College 2: Chaos. Wat we vandaag gaan doen:

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "College 2: Chaos. Wat we vandaag gaan doen:"

Laurens van der Wolf
8 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 College 2: Chaos Wat we vandaag gaan doen: 1) Wat is chaos niet: de enkele slinger 2) Een stapje verder: de dubbele slinger 3) Chaos in een wiskundig model: de logistische afbeelding 4) Chaos precies gemaakt: de Lyapunov exponent Sep slide 1

2 Wat is chaos? onvoorspelbaarheid kleine oorzaken met grote gevolgen gevoelige afhankelijkheid van begincondities Sep slide 2

3 De enkele slinger Newton: Sep slide 3

4 De enkele slinger linearize! Sep slide 4

5 De enkele slinger oplossing: met Sep slide 5

6 faseruimte Sep slide 6

7 hoe zien de banen eruit in faseruimte? Sep slide 7

8 Sep slide 8

9 Conclusies gedrag enkele slinger: - Lineariseren van de bewegingsvergelijking levert een simpele DV voor de evolutie van het systeem in de tijd - Om deze DV op te lossen moeten we de begincondities kennen - De begincondities leggen de gehele toekomst eenduidig vast: beweging langs een cirkel in de faseruimte. - Beweging is kwalitatief hetzelfde voor alle begincondities: niet gevoelig afhankelijk Sep slide 9

10 Dubbele slinger Sep slide10

11 Dubbele slinger in de faseruimte is dat nou chaos? Sep slide11

12 Twee dubbele slingers in de faseruimte Kleine verschillen in begin = grote verschillen op het eind Sep slide12

13 Een oud en moeilijk probleem! Prof. H.A. Lorentz (Nobel 1902) geeft college over de dubbele slinger Sep slide13

14 Conclusies dubbele slinger Chaos is niet de grillige beweging, maar de afhankelijkheid van begincondities. Banen in faseruimte lopen uit elkaar Onvoorspelbaar: kleine verschillen hebben enorme gevolgen! Wat moeten we daar nu mee? De slinger, hoewel simpel, is al te lastig om dingen precies uit te rekenen. Men vermoedde al wel dat er wat aan de hand was (Poincare, Lorentz), maar het heeft tot de jaren 70 geduurd tot er echte vooruitgang geboekt werd. Sep slide14

15 De logistische afbeelding Een 1D afbeelding is een getallenreeks die volgens een vast voorschrift geconstrueerd wordt: Voorbeeld: de reeks wordt gecontrueerd met het voorschrift Sep slide15

16 Afbeeldingen als banen De reeks wordt eenduidig vastgelegd door de keuze van het beginpunt. We noemen zo n afbeelding deterministisch. De index kunnen we opvatten als een (discrete) tijdscoordinaat: hij meet het aantal iteraties vanaf. = de baan of orbit van Sep slide16

17 Afbeeldingen: onvoorspelbaarheid in z n simpelste vorm Door de connectie met tijdsevolutie van systemen (nu dus in discrete tijdstappen) zijn 1D afbeeldingen uitermate geschikt om complexe verschijnselen als onvoorspelbaarheid in hun meest handelbare vorm te bestuderen. Wij gaan dat nu doen aan de hand van het bekendste voorbeeld, de logistieke afbeelding die in 1976 door Robert May als model voor populatiegroei geintroduceerd en geanalyseerd werd Sep slide17

18 De Logistische afbeelding De logistische afbeelding beeldt het interval [0,1] af op zichzelf: hij is tweedegraads (hoogste macht is een kwadraat), dus de grafiek die erbij hoort is een parabool Sep slide18

19 De Logistische afbeelding 1. Kies x0 op de x-as 2. verticaal naar de parabool 3. horizontaal naar y=x 4. go to 2 Sep slide19

20 Grafische iteratie zelf doen Sep slide20

21 De Logistische afbeelding Sep slide 21

22 De Logistische afbeelding enz. Sep slide 22

23 Orde en Wanorde in de Logist We maken een reeks volgens de logist, en plotten de orbit x0=0.9 Sep slide 23

24 Orde en Wanorde in de Logist voor A=2.5 convergeren alle banen naar x=0.6 x0=0.1 Sep slide 24

25 Fixed points Een fixed point van een afbeelding is een punt waar alle reeksen naar convergeren, onafhankelijk van x0. Het is dus een oplossing van Laten we die oplossing noemen: we lossen dus op Controle: voor A=2.5 is x dus 0 of 0.6, zoals we eerder al zagen. Merk op dat het fixed point tevens het snijpunt met de lijn y=x is! Sep slide 25

26 Orde en Wanorde in de Logist A=3.75 x0=0.9 Sep slide 26

27 Orde en Wanorde in de Logist Beter om te kijken naar de laaste 200 punten van een lange reeks A=3.75, x0=0.9. Geen convergentie! (en die komt er nooit). Sep slide 27

28 Stabiliteit van het fixed point stabiel: spiraal in instabiel: spiraal uit conditie voor stabiliteit: abs(afgeleide in snijpunt )< 1 Sep slide 28

29 Voor de Logist betekent dat dus dat het FP stabiel is voor wat gebeurt er voor A>3? Sep slide 29

30 Hoe gaat de orde over in wanorde? Voor A>3 (hier A=3.2):Bifurcatie naar een oscillerende toestand 2-cykel: Sep slide 30

31 Peroid doubling cascade A=3.5 4-cykel Daarna 8-cykel, 16,32, enz tot aan A~3.57 Sep slide 31

32 Het eind van de periodeverdubbelingen A=3.7: chaos na het einde van de PD cascade. Sep slide 32

33 Bifurcatiediagram Sep slide 33

34 Gevoelige afhankelijkheid precies gemaakt. divergentie van twee nabijgelegen banen Sep slide 34

35 de Lyapunov exponent >0: exponentieel divergent <0: convergent Sep slide 35

36 Orde en Wanorde in de Logist Positieve LE: chaos & onvoorspelbaarheid Sep slide 36

37 De Logist voor A=4: maximale chaos Na een transformatie zie dictaat: oplossing (mod 1) : λ = Ln(2) = Sep slide 37

38 De Logist voor A=4: maximale chaos Binair getal tussen 0 en 1: met bijvoorbeeld: Sep slide 38

39 De Logist voor A=4: maximale chaos Schuifregister! Onbelangrijk wordt belangrijk, LSB->MSB! Sep slide 39

Vergelijkbare documenten

Hoofdstuk 5 - Recursie

Hoofdstuk 5 - Recursie Een banktegoed waarover je jaarlijks rente krijgt uitgekeerd is een voorbeeld van recursie. Je kunt steeds het nieuwe banktegoed berekenen op basis van het banktegoed van vorig jaar.