Het Ho-Lee rentemodel (Engelse titel: The Ho-Lee interest rate model)

Transcriptie

1 Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Het Ho-Lee rentemodel (Engelse titel: The Ho-Lee interest rate model) Verslag ten behoeve van het Delft Institute of Applied Mathematics als onderdeel ter verkrijging van de graad van BACHELOR OF SCIENCE in TECHNISCHE WISKUNDE door ZAZA VAN DER HAVE Delft, Nederland Juli 2012 Copyright c 2012 door Zaza van der Have. Alle rechten voorbehouden.

2

3 BSc verslag TECHNISCHE WISKUNDE Het Ho-Lee rentemodel (Engelse titel: The Ho-Lee interest rate model) ZAZA VAN DER HAVE Technische Universiteit Delft Begeleider Dr. J.A.M. van der Weide Overige commissieleden Dr. J.A.M. de Groot Dr. J.G. Spandaw Dr. C. Kraaikamp Dr. ir. L.E. Meester Juli, 2012 Delft

4

5 Inhoudsopgave Voorwoord 7 1 Inleiding 9 2 Obligaties en de forward rate Een obligatie De forward rate Een algemeen binomiaal rentemodel Het binomiaal Notatie Rentemodel en obligatiemodel Aannames Een arbitragevrij model Betekenis arbitrage Arbitragevrij in een model Wanneer is een binomiaal rentemodel arbitragevrij? Het Ho-Lee model Het model Een directe formule voor de rente Het Ho-Lee model is arbitragevrij Voorbeeld Rentederivaten Verschillende rentederivaten De prijs van een rentederivaat Hedging Kalibreren Het schatten of berekenen van de obligatieprijzen Het berekenen van de prijs van een cap of een floor Het schatten van de parameters Convergentie Met samengestelde rente Convergentie samengstelde rente Convergentie Ho-Lee model Omschrijven f(m, n)

6 8.3.2 Convergentie van f(m, n) Samenvatting 51 Literatuur 55 Appendix A 57 Het strippen van obligaties Appendix B 59 Interpolatie Lineaire interpolatie Polynomiale interpolatie Appendix C 61 Bijlage 1 63 Code van de functionfile voor de berekening van de prijs van een cap Code van de functionfile voor de berekening van de prijs van een floor Bijlage 2 65 Code van de kalibratie in het voorbeeld in hoofdstuk

7 Voorwoord Dit verslag is het resultaat van mijn Bachelorproject als onderdeel van de bachelor Technische Wiskunde aan de Technische Universiteit Delft. Dankzij de minor Finance, die ik afgelopen semester heb gevolgd, is bij mij de interesse ontstaan voor financiële wiskunde. Vandaar dat ik heb gekozen voor een project in dit gebied van de wiskunde. Het onderwerp van mijn Bachelorproject is: Het Ho-Lee rentemodel. Ik wil mijn begeleider dhr. J.A.M. van der Weide bedanken voor de begeleiding en ondersteuning bij het bestuderen van dit onderwerp en tevens de verslaglegging ervan. Delft, juli 2012 Zaza van der Have 7

8

9 1 Inleiding In de huidige kredietcrisis, begonnen in 2007, hebben prijzen van sommige aandelen reuzesprongen gemaakt. Ook banken die onverwoestbaar werden genoemd, zijn failliet gegaan. Daarom is het, juist in dit soort tijden, van belang om betrouwbare modellen te hebben om financiële processen te simuleren. Zo n proces is bijvoorbeeld de rentestand. Bij het afsluiten van een hypotheek kan bijvoorbeeld worden gekozen om de rente voor een periode vast te zetten, maar er kan ook gekozen worden voor een variabele rente. Het is belangrijk om een goede berekening te maken wat deze vaste rente zou moeten zijn. Met een betrouwbaar rentemodel zou dit eventueel berekend kunnen worden. In figuur 1 staat een voorbeeld van een rentegrafiek, waarin de impact van de kredietcrisis duidelijk te zien is. Figuur 1: Rente Dit verslag kijkt naar het Ho-Lee rentemodel, een binomiaal model ontwikkeld in 1986 door Thomas Ho en Sang Bin Lee. Van de bestaande rentemodellen is dit model één van de eenvoudigere. Door in eerste instantie de eigenschappen van een relatief eenvoudig model te bekijken, zal een moeilijker model makkelijker te begrijpen zijn. Vandaar dat in dit project is gekozen om het Ho-Lee model te bestuderen. De rente die gemodelleerd wordt met dit model is een risicoloze rente. Dit betekent dat er in het model geen rekening wordt gehouden met de kans dat een partij niet aan zijn schuld kan voldoen. In theorie klinkt dit heel mooi, maar in de praktijk zal er altijd risico zijn. Een aantal banken, die op de Londense geldmarkt werken, hebben een rente waartegen ze onderling aan elkaar lenen. Deze rente heet de Libor rente. Het risico op deze onderlinge leningen wordt als zeer klein gezien en deze rente is dus vergelijkbaar met de risicoloze rente. De financiële wereld gebruikt de hoogte van de Libor rente vaak om prijzen van andere producten op deze markt te berekenen. Zoals de rente voor een hypotheek, maar ook in het prijzen van opties op aandelen wordt deze rente gebruikt. Daarom is het van belang om een goed rentemodel te hebben voor de risicovrije rente. In het verslag wordt aangenomen dat 0 N. De opbouw van het verslag is als volgt. In hoofdstuk 2 worden de begrippen obligatie en forward rate uitgelegd. Ook komt de relatie tussen de rente, een obligatie en de forward rate aan bod. Hoofdstuk 3 behandelt hoe een algemeen binomiaal rentemodel eruit ziet. Zo n model is discreet. Vervolgens komt in hoofdstuk 4 het principe arbitrage aan bod. Arbitrage wordt ook wel gratis geld verdienen genoemd en in dit hoofdstuk staat een stelling waaraan een rentemodel moet voldoen om te zorgen dat er geen arbitrage 9

10 mogelijk is. Het Ho-Lee model wordt in hoofdstuk 5 gedefinieerd. Dit rentemodel is speciaal geval van het in hoodstuk 3 geïntroduceerde algemene rentemodel. Ook kijkt hoofdstuk 5 of het Ho-Lee model arbitragevrij is. Hoofdstuk 6 geeft een aantal voorbeelden van rentederivaten en van het hedgen hiervan. Het hedgen van een investering is het voorkomen van verlies op de investering. Hoofdstuk 7 laat zien hoe het model gekalibreerd kan worden. Kalibreren is het schatten van de parameters van het model met behulp van marktdata of historische data. In dit hoofdstuk is er voor gekozen om marktdata te gebruiken en geen historische data, omdat in financiële wereld wordt gedacht, dat wat er in het verleden is gebeurd, al in de huidige cijfers in de markt verwerkt is. Historische data hebben dan géén invloed meer op wat er nog zal gebeuren. Terwijl de verwachting van de toekomst wel meegenomen is in actuele marktdata. Het laatste hoofdstuk, hoofdstuk 8, bekijkt de convergentie van het discrete Ho-Lee model als de grootte van de tijdstap naar 0 gaat. Onder bepaalde voorwaarden blijkt het model te convergeren naar een random functie. De literatuur die ik heb gebruikt voor het verslag staat onder het kopje literatuur. In eerste instantie dacht ik [1] nodig te hebben voor hoofdstuk 8. Op pagina 186 van dit boek staat een variant op de centrale limietstelling. Later bleek dat ik voor hoofdstuk 8 de gewone centrale limietstelling kon gebruiken. De stelling in [1] heb ik vervolgens verwerkt in appendix C. [2] en [6] heb ik gebruikt om de basis van rentemodellen onder de knie te krijgen. Ook heb ik [6] gebruikt voor een voorbeeld in hoofdstuk 3 en voor paragrafen 6.1 en 6.2. De methode beschreven in paragraaf 6.3 en het voorbeeld in paragraaf 6.4 heb ik zelf bedacht. [3] is een artikel wat ik gebruikt heb voor een belangrijke stelling in hoofdstuk 3. Ook is hoofdstuk 8 bijna geheel afgeleid uit dit artikel. Het koste me veel moeite om dit artikel te begrijpen en de theorie in dit artikel om te schrijven naar de speciale situatie van het Ho-Lee model. Ook heb ik veel tussenstappen in mijn verslag gezet, zodat u als lezer de berekeningen hopelijk eenvoudig kan nadoen. In [3] wordt verwezen naar [4]. In [4] wordt verder ingegaan op arbitragevrijheid en ik heb dit artikel gebrukt om een beter beeld te vormen van dit begrip. [5] is het artikel waarin Thomas Ho en Sang-Bin Lee het Ho-lee model definiëren. Dit artikel vormt de basis van hoofdstuk 5. De kalibratiemethode in hoofdstuk 7 komt geheel van mijn hand en de matlabprogramma s hiervoor heb ik zelf geschreven. 10

11 2 Obligaties en de forward rate Prijzen van obligaties zijn sterk afhankelijk van de huidige en de toekomstige rente. Dit hoofdstuk legt uit wat obligaties zijn en wat de forward rate is. Dit gebeurt respectievelijk in de paragrafen 1 en 2. Ook de relatie tussen de rente, obligaties en de forward rate komt aan bod. Overal zal, indien niet anders vermeld, de rente geschaald worden naar de nominale rente per jaar. 2.1 Een obligatie Op het moment dat een overheid geld wil aantrekken, kan zij bijvoorbeeld obligaties uitgeven. Obligaties zijn verhandelbare schuldbewijzen. Diegene die ze uitgeeft heet de schrijver en de koper heet de houder. Op afgesproken momenten betaalt de schrijver rente (coupon) aan de houder en op een afgesproken einddatum lost de schrijver de schuld af door de houder de nominale waarde van de obligatie te betalen. Wanneer de couponbetalingen 0 bedragen, wordt er van een zero coupon obligatie gesproken. Bij uitgifte hebben obligaties in het algemeen een looptijd van één of meer jaar. De houder kan voor het eindtijdstip de obligatie verkopen. Wat hij hiervoor ontvangt is afhankelijk van een aantal verschillende factoren, bijvoorbeeld van de rentestand. Als de marktrente stijgt dan zal de marktprijs van een obligatie dalen en andersom. Indien niet anders vermeld, zal in het vervolg met een obligatie een zero coupon obligatie met nominale waarde 1 euro bedoeld worden. Dit, omdat een zero-coupon obligatie met een nominale waarde van 100 euro gezien kan worden als 100 zero-coupon obligaties met nominale waarde 1 euro. Terwijl een obligatie met coupon bekeken kan worden als de som van zero-coupon obligaties met verschillende looptijden. Dankzij de hierboven vermelde relatie tussen de rente en de waarde van een obligatie kan de totale rente voor de periode tot de einddatum bepaald worden. Hiervoor moet wel de prijs van een obligatie en zijn einddatum bekend zijn. Stel de looptijd van een obligatie is twee jaar en de prijs is 0.92 euro. De totale rente die over deze periode ontvangen wordt is: = 8.7% 0.92 Dit betekent dat in dit voorbeeld de nominale rente 4.35% per jaar is, waarbij de rente per twee jaar wordt samengesteld. Stel nu dat de rente per jaar wordt samengesteld en dat de rente r voor de komende twee jaar vast staat. Uit de obligatieprijs kan r berekend worden. We kunnen de volgende vergelijking opstellen: (1 + r) 2 = Hieruit volgt r = 4.26%. In dit geval is de nominale rente per jaar 4.26%. Stel dat de prijs van de bovenstaande obligatie 0.90 euro is en de rente wordt per twee jaar samengesteld. Dan volgt dat de nominale rente per jaar ongeveer 3.19% is. Dit bevestigt dat de marktrente stijgt als de obligatieprijs daalt en vice versa, zoals eerder in deze paragraaf staat vermeld. 11

12 2.2 De forward rate Als we in de toekomst een bedrag opzij willen zetten, kunnen we op dit moment afspreken wat voor rente we hierover ontvangen. Deze rente heet de forward rate. In de inleiding van dit hoofdstuk is verteld dat de prijs van een obligatie niet alleen afhankelijk is van de huidige rentestand, maar ook van de toekomstige rente. De rente is een stochastisch proces en daarom is (in het algemeen) de toekomstige rente onbekend. Uit de prijzen van obligaties kan een verwachting van de toekomstige rente worden berekend: de forward rate. Aan de hand van een voorbeeld laten we zien hoe de forward rate voor een toekomstige periode berekend wordt. Stel een obligatie met een looptijd van een half jaar kost euro en een obligatiemet een looptijd van een jaar kost 0.85 euro. We willen over een half jaar 100 euro opzij zetten, voor een periode van een half jaar. Op dit moment, tijdtip 0, kan al worden afgesproken wat het rentepercentage is dat we hierover ontvangen. Dit rentepercentage kan berekend worden door (in theorie) 100 half-jaar-obligaties te verkopen voor euro en van dit geld 106 één-jaarobligaties te kopen. Merk op dat we op dit moment niks hoeven te betalen. Vervolgens moeten we over een half jaar, op tijdstip 0.5, 100 euro betalen om de verkochte obligaties af te lossen. Op tijdstip 1, nog een half jaar later, ontvangen we 106 euro voor de gekochte obligaties. Het rentepercentage wat we hebben ontvangen is dan 6% over de periode [0.5,1]. De nominale rente per jaar is daarmee 12%. Deze 12% is de forward rate voor de toekomstige periode [0.5,1] gerekend vanaf tijdstip 0. Dit voorbeeld bevestigt dat tussen obligaties en de forward rate een relatie zit. Een model voor de obligatieprijzen is equivalent aan een model voor de forward rate. Ook is in paragraaf 1 vermeld dat tussen obligaties en de rente een relatie zit. Dankzij deze relaties heeft een model voor de rentestand een relatie met een model voor de obligatieprijzen en daarmee ook een relatie met een model voor de forward rate. 12

13 3 Een algemeen binomiaal rentemodel Dit hoofdstuk vertelt wat een binomiaal model is en daarbij wordt gekeken hoe een algemeen binomiaal rentemodel eruit ziet. Een binomiaal model is discreet. Paragraaf 1 vertelt hoe groot de tijdstappen zijn die we nemen en wat het laatste tijdstip is waarop we de rente bekijken binnen het model. Ook geeft deze paragraaf een getallenvoorbeeld van een binomiaal rentemodel. Paragraaf 2 voert notatie in. Deze notatie wordt in paragraaf 3 gebruikt om het rentemodel gedefinieerd in paragraaf 1 verder te specificeren en in paragraaf 4 staan de aannames die we doen voor het model. 3.1 Het binomiaal model We schalen de rente overal naar de nominale rente per jaar. De rentestand modelleren we op verschillende momenten tot en met eindtijdstip T jaar. De tijd wordt verdeeld in N +1 perioden elk met een lengte van = T 1 N jaar. Als bijvoorbeeld = 12, dan bekijken we iedere maand de hoogte van de rente. We stellen dat aan het eind van iedere periode rentebetaling plaats vindt. De rente wordt daarom samengesteld per periode en de rente die geldt op tijdstip t is de nominale rente per jaar die over de periode [t, t + ] gerekend wordt. We modelleren ook de rente die geldt op tijdstip T, dit is de rente die gerekend wordt over [T, T + ], vandaar dat er N + 1 perioden bekeken worden. In de rest van dit verslag bekijken we een model met eindtijdstip T en N + 1 perioden ter lengte. In een binomiaal rentemodel geldt het volgende: als de hoogte van de rente op tijdstip 0 bekend is, zijn er precies twee mogelijkheden voor de rentestand op tijdstip. Óf de rente stijgt met een bepaalde factor, ookwel de upfactor u genoemd, met kans q, waarbij 0 < q < 1. Óf de rente daalt met een bepaalde factor, ookwel de downfactor d genoemd, met kans p = 1 q. Deze kansen q en p en de factoren d en u kunnen afhangen van het tijdstip waarop we kijken en de toestand van de rente op dat moment. Er wordt hier aangenomen dat p / {0, 1}, omdat er dan maar één mogelijkheid is voor de rente op tijdstip. In paragraaf 2.1 staat vermeld dat als de rente daalt, de waarde van een obligatie met eenzelfde resterende looptijd stijgt en andersom. De prijs van een obligatie met een bepaalde eindtijdstip stijgt in het algemeen na iedere tijdstap, omdat de resterende looptijd korter is geworden. Vandaar dat er gekeken wordt naar het stijgen of dalen van de verdisconteerde obligatieprijs. Dit betekent dat de rente van de nieuwe prijs wordt afgetrokken, om zo de twee prijzen eerlijk te kunnen vergelijken. Eerder in deze paragraaf hebben we gesteld dat de rente stijgt met kans q en daalt met kans p. Hieruit volgt dat de kans op stijgen van de verdisconteerde obligatieprijs gelijk is aan p en de kans op dalen van deze verdisconteerde prijs is dan q. 13

14 De toestand waarin de rente zich na een aantal perioden bevindt hangt af van het aantal maal dat de rente is gestegen. Voor de toestand waarin de rente zich bevindt maakt het niet uit of de rente eerst daalt en vervolgens stijgt of dat de rente eerst stijgt en vervolgens daalt. In figuur 3.2 is te zien hoe zo n renteboom eruit ziet. Figuur 3.2: Voorbeeld van een binomiale boom Op tijdstip 0, bevindt de rente zich in toestand 0. En na n perioden zijn er n + 1 toestanden mogelijk voor de rentestand. De rente op tijdstip n is in toestand 0 als de rente n keer achter elkaar gestegen is. Zij 0 i n. Als de rente i keer gedaald is en n i keer gestegen is, dan bevindt de rente zich na n perioden in toestand i. Merk hierbij op dat een binomiale boom recombinerend is. Als de toestand van de rente zich op een willekeurige knoop in de boom bevindt, dan vormen de knopen die vanaf deze toestand bereikt kunnen worden een nieuwe, kleinere binomiale boom. Voorbeeld Het binomiaal model van de rente aan de hand van een voorbeeld. Stel de jaarlijkse nominale rente op dit moment is bekend en is 4% en rente wordt samengesteld per maand. Wat zou de rente over een maand zijn? Met het algemene model kan bijvoorbeeld de binomiale boom gemaakt worden weergeven in figuur 3.3. Figuur 3.3: Getallenvoorbeeld van een binomiale boom Op dit moment, op tijdstip 0, is de rente 4% per jaar. Na 1 maand, op tijdstip 1, kan de rente met kans p = 0.4 dalen met factor d = 0.75 naar 3% per jaar. Of de rente kan met kans q = 0.6 stijgen met factor u = 1.25 naar 5% per jaar. Er zijn dus twee toestanden mogelijk op tijdstip, de onderste toestand wordt toestand 0 genoemd en de bovenste toestand wordt toestand 1 genoemd. 14

15 3.2 Notatie Beschouw de tijdstippen m jaar en n jaar, willekeurig maar vast, zodanig dat geldt: m 0 m < n T + en, n N Noem m = m en n = n. Kies nu i {0, 1,..., m}, willekeurig maar vast. Notatie voor de rente De rente bevindt zich op tijdstp m in toestand i als tussen de tijdstippen 0 en m, de rente i keer gedaald is en m i keer gestegen is. Als de rente r zich op tijdstip m in toestand i bevindt, wordt dit genoteerd als: r i (m) Dit is de rente die over de periode [m, m + ] gerekend wordt, geschaald naar de nominale rente per jaar. Waarbij r(0) = r 0 (0), de rente op tijdstip 0 is. Notatie voor de obligatieprijs De prijs van een obligatie op tijdstip m met resterende looptijd n m, dus tijdstip van expiratie n, bevindt zich in toestand i als de rente in de periode [0,m] i keer gedaald is en m i keer gestegen is. Hieruit volgt dat tussen de tijdstippen 0 en m de obligatieprijs met eindtijdstip n, verdisconteerd naar het tijdstip 0, i keer gestegen is en m i keer gedaald is. Als de prijs van een obligatie op tijdstip m, met resterende looptijd n m, zich in toestand i bevindt, wordt dit genoteerd als: P i (m, n) Dankzij de relatie beschreven in paragraaf 2.1 geldt: ( ) 1 r i (m) = P i (m, m + ) 1 / (3.1) Merk op dat een obligatie met resterende looptijd 0 altijd 1 euro kost. Hieruit volgt: P i (m, m) = 1 Notatie voor de forward rate Op tijdstip 0 wordt de forward rate voor tijdstip n als volgt genoteerd: f(0, n) Dit is een rente die op tijdstip 0 kan worden afgesproken. Deze rente is geschaald naar de nominale rente per jaar en wordt gerekend over de periode [n, n + ]. De waarde hiervan kan uit de obligatieprijzen worden uitgerekend, op de volgende manier: ( ) P (0, n) f(0, n) = P (0, n + ) 1 / Als de forward rate op tijdstip m voor tijdstip n zich in toestand i bevindt, wordt als volgt genoteerd: f i (m, n) Waarbij nog steeds geldt dat m n. Analoog aan de berekening van f(0, n) volgt: ( ) Pi (m, n) f i (m, n) = P i (m, n + ) 1 / (3.2) Merk op dat uit vergelijkingen (3.1) en (3.2) volgt: r i (m) = f i (m, m) (3.3) 15

16 3.3 Rentemodel en obligatiemodel In paragraaf 3.2 is notatie ingevoerd. Hiermee kunnen we het algemeen rentemodel, gedefinieerd in paragraaf 3.1, verder specificeren. Beschouw opnieuw de tijdstippen m en n, willekeurig maar vast, zodanig dat geldt: 0 m < n T + en m, n N Kies i {0, 1,..., m }, willekeurig maar vast en stel dat de obligatieprijs P i(m, n) en de rente r i (m) bekend zijn. In paragraaf 3.1 is vertelt dat de up- en downfactor van de rente afhankelijk zijn van de tijd en de toestand van de rente. Het renteproces ziet er als volgt uit: r i (m + ) = u ri (m)r i (m) r i+1 (m + ) = d ri (m)r i (m) De upfactor u ri (m) en de downfactor d ri (m) zijn bekend en zijn afhankelijk van i en m. In hoofdstuk 2 is vertelt dat een model voor de obligatieprijzen in relatie staat tot een rentemodel. Belangrijk is op te merken dat als de rente daalt, de verdisconteerde obligatieprijs stijgt en andersom. Dit resulteert in de volgende vergelijkingen: P i (m +, n) = d Pi (m, n)p i (m, n) P i+1 (m +, n) = u Pi (m, n)p i (m, n) De upfactor u Pi (m, n) en de downfactor d Pi (m, n) zijn bekend. Deze factoren hangen niet alleen van de tijd en de toestand van de rente af, maar ook van de looptijd van de obligatie. Ook zal altijd gelden: 0 < d Pi (m, n) u Pi (m, n). Er is alleen gelijkheid als m + = n, omdat P (m +, m + ) = 1. In figuur is de bijbehorende binomiale boom te zien met enerzijds de rente en anderzijds de obligatieprijs. Figuur 3.4: Binomiale boom van de rente en de obligatieprijs Een obligatiemodel modelleert alle obligatieprijzen P i (m, n). Waarbij de rente r i (m) met behulp van vergelijking (3.1) kan worden uitgerekend met P i (m, m + ). Het obligatiemodel modelleert dus meer dan alleen het renteproces. Hieruit volgt dat een renteproces eventueel ook gemodelleerd kan worden met een obligatiemodel en uit paragraaf 2.2 volgt nu dat dit ook kan met een forward rate model. 16

17 3.4 Aannames Een aantal belangrijke aannames voor het model: Alle obligaties en de forward rate hebben betrekking op dezelfde risicovrije rente. De rente is risicovrij als de kans dat een partij niet aan zijn verplichtingen kan voldoen altijd gelijk is aan 0. Rente kan nooit negatief of oneindig zijn. De obligatiemarkt is frictieloos, dit wil zeggen dat op tijdstip a obligaties met resterende looptijd b vrij gekocht en/of verkocht kunnen worden voor de prijs P (a, a + b). Dit voor alle a {0,, 2,..., T } en voor alle b {, 2,..., T + a}. In een frictieloze markt zijn er geen transactiekosten of belastingen. We kunnen niet alleen obligaties kopen (en later verkopen) voor de marktprijs, maar we kunnen ook obligaties, die we niet in bezit hebben, verkopen tegen deze prijs. Dit kan door zelf obligaties uit te schrijven. We bezitten dan een negatief aantal obligaties. 17

18

19 4 Een arbitragevrij model Hoofdstuk 4 behandelt het begrip arbitrage en de betekenis van arbitragevrijheid binnen een model. In paragraaf 1 staat een korte definitie van het bergip arbitrage en een voorbeeld om deze definitie te verduidelijken. Vervolgens vertelt paragraaf 2 wat arbitragevrijheid in een model betekent. In deze paragraaf komt ook een belangrijke stelling aanbod. Met deze stelling kunnen we kijken of een binomiaal rentemodel arbitragevrij is. Tot slot komt paragraaf 3 met een aantal voorwaarden waaraan een binomiaal rentemodel moet voldoen om arbitragevrij te zijn. 4.1 Betekenis arbitrage Een arbitrage strategie is een mogelijkheid om risicoloos meer winst te maken in een periode dan de risicovrije rente over die periode is. Arbitrage wordt ookwel gratis geld verdienen genoemd. De betekenis hiervan volgt uit het volgende voorbeeld: Stel de prijs van een obligatie die na één jaar afloopt is 0.75 euro en die van een obligatie die na anderhalf jaar afloopt is 0.90 euro. Dan is er de volgende arbitrage strategie: 1) We schrijven 100 obligatie met een looptijd van anderhalf jaar uit en ontvangen hiervoor 90 euro. 2) We kopen 120 obligaties met een looptijd van een jaar en betalen hiervoor 90 euro. 3) Na één jaar, op tijdstip 1, incasseren we 120 euro (van de gekochte obligaties in punt 2) en we bewaren dit geld. 4) Op tijdstip 1.5 moeten we vervolgens 100 euro (voor de uitgeschreven obligaties in punt 3). In totaal is er na één jaar met zekerheid 20 euro winst gemaakt, terwijl de inzet 0 euro was. 4.2 Arbitragevrij in een model Een arbitragevrij model rekent met risiconeutrale kansen op stijgen en dalen van de rente. Deze kansen kunnen in het model berekend worden. Als deze kansen voor iedere mogelijke toestand van de rente bestaan, is het model arbitragevrij. De risiconeutrale kans op stijgen hoeft niet gelijk te zijn aan de echte kansen op stijgen. Evenzo hoeven de risiconeutrale en de echte kans op dalen niet gelijk te zijn aan elkaar. De echte kans op dalen van de rente, en dus stijgen van de verdisconteerde obligatieprijs, is 0 < p < 1 en de risiconeutrale kans hierop is 0 < p < 1. Deze kansen kunnen afhangen van het tijdstip en de toestand van de rente, dat wil zeggen dat ze afhangen van de plaats in de binomiale boom waarin de rente zich bevindt. Bij het berekenen van een risiconeutrale verwachting gebruiken we de risiconeutrale kansen. Om aan te geven dat het een risiconeutrale verwachting betreft, staat er bovenop de E een tilde. In een binomiaal rentemodel betekent arbitragevrij: De prijs van een derivaat, met de rente als onderliggende waarde, kan met de risiconeutrale kansen worden uitgerekend en heet de eerlijke prijs. Dat wil zeggen dat er geen arbitrage strategie bestaat, waarbij er alléén in dit derivaat en de obligatiemarkt belegd wordt. Onder de risiconeutrale verwachting stijgt de waarde dit derivaat altijd met de rente. Het verkopen of kopen van dit derivaat kan binnen het model gerepliceerd worden met een portfolio van obligaties met verschillende looptijden. Dit portfolio wordt in principe na iedere tijdstap aangepast. Deze aanpassing hangt alleen af van de renteverandering in de laatste tijdstap. Dit noemt men hedgen. Hoofdstuk 5 behandelt dit principe. In ditzelfde hoofdstuk staan voorbeelden van derivaten met als onderliggende waarde de rente. Ook behandelt hoofdstuk 5 hoe de koop of verkoop van zo n derivaat gehedged kan worden. 19

20 Voorbeeld van een arbitragevrij model We bekijken een één-periode aandelenmodel. [6] definieert dit model en de voorwaarde waaraan het model moet voldoen om arbitragevrij te zijn. Dit model bekijken we om het begrip arbitragevrijheid en hedgen te verduidelijken, zodat we dit kunnen toepassen op het binomiale rentemodel. We nemen aan dat het toegestaan is om aandelen te verkopen die we niet bezitten (short selling). Ook is het mogelijk om een fractie van een aandeel te kopen/verkopen. Dit mag, omdat we kleine transacties beschouwen, maar in het echt gebeuren zulke transacies in hondervoud of meer. Op tijdstip 0 is de prijs van het aandeel is S(0). De upfactor u is de factor waarmee de prijs stijgt en de downfactor d is de dalingsfactor, waarbij d < u. Een aandeel kan geen negatieve waarde hebben dus geldt: 0 d. De rente over de periode [0,1] is r. Als de prijs van aandeel stijgt is de prijs van het aandeel na één jaar, op tijdstip 1, S 1 (1) = u S(0). De prijs bevindt zich dan in toestand 1. Als de prijs daalt bevindt de prijs zich na één jaar in toestand 0 en is de prijs S 0 (1) = d S(0). In figuur 4.5 staat de binomiale boom van dit voorbeeld gegeven. Figuur 4.5: De binomiale boom van de aandelenprijs De voorwaarde waaraan dit model moet voldoen om arbitragevrij te zijn is: d < 1 + r < u (4.4) Als het model aan deze voorwaarde voldoet kunnen de risiconeutrale kansen van het model berekend worden. In [6] staan deze formules gegeven. De risiconeutrale kans op het stijgen van de aandelenprijs is p en we kunnen deze kans op de volgende manier berekenen: p = 1 + r d u d De risiconeutrale kans op het dalen van de aandelenprijs is nu 1 p. (4.5) Stel S 0 = 4, u = 2, d = 0.5 en r = Dit betekent dat S 1 (1) = 8 en S 0 (1) = 2. In figuur 4.6 staat de bijbehorende binomiale boom. Figuur 4.6: De binomiale boom van de aandelenprijs Dit model voldoet aan de voorwaarde gegeven in (4.4) en is dus arbitragevrij. We kunnen nu met (4.5) de risiconeutrale kans op het stijgen van de aandelenprijs uitrekenen: p = 0.5. Op het moment dat we een derivaat met als onderliggende waarde de aandelenprijs verkopen (of kopen) tegen een eerlijke (arbitragevrije) prijs kunnen we deze verkoop hedgen. 20

21 Stel een Europese call-optie met een looptijd van 1 jaar en strike 5 euro kunnen we verkopen. De koper, houder, van deze call-optie koopt het recht, maar niet de plicht, om over één jaar een aandeel van ons te kopen voor 5 euro. Als de aandelenprijs stijgt naar 8 euro zal de houder de optie uitoefenen. We moeten een aandeel aan hem verkopen voor 5 euro. De houder zal dit aandeel meteen weer verkopen voor 8 euro. De call-optie is dan 3 euro waard. Indien de aandelenprijs daalt naar 2 euro doet de houder niks, omdat de aandelenprijs lager is dan de strike. De call-optie is in dat geval waardeloos. Laat V de waarde van de call-optie zijn. Dan is: V 1 (1) = 3 euro, de houder mag voor 5 euro een aandeel kopen en deze vervolgens voor 8 euro verkopen. V 0 (1) = 0 euro, de call-optie is waardeloos. Wat is nu de eerlijke prijs, V (0), van deze call-optie op het begintijdstip? Dit kan berekend worden door de verkoop van een call-optie in theorie te hedgen. Stel we hebben geen geld en we verkopen een call-optie en ontvangen hiervoor V (0) euro. We beleggen dit bedrag in een portfolio van aandelen en de geldmarkt, waarbij het toegestaan is om een fractie van een aandeel te kopen. De totale waarde van dit portfolio is X en we willen: X 1 (1) = V 1 (1) = 3 euro. X 0 (1) = V 0 (1) = 0 euro. In [6] is een formule gegeven hoe we het aantal A aandelen dat we kopen kunnen berekenen: A = V 1(1) V 0 (1) S 1 (1) S 0 (1) = 0.5 We kopen 0.5 aandeel voor 2 euro en zetten dus [V (0) 2] euro op de bank. Ons portfolio is op het begintijdstip: (banksaldo,aandelen)=([v (0) 2], 6). Er geldt X(0) = V 0. We willen dat: X 1 (1) = (V (0) 2) = 3 en X 0 (1) = (V (0) 2) = 0. Oplossen geeft: V (0) = 1.20 euro. Merk op dat bovenstaand portfolio uniek is. Het is de enige mogelijke manier om in aandelen en de geldmarkt te beleggen, zodat X(0) = V (0), X 1 (1) = V 1 (1) en X 0 (1) = V 0 (1). Dit portfolio heet het replicerend portfolio van de optie. En de gevonden V (0) heet de eerlijke prijs van de optie. Voor iedere andere prijs kan er namelijk zo in de geldmarkt, in call-opties en in aandelen belegd worden dat er arbitrage is. Door de call-optie te verkopen voor 1.20 euro en dit op de bovenstaande manier te hedgen hebben we na 1 jaar met zekerheid 0 euro. We begonnen ook met 0 euro, dus we hebben geen gratis geld verdient. De prijs van de optie kan ook met de volgende risiconeutrale verwachting uitgerekend worden: [ ] V (1) V (0) = Ẽ0 = r 1 + r [ pv 1(1) + (1 p)v 0 (1)] (4.6) Dit is de conditionele verwachting van de waarde van de optie, verdisconteerd naar het tijdstip 0, gegeven alle informatie tot en met tijdstip 0. In ons voorbeeld volgt uit (4.6): V (0) = 1.20, de al gevonden eerlijke prijs voor de optie. Het is duidelijk dat deze berekening een stuk vlotter gaat dan het opstellen van het replicerend portfolio. Hiervoor dienen de risiconeutrale kansen bekend te zijn. 21