Stochastische Modellen in Operations Management (153088)

Transcriptie

1 Stochastische Modellen in Operations Management (53088) S S Ack X ms X ms S0 40 ms R R R3 L L 0 ms 0 ms D0 Internet D D Richard Boucherie Stochastische Operations Research TW, Ravelijn H 9

2 Algemenere wachtsystemen M G : Pollaczek-Khintchine formule M G : Residuele bedieningsduur Poolen? M G : busy period M G en M G s 0 Prioriteiten

3 Definities Het M G model Poisson aankomstproces enkele bediende alleen de verwachting en de variantie van de bedieningsduur zijn gegeven μ σ 0 0 tdb ( t) < ( t μ ) db ( t) <

4 Eigenschappen Het M G model: PK formule de gemiddelde wachttijd wordt gegeven door de Pollaczek-Khintchine formule : EW { } ρ μ( ρ) { ( μσ) } + hierin bedraagt μσ de variatie-coefficient van de bedieningsduurverdeling gemiddelde wachttijd deterministische bedieningsduur is helft gem wachttijd exponentieel verdeelde bediendingsduur

5 Afleiding PK formule E{L w } gemiddeld aantal wachtenden G kans tenminste een klant in systeem E{R} gemiddelde residuele bedieningsduur E{B} gemiddelde bedieningsduur PASTA: EW G.E{R}+ E{L w }.E{B} G.E{R}+ λ.e{w}.e{b} (Little)

6 Afleiding PK formule EW G.E{R}+ E{L w }.E{B} G.E{R}+ λ.e{w}.e{b} (Little) G.E{R}+ G.E{W} G kans ten minste een klant (-P 0 ) fractie tijd server bezet hoeveelheid werk die server per tijdseenheid moet verzetten aantal aank per tijdseenh x gem hoeveel gevraagde bed. λ E{B} Verder G is kans, zodat E{W}(00%)E{W}GE{W}+(-G)E{W} E G. E { R } { W } E { R G } ρ ρ

7 7 Algemenere wachtsystemen M G : Pollaczek-Khintchine formule M G : Residuele bedieningsduur Poolen? M G : busy period M G en M G s 0 Prioriteiten

8 Residuele bedieningsduur Continue bediening: -- klant in bediening betaalt E per tijdseenheid voor iedere resterende eenheid van zijn bediening -- systeem ontvangt dus E{R} per tijdseenheid -- en klant moet betalen E{R}E{B} -- alternatief: klant betaalt bij aanvang bediening gehele bedrag volgens zelfde regel, klant moet dus gemiddeld betalen E{B }/ Zodat E { R } E { B E { B } } Invullen in voorgaande formule geeft uiteindelijke vorm PK formule

9 9 Algemenere wachtsystemen M G : Pollaczek-Khintchine formule M G : Residuele bedieningsduur Poolen? M G : busy period M G en M G s 0 Prioriteiten

10 Poolen? Situatieschets E { W ρ ρ ) + beschouw een kopieermachine waarop zowel studenten als medewerkers mogen kopieren de aankomstprocessen van studenten en medewerkers zijn Poisson met gemiddelden van resp. 4 per uur de bedieningsduren van studenten en medewerkers zijn exponentieel verdeeld met gemiddeldes van 0 resp. 5 minuten Optie : delen van een machine met snelheid Optie : aparte machines snelheid Welke optie is beter voor gemiddelde wachttijd? Welke optie is beter voor gemiddelde verblijftijd? } ( ( μσ ) μ

11 Optie : delen machine snelheid λ λ s 3, 0 0 μ σ, Poolen? ρ E{ W } ( ρ ) W 00 m W s W 3 0 Optie : aparte machines snelheid 5 9 μ 30 0, λ s m 5, μ m, ( μσ ) μ CV ongeveer, dus winst snelle machine groter dan verlies door variantie W s { } 5 Wm { } W /0 / 5 0 3

12 Stel nu meer uiteenliggende jobgrootte, dus hogere variantie Optie : delen machine snelheid λ λ s 30, s 8 m 5 m μ, λ, μ 3, 0 0 μ σ, W 00 9 m W s W 3 0 Optie : aparte machines snelheid W s Poolen? ρ E{ W } ( ρ ) Wm W 4 + ( μσ ) μ.0 CV ongeveer 3, en winst snelle machine teniet gedaan door grotere variantie

13 3 Algemenere wachtsystemen M G : Pollaczek-Khintchine formule M G : Residuele bedieningsduur Poolen? M G : busy period M G en M G s 0 Prioriteiten

14 Het M G model : busy period een bezetperiode is gedefinieerd als een aangesloten interval waarin de server actief is een bezetcyclus is de tijd tussen twee opeenvolgende momenten waarop een bezetperiode begint E{P} : gemiddelde lengte bezetperiode E{C} : gemiddelde lengte bezetcyclus Eigenschappen E E { P } { C } P 0 ρ Gevolg E { C } E { P } + E { P } μ ( ρ ) λ μ λ Alleen afhankelijk gemiddelden

15 5 Algemenere wachtsystemen M G : Pollaczek-Khintchine formule M G : Residuele bedieningsduur Poolen? M G : busy period M G en M G s 0 Prioriteiten

16 Het M G model Overige wachtsystemen stationaire verdeling is een Poisson verdeling met gemiddelde ρ n ρ ρ Pn e n n! Het M G s 0 model stationaire verdeling P P n 0 n 0,,,... ρ P0 n 0,,..., s n! n s 0 blokkeringskans (Erlang verliesformule) s s n ρ Ps ρ Ongevoelig s! n! n 0 ρ n n!

17 7 Algemenere wachtsystemen M G : Pollaczek-Khintchine formule M G : Residuele bedieningsduur Poolen? M G : busy period M G en M G s 0 Prioriteiten

18 Wachtsystemen met prioriteiten Voorbeeld (M M ) n typen klachten type i heeft voorrang boven type j als i < j tussenaankomsttijden en bedieningsduren zijn exp. verdeeld met parameters λ i en μ i de bediening van een klant kan niet worden onderbroken

19 Resultaten Wachtsystemen met prioriteiten def. ρ k als de verkeersintensiteit die wordt geleverd door de eerste k typen klanten: k λ i ρ k μ i de gemiddelde wachttijd W k per klant van type k bedraagt dan (zie Winston) : λ μ λn μn W k ( ρk ) ( ρk ) in het gevaln reduceert dit weer tot : i EW { } λ μ ρ ρ μ ( ρ)

20 Situatieschets Een kopieermachine beschouw een kopieermachine waarop zowel studenten als medewerkers mogen kopieren de aankomstprocessen van studenten en medewerkers zijn Poisson met gemiddelden van resp. 4 per uur de bedieningsduren van studenten en medewerkers zijn exponentieel verdeeld met gemiddelden van 0 resp. 5 minuten Optie : niemand voorrang Optie : studenten voorrang Optie 3 : medewerkers voorrang

21 Een kopieermachine Optie : niemand voorrang 0 Optie : studenten voorrang λ, μ, σ W Optie 3 : medewerkers voorrang λ, μ, λ, μ W 75., W 5., W 5. LET OP: Voor opties en 3 zijn wachttijden typen gelijk, immers ρ s ρ w maar fractie studenten niet gelijk aan fractie medewerkers, zodat gem wachttijd verschillend λ, μ, λ, μ s W W m W 75., W 5., W

22 Algemenere wachtsystemen M G : Pollaczek-Khintchine formule M G : Residuele bedieningsduur Poolen? M G : busy period M G en M G s 0 Prioriteiten Andere systemen?

23 Andere systemen? Wachttijd M G Rijlengte bij aankomst GI M Wachttijd E m E n Wachttijd GI G (benaderingen) Batch bediening

24 Situatieschets Een batch systeem beschouw een systeem met Poisson aankomsten, waarbij bediening in batches van twee klanten tegelijkertijd plaatsvindt Transitiediagram λ 0 Geef evenwichtsverdeling μ μ μ 3 λ λ λ μ (etcetera)

25 Volgende keer: netwerken van wachtrijen 3 4 5