Fundamentele begrippen in de financiële wiskunde
|
|
- Leopold Thijmen Abbink
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Fundamentele begrippen in de financiële wiskunde Peter Spreij Leve de Wiskunde!, 8 april 2011
2 Inhoud Doel 1 Doel 2 3 Arbitrage Replicatie, hedging Peter Spreij Financiële Wiskunde 1/ 60
3 Inhoud Doel 1 Doel 2 3 Arbitrage Replicatie, hedging Peter Spreij Financiële Wiskunde 2/ 60
4 FTAPs Doel Stelling (FTAP1) Een markt is arbitragevrij als en alleen als er een equivalente martingaalmaat bestaat. Stelling (FTAP2) Een arbitragevrije markt is volledig als en alleen als er een unieke martingaalmaat bestaat. Peter Spreij Financiële Wiskunde 3/ 60
5 Inhoud Doel 1 Doel 2 3 Arbitrage Replicatie, hedging Peter Spreij Financiële Wiskunde 4/ 60
6 Opties Doel Een (Europese) optie is het recht (maar niet de plicht) om op een vastgesteld tijdstip in de toekomst een gespecificeerde financiële transactie te verrichten. Een Europese call optie (ECO) is het recht om op een vastgesteld tijdstip in de toekomst een aandeel van een zeker fonds te kopen tegen een nu vastgelegde prijs. Peter Spreij Financiële Wiskunde 5/ 60
7 Probleemstelling Een aandeel heeft nu een (bekende) prijs S 0 = 100 en morgen een onbekende prijs S 1. De optie De optiehouder heeft het recht om morgen een aandeel te kopen voor 120 euro. Meneer Koper wil een optie kopen, mevrouw Seller wil zo n optie verkopen. Vraag: wat is de eerlijke, objectieve prijs die vandaag voor de optie gerekend moet worden? Peter Spreij Financiële Wiskunde 6/ 60
8 Mevrouw Seller is optimistisch Het gedrag van het aandeel volgens mevrouw Seller: S 0 = met kans 2 3 S 1 = 60 met kans 1 3 De verwachte prijs ES 1 = mevrouw Seller. = 140 volgens Peter Spreij Financiële Wiskunde 7/ 60
9 Meneer Koper is gereserveerd Het gedrag van het aandeel volgens meneer Koper: S 0 = met kans 1 3 S 1 = 60 met kans 2 3 De verwachte prijs ES 1 = 100 volgens meneer Koper. Peter Spreij Financiële Wiskunde 8/ 60
10 De optie Doel Waarde van de optie morgen 60 als S 1 = 180 C = (S 1 120) + = 0 als S 1 = 60 Verwachte optiewaarden 40 volgens mevrouw Seller EC = 20 volgens meneer Koper Peter Spreij Financiële Wiskunde 9/ 60
11 Conflict? Doel Vuistregel: De objectieve prijs voor deelname aan een kansspel is de verwachte waarde (uitbetaling). Probleem: Hier zijn twee verschillende verwachtingen in het spel. Vraag Bestaat er (toch) een handelsprijs, of zelfs een objectieve prijs voor de optie? Peter Spreij Financiële Wiskunde 10/ 60
12 Terug naar het aandeel Voor het aandeel vonden we 140 volgens mevrouw Seller ES 1 = 100 volgens meneer Koper Wat zou nu de objectieve prijs van het aandeel zijn? Aandeelprijs vandaag S 0, de geldende marktprijs, onafhankelijk van subjectieve percepties van de markt. Peter Spreij Financiële Wiskunde 11/ 60
13 Over de prijs van een ECO Belangrijk: een ECO is een optie in termen van een ander financieel product (aandeel). Een ECO is dus een afgeleid product, een derivaat, met het aandeel als onderliggend product. De waarde (prijs) van zo n optie nu, zou gerelateerd moeten zijn aan de waarde van het aandeel nu. Vraag: hoe? Peter Spreij Financiële Wiskunde 12/ 60
14 Inhoud Doel Arbitrage Replicatie, hedging 1 Doel 2 3 Arbitrage Replicatie, hedging Peter Spreij Financiële Wiskunde 13/ 60
15 Arbitrage Replicatie, hedging Een eenvoudige (wiskundige) markt Nu (t = 0) heeft het aandeel een bekende prijs S 0 > 0. In de toekomst (t = 1) heeft het aandeel een onbekende prijs S 1. Model van de binaire markt Twee mogelijkheden: S 0 u met kans p u = P(Z 1 = u) S 1 = S 0 Z 1 = S 0 d met kans p d = P(Z 1 = d) en u > d > 0, p u, p d > 0, p u + p d = 1. NB: p u, p d kunnen subjectieve kansen zijn, of de werkelijke. Peter Spreij Financiële Wiskunde 14/ 60
16 Portefeuilles Doel Arbitrage Replicatie, hedging Op de markt is het aandeel te koop, maar je kunt ook sparen. Koop x aandelen en zet y euro op de bank, dan is (x, y) een portefeuille met waarde (prijs) V 0 op t = 0 gegeven door V 0 = xs 0 + y. NB: x, y R, dus x < 0 of y < 0 (lenen) is toegestaan. Peter Spreij Financiële Wiskunde 15/ 60
17 Arbitrage Replicatie, hedging De waarde van de portefeuille op t = 1 Twee mogelijkheden: V 1 = xs 1 + y = { xs0 u + y xs 0 d + y Toch heeft de portefeuille op t = 0 de objectieve waarde V 0 = xs 0 + y. Peter Spreij Financiële Wiskunde 16/ 60
18 Arbitrage Doel Arbitrage Replicatie, hedging Een portefeuille heet een arbitragemogelijkheid als die nooit verlies oplevert, maar misschien winst. Preciezer: Arbitragemogelijkheid Een portefeuille heet een arbitragemogelijkheid als P(V 0 = 0) = 1, P(V 1 0) = 1 en P(V 1 > 0) > 0 Arbitragevrije markt Een markt heet arbitragevrij als er geen arbitragemogelijkheden bestaan, dus als voor elke portefeuille met P(V 0 = 0) = 1 en P(V 1 0) = 1 geldt P(V 1 = 0) = 1. Peter Spreij Financiële Wiskunde 17/ 60
19 Arbitrage Replicatie, hedging Intermezzo: equivalente kansmaten We beschouwen een eindige verzameling Ω = {ω 1,..., ω n } met een kansmaat P, p i = P(ω i ) 0 en p 1 + p n = 1. Daarnaast is er ook een kansmaat Q, q i = Q(ω i ) 0 en q 1 + q n = 1. Equivalentie P en Q heten equivalent als voor alle i geldt p i > 0 q i > 0. We schrijven P Q. Alternatief P en Q zijn equivalent als voor elke gebeurtenis E geldt P(E) > 0 (= 0, = 1) Q(E) > 0 (= 0, = 1). Peter Spreij Financiële Wiskunde 18/ 60
20 Arbitrage Replicatie, hedging EMM voor algemeen model S 1 = S 0 Z 1 Equivalente martingaalmaat Een kansmaat Q P heet equivalente martingaalmaat als geldt E Q S 1 = S 0, ofwel E Q Z 1 = 1. NB: Er kunnen oneindig veel EMMs bestaan, maar altijd geldt E Q S 1 = S 0. Voor elke portefeuille (x, y) en voor elke EMM Q geldt altijd E Q V 1 = E Q (xs 1 + y) = xs 0 + y = V 0. Peter Spreij Financiële Wiskunde 19/ 60
21 Arbitrage Replicatie, hedging Bestaat een EMM voor de binaire markt? In het binaire model is P zodanig dat p u = P(Z 1 = u) > 0 en p d = P(Z 1 = d) > 0. Elke andere aan P equivalente kansmaat Q moet voldoen aan q u = Q(Z 1 = u) > 0 en q d = Q(Z 1 = d) > 0. Er geldt E Q S 1 = S 0 als E Q Z 1 = 1, en dus uq u + dq d = 1 q u + q d = 1. Oplossen geeft q u = 1 d u d, q d = u 1 u d. Vraag Zijn dit kansen, zijn q u, q d > 0? Peter Spreij Financiële Wiskunde 20/ 60
22 EMM voor de binaire markt Arbitrage Replicatie, hedging Stelling Er bestaat een EMM Q als en alleen als d < 1 < u. NB: we hebben zelfs gezien dat er dan maar één zo n Q is. Peter Spreij Financiële Wiskunde 21/ 60
23 Resultaat voor de binaire markt Arbitrage Replicatie, hedging Stelling Equivalent zijn 1. De markt is arbitragevrij. 2. Er bestaat een EMM Q (m.a.w. d < 1 < u). Bewijs (1 2): Stel geen EMM, bijvoorbeeld d 1. Kies x = 1, y = S 0, dan V 0 = xs 0 + y = 0 en { S0 (d 1) 0 V 1 = xs 1 + y = S 1 S 0 = S 0 (u 1) > 0. Dus P(V 1 > 0) = p u > 0: Arbitrage. Tegenspraak! Peter Spreij Financiële Wiskunde 22/ 60
24 Vervolg Doel Arbitrage Replicatie, hedging Stelling Equivalent zijn 1. De markt is arbitragevrij. 2. Er bestaat een EMM Q (m.a.w. d < 1 < u). Bewijs (2 1): Zij Q een EMM, en veronderstel een portefeuille met P(V 0 = 0) = 1 en P(V 1 0) = 1. Is P(V 1 = 0) = 1? Dan ook Q(V 0 = 0) = 1 en Q(V 1 0) = 1. Vanwege Q een EMM, is E Q V 1 = V 0 = 0, dus Q(V 1 = 0) = 1. Maar dan P(V 1 = 0) = 1, en dus is er geen arbitragemogelijkheid. Peter Spreij Financiële Wiskunde 23/ 60
25 Bereikbare derivaten Doel Arbitrage Replicatie, hedging Bereikbaarheid Een contract (met uitbetaling) C heet bereikbaar als er een portefeuille (x, y) bestaat zodanig dat V 1 = xs 1 + y = C. In dat geval heet (x, y) een hedge-portefeuille. Als de markt arbitragevrij is, dan is V 0 = E Q V 1 = E Q C de objectieve, arbitragevrije prijs van een bereikbaar contract C. Peter Spreij Financiële Wiskunde 24/ 60
26 Hedge-portefeuille voor ECO? Arbitrage Replicatie, hedging Probleem: vind x en y zodanig dat: C = (S 1 K) + = xs 1 + y, waar x, y R, niet afhankelijk zijn van de uitkomst van S 1. Als zulke x, y bestaan, hebben we een hedge-portefeuille, waarvan de waarde op t = 1 hetzelfde is als de waarde van de optie C. Peter Spreij Financiële Wiskunde 25/ 60
27 Bepalen van de hedge-portefeuille Arbitrage Replicatie, hedging We willen Twee gevallen: (S 1 K) + = xs 1 + y. (S 0 u K) + = xs 0 u + y (S 0 d K) + = xs 0 d + y, twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden. Peter Spreij Financiële Wiskunde 26/ 60
28 Bepalen van de hedge-portefeuille Arbitrage Replicatie, hedging Oplossing x = (S 0u K) + (S 0 d K) + S 0 (u d) y = u(s 0d K) + d(s 0 u K) + u d Peter Spreij Financiële Wiskunde 27/ 60
29 Arbitrage Replicatie, hedging Waarde V 0 van de hedge-portefeuille Met de gevonden waarden voor x en y bepalen we V 0 = xs 0 + y: V 0 = 1 d u d (S 0u K) + + u 1 u d (S 0d K) + = q u (S 0 u K) + + q d (S 0 d K) +. Belangrijke observatie V 0 = E Q (S 1 K) + = E Q C. Peter Spreij Financiële Wiskunde 28/ 60
30 Volledigheid Doel Arbitrage Replicatie, hedging Binaire markt: Met soortgelijke berekeningen kan elk derivaat C = f (S 1 ) gerepliceerd worden: Er bestaat een portefeuille (x, y) zodanig dat f (S 1 ) = xs 1 + y, ongeacht welke waarde S 1 aanneemt. is volledig: elk derivaat kan gerepliceerd worden (een derivaat f (S 1 ) voegt niets toe aan alle denkbare portefeuilles). Volledige markt (algemeen) Een markt heet volledig, indien voor elke claim een hedge-portefeuille bestaat. Peter Spreij Financiële Wiskunde 29/ 60
31 Inhoud Doel 1 Doel 2 3 Arbitrage Replicatie, hedging Peter Spreij Financiële Wiskunde 30/ 60
32 Een iets ingewikkeldere markt Model: S 0 u met kans p u = P(Z 1 = u) > 0 S 1 = S 0 Z 1 = S 0 m met kans p m = P(Z 1 = m) > 0 S 0 d met kans p d = P(Z 1 = d) > 0 en u > m > d, p u, p m, p d > 0, p u + p m + p d = 1. Peter Spreij Financiële Wiskunde 31/ 60
33 Equivalente martingaalmaat Vraag: bestaat er een EMM? Zoja, dan zou moeten gelden q u, q m, q d > 0, E Q Z 1 = 1: q u u + q m m + q d d = 1. Met m = tu + (1 t)d vinden we (q u + q m t)u + (q d + q m (1 t))d = 1, ofwel, 1 is een echte convexe combinatie van u en d, dus d < 1 < u. Peter Spreij Financiële Wiskunde 32/ 60
34 Stelling De markt met drie mogelijkheden is arbitragevrij als en alleen als er een equivalente martingaalmarkt bestaat, en dat is zo a.e.a.a. d < 1 < u. Geen uniciteit van Q Het stelsel q u u + q m m + q d d = 1 q u + q m + q d = 1 heeft oneindig veel positieve oplossingen q u, q m, q d. Peter Spreij Financiële Wiskunde 33/ 60
35 Hedgen van de ECO? Voor een hedge-portefeuille (x, y) geldt xs 1 + y = (S 1 K) +, dus xs 0 u + y = (S 0 u K) + xs 0 m + y = (S 0 m K) + xs 0 d + y = (S 0 d K) +. Dit kan alleen als t(s 0 u K) + + (1 t)(s 0 d K) + = (S 0 m K) +, en dit is niet waar als S 0 d < K < S 0 u. Peter Spreij Financiële Wiskunde 34/ 60
36 Conclusies onder de voorwaarde d < 1 < u De markt met drie mogelijkheden is arbitragevrij, er bestaan oneindig veel EMMs, en er bestaan derivaten die niet gehedged kunnen worden: de markt is niet volledig. Dit alles suggereert voor een willekeurig één-periode model Stelling (FTAPs) Een markt is arbitragevrij als en alleen als er een EMM bestaat. Een arbitragevrije markt is volledig als en alleen er een unieke EMM bestaat. Peter Spreij Financiële Wiskunde 35/ 60
37 Inhoud Doel 1 Doel 2 3 Arbitrage Replicatie, hedging Peter Spreij Financiële Wiskunde 36/ 60
38 Een nieuwe markt met drie mogelijkheden We nemen drie tijdstippen, t = 0, 1, 2. Model: S t = S t 1 Z t, t = 1, 2 met Z t {u, d} en alle kansen hieronder positief. Dan S 0 u 2 met kans p uu S S 2 = 0 ud met kans p ud S 0 du met kans p du S 0 d 2 met kans p dd. Merk op dat het aandeel op t = 2 drie waarden aanneemt. Peter Spreij Financiële Wiskunde 37/ 60
39 Eigenschappen van de nieuwe markt Stelling De markt met het binaire twee-periodenmodel is arbitragevrij en volledig. Vraag: waarom is nu elk derivaat te hedgen, terwijl dat in de (vorige) ternaire markt niet kan? Peter Spreij Financiële Wiskunde 38/ 60
40 Meer-perioden model algemener Meer perioden: t {0, 1,..., T }, T is de tijdshorizon. Algemeen model S t = S t 1 Z t, 1 t T. Er volgt S T = S 0 Z 1 Z T. Binaire markt Z t {u, d} en P zodanig dat P(Z 1 = z 1,..., Z T = z T ) > 0 voor alle (z 1,..., z T ) {u, d} T. Peter Spreij Financiële Wiskunde 39/ 60
41 Zelffinancierende portefeuilles Portefeuilles Een portefeuille is nu een stochastisch proces (x t, y t ), 0 t T, waarbij x t, y t van S 0,..., S t 1 mag afhangen, maar niet van S u met u t. De waarde op tijdstip t is V t = x t S t + y t. Zelffinancierende portefeuilles Een portefeuille heet zelffinancierend als de budgetvergelijking voor herschikking opgaat : V t 1 = x t 1 S t 1 + y t 1 = x t S t 1 + y t, 1 t T. Peter Spreij Financiële Wiskunde 40/ 60
42 Equivalente eigenschap Notatie: S t = S t S t 1, V t = V t V t 1. (x t, y t ) is zelffinancierend als en alleen als V t = x t S t, 1 t T. Veranderingen in de waarden van de portefeuille worden dus alleen veroorzaakt door veranderen in de prijs van het aandeel. Peter Spreij Financiële Wiskunde 41/ 60
43 Derivaten Doel Een derivaat C is een contract waarvan de uitbetaling (waarde) op tijdstip T afhangt van S 0,..., S T. Voorbeelden: C = (S T K) + (Europese call) C = max{s 0,..., S T }. Centrale vraagstelling: wat is de waarde van een derivaat op een tijdstip t < T, i.h.b. op t = 0? Peter Spreij Financiële Wiskunde 42/ 60
44 Arbitrage Doel Arbitragemogelijkheid Een arbitragemogelijkheid is een zelffinancierende portfeuille met eindwaarde V T = x T S T + y T die voldoet aan P(V T 0) = 1 en P(V T > 0) > 0, terwijl de beginwaarde V 0 = 0. EMM Een equivalente martingaalmaat is een kansmaat Q die equivalent is aan P, terwijl (S t ) een Q-martingaal is, d.w.z. E Q [S t S 0,..., S t 1 ] = S t 1, 1 t T. Peter Spreij Financiële Wiskunde 43/ 60
45 Herschikken Doel (S t ) is een Q-martingaal als en alleen als E Q [ S t S 0,..., S t 1 ] = 0, en ook als en alleen als E Q [Z t S 0,..., S t 1 ] = 1. Peter Spreij Financiële Wiskunde 44/ 60
46 Meer martingalen Stelling Als (x t, y t ) zelf-financierend is met waardeproces (V t ) en Q een EMM, dan is ook (V t ) een Q-martingaal. Immers, E Q [ V t S 0,..., S t 1 ] = E Q [x t S t S 0,..., S t 1 ] = x t E Q [ S t S 0,..., S t 1 ] = 0. Peter Spreij Financiële Wiskunde 45/ 60
47 EMM voor de binaire markt Stelling In de meer-perioden binaire markt bestaat een EMM als en alleen als d < 1 < u. In dat geval is de EMM uniek. Omdat voor iedere t moet gelden E Q [Z t Z 1,..., Z t 1 ] = 1, dus volgt u Q[Z t = u Z 1,..., Z t 1 ] + d Q[Z t = d Z 1,..., Z t 1 ] = 1 Q[Z t = u Z 1,..., Z t 1 ] = 1 d u d. Bovendien zijn Z 1,..., Z T onafhankelijk onder Q. Peter Spreij Financiële Wiskunde 46/ 60
48 Eigenschappen van de meer-perioden binaire markt Stelling In de meer-perioden binaire markt zijn equivalent: (i) d < 1 < u. (ii) De markt is arbitragevrij. (iii) Er bestaat een equivalente martingaalmaat. (iv) Er bestaat een unieke equivalente martingaalmaat. (v) De markt is volledig. In het bijzonder hebben we (ii) (iii) en (iv) (v): FTAPs! Peter Spreij Financiële Wiskunde 47/ 60
49 Zwaarder geschut Als het meer-perioden model niet binair is, maar met willekeurige Z 1,..., Z T, is arbitragevrij zijn van de markt (nog steeds) equivalent met het bestaan van een EMM Q. Om het bestaan van Q te bewijzen, heb je onder meer de stelling van Hahn-Banach nodig, wegens het oneindig-dimensionale karakter van dit probleem. Peter Spreij Financiële Wiskunde 48/ 60
50 Inhoud Doel 1 Doel 2 3 Arbitrage Replicatie, hedging Peter Spreij Financiële Wiskunde 49/ 60
51 Continue tijd Doel Voor een model in continue tijd veronderstellen we t [0, T ] en we schrijven S(t) voor de waarde van het aandeel op een tijdstip t. Zo n model kan geconstrueerd worden door een groot aantal discrete-tijdmodellen aan elkaar te plakken, en dan een limiet te nemen. Peter Spreij Financiële Wiskunde 50/ 60
52 Constructie Doel Verdeel [0, T ] in stukjes ter lengte T /N (N groot) en beschouw binaire modellen met S(T ) = S N = S(0)Z 0 Z N, waarbij alle Z n {d N, u N }, met de bijzondere keuzen (σ > 0) d N = 1 σ T /N, u N = 1 + σ T /N. Voor de EMM Q geldt Q(Z n = u N ) = d N 1 u N d N = 1 2. Peter Spreij Financiële Wiskunde 51/ 60
53 Intermezzo: Binomiale verdeling Beschouw N worpen met een eerlijke munt, X is het aantal keren munt. Dan heeft X een Bin(N, 1 2 ) verdeling. Standaardiseer: W N = X 1 2 N. 1 4 N Dan is E Q W N = 0 en Var Q W N = 1. Centrale Limietstelling W N d W, met W standaard normaal N(0, 1) verdeeld. Peter Spreij Financiële Wiskunde 52/ 60
54 Op weg naar een limietmodel Herschrijf met X het aantal keren dat Z n = u N en N X het aantal keren dat Z n = d N. Dan S(T ) = S 0 u X N d N X N = S 0 u 1 2 (N+ NWN ) N d 1 2 (N NWN ) N en ln S(T ) N S(0) = 2 ln(u N ) W N + N d N 2 ln(u Nd N ). We gebruiken u N = 1 + σ T /N, d N = 1 σ T /N en ln(1 + x) = x 1 2 x 2 + voor x dicht bij nul. Peter Spreij Financiële Wiskunde 53/ 60
55 Wat asymptotiek onder de EMM Er komt ln S(T ) S(0) = σ T W N 1 2 σ2 T + d σ T W 1 2 σ2 T = σw (T ) 1 2 σ2 T, waarbij W (T ) een N(0, T ) verdeling heeft. Limietmodel voor S(T ) onder een EMM S(T ) = S(0) exp(σw (T ) 1 2 σ2 T ). Peter Spreij Financiële Wiskunde 54/ 60
56 Het model onder Q Het voorgaande hadden we ook voor elke 0 t T kunnen doen en dan S(t) = S(0) exp(σw (t) 1 2 σ2 t). Hier is, onder de EMM Q, W (t), 0 t T een Brownse beweging en S(t), 0 t T een martingaal. Peter Spreij Financiële Wiskunde 55/ 60
57 Benadering van de Brownse beweging met 100 stappen Figure: Paden van de benadering met 100 stappen (Carlo Kuiper) Peter Spreij Financiële Wiskunde 56/ 60
58 Benadering van de Brownse beweging met 1000 stappen Figure: Paden van de benadering met 1000 stappen (Carlo Kuiper) Peter Spreij Financiële Wiskunde 57/ 60
59 De markt onder een fysieke maat Vraag: Q is equivalent..., maar met wat? Onder elke mogelijke echte kansmaat P geldt S(t) = S(0) exp(σw P (t) 1 t 2 σ2 t + a P (s) ds) 0 met W P een Brownse beweging onder P, en een zeker ander stochastisch proces a P. Onder P is S een semimartingaal en dit opent de weg naar veel algemenere modellen. Peter Spreij Financiële Wiskunde 58/ 60
60 Arbitrage en equivalente martingaalmaten algemeen NFLVR conditie (Arbitragevrije markt) C L + = {0}, waar C de afsluiting in de L -topologie van C, de convexe kegel (K 0 L 0 +) L, met K 0 de verzameling van h S met voorspelbare processen h waarvoor h S van beneden begrensd is. Stelling (FTAP1) Veronderstel dat S onder P een lokaal begrensde semimartingaal is. Dan bestaat er Q P onder welke S een lokale martingaal is als en alleen als NFVLR geldt. Peter Spreij Financiële Wiskunde 59/ 60
61 Dank voor jullie aandacht! Peter Spreij Financiële Wiskunde 60/ 60
Van Cox-Ross-Rubinstein tot Black-Scholes
Van Cox-Ross-Rubinstein tot Black-Scholes Peter Spreij Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Plantage Muidergracht 24 1018 TV Amsterdam spreij@science.uva.nl www.science.uva.nl/
Nadere informatieaandeelprijs op t = T 8.5 e 9 e 9.5 e 10 e 10.5 e 11 e 11.5 e
1 Technische Universiteit Delft Fac. Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tussentoets Waarderen van Derivaten, Wi 3405TU Vrijdag november 01 9:00-11:00 ( uurs tentamen) 1. a. De koers van het aandeel
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 8 Donderdag 13 Oktober 1 / 23 2 Statistiek Vandaag: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 23 Stochast en populatie
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieMARKOV KETENS, OF: WAT IS DE KANS DAT MEVROUW DE VRIES NAT ZAL WORDEN?
MARKOV KETENS, OF: WAT IS DE KANS DAT MEVROUW DE VRIES NAT ZAL WORDEN? KARMA DAJANI In deze lezing gaan we over een bijzonder model in kansrekening spreken Maar eerst een paar woorden vooraf Wat doen we
Nadere informatieToegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter
Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter 25 februari, 2008 Hans Maassen 1. Inleiding Het Kalman filter schat de toestand van een systeem op basis van een reeks, door ruis verstoorde waarnemingen. Een meer
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 3 Dinsdag 20 September 1 / 29 1 Kansrekening Indeling: Cumulatieve distributiefuncties Permutaties en combinaties 2 / 29 Vragen: verjaardag Wat is de kans dat minstens
Nadere informatieV.2 Limieten van functies
V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de
Nadere informatieDe Minimax-Stelling en Nash-Evenwichten
De Minima-Stelling en Nash-Evenwichten Sebastiaan A. Terwijn Radboud Universiteit Nijmegen Afdeling Wiskunde 20 september 2010 Dit is een bijlage bij het eerstejaars keuzevak Wiskunde, Politiek, en Economie.
Nadere informatieStatistiek voor A.I. College 5. Dinsdag 25 September 2012
Statistiek voor A.I. College 5 Dinsdag 25 September 2012 1 / 34 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 34 Percentages 3 / 34 Vragen: blikkie Kinderen worden slanker als ze anderhalf jaar lang limonade
Nadere informatieCursus Statistiek Hoofdstuk 4. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen. Definitie (Verwachting van discrete stochast) Voorbeeld (1)
Cursus Statistiek Hoofdstuk 4 Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Departement Informatica Inhoud Verwachtingen Variantie Momenten en Momentengenererende functie
Nadere informatie2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.
Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt
Nadere informatieDe Wachttijd-paradox
De Wachttijd-paradox Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Mastercourse 15 november 25 Peter Spreij spreij@science.uva.nl 1 Het probleem In deze mastercourse behandelen
Nadere informatieEigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde
Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde Magali Victoor Promotor: Prof. dr. Hendrik Van Maldeghem Masterproef ingediend tot het behalen van de academische
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2, Vrijdag 23 januari 25, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 7 Dinsdag 11 Oktober 1 / 33 2 Statistiek Vandaag: Populatie en steekproef Maten Standaardscores Normale verdeling Stochast en populatie Experimenten herhalen 2 / 33 3
Nadere informatieProefles webklas Wiskunde. Universiteit van Amsterdam September 2002
Proefles webklas Wiskunde Universiteit van Amsterdam September 2002 1 Inleiding Deze proefles van de webklas Wiskunde behandelt hetzelfde onderwerp als de echte webklas, alleen in een veel eenvoudiger
Nadere informatieUitwerking Tweede Quiz Speltheorie,
Uitwerking Tweede Quiz Speltheorie, 28-11-2012 Attentie! Maak van de onderstaande drie opgaven er slechts twee naar eigen keuze! Opgave 1 [50 pt]. Van het tweepersoons nulsomspel met de 2 4-uitbetalingsmatrix
Nadere informatieGetallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte
Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal
Nadere informatieWiskundige beweringen en hun bewijzen
Wiskundige beweringen en hun bewijzen Analyse (en feitelijk de gehele wiskunde) gaat over het bewijzen van beweringen (proposities), d.w.z. uitspraken waaraan de karakterisering waar of onwaar toegekend
Nadere informatieInleiding Analyse 2009
Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn
Nadere informatieOver polaire kegels, stelsels lineaire ongelijkheden en hun toepassingen in de financiering
Over polaire kegels, stelsels lineaire ongelijkheden en hun toepassingen in de financiering Erik J. Balder, Mathematisch Instituut, Universiteit Utrecht 1 Polaire kegels Ik geef een stukje lineaire algebra
Nadere informatieUnitaire en Hermitese transformaties
Hoofdstuk 11 Unitaire en Hermitese transformaties We beschouwen vervolgens lineaire transformaties van reële en complexe inproductruimten die aan extra eigenschappen voldoen die betrekking hebben op het
Nadere informatieP (X n+1 = j X n = i, X n 1,..., X 0 ) = P (X n+1 = j X n = i). P (X n+1 = j X n = i) MARKOV KETENS. Definitie van Markov keten:
Definitie van Markov keten: MARKOV KETENS Een stochastisch proces {X n, n 0} met toestandsruimte S heet een discrete-tijd Markov keten (DTMC) als voor alle i en j in S geldt P (X n+ = j X n = i, X n,...,
Nadere informatieAfdeling Wiskunde. Onderwijs. Onderzoek
Wiskunde nu Afdeling Wiskunde Onderwijs Onderzoek Afdeling Wiskunde In recente jaren aanzienlijk uitgebreid en verjongd Nu ± 25 vaste medewerkers en postdocs, ook aanzienlijk aantal deeltijd hoogleraren
Nadere informatieGeadjungeerde en normaliteit
Hoofdstuk 12 Geadjungeerde en normaliteit In het vorige hoofdstuk werd bewezen dat het voor het bestaan van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voldoende is dat T Hermites is (11.17) of
Nadere informatiePolynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2
Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van
Nadere informatieIII.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Nadere informatieHet Ho-Lee rentemodel (Engelse titel: The Ho-Lee interest rate model)
Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Het Ho-Lee rentemodel (Engelse titel: The Ho-Lee interest rate model) Verslag ten
Nadere informatiewerkcollege 5 - P&D7: Population distributions - P&D8: Sampling variability and Sampling distributions
cursus 4 mei 2012 werkcollege 5 - P&D7: Population distributions - P&D8: Sampling variability and Sampling distributions Huiswerk P&D, opgaven Chapter 6: 9, 19, 25, 33 P&D, opgaven Appendix A: 1, 9 doen
Nadere informatieMedische Statistiek Kansrekening
Medische Statistiek Kansrekening Medisch statistiek- kansrekening Hoorcollege 1 Uitkomstenruimte vaststellen Ook wel S of E. Bij dobbelsteen: E= {1,2,3,4,5,6} Een eindige uitkomstenreeks Bij het gooien
Nadere informatieVandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 2. Basisbegrippen. Theoretische kansverdelingen
Vandaag Onderzoeksmethoden: Statistiek 2 Peter de Waal (gebaseerd op slides Peter de Waal, Marjan van den Akker) Departement Informatica Beta-faculteit, Universiteit Utrecht Theoretische kansverdelingen
Nadere informatieTentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur.
Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS4, dinsdag 17 juni 28, van 9. 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen
Nadere informatieTRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER
TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES
Nadere informatieStatistiek voor A.I. College 6. Donderdag 27 September
Statistiek voor A.I. College 6 Donderdag 27 September 1 / 1 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 1 Vraag: Afghanistan In het leger wordt uit een groep van 6 vrouwelijke en 14 mannelijke soldaten een
Nadere informatieV.4 Eigenschappen van continue functies
V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt
Nadere informatie1 Rekenen in eindige precisie
Rekenen in eindige precisie Een computer rekent per definitie met een eindige deelverzameling van getallen. In dit hoofdstuk bekijken we hoe dit binnen een computer is ingericht, en wat daarvan de gevolgen
Nadere informatieStatistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening
Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Inleveren: 12 januari 2011, VOOR het college Afspraken Serie 1 mag gemaakt en ingeleverd worden in tweetallen. Schrijf duidelijk je naam, e-mail
Nadere informatieZ.O.Z. Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 16 juni 2016, 12:30 15:30 (16:30)
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 16 juni 016, 1:30 15:30 (16:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van aantekeningen
Nadere informatieExamenvragen Hogere Wiskunde I
1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies
Nadere informatieDrie problemen voor de prijs van één
Drie problemen voor de prijs van één Of: één probleem voor de prijs van drie K. P. Hart Faculty EEMCS TU Delft Delft, 30 oktober, 2012: 10:15 10:45 Eenvoudig begin Opgave Bewijs dat voor m, n N het volgende
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 2 Donderdag 15 September 1 / 42 1 Kansrekening Vandaag: Vragen Eigenschappen van kansen Oneindige discrete uitkomstenruimtes Continue uitkomstenruimtes Continue stochasten
Nadere informatieUitwerkingen Mei Eindexamen VWO Wiskunde A. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek
Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen VWO Wiskunde A Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Schroefas Opgave 1. In de figuur trekken we een lijn tussen 2600 tpm op de linkerschaal en
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2), Vrijdag 24 januari 24, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatiePopulaties beschrijven met kansmodellen
Populaties beschrijven met kansmodellen Prof. dr. Herman Callaert Deze tekst probeert, met voorbeelden, inzicht te geven in de manier waarop je in de statistiek populaties bestudeert. Dat doe je met kansmodellen.
Nadere informatieUitwerking 1 Uitwerkingen eerste deeltentamen Lineaire Algebra (WISB121) 3 november 2009
Departement Wiskunde, Faculteit Bètawetenschappen, UU. In elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A Eskwadraat. Het college WISB werd in 9- gegeven door Prof. Dr. F. Beukers. Uitwerking
Nadere informatieOverzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Nadere informatieEerste orde partiële differentiaalvergelijkingen
Eerste orde partiële differentiaalvergelijkingen Vakgroep Differentiaalvergelijkingen 1995, 2001, 2002 1 Eerste orde golf-vergelijking De vergelijking au x + u t = 0, u = u(x, t), a ɛ IR (1.1) beschrijft
Nadere informatieVoorbehouden voor de correctoren Vraag 1 Vraag 2 Vraag 3 Vraag 4 Vraag 5 Totaal. Toets Kansrekenen I. 28 maart 2014
Voorbehouden voor de correctoren Vraag 1 Vraag 2 Vraag 3 Vraag 4 Vraag 5 Totaal Toets Kansrekenen I 28 maart 2014 Naam : Richting : Lees volgende aanwijzingen alvorens aan het examen te beginnen Wie de
Nadere informatieVragen die je wilt beantwoorden zijn:
Net als bij een discrete-tijd Markov keten is men bij de bestudering van een continue-tijd Markov keten zowel geïnteresseerd in het korte-termijn gedrag als in het lange-termijn gedrag. Vragen die je wilt
Nadere informatieTentamen Inleiding Kansrekening 9 juni 2016, 10:00 13:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander
Tentamen Inleiding Kansrekening 9 juni 6, : 3: Docent: Prof. dr. F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebruik van boek en aantekeningen niet toegestaan. Er zijn 8 vragen, elk met onderdelen. Elk onderdeel
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 12 Vrijdag 16 Oktober 1 / 38 2 Statistiek Indeling vandaag: Normale verdeling Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling Deductieve statistiek Hypothese toetsen
Nadere informatieUitwerking Hertentamen Inleiding Kansrekening 6 juli 2015, uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander
Uitwerking Hertentamen Inleiding Kansrekening 6 jli 5, 4. 7. r Docent: Prof. dr. F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebrik van boek en aantekeningen niet toegestaan. Er zijn vragen. Elke vraag is
Nadere informatieOpgaven voor Kansrekening
Wiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie Opgaven voor Kansrekening Opgave 1. Een oneerlijke dobbelsteen is zo gemaakt dat 3 drie keer zo vaak valt als 4 en 2 twee keer zo vaak als 5. Verder vallen 1,
Nadere informatieUitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen
Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Maandag 4 januari 216, 1: - 13: uur 1. Beschouw voor t > de inhomogene singuliere tweede orde vergelijking, t 2 ẍ + 4tẋ + 2x = f(t, (1 waarin f
Nadere informatieStochastische Modellen in Operations Management (153088)
Stochastische Modellen in Operations Management (53088) S S Ack X ms X ms S0 40 ms R R R3 L L 0 ms 0 ms D0 Internet D D Richard Boucherie Stochastische Operations Research TW, Ravelijn H 9 http://wwwhome.math.utwente.nl/~boucherierj/onderwijs/53088/53088.html
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking 10 december 2013, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is
Nadere informatieKansrekening en stochastische processen 2DE18
Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Docent : Jacques Resing E-mail: resing@win.tue.nl 1/23 Voor een verzameling stochastische variabelen X 1,..., X n, de verwachting van W n = X 1 + + X n is
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper
Nadere informatieHoofdstuk 5: Steekproevendistributies
Hoofdstuk 5: Steekproevendistributies Inleiding Statistische gevolgtrekkingen worden gebruikt om conclusies over een populatie of proces te trekken op basis van data. Deze data wordt samengevat door middel
Nadere informatieWanneer zijn alle continue functies uniform continu?
Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Wanneer zijn alle continue functies uniform continu? Bachelor Project I Stijn Tóth Promotor: Prof. Eva Colebunders Academiejaar 2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding
Nadere informatieAG8! Derivatentheorie Les4! Aandelen options. 30 september 2010
AG8! Derivatentheorie Les4! Aandelen options 30 september 2010 1 Agenda Huiswerk vorige keer Aandelen opties (H9) Optiestrategieën (H10) Vuistregels Volatility (H16) Binomiale boom (H11) 2 Optieprijs Welke
Nadere informatieJordan normaalvorm. Hoofdstuk 7
Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er
Nadere informatieHet benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde 2012
Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde 202 Cor Kraaikamp August 24, 202 Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde
Nadere informatieDigitale systemen. Hoofdstuk 6. 6.1 De digitale regelaar
Hoofdstuk 6 Digitale systemen Doelstellingen 1. Weten dat digitale systemen andere stabiliteitsvoorwaarden hebben In deze tijd van digitalisatie is het gebruik van computers in regelkringen alom.denk maar
Nadere informatieAutomaten. Informatica, UvA. Yde Venema
Automaten Informatica, UvA Yde Venema i Inhoud Inleiding 1 1 Formele talen en reguliere expressies 2 1.1 Formele talen.................................... 2 1.2 Reguliere expressies................................
Nadere informatieHOOFDSTUK II BIJZONDERE THEORETISCHE VERDELINGEN
HOOFDSTUK II BIJZONDERE THEORETISCHE VERDELINGEN. Continue Verdelingen 1 A. De uniforme (of rechthoekige) verdeling Kansdichtheid en cumulatieve frequentiefunctie Voor x < a f(x) = 0 F(x) = 0 Voor a x
Nadere informatieKettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1
Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 12 Donderdag 21 Oktober 1 / 38 2 Statistiek Indeling: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 38 Deductieve
Nadere informatieKansrekening en stochastische processen 2S610
Kansrekening en stochastische processen 2S610 Docent : Jacques Resing E-mail: j.a.c.resing@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2s610 1/28 Schatten van de verwachting We hebben een stochast X en
Nadere informatieOpgaven Inleiding Analyse
Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van iet dat y 0 y = 0. (b) Bewijs y 0 y 3 = 0 uit de definitie van iet. (c) Bewijs y 0 y 3
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Donderdag 8 juli 4. Tijd: 14. 17. uur. Plaats: MA 1.44/1.46 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 4 Donderdag 22 September 1 / 31 1 Kansrekening Vandaag : Vragen Bernouilli verdelingen Binomiale verdelingen Voorwaardelijke kansen 2 / 31 Vragen: multiple choice Bij
Nadere informatie36, P (5) = 4 36, P (12) = 1
Les 2 Kansverdelingen We hebben in het begin gesteld dat we de kans voor een zekere gunstige uitkomst berekenen als het aantal gunstige uitkomsten gedeelt door het totale aantal mogelijke uitkomsten. Maar
Nadere informatieMonte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2
1 INLEIDING 1 Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2 Volg stap voor stap de tekst en los de vragen op. Bedoeling is dat je op het einde van de rit een verzorgd verslag afgeeft
Nadere informatieHoofdstuk 3: Arbitrage en financiële besluitvorming
Hoofdstuk 3: Arbitrage en financiële besluitvorming Elke beslissing heeft consequenties voor de toekomst en deze consequenties kunnen voordelig of nadelig zijn. Als de extra kosten de voordelen overschrijden,
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen
Nadere informatieMETRISCHE RUIMTEN EN CONTINUE AFBEELDINGEN aanvullend materiaal voor het college Analyse 1 Dr J. Hulshof (R.U.L.)
METRISCHE RUIMTEN EN CONTINUE AFBEELDINGEN aanvullend materiaal voor het college Analyse 1 Dr J. Hulshof (R.U.L.) 1. Inleiding. In deze syllabus behandelen we een aantal fundamentele onderwerpen uit de
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van
Nadere informatieAfdeling Kwantitatieve Economie
Afdeling Kwantitatieve Economie Wiskunde AEO V Uitwerking tentamen 1 november 2005 1. De tekenschema s in opgave 1a 1e zijn de voortekens van vermenigvuldigers en de laatste leidende hoofdminoren in een
Nadere informatieBijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica
Bijzondere getallen Oneindig (als getal) TomVerhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica T.Verhoeff@TUE.NL http://www.win.tue.nl/~wstomv/ Oneindig ... Oneindig 2 Top tien
Nadere informatieKansrekening en statistiek wi2105in deel I 29 januari 2010, uur
Kansrekening en statistiek wi20in deel I 29 januari 200, 400 700 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt grafische rekenmachine toegestaan Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop inleveren
Nadere informatieJe hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015
Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieOpgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman
Opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Roland van der Veen Inleiding Deze reeks opgaven is bedoeld voor de werkcolleges van de vakantiecursus Wiskunde in Wording, Augustus 2013. 1
Nadere informatieHet Heston model. Carlo Kuiper 27 augustus 2011. Bachelorscriptie. Begeleiding: dr. Peter Spreij
Het Heston model Carlo Kuiper 27 augustus 2011 Bachelorscriptie Begeleiding: dr. Peter Spreij waarde 4 2 2 4 6 8 10 t 2 KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Nadere informatieen-splitsingen: een aantal alternatieven worden parallel toegepast, of-splitsingen: van een aantal alternatieven wordt er één toegepast,
Kansrekening voor Informatiekunde, 25 Les 8 Proces analyse Veel processen laten zich door netwerken beschrijven, waarin knopen acties aangeven en opdrachten langs verbindingen tussen de knopen verwerkt
Nadere informatieI.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.
I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk
Nadere informatieTentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur
Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.
Nadere informatieGetaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)
Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk
Nadere informatieLeeswijzer bij het college Functies en Reeksen
Leeswijzer bij het college Functies en Reeksen Erik van den Ban Najaar 2012 Introductie eze leeswijzer bij het dictaat Functies en Reeksen (versie augustus 2011) heeft als doel een gewijzigde opbouw van
Nadere informatieOneindig in Wiskunde & Informatica. Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft. Tom Verhoeff
Oneindig in Wiskunde & Informatica Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft Tom Verhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica http://www.win.tue.nl/~wstomv/
Nadere informatieSupplement Verzamelingenleer. A.J.M. van Engelen en K. P. Hart
Supplement Verzamelingenleer A.J.M. van Engelen en K. P. Hart 1 Hoofdstuk 1 Het Keuzeaxioma Het fundament van de hedendaagse verzamelingenleer werd in de vorige eeuw gelegd door Georg Cantor. Cantor gebruikte
Nadere informatieCover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.
Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/21544 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Alkurdi, Taleb Salameh Odeh Title: Piecewise deterministic Markov processes :
Nadere informatiebijspijkercursus wiskunde voor psychologiestudenten bijeenkomst 9 de normale verdeling (niet in [PW])
bijspijkercursus wiskunde voor psychologiestudenten bijeenkomst 9 de normale verdeling (niet in [PW]) vorige week: kansrekening de uitkomstvariabele was bijna altijd discreet aantal keer een vijf gooien
Nadere informatieStelsels lineaire vergelijkingen
Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte
Nadere informatieMaatschappelijke kosten-batenanalyse Waterveiligheid 21e eeuw. Bijlage E: Methode kostentoedeling
Maatschappelijke kosten-batenanalyse Waterveiligheid 21e eeuw Bijlage E: Methode Maatschappelijke kosten-batenanalyse Waterveiligheid 21e eeuw Bijlage E: Methode Jarl Kind Carlijn Bak 1204144-006 Deltares,
Nadere informatieWe beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.
II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;
Nadere informatieStatistiek voor A.I. College 10. Dinsdag 16 Oktober
Statistiek voor A.I. College 10 Dinsdag 16 Oktober 1 / 30 Jullie - onderzoek Geert-Jan, Joris, Brechje Horizontaal: lengte Verticaal: lengte tussen topjes middelvingers met gestrekte armen. DIII 170 175
Nadere informatieStelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
Nadere informatie