Portfolio-optimalisatie

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Portfolio-optimalisatie"

Transcriptie

1 Portfolio-optimalisatie Abdelhak Chahid Mohamed, Tom Schotel 28 februari 2013

2 Voorwoord Dit dictaat is geschreven ter voorbereiding op de presentatie van 5 maart die gegeven zal worden door twee adviseurs bij Ernst & Young. Ernst & Young is een internationaal opererend bedrijf dat zich onder andere bezig houdt met accountancy en belastingadvies. We zullen ons richten op de wiskunde gebruikt door de risicomanagement-tak van het bedrijf, waar vooral mensen werken met een achtergrond in econometrie, wiskunde, bedrijfswiskunde, statistiek en (bedrijfs)economie.

3 Inhoudsopgave 1 Inleiding 4 2 Portfolio-theorie in twee effecten 6 3 Algemenere portfolio s 9 4 Opgaven 11 5 Bronvermelding 12 3

4 1 Inleiding Op de effectenbeurs worden effecten zoals aandelen en obligaties verhandeld. Investeringen in zulke effecten kunnen in twee brede categorieën ingedeeld worden: risicovolle en riscovrije investeringen. Bij risicovolle investeringen kan gedacht worden aan aandelen of opties, en bij risicovrije investeringen aan staatsobligaties of geld dat op een spaarrekening gezet wordt tegen rente. Algemeen gezegd is van een risicovrije investering is de toekomstige waarde (vrijwel) zeker, terwijl de toekomstige waarde van een risicovolle investering niet gegarandeerd is. We zullen in dit hoofdstuk de benodigde concepten introduceren aan de hand van de specifieke situatie dat er twee effecten verhandeld worden op de beurs. We lichten de intuïtie achter de begrippen enigszins toe en geven een aantal voorbeelden. In het volgende hoofdstuk zullen we naar een algemenere situatie kijken en staan ook enkele bewijzen centraal. Voorbeeld 1.1. Stel dat op de beurs twee aandelen A en B verhandeld worden. Een investeerder bezit een bedrag van W 0 en wil dit hele bedrag investeren. De vraag die we later zullen onderzoeken is hoeveel hij het best in ieder aandeel kan investeren. Zij x A en x B het aantal aandelen A respectievelijk B dat gekocht wordt. We zeggen dat het paar (x A, x B ) een zogenaamde portfolio vormt. De waarde van aandelen kan veranderen met de tijd; we geven dit weer door S A (t) en S B (t) te schrijven voor de waarde van aandeel A respectievelijk B op tijdstip t. Hieruit volgt dat de totale waarde van de portfolio op tijdstip t gelijk is aan V (t) := x A S A (t) + x B S B (t). We zullen in deze paragraaf onder andere onderscheid maken tussen slechts twee tijdsperiodes: tijdstip t = 0 en tijdstip t = 1. De zogenaamde portfolio-gewichten w i van effect i geven we aan met w i = x is i (0) V (0) Deze gewichten geven aan hoeveel relatief geïnvesteerd is in effect i. In het bijzonder is de teller gelijk aan het totale bedrag dat in effect i is geïnvesteerd. De som van al zulke proporties is vanzelfsprekend 1, wat ook in te zien is als volgt: 4

5 w A + w B = x AS A (0)+x B S B (0) V (0) = V (0) V (0) = 1 We maken nu enkele aannames over de aandelenmarkt: Aanname 1.1. De prijs van een aandeel op tijdstip t = 1 is een random variable met minstens twee verschillende waarden en hoogstens eindig veel waarden. De toekomstige prijs A(1) van een risicovrije belegging op tijdstip t = 1 is een bekend getal. Aanname 1.2. Alle prijzen die we beschouwen zijn strikt positief, A(t) > 0 en S(t) > 0 voor t = 0, 1. Aanname 1.3. Een investeerder iedere gewenste hoeveelheid x effecten bezitten, d.w.z. If x R. Merk op dat de laatste aanname bijvoorbeeld impliceert dat men ook een negatieve hoeveelheid aandelen kan bezitten. Het is bijvoorbeeld mogelijk om een aandeel te short-sellen. Hierbij leent een investeerder een aandeel en verkoopt het direct, waarna op een later tijdstip het aandeel teruggekocht en teruggegeven wordt. Als het aandeel gedaald is, zal de investeerder voor een lagere prijs het aandeel terug kunnen kopen, en dus winst maken. Als het aandeel gestegen is, zal de investeerder echter het aandeel tegen een hogere prijs moeten kopen en verlies maken. Stel dat bank A in New York voor elke Britse pond 1,62 dollar wil betalen, terwijl bank B ponden verkoopt voor 1,60 dollar per pond. Neem in deze specifieke situatie aan dat zonder rente te betalen geld geleend kan worden. Een investeerder zou door geld te lenen, ponden in te kopen bij bank B en ze te verkopen aan bank A winst kunnen maken zonder enig risico te lopen op verlies. Dit komt erop neer dat de banken geld weggeven. De mogelijkheid om geld te verdienen zonder begininvestering noemen we arbitrage. Als zo n situatie voor zou komen zou door de toenemende vraag de wisselkoers weer in evenwicht gebracht worden, waardoor zulke situaties in werkelijkheid slechts zeer kort duren. We doen dan ook de volgende Aanname 1.4. In de aandelenmarkt komt geen arbitrage voor, d.w.z. er is geen portfolio met V (0) = 0 en V (1) > 0 met positieve kans. 5

6 2 Portfolio-theorie in twee effecten We zullen nu een aantal begrippen invoeren die een maat geven van de winstgevendheid van een investering. Definitie 2.1. De rate of return K C van een aandeel C tussen periode t = 0 en t = 1 definiëren we als de random variable K C (0, 1) := S C(1) S C (0). S C (0) De rate of return is te interpreteren als de winst (of verlies) per euro die geïnvesteerd is. Op soortgelijke wijze: Definitie 2.2. De rate of return K A van een risicovrije belegging C tussen periode t = 0 en t = 1 definiëren we als het getal K C (0, 1) := A C(1) A C (0). A C (0) Definitie 2.3. De logarithmic return k C van een aandeel C tussen periode t = 0 en t = 1 definiëren we als de random variable k C (0, 1) := ln S C(1) S C (0) Definitie 2.4. De logarithmic return k A van een risicovrije belegging C tussen periode t = 0 en t = 1 definiëren we als het getal k C (0, 1) := ln A C(1) A C (0) De logarithmic return heeft de wiskundig handige eigenschap dat hij additief is, d.w.z. k C (k, k + 2) = k C (k, k + 1) + k C (k + 1, k + 2) voor alle k N. De logarithmic return over een grotere periode kan dus gevonden worden door de logarithmic returns over de periodes waaruit hij bestaat bij elkaar op te tellen. Voorbeeld 2.1. Stel dat we euro willen investeren, d.w.z. W 0 = $ Op de markt kunnen we een obligatie kopen voor A(0) = 100 6

7 die A(1) = 110 waard zal zijn op tijdstip t = 1. Ook kunnen we een aandeel kopen voor S(0) = 80 dat op tijd t = 1 waard zal zijn: { 100 met kans 0.8 S(1) = 60 met kans 0.2 Stel verder dat we 50 aandelen en dus 60 obligaties kopen. Dan is de waarde van onze portfolio op tijdstip t = 1: { als het aandeel stijgt V (1) = 9600 als het aandeel daalt en de rate of return is { 0.16 als het aandeel stijgt K p (0, 1) = 0.04 als het aandeel daalt De verwachtingswaarde van de return is nu E(K V ) = = 0.12, oftwel 12%. Het risico van deze investering is definiëren we als de standaardafwijking σ V van de random variable K V, in dit geval σ V = ( ) ( ) = 0.08 We zullen dit vergelijken met een andere portfolio. Als we 0 aandelen en 100 obligaties kopen, dan is de hele investering risicovrij. We weten dan zeker dat K A = 0.1 en het risico van de investering is σ V = 0. Als er de keuze is tussen twee portfolio s met dezelfde verwachtingswaarde zullen veel investeerders de voorkeur geven aan de investering met het minste risico. Een gokker zou liever kiezen voor een portfolio die 50% kans geeft op 100 euro winst en 50% kans op 100 euro verlies, terwijl de investeerder liever geen risico loopt en niets investeert. Andersom zal vaak bij twee portfolio s met hetzelfde risico de voorkeur gegeven worden aan de investering met de hoogste verwachtingswaarde. Dit brengt ons tot de volgende aanname en definities: Aanname 2.1. Investeerders zijn risico-avers, oftewel: gegeven de keuze tussen twee beleggingen met dezelfde verwachtingswaarde zullen ze de belegging met het minste risico prefereren. Definitie 2.5. We zeggen dat een effect S 1 met verwachtingswaarde µ 1 en standaardafwijking σ 1 een ander effect S 2 met verwachtingswaarde µ 2 en standaardafwijking σ 2 domineert als µ 1 µ 2 en σ 1 σ 2 7

8 Definitie 2.6. Een portfolio heet efficiënt als er geen portfolio is (behalve de portfolio zelf) die de portfolio domineert. De verzameling van alle mogelijke efficiënte portfolio s noemen we de efficient frontier. Een efficiënte portfolio heeft de hoogste verwachte return van alle mogelijke portfolio s met dezelfde standaardafwijking (risico). Een rationele investeerder zal altijd voor een efficiënte portfolio kiezen, maar welke portfolio hij kiest zal afhangen van zijn persoonlijke voorkeur. Hij zal bijvoorbeeld de voorkeur kunnen geven aan een portfolio met een hoge verwachtingswaarde en een hoog risico in plaats van een portfolio met een lage verwachtingswaarde en een laag risico. Stelling 2.1. De return K V op een portfolio (x 1, x 2 ) wordt gegeven door K V = w 1 K 1 + w 2 K 2, waar K i de return is op effect i. Bewijs: er geldt dat V (0) = x 1 S 1 (0) + x 2 S 2 (0) en V (1) = x 1 S 1 (0)(1 + K 1 ) + x 2 S 2 (0)(1 + K 2 ) dus = V (0)(w 1 (1 + K 1 ) + w 2 (1 + K 2 )), K V = V (1) V (0) V (0) = w 1 K 1 + w 2 K 2. Gevolg: E(K V ) = w 1 E(K 1 ) + w 2 E(K 2 ) Stelling 2.2. De variantie σv 2 van de return K V van een portfolio (x 1, x 2 ) wordt gegeven door σ 2 V := Var(K V ) = w 2 1 Var(K 1) + w 2 2 Var(K 2) + 2w 1 w 2 Cov(K 1, K 2 ), waar K i de return is op effect i. Bewijs: we gebruiken de vorige stelling en de lineariteit van de covariantie: Var(K V ) = Cov(K V, K V ) = Cov(w 1 K 1 + w 2 K 2, w 1 K 1 + w 2 K 2 ) = w 2 1Var(K 1 ) + w 2 2Var(K 2 ) + 2w 1 w 2 Cov(K 1, K 2 ). 8

9 Stelling 2.3. Als voor een portfolio (x 1, x 2 ) geldt dat x 1 0, x 2 0 (shortselling is niet toegestaan) dan σv 2 van de portfolio niet groter zijn dan de variantie van de return van zijn componenten, m.a.w σv 2 max{σ2 1, σ2 2.} Bewijs: neem zonder verlies van algemeenheid aan dat σ1 2 σ2 2. Omdat w 1, w 2 0, is w 1 σ 1 + w 2 σ 2 (w 1 + w 2 )σ 2 = σ 2. Omdat voor de correlatiecoëfficient ρ 12 := Cov(K 1,K 2 ) σ 1 σ 2 geldt dat 1 ρ 12 1 (dit is een standaardresultaat uit de kansrekening), volgt dat σ 2 V = w 2 1σ w 2 2σ w 1 w 2 ρ 12 σ 1 σ 2 w 2 1σ w 2 2σ w 1 w 2 σ 1 σ 2 =(w 1 σ 1 + w 2 σ 2 ) 2 σ Algemenere portfolio s Definitie 3.1. Een portfolio is een vector (x 1 (t),..., x n (t)), waarbij x i (t) het aantal van effect i is dat een investeerder op tijdstip t bezit. De waarde van effect i op tijdstip t geven we aan met S i (t). De waarde van een portfolio van n effecten op tijdstip t is V (t) := n i=1 x is i (t). Het portfoliogewicht w i van effect i definiëren we als w i := x is i (0) V (0). Definieer 1 := (1,..., 1) als de vector met 1 op alle n posities. Zetten we de gewichten in een vector w = (w 1,..., w n ), dan geldt vanwege het feit dat de som van alle gewichten 1 moet zijn dat 1 = 1 w T. Definieer µ i := E(K i ) als de verwachte return van effect i en definieer m := (µ 1,..., µ n ). De covarianties tussen returns zullen we aangeven met c ij = Cov(K i, K j ) en we zullen deze schrijven in een n n covariantie-matrix c 1,1 c 1,2 c 1,n c 2,1 c 2,2 c 2,n C n,n = c n,1 c n,2 c n,n We nemen aan dat deze matrix een een inverse heeft. 9

10 Stelling 3.1. De verwachte return µ V := E(K V ) van een portfolio en de variantie van de return σv 2 := V ar(k v) van een portfolio met gewichtsvector w zijn gegeven door µ V = m w T, σ 2 V = wc wt. Bewijs: de identiteit voor µ v volgt uit de lineariteit van de verwachtingswaarde: µ V = E(K V ) = E( n i=1 w ik i ) = n i=1 w iµ i = m w T Voor σ 2 V zullen we gebruik maken van de lineariteit van de covariantie: σ 2 V = Var(K V ) = Var( = Cov( = n w i K i, i=1 n w i K i ) i=1 n w j K j ) j=1 n w i w j c ij = wc w T. i,j=1 We bepalen nu de portfolio met de kleinste variantie van alle mogelijke portfolio s, die de minimum variance portfolio heet. Daarna bepalen we de portfolio vinden met de kleinste variantie van alle portfolio s met een specifieke verwachte return µ V, die de minimum variance line heet. Stelling 3.2. De portfolio met de kleinste variantie σ V portfolio s heeft gewichten van alle mogelijke w = 1C 1 1C 1, aannemende dat de noemer niet gelijk is aan 0. 1T Bewijs: we minimaliseren F ( w) := σv 2 = wc wt onder de voorwaarde dat 1 = 1 w T. We zullen de Lagrangemultiplicatormethode gebruiken. Laat F (w, λ) := wc w T λ 1 w T, waar λ een Lagrange-multiplicator is. Gelijkstellen aan 0 van de partiële afgeleiden van F geeft 2 wc λ 1 = 0, waaruit volgt dat w = λ 2 1C 1. Substitueren in de vergelijking van de voorwaarde geeft 1 = λ 2 1C 1 1 T waarin we het feit gebruiken dat C 1 een symmetrische matrix is, omdat C dat ook is. Na oplossen voor λ in w = λ 2 1C 1 volgt na substitie van λ de 10

11 gevraagde formule. Stelling 3.3. De portfolio met de kleinste variantie σ V van alle mogelijke portfolio s met verwachte return µ V heeft gewichten w = 1 1C 1 m T µ V mc 1 m T 1C 1 1 T 1C 1 + mc 1 1 T 1C 1 1 T 1 mc 1 1 T µ V 1C 1 m T mc 1 m T mc 1 aannemende dat de determinant in de noemer niet gelijk is aan 0. Bewijs: we minimaliseren F ( w) := σv 2 = wc wt onder de voorwaarden dat 1 = 1 w T en µ V = m w T. De rest van het bewijs is soortgelijk aan het bovenstaande en vermelden we hier niet. 4 Opgaven Opgave 1: Laat zien dat de conclusie van Stelling 2.3 niet hoeft te gelden als shortselling is toegestaan. Opgave 2: Download het Excelbestand met de dataset. In deze dataset zijn de zogenaamde closing prices van tien aandelen gegeven, de prijzen aan het einde van de handelsdag (met dank aan Hans Hellemons). a) Bereken de logarithmic returns voor elke week (behalve de eerste) voor elk aandeel. b) Bereken de covariantiematrix van de portfolio (gebruikmakend van de log returns berekend bij onderdeel a). Hint: gebruik de functie COVAR. c) Bereken de gemiddelde returns voor elk aandeel. Lever het Excel-document dat je hebt gemaakt in inclusief uitwerkingen., 11

12 5 Bronvermelding Modern portfolio theory, 1950 to date (Edwin J. Elton, Martin J. Gruber, 1997) An introduction to Modern Portfolio Theory - Markowitz, CAP-M, APT and Black-Litterman (Dr. Graeme West, 2006) Mathematics for Finance: An Introduction to Financial Engineering (Marek Capinski, Tomasz Zastawniak, 2003) Bank balance sheet optimization (H.J.A. Hellemons, 2012) Landsberger, J. (n.d.). Citing Websites. In Study Guides and Strategies. Retrieved May 13, 2005, from Modern Portfolio Theory (toegankelijk via vassilis/aee/mpttextbook.pdf op 28 februari 2013) Introduction to Portfolio Theory (toegankelijk via introductionportfoliotheory.pdf op 28 februari 2013) 12

Oefenopgaven Hoofdstuk 7

Oefenopgaven Hoofdstuk 7 Oefenopgaven Hoofdstuk 7 Opgave 1 Rendement Een beleggingsadviseur heeft de keuze uit de volgende twee beleggingsportefeuilles: Portefeuille a Portefeuille b Verwacht rendement 12% 12% Variantie 8% 10%

Nadere informatie

Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015

Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015 Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen

Nadere informatie

OEFENINGEN HOOFDSTUK 6

OEFENINGEN HOOFDSTUK 6 OEFENINGEN HOOFDSTUK 6 1 OEFENING 1 EEN INDIVIDU NEEMT EEN BELEGGING IN OVERWEGING MET VOLGENDE MOGELIJKE RENDEMENTEN EN HUN WAARSCHIJNLIJKHEDEN VAN VOORKOMEN: RENDEMENTEN -0,10 0,00 0,10 0,0 0,30 WAARSCHIJNLIJKHEID

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: Arbitrage en financiële besluitvorming

Hoofdstuk 3: Arbitrage en financiële besluitvorming Hoofdstuk 3: Arbitrage en financiële besluitvorming Elke beslissing heeft consequenties voor de toekomst en deze consequenties kunnen voordelig of nadelig zijn. Als de extra kosten de voordelen overschrijden,

Nadere informatie

aandeelprijs op t = T 8.5 e 9 e 9.5 e 10 e 10.5 e 11 e 11.5 e

aandeelprijs op t = T 8.5 e 9 e 9.5 e 10 e 10.5 e 11 e 11.5 e 1 Technische Universiteit Delft Fac. Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tussentoets Waarderen van Derivaten, Wi 3405TU Vrijdag november 01 9:00-11:00 ( uurs tentamen) 1. a. De koers van het aandeel

Nadere informatie

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 2 Gröbnerbases 1. Vragen We hebben gezien dat de studie van stelsels polynoomvergelijkingen in meerdere variabelen op natuurlijke manier leidt

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 8 Donderdag 13 Oktober 1 / 23 2 Statistiek Vandaag: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 23 Stochast en populatie

Nadere informatie

3.2 Vectoren and matrices

3.2 Vectoren and matrices we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,

Nadere informatie

Cursus Statistiek Hoofdstuk 4. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen. Definitie (Verwachting van discrete stochast) Voorbeeld (1)

Cursus Statistiek Hoofdstuk 4. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen. Definitie (Verwachting van discrete stochast) Voorbeeld (1) Cursus Statistiek Hoofdstuk 4 Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Departement Informatica Inhoud Verwachtingen Variantie Momenten en Momentengenererende functie

Nadere informatie

III.2 De ordening op R en ongelijkheden

III.2 De ordening op R en ongelijkheden III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e 1/3/2017. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e 1/3/2017. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: Logaritmen en getal e 1/3/2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Analyse A, deeltentamen Uitwerkingen maandag 1 november 2010, 9 11 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan

Nadere informatie

Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen

Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen 8 december 2015, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is het totaal

Nadere informatie

Modellen en Simulatie Speltheorie

Modellen en Simulatie Speltheorie Utrecht, 20 juni 2012 Modellen en Simulatie Speltheorie Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Program Optimaliseren Nul-som matrix spel Spel strategie Gemengde

Nadere informatie

Leeswijzer bij het college Functies en Reeksen

Leeswijzer bij het college Functies en Reeksen Leeswijzer bij het college Functies en Reeksen Erik van den Ban Najaar 2012 Introductie eze leeswijzer bij het dictaat Functies en Reeksen (versie augustus 2011) heeft als doel een gewijzigde opbouw van

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde

Tentamen Discrete Wiskunde Discrete Wiskunde (WB011C) 22 januari 2016 Tentamen Discrete Wiskunde Schrijf op ieder ingeleverd blad duidelijk leesbaar je naam en studentnummer. De opgaven 1 t/m 6 tellen alle even zwaar. Je hoeft slechts

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2, Vrijdag 23 januari 25, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Statistiek DD14) op vrijdag 17 maart 006, 9.00-1.00 uur. UITWERKINGEN 1. Methoden om schatters te vinden a) De aannemelijkheidsfunctie

Nadere informatie

Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek

Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Uitwerkingen worden beschikbaar gesteld op de dinsdagavond voorafgaande aan het volgende college

Nadere informatie

INLEIDING. Definitie Stochastisch Proces:

INLEIDING. Definitie Stochastisch Proces: Definitie Stochastisch Proces: INLEIDING Verzameling van stochastische variabelen die het gedrag in de tijd beschrijven van een systeem dat onderhevig is aan toeval. Tijdparameter: discreet: {X n, n 0};

Nadere informatie

Tentamen Voortgezette Kansrekening (WB006C)

Tentamen Voortgezette Kansrekening (WB006C) WB6C: Voortgezette Kansrekening Donderdag 26 januari 212 Tentamen Voortgezette Kansrekening (WB6C) Het is een open boek tentamen. Gebruik van een rekenmachine of andere hulpmiddelen is niet toegestaan.

Nadere informatie

P (X n+1 = j X n = i, X n 1,..., X 0 ) = P (X n+1 = j X n = i). P (X n+1 = j X n = i) MARKOV KETENS. Definitie van Markov keten:

P (X n+1 = j X n = i, X n 1,..., X 0 ) = P (X n+1 = j X n = i). P (X n+1 = j X n = i) MARKOV KETENS. Definitie van Markov keten: Definitie van Markov keten: MARKOV KETENS Een stochastisch proces {X n, n 0} met toestandsruimte S heet een discrete-tijd Markov keten (DTMC) als voor alle i en j in S geldt P (X n+1 = j X n = i, X n 1,...,

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T

Nadere informatie

Delft Technische Universiteit Delft

Delft Technische Universiteit Delft Tentamen Principes van Asset Trading (WI3418TU) 29 januari 2014 van 18.30-21.30 Het tentamen bestaat uit twee delen, die gelijl< gewicht hebben. Het eerste deel bestaat uit 20 multiple choice vragen en

Nadere informatie

(b) Formuleer het verband tussen f en U(P, f), en tussen f en L(P, f). Bewijs de eerste. (c) Geef de definitie van Riemann integreerbaarheid van f.

(b) Formuleer het verband tussen f en U(P, f), en tussen f en L(P, f). Bewijs de eerste. (c) Geef de definitie van Riemann integreerbaarheid van f. Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 2 juli 2015, 08:30 11:30 (12:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek Analysis

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: Logaritmen en getal e 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

De financiële situatie van Pensioenfonds UWV vanaf 31 augustus 2014

De financiële situatie van Pensioenfonds UWV vanaf 31 augustus 2014 De financiële situatie van Pensioenfonds UWV vanaf 31 ustus 2014 Op 31 ustus 2014 liep het kortetermijnherstelplan van Pensioenfonds UWV af. Tegen de verwachting in heeft het pensioenfonds de pensioenen

Nadere informatie

Risico en Rendement. Een uitleg over de relatie tussen risico en rendement en waarom het beter is om je beleggingen te spreiden over meerdere activa.

Risico en Rendement. Een uitleg over de relatie tussen risico en rendement en waarom het beter is om je beleggingen te spreiden over meerdere activa. Risico en Rendement Een uitleg over de relatie tussen risico en rendement en waarom het beter is om je beleggingen te spreiden over meerdere activa. SEPTEMBER 30, Auteur: itek ten Hove Alle grafieken zijn

Nadere informatie

Definitie 1.1. Een partitie van een natuurlijk getal n is een niet stijgende rij positieve natuurlijke getallen met som n

Definitie 1.1. Een partitie van een natuurlijk getal n is een niet stijgende rij positieve natuurlijke getallen met som n Hoofdstuk 1 Inleidende begrippen 1.1 Definities Definitie 1.1. Een partitie van een natuurlijk getal n is een niet stijgende rij positieve natuurlijke getallen met som n Voor het tellen van het aantal

Nadere informatie

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert. Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN

NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN II NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN Iedereen ent getallen: de natuurlije getallen, N = {0,1,2,3,...}, gebruien we om te tellen, om getallen van elaar af te unnen treen hebben we de gehele getallen,

Nadere informatie

Eigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element.

Eigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element. Hoofdstuk 2 De regels van het spel 2.1 De gehele getallen Grof gezegd kunnen we de (elementaire) getaltheorie omschrijven als de wiskunde van de getallen 1, 2, 3, 4,... die we ook de natuurlijke getallen

Nadere informatie

Rentabiliteitsratio s

Rentabiliteitsratio s 18 Rentabiliteitsratio s Nu we de begrippen balans, resultatenrekening en kasstromentabel onder de knie hebben, kunnen we overgaan tot het meer interessante werk, nl. het onderzoek naar de performantie

Nadere informatie

Financiële economie. Opbrengsvoet en risico van een aandeel

Financiële economie. Opbrengsvoet en risico van een aandeel Financiële economie Opbrengsvoet en risico van een aandeel Financiële economen gebruiken de wiskundige verwachting E(x) van de opbrengstvoet x als een maatstaf van de verwachte opbrengstvoet, en de standaardafwijking

Nadere informatie

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D2. Datum: dinsdag 29 april 28. Tijd: 14: 17:. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015 Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen

Nadere informatie

Hoofdstuk 10: Kapitaalmarkten en de prijs van risico

Hoofdstuk 10: Kapitaalmarkten en de prijs van risico Hoofdstuk 10: Kapitaalmarkten en de prijs van risico In dit hoofdstuk wordt een theorie ontwikkeld die de relatie tussen het gemiddelde rendement en de variabiliteit van rendementen uitlegt en daarbij

Nadere informatie

IMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 2017

IMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 2017 IMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 017 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Gegeven is cirkel ω met middellijn AK. Punt M ligt binnen de cirkel, niet op lijn AK. De lijn AM snijdt

Nadere informatie

De Minimax-Stelling en Nash-Evenwichten

De Minimax-Stelling en Nash-Evenwichten De Minima-Stelling en Nash-Evenwichten Sebastiaan A. Terwijn Radboud Universiteit Nijmegen Afdeling Wiskunde 20 september 2010 Dit is een bijlage bij het eerstejaars keuzevak Wiskunde, Politiek, en Economie.

Nadere informatie

Rendement, Effectief rendement, IRR, wat is het nu?

Rendement, Effectief rendement, IRR, wat is het nu? Rendement, Effectief rendement, IRR, wat is het nu? Author : G.K. van Dommelen Date : 02-10-2014 (publicatiedatum 3 oktober 2014) Op 18 september jongstleden publiceerden wij een artikel over het bod dat

Nadere informatie

Voorbeeld examenvragen Boekdeel 2 en special topics

Voorbeeld examenvragen Boekdeel 2 en special topics Voorbeeld examenvragen Boekdeel 2 en special topics Vraag 1 Stel dat je 10 aandelen Fortis in portfolio hebt, elk aandeel met een huidige waarde van 31 per aandeel. Fortis beslist om een deel van haar

Nadere informatie

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele

Nadere informatie

Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen

Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 en opmerkingen November 10, 2009 Opgave 1 Gegeven een vectorruimte V met deelruimtes U 1 en U 2. Als er geldt dim U 1 = 7, dimu 2 = 9, en dim(u 1 U 2 ) = 4, wat

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

P (X n+1 = j X n = i, X n 1,..., X 0 ) = P (X n+1 = j X n = i). P (X n+1 = j X n = i) MARKOV KETENS. Definitie van Markov keten:

P (X n+1 = j X n = i, X n 1,..., X 0 ) = P (X n+1 = j X n = i). P (X n+1 = j X n = i) MARKOV KETENS. Definitie van Markov keten: Definitie van Markov keten: MARKOV KETENS Een stochastisch proces {X n, n 0} met toestandsruimte S heet een discrete-tijd Markov keten (DTMC) als voor alle i en j in S geldt P (X n+ = j X n = i, X n,...,

Nadere informatie

Fundamentele begrippen in de financiële wiskunde

Fundamentele begrippen in de financiële wiskunde Fundamentele begrippen in de financiële wiskunde Peter Spreij Leve de Wiskunde!, 8 april 2011 Inhoud Doel 1 Doel 2 3 Arbitrage Replicatie, hedging 4 5 6 Peter Spreij Financiële Wiskunde 1/ 60 Inhoud Doel

Nadere informatie

VU University Amsterdam 2018, Maart 27

VU University Amsterdam 2018, Maart 27 Department of Mathematics Exam: Voortgezette biostatistiek VU University Amsterdam 2018, Maart 27 c Dept. of Mathematics, VU University Amsterdam NB. Geef een duidelijke toelichting bij de antwoorden.

Nadere informatie

Tentamen Principes van Asset Trading (WI3418TU) 21 januari 2015 van 18.30-21.30

Tentamen Principes van Asset Trading (WI3418TU) 21 januari 2015 van 18.30-21.30 Technische Universiteit Delft Tentamen Principes van Asset Trading (WI3418TU) 21 januari 2015 van 18.30-21.30 Het tentamen bestaat uit twee delen, die gelijk gewicht hebben. Het eerste deel bestaat uit

Nadere informatie

De enveloppenparadox

De enveloppenparadox De enveloppenparadox Mats Vermeeren Berlin Mathematical School) 6 april 013 1 Inleiding Een spel gaat als volgt. Je krijgt twee identiek uitziende enveloppen aangeboden, waarvan je er één moet kiezen.

Nadere informatie

Uitwerkingen Tentamen Wat is Wiskunde (WISB101) Donderdag 10 november 2016, 9:00-12:00

Uitwerkingen Tentamen Wat is Wiskunde (WISB101) Donderdag 10 november 2016, 9:00-12:00 Uitweringen Tentamen Wat is Wisunde (WISB101) Donderdag 10 november 2016, 9:00-12:00 Docenten: Barbara van den Berg & Carel Faber & Arjen Baarsma & Ralph Klaasse & Vitor Blåsjö & Guido Terra-Bleeer Opgave

Nadere informatie

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2 Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

handleiding intraday short augustus 2017

handleiding intraday short augustus 2017 handleiding intraday short augustus 2017 1 1. INLEIDING Op uw Alex rekening heeft u de mogelijkheid short te gaan in aandelen. Als u van deze mogelijkheid gebruik wilt maken, moet u de Overeenkomst Intraday

Nadere informatie

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. . Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie

Nadere informatie

Welke soorten beleggingen zijn er?

Welke soorten beleggingen zijn er? Welke soorten beleggingen zijn er? Je kunt op verschillende manieren je geld beleggen. Hier lees je welke manieren consumenten het meest gebruiken. Ook vertellen we wat de belangrijkste eigenschappen van

Nadere informatie

College 3. Opgaven. Opgave 2

College 3. Opgaven. Opgave 2 College 3 Opgaven Opgave 2 Tabel bij opgave 2 Schepen Marg. kosten Totale kosten Tot. opbr. Marg. opbr. Netto opbr. 3 200 600 900 900 300 4 200 800 1600 700 800 5 200 1000 2000 300 1000 6 200 1200 2100

Nadere informatie

V.4 Eigenschappen van continue functies

V.4 Eigenschappen van continue functies V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 9 Dinsdag 18 Oktober 1 / 1 2 Statistiek Vandaag: Centrale Limietstelling Correlatie Regressie 2 / 1 Centrale Limietstelling 3 / 1 Centrale Limietstelling St. (Centrale

Nadere informatie

Examen VWO-Compex. wiskunde A1,2

Examen VWO-Compex. wiskunde A1,2 wiskunde A1,2 Examen VWO-Compex Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit examen zijn maximaal 90 punten te behalen; het examen bestaat uit 22 vragen.

Nadere informatie

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 3 De Nullstellensatz 1. De zwakke Nullstellensatz Stelling 1.1. Zij K een algebraïsch gesloten lichaam en zij I een ideaal in K[x] = K[x 1,...,

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

2: Laat en twee convexe verzamelingen zijn. Laat. Er geldt. Omdat convex is, is de gehele lijn bevat in, dus. Evenzo geldt. Hieruit volgt dat.

2: Laat en twee convexe verzamelingen zijn. Laat. Er geldt. Omdat convex is, is de gehele lijn bevat in, dus. Evenzo geldt. Hieruit volgt dat. CONVEXE MEETKUNDE Pelle Wielinga & Han van der Ven 1. Convexe meetkunde Convexe meetkunde is een tak van de meetkunde die zich bezighoudt met convexe verzamelingen. In de Euclidische ruimte wordt een object

Nadere informatie

TUDelft Technische Universiteit Deift

TUDelft Technische Universiteit Deift Technische Universiteit Deift Tentamen Principes van Asset Trading 1 februari 2012 van 9.00-12.00 Het tentamen bestaat uit twee delen, die gelijk gewicht hebben. Het eerste deel bestaat uit 20 multiple

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

Tentamen Corporate Finance 2008 II

Tentamen Corporate Finance 2008 II Vraag 1. Welk type marktefficiëntie betreft het als ook alle publieke informatie in een prijs verwerkt is? a. Zwakke vorm efficiëntie. b. Semi-sterke vorm efficiëntie. c. Sterke vorm efficiëntie. d. Supersterke

Nadere informatie

1 Kettingbreuken van rationale getallen

1 Kettingbreuken van rationale getallen Kettingbreuken van rationale getallen Laten we eens starten met een breuk bijvoorbeeld 37/3 Laten we hier ons kettingbreuk algoritme op los, We concluderen hieruit dat 37 3 3 + 3 + + 37 3 + + + hetgeen

Nadere informatie

Ezcorp Inc. TIP 2: Verenigde Staten. Ticker Symbol. Credit Services

Ezcorp Inc. TIP 2: Verenigde Staten. Ticker Symbol. Credit Services TIP 2: Ezcorp Inc. Beurs Land Ticker Symbol ISIN Code Sector Nasdaq Verenigde Staten EZPW US3023011063 Credit Services Ezcorp (EZPW) is een bedrijf dat leningen verstrekt en daarnaast tweedehands spullen

Nadere informatie

Analyse 1 Handout limieten en continuïteit

Analyse 1 Handout limieten en continuïteit Analyse Handout ieten en continuïteit Rogier Bos Inhoudsopgave Limieten 2. Intuïtief ieten bepalen........................ 2.2 Rekenen aan ieten........................... 4.3 Limieten als spel.............................

Nadere informatie

Oneindige spelen. Dion Coumans. Begeleider: dr. W. Veldman

Oneindige spelen. Dion Coumans. Begeleider: dr. W. Veldman Oneindige spelen ion Coumans Begeleider: dr. W. Veldman Inhoudsopgave 1 Voorwoord 3 2 efinities 4 3 A is aftelbaar 6 4 Gale-Stewart-stelling 7 5 Stelling van Wolfe 11 2 1 Voorwoord Banach, Mazur en Ulam

Nadere informatie

Inleiding Analyse 2009

Inleiding Analyse 2009 Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn

Nadere informatie

7,8. Samenvatting door een scholier 868 woorden 3 maart keer beoordeeld. Economie in context. Samenvatting economie. 2.

7,8. Samenvatting door een scholier 868 woorden 3 maart keer beoordeeld. Economie in context. Samenvatting economie. 2. Samenvatting door een scholier 868 woorden 3 maart 2015 7,8 4 keer beoordeeld Vak Methode Economie Economie in context Samenvatting economie 2.1 Sparen en rente Redenen om te sparen: 1. Sparen uit voorzorg

Nadere informatie

Praktische opdracht Economie Beleggen

Praktische opdracht Economie Beleggen Praktische opdracht Economie Beleggen Praktische-opdracht door een scholier 1965 woorden 30 oktober 2003 8,1 62 keer beoordeeld Vak Economie Inhoud: 1. Inhoudsopgave 2. Inleiding 3. Wat is beleggen? 4.

Nadere informatie

dr. Tjalling van der Goot Financiering Studentensupport Studentensupport.be

dr. Tjalling van der Goot Financiering Studentensupport Studentensupport.be dr. Tjalling van der Goot Financiering Studentensupport Studentensupport.be 2006 dr. Tjalling van der Goot & Studentensupport Download gratis op ISBN 87-7681-148-4 Studentensupport Studentensupport.be

Nadere informatie

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1 WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit

Nadere informatie

Beste leerling, Om een zo duidelijk mogelijk verslag te maken, hebben we de examenvragen onderverdeeld in 4 categorieën.

Beste leerling, Om een zo duidelijk mogelijk verslag te maken, hebben we de examenvragen onderverdeeld in 4 categorieën. Beste leerling, Dit document bevat het examenverslag van het vak wiskunde A vwo, tweede tijdvak (2016). In dit examenverslag proberen we zo goed mogelijk antwoord te geven op de volgende vraag: In hoeverre

Nadere informatie

Deze examenopgave bestaat uit 9 pagina s, inclusief het voorblad. Controleer of alle pagina s aanwezig zijn.

Deze examenopgave bestaat uit 9 pagina s, inclusief het voorblad. Controleer of alle pagina s aanwezig zijn. SPD Bedrijfsadministratie Examenopgave TREASURY MANAGEMENT MAANDAG 22 JUNI 2015 12.15-14.45 UUR Belangrijke informatie Deze examenopgave bestaat uit 9 pagina s, inclusief het voorblad. Controleer of alle

Nadere informatie

Lineaire algebra 1 najaar Lineaire codes

Lineaire algebra 1 najaar Lineaire codes Lineaire algebra 1 najaar 2008 Lineaire codes Bij het versturen van digitale informatie worden in principe ketens van bits verstuurd die de waarde 0 of 1 kunnen hebben. Omdat de transmissiekanalen door

Nadere informatie

Het is niet toegestaan om een formulekaart of rekenmachine te gebruiken. f(x) = 9x(x 1) en g(x) = 9x 5. Figuur 1: De grafieken van de functies f en g.

Het is niet toegestaan om een formulekaart of rekenmachine te gebruiken. f(x) = 9x(x 1) en g(x) = 9x 5. Figuur 1: De grafieken van de functies f en g. UNIVERSITEIT VAN AMSTERDAM FNWI Voorbeeld Toets Wiskunde A Het is niet toegestaan om een formulekaart of rekenmachine te gebruiken. 1. De twee functies f en g worden gegeven door f(x) = 9x(x 1) en g(x)

Nadere informatie

Beleggingen institutionele beleggers in 2004 met 8,1 procent omhoog

Beleggingen institutionele beleggers in 2004 met 8,1 procent omhoog Publicatiedatum CBS-website Centraal Bureau voor de Statistiek 9 december 25 Beleggingen institutionele beleggers in 24 met 8,1 procent omhoog drs. J.L. Gebraad Centraal Bureau voor de Statistiek, Voorburg/Heerlen,

Nadere informatie

HANDREIKINGEN VANUIT WISKUNDIG- DIDACTISCH ONDERZOEK: LOGARITMEN EN HET INPRODUCT TOM COENEN EN MARK TIMMER

HANDREIKINGEN VANUIT WISKUNDIG- DIDACTISCH ONDERZOEK: LOGARITMEN EN HET INPRODUCT TOM COENEN EN MARK TIMMER HANDREIKINGEN VANUIT WISKUNDIG- DIDACTISCH ONDERZOEK: LOGARITMEN EN HET INPRODUCT TOM COENEN EN MARK TIMMER INHOUDSOPGAVE WAT GAAN WE VANDAAG ALLEMAAL DOEN? Logaritmen De setting Geschiedenis van de logaritme

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Minimum-Maimumproblemen (versie 11 augustus 2008) Inleiding In heel wat vraagstukken gaan we op zoek naar het maimum of het minimum van een zekere grootheid.

Nadere informatie

Vermogensbehoefte en financiering

Vermogensbehoefte en financiering Hoofdstuk 1 Vermogensbehoefte en financiering Opgave 1.1 Een groothandel heeft in de maanden maart tot en met oktober 600.000, extra vermogen nodig. Het benodigde extra vermogen kan voor deze periode worden

Nadere informatie

Paragraaf 13.1 : Berekeningen met de afgeleide

Paragraaf 13.1 : Berekeningen met de afgeleide Hoofdstuk 13 Toepassingen vd differentiaalrekening (V5 Wis A) Pagina 1 van 7 Paragraaf 13.1 : Berekeningen met de afgeleide Differentiëren van e-machten en logaritmen f() = e f () = e f() = ln() f () =

Nadere informatie

Vermogen: geld Kapitaal (aandelen, obligaties, leningen (lange termijn))

Vermogen: geld Kapitaal (aandelen, obligaties, leningen (lange termijn)) www.jooplengkeek.nl Vermogensmarkt De markt: vraag en aanbod Vermogen: geld Kapitaal (aandelen, obligaties, leningen (lange termijn)) Vermogen is een ruimer begrip dan geld. Een banksaldo is ook vermogen.

Nadere informatie

1. Inleiding. 2. Wat betekent short gaan in effecten?

1. Inleiding. 2. Wat betekent short gaan in effecten? handleiding intraday short 1 1. Inleiding Op uw Alex rekening heeft u de mogelijkheid short te gaan in aandelen. Als u van deze mogelijkheid gebruik wilt maken, moet u de Overeenkomst Intraday Short Alex

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig

Nadere informatie

Financiële economie. Luc Hens 7 maart Opbrengsvoet en risico van een aandeel

Financiële economie. Luc Hens 7 maart Opbrengsvoet en risico van een aandeel Financiële economie Luc Hens 7 maart 2016 Opbrengsvoet en risico van een aandeel Financiële economen gebruiken de wiskundige verwachting E(x) van de opbrengstvoet x als een maatstaf van de verwachte opbrengstvoet,

Nadere informatie

Om een zo duidelijk mogelijk verslag te maken, hebben we de vragen onderverdeeld in 4 categorieën.

Om een zo duidelijk mogelijk verslag te maken, hebben we de vragen onderverdeeld in 4 categorieën. Beste leerling, Dit document bevat het examenverslag voor leerlingen van het vak wiskunde B vwo, eerste tijdvak (2019). In dit examenverslag proberen we een zo goed mogelijk antwoord te geven op de volgende

Nadere informatie

Wiskunde voor relativiteitstheorie

Wiskunde voor relativiteitstheorie Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 1: Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht colleges 1. College 1 1. Goniometrie 2. Vectoren 2. College

Nadere informatie

Uitwerking Tentamen Inleiding Kansrekening 11 juni 2015, uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander

Uitwerking Tentamen Inleiding Kansrekening 11 juni 2015, uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander Uitwerking Tentamen Inleiding Kansrekening juni 25,. 3. uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander () [6] Zij F een gebeurtenissenruimte. Laat zien dat voor elke B F de verzameling G {A B : A F} opnieuw een

Nadere informatie

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal

Nadere informatie

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van

Nadere informatie