De geïmpliceerde boom en de scheefheid van Black-Scholes

Transcriptie

1 Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics De geïmpliceerde boom en de scheefheid van Black-Scholes Verslag ten behoeve van het Delft Institute for Applied Mathematics als onderdeel ter verkrijging van de graad van BACHELOR OF SCIENCE in TECHNISCHE WISKUNDE door Donald Hollenberg Delft, Nederland Februari 2011 Copyright 2011 door Donald Hollenberg. Alle rechten voorbehouden.

2

3 BSc verslag TECHNISCHE WISKUNDE De geïmpliceerde boom en de scheefheid van Black-Scholes Donald Hollenberg Technische Universiteit Delft Begeleider Dr. J.H.M. Anderluh Overige commissieleden Dr. G.F. Ridderbos Februari, 2011 Dr. J.A.M. van der Weide Delft

4

5 Chapter 1 Inleiding In de optiemarkt, waar opties van aandelen verhandeld worden, worden prijzen hoofdzakelijk berek aan de hand van het Black-Scholes model. Via het Black-Scholes model is er een prijs te vinden van call en put opties die afhankelijk is van 5 parameters: de rente, de looptijd, de volatiliteit, de huidige aandeelprijs en de uitoefenprijs. De volatiliteit beschrijft de beweeglijkheid van het aandeel en is als zodanig een eigenschap van het aandeel. Het Black-Scholes model leek een prima wijze om opties te prijzen, tot maandag 19 oktober Op deze maandag duikelde de index in Amsterdam van 247,09 op vrijdag naar 217,43 bij het slot op maandag. Een daling van 12 procent, wat de grootste daling op een dag beteke. Die daling zette dinsdag door toen de beurs nog eens bijna 6 procent inleverde en sloot op 204,57. Uiteindelijk bereikte de index op 10 november dat jaar zijn laagste punt. De 152,36 punten van die dag staken schril af bij de 286,05 van 11 augustus eerder dat jaar. Een totale daling van ruim 46 procent. De Black-Scholes formule maakt de aanname dat de volatiliteit vast is. Sinds 1987 is echter gebleken dat de volatiliteit correlatie vertoont met de uitoefenprijs en de looptijd van een optie. De optieprijzen die Black-Scholes gaf, bleken niet bestand tegen grote verschuivingen van aandeelprijzen, zoals in 1987 gebeurde. Er moet dus een aanpassing gedaan worden aan Black- Scholes. Dit is hetgeen in deze opdracht gedaan wordt: er wordt een geïmpliceerde binomiale boom gemaakt waarin de volatiliteit niet vast is, maar varieert met de uitoefenprijs en de looptijd. Er wordt gekeken hoe deze geïmpliceerde binomiale boom verkregen kan worden en er wordt met behulp van MATLAB een programma gemaakt die bij gegeven data de bijbehore geïmpliceerde binomiale boom geeft. Deze scriptie is gebasseerd op het artikel The volatility smile and its implied tree, geschreven door Emanuel Derman en Iraj Kani in Januari In dit artikel worden bovenstaande dingen heel kort uitgelegd. In deze scriptie wordt de inhoud van dit artikel uitgebreid uitgelegd en worden de betreffe formules uit het artikel uitgewerkt. Verder blijkt de in het artikel genoemde geïmpliceerde binomiale boom arbitragemogelijkheden te bevatten als de boom wordt bekeken voor langere tijd. Er wordt laten zien hoe deze arbitragemogelijkheden zijn uit te buiten. Enkele figuren die in deze scriptie terugkomen, zijn overgenomen uit dit artikel. Ik wil alvast mijn begeleider bij dit project, Dr. Jasper Anderluh bedanken voor zijn hulp bij het begeleiden van dit project.

6 6 CHAPTER 1. INLEIDING Donald Hollenberg 2011

7 Contents 1 Inleiding 5 2 Opties en het Black-Scholes model Introductie over opties Prijzen van opties Het Black-Scholes model Risiconeutrale kansen en Arrow-Debreu prijzen Lognormale verdeling De geïmpliceerde binomiale boom: De theorie Waarom een geïmpliceerde binomiale boom? Samenstelling geïmpliceerde binomiale boom De geïmpliceerde binomiale boom: De praktijk Een uitgewerkte binomiale boom Arbitrage mogelijkheden Conclusie 37 6 Appix Appix A Appix B Appix C Appix D Appix E Referenties 51 7

8 8 CONTENTS

9 9

10 10 CONTENTS

11 Chapter 2 Opties en het Black-Scholes model 2.1 Introductie over opties Om over opties te kunnen praten is het belangrijk eerst te weten wat een optie precies inhoudt. Ook is het belangrijk te melden dat als er over opties gesproken wordt in dit verslag, het altijd over aandelen opties gaat. Een optie is een recht om tegen een vooraf bepaalde prijs binnen een afgesproken periode een bepaald goed te kopen of te verkopen. Een optie in de financïele markt geeft de houder van de optie het recht (maar niet de plicht) om een aandeel te kopen of verkopen tegen een vaste prijs op een bepaalde tijd. Er zijn erg veel soorten optiecontracten, maar in dit verslag zullen we naar 2 specifieke optiecontracten kijken: call opties en put opties. Een call optie geeft de houder het recht een aandeel te kopen; Een put optie geeft de houder het recht een aandeel te verkopen. Een optie is altijd een contract tussen 2 partijen. Dit betekent dat er naast de houder van de optie ook een schrijver van de optie is. Als de houder van een optie besluit gebruik te maken van zijn recht om het onderligge aandeel te kopen of verkopen, zeggen we dat hij zijn optie uitoefent. De prijs waarop de optiehouder zijn optie uitoefent noemen we de uitoefenprijs. De prijs van het aandeel wordt de spotprijs genoemd. Opties hebben een bepaalde looptijd. Dit betekent echter niet automatisch dat de optie slechts uit te oefenen is aan het einde van deze looptijd. Indien een optie slechts uit te oefenen is op de verloopdatum zelf en niet eerder, wordt gesproken van een Europese optie. Echter, als een optie uit te oefenen is op elk willekeurig moment tot aan de verloopdatum, wordt de optie een Amerikaanse optie genoemd. De namen van deze opties hebben niets te maken met de locatie waar deze opties verhandeld worden: beide worden wereldwijd verhandeld. In dit verslag zal uitsluit gekeken worden naar Europese opties. Zoals reeds vermeld is een optie een contract tussen 2 partijen. De houder van de optie heeft het recht een optie uit te oefenen. Er wordt ook wel gezegd dat de houder een long positie heeft in het contract. De schrijver van de optie heeft juist een short positie in het contract. Aangezien de houder het recht heeft zijn optie uit te oefenen, heeft de schrijver van de optie de verplichting om het onderligge aandeel desgevraagd te kopen of leveren. Dit roept de vraag op waarom mensen opties schrijven. Immers, de houder van een optie maakt alleen gebruik van zijn recht als dit hem winst oplevert. Het antwoord hierop is dat een optie 11

12 12 CHAPTER 2. OPTIES EN HET BLACK-SCHOLES MODEL een prijs heeft. Als een partij een optie koopt, betaalt hij hiervoor een bedrag aan de schrijver van de optie. Dit bedrag compenseert de schrijver van de optie voor het risico dat hij loopt in het geval dat de houder van de optie zijn optie uit zal oefenen. Als de uitoefenprijs van een call-optie lager is dan de spotprijs, zal de houder zijn optie uitoefenen. Het verschil tussen de spotprijs en de uitoefenprijs wordt de payoff genoemd. Dit is het bedrag dat de houder van de optie bruto verdient aan de optie als hij hem op dit moment zal uitoefenen. Een payoff is uiteraard altijd positief. Als er een payoff is bij het uitoefenen van een optie, wordt gezegd dat een optie in-the-money is. Een call optie is dus in-the-money als de uitoefenprijs lager is dan de spotprijs en put opties zijn juist in-the-money als de uitoefenprijs hoger is dan de spotprijs. Op dezelfde manier is een optie out-of-the-money als er geen payoff is bij het uitoefenen van de optie, bij een call optie dus als de uitoefenprijs hoger is dan de spot prijs en bij een put optie als de uitoefenprijs lager is dan de spotprijs. Is de spotprijs gelijk aan de uitoefenprijs wordt de optie at-the-money genoemd. Let er wel op dat als een optie out-of-the-money is, de houder ervan de optie natuurlijk niet zal uitoefenen. 2.2 Prijzen van opties Zoals hierboven vermeld, heeft een optie een prijs. In 1979 publiceerden John Cox, Stephen Ross en Mark Rubinstein het binomiale optie prijs model. Dit model geeft een techniek voor het prijzen van opties, waarbij de simpele aanname wordt gemaakt dat een spotprijs aan het eind van de volge periode slechtst 2 waarden kan hebben. Om een beetje een idee te krijgen van hoe dit model werkt, eerst een simpel voorbeeld van het berekenen van de prijs van een optie over 1 periode. Om deze prijs te berekenen, wordt een replicer portfolio samengesteld dat dezelfde payoff heeft als de optie. Aangezien de optie en het portfolio dezelfde payoff hebben, moet de optie evenveel waard zijn als het portfolio. Immers, als dit niet zo zou zijn, zou er een arbitragemogelijkheid zijn, wat wil zeggen dat er door op de juiste manier te investeren een gegarandeerde winst te behalen valt. Om dit te verduidelijken, bekijken we het volge voorbeeld. Beschouw een Europese call optie die verloopt na 1 periode met een uitoefenprijs van 50 dollar. De spotprijs op t = 0 is ook 50 dollar. We nemen verder aan dat de prijs van het aandeel over 1 periode kan stijgen of dalen met 10 dollar. De risicovrije rente is 6 procent. Deze informatie kunnen we samenvatten in een binomiale boom, zoals hieronder te zien in figuur 1.

13 2.2. PRIJZEN VAN OPTIES 13 Deze binominale boom bevat alle informatie die we op dit moment hebben: De spotprijs, prijs van een obligatie, de mogelijke spotprijzen na 1 periode en de payoff in beide gevallen. Om nu de prijs van de optie te berekenen, moet aangetoond worden dat de payoffs zijn te repliceren met een portfolio van het aandeel en een obligatie. Laat het aantal aandelen zijn dat gekocht wordt, en laat B het bedrag zijn dat gele of uitgele is. Om de waarde van de call optie te bepalen, moet de waarde van het portfolio gelijk zijn aan de payoff van de optie, ongeacht of de spotprijs na 1 periode omhoog of omlaag gaat. Dit geeft 2 vergelijkingen, 1 voor het geval als de spotprijs omhoog gaat en 1 voor het geval de spotprijs omlaag gaat. Als de spotprijs omhoog gaat, moet de payoff van het portfolio gelijk zijn aan 10 dollar (de waarde van de call bij die spotprijs): B = 10 (2.1) Als de spotprijs omlaag gaat, moet de payoff van het portfolio gelijk zijn aan 0 dollar (de waarde van de call bij die spotprijs): B = 0 (2.2) We hebben 2 vergelijkingen met 2 onbeken, en B. Dit oplossen geeft = 0.5 (2.3) B = (2.4) Een portfolio dat 0.5 aandeel long is en waarbij dollar gele is tegen 6 procent disconteringsvoet heeft dus een waarde na 1 periode die exact gelijk is aan de waarde van de call optie. De waarde van de call optie vandaag is nu gelijk aan de huidige waarde van de portfolio. Dit geeft 50 + B = 50(0.5) = 6.13 (2.5)

14 14 CHAPTER 2. OPTIES EN HET BLACK-SCHOLES MODEL De waarde van een call optie is dus gelijk aan 6.13 dollar. Uiteraard zijn optieprijzen ook uit te rekenen voor opties die verlopen na meer dan 1 periode. Hieronder zal een voorbeeld gegeven worden van een calloptie die verloopt na 2 periodes. Het principe voor een optie die verloopt na n periodes is analoog. Beschouw nu een Europese call optie die verloopt na 2 periodes met een uitoefenprijs van 50 dollar. De spotprijs op t = 0 is 40 dollar. We nemen verder aan dat de prijs van het aandeel over 1 periode kan stijgen of dalen met 10 dollar. De risicovrije rente is wederom 6 procent. Deze informatie kunnen we samenvatten in een binomiale boom, zoals hieronder te zien in figuur 2: Om de optieprijs in een binomiale boom van meer dan 1 periode uit te rekenen, wordt begonnen aan het eind van de boom en van daaruit teruggewerkt. Op tijdstip 2 verloopt de optie. De optie zal dan 10 dollar waard zijn als de spotprijs naar 60 dollar is gegaan en zal anders niets waard zijn. Het idee is nu om te bekijken wat de optie waard is op elk mogelijke spotprijs op tijdstip 1. Wat is bijvoorbeeld de waarde van de optie als de optieprijs op tijdstip 1 is gestegen naar 50 dollar? In dit geval blijft de binomiale boom over die reeds in figuur 1 is weergegeven. Hierboven was aangetoond dat deze calloptie een waarde had van 6.13 dollar. Verder geldt voor het replicer portfolio dat = 0.5 en B = Als de optieprijs op tijdstip 1 is gedaald naar 30 dollar, zal de optie nooit meer in het geld kunnen eindigen, aangezien de spotprijs nooit meer boven de 50 dollar uit kan komen. In dit geval heeft de calloptie een waarde van 0 dollar. Nu de waarden van de calloptie op tijdstip 1 bek zijn, kan er nu door terug te rekenen de optieprijs op tijdstip 0 bepaald worden. De verwachte payoff als de optie omhoog gaat is gelijk

15 2.2. PRIJZEN VAN OPTIES 15 aan de optieprijs van de calloptie op tijdstip 1 en is dus gelijk aan 6.13 dollar. De verwachte payoff als de optie omlaag gaat is gelijk aan 0. Er is dus nu een binomiale boom met de volge situatie: Dit is weer gewoon de eerder behandelde binomiale boom met een periode van 1. De vergelijkingen worden nu alleen iets anders. Als de spotprijs omhoog gaat, moet de payoff van het portfolio gelijk zijn aan 6.13 dollar: B = 6.13 (2.6) Als de spotprijs omlaag gaat, moet de payoff van het portfolio gelijk zijn aan 0 dollar: B = 0 (2.7) Wederom 2 vergelijkingen met 2 onbeken, en B. Dit oplossen geeft De waarde van de calloptie is gelijk aan = (2.8) B = 8.67 (2.9) 40 + B = 40(0.3065) 8.67 = 3.59 (2.10) Het grootste verschil tussen een optie die na 1 periode verloopt en een optie die na n periodes verloopt, is dat bij een optie die na n periodes verloopt het replicer protfolio aan het eind van elke periode moet worden aangepast. In dit geval worden er op t = aandelen gekocht en 8.67 dollar gele. Als de spotprijs omlaag gaat naar 30 dollar, zijn de aandelen = 9.20 dollar waard en de schuld is gegroeid naar = 9.20 dollar. De netto

16 16 CHAPTER 2. OPTIES EN HET BLACK-SCHOLES MODEL waarde van het portfolio is dus gelijk aan 0. In het geval dat de spotprijs stijgt naar 50 dollar, stijgt de netto waarde van het portfolio ook naar 6.13 dollar. In dit geval wordt de nieuwe van het portfolio 0.5 en moeten er dus = aandelen bijgekocht worden. Dit wordt betaald door = 9.67 bij te lenen. Deze nieuwe samenstelling van het portfolio kost geen extra geld, op t = 2 is de schuld gelijk aan = dollar, wat de eerder gevonden B was. 2.3 Het Black-Scholes model In de werkelijkheid is het natuurlijk niet realistisch dat een aandeel over een paar tijdsintervallen met hetzelfde bedrag omhoog en omlaag gaat. Om het model realistisch te maken wordt de limiet van elk tijdsinterval naar 0 gebracht. Hierdoor worden oneindig veel tijdsintervallen verkregen. Dit leidt tot de formule van het Black-Scholes model: C = S N(d 1 ) P V (K) N(d 2 ) (2.11) met N(d) de kans dat een normaal verdeelde variabele een kleinere waarde heeft als d en d 1 en d 2 staan voor ln[s/p V (K)] d 1 = σ + σ T T 2 d 2 = d 1 σ T In deze formules is PV(K) de contante waarde van de uitoefenprijs, S de huidige prijs van het aandeel, T het aantal jaren totdat de optie verloopt en σ de volatiliteit van het aandeel. Om de waarde van een optie te bepalen zijn dus slechts 5 parameters nodig: De spotprijs, de uitoefenprijs, de verloopdatum, de risicovrije rente en de volatiliteit van het aandeel. Hiervan is de volatiliteit de enige parameter die voorspeld moet worden, de overige zijn direct waarneembaar. Hoe wordt deze volatiliteit dan geschat? Een manier waarop deze volatiliteit geschat kan worden, is door de optieprijs als input nemen en in te vullen in de Black-Scholes formule. Hierdoor blijft de volatiliteit over als enige onbeke. Deze schatting van de volatiliteit wordt ook wel de geïmpliceerde volatiliteit σ imp genoemd. De gevonden Black-Scholes formule geldt voor een call optie, maar ook voor een put optie is er een Black-Scholes formule. Call en put opties zijn namelijk als volgt verbonden via put-call pariteit: C = P + S P V (K) (2.12) Dit substitueren in de Black Scholes formule geeft de Black-Scholes formule voor een put optie P = P V (K)[1 N(d 2 )] S[1 N(d 1 )] (2.13) 2.4 Risiconeutrale kansen en Arrow-Debreu prijzen Naast de hierboven besproken manier is er nog een andere manier om optieprijzen uit te rekenen, namelijk via risiconeutrale kansen. De term risiconeutraal duidt er hier op dat wordt verondersteld dat een portfolio zo kan worden samengesteld, dat deze risicoloos is. Om aan te geven dat het om risiconeutrale kansen gaat en niet om daadwerkelijke kansen, wordt de risiconeutrale kans ρ genoemd. Om in te zien hoe risiconeutrale kansen werken, ga uit van een bedrag X op t = 0. Dit bedrag

17 2.4. RISICONEUTRALE KANSEN EN ARROW-DEBREU PRIJZEN 17 is groter te maken door het op de bank te zetten. In dit geval wordt er rente over dit bedrag verkregen en is er op t = 1 een bedrag verkregen van (1 + r) X. Om risicoloos te handelen, moet de verwachting van het bedrag dat verkregen wordt door aandelen te kopen, gelijk zijn aan het bedrag dat verkregen wordt door geld op de bank te zetten. Dit is precies wat risiconeutrale kansen weergeven: ze geven die kans waarvoor de verwachting van het bedrag dat verkregen wordt door aandelen te kopen, gelijk is aan het bedrag dat verkregen wordt door geld op de bank te zetten. Om dit te verduidelijken een voorbeeldje. Bekijk nogmaals de situatie uit figuur 1. De spotprijs hier was 50 dollar, de uitoefenprijs was eveneens 50 dollar en in 1 periode kon deze spotprijs stijgen met 10 dollar en dalen met 10 dollar en de risicovrije rente is 6 procent. Laat ρ de risiconeutrale kans zijn dat de spotprijs stijgt, waardoor de risiconeutrale kans dat de spotprijs daalt 1 ρ wordt. Door op t = 0 50 dollar op de bank te zetten, wordt op t = = 53 dollar verkregen. De verwachte waarde van het aandeel op t = 1 is gelijk aan 60ρ + 40(1 ρ). Door deze aan elkaar gelijk te stellen wordt de vergelijking gevonden waaruit de risiconeutrale kans te bepalen is: = 60ρ + 40(1 ρ) (2.14) Dit oplossen geeft ρ = Merk op dat dit niet de daadwerkelijke kans is dat de spotprijs stijgt, maar dat dit de kans geeft waarvoor geld op de bank zetten en beleggen in een aandeel naar verwachting hetzelfde bedrag oplevert. Om het begrip risiconeutraal iets te verduidelijken, stel dat de daadwerkelijke kans dat het aandeel uit figuur 1 stijgt gelijk is aan 75 procent en de daadwerkelijke kans dat het aandeel daalt gelijk is aan 25 procent. In dit geval heeft het aandeel een verwachte opbrengst van: = 0.1 (2.15) Dit geeft dus een verwachte opbrengst van 10 procent. Aangezien de risicovrije rente 6 procent is, betekent dit dat het aandeel een risicopremie heeft van 4 procent. Als nu teruggegaan wordt naar de risiconeutrale kansen ρ = 0.65 en 1 ρ = 0.35, dan wordt de verwachte opbrengst van het aandeel: = 0.06 (2.16) 50 In dit geval is de verwachte opbrengst van het aandeel gelijk aan de risicovrije rente, waardoor het aandeel geen risicopremie heeft, vandaar de term risicovrije kansen. Deze risiconeutrale kansen kunnen nu worden gebruikt om optieprijzen te bepalen. De waarde van een optie is uiteraard gelijk aan het bedrag dat een optie naar waarschijnlijkheid opbrengt, oftewel de verwachte payoff van de optie. Als het aandeel uit figuur 1 stijgt naar 60 dollar is er een payoff van 10 dollar en als het aandeel daalt is er geen payoff. De verwachtte payoff is dus gelijk aan 10 (0.65) + 0 (1 0.65) = 6.50 dollar. Aangezien dit de verwachte payoff is op t = 1 en de optieprijs op t = 0 verkregen moet worden, moet dit bedrag nog gedeeld worden door de risicovrije rente. Dit geeft = 6.13 dollar, wat zoals verwacht hetzelfde antwoord is dat gevonden werd in paragraaf 2. Dicht verbonden met risiconeutrale kansen zijn Arrow-Debreu prijzen λ i. Hierin staat de i voor het i-de knooppunt van onderaf gezien. De Arrow-Debreu prijs van een knooppunt geeft de gedisconteerde risiconeutrale kans om dit knooppunt te bereiken. Om dit te verduidelijken, beschouw wederom figuur 1. Er wordt gestart vanuit het knooppunt op t = 0. De gedisconteerde

18 18 CHAPTER 2. OPTIES EN HET BLACK-SCHOLES MODEL risiconeutrale kans λ 1 om dit knooppunt te bereiken is uiteraard gelijk aan λ 1 = 1. Vervolgens wordt de transitie omhoog of omlaag gemaakt. Hierboven was aangetoond dat de risiconeutrale kans om een transitie omhoog te maken gelijk was aan ρ = De gedisconteerde kans λ 2 om het bovenste knooppunt op t = 1 te bereiken is dus gelijk aan λ 2 = = Op dezelfde wijze is de risiconeutrale kans om een transitie omhoog te maken gelijk aan 1 ρ = De gedisconteerde kans λ 1 om het onderste knooppunt op t = 1 te bereiken is dus gelijk aan λ 1 = = Om nu Arrow-Debreu prijzen te berekenen op t = 2, zijn alleen de Arrow-Debreu prijzen op t = 1 en de risiconeutrale kansen om vanuit t = 1 de transitie omhoog of omlaag te maken nodig. Deze vermenigvuldigd geven de nieuwe Arrow-Debreu prijzen op t = 2. Arrow-Debreu prijzen zullen een zeer handig hulpmiddel blijken bij de uiteindelijke constructie van de geïmpliceerde binomiale boom. 2.5 Lognormale verdeling Als gekeken wordt naar binomiale bomen, bestaan er 2 soorten binomiale bomen. Er zijn bomen waar de spotprijs telkens verandert met een vast bedrag omhoog of omlaag. In dit geval wordt gesproken van een additieve boom. Hiernaast zijn er ook bomen waar de spotprijs niet verandert met een bepaald bedrag, maar verandert via een percentage. In dit geval wordt gesproken van een multiplikatieve boom. Stel er wordt nu gekeken naar de verdeling van de eindprijs die tot stand komt na een bepaald aantal tijdstappen. Als de additieve prijsverandering tussen tijdstippen t en t+1 gegeven worden door S t,t+1, dan geldt: S n = S 0 + S 0,1 + S 1, S n 1,n (2.17) Bij een additieve boom veranderd de prijs dus telkens met hetzelfde bedrag, bijvoorbeeld +10 met kans p en -10 met kans (1 p). Uit de centrale limietstelling volgt dan dat de gemiddelde prijsverandering, na een groot aantal stappen, normaal verdeeld is. Als nu naar een multiplikatieve boom gekeken wordt, wordt uiteraard een ander resultaat verkregen. Als de procentuele prijsveranderingen tussen tijdstippen t en t + 1 gegeven worden door, dan geldt: S t,t+1 S t S n = S 0 (1 + S 0,1 ) (1 + S 1,2 ).. (1 + S n 1,n ) (2.18) S 0 S n 1 Aangezien de centrale limietstelling alleen toe te passen is op sommen en in (2.18) juist producten staan, is de centrale limietstelling niet toe te passen op (2.18). Van producten zijn echter sommen te maken, door te werken met logaritmes. Hierdoor wordt uit (2.18) het volge verkregen: S 1 ln S n = ln S 0 + (1 + S 0,1 ) + ln(1 + S 1,2 ) ln(1 + S n 1,n ) (2.19) S 0 S n 1 Aangezien nu weer een vergelijking verkregen is met sommen, is de centrale limietstelling nu wel weer toepasbaar. Een multiplicatieve boom heeft dus een normale verdeling voor logaritmes, oftewel een lognormale verdeling. S 1

19 Chapter 3 De geïmpliceerde binomiale boom: De theorie 3.1 Waarom een geïmpliceerde binomiale boom? Er is nu dus een manier gevonden om opties te prijzen. Waarom dan toch een geïmpliceerde binomiale boom? Dit heeft er mee te maken dat het Black-Scholes model de aanname maakt dat de volatiliteit constant is, zoals te zien is in figuur 4. In werkelijkheid is de volatiliteit echter niet constant. Het blijkt bijvoorbeeld dat de geïmpliceerde volatiliteit gecorreleerd is met de uitoefenprijs. Figuur 5 laat zien dat de geïmpliceerde volatiliteit een correlatie vertoond met de uitoefenprijzen van opties op de SP 500 index, bekeken op 5 Mei

20 20 CHAPTER 3. DE GEÏMPLICEERDE BINOMIALE BOOM: DE THEORIE Naast de uitoefenprijs, blijkt de geïmpliceerde volatiliteit ook gecorreleerd te zijn met de looptijd. Als wederom gekeken wordt naar de SP 500 index van 5 Mei 1993, is te zien dat de geïmpliceerde volatiliteit en de looptijd correlatie vertonen. Dit is te zien in figuur 6. Er kan dus een beter model verkregen worden door de volatiliteit variabel te maken in de tijd in plaats van vast. Hierdoor verkrijgen we een volatiliteit die afhankelijk is van zowel de spotprijs

21 3.2. SAMENSTELLING GEÏMPLICEERDE BINOMIALE BOOM 21 als de tijd. In dat geval krijgen we de situatie zoals deze te zien is in figuur 7. Het model met een volatiliteit die variabel is in de tijd is de geïmpliceerde binomiale boom die hier gaat worden afgeleid. 3.2 Samenstelling geïmpliceerde binomiale boom Om de geïmpliceerde binomiale boom te verkrijgen, gaat het Black-Scholes model dus eigenlijk uitgebreid worden. Zoals eerder gezien heeft het Black-Scholes model de belangrijke eigenschap dat spotprijzen zich voortbewegen met een constante volatiliteit σ op elke tijd en elk marktlevel. Deze aanname bleek echter niet helemaal overeen te komen met de werkelijkheid. Figuur 5 laat de afname van σ imp zien bij hogere uitoefenprijs. Dit figuur blijkt a-symmetrisch te zijn, terwijl we via Black-Scholes dus een rechte lijn zouden verwachten. Dit verschijnsel wordt ook wel de volatiliteits skew genoemd. Om de geïmpliceerde boom nu te verkrijgen moeten er eerst een paar dingen gedefinieerd worden. We gaan er van uit dat er al een boom geconstrueerd is die loopt van tijdstip t 1 tot tijdstip t n. Al de gegevens die tot dit tijdstip berek zijn, zijn berek aan de hand van de geïmpliceerde volatiliteiten van alle opties met alle spotprijzen tot deze periode. Van deze boom zijn al n tijdstippen geconstrueerd, dus er zijn n knooppunten en elk knooppunt heeft een beke spotprijs s i. Het doel is om het (n + 1) e tijdstip te construeren, want als dat gedaan is, is via inductie de gehele boom te construeren. Er is dus de situatie als in figuur 8:

22 22 CHAPTER 3. DE GEÏMPLICEERDE BINOMIALE BOOM: DE THEORIE Er zijn dus al n knooppunten bek op tijdstip t n. Elk knooppunt heeft een beke spotprijs s i en gaat of naar een hoger knoopunt met prijs S i+1 of een lager knooppunt met prijs S i op tijdstip t n+1. Verder introduceren we de forward price F i. Deze forward price geeft het bedrag dat een tijdstip later uitgekeerd wordt indien geld op de bank wordt gezet. Over dit wordt dan rente verkregen. De forward price wordt daarom gegeven door Hierin staat r voor de risicovrije rente. F i = e r t s i (3.1) Zoals in chapter 2 was laten zien, heeft elk knooppunt een risiconeutrale kans ρ i om de transitie omhoog te maken naar het volge knooppunt. De risiconeutrale kans om de transitie omlaag te maken is dan uiteraard gelijk aan 1 ρ i. Deze risiconeutrale kans geeft de waarde van de kansen waarvoor de verwachte waarde van het aandeel op tijdstip t n+1 exact gelijk is aan de forward price. Er wordt met ρ i gewerkt in plaats van p i, om duidelijk te maken dat het gaan om risiconeutrale kansen en niet om daadwerkelijke kansen. Eerder was al aangetoond hoe spotprijzen en risiconeutrale kansen met elkaar verbonden waren: s i = S i+1ρ i + S i (1 ρ i ) e r t (3.2) e r t naar de andere kant halen en (3.1) invullen geeft een alternatieve formule voor de forward price: F i = ρ i S i+1 + (1 ρ i )S i (3.3)

23 3.2. SAMENSTELLING GEÏMPLICEERDE BINOMIALE BOOM 23 Omschrijven geeft ook de risiconeutrale kans ρ i, afhankelijk van de forward price en spotprijzen: ρ i = F i S i S i+1 S i (3.4) In het deel over risiconeutrale kansen is al laten zien dat de theoretische waarde van de optieprijs gelijk is aan de som van het product van de gedisconteerde kans een bepaald knooppunt te bereiken en de payoff in dit knooppunt. Laat nu C(s i, t n+1 ) en P (s i, t n+1 ) de beke huidige marktwaarden zijn voor een call en put optie met uitoefenprijs s i die verloopt op t n+1. De theoretische waarde van een call optie met uitoefenprijs K die verloopt op t n+1 is dan dus gegeven over de som van de gedisconteerde risiconeutrale kansen om ieder knooppunt j op tijdstip t n+1 te bereiken vermenigvuldigd met de payoff in ieder knooppunt. De payoff voor een call optie is het verschil tussen de uitoefenprijs en spotprijs als de spotprijs hoger is dan de uitoefenprijs en anders gelijk aan 0. Deze payoff wordt dus gegeven door max(s j+1 K, 0) (3.5) In het gedeelte over Arrow-Debrue prijzen was aangetoond dat de gedisconteerde risiconeutrale kans om een knooppunt op tijdstip t n+1 te bereiken de som is van de vermenigvuldiging van de Arrow-Debreu prijzen op tijdstip t n met de risiconeutrale kansen om dit betreffe knooppunt te bereiken. Deze is dus gelijk aan λ j ρ j + λ j+1 (1 ρ j+1 ) (3.6) Het product van de gedisconteerde kans een bepaald knooppunt j te bereiken en de payoff in dit knooppunt is dus het product van 3.6 en 3.5 en is gelijk aan: (λ j ρ j + λ j+1 (1 ρ j+1 )) max(s j+1 K, 0) (3.7) De theoretische waarde van C(K,t n+1 ) is gelijk aan de som van het product van de gedisconteerde kans een bepaald knooppunt j te bereiken en de payoff in dit knooppunt, oftewel de som over 3.7 en is gelijk aan C(K, t n+1 ) = e r t n (λ j ρ j + λ j+1 (1 ρ j+1 ))max(s j+1 K, 0) (3.8) j=1 Merk op dat deze vergelijking begint met een transitie omhoog vanaf het 1 e knooppunt. De transitie omlaag vanuit het 1 e knooppunt wordt niet gemaakt. Hier is dus de aanname gemaakt dat de bijdrage van deze transitie 0 is, oftewel dat de payoff bij deze transitie 0 is. Anders gezegd, S 1 < K. Als de uitoefenprijs K gelijk is aan de spotprijs s i, dan kan de contributie van het eerste knooppunt waarvoor de optie in the money belandt gescheiden worden van de overige contributies. Op deze manier is (3.8) zo te schrijven dat hij afhankelijk is van de beke Arrow-Debreu prijzen, de beke spotprijzen s i en de beke forward prijzen. Dit geeft e r t C(s i, t n+1 ) = λ i ρ i (S i+1 s i ) Voor de uitwerking van (3.9), zie appix A. n (λ j (F j s i )) (3.9) j=i+1