Grafentheorie. Verslag. A. G. (Okker) Hermansyah

Transcriptie

1 Grafentheorie Verslag A. G. (Okker) Hermansyah

2 Verkeerslichtenprobleem Praktische opdracht A.G. (Okker) Hermansyah Delft 28 oktober 2012 De Haagse Hogeschool

3 Voorwoord Dit verslag is een praktische opdracht, die bij het vak grafentheorie hoort. Grafentheorie wordt in het eerste kwartaal van het propedeusejaar bij de opleiding Bedrijfswiskunde op De Haagse Hogeschool in Delft gegeven. Deze praktische opdracht omvat het toepassen van de leerstof in een werkelijke situatie, zoals bij verkeerskruispunten.

4 Inhoudsopgave SAMENVATTING... 4 INLEIDING... 5 ONDERZOCHTE VERKEERSKRUISPUNT... 6 PLATTEGROND... 6 BESCHRIJVING... 7 COMPATIBILITEITSGRAAF... 8 KLOKDIAGRAM... 9 BEREKENINGEN METINGEN BEREKENINGEN VAN VERSCHILLENDE SETS VAN DEELGRAFEN CONCLUSIE LITERATUURLIJST... 18

5 4 Samenvatting Voor dit verslag heb ik van een praktijksituatie een praktijkprobleem met behulp van een wiskundig model opgelost. Het gaat over een verkeersstoplichtenprobleem bij een kruispunt. Ik heb een kruispunt in Delft gekozen, tussen Schieweg en Kruithuisweg. Eerst heb ik een plattegrond van de kruising getekend. Daarna heb ik de bijbehorende compatibiliteitsgraaf en het klokdiagram getekend. Ik heb geprobeerd de minst mogelijke totale wachttijd te berekenen en uiteindelijk kom ik uit bij 408 seconden. Dit is aanzienlijk een goede verbetering in vergelijking met 600 seconden wachttijd, wanneer de verkeerslichten om de beurt rood of groen zijn. Een mogelijke oplossing is, als sommige verkeersstromen samen op groen of samen op rood kunnen staan. Bij mijn oplossing kunnen er zelfs vijf verkeerslichten tegelijkertijd op rood of groen staan. Daarnaast heb ik ook nog in het echt gemeten of mijn wiskundig model zou kunnen kloppen. Het blijkt dat mijn model niet helemaal overeenkomt met de praktijk. Maar door dit verslag te hebben geschreven, snap ik beter hoe je bij een verkeerskruispunt de stoplichten kunt regelen.

6 5 Inleiding Deze praktische opdracht gaat over een verkeerssituatie. Bij deze situatie hoort een praktijkprobleem, namelijk het optimaal regelen van de stoplichten. Van dit praktijkprobleem heb ik een wiskundig model gemaakt. Hiermee kan ik het probleem dan op een eenvoudigere manier oplossen. Ik heb een knooppunt gekozen in Delft, tussen Schieweg en Kruithuisweg. Op dit knooppunt zijn er twee kruispunten. Ik heb het noordelijke kruispunt genomen. Volgens deze opdracht moet het aantal verkeersstromen er minimaal tien zijn. Ik heb iets meer dan tien, namelijk elf. Ook moet er een plattegrond, een compatibiliteitsgraaf en een klokdiagram getekend worden. Daarnaast heb ik ook in het echt gemeten om te kijken of mijn oplossing wel in de buurt van de werkelijke situatie ligt. Daarna heb ik dit verslag geschreven, waarin alle tekeningen en onderzoeksresultaten opgenomen zijn.

7 6 Onderzochte verkeerskruispunt Plattegrond Hieronder is de plattegrond van het verkeerskruispunt, dat ik onderzocht heb: Fig.1: Plattegrond verkeerskruispunt Op deze kruising zijn er elf verkeersstromen. Hiervan zijn er vier fietsstromen en zeven autostromen. Ik heb bij iedere verkeersstroom een letter gegeven. Ik heb een fietsstrook met een doorgetrokken lijn getekend en een autostrook met een stippellijn.

8 7 Beschrijving Hieronder is een beschrijving van de verkeersstromen: Zowel stroom A als stroom F heeft allebei een brede rijruimte aan de overkant. In werkelijkheid worden die twee stromen elk aan de overkant pas na een paar meter verderop versmald tot een baan. Stroom B gaat rechtsaf. Stroom C en stroom J zijn beide fietspaden. Stroom D is een fietspad en hij gaat naar de andere kant oversteken. Stroom E gaat linksaf. Stroom G is een fietspad en hij gaat naar de andere kant oversteken. Stroom H kan zowel rechtdoor als linksaf. Stroom I gaat rechtsaf. Stroom K is in werkelijkheid anders getekend, namelijk met het volgende verkeersteken: Fig.2: Werkelijke verkeersteken op verkeersstroom K In de werkelijke situatie moet stroom K eerst oversteken, daarna onder de brug door en dan pas kan hij naar links gaan. Maar voor dit model kunnen we dit verkeersteken als rechtdoor beschouwen.

9 8 Compatibiliteitsgraaf Hieronder heb ik de compatibiliteitsgraaf gezet: A B C K D J E I F H G Fig.3: Compatibiliteitsgraaf van fig.1 Hieruit is af te lezen hoe compatibel een punt is. Dit wordt ook de valentie per punt genoemd: het aantal lijnen dat aan een punt vast zit. Punt A heeft valentie 6. Punt B heeft valentie 5. Punt C (fietspad) heeft valentie 5. Punt D (fietspad) heeft valentie 7. Punt E heeft valentie 5. Punt F heeft valentie 6. Punt G (fietspad) heeft valentie 8. Punt H heeft valentie 3. Punt I heeft valentie 6. Punt J (fietspad) heeft valentie 5. Punt K heeft valentie 6.

10 9 Klokdiagram Hieronder is het klokdiagram getekend: A B H I K G F J E D C Fig.4: Klokdiagram van fig.1 Van de compatibiliteitsgraaf heb ik de volgende deelgrafen genomen: ABIK, ABFGK, ADFGK, CHJ, CEGJ

11 10 Van deze vijf deelgrafen heb ik een oplossing in een klokdiagram gemaakt. Ik heb hiermee dus een grafenprobleem opgelost. Om correcter te zijn, heb ik het verkeersprobleem met behulp van de grafentheorie geanalyseerd, waarmee ik naar een oplossing zocht en deze oplossing in een klokdiagram presenteer. Ik heb een paar keer de wachttijden berekend uit verschillende deelgrafen. Uiteindelijk kom ik met deze vijf deelgrafen tot de minste totale wachttijd. Hierover wordt er later meer over besproken en geïllustreerd.

12 11 Berekeningen Van de vijf deelgrafen van fig.3 die ik genomen heb (ABIK, ABFGK, ADFGK, CHJ, CEGJ), zet ik de berekeningen hieronder in een tabel: Punt: Aantal keren voorkomen in de deelgrafen: Stroomtijd (in seconden): Wachttijd (in seconden): Stroomtijd + wachttijd (in seconden) A 3 (3/5) * 60 = = B 2 (2/5) * 60 = = C 2 (2/5) * 60 = = D 1 (1/5) * 60 = = E 1 (1/5) * 60 = = F 2 (2/5) * 60 = = G 3 (3/5) * 60 = = H 1 (1/5) * 60 = = I 1 (1/5) * 60 = = J 2 (2/5) * 60 = = K 3 (3/5) * 60 = = Totaal Tabel 1: Berekeningen van deelgrafen Set 1 Dit is veel beter dan wanneer we de stoplichten ieder om zijn beurt op rood of groen zetten. Als dit zou gebeuren, zal iedere verkeersstroom een stroomtijd hebben van: 60/11 = 5,45 seconden. De wachttijd per stroom is dan 60 5,45 = 54,55 seconden. Dan zou de totale wachttijd 54,55 * 11 = 600 seconden bedragen. Bij mijn model bedraagt de totale wachttijd 408 seconden. Dus een verbetering van 192 seconden ten opzichte van 600 seconden.

13 12 Metingen Hieronder zijn de metingen dat ik verricht heb bij de werkelijke situatie: Punt A en K: Meting 1 Meting 2 Meting 3 Groen Rood Punt B: Meting 1 Meting 2 Groen Rood Punt C: Meting 1 Meting 2 Meting 3 Groen Rood Punt D: Meting 1 Meting 2 Groen 9 8 Rood Punt E: Meting 1 Meting 2 Meting 3 Groen Rood Punt F: Meting 1 Meting 2 Groen 9 14 Rood Punt G: Meting 1 Meting 2 Groen 9 25 Rood Punt H: Meting 1 Meting 2

14 13 Groen Rood Punt I: Meting 1 Meting 2 Meting 3 Meting 4 Groen Rood Punt J: Meting 1 Meting 2 Meting 3 Groen Rood

15 14 Berekeningen van verschillende sets van deelgrafen Hieronder geef ik de verschillende sets van deelgrafen met de bijbehorende berekeningen weer. Eerst heb ik geprobeerd met 4 deelgrafen. Ik heb de set gekozen zodanig dat de punten zo min mogelijk voorkomen in de deelgrafen. De 4 deelgrafen uit de compatibiliteitsgraaf (fig.3) zijn: ABIK, ADFGK, CEGJ, CHJ En de berekeningen zijn: Punt Aantal keren voorkomen in de deelgrafen Stroomtijd Wachttijd Stroomtijd + wachttijd A 2 (2/4) * 60 = = B 1 (1/4) * 60 = = C 2 (2/4) * 60 = = D 1 (1/4) * 60 = = E 1 (1/4) * 60 = = F 1 (1/4) * 60 = = G 2 (2/4) * 60 = = H 1 (1/4) * 60 = = I 1 (1/4) * 60 = = J 2 (2/4) * 60 = = K 2 (2/4) * 60 = = Totaal Tabel 2: Berekeningen van deelgrafen Set 2 De totale wachttijd en de totale stroomtijd bedragen hierboven 420 seconden respectievelijk 240 seconden.

16 15 Daarna heb ik met 6 deelgrafen geprobeerd: ABIK, ADIK, ABFGK, ADFGK, CEGJ, CHJ En de berekeningen zijn: Punt Aantal keren voorkomen in de deelgrafen Stroomtijd Wachttijd Stroomtijd + wachttijd A 4 (4/6) * 60 = = B 2 (2/6) * 60 = = C 2 (2/6) * 60 = = D 2 (2/6) * 60 = = E 1 (1/6) * 60 = = F 2 (2/6) * 60 = = G 3 (3/6) * 60 = = H 1 (1/6) * 60 = = I 2 (2/6) * 60 = = J 2 (2/6) * 60 = = K 4 (4/6) * 60 = = Totaal Tabel 3: Berekeningen van deelgrafen Set 3 Met 6 deelgrafen kom ik blijkbaar op minder totale wachttijd dan met 4 deelgrafen, namelijk 410 seconden. De totale stroomtijd is echter wel wat groter geworden, namelijk 250 seconden.

17 16 Ik probeer nog 3 andere sets met ieder 5 deelgrafen te berekenen, waarbij een daarvan willekeurig hieronder opgenomen is omdat alle 3 dezelfde totale wachttijd opleveren. ABIK, ADIK, ABFGK, CEGJ, CHJ En de berekeningen zijn: Punt Aantal keren voorkomen in de deelgrafen Stroomtijd Wachttijd Stroomtijd + wachttijd A 3 (3/5) * 60 = = B 2 (2/5) * 60 = = C 2 (2/5) * 60 = = D 1 (1/5) * 60 = = E 1 (1/5) * 60 = = F 1 (1/5) * 60 = = G 2 (2/5) * 60 = = H 1 (1/5) * 60 = = I 2 (2/5) * 60 = = J 2 (2/5) * 60 = = K 3 (3/5) * 60 = = Totaal Tabel 4: Berekeningen van deelgrafen Set 4 Wat blijkt is dat de totale wachttijd bij deze combinatie van 5 deelgrafen juist weer groter wordt, namelijk 420 seconden. Dat zou misschien te maken kunnen hebben met dat er maar een deelgraaf is, die 5 punten bevat. Bij mijn eerste oplossing (tabel 1) zijn er 2 deelgrafen met ieder 5 punten.

18 17 Conclusie Mijn conclusie is dat, als we de deelgrafen set 1 (ABIK, ABFGK, ADFGK, CHJ en CEGJ) nemen, we tot de minst totale wachttijd komen. In werkelijkheid blijkt dat sommige stoplichten wel langer dan een minuut op rood hebben gestaan. Hiermee kan ik concluderen dat de deelgrafen set 1 een veel betere oplossing zou kunnen zijn. Dit is dan ook volgens mij wel een reële oplossing, omdat de verkeersstromen in het klokdiagram (fig.4) goed verdeeld zijn. Mijn oplossing wijkt af van de werkelijkheid doordat waarschijnlijk veiligheid in de werkelijke situatie zeer belangrijk wordt genomen door de Ministerie van Verkeer en Waterstaat, waarbij iedereen langer op wachten wordt gezet bij zulk gevaarlijke kruispunt.

19 18 Literatuurlijst