Portfolio-optimalisatie

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Portfolio-optimalisatie"

Transcriptie

1 Portfolio-optimalisatie Abdelhak Chahid Mohamed, Tom Schotel 28 februari 2013

2 Voorwoord Dit dictaat is geschreven ter voorbereiding op de presentatie van 5 maart die gegeven zal worden door twee adviseurs bij Ernst & Young. Ernst & Young is een internationaal opererend bedrijf dat zich onder andere bezig houdt met accountancy en belastingadvies. We zullen ons richten op de wiskunde gebruikt door de risicomanagement-tak van het bedrijf, waar vooral mensen werken met een achtergrond in econometrie, wiskunde, bedrijfswiskunde, statistiek en (bedrijfs)economie.

3 Inhoudsopgave 1 Inleiding 4 2 Portfolio-theorie in twee effecten 6 3 Algemenere portfolio s 9 4 Opgaven 11 5 Bronvermelding 12 3

4 1 Inleiding Op de effectenbeurs worden effecten zoals aandelen en obligaties verhandeld. Investeringen in zulke effecten kunnen in twee brede categorieën ingedeeld worden: risicovolle en riscovrije investeringen. Bij risicovolle investeringen kan gedacht worden aan aandelen of opties, en bij risicovrije investeringen aan staatsobligaties of geld dat op een spaarrekening gezet wordt tegen rente. Algemeen gezegd is van een risicovrije investering is de toekomstige waarde (vrijwel) zeker, terwijl de toekomstige waarde van een risicovolle investering niet gegarandeerd is. We zullen in dit hoofdstuk de benodigde concepten introduceren aan de hand van de specifieke situatie dat er twee effecten verhandeld worden op de beurs. We lichten de intuïtie achter de begrippen enigszins toe en geven een aantal voorbeelden. In het volgende hoofdstuk zullen we naar een algemenere situatie kijken en staan ook enkele bewijzen centraal. Voorbeeld 1.1. Stel dat op de beurs twee aandelen A en B verhandeld worden. Een investeerder bezit een bedrag van W 0 en wil dit hele bedrag investeren. De vraag die we later zullen onderzoeken is hoeveel hij het best in ieder aandeel kan investeren. Zij x A en x B het aantal aandelen A respectievelijk B dat gekocht wordt. We zeggen dat het paar (x A, x B ) een zogenaamde portfolio vormt. De waarde van aandelen kan veranderen met de tijd; we geven dit weer door S A (t) en S B (t) te schrijven voor de waarde van aandeel A respectievelijk B op tijdstip t. Hieruit volgt dat de totale waarde van de portfolio op tijdstip t gelijk is aan V (t) := x A S A (t) + x B S B (t). We zullen in deze paragraaf onder andere onderscheid maken tussen slechts twee tijdsperiodes: tijdstip t = 0 en tijdstip t = 1. De zogenaamde portfolio-gewichten w i van effect i geven we aan met w i = x is i (0) V (0) Deze gewichten geven aan hoeveel relatief geïnvesteerd is in effect i. In het bijzonder is de teller gelijk aan het totale bedrag dat in effect i is geïnvesteerd. De som van al zulke proporties is vanzelfsprekend 1, wat ook in te zien is als volgt: 4

5 w A + w B = x AS A (0)+x B S B (0) V (0) = V (0) V (0) = 1 We maken nu enkele aannames over de aandelenmarkt: Aanname 1.1. De prijs van een aandeel op tijdstip t = 1 is een random variable met minstens twee verschillende waarden en hoogstens eindig veel waarden. De toekomstige prijs A(1) van een risicovrije belegging op tijdstip t = 1 is een bekend getal. Aanname 1.2. Alle prijzen die we beschouwen zijn strikt positief, A(t) > 0 en S(t) > 0 voor t = 0, 1. Aanname 1.3. Een investeerder iedere gewenste hoeveelheid x effecten bezitten, d.w.z. If x R. Merk op dat de laatste aanname bijvoorbeeld impliceert dat men ook een negatieve hoeveelheid aandelen kan bezitten. Het is bijvoorbeeld mogelijk om een aandeel te short-sellen. Hierbij leent een investeerder een aandeel en verkoopt het direct, waarna op een later tijdstip het aandeel teruggekocht en teruggegeven wordt. Als het aandeel gedaald is, zal de investeerder voor een lagere prijs het aandeel terug kunnen kopen, en dus winst maken. Als het aandeel gestegen is, zal de investeerder echter het aandeel tegen een hogere prijs moeten kopen en verlies maken. Stel dat bank A in New York voor elke Britse pond 1,62 dollar wil betalen, terwijl bank B ponden verkoopt voor 1,60 dollar per pond. Neem in deze specifieke situatie aan dat zonder rente te betalen geld geleend kan worden. Een investeerder zou door geld te lenen, ponden in te kopen bij bank B en ze te verkopen aan bank A winst kunnen maken zonder enig risico te lopen op verlies. Dit komt erop neer dat de banken geld weggeven. De mogelijkheid om geld te verdienen zonder begininvestering noemen we arbitrage. Als zo n situatie voor zou komen zou door de toenemende vraag de wisselkoers weer in evenwicht gebracht worden, waardoor zulke situaties in werkelijkheid slechts zeer kort duren. We doen dan ook de volgende Aanname 1.4. In de aandelenmarkt komt geen arbitrage voor, d.w.z. er is geen portfolio met V (0) = 0 en V (1) > 0 met positieve kans. 5

6 2 Portfolio-theorie in twee effecten We zullen nu een aantal begrippen invoeren die een maat geven van de winstgevendheid van een investering. Definitie 2.1. De rate of return K C van een aandeel C tussen periode t = 0 en t = 1 definiëren we als de random variable K C (0, 1) := S C(1) S C (0). S C (0) De rate of return is te interpreteren als de winst (of verlies) per euro die geïnvesteerd is. Op soortgelijke wijze: Definitie 2.2. De rate of return K A van een risicovrije belegging C tussen periode t = 0 en t = 1 definiëren we als het getal K C (0, 1) := A C(1) A C (0). A C (0) Definitie 2.3. De logarithmic return k C van een aandeel C tussen periode t = 0 en t = 1 definiëren we als de random variable k C (0, 1) := ln S C(1) S C (0) Definitie 2.4. De logarithmic return k A van een risicovrije belegging C tussen periode t = 0 en t = 1 definiëren we als het getal k C (0, 1) := ln A C(1) A C (0) De logarithmic return heeft de wiskundig handige eigenschap dat hij additief is, d.w.z. k C (k, k + 2) = k C (k, k + 1) + k C (k + 1, k + 2) voor alle k N. De logarithmic return over een grotere periode kan dus gevonden worden door de logarithmic returns over de periodes waaruit hij bestaat bij elkaar op te tellen. Voorbeeld 2.1. Stel dat we euro willen investeren, d.w.z. W 0 = $ Op de markt kunnen we een obligatie kopen voor A(0) = 100 6

7 die A(1) = 110 waard zal zijn op tijdstip t = 1. Ook kunnen we een aandeel kopen voor S(0) = 80 dat op tijd t = 1 waard zal zijn: { 100 met kans 0.8 S(1) = 60 met kans 0.2 Stel verder dat we 50 aandelen en dus 60 obligaties kopen. Dan is de waarde van onze portfolio op tijdstip t = 1: { als het aandeel stijgt V (1) = 9600 als het aandeel daalt en de rate of return is { 0.16 als het aandeel stijgt K p (0, 1) = 0.04 als het aandeel daalt De verwachtingswaarde van de return is nu E(K V ) = = 0.12, oftwel 12%. Het risico van deze investering is definiëren we als de standaardafwijking σ V van de random variable K V, in dit geval σ V = ( ) ( ) = 0.08 We zullen dit vergelijken met een andere portfolio. Als we 0 aandelen en 100 obligaties kopen, dan is de hele investering risicovrij. We weten dan zeker dat K A = 0.1 en het risico van de investering is σ V = 0. Als er de keuze is tussen twee portfolio s met dezelfde verwachtingswaarde zullen veel investeerders de voorkeur geven aan de investering met het minste risico. Een gokker zou liever kiezen voor een portfolio die 50% kans geeft op 100 euro winst en 50% kans op 100 euro verlies, terwijl de investeerder liever geen risico loopt en niets investeert. Andersom zal vaak bij twee portfolio s met hetzelfde risico de voorkeur gegeven worden aan de investering met de hoogste verwachtingswaarde. Dit brengt ons tot de volgende aanname en definities: Aanname 2.1. Investeerders zijn risico-avers, oftewel: gegeven de keuze tussen twee beleggingen met dezelfde verwachtingswaarde zullen ze de belegging met het minste risico prefereren. Definitie 2.5. We zeggen dat een effect S 1 met verwachtingswaarde µ 1 en standaardafwijking σ 1 een ander effect S 2 met verwachtingswaarde µ 2 en standaardafwijking σ 2 domineert als µ 1 µ 2 en σ 1 σ 2 7

8 Definitie 2.6. Een portfolio heet efficiënt als er geen portfolio is (behalve de portfolio zelf) die de portfolio domineert. De verzameling van alle mogelijke efficiënte portfolio s noemen we de efficient frontier. Een efficiënte portfolio heeft de hoogste verwachte return van alle mogelijke portfolio s met dezelfde standaardafwijking (risico). Een rationele investeerder zal altijd voor een efficiënte portfolio kiezen, maar welke portfolio hij kiest zal afhangen van zijn persoonlijke voorkeur. Hij zal bijvoorbeeld de voorkeur kunnen geven aan een portfolio met een hoge verwachtingswaarde en een hoog risico in plaats van een portfolio met een lage verwachtingswaarde en een laag risico. Stelling 2.1. De return K V op een portfolio (x 1, x 2 ) wordt gegeven door K V = w 1 K 1 + w 2 K 2, waar K i de return is op effect i. Bewijs: er geldt dat V (0) = x 1 S 1 (0) + x 2 S 2 (0) en V (1) = x 1 S 1 (0)(1 + K 1 ) + x 2 S 2 (0)(1 + K 2 ) dus = V (0)(w 1 (1 + K 1 ) + w 2 (1 + K 2 )), K V = V (1) V (0) V (0) = w 1 K 1 + w 2 K 2. Gevolg: E(K V ) = w 1 E(K 1 ) + w 2 E(K 2 ) Stelling 2.2. De variantie σv 2 van de return K V van een portfolio (x 1, x 2 ) wordt gegeven door σ 2 V := Var(K V ) = w 2 1 Var(K 1) + w 2 2 Var(K 2) + 2w 1 w 2 Cov(K 1, K 2 ), waar K i de return is op effect i. Bewijs: we gebruiken de vorige stelling en de lineariteit van de covariantie: Var(K V ) = Cov(K V, K V ) = Cov(w 1 K 1 + w 2 K 2, w 1 K 1 + w 2 K 2 ) = w 2 1Var(K 1 ) + w 2 2Var(K 2 ) + 2w 1 w 2 Cov(K 1, K 2 ). 8

9 Stelling 2.3. Als voor een portfolio (x 1, x 2 ) geldt dat x 1 0, x 2 0 (shortselling is niet toegestaan) dan σv 2 van de portfolio niet groter zijn dan de variantie van de return van zijn componenten, m.a.w σv 2 max{σ2 1, σ2 2.} Bewijs: neem zonder verlies van algemeenheid aan dat σ1 2 σ2 2. Omdat w 1, w 2 0, is w 1 σ 1 + w 2 σ 2 (w 1 + w 2 )σ 2 = σ 2. Omdat voor de correlatiecoëfficient ρ 12 := Cov(K 1,K 2 ) σ 1 σ 2 geldt dat 1 ρ 12 1 (dit is een standaardresultaat uit de kansrekening), volgt dat σ 2 V = w 2 1σ w 2 2σ w 1 w 2 ρ 12 σ 1 σ 2 w 2 1σ w 2 2σ w 1 w 2 σ 1 σ 2 =(w 1 σ 1 + w 2 σ 2 ) 2 σ Algemenere portfolio s Definitie 3.1. Een portfolio is een vector (x 1 (t),..., x n (t)), waarbij x i (t) het aantal van effect i is dat een investeerder op tijdstip t bezit. De waarde van effect i op tijdstip t geven we aan met S i (t). De waarde van een portfolio van n effecten op tijdstip t is V (t) := n i=1 x is i (t). Het portfoliogewicht w i van effect i definiëren we als w i := x is i (0) V (0). Definieer 1 := (1,..., 1) als de vector met 1 op alle n posities. Zetten we de gewichten in een vector w = (w 1,..., w n ), dan geldt vanwege het feit dat de som van alle gewichten 1 moet zijn dat 1 = 1 w T. Definieer µ i := E(K i ) als de verwachte return van effect i en definieer m := (µ 1,..., µ n ). De covarianties tussen returns zullen we aangeven met c ij = Cov(K i, K j ) en we zullen deze schrijven in een n n covariantie-matrix c 1,1 c 1,2 c 1,n c 2,1 c 2,2 c 2,n C n,n = c n,1 c n,2 c n,n We nemen aan dat deze matrix een een inverse heeft. 9

10 Stelling 3.1. De verwachte return µ V := E(K V ) van een portfolio en de variantie van de return σv 2 := V ar(k v) van een portfolio met gewichtsvector w zijn gegeven door µ V = m w T, σ 2 V = wc wt. Bewijs: de identiteit voor µ v volgt uit de lineariteit van de verwachtingswaarde: µ V = E(K V ) = E( n i=1 w ik i ) = n i=1 w iµ i = m w T Voor σ 2 V zullen we gebruik maken van de lineariteit van de covariantie: σ 2 V = Var(K V ) = Var( = Cov( = n w i K i, i=1 n w i K i ) i=1 n w j K j ) j=1 n w i w j c ij = wc w T. i,j=1 We bepalen nu de portfolio met de kleinste variantie van alle mogelijke portfolio s, die de minimum variance portfolio heet. Daarna bepalen we de portfolio vinden met de kleinste variantie van alle portfolio s met een specifieke verwachte return µ V, die de minimum variance line heet. Stelling 3.2. De portfolio met de kleinste variantie σ V portfolio s heeft gewichten van alle mogelijke w = 1C 1 1C 1, aannemende dat de noemer niet gelijk is aan 0. 1T Bewijs: we minimaliseren F ( w) := σv 2 = wc wt onder de voorwaarde dat 1 = 1 w T. We zullen de Lagrangemultiplicatormethode gebruiken. Laat F (w, λ) := wc w T λ 1 w T, waar λ een Lagrange-multiplicator is. Gelijkstellen aan 0 van de partiële afgeleiden van F geeft 2 wc λ 1 = 0, waaruit volgt dat w = λ 2 1C 1. Substitueren in de vergelijking van de voorwaarde geeft 1 = λ 2 1C 1 1 T waarin we het feit gebruiken dat C 1 een symmetrische matrix is, omdat C dat ook is. Na oplossen voor λ in w = λ 2 1C 1 volgt na substitie van λ de 10

11 gevraagde formule. Stelling 3.3. De portfolio met de kleinste variantie σ V van alle mogelijke portfolio s met verwachte return µ V heeft gewichten w = 1 1C 1 m T µ V mc 1 m T 1C 1 1 T 1C 1 + mc 1 1 T 1C 1 1 T 1 mc 1 1 T µ V 1C 1 m T mc 1 m T mc 1 aannemende dat de determinant in de noemer niet gelijk is aan 0. Bewijs: we minimaliseren F ( w) := σv 2 = wc wt onder de voorwaarden dat 1 = 1 w T en µ V = m w T. De rest van het bewijs is soortgelijk aan het bovenstaande en vermelden we hier niet. 4 Opgaven Opgave 1: Laat zien dat de conclusie van Stelling 2.3 niet hoeft te gelden als shortselling is toegestaan. Opgave 2: Download het Excelbestand met de dataset. In deze dataset zijn de zogenaamde closing prices van tien aandelen gegeven, de prijzen aan het einde van de handelsdag (met dank aan Hans Hellemons). a) Bereken de logarithmic returns voor elke week (behalve de eerste) voor elk aandeel. b) Bereken de covariantiematrix van de portfolio (gebruikmakend van de log returns berekend bij onderdeel a). Hint: gebruik de functie COVAR. c) Bereken de gemiddelde returns voor elk aandeel. Lever het Excel-document dat je hebt gemaakt in inclusief uitwerkingen., 11

12 5 Bronvermelding Modern portfolio theory, 1950 to date (Edwin J. Elton, Martin J. Gruber, 1997) An introduction to Modern Portfolio Theory - Markowitz, CAP-M, APT and Black-Litterman (Dr. Graeme West, 2006) Mathematics for Finance: An Introduction to Financial Engineering (Marek Capinski, Tomasz Zastawniak, 2003) Bank balance sheet optimization (H.J.A. Hellemons, 2012) Landsberger, J. (n.d.). Citing Websites. In Study Guides and Strategies. Retrieved May 13, 2005, from Modern Portfolio Theory (toegankelijk via vassilis/aee/mpttextbook.pdf op 28 februari 2013) Introduction to Portfolio Theory (toegankelijk via introductionportfoliotheory.pdf op 28 februari 2013) 12

Oefenopgaven Hoofdstuk 7

Oefenopgaven Hoofdstuk 7 Oefenopgaven Hoofdstuk 7 Opgave 1 Rendement Een beleggingsadviseur heeft de keuze uit de volgende twee beleggingsportefeuilles: Portefeuille a Portefeuille b Verwacht rendement 12% 12% Variantie 8% 10%

Nadere informatie

OEFENINGEN HOOFDSTUK 6

OEFENINGEN HOOFDSTUK 6 OEFENINGEN HOOFDSTUK 6 1 OEFENING 1 EEN INDIVIDU NEEMT EEN BELEGGING IN OVERWEGING MET VOLGENDE MOGELIJKE RENDEMENTEN EN HUN WAARSCHIJNLIJKHEDEN VAN VOORKOMEN: RENDEMENTEN -0,10 0,00 0,10 0,0 0,30 WAARSCHIJNLIJKHEID

Nadere informatie

aandeelprijs op t = T 8.5 e 9 e 9.5 e 10 e 10.5 e 11 e 11.5 e

aandeelprijs op t = T 8.5 e 9 e 9.5 e 10 e 10.5 e 11 e 11.5 e 1 Technische Universiteit Delft Fac. Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tussentoets Waarderen van Derivaten, Wi 3405TU Vrijdag november 01 9:00-11:00 ( uurs tentamen) 1. a. De koers van het aandeel

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Delft Technische Universiteit Delft

Delft Technische Universiteit Delft Tentamen Principes van Asset Trading (WI3418TU) 29 januari 2014 van 18.30-21.30 Het tentamen bestaat uit twee delen, die gelijl< gewicht hebben. Het eerste deel bestaat uit 20 multiple choice vragen en

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

Financiële economie. Opbrengsvoet en risico van een aandeel

Financiële economie. Opbrengsvoet en risico van een aandeel Financiële economie Opbrengsvoet en risico van een aandeel Financiële economen gebruiken de wiskundige verwachting E(x) van de opbrengstvoet x als een maatstaf van de verwachte opbrengstvoet, en de standaardafwijking

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Statistiek DD14) op vrijdag 17 maart 006, 9.00-1.00 uur. UITWERKINGEN 1. Methoden om schatters te vinden a) De aannemelijkheidsfunctie

Nadere informatie

De financiële situatie van Pensioenfonds UWV vanaf 31 augustus 2014

De financiële situatie van Pensioenfonds UWV vanaf 31 augustus 2014 De financiële situatie van Pensioenfonds UWV vanaf 31 ustus 2014 Op 31 ustus 2014 liep het kortetermijnherstelplan van Pensioenfonds UWV af. Tegen de verwachting in heeft het pensioenfonds de pensioenen

Nadere informatie

Welke soorten beleggingen zijn er?

Welke soorten beleggingen zijn er? Welke soorten beleggingen zijn er? Je kunt op verschillende manieren je geld beleggen. Hier lees je welke manieren consumenten het meest gebruiken. Ook vertellen we wat de belangrijkste eigenschappen van

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: Logaritmen en getal e 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert. Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Tentamen Principes van Asset Trading (WI3418TU) 21 januari 2015 van 18.30-21.30

Tentamen Principes van Asset Trading (WI3418TU) 21 januari 2015 van 18.30-21.30 Technische Universiteit Delft Tentamen Principes van Asset Trading (WI3418TU) 21 januari 2015 van 18.30-21.30 Het tentamen bestaat uit twee delen, die gelijk gewicht hebben. Het eerste deel bestaat uit

Nadere informatie

Examen VWO-Compex. wiskunde A1,2

Examen VWO-Compex. wiskunde A1,2 wiskunde A1,2 Examen VWO-Compex Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit examen zijn maximaal 90 punten te behalen; het examen bestaat uit 22 vragen.

Nadere informatie

Voorbeeld examenvragen Boekdeel 2 en special topics

Voorbeeld examenvragen Boekdeel 2 en special topics Voorbeeld examenvragen Boekdeel 2 en special topics Vraag 1 Stel dat je 10 aandelen Fortis in portfolio hebt, elk aandeel met een huidige waarde van 31 per aandeel. Fortis beslist om een deel van haar

Nadere informatie

dr. Tjalling van der Goot Financiering Studentensupport Studentensupport.be

dr. Tjalling van der Goot Financiering Studentensupport Studentensupport.be dr. Tjalling van der Goot Financiering Studentensupport Studentensupport.be 2006 dr. Tjalling van der Goot & Studentensupport Download gratis op ISBN 87-7681-148-4 Studentensupport Studentensupport.be

Nadere informatie

Risico en Rendement. Een uitleg over de relatie tussen risico en rendement en waarom het beter is om je beleggingen te spreiden over meerdere activa.

Risico en Rendement. Een uitleg over de relatie tussen risico en rendement en waarom het beter is om je beleggingen te spreiden over meerdere activa. Risico en Rendement Een uitleg over de relatie tussen risico en rendement en waarom het beter is om je beleggingen te spreiden over meerdere activa. SEPTEMBER 30, Auteur: itek ten Hove Alle grafieken zijn

Nadere informatie

Rentabiliteitsratio s

Rentabiliteitsratio s 18 Rentabiliteitsratio s Nu we de begrippen balans, resultatenrekening en kasstromentabel onder de knie hebben, kunnen we overgaan tot het meer interessante werk, nl. het onderzoek naar de performantie

Nadere informatie

INLEIDING. Definitie Stochastisch Proces:

INLEIDING. Definitie Stochastisch Proces: Definitie Stochastisch Proces: INLEIDING Verzameling van stochastische variabelen die het gedrag in de tijd beschrijven van een systeem dat onderhevig is aan toeval. Tijdparameter: discreet: {X n, n 0};

Nadere informatie

Tentamen Corporate Finance 2008 II

Tentamen Corporate Finance 2008 II Vraag 1. Welk type marktefficiëntie betreft het als ook alle publieke informatie in een prijs verwerkt is? a. Zwakke vorm efficiëntie. b. Semi-sterke vorm efficiëntie. c. Sterke vorm efficiëntie. d. Supersterke

Nadere informatie

1. Inleiding. 2. Wat betekent short gaan in effecten?

1. Inleiding. 2. Wat betekent short gaan in effecten? handleiding intraday short 1 1. Inleiding Op uw Alex rekening heeft u de mogelijkheid short te gaan in aandelen. Als u van deze mogelijkheid gebruik wilt maken, moet u de Overeenkomst Intraday Short Alex

Nadere informatie

TUDelft Technische Universiteit Deift

TUDelft Technische Universiteit Deift Technische Universiteit Deift Tentamen Principes van Asset Trading 1 februari 2012 van 9.00-12.00 Het tentamen bestaat uit twee delen, die gelijk gewicht hebben. Het eerste deel bestaat uit 20 multiple

Nadere informatie

1. Lees de tekst met het stappenplan. Kom je nog moeilijke woorden tegen in de tekst? Gebruik dan de woordhulp.

1. Lees de tekst met het stappenplan. Kom je nog moeilijke woorden tegen in de tekst? Gebruik dan de woordhulp. Tekst lezen 1. Lees de tekst met het stappenplan. Kom je nog moeilijke woorden tegen in de tekst? Gebruik dan de woordhulp. 2. Er staan een aantal moeilijke woorden in de tekst. Hieronder staat een rijtje.

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Vermogen: geld Kapitaal (aandelen, obligaties, leningen (lange termijn))

Vermogen: geld Kapitaal (aandelen, obligaties, leningen (lange termijn)) www.jooplengkeek.nl Vermogensmarkt De markt: vraag en aanbod Vermogen: geld Kapitaal (aandelen, obligaties, leningen (lange termijn)) Vermogen is een ruimer begrip dan geld. Een banksaldo is ook vermogen.

Nadere informatie

De enveloppenparadox

De enveloppenparadox De enveloppenparadox Mats Vermeeren Berlin Mathematical School) 6 april 013 1 Inleiding Een spel gaat als volgt. Je krijgt twee identiek uitziende enveloppen aangeboden, waarvan je er één moet kiezen.

Nadere informatie

Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis)

Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Verslag ten behoeve

Nadere informatie

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2 1 INLEIDING 1 Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2 Volg stap voor stap de tekst en los de vragen op. Bedoeling is dat je op het einde van de rit een verzorgd verslag afgeeft

Nadere informatie

AG8! Derivatentheorie Les2! Furtures & Forwards. 16 september 2010

AG8! Derivatentheorie Les2! Furtures & Forwards. 16 september 2010 AG8! Derivatentheorie Les2! Furtures & Forwards 16 september 2010 1 Agenda Duration & convexity (H4 8+ 9) Futures en Forwards (H2) Hedging met Futures en Forwards (H3) Waardering Futures en Forwards (H5)

Nadere informatie

Examen VWO-Compex. wiskunde A1

Examen VWO-Compex. wiskunde A1 wiskunde A1 Examen VWO-Compex Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te behalen; het examen bestaat uit 24 vragen.

Nadere informatie

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1 WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit

Nadere informatie

Proefles webklas Wiskunde. Universiteit van Amsterdam September 2002

Proefles webklas Wiskunde. Universiteit van Amsterdam September 2002 Proefles webklas Wiskunde Universiteit van Amsterdam September 2002 1 Inleiding Deze proefles van de webklas Wiskunde behandelt hetzelfde onderwerp als de echte webklas, alleen in een veel eenvoudiger

Nadere informatie

Uw rekening en rekeningoverzicht begrijpen

Uw rekening en rekeningoverzicht begrijpen Uw rekening en rekeningoverzicht begrijpen Deze gids helpt u uw rekeningoverzicht vermeld op Penson s intranet website te begrijpen. De eerste sectie geeft een uitleg van de meest belangrijke pagina s

Nadere informatie

Polyatheorie. Erik Verraedt 2011-2012

Polyatheorie. Erik Verraedt 2011-2012 2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding 4 2 Enkele telproblemen 5 2.1 Probleem 1........................................ 5 2.2 Probleem 2........................................ 5 2.3 Probleem 3........................................

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Alle opgaven tellen even zwaar, 10 punten per opgave.

Alle opgaven tellen even zwaar, 10 punten per opgave. WAT IS WISKUNDE (English version on the other side) Maandag 5 november 2012, 13.30 1.30 uur Gebruik voor iedere opgave een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer op elk vel. Alle opgaven tellen even

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

1. Leg uit dat het sparen door gezinnen een voorbeeld is van ruilen in de tijd. 2. Leg uit waarom investeren door bedrijven als ruilen over de tijd beschouwd kan worden. 3. Wat is intertemporele substitutie?

Nadere informatie

Beleggingen institutionele beleggers in 2004 met 8,1 procent omhoog

Beleggingen institutionele beleggers in 2004 met 8,1 procent omhoog Publicatiedatum CBS-website Centraal Bureau voor de Statistiek 9 december 25 Beleggingen institutionele beleggers in 24 met 8,1 procent omhoog drs. J.L. Gebraad Centraal Bureau voor de Statistiek, Voorburg/Heerlen,

Nadere informatie

De geïmpliceerde boom en de scheefheid van Black-Scholes

De geïmpliceerde boom en de scheefheid van Black-Scholes Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics De geïmpliceerde boom en de scheefheid van Black-Scholes Verslag ten behoeve van

Nadere informatie

Inhoudsopgave. Voorwoord 3 DEEL 1. Hoofdstuk 1 Vermogensvorming 17. Hoofdstuk 2 De beurs 45

Inhoudsopgave. Voorwoord 3 DEEL 1. Hoofdstuk 1 Vermogensvorming 17. Hoofdstuk 2 De beurs 45 Inhoudsopgave Voorwoord 3 DEEL 1 Beleggen 15 Hoofdstuk 1 Vermogensvorming 17 1.1 Sparen en beleggen 17 1.2 Beoordelingscriteria van beleggingsvormen 18 1.2.1 Veiligheid 18 1.2.1.1 Soorten risico s 19 1.2.1.2

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10 FORMULARIUM wwwbasiswiskundebe Inhoudsopgave Algebra 2 2 Lineaire algebra 4 3 Vlakke meetkunde 5 4 Goniometrie 7 5 Ruimtemeetkunde 0 6 Reële functies 2 7 Analyse 3 8 Logica en verzamelingen 6 9 Kansrekening

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

College 3. Opgaven. Opgave 2

College 3. Opgaven. Opgave 2 College 3 Opgaven Opgave 2 Tabel bij opgave 2 Schepen Marg. kosten Totale kosten Tot. opbr. Marg. opbr. Netto opbr. 3 200 600 900 900 300 4 200 800 1600 700 800 5 200 1000 2000 300 1000 6 200 1200 2100

Nadere informatie

Examen VWO-Compex. Wiskunde A1 (nieuwe stijl)

Examen VWO-Compex. Wiskunde A1 (nieuwe stijl) Wiskunde A1 (nieuwe stijl) Examen VWO-Compex Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 27 mei 13.30 16.30 uur 20 03 Voor dit examen zijn maximaal 86 punten te behalen; het examen bestaat

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten

Nadere informatie

De Laplace-transformatie

De Laplace-transformatie De Laplace-transformatie De Laplace-transformatie is een instrument dat functies omzet in andere functies. Deze omzetting, de transformatie, heeft nette wiskundige eigenschappen. Zowel in de kansrekening

Nadere informatie

Wiskunde B - Tentamen 2

Wiskunde B - Tentamen 2 Wiskunde B - Tentamen Tentamen van Wiskunde B voor CiT (57) Donderdag 4 april 005 van 900 tot 00 uur Dit tentamen bestaat uit 8 opgaven, 3 tabellen en formulebladen Vermeld ook je studentnummer op je werk

Nadere informatie

Portefeuillekeuze voor lange-termijn beleggers met liquiditeitsrisico's. Joost Driessen 26 maart 2013

Portefeuillekeuze voor lange-termijn beleggers met liquiditeitsrisico's. Joost Driessen 26 maart 2013 Portefeuillekeuze voor lange-termijn beleggers met liquiditeitsrisico's Joost Driessen 26 maart 2013 Illiquide assets voor lange-termijn beleggers? David Swensen, CIO Yale endowment: "Accepting illiquidity

Nadere informatie

Beleggings- en Portefeuilletheorie Tentamen 14 januari 2004 Met oplossingen

Beleggings- en Portefeuilletheorie Tentamen 14 januari 2004 Met oplossingen Beleggings- en Portefeuilletheorie 14 januari 2004 1 Beleggings- en Portefeuilletheorie Tentamen 14 januari 2004 Met oplossingen 1. Een markt heeft uitsluitend risicoaverse beleggers met mean/variance

Nadere informatie

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr. Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1 vwo 2004-I

Eindexamen wiskunde A1 vwo 2004-I Bevolkingsgroei Begin jaren negentig verscheen in NRC Handelsblad een artikel over de bevolkingsgroei en de gevolgen van deze groei. Bij dit artikel werden onder andere de onderstaande figuren 1A, 1B,

Nadere informatie

Het onzekere voor het zekere nemen

Het onzekere voor het zekere nemen Het onzekere voor het zekere nemen Opnemen van onzekerheid in de asset allocatie voor pensioenfondsen Wilma de Groot Robeco Quantitative Strategies Laurens Swinkels Robeco Quantitative Strategies Erasmus

Nadere informatie

P = LIMIETGEDRAG VAN MARKOV KETENS Limietverdeling van irreducibele, aperiodieke Markov keten:

P = LIMIETGEDRAG VAN MARKOV KETENS Limietverdeling van irreducibele, aperiodieke Markov keten: LIMIETGEDRAG VAN MARKOV KETENS Limietverdeling van irreducibele, aperiodieke Markov keten: Voorbeeld: Zoek de unieke oplossing van het stelsel π = π P waarvoor bovendien geldt dat i S π i = 1. P = 0 1/4

Nadere informatie

Markt voor onderhandse derivaten in korte tijd sterk gekrompen

Markt voor onderhandse derivaten in korte tijd sterk gekrompen Markt voor onderhandse derivaten in korte tijd sterk gekrompen De mondiale markt voor onderhandse derivaten - niet gestandaardiseerd verhandeld op de beurs maar in maatwerk tussen grote partijen - is sinds

Nadere informatie

De Dynamische Strategie Portefeuille DSP

De Dynamische Strategie Portefeuille DSP De Dynamische Strategie Portefeuille DSP Onderdeel van het beleggingsbeleid van Pensioenfonds UWV 1 Inhoudsopgave Waarom beleggen? 4 Beleggen is niet zonder risico s 4 Strategische beleggingsportefeuille

Nadere informatie

Vermogensbehoefte en financiering

Vermogensbehoefte en financiering Hoofdstuk 1 Vermogensbehoefte en financiering Opgave 1.1 Een groothandel heeft in de maanden maart tot en met oktober 600.000, extra vermogen nodig. Het benodigde extra vermogen kan voor deze periode worden

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen VWO Wiskunde C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek I Tjing Opgave 1. Het aantal hoofdstukken in de I Tjing correspondeert met het totale aantal

Nadere informatie

Ezcorp Inc. TIP 2: Verenigde Staten. Ticker Symbol. Credit Services

Ezcorp Inc. TIP 2: Verenigde Staten. Ticker Symbol. Credit Services TIP 2: Ezcorp Inc. Beurs Land Ticker Symbol ISIN Code Sector Nasdaq Verenigde Staten EZPW US3023011063 Credit Services Ezcorp (EZPW) is een bedrijf dat leningen verstrekt en daarnaast tweedehands spullen

Nadere informatie

TIJ Delft T«chnt5che Universiteit Detft

TIJ Delft T«chnt5che Universiteit Detft TIJ Delft T«chnt5che Universiteit Detft Tentamen Principes van Asset Trading (WI3418TU) 30 januari 2013 van 9.00-12^00 Het tentamen bestaat uit twee delen, die gelijk gewicht hebben. Het eerste deel bestaat

Nadere informatie

Financiële analyse. Les 2 Vermogensbehoefte en financiering. Auteur: Witek ten Hove, MBA

Financiële analyse. Les 2 Vermogensbehoefte en financiering. Auteur: Witek ten Hove, MBA Financiële analyse Les 2 Vermogensbehoefte en financiering Auteur: Witek ten Hove, MBA In deze les gaan we kijken naar onderdelen uit de balans. Er wordt aangenomen dat de student weet hoe een balans is

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

Uitwerkingen toets 9 juni 2012

Uitwerkingen toets 9 juni 2012 Uitwerkingen toets 9 juni 0 Opgave. Voor positieve gehele getallen a en b definiëren we a b = a b ggd(a, b). Bewijs dat voor elk geheel getal n > geldt: n is een priemmacht (d.w.z. dat n te schrijven is

Nadere informatie

Compex wiskunde A1-2 vwo 2004-I

Compex wiskunde A1-2 vwo 2004-I KoersSprint In deze opgave gebruiken we enkele Excelbestanden. Het kan zijn dat de uitkomsten van de berekeningen in de bestanden iets verschillen van de exacte waarden door afrondingen. Verder kunnen

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

commerzbank Speeders PRODUCTINFORMATIE

commerzbank Speeders PRODUCTINFORMATIE commerzbank Speeders PRODUCTINFORMATIE Speeder long Speeder short / www.speeders.commerzbank.com / Waarom Speeders? Het type beleggingsproduct waar de Speeder in thuis hoort is recent in Nederland. In

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.30 16.30 uur wiskunde A1 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN

VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN Het begrip verzameling kennen we uit het dagelijks leven: een bibliotheek bevat een verzameling van boeken, een museum een verzameling van kunstvoorwerpen. We kennen verzamelingen

Nadere informatie

1 november 2011 Examenhal (18:30 21:30)

1 november 2011 Examenhal (18:30 21:30) Faculteit Ruimtelijke Wetenschappen Naam: Studentnummer: Tentamen Financiering voor Vastgoedkunde Antwoordsuggesties 1 november 2011 Examenhal (18:30 21:30) Omcirkel het meest juiste antwoord bij de Multiple

Nadere informatie

Tentamen Corporate Finance 2007 I

Tentamen Corporate Finance 2007 I Vraag 1. Welke factoren, volgens Fama en French, beïnvloeden het verwachte rendement op een belegging? a. De grootte van een onderneming, de P/E ratio en de B/M ratio. b. De beta van een onderneming. c.

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur.

Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur. Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur. Deze opdracht bestaat uit vier onderdelen; in elk onderdeel wordt gevraagd een Matlabprogramma te schrijven. De vier bijbehore bestanden stuur

Nadere informatie

Tactische Asset Allocatie

Tactische Asset Allocatie Tactische Asset Allocatie Enno Veerman Volendam, 2 maart 2012 Tactische Asset Allocatie (TAA) Strategische Asset Allocatie (SAA): portefeuille samenstellen op basis van lange-termijn voorspellingen TAA:

Nadere informatie

Over polaire kegels, stelsels lineaire ongelijkheden en hun toepassingen in de financiering

Over polaire kegels, stelsels lineaire ongelijkheden en hun toepassingen in de financiering Over polaire kegels, stelsels lineaire ongelijkheden en hun toepassingen in de financiering Erik J. Balder, Mathematisch Instituut, Universiteit Utrecht 1 Polaire kegels Ik geef een stukje lineaire algebra

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

Examen HAVO en VHBO. Wiskunde A

Examen HAVO en VHBO. Wiskunde A Wiskunde A Examen AVO en VBO oger Algemeen Voortgezet Onderwijs Vooropleiding oger Beroeps Onderwijs AVO Tijdvak VBO Tijdvak Woensdag 1 juni 1.0 16.0 uur 0 00 Dit examen bestaat uit 0 vragen. Voor elk

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Mekelweg 4 Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica

Technische Universiteit Delft Mekelweg 4 Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Delft Mekelweg 4 Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica 2628 CD Delft Tentamen Risicomanagement wi3421tu 26 januari 2011, 9.00 12.00 uur Bij dit examen is het gebruik

Nadere informatie

Bepalen van Beta met behulp van fundamentele data

Bepalen van Beta met behulp van fundamentele data Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Bepalen van Beta met behulp van fundamentele data Verslag ten behoeve van het Delft

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Technische Universiteit Delft Mekelweg 4 Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica 2628 CD Delft Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Formulebladen, rekenmachines,

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

Tentamen Corporate Finance 2006 II

Tentamen Corporate Finance 2006 II Vraag 1. In de praktijk worden bij fusies en overnames voornamelijk twee waarderingsmethoden gebruikt: DCF (discounted cash flows) en comparables (i.e. waardering op basis van multiples ten opzichte van

Nadere informatie

Consumenteninformatie van de Autoriteit Financiële Markten. Loop geen onnodig risico. Verstandig beleggen

Consumenteninformatie van de Autoriteit Financiële Markten. Loop geen onnodig risico. Verstandig beleggen Consumenteninformatie van de Autoriteit Financiële Markten Loop geen onnodig risico Verstandig beleggen Voor wie is deze folder? Deze folder is voor iedereen die wil beleggen. In Nederland zijn er 1,5

Nadere informatie

Domein A: Vaardigheden

Domein A: Vaardigheden Examenprogramma Wiskunde A havo Het eindexamen bestaat uit het centraal examen en het schoolexamen. Het examenprogramma bestaat uit de volgende domeinen: Domein A Vaardigheden Domein B Algebra en tellen

Nadere informatie

In dit proefschrift staat het gebruik van financiële derivaten binnen het. risicomanagement van individuele ondernemingen centraal (corporate risk

In dit proefschrift staat het gebruik van financiële derivaten binnen het. risicomanagement van individuele ondernemingen centraal (corporate risk SAMENVATTING IN HET NEDERLANDS In dit proefschrift staat het gebruik van financiële derivaten binnen het risicomanagement van individuele ondernemingen centraal (corporate risk management). In de afgelopen

Nadere informatie

Schatting voor het aantal tanks: is statistiek beter dan de geheime dienst?

Schatting voor het aantal tanks: is statistiek beter dan de geheime dienst? Schatting voor het aantal tanks: is statistiek beter dan de geheime dienst? dr. H.P. Lopuhaä UHD Statistiek Opleiding Technische Wiskunde Faculteit Informatietechnologie & Systemen Technische Universiteit

Nadere informatie

Financiering Opgavenboek

Financiering Opgavenboek dr. Tjalling van der Goot Financiering Opgavenboek Studentensupport Studentensupport.be 2006 dr. Tjalling van der Goot & Studentensupport Download gratis op ISBN 87-7681-147-6 Studentensupport Studentensupport.be

Nadere informatie

0A631: Leren Innoveren: Economische aspecten Door Tommy van der Vorst (t.v.d.vorst.1@student.tue.nl).

0A631: Leren Innoveren: Economische aspecten Door Tommy van der Vorst (t.v.d.vorst.1@student.tue.nl). 0A631: Leren Innoveren: Economische aspecten Door Tommy van der Vorst (t.v.d.vorst.1@student.tue.nl). Kosten- Batenanalyese Een kosten- batenanalyse (cost- benefit analysis, CBA) wordt uitgevoerd door

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 23 mei 13.30 16.30 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 90 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

Beleggingrisico s. Rendement en risico

Beleggingrisico s. Rendement en risico Beleggingsrisico s Beleggingrisico s Onderstaand tref je de omschrijving aan van de belangrijkste beleggingsrisico s die samenhangen met jouw keuze voor een portefeuilleprofiel. Je neemt een belangrijke

Nadere informatie

Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Dit is een greep (combinatie) van 3 uit 32. De volgorde is niet van belang omdat de drie

Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Dit is een greep (combinatie) van 3 uit 32. De volgorde is niet van belang omdat de drie Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Op hoeveel verschillende manieren kun je drie zwarte pionnen verdelen over de 32 zwarte velden van een schaakbord? (Neem aan dat op elk veld hooguit één pion staat.)

Nadere informatie

Sociale Dilemma s en Speltheorie

Sociale Dilemma s en Speltheorie Sociale Dilemma s en Speltheorie Krzysztof R. Apt CWI, Amsterdam Prisoner s Dilemma C D C 2, 2 0, 3 D 3, 0 1, 1 Elke speler heeft twee strategieën: C ( cooperate ) and D ( defect ). Interpretatie: C: Je

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

Determinanten. , dan is det A =

Determinanten. , dan is det A = Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is

Nadere informatie