Portfolio-optimalisatie

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Portfolio-optimalisatie"

Transcriptie

1 Portfolio-optimalisatie Abdelhak Chahid Mohamed, Tom Schotel 28 februari 2013

2 Voorwoord Dit dictaat is geschreven ter voorbereiding op de presentatie van 5 maart die gegeven zal worden door twee adviseurs bij Ernst & Young. Ernst & Young is een internationaal opererend bedrijf dat zich onder andere bezig houdt met accountancy en belastingadvies. We zullen ons richten op de wiskunde gebruikt door de risicomanagement-tak van het bedrijf, waar vooral mensen werken met een achtergrond in econometrie, wiskunde, bedrijfswiskunde, statistiek en (bedrijfs)economie.

3 Inhoudsopgave 1 Inleiding 4 2 Portfolio-theorie in twee effecten 6 3 Algemenere portfolio s 9 4 Opgaven 11 5 Bronvermelding 12 3

4 1 Inleiding Op de effectenbeurs worden effecten zoals aandelen en obligaties verhandeld. Investeringen in zulke effecten kunnen in twee brede categorieën ingedeeld worden: risicovolle en riscovrije investeringen. Bij risicovolle investeringen kan gedacht worden aan aandelen of opties, en bij risicovrije investeringen aan staatsobligaties of geld dat op een spaarrekening gezet wordt tegen rente. Algemeen gezegd is van een risicovrije investering is de toekomstige waarde (vrijwel) zeker, terwijl de toekomstige waarde van een risicovolle investering niet gegarandeerd is. We zullen in dit hoofdstuk de benodigde concepten introduceren aan de hand van de specifieke situatie dat er twee effecten verhandeld worden op de beurs. We lichten de intuïtie achter de begrippen enigszins toe en geven een aantal voorbeelden. In het volgende hoofdstuk zullen we naar een algemenere situatie kijken en staan ook enkele bewijzen centraal. Voorbeeld 1.1. Stel dat op de beurs twee aandelen A en B verhandeld worden. Een investeerder bezit een bedrag van W 0 en wil dit hele bedrag investeren. De vraag die we later zullen onderzoeken is hoeveel hij het best in ieder aandeel kan investeren. Zij x A en x B het aantal aandelen A respectievelijk B dat gekocht wordt. We zeggen dat het paar (x A, x B ) een zogenaamde portfolio vormt. De waarde van aandelen kan veranderen met de tijd; we geven dit weer door S A (t) en S B (t) te schrijven voor de waarde van aandeel A respectievelijk B op tijdstip t. Hieruit volgt dat de totale waarde van de portfolio op tijdstip t gelijk is aan V (t) := x A S A (t) + x B S B (t). We zullen in deze paragraaf onder andere onderscheid maken tussen slechts twee tijdsperiodes: tijdstip t = 0 en tijdstip t = 1. De zogenaamde portfolio-gewichten w i van effect i geven we aan met w i = x is i (0) V (0) Deze gewichten geven aan hoeveel relatief geïnvesteerd is in effect i. In het bijzonder is de teller gelijk aan het totale bedrag dat in effect i is geïnvesteerd. De som van al zulke proporties is vanzelfsprekend 1, wat ook in te zien is als volgt: 4

5 w A + w B = x AS A (0)+x B S B (0) V (0) = V (0) V (0) = 1 We maken nu enkele aannames over de aandelenmarkt: Aanname 1.1. De prijs van een aandeel op tijdstip t = 1 is een random variable met minstens twee verschillende waarden en hoogstens eindig veel waarden. De toekomstige prijs A(1) van een risicovrije belegging op tijdstip t = 1 is een bekend getal. Aanname 1.2. Alle prijzen die we beschouwen zijn strikt positief, A(t) > 0 en S(t) > 0 voor t = 0, 1. Aanname 1.3. Een investeerder iedere gewenste hoeveelheid x effecten bezitten, d.w.z. If x R. Merk op dat de laatste aanname bijvoorbeeld impliceert dat men ook een negatieve hoeveelheid aandelen kan bezitten. Het is bijvoorbeeld mogelijk om een aandeel te short-sellen. Hierbij leent een investeerder een aandeel en verkoopt het direct, waarna op een later tijdstip het aandeel teruggekocht en teruggegeven wordt. Als het aandeel gedaald is, zal de investeerder voor een lagere prijs het aandeel terug kunnen kopen, en dus winst maken. Als het aandeel gestegen is, zal de investeerder echter het aandeel tegen een hogere prijs moeten kopen en verlies maken. Stel dat bank A in New York voor elke Britse pond 1,62 dollar wil betalen, terwijl bank B ponden verkoopt voor 1,60 dollar per pond. Neem in deze specifieke situatie aan dat zonder rente te betalen geld geleend kan worden. Een investeerder zou door geld te lenen, ponden in te kopen bij bank B en ze te verkopen aan bank A winst kunnen maken zonder enig risico te lopen op verlies. Dit komt erop neer dat de banken geld weggeven. De mogelijkheid om geld te verdienen zonder begininvestering noemen we arbitrage. Als zo n situatie voor zou komen zou door de toenemende vraag de wisselkoers weer in evenwicht gebracht worden, waardoor zulke situaties in werkelijkheid slechts zeer kort duren. We doen dan ook de volgende Aanname 1.4. In de aandelenmarkt komt geen arbitrage voor, d.w.z. er is geen portfolio met V (0) = 0 en V (1) > 0 met positieve kans. 5

6 2 Portfolio-theorie in twee effecten We zullen nu een aantal begrippen invoeren die een maat geven van de winstgevendheid van een investering. Definitie 2.1. De rate of return K C van een aandeel C tussen periode t = 0 en t = 1 definiëren we als de random variable K C (0, 1) := S C(1) S C (0). S C (0) De rate of return is te interpreteren als de winst (of verlies) per euro die geïnvesteerd is. Op soortgelijke wijze: Definitie 2.2. De rate of return K A van een risicovrije belegging C tussen periode t = 0 en t = 1 definiëren we als het getal K C (0, 1) := A C(1) A C (0). A C (0) Definitie 2.3. De logarithmic return k C van een aandeel C tussen periode t = 0 en t = 1 definiëren we als de random variable k C (0, 1) := ln S C(1) S C (0) Definitie 2.4. De logarithmic return k A van een risicovrije belegging C tussen periode t = 0 en t = 1 definiëren we als het getal k C (0, 1) := ln A C(1) A C (0) De logarithmic return heeft de wiskundig handige eigenschap dat hij additief is, d.w.z. k C (k, k + 2) = k C (k, k + 1) + k C (k + 1, k + 2) voor alle k N. De logarithmic return over een grotere periode kan dus gevonden worden door de logarithmic returns over de periodes waaruit hij bestaat bij elkaar op te tellen. Voorbeeld 2.1. Stel dat we euro willen investeren, d.w.z. W 0 = $ Op de markt kunnen we een obligatie kopen voor A(0) = 100 6

7 die A(1) = 110 waard zal zijn op tijdstip t = 1. Ook kunnen we een aandeel kopen voor S(0) = 80 dat op tijd t = 1 waard zal zijn: { 100 met kans 0.8 S(1) = 60 met kans 0.2 Stel verder dat we 50 aandelen en dus 60 obligaties kopen. Dan is de waarde van onze portfolio op tijdstip t = 1: { als het aandeel stijgt V (1) = 9600 als het aandeel daalt en de rate of return is { 0.16 als het aandeel stijgt K p (0, 1) = 0.04 als het aandeel daalt De verwachtingswaarde van de return is nu E(K V ) = = 0.12, oftwel 12%. Het risico van deze investering is definiëren we als de standaardafwijking σ V van de random variable K V, in dit geval σ V = ( ) ( ) = 0.08 We zullen dit vergelijken met een andere portfolio. Als we 0 aandelen en 100 obligaties kopen, dan is de hele investering risicovrij. We weten dan zeker dat K A = 0.1 en het risico van de investering is σ V = 0. Als er de keuze is tussen twee portfolio s met dezelfde verwachtingswaarde zullen veel investeerders de voorkeur geven aan de investering met het minste risico. Een gokker zou liever kiezen voor een portfolio die 50% kans geeft op 100 euro winst en 50% kans op 100 euro verlies, terwijl de investeerder liever geen risico loopt en niets investeert. Andersom zal vaak bij twee portfolio s met hetzelfde risico de voorkeur gegeven worden aan de investering met de hoogste verwachtingswaarde. Dit brengt ons tot de volgende aanname en definities: Aanname 2.1. Investeerders zijn risico-avers, oftewel: gegeven de keuze tussen twee beleggingen met dezelfde verwachtingswaarde zullen ze de belegging met het minste risico prefereren. Definitie 2.5. We zeggen dat een effect S 1 met verwachtingswaarde µ 1 en standaardafwijking σ 1 een ander effect S 2 met verwachtingswaarde µ 2 en standaardafwijking σ 2 domineert als µ 1 µ 2 en σ 1 σ 2 7

8 Definitie 2.6. Een portfolio heet efficiënt als er geen portfolio is (behalve de portfolio zelf) die de portfolio domineert. De verzameling van alle mogelijke efficiënte portfolio s noemen we de efficient frontier. Een efficiënte portfolio heeft de hoogste verwachte return van alle mogelijke portfolio s met dezelfde standaardafwijking (risico). Een rationele investeerder zal altijd voor een efficiënte portfolio kiezen, maar welke portfolio hij kiest zal afhangen van zijn persoonlijke voorkeur. Hij zal bijvoorbeeld de voorkeur kunnen geven aan een portfolio met een hoge verwachtingswaarde en een hoog risico in plaats van een portfolio met een lage verwachtingswaarde en een laag risico. Stelling 2.1. De return K V op een portfolio (x 1, x 2 ) wordt gegeven door K V = w 1 K 1 + w 2 K 2, waar K i de return is op effect i. Bewijs: er geldt dat V (0) = x 1 S 1 (0) + x 2 S 2 (0) en V (1) = x 1 S 1 (0)(1 + K 1 ) + x 2 S 2 (0)(1 + K 2 ) dus = V (0)(w 1 (1 + K 1 ) + w 2 (1 + K 2 )), K V = V (1) V (0) V (0) = w 1 K 1 + w 2 K 2. Gevolg: E(K V ) = w 1 E(K 1 ) + w 2 E(K 2 ) Stelling 2.2. De variantie σv 2 van de return K V van een portfolio (x 1, x 2 ) wordt gegeven door σ 2 V := Var(K V ) = w 2 1 Var(K 1) + w 2 2 Var(K 2) + 2w 1 w 2 Cov(K 1, K 2 ), waar K i de return is op effect i. Bewijs: we gebruiken de vorige stelling en de lineariteit van de covariantie: Var(K V ) = Cov(K V, K V ) = Cov(w 1 K 1 + w 2 K 2, w 1 K 1 + w 2 K 2 ) = w 2 1Var(K 1 ) + w 2 2Var(K 2 ) + 2w 1 w 2 Cov(K 1, K 2 ). 8

9 Stelling 2.3. Als voor een portfolio (x 1, x 2 ) geldt dat x 1 0, x 2 0 (shortselling is niet toegestaan) dan σv 2 van de portfolio niet groter zijn dan de variantie van de return van zijn componenten, m.a.w σv 2 max{σ2 1, σ2 2.} Bewijs: neem zonder verlies van algemeenheid aan dat σ1 2 σ2 2. Omdat w 1, w 2 0, is w 1 σ 1 + w 2 σ 2 (w 1 + w 2 )σ 2 = σ 2. Omdat voor de correlatiecoëfficient ρ 12 := Cov(K 1,K 2 ) σ 1 σ 2 geldt dat 1 ρ 12 1 (dit is een standaardresultaat uit de kansrekening), volgt dat σ 2 V = w 2 1σ w 2 2σ w 1 w 2 ρ 12 σ 1 σ 2 w 2 1σ w 2 2σ w 1 w 2 σ 1 σ 2 =(w 1 σ 1 + w 2 σ 2 ) 2 σ Algemenere portfolio s Definitie 3.1. Een portfolio is een vector (x 1 (t),..., x n (t)), waarbij x i (t) het aantal van effect i is dat een investeerder op tijdstip t bezit. De waarde van effect i op tijdstip t geven we aan met S i (t). De waarde van een portfolio van n effecten op tijdstip t is V (t) := n i=1 x is i (t). Het portfoliogewicht w i van effect i definiëren we als w i := x is i (0) V (0). Definieer 1 := (1,..., 1) als de vector met 1 op alle n posities. Zetten we de gewichten in een vector w = (w 1,..., w n ), dan geldt vanwege het feit dat de som van alle gewichten 1 moet zijn dat 1 = 1 w T. Definieer µ i := E(K i ) als de verwachte return van effect i en definieer m := (µ 1,..., µ n ). De covarianties tussen returns zullen we aangeven met c ij = Cov(K i, K j ) en we zullen deze schrijven in een n n covariantie-matrix c 1,1 c 1,2 c 1,n c 2,1 c 2,2 c 2,n C n,n = c n,1 c n,2 c n,n We nemen aan dat deze matrix een een inverse heeft. 9

10 Stelling 3.1. De verwachte return µ V := E(K V ) van een portfolio en de variantie van de return σv 2 := V ar(k v) van een portfolio met gewichtsvector w zijn gegeven door µ V = m w T, σ 2 V = wc wt. Bewijs: de identiteit voor µ v volgt uit de lineariteit van de verwachtingswaarde: µ V = E(K V ) = E( n i=1 w ik i ) = n i=1 w iµ i = m w T Voor σ 2 V zullen we gebruik maken van de lineariteit van de covariantie: σ 2 V = Var(K V ) = Var( = Cov( = n w i K i, i=1 n w i K i ) i=1 n w j K j ) j=1 n w i w j c ij = wc w T. i,j=1 We bepalen nu de portfolio met de kleinste variantie van alle mogelijke portfolio s, die de minimum variance portfolio heet. Daarna bepalen we de portfolio vinden met de kleinste variantie van alle portfolio s met een specifieke verwachte return µ V, die de minimum variance line heet. Stelling 3.2. De portfolio met de kleinste variantie σ V portfolio s heeft gewichten van alle mogelijke w = 1C 1 1C 1, aannemende dat de noemer niet gelijk is aan 0. 1T Bewijs: we minimaliseren F ( w) := σv 2 = wc wt onder de voorwaarde dat 1 = 1 w T. We zullen de Lagrangemultiplicatormethode gebruiken. Laat F (w, λ) := wc w T λ 1 w T, waar λ een Lagrange-multiplicator is. Gelijkstellen aan 0 van de partiële afgeleiden van F geeft 2 wc λ 1 = 0, waaruit volgt dat w = λ 2 1C 1. Substitueren in de vergelijking van de voorwaarde geeft 1 = λ 2 1C 1 1 T waarin we het feit gebruiken dat C 1 een symmetrische matrix is, omdat C dat ook is. Na oplossen voor λ in w = λ 2 1C 1 volgt na substitie van λ de 10

11 gevraagde formule. Stelling 3.3. De portfolio met de kleinste variantie σ V van alle mogelijke portfolio s met verwachte return µ V heeft gewichten w = 1 1C 1 m T µ V mc 1 m T 1C 1 1 T 1C 1 + mc 1 1 T 1C 1 1 T 1 mc 1 1 T µ V 1C 1 m T mc 1 m T mc 1 aannemende dat de determinant in de noemer niet gelijk is aan 0. Bewijs: we minimaliseren F ( w) := σv 2 = wc wt onder de voorwaarden dat 1 = 1 w T en µ V = m w T. De rest van het bewijs is soortgelijk aan het bovenstaande en vermelden we hier niet. 4 Opgaven Opgave 1: Laat zien dat de conclusie van Stelling 2.3 niet hoeft te gelden als shortselling is toegestaan. Opgave 2: Download het Excelbestand met de dataset. In deze dataset zijn de zogenaamde closing prices van tien aandelen gegeven, de prijzen aan het einde van de handelsdag (met dank aan Hans Hellemons). a) Bereken de logarithmic returns voor elke week (behalve de eerste) voor elk aandeel. b) Bereken de covariantiematrix van de portfolio (gebruikmakend van de log returns berekend bij onderdeel a). Hint: gebruik de functie COVAR. c) Bereken de gemiddelde returns voor elk aandeel. Lever het Excel-document dat je hebt gemaakt in inclusief uitwerkingen., 11

12 5 Bronvermelding Modern portfolio theory, 1950 to date (Edwin J. Elton, Martin J. Gruber, 1997) An introduction to Modern Portfolio Theory - Markowitz, CAP-M, APT and Black-Litterman (Dr. Graeme West, 2006) Mathematics for Finance: An Introduction to Financial Engineering (Marek Capinski, Tomasz Zastawniak, 2003) Bank balance sheet optimization (H.J.A. Hellemons, 2012) Landsberger, J. (n.d.). Citing Websites. In Study Guides and Strategies. Retrieved May 13, 2005, from Modern Portfolio Theory (toegankelijk via vassilis/aee/mpttextbook.pdf op 28 februari 2013) Introduction to Portfolio Theory (toegankelijk via introductionportfoliotheory.pdf op 28 februari 2013) 12

Oefenopgaven Hoofdstuk 7

Oefenopgaven Hoofdstuk 7 Oefenopgaven Hoofdstuk 7 Opgave 1 Rendement Een beleggingsadviseur heeft de keuze uit de volgende twee beleggingsportefeuilles: Portefeuille a Portefeuille b Verwacht rendement 12% 12% Variantie 8% 10%

Nadere informatie

OEFENINGEN HOOFDSTUK 6

OEFENINGEN HOOFDSTUK 6 OEFENINGEN HOOFDSTUK 6 1 OEFENING 1 EEN INDIVIDU NEEMT EEN BELEGGING IN OVERWEGING MET VOLGENDE MOGELIJKE RENDEMENTEN EN HUN WAARSCHIJNLIJKHEDEN VAN VOORKOMEN: RENDEMENTEN -0,10 0,00 0,10 0,0 0,30 WAARSCHIJNLIJKHEID

Nadere informatie

aandeelprijs op t = T 8.5 e 9 e 9.5 e 10 e 10.5 e 11 e 11.5 e

aandeelprijs op t = T 8.5 e 9 e 9.5 e 10 e 10.5 e 11 e 11.5 e 1 Technische Universiteit Delft Fac. Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tussentoets Waarderen van Derivaten, Wi 3405TU Vrijdag november 01 9:00-11:00 ( uurs tentamen) 1. a. De koers van het aandeel

Nadere informatie

Leeswijzer bij het college Functies en Reeksen

Leeswijzer bij het college Functies en Reeksen Leeswijzer bij het college Functies en Reeksen Erik van den Ban Najaar 2012 Introductie eze leeswijzer bij het dictaat Functies en Reeksen (versie augustus 2011) heeft als doel een gewijzigde opbouw van

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 8 Donderdag 13 Oktober 1 / 23 2 Statistiek Vandaag: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 23 Stochast en populatie

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen

Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen 8 december 2015, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is het totaal

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Analyse A, deeltentamen Uitwerkingen maandag 1 november 2010, 9 11 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan

Nadere informatie

Delft Technische Universiteit Delft

Delft Technische Universiteit Delft Tentamen Principes van Asset Trading (WI3418TU) 29 januari 2014 van 18.30-21.30 Het tentamen bestaat uit twee delen, die gelijl< gewicht hebben. Het eerste deel bestaat uit 20 multiple choice vragen en

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Statistiek DD14) op vrijdag 17 maart 006, 9.00-1.00 uur. UITWERKINGEN 1. Methoden om schatters te vinden a) De aannemelijkheidsfunctie

Nadere informatie

De financiële situatie van Pensioenfonds UWV vanaf 31 augustus 2014

De financiële situatie van Pensioenfonds UWV vanaf 31 augustus 2014 De financiële situatie van Pensioenfonds UWV vanaf 31 ustus 2014 Op 31 ustus 2014 liep het kortetermijnherstelplan van Pensioenfonds UWV af. Tegen de verwachting in heeft het pensioenfonds de pensioenen

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: Logaritmen en getal e 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Financiële economie. Opbrengsvoet en risico van een aandeel

Financiële economie. Opbrengsvoet en risico van een aandeel Financiële economie Opbrengsvoet en risico van een aandeel Financiële economen gebruiken de wiskundige verwachting E(x) van de opbrengstvoet x als een maatstaf van de verwachte opbrengstvoet, en de standaardafwijking

Nadere informatie

NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN

NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN II NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN Iedereen ent getallen: de natuurlije getallen, N = {0,1,2,3,...}, gebruien we om te tellen, om getallen van elaar af te unnen treen hebben we de gehele getallen,

Nadere informatie

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele

Nadere informatie

Welke soorten beleggingen zijn er?

Welke soorten beleggingen zijn er? Welke soorten beleggingen zijn er? Je kunt op verschillende manieren je geld beleggen. Hier lees je welke manieren consumenten het meest gebruiken. Ook vertellen we wat de belangrijkste eigenschappen van

Nadere informatie

P (X n+1 = j X n = i, X n 1,..., X 0 ) = P (X n+1 = j X n = i). P (X n+1 = j X n = i) MARKOV KETENS. Definitie van Markov keten:

P (X n+1 = j X n = i, X n 1,..., X 0 ) = P (X n+1 = j X n = i). P (X n+1 = j X n = i) MARKOV KETENS. Definitie van Markov keten: Definitie van Markov keten: MARKOV KETENS Een stochastisch proces {X n, n 0} met toestandsruimte S heet een discrete-tijd Markov keten (DTMC) als voor alle i en j in S geldt P (X n+1 = j X n = i, X n 1,...,

Nadere informatie

Rendement, Effectief rendement, IRR, wat is het nu?

Rendement, Effectief rendement, IRR, wat is het nu? Rendement, Effectief rendement, IRR, wat is het nu? Author : G.K. van Dommelen Date : 02-10-2014 (publicatiedatum 3 oktober 2014) Op 18 september jongstleden publiceerden wij een artikel over het bod dat

Nadere informatie

Tentamen Principes van Asset Trading (WI3418TU) 21 januari 2015 van 18.30-21.30

Tentamen Principes van Asset Trading (WI3418TU) 21 januari 2015 van 18.30-21.30 Technische Universiteit Delft Tentamen Principes van Asset Trading (WI3418TU) 21 januari 2015 van 18.30-21.30 Het tentamen bestaat uit twee delen, die gelijk gewicht hebben. Het eerste deel bestaat uit

Nadere informatie

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 3 De Nullstellensatz 1. De zwakke Nullstellensatz Stelling 1.1. Zij K een algebraïsch gesloten lichaam en zij I een ideaal in K[x] = K[x 1,...,

Nadere informatie

Voorbeeld examenvragen Boekdeel 2 en special topics

Voorbeeld examenvragen Boekdeel 2 en special topics Voorbeeld examenvragen Boekdeel 2 en special topics Vraag 1 Stel dat je 10 aandelen Fortis in portfolio hebt, elk aandeel met een huidige waarde van 31 per aandeel. Fortis beslist om een deel van haar

Nadere informatie

Examen VWO-Compex. wiskunde A1,2

Examen VWO-Compex. wiskunde A1,2 wiskunde A1,2 Examen VWO-Compex Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit examen zijn maximaal 90 punten te behalen; het examen bestaat uit 22 vragen.

Nadere informatie

TUDelft Technische Universiteit Deift

TUDelft Technische Universiteit Deift Technische Universiteit Deift Tentamen Principes van Asset Trading 1 februari 2012 van 9.00-12.00 Het tentamen bestaat uit twee delen, die gelijk gewicht hebben. Het eerste deel bestaat uit 20 multiple

Nadere informatie

Deze examenopgave bestaat uit 9 pagina s, inclusief het voorblad. Controleer of alle pagina s aanwezig zijn.

Deze examenopgave bestaat uit 9 pagina s, inclusief het voorblad. Controleer of alle pagina s aanwezig zijn. SPD Bedrijfsadministratie Examenopgave TREASURY MANAGEMENT MAANDAG 22 JUNI 2015 12.15-14.45 UUR Belangrijke informatie Deze examenopgave bestaat uit 9 pagina s, inclusief het voorblad. Controleer of alle

Nadere informatie

dr. Tjalling van der Goot Financiering Studentensupport Studentensupport.be

dr. Tjalling van der Goot Financiering Studentensupport Studentensupport.be dr. Tjalling van der Goot Financiering Studentensupport Studentensupport.be 2006 dr. Tjalling van der Goot & Studentensupport Download gratis op ISBN 87-7681-148-4 Studentensupport Studentensupport.be

Nadere informatie

Risico en Rendement. Een uitleg over de relatie tussen risico en rendement en waarom het beter is om je beleggingen te spreiden over meerdere activa.

Risico en Rendement. Een uitleg over de relatie tussen risico en rendement en waarom het beter is om je beleggingen te spreiden over meerdere activa. Risico en Rendement Een uitleg over de relatie tussen risico en rendement en waarom het beter is om je beleggingen te spreiden over meerdere activa. SEPTEMBER 30, Auteur: itek ten Hove Alle grafieken zijn

Nadere informatie

Rentabiliteitsratio s

Rentabiliteitsratio s 18 Rentabiliteitsratio s Nu we de begrippen balans, resultatenrekening en kasstromentabel onder de knie hebben, kunnen we overgaan tot het meer interessante werk, nl. het onderzoek naar de performantie

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Beleggingen institutionele beleggers in 2004 met 8,1 procent omhoog

Beleggingen institutionele beleggers in 2004 met 8,1 procent omhoog Publicatiedatum CBS-website Centraal Bureau voor de Statistiek 9 december 25 Beleggingen institutionele beleggers in 24 met 8,1 procent omhoog drs. J.L. Gebraad Centraal Bureau voor de Statistiek, Voorburg/Heerlen,

Nadere informatie

Financiële economie. Luc Hens 7 maart Opbrengsvoet en risico van een aandeel

Financiële economie. Luc Hens 7 maart Opbrengsvoet en risico van een aandeel Financiële economie Luc Hens 7 maart 2016 Opbrengsvoet en risico van een aandeel Financiële economen gebruiken de wiskundige verwachting E(x) van de opbrengstvoet x als een maatstaf van de verwachte opbrengstvoet,

Nadere informatie

INLEIDING. Definitie Stochastisch Proces:

INLEIDING. Definitie Stochastisch Proces: Definitie Stochastisch Proces: INLEIDING Verzameling van stochastische variabelen die het gedrag in de tijd beschrijven van een systeem dat onderhevig is aan toeval. Tijdparameter: discreet: {X n, n 0};

Nadere informatie

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert. Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

1. Inleiding. 2. Wat betekent short gaan in effecten?

1. Inleiding. 2. Wat betekent short gaan in effecten? handleiding intraday short 1 1. Inleiding Op uw Alex rekening heeft u de mogelijkheid short te gaan in aandelen. Als u van deze mogelijkheid gebruik wilt maken, moet u de Overeenkomst Intraday Short Alex

Nadere informatie

Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis)

Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Verslag ten behoeve

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig

Nadere informatie

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal

Nadere informatie

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter 25 februari, 2008 Hans Maassen 1. Inleiding Het Kalman filter schat de toestand van een systeem op basis van een reeks, door ruis verstoorde waarnemingen. Een meer

Nadere informatie

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1 WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

1. Lees de tekst met het stappenplan. Kom je nog moeilijke woorden tegen in de tekst? Gebruik dan de woordhulp.

1. Lees de tekst met het stappenplan. Kom je nog moeilijke woorden tegen in de tekst? Gebruik dan de woordhulp. Tekst lezen 1. Lees de tekst met het stappenplan. Kom je nog moeilijke woorden tegen in de tekst? Gebruik dan de woordhulp. 2. Er staan een aantal moeilijke woorden in de tekst. Hieronder staat een rijtje.

Nadere informatie

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002 RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven

Nadere informatie

Vermogen: geld Kapitaal (aandelen, obligaties, leningen (lange termijn))

Vermogen: geld Kapitaal (aandelen, obligaties, leningen (lange termijn)) www.jooplengkeek.nl Vermogensmarkt De markt: vraag en aanbod Vermogen: geld Kapitaal (aandelen, obligaties, leningen (lange termijn)) Vermogen is een ruimer begrip dan geld. Een banksaldo is ook vermogen.

Nadere informatie

Tentamen Corporate Finance 2008 II

Tentamen Corporate Finance 2008 II Vraag 1. Welk type marktefficiëntie betreft het als ook alle publieke informatie in een prijs verwerkt is? a. Zwakke vorm efficiëntie. b. Semi-sterke vorm efficiëntie. c. Sterke vorm efficiëntie. d. Supersterke

Nadere informatie

De enveloppenparadox

De enveloppenparadox De enveloppenparadox Mats Vermeeren Berlin Mathematical School) 6 april 013 1 Inleiding Een spel gaat als volgt. Je krijgt twee identiek uitziende enveloppen aangeboden, waarvan je er één moet kiezen.

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Minimum-Maimumproblemen (versie 11 augustus 2008) Inleiding In heel wat vraagstukken gaan we op zoek naar het maimum of het minimum van een zekere grootheid.

Nadere informatie

College 3. Opgaven. Opgave 2

College 3. Opgaven. Opgave 2 College 3 Opgaven Opgave 2 Tabel bij opgave 2 Schepen Marg. kosten Totale kosten Tot. opbr. Marg. opbr. Netto opbr. 3 200 600 900 900 300 4 200 800 1600 700 800 5 200 1000 2000 300 1000 6 200 1200 2100

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

De geïmpliceerde boom en de scheefheid van Black-Scholes

De geïmpliceerde boom en de scheefheid van Black-Scholes Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics De geïmpliceerde boom en de scheefheid van Black-Scholes Verslag ten behoeve van

Nadere informatie

AG8! Derivatentheorie Les2! Furtures & Forwards. 16 september 2010

AG8! Derivatentheorie Les2! Furtures & Forwards. 16 september 2010 AG8! Derivatentheorie Les2! Furtures & Forwards 16 september 2010 1 Agenda Duration & convexity (H4 8+ 9) Futures en Forwards (H2) Hedging met Futures en Forwards (H3) Waardering Futures en Forwards (H5)

Nadere informatie

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2 1 INLEIDING 1 Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2 Volg stap voor stap de tekst en los de vragen op. Bedoeling is dat je op het einde van de rit een verzorgd verslag afgeeft

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015, Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd

Nadere informatie

Uw rekening en rekeningoverzicht begrijpen

Uw rekening en rekeningoverzicht begrijpen Uw rekening en rekeningoverzicht begrijpen Deze gids helpt u uw rekeningoverzicht vermeld op Penson s intranet website te begrijpen. De eerste sectie geeft een uitleg van de meest belangrijke pagina s

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei Eindexamen VWO Wiskunde A. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei Eindexamen VWO Wiskunde A. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen VWO Wiskunde A Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Schroefas Opgave 1. In de figuur trekken we een lijn tussen 2600 tpm op de linkerschaal en

Nadere informatie

Vermogensbehoefte en financiering

Vermogensbehoefte en financiering Hoofdstuk 1 Vermogensbehoefte en financiering Opgave 1.1 Een groothandel heeft in de maanden maart tot en met oktober 600.000, extra vermogen nodig. Het benodigde extra vermogen kan voor deze periode worden

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

Beste leerling, Om een zo duidelijk mogelijk verslag te maken, hebben we de examenvragen onderverdeeld in 4 categorieën.

Beste leerling, Om een zo duidelijk mogelijk verslag te maken, hebben we de examenvragen onderverdeeld in 4 categorieën. Beste leerling, Dit document bevat het examenverslag van het vak wiskunde A vwo, tweede tijdvak (2016). In dit examenverslag proberen we zo goed mogelijk antwoord te geven op de volgende vraag: In hoeverre

Nadere informatie

Examen VWO-Compex. wiskunde A1

Examen VWO-Compex. wiskunde A1 wiskunde A1 Examen VWO-Compex Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te behalen; het examen bestaat uit 24 vragen.

Nadere informatie

Proefles webklas Wiskunde. Universiteit van Amsterdam September 2002

Proefles webklas Wiskunde. Universiteit van Amsterdam September 2002 Proefles webklas Wiskunde Universiteit van Amsterdam September 2002 1 Inleiding Deze proefles van de webklas Wiskunde behandelt hetzelfde onderwerp als de echte webklas, alleen in een veel eenvoudiger

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

Alle opgaven tellen even zwaar, 10 punten per opgave.

Alle opgaven tellen even zwaar, 10 punten per opgave. WAT IS WISKUNDE (English version on the other side) Maandag 5 november 2012, 13.30 1.30 uur Gebruik voor iedere opgave een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer op elk vel. Alle opgaven tellen even

Nadere informatie

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr. Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk

Nadere informatie

Inhoudsopgave. Voorwoord 3 DEEL 1. Hoofdstuk 1 Vermogensvorming 17. Hoofdstuk 2 De beurs 45

Inhoudsopgave. Voorwoord 3 DEEL 1. Hoofdstuk 1 Vermogensvorming 17. Hoofdstuk 2 De beurs 45 Inhoudsopgave Voorwoord 3 DEEL 1 Beleggen 15 Hoofdstuk 1 Vermogensvorming 17 1.1 Sparen en beleggen 17 1.2 Beoordelingscriteria van beleggingsvormen 18 1.2.1 Veiligheid 18 1.2.1.1 Soorten risico s 19 1.2.1.2

Nadere informatie

1. Leg uit dat het sparen door gezinnen een voorbeeld is van ruilen in de tijd. 2. Leg uit waarom investeren door bedrijven als ruilen over de tijd beschouwd kan worden. 3. Wat is intertemporele substitutie?

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, uur

Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, uur Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, 14.00 17.00 uur Het tentamen bestaat uit 15 meerkeuzevragen 2 open vragen. Een formuleblad wordt uitgedeeld. Normering: 0.4 punt per MC antwoord

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodellen en normaal verdeelde steekproefgrootheden 5. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg

Nadere informatie

en-splitsingen: een aantal alternatieven worden parallel toegepast, of-splitsingen: van een aantal alternatieven wordt er één toegepast,

en-splitsingen: een aantal alternatieven worden parallel toegepast, of-splitsingen: van een aantal alternatieven wordt er één toegepast, Kansrekening voor Informatiekunde, 25 Les 8 Proces analyse Veel processen laten zich door netwerken beschrijven, waarin knopen acties aangeven en opdrachten langs verbindingen tussen de knopen verwerkt

Nadere informatie

Vrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie

Vrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie Vrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie Tentamen: Convexe Analyse en Optimalisering Opleiding: Bacheloropleiding Econometrie Vakcode: 64200 Datum:

Nadere informatie

K.1 De substitutiemethode [1]

K.1 De substitutiemethode [1] K. De substitutiemethode [] Voorbeeld : Differentieer de functie f() = ( + ) 5 Voor het differentiëren van deze functie gebruik je de kettingregel: Stap : Schrijf de functie f() als volgt: y = u 5 met

Nadere informatie

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Het onzekere voor het zekere nemen

Het onzekere voor het zekere nemen Het onzekere voor het zekere nemen Opnemen van onzekerheid in de asset allocatie voor pensioenfondsen Wilma de Groot Robeco Quantitative Strategies Laurens Swinkels Robeco Quantitative Strategies Erasmus

Nadere informatie

Stabiele koppelingen (Engelse titel: Stable Matchings)

Stabiele koppelingen (Engelse titel: Stable Matchings) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Stabiele koppelingen (Engelse titel: Stable Matchings) Verslag ten behoeve van het

Nadere informatie

Reken maar! t.b.v. training CFP-examen (FPSB-Nederland) Donald van As

Reken maar! t.b.v. training CFP-examen (FPSB-Nederland) Donald van As Reken maar! t.b.v. training CFP-examen (FPSB-Nederland) Donald van As 10-12-2009 Geld (uit)lenen Typen leningen / hypotheken Annuïteitenlening: afl. + rente = constant Lineaire lening: afl. = constant

Nadere informatie

Polyatheorie. Erik Verraedt 2011-2012

Polyatheorie. Erik Verraedt 2011-2012 2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding 4 2 Enkele telproblemen 5 2.1 Probleem 1........................................ 5 2.2 Probleem 2........................................ 5 2.3 Probleem 3........................................

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

Het Ho-Lee rentemodel (Engelse titel: The Ho-Lee interest rate model)

Het Ho-Lee rentemodel (Engelse titel: The Ho-Lee interest rate model) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Het Ho-Lee rentemodel (Engelse titel: The Ho-Lee interest rate model) Verslag ten

Nadere informatie

Examen VWO-Compex. Wiskunde A1 (nieuwe stijl)

Examen VWO-Compex. Wiskunde A1 (nieuwe stijl) Wiskunde A1 (nieuwe stijl) Examen VWO-Compex Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 27 mei 13.30 16.30 uur 20 03 Voor dit examen zijn maximaal 86 punten te behalen; het examen bestaat

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

P = LIMIETGEDRAG VAN MARKOV KETENS Limietverdeling van irreducibele, aperiodieke Markov keten:

P = LIMIETGEDRAG VAN MARKOV KETENS Limietverdeling van irreducibele, aperiodieke Markov keten: LIMIETGEDRAG VAN MARKOV KETENS Limietverdeling van irreducibele, aperiodieke Markov keten: Voorbeeld: Zoek de unieke oplossing van het stelsel π = π P waarvoor bovendien geldt dat i S π i = 1. P = 0 1/4

Nadere informatie

Portefeuillekeuze voor lange-termijn beleggers met liquiditeitsrisico's. Joost Driessen 26 maart 2013

Portefeuillekeuze voor lange-termijn beleggers met liquiditeitsrisico's. Joost Driessen 26 maart 2013 Portefeuillekeuze voor lange-termijn beleggers met liquiditeitsrisico's Joost Driessen 26 maart 2013 Illiquide assets voor lange-termijn beleggers? David Swensen, CIO Yale endowment: "Accepting illiquidity

Nadere informatie

Uitwerkingen toets 9 juni 2012

Uitwerkingen toets 9 juni 2012 Uitwerkingen toets 9 juni 0 Opgave. Voor positieve gehele getallen a en b definiëren we a b = a b ggd(a, b). Bewijs dat voor elk geheel getal n > geldt: n is een priemmacht (d.w.z. dat n te schrijven is

Nadere informatie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Inleveren: 12 januari 2011, VOOR het college Afspraken Serie 1 mag gemaakt en ingeleverd worden in tweetallen. Schrijf duidelijk je naam, e-mail

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Markt voor onderhandse derivaten in korte tijd sterk gekrompen

Markt voor onderhandse derivaten in korte tijd sterk gekrompen Markt voor onderhandse derivaten in korte tijd sterk gekrompen De mondiale markt voor onderhandse derivaten - niet gestandaardiseerd verhandeld op de beurs maar in maatwerk tussen grote partijen - is sinds

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 () Tussentoets 26 november, tijdens de instructies Zaal: paviljoen (study hub) Time: 90min Tentamenstof: colleges 4 (LP; Simplex; dualiteit; complementaire slackness) Oude tentamens:

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen VWO Wiskunde C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek I Tjing Opgave 1. Het aantal hoofdstukken in de I Tjing correspondeert met het totale aantal

Nadere informatie

Airyfunctie. b + π 3 + xt dt. (2) cos

Airyfunctie. b + π 3 + xt dt. (2) cos LaTeX opdracht Bewijzen en Redeneren 1ste fase bachelor in Fysica, Wiskunde Werk de volgende opdracht individueel uit. U moet hier alleen aan werken. Geef ook geen files door aan anderen. Ingediende opdrachten

Nadere informatie

TIJ Delft T«chnt5che Universiteit Detft

TIJ Delft T«chnt5che Universiteit Detft TIJ Delft T«chnt5che Universiteit Detft Tentamen Principes van Asset Trading (WI3418TU) 30 januari 2013 van 9.00-12^00 Het tentamen bestaat uit twee delen, die gelijk gewicht hebben. Het eerste deel bestaat

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 maart 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

Financiële analyse. Les 2 Vermogensbehoefte en financiering. Auteur: Witek ten Hove, MBA

Financiële analyse. Les 2 Vermogensbehoefte en financiering. Auteur: Witek ten Hove, MBA Financiële analyse Les 2 Vermogensbehoefte en financiering Auteur: Witek ten Hove, MBA In deze les gaan we kijken naar onderdelen uit de balans. Er wordt aangenomen dat de student weet hoe een balans is

Nadere informatie