Waarom wachten voor verkeerslichten? Inhoud 2/16/2010. Introductie Wachtrijtheorie Simpel model: een opengebroken weg

Transcriptie

1 Waarom wachten voor verkeerslichten? Marko Boon Nationale Wiskunde Dagen 2010 Inhoud Introductie Simpel model: een opengebroken weg Met vaste afstellingen Met dynamische afstellingen Ingewikkeldere kruispunten Praktijksituatie 1

2 Waarover gaat het vandaag NIET? Ontwerp van een kruispunt Menselijk gedrag (bv. auto s die elkaar blokkeren, verkeer dat zich niet aan de regels houdt) Bussen die een cyclus mogen onderbreken Introductie Eerste verkeerslicht: 10 december 1868, Londen Eerste kruispunt met meerdere verkeerslichten: 1914, Cleveland Oranje licht toegevoegd in 1920 Verkeersafhankelijke verkeerslichten (±1940) 2

3 Introductie Welke prestatiemaat hanteren we? Gewogen gemiddelde wachttijd (hoe weeg je dan?) Kans dat een individuele wachttijd groter is dan (gemiddelde) Rijlengte Waarom wachten? Voorbeeld: 1 bediende, 1 wachtrij 3

4 Modelparameters: Gem. Bedieningstijd: EB ( ) 1 Aankomstintensiteit: Gem. Bedieningstijd: 1 Stabiliteitsconditie: Aankomstintensiteit: Bezettingsgraad van het systeem: 4

5 Prestatiematen: Gemiddelde wachttijd Gemiddeld aantal wachtende klanten W L Formule van Little: L W Simulatie voorbeeld Deterministische bedieningstijden 1 1 Deterministische tussenaankomsttijden als W 0 als > Exponentieel verdeelde tussenaankomsttijden 1 EW ( ) 21 5

6 Exponentieel verdeelde tussenaankomsttijden Algemeen verdeelde bedieningstijden: E W Deterministisch Exponentieel Exponentieel verdeelde tussenaankomsttijden: res E( W ) E( L) E( B) E( B ) res E( W ) E( B) E( B ) res E( W ) E( B ) res EB ( ) 1 Wat is een residuele bedieningstijd? 6

7 De busparadox Deterministische periodes Gem. residuele periode = 10 min De busparadox Stochastische periodes Residuele periode = ¼ x 5 + ¾ x 15 = 12,5 min res EB ( ) EB ( ) 2 7

8 Wat is de lengte van een aangesloten serie bedieningen (een busy period )? L EB ( ) E( BP) 1 Een opengebroken weg 8

9 Aantal auto's Aantal auto's 2/16/2010 Een opengebroken weg Model 1 Model 1: vaste cyclustijd rood groen rood groen c Stabiliteitsconditie: c g Een opengebroken weg Model 1 Benadering met vloeistofmodel rood O 2 r 2(1 ) groen 9

10 Een opengebroken weg Model 1 Benadering met vloeistofmodel O 2 r 2(1 ) Gemiddeld aantal auto s 2 r L 2(1 ) c Een opengebroken weg Model 1: vaste cyclustijd Conclusie: ééndimensionaal probleem Model 2: groen totdat rij leeg is tweedimensionaal probleem 10

11 Een opengebroken weg Model 2 Model 2: groen totdat rij leeg is Cyclus: rood 1 groen 1 rood 2 groen 2 Stabiliteitsconditie? 1 2 1, 2, Een opengebroken weg Model 2 Model 2: groen totdat rij leeg is Cyclus: rood 1 groen 1 rood 2 groen 2 Gemiddelde cyclusduur? r1 r2 EC ( ) 1 11

12 Een opengebroken weg Model 2 Stap 1: bepaal kansverdeling van cyclusduur Analyse via theorie van vertakkingsprocessen Cyclusduur hangt niet af van volgorde waarin auto s in een rij worden bediend Een opengebroken weg Model 2 Vertakkingsproces met immigratie Begin groen 1 x Begin rood 2 Immigratie Begin groen 2 12

13 Een opengebroken weg Model 2 Gemiddelde wachttijd: res E( W ) 1 E( C ), voor i 1,2 i i i Kruispunten met vaste afstellingen Wachttijd- en rijlengte-analyse ééndimensionaal probleem Hoe kies je de optimale cyclustijd, en bijbehorende groentijden? 1958: formule van Webster c g c c 3 c 2 c g g c g ( ) EW ( ) (1 ) 2 ( ) 25 gc / Optimaliseren op basis van deze formule 13

14 Kruispunten met dynamische afstellingen Bron: Highway Capacity Manual 2000 Extra probleem: geen vaste cyclustijd, dus lastig om gemiddelde wachttijd te schatten Idee: gebruik vloeistof benadering die, gegeven een gekozen rood-tijd, de verwachte groen-tijd berekent Kijk of toevallig alles klopt, zo niet, extra iteraties tot convergentie is bereikt Wacht tot rijen leeg zijn voordat licht rood wordt. Gebruik maximale groentijden als dit tot instabiel systeem leidt. Kruispunten met dynamische afstellingen Moeilijk: Meerdere stromen tegelijk groen Maximale groentijd Aankomsten vaak in groepen Afhankelijke bedieningstijden 14

15 Demo Demonstratie simulatieprogramma TrafficJam 15