Het Heston model. Carlo Kuiper 27 augustus Bachelorscriptie. Begeleiding: dr. Peter Spreij

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Het Heston model. Carlo Kuiper 27 augustus 2011. Bachelorscriptie. Begeleiding: dr. Peter Spreij"

Transcriptie

1 Het Heston model Carlo Kuiper 27 augustus 2011 Bachelorscriptie Begeleiding: dr. Peter Spreij waarde t 2 KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam

2 Samenvatting In deze bachelorscriptie behandelen we het Heston model. Het model wordt gebruikt om aandelenprijzen te simuleren aan de hand van een variatie op de geometrische Brownse beweging onder de risiconeutrale maat. Van de geometrische Brownse beweging onder de risiconeutrale maat wordt aangenomen dat de volatiliteit niet constant is, maar zich gedraagt als een Itô proces. De risiconeutrale maat introduceren we met het binomiale model over één periode. We kijken naar de Brownse beweging als een limietgeval van de stochastische wandeling. Vervolgens leiden we Itô s formule af uit een taylorreeks, om daarna te kijken naar de geometrische Brownse beweging en de geometrische Brownse beweging onder de risiconeutrale maat. Tenslotte kijken we naar de speciale eigenschappen van het Heston model vergeleken met het binomiale model. Gegevens Titel: Het Heston model Auteur: Carlo Kuiper, Begeleider: dr. Peter Spreij Einddatum: 27 augustus 2011 Korteweg de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Plantage Muidergracht 24, 1018 TV Amsterdam

3 Inhoudsopgave Inleiding 2 Risiconeutrale maat Call en put opties Gegeneraliseerde rente Binomiaal model over één periode Risiconeutrale maat Brownse beweging Brownse beweging Kwadratische variatie Itô s formule Geometrische Brownse beweging Twee financiële modellen Binomiale model Heston model Populaire samenvatting 34 1

4 Inleiding Deze bachelorscriptie doet verslag van het Heston model, een financieel model om het gedrag van een aandelenprijs te simuleren. Het model werd gepubliceerd door de Amerikaanse wiskundige Steve Heston in Het model is ontwikkeld om een tekortkoming van het Black en Scholes model te verhelpen. In het Black en Scholes model wordt aangenomen dat de volatiliteit constant is. Uit observaties is echter gebleken dat de volatiliteit van aandelenprijzen niet constant is. Bij het Heston model wordt er net als in het Black en Scholes model aangenomen dat de aandelenprijs zich gedraagt als een geometrische Brownse beweging onder de risiconeutrale maat. Waarbij de volatiliteit niet constant is, maar zich gedraagt als een Itô proces. We gaan de theorie die wordt gebruikt in het Heston model bestuderen. Ook kijken we naar het verschil dat ontstaat door de volatiliteit niet constant te kiezen. We volgen hierbij in grote lijnen de aanpak die Kerry Back gebruikt in A Course in Derivative Securities [1]. We beginnen met het introduceren van een aantal belangrijke begrippen om naar de risiconeutrale maat toe te werken. We kijken naar call en put opties, dan naar de samengestelde rente en aan de hand van een binomiaal model over één periode naar de risiconeutrale maat Het volgende hoofdstuk staat in het teken van de geometrische Brownse beweging. We kijken eerst naar de Brownse beweging als een limietgeval van de stochastische wandeling. Dan leiden we Itô s formule af met behulp van kwadratische variatie, om tenslotte met behulp van Itô s formule de gewenste vorm van de geometrische Brownse beweging af te leiden. In het derde hoofdstuk kijken we naar het Heston model. We zien daar de speciale eigenschappen van het Heston model door het te vergelijken met het binomiale model. 2

5 Als laatste wil ik in de inleiding mijn begeleider Peter Spreij bedanken voor het aanreiken van dit interessante onderwerp en voor de tweewekelijkse afspraken. De afspraken hebben geholpen bij het beantwoorden van vragen en bij het begrijpen van de ingewikkelde details. 3

6 Risiconeutrale maat We willen aandelenprijzen gaan modelleren, maar voordat we daarmee beginnen kijken we eerst naar de begrippen en definities die daarbij een rol spelen. We beginnen met kijken naar call en put opties. Deze financiële producten worden met de modellen die we gaan bestuderen gewaardeerd. Hierna bekijken we verschillende vormen van rente. Dan bekijken we uitgebreid het binomiale model over één periode en tot slot sluiten we af met de risiconeutrale maat. 1.1 Call en put opties Call en put opties zijn financiële producten. Ze worden derivaten genoemd, omdat de waarde ervan wordt afgeleid van een onderliggend fincieel product. De waarde van call en put opties op een zeker tijdstip t hangt onder andere af van de looptijd, T, en de prijs van het onderliggende product, S(t). Een call optie geeft het recht om een product tegen een vooraf afgesproken prijs, de uitoefenprijs, K, te kopen. Een put optie geeft het recht om een product tegen een uitoefenprijs, K, te verkopen. Er wordt onderscheid gemaakt tussen twee soorten put en call opties. De ene is een Europese optie. Deze kan alleen worden uitgeoefend aan het eind van de looptijd, ofwel bij expiratie. De waarde van een Europese call optie is ten alle tijden: max {S(T ) K, 0} en voor een Europese put optie: max {K S(T ), 0}. De optie wordt alleen bij winst uitgeoefend, daarom komt in de waarde van de optie een een maximum voor. De andere is een Amerikaanse optie. Een Amerikaanse optie kan op elk moment tijdens de looptijd worden uitgeoefend. De waarde van een Amerikaanse optie hangt daarom af van het tijdstip t waarop de optie wordt uitgeoefend. De waarde op t = 0 als het uitoefentijdstip onbekend is kan worden uitgedrukt met een ingewikkelde formule. Als de optie op tijdstip 0 t T wordt uitgeoefend, dan is de waarde voor een Amerikaanse call optie gelijk aan: max {S(t) K, 0} en de waarde voor een Amerikaanse put optie is gelijk aan: max {K S(t), 0}. 4

7 1.2 Gegeneraliseerde rente Als geld op de bank staat wordt de rente vaak op vaste momenten uitbetaald. We willen eigenlijk weten hoeveel de investering over elke mogelijke periode meer waard zal worden, dit kan met de samengestelde rente. Bij samengestelde rente wordt gerekend alsof de rente er continu wordt bijgeschreven. We rekenen daarom de rente die op vaste momenten wordt uitbetaald om naar de samengestelde rente. Als r de samengestelde rente is en r de rente is van de bank en n het aantal uitbetalingen per jaar dan gebeurt het omrekenen met deze formule: ) n (1 + r = e r. n In het vervolg gaan we ervan uit dat er over een investering altijd een risicovrije samengestelde rente wordt uitbetaald. Aangezien samengestelde rente het geval is waarbij direct rente wordt uitbetaald kun je het vergelijken met de situatie waarbij het aantal momenten n dat er rente wordt uitbetaald naar gaat. Er geldt dan ( lim 1 + r n = e n n) r. (1.1) Dit kunnen we inzien door eerst de logaritme te nemen en dan een taylorontwikkeling om 0 te maken, lim (1 n log + r ) = lim n n n n ( ) ( r n r2 2n +... = lim r + O 2 n ( )) 1 = r. n Aangezien e x continu is over heel R volgt dat als we links en rechts de e-macht nemen we de formule (1.1) krijgen. We wilden weten hoeveel een investering over iedere mogelijke periode waard werd. Daarvoor is er een handige interpetatie van de formule (1.1). Gegeven een investering x(t) tegen rente r en een willekeurige periode [0, T ]. Dan kunnen we aannemen dat de rente over x(t) op elk moment dt wordt uitbetaald. De rente op zo n moment is dan x(t)r dt. De toename van de investering op een moment kunnen we dan zien als dx(t) = x(t)r dt Hierin herkennen we een differentiaalvergelijking: dx(t) = x(t)r dt met als oplossing x(t) = x(0)e rt. (1.2) Dus de aanname dat de rente op een moment x(t)r dt bedraagt is equivalent met de aanname dat de rente gelijk is aan r en we kunnen concluderen dat de investering aan het eind van de periode x(t ) = x(0)e rt waard is. 5

8 Hoewel we steeds zullen aannemen dat de rente constant is, hoeft dat niet in het algemeen te gelden. Stel dat er een variabele rente is, dan is de rente die op elk moment dt wordt uitbetaald gelijk aan: met als oplossing: dx(t)dt = x(t)r(t) dt, ( t ) x(t) = x(0) exp r(s) ds. (1.3) 0 Dus een investering x(0) is bij variabele rente aan het eind van de periode x(t ) = x(0)e T 0 r(t) dt waard. 1.3 Binomiaal model over één periode Het binomiale model over één periode gaat ervan uit dat een aandeel na één periode één van twee mogelijke waarden aanneemt. Dit levert ons een eenvoudig model op waarmee we belangrijke begrippen kunnen introduceren. Gegeven een aandeel met waarde S 0 op tijdstip 0. Dan nemen we bij het binomiale model aan dat het aandeel aan het eind van de periode, op tijdstip T, de waarde S u of de waarde S d heeft. Waarbij de up-toestand S u groter is dan de down-toestand S d. Verder nemen we aan dat de rente r constant is. Om arbitragemogelijkheden uit te sluiten nemen we aan dat: S d S 0 < e rt < S u S 0. (1.4) Stel dat de ongelijkheden niet gelden, dan is er wel arbitrage mogelijk. Als de linker ongelijkheid niet geldt is er arbitrage mogelijk door S 0 geld te lenen en een aandeel te kopen. Als de rechter ongelijkheid niet geldt is er sprake van arbitrage wanneer men een aandeel verkoopt en S 0 geld op de bank zet. Met dit model kunnen we handige vergelijkingen opstellen waarmee we een aantal belangrijke begrippen in de volgende paragraaf kunnen introduceren. Dit doen we aan de hand van twee constanten: π u en π d. Ook kijken we naar de waarde van een Europese call optie met looptijd T en uitvoerprijs K. De waarde is gelijk aan C 0 op tijdstip 0 en waarde C u = max(s u K, 0) in de up-toestand en C d = max(s d K, 0) in de down-toestand op tijdstip T. Dit brengt ons bij de vergelijkingen, die we zo gaan aantonen: 6

9 C 0 = π u C u + π d C d (1.5) S 0 = π u S u + π d S d (1.6) 1 = π u e rt + π d e rt (1.7) met π u = S 0 e rt S d S u S d > 0 en π d = e rt S u S 0 S u S d > 0. (1.8) We kunnen aantonen dat de vergelijkingen kloppen door te kijken naar een transactie op tijdstip 0 waarbij je δ = (C u C d )/(S u S d ) aandelen koopt en e rt (δs u C u ) leent tegen de vaste rente r. Dan heb je op tijdstip T een lening van δs u C u. Handig is de keuze van δ zodat δ(s u S d ) = (C u C d ) en dus δs u C u = δs d C d. De waarde van de portfolio is: δ aandelen - lening = δs u (δs u C u ) = C u in de up-toestand en δ aandelen - lening = δs d (δs d C d ) = C d in de down-toestand. De waarde van de call optie is dus gelijk aan de waarde van de portfolio, ook op tijdstip 0, C 0 = δs 0 e rt (δs u C u ). (1.9) Door de keuze van δ en het omschrijven van de vergelijking krijgen we (1.5), C 0 = (C u C d )S 0 e rt ((C u C d )S u (S u S d )C u ) S u S d = C us 0 C d S 0 e rt C u S u + e rt C d S u + e rt S u C u e rt S d C u S u S d = S 0 e rt S d C u + e rt S u S 0 S u S d S u S d = π u C u + π d C d. Merk op dat uit verglijking (1.8) volgt dat π u +π d = e rt en dat uit de keuze van δ volgt dat C d = δs u +δs d +C u. Door vergelijking (1.9) te herschrijven krijgen we vergelijking (1.6): C d 7

10 δs 0 = C 0 + e rt (δs u C u ) = π u C u + π d C d + (π u + π d )(δs u C u ) = π u C u + π d ( δs u + δs d + C u ) + (π u + π d )(δs u C u ) = (π u + π d )C u δπ d S u + δπ d S d + (π u + π d )(δs u C u ) S 0 = π u S u + π d S d. Ook geeft het herschrijven van (1.9) dat vergelijking (1.7) geldt, δs u C u = e rt (C 0 δs 0 )) = e rt (π u C u + π d C d δπ u S u + δπ d S d )) 1 = π u(δs u C u )e rt + π d (δs d C d )e rt δs u C u = π u e rt + π d e rt. Belangrijk om op te merken is dat de aanname π u > 0 en π d > 0 equivalent is met de aanname van (1.4) dat er geen arbitrage mogelijk is. Stel namelijk dat π u 0, dan is S 0 e rt S d 0 en dus S d e rt S 0. Stel dat π d 0, dan is S u S d e rt S u S 0 0 en dus S u e rt S 0. Daarom hebben we met vergelijkingen S u S d (1.5)-(1.8) uitgesloten dat er in het binomiale model arbitrage mogelijk is. De vergelijkingen (1.5)-(1.7) hebben de volgende interpetatie: de waarde van een derivaat; call optie, aandeel of investering, is gelijk aan π u keer de waarde van het derivaat in de up-toestand plus π d keer de waarde van de derivaat in de down-toestand. 1.4 Risiconeutrale maat De risiconeutrale maat maakt gebruik van een numéraire. Numéraire komt uit de Franse taal en betekent in het Nederlands letterlijk eenheid. De risiconeutrale maat gebruikt als eenheid een risicovrije investering. Met deze numéraire worden alle prijzen herschaald. Het wordt gebruikt als een hulpmiddel bij het rekenen, zodat bij financiële producten snel gezien kan worden hoeveel risico het met zich meedraagt. Een hogere waarde bij een gelijke investering onder de risiconeutrale maat betekent meestal meer risico. Zo kunnen heel gemakkelijk financiële producten met elkaar vergeleken worden. 8

11 Voordat we de risiconeutrale maat precies gaan bestuderen, kijken we aan de hand van het binomiale model over één periode uit de vorige paragraaf naar een voorbeeld. Dit doen we aan de hand van de vergelijkingen (1.5) - (1.7). Als numéraire gaan we een investering van R 0 = 1 op tijdstip 0 gebruiken dat zonder risico tegen de vaste rente r wordt weggezet. Dan geldt voor de prijs op tijdstip T dat in zowel de up-toestand als in de downtoestand de investering R u = R d = e rt bedraagt. We kiezen daarnaast twee constanten p u = π u e rt en p d = π d e rt. Hiermee verschalen we de prijzen: C 0, C u, C d, S 0, S u en S d naar: C 0 C u C d = p u + p d R 0 R u R d (1.10) S 0 S u S d = p u + p d R 0 R u R d (1.11) 1 = p u + p d. (1.12) De vergelijkingen zijn opmerkelijk. Bij het nemen van de verwachting met kansen p u en p d zien we dat de waarde op tijdstip 0 gelijk is aan de verwachte waarde op T. Dit is een eigenschap dankzij de numeraire R 0, waar we later in deze paragraaf op terug komen. Door te delen door de numéraire zijn de kansen en de verwachtingen veranderd. We werken daarom voor kans en verwachting naar een nieuwe definitie toe. We kijken naar het binomiale model, dus is er een zekere kans u waarmee we in de up-toestand terecht komen en is er een kans d = 1 kans u waarmee we in de down-toestand terecht komen. We herschrijven hier (1.10)-(1.12) met constanten: φ u = p u R 0 kans u R u e rt en φ d = p d R 0 kans d R d e rt C 0 = kans u C u φ u e rt + kans d C d φ d e rt S 0 = kans u S u φ u e rt + kans d S d φ d e rt R 0 = kans u R u φ u e rt + kans d R d φ d e rt. Gegeven dat de functie φ(t ) die gelijk is aan φ u in de up-toestand en gelijk aan φ d in de down-toestand, herkennen we in de vergelijkingen aan de rechterkant een verwachting: van een variabele X, keer de functie φ, keer een schaalfactor: E ( X(t)φ(T )e rt ). 9

12 De verwachting van X(t) voor tijdstip T met een investering X 0 = 1 op tijdstip 0 tegen de risicovrije rente is: E ( X(t)φ(T )e rt ) = kans u R u φ u (T ) e rt + kans d R d φ d (T ) e rt = p u (T )X(T ) + p d (T )X(T ) = e rt. We veralgemeniseren deze kans en verwachting als volgt. Zij de risicovrije rente r(t) ( variabel, dan nemen we de oplossing (1.3) van 0 tot t, R(t) = ) t R(0) exp r(s)ds als numéraire onder de risiconeutrale maat. Dan zijn 0 de defnities voor algemene kans en voor algemene verwachting als volgt: Definitie 1.1. De (voorwaardelijke) kans op een gebeurtenis A onder de risiconeutrale maat is gedefinieerd als: ( Pt R (A) = E 1 A φ(t ) R(T ) ). (1.13) R(t) Definitie 1.2. De (voorwaardelijke) verwachting van een stochastisch proces X(t) onder de risiconeutrale maat is gedefinieerd als: ( Et R (X(t)) = E X(t)φ(T ) R(T ) ). (1.14) R(t) Er valt nog wat belangrijks te melden over de functie φ(t). Als er geen arbitrage mogelijkheden zijn dan bestaat er een φ(t ) zodat op ieder moment t onder de standaard (voorwaardelijke) verwachting geldt: R(t) = E t (φ(t )R(T )). Ook geldt bij (1.10)-(1.12) dat de waarde op tijdstip t gelijk is aan de verwachte waarde op tijdstip T. Dit is een versimpeld begrip van een martingaal, de definitie die we in dit verslag gebruiken is de volgende. Definitie 1.3. Een stochastisch proces M(t) waarvan de huidige waarde altijd gelijk is aan de (voorwaardelijke) verwachting noemen we een martingaal: M(t) = E t (M(T )) voor t < T. Een gebruikelijke definitie van martingaal staat in [6]. Met een belangrijke formule, die we vanaf nu de fundamentele waardering formule noemen, volgt dat in het algemeen geldt dat elke derivaat X gedeeld door de numéraire R(t) onder de risiconeutrale maat een martingaal is: X(t) R(t) = ER t ( X(T ) R(T ) ). (1.15) Een bewijs hiervan is te vinden in [1]. Zo geldt dat in elk financieel model alle derivaten gedeeld door de numéraire een martingaal zijn. 10

13 Brownse beweging De Brownse beweging is een stochastisch proces. Dit komt er intuïtief op neer dat het proces willekeurig toeneemt of afneemt. Dit vindt zijn toepassing in de financiële wiskunde bij het simuleren van aandelenkoersen. Er wordt dan vaak aangenomen de aandelenprijs zich deels gedraagt als een stochastisch proces. Hierbij worden geometrische Brownse bewegingen gebruikt. In dit hoofdstuk gaan we de theorie zo ontwikkelen dat we een geometrische Brownse beweging kunnen simuleren. We starten met theorie over de standaard Brownse beweging. 2.1 Brownse beweging Voordat we gaan kijken naar een Brownse beweging, maken we een stochastische wandeling. Dit doen we door steeds een eerlijke munt op te gooien. Deze komt op kop, K, met kans een half en munt, M, met kans een half. Het rsultaat van een oneindige reeks worpen is ω, met ω = ω 1 ω 2 ω Waarbij het resultaat van de n-de worp wordt gegeven door ω n. Een mogelijke ω is bijvoorbeeld M K K.... Een stochastische wandeling begint bij nul en bij elke worp maakt het proces een stap naar boven of naar beneden, dit brengt ons bij de volgende definitie. Definitie 2.1. Gegeven een oneindige reeks onafhankelijke worpen ω met een eerlijke munt. Een stochastische wandeling M k (ω) met M 0 = 0 over k-stappen is M k (ω) = i k X i(ω). Waarbij X i (ω) gedefinieerd is als: { 1 als ω i = K X i (ω) = (2.1) 1 als ω i = M. Een stochastische wandeling valt goed te simuleren. Er volgt een voorbeeld van drie gesimuleerde stochastische wandelingen. Een van de eigenschappen van een stochastische wandeling is dat de incrementen onafhankelijk van elkaar zijn. Dat houdt in dat als we gehele getallen 11

14 waarde k 5 Figuur 2.1: Drie stochastische wandelingen M k. kiezen 0 = k 0 < k 1 <... < k m, de stochastische variabelen M k1 = (M k1 M k0 ), (M k2 M k1 ),..., (M km M km 1 ) onafhankelijk zijn. Elk van de variabelen M ki+1 M ki = k i+1 j=k i +1 wordt een increment genoemd. Het is de verandering van de stochastische wandeling tussen k i en k i+1. De incrementen die elkaar niet overlappen zijn onafhankelijk omdat ze afhangen van verschillende onafhankelijke worpen van een eerlijke munt. We weten dat X 1,..., X nt stochastische onafhankelijke identiek verdeelde stochasten zijn. Ze hebben eindige verwachting en eindige variantie X j µ = EX i = = 0 σ 2 = VarX i = EX 2 i = (1) ( 1)2 1 2 = 1. 12

15 Om een Brownse beweging te simuleren gaan we meer stappen doen op een interval en schalen we de stochastische wandeling. Hiervoor definiëren we de geschaalde stochastische wandeling B n (t). Definitie 2.2. De geschaalde stochastische wandeling B n (t) is gelijk aan: B n (t) = 1 n M nt, (2.2) gegeven dat nt een geheel getal is. De variabele t staat voor de tijd en de variabele n geeft het aantal stappen per tijdseenheid aan. Als nt geen geheel getal is dan ronden we nt naar beneden af, zodat B n (t) = 1/ n M nt waarde t Figuur 2.2: Drie geschaalde stochastische wandelingen B n (t) met n gelijk aan 10. Deze geschaalde stochastische wandeling heeft drie eigenschappen die zo van pas gaan komen. De eerste hebben we al gezien en is dat twee incrementen die elkaar niet overlappen onafhankelijk zijn. De tweede eigenschap zegt dat de verwachting van een increment gelijk is aan nul. Dit zien we in met een berekening. Voor het gemak nemen we aan dat nt geheel is, anders wordt nt zoals gezegd naar beneden afgerond, ( nt E(B n (t i+1 ) B n 1 i+1 (t i )) = E n j=nt i X j ) = 1 nt i+1 n j=nt i +1 E(X j ) = 0.

16 De derde eigenschap zegt dat de variantie van een increment gelijk is aan t i+1 t i, ( nt i+1 ) Var(B n (t i+1 ) B n 1 (t i )) = Var X j = 1 nt i+1 Var(X j ) = t i+1 t i. n n j=nt i +1 j=nt i +1 We krijgen een Brownse beweging als we bij de geschaalde stochastische wandeling B n (t) het aantal stappen n naar oneindig laten gaan. De geschaalde stochastische wandeling behoudt de eigenschappen in het limietgeval. Met de centrale limietstelling kunnen we de verdeling van B n (t) bepalen. Als de functie Φ(x) = x φ(y) dy, x R, zoals gebruikelijk de standaardnormale verdelingsfunctie aangeeft dan geldt volgens de centrale limietstel- ling dat ( ) lim P 1 nt X j µ x = Φ(x), x R, n nt σ in ons geval zegt de stelling: lim P n ( 1 nt n j=1 j=1 X j 1 x We concluderen dat Bn (t) t in de limiet standaardnormaal verdeeld is. Aangezien ) ( B n (t) = lim P n t ) x = Φ(x), x R. ( B n (t) lim n P(Bn (t) y) = lim P y ) ( ) y = Φ n t t t geldt dat B n (t) in de limiet normaal verdeeld is met verwachting 0 en variantie t (want σ = t). Samen met de drie vorige eigenschappen volgt dat in het limietgeval de geschaalde stochastische wandeling een Brownse beweging is. Dit brengt ons bij een definitie van de Brownse beweging. Definitie 2.3. Gegeven een kansruimte (Ω, F, P ) en gegeven dat er voor elke ω Ω een continue functie B(t) = B(t, ω) is voor t 0 die voldoet aan B(0) = 0. Dan is B(t) een Brownse beweging als voor alle partities 0 = t 0 < t 1 <... < t n = t de incrementen B t1 = (B t1 B t0 ), (B t2 B t1 ),..., (B tm B tm 1 ) 14

17 onafhankelijk zijn en normaal verdeeld met E(B(t i+1 ) B(t i )) = 0 en Var((B(t i+1 ) (B(t i ))) = t i+1 t i. waarde t 2 Figuur 2.3: Drie Brownse bewegingen B(t), gemaakt met drie geschaalde stochastische wandelingen B n (t) waarbij n gelijk is aan 500. We kunnen de Brownse beweging interpeteren alsof er elk moment dt een munt wordt opgegooid met een kleine positieve of negatieve bijdrage. Deze schommeling op elk moment noteren we met db t. Dit levert ons twee differentialen op, dt en db t, die we gaan gebruiken bij het modelleren van een aandelenprijs. Voordat we verder gaan, kijken we eerst naar een aanpassing van de definitie van correlatiecoëfficient tussen twee Brownse bewegingen. In hoofdstuk 3 gaan we hiervan gebruik maken. De Brownse bewegingen hoeven niet onafhankelijk van elkaar te zijn. De correlatiecoefficiënt kan ook een stochastisch proces zijn. We nemen daarom een aangepaste definitie van de correlatiecoefficiënt. Definitie 2.4. Zij B x en B y twee verschillende Brownse bewegingen en twee tijdstippen t < u. Als voor een stochastisch proces ρ geldt dat de voorwaardelijke covariantie van de twee normaal verdeelde Brownse bewegingen op 15

18 tijdstip t gelijk is aan, cov t (B x (u t), B y (u t)) = E t ( u t ) ρ(s) ds. Dan noemen we ρ de correlatiecoëfficient van de twee Brownse bewegingen. Een reden waarom de voorwaardelijke verwachting van ρ een goede definitie voor de correlatiecoëffcient is de volgende. Wanneer de covariantie ρ van de veranderingen X = B x (u) B x (t) en Y = B y (u) B y (t) constant is, kunnen we de gebruikelijke correlatiecoëfficient berkenen. Deze wordt gegeven door cov(x, Y )/ VarXVarY. Aangezien B x en B y normaal verdeeld zijn geldt: cov(x, Y ) VarXVarY = u t ρ ds = u t u t (u t)ρ u t = ρ. Dus zien we dat een constante correlatiecoëfficient gelijk is aan de correlatiecoefficiënt ρ. 2.2 Kwadratische variatie Voordat we de aandelenprijs gaan simuleren leiden we eerst een aantal handige rekenregels met betrekking tot de differentialen dt en db t af. Deze rekenregels volgen uit de kwadratische variatie van B en van t. Eerst de definitie van kwadratische variatie. Definitie 2.5. Gegeven een partitie 0 = t 0 < t 1 < t 2 <... < t n = T van het interval [0, T ]. Voor een functie f(t) berekenen we de som van de kwadratische veranderingen met n 1 (f(t j+1 ) f(t j )) 2. j=0 De limiet van deze som bij het kijken naar steeds fijnere partities waarbij de lengte van elk interval [t i, t i 1 ] naar nul gaat noemen we de kwadratische variatie. We zijn vertrouwd met continu differentieerbare functies. Al deze functies hebben een kwadratische variate van nul. Neem de lineaire functie f(t) = at voor een constante a en een partitie waarbij t j t j 1 = t = T/n. Dan is de kwadratische variatie: 16

19 n 1 lim n j=0 = lim n na 2 (f(t j+1 ) f(t j )) 2 = lim n n 1 j=0 ( ) 2 T a 2 T 2 = lim n n n = 0. (at j+1 at j ) 2 = lim n na 2 ( t) 2 We zien dat de kwadratische variatie van een lineaire functie nul is. Met het argument dat iedere continue differentieerbare functie in elk punt lokaal lineair is, volgt dat de kwadratische variatie van een continue differentieerbare functie gelijk is aan nul. Voor een Brownse beweging geldt echter dat de kwadratische variatie niet gelijk is aan nul, maar aan T! Een expliciete berekening van de volgende kwadratische variaties is te vinden in [6]. De kwadratische variatie van een Brownse beweging: n 1 j=0 (B(t j+1) B(t j )) 2 convergeert met kans één naar T. Dit noteren we informeel met (db t ) 2 = dt. De gemengde kwadratische variatie van een Brownse beweging met t is gelijk aan 0, (dt)(db t ) = 0 en de kwadratische variatie van t is ook gelijk aan nul, (dt)(db t ) = 0. We vatten deze rekenregels samen: 2.3 Itô s formule (dt) 2 = 0 (2.3) (dt)(db t ) = 0 (2.4) (db t ) 2 = dt. (2.5) In deze paragraaf gaan we de aandelenprijs simuleren aan de hand van een Itô proces. We gaan ervan uit dat de aandelenprijs een vaste toename heeft en een variabele toename. Bij de vaste toename kan je denken aan de rente min de dividend. Om het niet nodeloos ingewikkeld te maken gaan we er in deze scriptie altijd van uit dat een aandeel geen dividend uitbetaalt. Met de variabele toename worden de kenmerkende schommelingen van de aandelenprijs gemodelleerd. Definitie 2.6. Een Itô proces is een stochastisch proces X = X(t), t 0 dat verandert over de tijd volgens de stochastische differentiaalvergelijking, dx = µ t dt + σ t db t. (2.6) We noteren de vaste toename met µ t en deze staat beter bekend als drift. We noteren de schommeling met σ t en deze staat beter bekend als volatiliteit. 17

20 Merk op dat zowel de drift als de volatiteit functies afhankelijk van tijd en stochastisch kunnen zijn. Als we de veranderingen bij elkaar optellen krijgen we een simulatie van de aandelenprijs op tijdstip T > 0, X(T ) = X(0) + T 0 µ t dt + T 0 σ t db t. (2.7) Bovendien is (2.6) een afkorting van (2.7). Nemen we µ t = 0 en σ t = 1 dan hebben we een Brownse beweging. In het geval dat µ t en σ t constant zijn wordt het proces ook wel een algemene Brownse beweging genoemd. We kunnen µ t en σ t zo kiezen dat ze zo goed mogelijk een aandelenprijs simuleren. Bij het simuleren van (2.6) maken we gebruik van een gediscretiseerde versie: X(t i+1 ) X(t i ) = µ(t i ) (t i+1 t i ) + σ(t i ) (B(t i+1 ) B(t i )). Dit schrijven we korter op met de volgende notatie: X = µ t t + σ t B. Bij het rekenen met Itô processen is er een belangrijke formule, waarmee je de differentiaal van een functie f(t, X(t)) die zowel afhangt van de tijd als van een Itô proces X(t) kan berekenen. Deze formule staat bekent als Itô s formule. We leiden Itô s formule af door te kijken naar een taylorontwikkeling van f(t, X(t)) om punt f(t, X(t)), waarbij X(t) een Itô proces is met drift µ t en volatiliteit σ t, f(t, X(t)) f(t, X(t)) f(t, X(t)) =f(t, X(t)) + (X(t) X(t)) + (t t) X(t) t f(t, X(t)) (X(t) X(t)) 2 2! X(t) f(t, X(t)) (X(t) X(t))(t t) f(t, X(t)) (t t) 2 X(t) t 2! t f(t, X(t)) (X(t) X(t)) ! X(t) 3 Als we het verschil tussen t en t nul laten naderen en de term f(t, X(t)) naar links halen krijgen we differentialen: 18

21 f(t, X(t)) f(t, X(t)) df(t, X(t)) = (dx(t)) + dt f(t, X(t)) (dx(t)) X(t) t 2! X(t) f(t, X(t)) (dx(t))(dt) f(t, X(t)) (dt) 2 X(t) t 2! t f(t, X(t)) (dx(t)) ! X(t) 3 Aangezien het verschil tussen t en t naar nul gaat, geldt dat f(t, X(t)) f(t, X(t)). Daarnaast weten dat (dt) 2 = 0, (2.3), en dus dat alle hoge orde termen dt vallen weg. Dit brengt ons bij de vergelijking f X(t) (dx(t)) f 2! X(t) 2 (dx(t)) f 3! X(t) 3 (dx(t)) df = f t dt + We weten ook dat dx(t) = µ t dt + σ t db t 2 f X(t) t (dx(t))(dt) df = f X(t) (µ t dt + σ t db t ) + f t dt f 2! X(t) (µ 2 t dt + σ t db t ) f X(t) t (µ t dt + σ t db t )(dt) f 3! X(t) (µ 3 t dt + σ t db t ) Met de rekenregels (2.3)-(2.5) zien we dat (db t ) 3 = (dt)(db t ) = 0, waardoor alle hogere orde termen db t wegvallen. Ook weten we dat (dt)(db t ) = 0, waardoor alle gemengde termen weg vallen. We houden de volgende termen over df = f X(t) µ t dt + f X(t) σ t db t + f t dt Dit kunnen we herschrijven tot Itô s formule: ( f df = X(t) µ t + f t f 2 X(t) 2 σ2 t ) dt + 2 f X(t) σ 2 t (db t ) 2. f X(t) σ t db t. (2.8) 19

22 2.4 Geometrische Brownse beweging Definitie 2.7. Zij S 0 een willekeurige startwaarde dan wordt de geometrische Brownse beweging wordt gegeven door de vergelijking ) S(t) = S 0 exp (µt σ2 2 t + σb(t). (2.9) Met het gemiddelde µ en de volatiliteit σ constant en B(t) een Brownse beweging. Met behulp van Itô s formule kunnen we (2.9) omschrijven naar een differentiaal. Stel f(t, B(t)) = S = S 0 exp (µt σ 2 t/2 + σb(t)), dan kunnen we Itô s formule toepassen. Merk op dat de Brownse beweging B(t) een Itô proces is met verwachting µ B = 0 en volatiliteit σ B = 1: df = ( f B(t) µ B + f t f B(t) 2 σ2 B ) dt + f X(t) σ B db t. Het uitrekenen van de partiële afgeleiden geeft ( ) ds = 0 + (µ σ2 S + 1 ) 2 2 σ2 S dt + σs db t. We werken dit uit tot ds S = µ dt + σ db t. (2.10) Dit is één van de twee equivalente formules voor de differentiaal van een geometrische Brownse beweging. We herkennen hierin een Itô proces met µ t = µs(t) en σ t = σs(t), ds = µ t dt + σ t db t. Gaan we dit simuleren dan discretiseren we de (2.10) tot: S S = µ t + σ B t. Dit gaat fout bij een uitschieter van B, de aandelenprijs S(t) kan dan negatief worden! Terwijl in de oplossing S 0 vermenigvuldigd wordt met een exponentiële functie en S(t) dus nooit negatief wordt. Daarom gebruiken we bij het simuleren van een aandelenprijs de log van de oplossing: log S(t) = log S(0) + (µ 12 ) σ2 + σb(t). 20

23 De differentiaal van deze formule is: d log S = (µ 12 ) σ2 dt + σ db t. (2.11) De differentialen hebben dezelfde oplossing en zijn dus equivalent aan elkaar. Bij het discretiseren van (2.11) krijgen we, log S = (µ 12 ) σ2 t + σ B. Deze formule geeft zoals gewild altijd een positief getal voor de aandelenprijs omdat we de exponent nemen. Bij de financiële modellen die we gaan bestuderen in het volgende hoofdstuk maken we gebruik van een geometrische Brownse beweging onder de risiconeutrale maat. Door het gebruik van de nieuwe kansmaat veranderen een aantal dingen. Als we bijvoorbeeld de Brownse beweging B(t) bekijken onder een andere kansmaat kunnen we niet verwachten dat het een Brownse beweging blijft. Desondanks wordt de herschaalde Brownse beweging wel een Itô proces onder de risiconeutrale maat. Het is zelfs zo dat ieder Itô proces onder de risiconeutrale maat nog steeds een Itô proces is en andersom. Dit alles onder de veronderstelling dat de maattransformatie absoluut continu is. We gaan nu berekenen wat er gebeurt met de drift en de volatiliteit als we overstappen op de risiconeutrale maat. We beginnen ( met de drift. Zij X(t) een Itô proces en zij zoals gebruikelijk t R(t) = exp ). r(s) ds Dan definiëren we Z(t) als, 0 Z(t) = X(t) ( R(t) = exp t 0 ) r(s) ds X(t). Ondanks dat X(t) een stochastisch proces is, geldt de gewone productregel want R(t) 1 is differentieerbaar, dz(t) = d X(t) R(t) = dx(t) R(t) + X(t)d 1 R(t) + 0. We kunnen de differentiaal van R(t) 1 met de vertrouwde calculus berekenen, omdat het een continu differentieerbare functie is. Door te differentiëren zien we dat dr(t) 1 = rr(t) 1 dt. Dit invullen geeft: dz(t) = d X(t) R(t) = dx(t) R(t) r X(t) R(t) 21 dt = Z(t)dX(t) X(t) rz(t) dt

24 en dus dz(t) Z(t) = dx(t) r dt. (2.12) X(t) Met de fundamentele waardering formule (1.15) weten we dat Z(t) onder de risiconeutrale maat een martingaal is. Daarom moet de drift van dz(t) gelijk zijn aan nul. Hieruit volgt dat de drift van dz(t)/z(t) ook gelijk is aan nul. Uit de formule (2.12) kunnen we concluderen dat de drift van dx(t)/x(t) gelijk is aan r onder de risiconeutrale maat. Dan rest nog de vraag wat er gebeurt met de volatiliteit onder de risiconeutrale maat. Het antwoord hierop is simpel: niets. Bij het veranderen van kansmaat blijft de volatiliteit hetzelfde. De reden dat de volatiliteit niet verandert komt door de eis die we stellen bij het wisselen van kansmaat. We eisen dat er tussen de kansmaat P en de nieuwe kansmaat P absolute continuïteit is. Per definitie geldt dan dat P (A) = 0 impliceert dat P (A) = 0 en dat P (A) > 0 impliceert dat P (A) > 0, voor iedere gebeurtenis A. Nemen we het complement van A dan krijgen we dat P (A c ) = 1 impliceert dat P (A c ) = 1. We zagen dat de kwadratische variatie van de Brownse beweging met kans één naar T convergeerde. Door absolute continuïteit convergeert hij ook onder de nieuwe kansmaat naar T. Dus verandert er niks aan de volatiliteit σ t onder de nieuwe kansmaat. Hetzelfde argument gaat op voor de correlatie tussen twee Brownse bewegingen bij het wisselen van kansmaat. We vatten het als volgt samen: zij S(t) een Itô proces met drift S(t)µ t en volatiliteit S(t)σ t en zij B (t) een Brownse beweging onder de risiconeutrale maat dan volgt uit (2.12), en dus dat r = µ t. ds(t) S(t) = r dt + σ t db t (2.13) 22

25 waarde t Figuur 2.4: Twee geometrische Brownse bewegingen (rood en blauw) met parameters: S(0) = 10, σ = 0, 2 en een risicovrije rente van 25%. Samen met een risicovrije investering (groen) met startwaarde S(0) =

26 Een ander mooi voorbeeld krijgen we als we naar een Brownse beweging kijken bij het wisselen naar de risiconeutrale maat. Dan is S(µ t dt + σ t db t ) = ds(t) = S(r dt + σ t db t ). Hieruit kunnen we concluderen dat µ t dt + σ t db t = r dt + σ t db t. We wisten dat r = µ t waardoor we de volgende relatie tussen de Brownse beweging en de Brownse beweging onder de risiconeutrale maat kunnen afleiden, db t = db t + r µ t σ t dt. (2.14) waarde t 1 Figuur 2.5: Onder de risiconeutrale maat een voormalige Brownse beweging (rood) en een Brownse beweging onder de risiconeutrale maat (blauw) bij een risicovrije rente van 25%. 24

27 Twee financiële modellen Voortbouwend op de vorige hoofdstukken wordt nu gekeken naar twee financiële modellen die het gedrag van een aandelenprijs simuleren met behulp van Monte Carlo simulatie. De eerste is het binomiale model. Met het binomiale model simuleren we een aandelenprijs dat zich als een geometrische Brownse beweging onder de risiconeutrale maat gedraagt. Het heeft dus dezelfde aannamen als het Black en Scholes model, waardoor het ook eenzelfde schatting van de aandelenprijs oplevert. De tweede is het Heston model. Dit model is speciaal omdat wordt aangenomen dat de aandelenprijs zich gedraagt als een variatie op een geometrische Brownse beweging onder de risiconeutrale maat. Nu is de volatiliteit niet constant, maar wel een Itô proces. Ook wordt de invloed van de aandelenprijs op de volatiliteit meegenomen door de twee processen aan elkaar te correleren. Uit observaties blijkt namelijk dat de aandelenprijs invloed heeft op de volatiliteit. Zo is bijvoorbeeld na een heftige beweging van de aandelenprijs, de kans groter dat er nog een heftige beweging van de aandelenprijs komt. 3.1 Binomiale model Het binomiale model gebruiken we om een geometrische Brownse beweging te benaderen. We veronderstellen onder de risiconeutrale maat (2.11) dat B gelijk is aan een Brownse beweging, zodat d log S = (r σ2 2 ) dt + σdb t. Het model werkt als volgt. Na een periode kan het aandeel in de up-toestand S u = us of in de down-toestand S d = ds zijn. Dit betekent dat het rendement gelijk is aan S/S = u 1 in de up-toestand en gelijk aan S/S = d 1 in de down-toestand. Er zijn drie parameters in het model: u, d, en p, met p de kans om in de up-toestand te komen. Dan is natuurlijk 1 p de kans om in de down-toestand te komen. Over meerdere perioden kan je het binomiale model weergeven met een boom. Door de parameters over de meerdere 25

28 perioden N hetzelfde te laten scheelt het aanzienlijk veel rekenwerk. Veel toestanden vallen er na een periode samen. Per periode komt er steeds maar één toestand bij. Zouden we niet eisen dat de parameters gelijk blijven, dan neemt het aantal toestanden niet lineair toe maar exponentieel, volgens 2 N. u³s u²s us du²s S uds ds ud²s d²s Figuur 3.1: Binomiaal model over drie perioden. Dan rest ons nog de vraag hoe we de parameters: u, d, en p moeten kiezen. We willen dat als het aantal periodes naar oneindig gaat het model een geometrische Brownse beweging onder de risiconeutrale maat benadert. We simuleren de prijs over een periode [0, T ]. We delen het interval steeds op in kleinere perioden t = T/N waarop we ons model toepassen. In dit geval willen we dus dat de aandelenprijs zich gedraagt als: log S = (r σ2 2 ) t + σ B. De verwachting en variantie onder de risiconeutrale maat van log S over een tijdsinterval t zijn: ) E R ( log S) = E R (ν t) + E R (σ B) = (r σ2 t 2 Var R ( log S) = Var R (ν t) + Var R (σ B) = σ 2 t. d³s 26

29 Oftewel E R ( log S) t Var R ( log S) t = ) (r σ2 t 2 = σ 2 t. Nu willen we weten wat in het binomiale model de verwachting E R ( log S) en de variantie Var R ( log S) zijn. Voor de verwachting geldt dat E R ( log S) = p log(us) + (1 p) log(ds) log S en voor de variantie geldt = p log u + (1 p) log d + p log S + (1 p) log S log S = p log u + (1 p) log d Var R ( log S) = p log(us) 2 + (1 p) log(ds) 2 (log S) 2 (E R ( log S)) 2 = p(log u) 2 + (1 p)(log d) 2 (p log u + (1 p) log d) 2 = p(1 p)(log u) 2 2p(1 p) log u log d + p(1 p) log u log d = p(1 p)(log u log d) 2. Uit deze gegevens leiden we af dat voor het binomiale model geldt dat: E R ( log S) p log u + (1 p) log d = t t Var R ( log S) p(1 p)(log u log d)2 =. t t Voor convergentie naar het continue geval als het aantal perioden N gaat terwijl T gelijk blijft is het voldoende als: ) p log u + (1 p) log d (r σ2 t 2 p(1 p)(log u log d) 2 σ 2. t Het model dat het meest gebruikt wordt komt van Cox, Ross en Rubinstein [2], zij stellen d = 1/u en stelt dat u = e σ t p = er t d u d. 27

30 Een ander vaak gebruikte model is die van Jarrow en Rudd [3]. Dit model hebben we al stilzijgend gebruikt bij het simuleren van de geometrische Brownse bewegingen in de vorige paragraaf. Zij kiezen p = 1/2 en u = exp ((r 12 ) σ2 t + σ ) t p = exp ((r 12 ) σ2 t σ ) t. 3.2 Heston model Het binomiale model is dus een handig model om de aandelenprijs te simuleren. Doorgaans is het simuleren lastiger. Dit komt doordat de aandelenprijs wordt gesimuleerd met een Itô proces waarvan de volatiliteit variabel is. De in het echt berekende volatiliteit uit optieprijzen, ook wel de geïmpliceerde volatiliteit, heeft een bepaalde curve. Voor aandelenprijzen is de geïmpliceerde volatiliteit vaak een smile. De smile wordt onder meer veroorzaakt door de dikke linkerstaarten in de verdeling van de aandelenprijzen. Ook is er na de beurscrash in 1987 een zekere angst voor een nieuwe crash. Dit resulteert in een hogere volatiliteit als een aandeel laag staat [5]. We gaan het Heston model bestuderen dat rekening houdt met een variabele volatiliteit. Geïmpliceerde volatiliteit Waarde aandeel Figuur 3.2: Kenmerkende volatiliteit van aandelenprijzen. 28

31 Het model werd in 1993 door de Amerikaanse wiskundige Steve Hetson gepubliceerd. In het model is de volatiliteit een stochastisch proces, het wordt vandaar ook wel een stochastische volatiliteit model genoemd. Het Heston model is één van de stochastische volatiliteit modellen die gemaakt zijn om het gebrek van constante volatiliteit in het Black en Scholes model te verhelpen. Een andere bekende stochastische volatiliteit model is het GARCH(p, q) model. In het Heston model wordt aangenomen dat de volatiliteit zich als een zeker Itô proces gedraagt. Het speciale van het Heston model is dat door de parameters goed te kiezen, we een smile voor de volatiliteit kunnen simuleren. Heston formuleerde zijn model als volgt, zij B S (t) en B v (t) twee Brownse bewegingen, waarbij B v (t) een constante correlatie ρ met B S (t) heeft. Dan gedraagt de aandelenprijs zich gedraagt als een variatie op de geometrische Brownse beweging: ds S = µ dt + v(t) db S. (3.1) De parameter µ is constant, maar de volatiliteit v(t) gedraagt zich als een Ornstein-Uhlenbeck proces met constante parameters β en δ: d v(t) = β v(t) dt + δ db v (t). (3.2) Met Itô s formule (2.8), waarbij f(x) = x 2 en x = v(t) volgt dat: en dus dat dx 2 = δ 2 dt + 2x dx dv(t) = δ 2 dt + 2 v(t) d v(t) = δ 2 dt + 2 v(t) ( β v(t) dt + δ db v ) = (δ 2 2βv(t)) dt + 2δ v(t) db v. Het proces kan worden herschreven als een square-root proces, door γ = 2δ, κ = 2β en θ = γ 2 /(4κ) te kiezen: dv(t) = (δ 2 2βv(t)) dt + 2δ v(t) db v ( ) 1 = 4 4δ2 κv(t) dt + γ v(t) db v ) = (κ γ2 4κ κv(t) dt + γ v(t) db v = κ(θ v(t)) dt + γ v(t) db v. (3.3) 29

32 Bij het simuleren van de aandelenprijs heeft de andere equivalente formule van een geometrische Brownse beweging (2.11) de voorkeur: d log S = (µ 12 ) σ(t)2 dt + σ(t) db S. Het theoretische model is nu bijna klaar, we hoeven alleen nog erin te verwerken dat we werken onder de risiconeutrale maat. Dit heeft als gevolg voor de aandelenprijs dat µ = r, zie (2.13), zodat: d log S(t) = (r 12 ) σ(t)2 dt + σ(t) dbs (3.4) met BS (t) een Brownse beweging onder de risiconeutrale maat. Voor de volatiliteit komt het erop neer dat we de constanten opnieuw zo goed mogelijk moeten kiezen onder de risiconeutrale maat: dv(t) = κ(θ v(t)) dt + γ v(t) db v (3.5) met B v(t) een Brownse beweging onder de risiconeutrale maat. Dit is het Heston model waarmee we gaan werken. De constante parameters hebben de volgende betekenis. Voor de risicovrije rente staat zoals gebruikelijk r. Voor de volatiliteit van de volatiliteit staat γ. Met deze parameter simuleren we het effect dat er na een heftige beweging van de aandelenprijs relatief vaak een heftige beweging volgt. Voor de volatiliteit geldt over het algemeen dat na een uitschieter de volatiliteit weer terug keert naar zijn gemiddelde θ. Hoe snel dit gebeurt hangt af van κ. Tot slot treden een aantal uitschieters in de volatiliteit willekeurig op, dit wordt in het model gesimuleerd door de correlatie ρ tusssen B v met B S. S(0) waarde van de aandelenprijs op tijdstip 0 v(0) waarde van de volatiliteit op tijdstip 0 r risicovrije rente γ volatiliteit van de volatiliteit θ lange termijn variantie κ snelheid waarmee de variantie terugkeerd naar zijn gemiddelde ρ correlatie van B v met B S Tabel 3.1: De parameters van het Heston model. Als we simulaties maken met het Heston model maken we gebruik van een gediscretiseerde versie. We discretiseren het model door te kijken naar een verandering van de aandelenprijs over kleine tijdsintervallen: 30

33 en log S(t i+1 ) = log S(t i ) + (r 1/2 v(t i )) t i+1 + v(t i ) B S v(t i+1 ) = v(t i ) + κ(θ v(t i )) t i+1 + γ v(t i ) B v. Er zijn twee problemen waar we tegenaan lopen. Het eerste is dat het nu wel kan voorkomen dat v(t) negatief wordt (doordat de Bv een normaal verdeelde stochast is). Maar in het continue geval wordt de volatiliteit nooit nul! Dit volgt uit de formule, als v(t) dicht bij nul komt, neemt v(t) toe met κθ dt: dv(t) = κ(θ v(t)) dt + γ v(t) dbv. We vervangen daarom v(t) als deze toevallig negatief wordt door nul: { v(t i+1 ) = max 0, v(t i ) + κ(θ v(t i )) t i+1 + γ } v(t i ) Bv. Het tweede probleem is hoe we de correlatie ρ erin moeten verwerken. Één manier om dit te doen is met twee onafhankelijke standaardnormale verdeelde trekkingen z 1 en z 2. We definiëren en z = z 1 en z = ρz ρ 2 z 2 (3.6) B S = tz en B v = tz. (3.7) Zodat de verwachting gelijk is aan E(B S + B v) = E(z) + E(z ) = E(ρz 1 ) + E( 1 ρ 2 z 2 ) = 0 en de variantie gelijk is aan Var(B S + B v) = Var(z 1 ) + Var(ρz 1 ) = Var(ρz 1 ) + Var( 1 ρ 2 z 2 ) = ρ. De formules (3.7) en (3.9) brengen ons bij de twee formules waarmee we simulaties maken met het Heston model. We simuleren de aandelenprijs met log S(t i+1 ) = log S(t i ) + (r 1/2 v(t i )) t i+1 + v(t i ) tz (3.8) en de volatiliteit met v(t i+1 ) = max {0, v(t i ) + κ(θ v(t i )) t i+1 + γ v(t i ) } tz. (3.9) 31

34 Figuur 3.3: Een simulatie met het Heston model volgens de afgeleide formules (3.8) en (3.9) met parameters: S(0) = 10, r = 3%, t = 0, 01, T = 500, γ = 0, 2, θ = 0, 5, κ = 0, 5, ρ = 0, 1 en v(0) = 0,

35 Dan resteert nog de vraag hoe de parameters in het Heston model worden gekozen. We blikken eerst terug op het binomiale model. Dat heeft vijf onbekende parameters: de aandelenprijs, de periode, het aantal stappen, de risicovrije rente en de volatiliteit. Twee variabelen zijn onbekend: de risicovrije rente en de volatiliteit. Voor deze twee parameters kunnen we gewoon het gemiddelde nemen op basis van metingen uit een trekking. Voor het Heston model zijn er de extra parameters: γ, θ, κ en ρ, Voor γ, κ en ρ wordt vaak de kleinste kwadraten methode gebruikt. De lange termijn volatiliteit θ wordt ook speciaal geschat. Voor θ kunnen we het gemiddelde nemen op basis van de recentste metingen uit een trekking. Voor het schatten van de parameters bestaan verschillende aanpakken die we niet in deze scriptie behandelen. Tot slot kijken we naar een figuur waar we het verschil tussen het binomiale model en het Heston model goed kunnen zien. Spot Return Figuur 3.4: Het Binomiale model vs het Heston model: als ρ = 0 hebben we een verdeling zoals in het binomiale model. Voor de waarden van ρ ongelijk aan nul zien we dat we met het Heston model afwijkt en andere verdelingen kan benaderen. 33

36 Populaire samenvatting Elke beurshandelaar is geïnteresseerd wat een aandeel van vandaag morgen waard is. Vele factoren hebben invloed op de aandelenprijs, waardoor deze vraag nagenoeg onmogelijk is om te beantwoorden. Wat kunnen we dan wel over de aandelenprijs van morgen zeggen? Met historische data van de aandelenprijs kunnen we een schatting maken. Deze schattingen geven vaak een goede indicatie wat de aandelenprijs zal zijn. We zijn daarom opzoek naar een antwoord op de volgende vraag. Hoe kunnen we een goede schatting van de toekomstige aandelenprijs maken? Er wordt aangenomen dat de aandelenprijs zich gedraagt als een stochastisch proces. Dit proces beschrijft de verandering van de aandelenprijs. Voor een deel is er een vaste toename, door bijvoorbeeld de rente. Voor een ander deel zijn er schommelingen van de aandelenprijs, vaak door onverwachte gebeurtenissen. Hoeveel een aandeel schommelt noemen we de volatiliteit. De verandering van de aandelenprijs bekijken we steeds over een korte periode. De aandelenprijs gaat als het ware een stap vooruit. Als we de stappen allemaal achter elkaar plaatsen krijgen we een simulatie van de aandelenprijs. 34

37 waarde t Figuur 4.1: Een stochastisch proces opgebouwd uit stappen. Vaak wordt voor het gemak aangenomen dat de vaste toename en de volatiliteit constant blijven. Voor de vaste toename gaat dit redelijk op met een truc. Door het proces te verschalen onder de risiconeutrale maat, wordt de vaste toename precies gelijk aan de risicovrije rente. In het echt gaat dit niet zo makkelijk op want de risicovrije rente is niet bekend. Deze kan ook nog eens variëren over tijd. waarde t Figuur 4.2: Twee stochastische processen (rood en blauw). Bij deze processen is de vaste toename gelijk aan de risicovrije rente. Dit is in te zien door het te vergelijken met een risicovrije investering (groen). 35

38 De volatiliteit van een aandelenprijs kan wel variëren. Het gevolg is dat de aandelenprijs niet normaalverdeeld is. De oude modellen gingen er juist van uit dat de aandelenprijs wel normaalverdeeld is! Het Heston model is één van de modellen die zijn ontwikkeld om rekening te houden met een volatiliteit die wel kan variëren. Volatiliteit Waarde aandeel Figuur 4.3: De kenmerkende, niet constante volatiliteit van aandelenprijzen. Op deze manier kunnen we met het Heston model betere simulaties van de aandelenprijs maken dan met de voorheen gangbare modellen. Door veel simulaties te maken kunnen we vervolgens beter de toekomstige aandelenprijs schatten. Zo zijn we een stap dichter bij een antwoord op de vraag hoe we een goede schatting van de toekomstige aandelenprijs kunnen maken. 36

39 Bibliografie [1] Kerry Back, A course in derivative securities - Introduction to theory and computation, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, [2] Option pricing: a simplified approach, J. Cox, S. Ross en M. Rubinstein, in: Journal of Financial Economics 7 (1979), [3] Robert A. Jarrow en Andrew Rudd, Option pricing, Dow Jones-Irwin, [4] A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options, S. Heston, in: Review of Financial Studies 6 (1993), [5] John C. Hull, Options, futures and other derivatives, 7e druk, Pearson Prentice Hall, [6] Steven E. Shreve, Stochastic calculus for finance II - Continious-time models, Springer Science + Business Media, LLC,

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2 1 INLEIDING 1 Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2 Volg stap voor stap de tekst en los de vragen op. Bedoeling is dat je op het einde van de rit een verzorgd verslag afgeeft

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur.

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS4, dinsdag 17 juni 28, van 9. 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

AG8! Derivatentheorie Les4! Aandelen options. 30 september 2010

AG8! Derivatentheorie Les4! Aandelen options. 30 september 2010 AG8! Derivatentheorie Les4! Aandelen options 30 september 2010 1 Agenda Huiswerk vorige keer Aandelen opties (H9) Optiestrategieën (H10) Vuistregels Volatility (H16) Binomiale boom (H11) 2 Optieprijs Welke

Nadere informatie

aandeelprijs op t = T 8.5 e 9 e 9.5 e 10 e 10.5 e 11 e 11.5 e

aandeelprijs op t = T 8.5 e 9 e 9.5 e 10 e 10.5 e 11 e 11.5 e 1 Technische Universiteit Delft Fac. Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tussentoets Waarderen van Derivaten, Wi 3405TU Vrijdag november 01 9:00-11:00 ( uurs tentamen) 1. a. De koers van het aandeel

Nadere informatie

Wat is een optie waard?

Wat is een optie waard? Hoofdstuk III Wat is een optie waard? Herold Dehling 1. Inleiding In het najaar van 1997 werd de Nobelprijs voor Economie uitgereikt aan de Amerikaanse hoogleraren Robert C. Merton en Myron S. Scholes

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Kansrekening en Stochastische Processen (2S61) op woensdag 27 april 25, 14. 17. uur. 1. Gegeven zijn twee onafhankelijke

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij

Nadere informatie

Optieprijzen in een formule

Optieprijzen in een formule Optieprijzen in een formule Op de financiële markt worden allerlei soorten opties verhandeld. Banken en andere financiële instellingen willen een redelijke prijs bepalen voor zulke producten. Hoewel de

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2), Vrijdag 24 januari 24, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

1 Continuïteit en differentieerbaarheid.

1 Continuïteit en differentieerbaarheid. 1 1 Continuïteit en differentieerbaarheid. In dit hoofdstuk bekijken we continuiteit en differentieerbaarheid voor functies van meerdere variabelen. Ter orientatie repeteren we eerst hoe het zat met functies

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Eindtentamen Kansrekening en Statistiek (WS), Tussentoets Kansrekening en Statistiek (WS), Vrijdag 8 april, om 9:-:. Dit is een tentamen

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur

Kansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur Kansrekening en statistiek WI05IN deel I 4 november 0, 4.00 7.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Een formuleblad wordt uitgereikt. Meerkeuzevragen Toelichting:

Nadere informatie

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 3

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 3 1 INLEIDING 1 Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 3 Volg stap voor stap de tekst en los de vragen op. Bedoeling is dat je op het einde van de rit een verzorgd verslag afgeeft

Nadere informatie

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur.

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Mathematische Statistiek (WS05), vrijdag 9 oktober 010, van 14.00 17.00 uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter 25 februari, 2008 Hans Maassen 1. Inleiding Het Kalman filter schat de toestand van een systeem op basis van een reeks, door ruis verstoorde waarnemingen. Een meer

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, uur

Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, uur Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, 14.00 17.00 uur Het tentamen bestaat uit 15 meerkeuzevragen 2 open vragen. Een formuleblad wordt uitgedeeld. Normering: 0.4 punt per MC antwoord

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Zeldzame en extreme gebeurtenissen

Zeldzame en extreme gebeurtenissen Zeldzame en extreme gebeurtenissen Ruud H. Koning 19 March 29 Outline 1 Extreme gebeurtenissen 2 3 Staarten 4 Het maximum 5 Kwantielen Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March 29 2 /

Nadere informatie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Inleveren: 12 januari 2011, VOOR het college Afspraken Serie 1 mag gemaakt en ingeleverd worden in tweetallen. Schrijf duidelijk je naam, e-mail

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Statistiek DD14) op vrijdag 17 maart 006, 9.00-1.00 uur. UITWERKINGEN 1. Methoden om schatters te vinden a) De aannemelijkheidsfunctie

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni 2010, uur

Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni 2010, uur Technische Universiteit Delft Mekelweg Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica 8 CD Delft Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni, 9.. uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische

Nadere informatie

Van Cox-Ross-Rubinstein tot Black-Scholes

Van Cox-Ross-Rubinstein tot Black-Scholes Van Cox-Ross-Rubinstein tot Black-Scholes Peter Spreij Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Plantage Muidergracht 24 1018 TV Amsterdam spreij@science.uva.nl www.science.uva.nl/

Nadere informatie

UitwerkingenOefenQuiz Kansrekening 2009

UitwerkingenOefenQuiz Kansrekening 2009 Universiteit Utrecht *Universiteit-Utrecht Boedapestlaan 6 Mathematisch Instituut 3584 CD Utrecht UitwerkingOefQuiz Kansreking 29 1. James Bond zoekt e brief in één van de drie ladkast in het voormalige

Nadere informatie

Zeldzame en extreme gebeurtenissen

Zeldzame en extreme gebeurtenissen 24 March 215 Outline 1 Inleiding 2 Extreme gebeurtenissen 3 4 Staarten 5 Het maximum 6 Kwantielen 23 maart 215 Het Financieele Dagblad Vijf grootste rampen (verzekerd kapitaal) 1 Orkaan Katrina (25, MU$

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei Eindexamen VWO Wiskunde A. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei Eindexamen VWO Wiskunde A. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen VWO Wiskunde A Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Schroefas Opgave 1. In de figuur trekken we een lijn tussen 2600 tpm op de linkerschaal en

Nadere informatie

De Wachttijd-paradox

De Wachttijd-paradox De Wachttijd-paradox Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Mastercourse 15 november 25 Peter Spreij spreij@science.uva.nl 1 Het probleem In deze mastercourse behandelen

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

1. Orthogonale Hyperbolen

1. Orthogonale Hyperbolen . Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde

Nadere informatie

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE 1 DOEL VAN REGRESSIE ANALYSE De relatie te bestuderen tussen een response variabele en een verzameling verklarende variabelen 1. LINEAIRE REGRESSIE Veronderstel dat gegevens

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen VWO Wiskunde C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek I Tjing Opgave 1. Het aantal hoofdstukken in de I Tjing correspondeert met het totale aantal

Nadere informatie

Het Ho-Lee rentemodel (Engelse titel: The Ho-Lee interest rate model)

Het Ho-Lee rentemodel (Engelse titel: The Ho-Lee interest rate model) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Het Ho-Lee rentemodel (Engelse titel: The Ho-Lee interest rate model) Verslag ten

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), woensdag 30 juni 2010, van 9.00 12.00 uur.

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), woensdag 30 juni 2010, van 9.00 12.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (WS4), woensdag 3 juni, van 9.. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamenopgaven Statistiek 2DD71: UITWERKINGEN 1. Stroopwafels a De som S van de 12 gewichten is X 1 + X 2 + + X 12. Deze is normaal

Nadere informatie

Populaties beschrijven met kansmodellen

Populaties beschrijven met kansmodellen Populaties beschrijven met kansmodellen Prof. dr. Herman Callaert Deze tekst probeert, met voorbeelden, inzicht te geven in de manier waarop je in de statistiek populaties bestudeert. Dat doe je met kansmodellen.

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2S27), dinsdag 14 juni 25, 9. - 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 8 Donderdag 13 Oktober 1 / 23 2 Statistiek Vandaag: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 23 Stochast en populatie

Nadere informatie

8. Differentiaal- en integraalrekening

8. Differentiaal- en integraalrekening Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,

Nadere informatie

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8 Tentamen Statistische methoden 4052STAMEY juli 203, 9:00 2:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het meerkeuzevragenformulier uw Delftse studienummer in (tbv automatische verwerking); en op het open

Nadere informatie

en-splitsingen: een aantal alternatieven worden parallel toegepast, of-splitsingen: van een aantal alternatieven wordt er één toegepast,

en-splitsingen: een aantal alternatieven worden parallel toegepast, of-splitsingen: van een aantal alternatieven wordt er één toegepast, Kansrekening voor Informatiekunde, 25 Les 8 Proces analyse Veel processen laten zich door netwerken beschrijven, waarin knopen acties aangeven en opdrachten langs verbindingen tussen de knopen verwerkt

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015, Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd

Nadere informatie

Leeswijzer bij het college Functies en Reeksen

Leeswijzer bij het college Functies en Reeksen Leeswijzer bij het college Functies en Reeksen Erik van den Ban Najaar 2012 Introductie eze leeswijzer bij het dictaat Functies en Reeksen (versie augustus 2011) heeft als doel een gewijzigde opbouw van

Nadere informatie

Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit

Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoewel we reeds vele methoden gezien hebben om allerlei typen differentiaalvergelijkingen op te lossen, zijn er toch nog veel differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

S n = tijdstip van de n-de gebeurtenis, T n = S n S n 1 = tijd tussen n-de en (n 1)-de gebeurtenis.

S n = tijdstip van de n-de gebeurtenis, T n = S n S n 1 = tijd tussen n-de en (n 1)-de gebeurtenis. HET POISSON PROCES In veel praktische toepassingen kan het aaankomstproces van personen, orders,..., gemodelleerd worden door een zogenaamd Poisson proces. Definitie van een Poisson proces: Een Poisson

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Portfolio-optimalisatie

Portfolio-optimalisatie Portfolio-optimalisatie Abdelhak Chahid Mohamed, Tom Schotel 28 februari 2013 Voorwoord Dit dictaat is geschreven ter voorbereiding op de presentatie van 5 maart die gegeven zal worden door twee adviseurs

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten

Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele

Nadere informatie

INLEIDING. Definitie Stochastisch Proces:

INLEIDING. Definitie Stochastisch Proces: Definitie Stochastisch Proces: INLEIDING Verzameling van stochastische variabelen die het gedrag in de tijd beschrijven van een systeem dat onderhevig is aan toeval. Tijdparameter: discreet: {X n, n 0};

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen.

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

Uitwerkingen van de opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman

Uitwerkingen van de opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Uitwerkingen van de opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Roland van der Veen Inleiding Deze reeks opgaven is bedoeld voor de werkcolleges van de vakantiecursus Wiskunde in Wording,

Nadere informatie

De geïmpliceerde boom en de scheefheid van Black-Scholes

De geïmpliceerde boom en de scheefheid van Black-Scholes Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics De geïmpliceerde boom en de scheefheid van Black-Scholes Verslag ten behoeve van

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodellen en normaal verdeelde steekproefgrootheden 5. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg

Nadere informatie

vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 14 Algebraïsche vaardigheden 15 Toetsen van hypothesen 16 Toepassingen van de differentiaalrekening

vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 14 Algebraïsche vaardigheden 15 Toetsen van hypothesen 16 Toepassingen van de differentiaalrekening vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 13.1 Kansberekeningen 13.2 Kansmodellen 13.3 De normale verdeling 13.4 De n -wet 13.5 Discrete en continue verdelingen 13.6 Diagnostische toets 14 Algebraïsche

Nadere informatie

EXAMENVRAGEN OPTIES. 1. Een short put is:

EXAMENVRAGEN OPTIES. 1. Een short put is: EXAMENVRAGEN OPTIES 1. Een short put is: A. een verplichting om een onderliggende waarde tegen een specifieke prijs in een bepaalde B. een verplichting om een onderliggende waarde tegen een specifieke

Nadere informatie

Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis)

Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Verslag ten behoeve

Nadere informatie

III.2 De ordening op R en ongelijkheden

III.2 De ordening op R en ongelijkheden III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.

Nadere informatie

De Laplace-transformatie

De Laplace-transformatie De Laplace-transformatie De Laplace-transformatie is een instrument dat functies omzet in andere functies. Deze omzetting, de transformatie, heeft nette wiskundige eigenschappen. Zowel in de kansrekening

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Technische Universiteit Delft Mekelweg 4 Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica 2628 CD Delft Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Formulebladen, rekenmachines,

Nadere informatie

Medische Statistiek Kansrekening

Medische Statistiek Kansrekening Medische Statistiek Kansrekening Medisch statistiek- kansrekening Hoorcollege 1 Uitkomstenruimte vaststellen Ook wel S of E. Bij dobbelsteen: E= {1,2,3,4,5,6} Een eindige uitkomstenreeks Bij het gooien

Nadere informatie

Europese Callopties. Arald de Wilde. ardwilde@cs.vu.nl. BWI-werkstuk

Europese Callopties. Arald de Wilde. ardwilde@cs.vu.nl. BWI-werkstuk Europese Callopties Arald de Wilde ardwilde@cs.vu.nl BWI-werkstuk Vrije Universiteit Faculteit der Exacte Wetenschappen Bedrijfswiskunde en Informatica De Boelelaan 1081a 1081 HV Amsterdam Juli 2006 Voorwoord

Nadere informatie

Een model voor een lift

Een model voor een lift Een model voor een lift 2 de Leergang Wiskunde schooljaar 213/14 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Inleiding... 5 Model 1, oriëntatie... 7 Model 1... 9 Model 2, oriëntatie... 11 Model 2... 13

Nadere informatie

Analyse I. 2. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville.

Analyse I. 2. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville. Academiejaar 006-007 1ste semester februari 007 Analyse I 1. Toon aan dat elke begrensde rij een convergente deelrij heeft. Geef de definitie van een Cauchy rij, en toon aan dat elke Cauchy rij begrensd

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 12 Vrijdag 16 Oktober 1 / 38 2 Statistiek Indeling vandaag: Normale verdeling Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling Deductieve statistiek Hypothese toetsen

Nadere informatie

De partitieformule van Euler

De partitieformule van Euler De partitieformule van Euler Een kennismaking met zuivere wiskunde J.H. Aalberts-Bakker 29 augustus 2008 Doctoraalscriptie wiskunde, variant Communicatie en Educatie Afstudeerdocent: Dr. H. Finkelnberg

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde A. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde A. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen HAVO Wiskunde A Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Supersize me Opgave 1. De formule voor de dagelijkse energiebehoefte is E b = 33,6 G. Als

Nadere informatie

1. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + 1) = 1.

1. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + 1) = 1. Tentamen-wiskunde?. De basiswiskunde. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + ) =. Oplossing : ln(x + 2) = + ln(x + ) x + 2 = ln + x + 3 = ln dus x =

Nadere informatie

Nieuwe inzichten voor ALM analyse naar aanleiding van de krediet crisis

Nieuwe inzichten voor ALM analyse naar aanleiding van de krediet crisis Nieuwe inzichten voor ALM analyse naar aanleiding van de krediet crisis Peter Vlaar Hoofd ALM modellering APG VBA ALM congres 5 november 2009 Agenda Karakteristieken van de kredietcrisis? Hoe kunnen we

Nadere informatie

Opgaven voor Kansrekening - Oplossingen

Opgaven voor Kansrekening - Oplossingen Wiskunde voor kunstmatige intelligentie Opgaven voor Kansrekening - Opgave. Een oneerlijke dobbelsteen is zo gemaakt dat drie keer zo vaak valt als 4 en twee keer zo vaak als 5. Verder vallen,, en even

Nadere informatie

Monitoraatssessie Wiskunde

Monitoraatssessie Wiskunde Monitoraatssessie Wiskunde 1 Overzicht van de cursus Er zijn drie grote blokken, telkens voorafgegaan door de rekentechnieken die voor dat deel nodig zullen zijn. Exponentiële en logaritmische functies;

Nadere informatie

5 Lineaire differentiaalvergelijkingen

5 Lineaire differentiaalvergelijkingen 5 Lineaire differentiaalvergelijkingen In veel toepassingen in de techniek en de exacte wetenschappen wordt gewerkt met differentiaalvergelijkingen om continue processen te modelleren. Het gaat dan meestal

Nadere informatie

Handout limietstellingen Kansrekening 2WS20

Handout limietstellingen Kansrekening 2WS20 Handout limietstellingen Kansrekening WS0 Remco van der Hofstad 13 januari 017 Samenvatting In deze hand out bespreken we een aantal limietstellingen en hun bewijzen. In meer detail, behandelen we de volgende

Nadere informatie

De enveloppenparadox

De enveloppenparadox De enveloppenparadox Mats Vermeeren Berlin Mathematical School) 6 april 013 1 Inleiding Een spel gaat als volgt. Je krijgt twee identiek uitziende enveloppen aangeboden, waarvan je er één moet kiezen.

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Analyse 1 Handout limieten en continuïteit

Analyse 1 Handout limieten en continuïteit Analyse Handout ieten en continuïteit Rogier Bos Inhoudsopgave Limieten 2. Intuïtief ieten bepalen........................ 2.2 Rekenen aan ieten........................... 4.3 Limieten als spel.............................

Nadere informatie

Sterrenkunde Praktikum 1 Fouten en fitten

Sterrenkunde Praktikum 1 Fouten en fitten Sterrenkunde Praktikum 1 Fouten en fitten Paul van der Werf 12 februari 2008 1 Inleiding In de sterrenkunde werken we vaak met zwakke signalen, of met grote hoeveelheden metingen van verschillende nauwkeurigheid.

Nadere informatie

Rendementsbepaling aan de hand van rentesimulatiemodellen

Rendementsbepaling aan de hand van rentesimulatiemodellen 25 september 2009 drs. Michiel Janssen Bachelorscriptie 2009 Rendementsbepaling aan de hand van rentesimulatiemodellen Jan Koning 0542857 Inhoudsopgave Introductie 1. Inleiding 4 2. Beschrijving van de

Nadere informatie

AEX-Sparen: sparen en beleggen in één (AEX-Sparen: a combination of saving and investing)

AEX-Sparen: sparen en beleggen in één (AEX-Sparen: a combination of saving and investing) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics AEX-Sparen: sparen en beleggen in één (AEX-Sparen: a combination of saving and investing)

Nadere informatie

Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave.

Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Opgave 6 Lesbrief, opgave 4.5 De getallen m en n zijn verschillende positieve gehele getallen zo, dat de laatste drie cijfers van 1978 m en 1978 n overeenstemmen.

Nadere informatie

Kansrekening en stochastische processen 2DE18

Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Docent : Jacques Resing E-mail: resing@win.tue.nl 1/28 The delta functie Zij De eenheids impulsfunctie is: d ε (x) = { 1ε als ε 2 x ε 2 0 anders δ(x) = lim

Nadere informatie

Deze week: Steekproefverdelingen. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen. Kwaliteit van schatter. Overzicht Schatten

Deze week: Steekproefverdelingen. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen. Kwaliteit van schatter. Overzicht Schatten Deze week: Steekproefverdelingen Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Zuivere Schatters Betrouwbaarheidsintervallen Departement Informatica Hfdstk

Nadere informatie

Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006

Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006 Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006 Inleiding In de cursus Wiskunde 1 voor B (2DB00) wordt gebruikt het boek Calculus, Robert T. Smith, Roland B. Minton, second edition, Mc Graw

Nadere informatie

More points, lines, and planes

More points, lines, and planes More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)

Nadere informatie

S n = tijdstip van de n-de gebeurtenis, T n = S n S n 1 = tijd tussen n-de en (n 1)-de gebeurtenis.

S n = tijdstip van de n-de gebeurtenis, T n = S n S n 1 = tijd tussen n-de en (n 1)-de gebeurtenis. VERNIEUWINGSPROCESSEN In hoofdstuk 3 hebben we gezien wat een Poisson proces is. Definitie van een Poisson proces: Een Poisson proces met intensiteit λ (notatie P P (λ)) is een stochastisch proces {N(t),

Nadere informatie

OPTIE THEORIE. 1. Inleiding

OPTIE THEORIE. 1. Inleiding OPTIE THEORIE 1. Inleiding Het begrip aandeel is ongetwijfeld bij velen bekend. Je kunt op de financiële pagina van een willekeurige krant elke dag de aandelenkoersen van bekende en minder bekende ondernemingen

Nadere informatie

Opgave 1 - Uitwerking

Opgave 1 - Uitwerking Opgave 1 - Uitwerking Om dit probleem op te lossen moeten we een zogenaamd stelsel van vergelijkingen oplossen. We zetten eerst even de tips van de begeleider onder elkaar: 1. De zak snoep weegt precies

Nadere informatie

Airyfunctie. b + π 3 + xt dt. (2) cos

Airyfunctie. b + π 3 + xt dt. (2) cos LaTeX opdracht Bewijzen en Redeneren 1ste fase bachelor in Fysica, Wiskunde Werk de volgende opdracht individueel uit. U moet hier alleen aan werken. Geef ook geen files door aan anderen. Ingediende opdrachten

Nadere informatie

Moleculaire Dynamica en Monte Carlo Simulaties Case Study 17 Solid-Liquid Equilibrium of Hard Spheres. Joost van Bruggen 0123226 6 juli 2004

Moleculaire Dynamica en Monte Carlo Simulaties Case Study 17 Solid-Liquid Equilibrium of Hard Spheres. Joost van Bruggen 0123226 6 juli 2004 Moleculaire Dynamica en Monte Carlo Simulaties Case Study 17 Solid-Liquid Equilibrium of Hard Spheres Joost van Bruggen 0123226 6 juli 2004 1 Inhoudsopgave 1 Thermaliseren 2 2 Waarde van λ max 2 3 Integreren

Nadere informatie

Definitie van continue-tijd Markov keten:

Definitie van continue-tijd Markov keten: Definitie van continue-tijd Markov keten: Een stochastisch proces {X(t), t 0} met toestandsruimte S heet een continue-tijd Markov keten (CTMC) als voor alle i en j in S en voor alle tijden s, t 0 geldt

Nadere informatie

META-kaart vwo5 wiskunde A - domein Afgeleide functies

META-kaart vwo5 wiskunde A - domein Afgeleide functies META-kaart vwo5 wiskunde A - domein Afgeleide functies Wat heb ik nodig: GR of afgeleide? Hoe ziet de grafiek eruit? Moet ik de afgeleide berekenen? Kan ik bij deze functie de afgeleide berekenen? Welke

Nadere informatie

Hoofdstuk 6: De Laplace transformatie

Hoofdstuk 6: De Laplace transformatie Hoofdtuk 6: De Laplace tranformatie 6.. Definitie. Een integraaltranformatie i een relatie van de vorm F () = β α K(, t)f(t) dt, die een functie f(t) omzet naar een andere functie F (). De functie K(,

Nadere informatie

Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde.

Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde. Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde. Dinsdag 9 maart 2010, 9.00-11.00. Het gebruik van een rekenmachine is toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een berekening of redenering.

Nadere informatie

Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm

Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm college 3: differentiaalvergelijkingen Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we y = y (t) of y (1) = y (1) (t) voor de afgeleide dy dt, en y = y (t) of y (2) = y (2) (t) voor de tweede afgeleide

Nadere informatie

Financiële economie. Opbrengsvoet en risico van een aandeel

Financiële economie. Opbrengsvoet en risico van een aandeel Financiële economie Opbrengsvoet en risico van een aandeel Financiële economen gebruiken de wiskundige verwachting E(x) van de opbrengstvoet x als een maatstaf van de verwachte opbrengstvoet, en de standaardafwijking

Nadere informatie

R.B. Kappetein. Callcenters. Bachelorscriptie, 5 juli 2011. Scriptiebegeleider: Dr. F.M. Spieksma. Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden

R.B. Kappetein. Callcenters. Bachelorscriptie, 5 juli 2011. Scriptiebegeleider: Dr. F.M. Spieksma. Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden R.B. Kappetein Callcenters Bachelorscriptie, 5 juli 2011 Scriptiebegeleider: Dr. F.M. Spieksma Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave 1 Inleiding: callcenters met ongeduldige klanten

Nadere informatie

Deze week: Verdelingsfuncties. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties. Bernoulli verdeling. Bernoulli verdeling.

Deze week: Verdelingsfuncties. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties. Bernoulli verdeling. Bernoulli verdeling. Deze week: Verdelingsfuncties Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties Cursusjaar 29 Peter de Waal Toepassingen Kansmassafuncties / kansdichtheidsfuncties Eigenschappen Departement Informatica

Nadere informatie

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Homogene vergelijkingen We bekijken eerst homogene vergelijkingen van orde twee met constante coefficienten, d.w.z. dv s van de vorm a 0 y + a 1 y + a

Nadere informatie