelingen (Pareto): Pr(X > x + y X > x) 1, x. (wet van behoud van ellende). Pr(S n x) Pr(M n x), x. (rampen bepalen totaalresultaat). ρ Pr(U(t) < ) (1 + u) α+1. Kwalitatief verschil: kans op ruïne gaat polynomiaal naar.

14 Kansverdeling maximum Algemeen raamwerk: X 1,..., X n onderling onafhankelijk en identiek verdeeld. Dus: Pr(M n x) = Pr(X 1 x,..., X n x) = Pr(X 1 x) Pr(X n x) = F n (x). lim Pr(M n x)= n { F (x) < 1 1 F (x) = 1. Dit werkt niet, maar de verdeling van X n is ook niet goed bepaald als de steekproef onbeperkt toeneemt. Laten we kijken naar ( ) M n c n Pr x d n dus we centreren en schalen. Kansverdeling maximum Voorbeeld: X 1,..., X n Exp(1): Pr(X x) = 1 exp( x). Kies c n = log n en d n = 1 (voorkennis). Dan: Pr(M n log n x) = Pr(M n x + log n) = F n (x + log n) = (1 e x log n) ) n n = (1 e x n Dus ) n lim Pr(M n log n x) = lim (1 e x = e e x, n n n want ( 1 t ) n = e t. n lim n

15 Kansverdeling maximum Voorbeeld: X 1,..., X n Pareto verdeeld, X 1: Pr(X x) = 1 x α. (α > ). Polynomiale staart, geen exponentiële staart. Kies c n = n 1/α en d n =. Dan: Pr(n 1/α M n x) = Pr(M n n 1/α x) = F n (n 1/α x) ( ( ) 1 α ) n = 1 n 1/α = (1 x α ) n x n e x α. Kansverdeling maximum Als er reeksen c n en d n bestaan zodat lim Pr(M n c n )/d n x) = G(x), n met G een nette verdeling, dan is G van de vorm { [ ( )] } x µ 1/ξ G(x) = exp 1 + ξ. σ Gegeneraliseerde extreme waarde verdeling. Vergelijkbare rol als normale verdeling voor gemiddelde. Dus we kunnen iets zeggen over extremen in een steekproef.

16 Laurens de Haan Kwantielen: hoe erg kan het worden Vaak willen we dingen weten als: Welk verlies wordt met kans 1% overschreden? Hoe hoog moeten de dijken zijn zodat ze eens in de 1 jaren worden overspoeld? Hoeveel verlies kunnen we verwachten als een hoog verlies wordt overschreden? Allemaal vragen die te maken hebben met de staart van de kansverdeling, met kwantielen: Pr(X q p ) = F (q p ) = 1 p, met p dicht bij.

17 Kwantielen: eenvoudige aanpak We gaan q p schatten. Verzamel gegevens X 1,..., X n. Orden gegevens en zoek juiste kwantiel zodat 1 n i I (,q p ](X i ) = 1 p. Probleem: n = 1 en 1 p =.999. Schat parameters van de kansverdeling, ˆθ. ˆq p = F 1 (1 p; ˆθ). Probleem: hoe goed wordt de staart gemodelleerd? Kwantielen: moeilijke aanpak Theorie: we kijken naar Pr(X > x + u X > u), dus exceedances over a high level, ook wel POT. 6 verlies (U$ 1e6)

18 Kwantielen: moeilijke aanpak Als er een nette verdeling voor de overschrijdingen bestaat, geldt ( ) ξ(x + u) 1/ξ Pr(X u + x X > u) σ(u) (u hoog genoeg). Gegeneraliseerde Pareto verdeling. grootheid verdeling X n normale verdeling M n gegeneraliseerde extreme waarde verdeling X u X > u gegeneraliseerde Pareto verdeling Gebruik dit theoretische model om een hoog kwantiel te schatten: [ (Pr(X q p = u+ σ ) > u) ξ 1]. ξ p (hoge) afkapgrens plus extrapolatie van staart. Kwantielen: voorbeeld I Bekende eigenschap van de exponentiële verdeling: geen geheugen. Inderdaad: Pr(X > x + u, X > u) Pr(X > x + u X > u) = Pr(X > u) = Pr(X > x + u) Pr(X > u) = e λx = Pr(X > x). = e λ(x+u) e λ(u) De verdeling van X gegeven X > u is dezelfde als de verdeling van X zelf. Deze verdeling is inderdaad limietgeval van GPD, met ξ. Hoog kwantiel: q p = u + σ log Pr(X > u). p

19 Kwantielen: toepassing S& P rendementen vanaf 198. Gebruik alleen 2 om schatting te maken van kwantiel. p =.1, dus we willen het 99.9e percentiel weten. 252 waarnemingen. Verliezen, dus negatieve rendementen..1 dag return SP Kwantielen: toepassing datum Empirische 99e percentiel:.38. Normale benadering: µ + Φ 1 (.999) σ = GPD, u = q.9 dus Pr(X > u) =.1, ˆξ =.34, ˆσ =.415. Dan [ (Pr(X q p = u + σ ) > u) ξ 1] ξ p tot en met 9 april 29: handelsdagen. Empirisch 99.9e percentiel:.585.