De geïmpliceerde boom en de scheefheid van Black-Scholes

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "De geïmpliceerde boom en de scheefheid van Black-Scholes"

Transcriptie

1 Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics De geïmpliceerde boom en de scheefheid van Black-Scholes Verslag ten behoeve van het Delft Institute for Applied Mathematics als onderdeel ter verkrijging van de graad van BACHELOR OF SCIENCE in TECHNISCHE WISKUNDE door Donald Hollenberg Delft, Nederland Februari 2011 Copyright 2011 door Donald Hollenberg. Alle rechten voorbehouden.

2

3 BSc verslag TECHNISCHE WISKUNDE De geïmpliceerde boom en de scheefheid van Black-Scholes Donald Hollenberg Technische Universiteit Delft Begeleider Dr. J.H.M. Anderluh Overige commissieleden Dr. G.F. Ridderbos Februari, 2011 Dr. J.A.M. van der Weide Delft

4

5 Chapter 1 Inleiding In de optiemarkt, waar opties van aandelen verhandeld worden, worden prijzen hoofdzakelijk berek aan de hand van het Black-Scholes model. Via het Black-Scholes model is er een prijs te vinden van call en put opties die afhankelijk is van 5 parameters: de rente, de looptijd, de volatiliteit, de huidige aandeelprijs en de uitoefenprijs. De volatiliteit beschrijft de beweeglijkheid van het aandeel en is als zodanig een eigenschap van het aandeel. Het Black-Scholes model leek een prima wijze om opties te prijzen, tot maandag 19 oktober Op deze maandag duikelde de index in Amsterdam van 247,09 op vrijdag naar 217,43 bij het slot op maandag. Een daling van 12 procent, wat de grootste daling op een dag beteke. Die daling zette dinsdag door toen de beurs nog eens bijna 6 procent inleverde en sloot op 204,57. Uiteindelijk bereikte de index op 10 november dat jaar zijn laagste punt. De 152,36 punten van die dag staken schril af bij de 286,05 van 11 augustus eerder dat jaar. Een totale daling van ruim 46 procent. De Black-Scholes formule maakt de aanname dat de volatiliteit vast is. Sinds 1987 is echter gebleken dat de volatiliteit correlatie vertoont met de uitoefenprijs en de looptijd van een optie. De optieprijzen die Black-Scholes gaf, bleken niet bestand tegen grote verschuivingen van aandeelprijzen, zoals in 1987 gebeurde. Er moet dus een aanpassing gedaan worden aan Black- Scholes. Dit is hetgeen in deze opdracht gedaan wordt: er wordt een geïmpliceerde binomiale boom gemaakt waarin de volatiliteit niet vast is, maar varieert met de uitoefenprijs en de looptijd. Er wordt gekeken hoe deze geïmpliceerde binomiale boom verkregen kan worden en er wordt met behulp van MATLAB een programma gemaakt die bij gegeven data de bijbehore geïmpliceerde binomiale boom geeft. Deze scriptie is gebasseerd op het artikel The volatility smile and its implied tree, geschreven door Emanuel Derman en Iraj Kani in Januari In dit artikel worden bovenstaande dingen heel kort uitgelegd. In deze scriptie wordt de inhoud van dit artikel uitgebreid uitgelegd en worden de betreffe formules uit het artikel uitgewerkt. Verder blijkt de in het artikel genoemde geïmpliceerde binomiale boom arbitragemogelijkheden te bevatten als de boom wordt bekeken voor langere tijd. Er wordt laten zien hoe deze arbitragemogelijkheden zijn uit te buiten. Enkele figuren die in deze scriptie terugkomen, zijn overgenomen uit dit artikel. Ik wil alvast mijn begeleider bij dit project, Dr. Jasper Anderluh bedanken voor zijn hulp bij het begeleiden van dit project.

6 6 CHAPTER 1. INLEIDING Donald Hollenberg 2011

7 Contents 1 Inleiding 5 2 Opties en het Black-Scholes model Introductie over opties Prijzen van opties Het Black-Scholes model Risiconeutrale kansen en Arrow-Debreu prijzen Lognormale verdeling De geïmpliceerde binomiale boom: De theorie Waarom een geïmpliceerde binomiale boom? Samenstelling geïmpliceerde binomiale boom De geïmpliceerde binomiale boom: De praktijk Een uitgewerkte binomiale boom Arbitrage mogelijkheden Conclusie 37 6 Appix Appix A Appix B Appix C Appix D Appix E Referenties 51 7

8 8 CONTENTS

9 9

10 10 CONTENTS

11 Chapter 2 Opties en het Black-Scholes model 2.1 Introductie over opties Om over opties te kunnen praten is het belangrijk eerst te weten wat een optie precies inhoudt. Ook is het belangrijk te melden dat als er over opties gesproken wordt in dit verslag, het altijd over aandelen opties gaat. Een optie is een recht om tegen een vooraf bepaalde prijs binnen een afgesproken periode een bepaald goed te kopen of te verkopen. Een optie in de financïele markt geeft de houder van de optie het recht (maar niet de plicht) om een aandeel te kopen of verkopen tegen een vaste prijs op een bepaalde tijd. Er zijn erg veel soorten optiecontracten, maar in dit verslag zullen we naar 2 specifieke optiecontracten kijken: call opties en put opties. Een call optie geeft de houder het recht een aandeel te kopen; Een put optie geeft de houder het recht een aandeel te verkopen. Een optie is altijd een contract tussen 2 partijen. Dit betekent dat er naast de houder van de optie ook een schrijver van de optie is. Als de houder van een optie besluit gebruik te maken van zijn recht om het onderligge aandeel te kopen of verkopen, zeggen we dat hij zijn optie uitoefent. De prijs waarop de optiehouder zijn optie uitoefent noemen we de uitoefenprijs. De prijs van het aandeel wordt de spotprijs genoemd. Opties hebben een bepaalde looptijd. Dit betekent echter niet automatisch dat de optie slechts uit te oefenen is aan het einde van deze looptijd. Indien een optie slechts uit te oefenen is op de verloopdatum zelf en niet eerder, wordt gesproken van een Europese optie. Echter, als een optie uit te oefenen is op elk willekeurig moment tot aan de verloopdatum, wordt de optie een Amerikaanse optie genoemd. De namen van deze opties hebben niets te maken met de locatie waar deze opties verhandeld worden: beide worden wereldwijd verhandeld. In dit verslag zal uitsluit gekeken worden naar Europese opties. Zoals reeds vermeld is een optie een contract tussen 2 partijen. De houder van de optie heeft het recht een optie uit te oefenen. Er wordt ook wel gezegd dat de houder een long positie heeft in het contract. De schrijver van de optie heeft juist een short positie in het contract. Aangezien de houder het recht heeft zijn optie uit te oefenen, heeft de schrijver van de optie de verplichting om het onderligge aandeel desgevraagd te kopen of leveren. Dit roept de vraag op waarom mensen opties schrijven. Immers, de houder van een optie maakt alleen gebruik van zijn recht als dit hem winst oplevert. Het antwoord hierop is dat een optie 11

12 12 CHAPTER 2. OPTIES EN HET BLACK-SCHOLES MODEL een prijs heeft. Als een partij een optie koopt, betaalt hij hiervoor een bedrag aan de schrijver van de optie. Dit bedrag compenseert de schrijver van de optie voor het risico dat hij loopt in het geval dat de houder van de optie zijn optie uit zal oefenen. Als de uitoefenprijs van een call-optie lager is dan de spotprijs, zal de houder zijn optie uitoefenen. Het verschil tussen de spotprijs en de uitoefenprijs wordt de payoff genoemd. Dit is het bedrag dat de houder van de optie bruto verdient aan de optie als hij hem op dit moment zal uitoefenen. Een payoff is uiteraard altijd positief. Als er een payoff is bij het uitoefenen van een optie, wordt gezegd dat een optie in-the-money is. Een call optie is dus in-the-money als de uitoefenprijs lager is dan de spotprijs en put opties zijn juist in-the-money als de uitoefenprijs hoger is dan de spotprijs. Op dezelfde manier is een optie out-of-the-money als er geen payoff is bij het uitoefenen van de optie, bij een call optie dus als de uitoefenprijs hoger is dan de spot prijs en bij een put optie als de uitoefenprijs lager is dan de spotprijs. Is de spotprijs gelijk aan de uitoefenprijs wordt de optie at-the-money genoemd. Let er wel op dat als een optie out-of-the-money is, de houder ervan de optie natuurlijk niet zal uitoefenen. 2.2 Prijzen van opties Zoals hierboven vermeld, heeft een optie een prijs. In 1979 publiceerden John Cox, Stephen Ross en Mark Rubinstein het binomiale optie prijs model. Dit model geeft een techniek voor het prijzen van opties, waarbij de simpele aanname wordt gemaakt dat een spotprijs aan het eind van de volge periode slechtst 2 waarden kan hebben. Om een beetje een idee te krijgen van hoe dit model werkt, eerst een simpel voorbeeld van het berekenen van de prijs van een optie over 1 periode. Om deze prijs te berekenen, wordt een replicer portfolio samengesteld dat dezelfde payoff heeft als de optie. Aangezien de optie en het portfolio dezelfde payoff hebben, moet de optie evenveel waard zijn als het portfolio. Immers, als dit niet zo zou zijn, zou er een arbitragemogelijkheid zijn, wat wil zeggen dat er door op de juiste manier te investeren een gegarandeerde winst te behalen valt. Om dit te verduidelijken, bekijken we het volge voorbeeld. Beschouw een Europese call optie die verloopt na 1 periode met een uitoefenprijs van 50 dollar. De spotprijs op t = 0 is ook 50 dollar. We nemen verder aan dat de prijs van het aandeel over 1 periode kan stijgen of dalen met 10 dollar. De risicovrije rente is 6 procent. Deze informatie kunnen we samenvatten in een binomiale boom, zoals hieronder te zien in figuur 1.

13 2.2. PRIJZEN VAN OPTIES 13 Deze binominale boom bevat alle informatie die we op dit moment hebben: De spotprijs, prijs van een obligatie, de mogelijke spotprijzen na 1 periode en de payoff in beide gevallen. Om nu de prijs van de optie te berekenen, moet aangetoond worden dat de payoffs zijn te repliceren met een portfolio van het aandeel en een obligatie. Laat het aantal aandelen zijn dat gekocht wordt, en laat B het bedrag zijn dat gele of uitgele is. Om de waarde van de call optie te bepalen, moet de waarde van het portfolio gelijk zijn aan de payoff van de optie, ongeacht of de spotprijs na 1 periode omhoog of omlaag gaat. Dit geeft 2 vergelijkingen, 1 voor het geval als de spotprijs omhoog gaat en 1 voor het geval de spotprijs omlaag gaat. Als de spotprijs omhoog gaat, moet de payoff van het portfolio gelijk zijn aan 10 dollar (de waarde van de call bij die spotprijs): B = 10 (2.1) Als de spotprijs omlaag gaat, moet de payoff van het portfolio gelijk zijn aan 0 dollar (de waarde van de call bij die spotprijs): B = 0 (2.2) We hebben 2 vergelijkingen met 2 onbeken, en B. Dit oplossen geeft = 0.5 (2.3) B = (2.4) Een portfolio dat 0.5 aandeel long is en waarbij dollar gele is tegen 6 procent disconteringsvoet heeft dus een waarde na 1 periode die exact gelijk is aan de waarde van de call optie. De waarde van de call optie vandaag is nu gelijk aan de huidige waarde van de portfolio. Dit geeft 50 + B = 50(0.5) = 6.13 (2.5)

14 14 CHAPTER 2. OPTIES EN HET BLACK-SCHOLES MODEL De waarde van een call optie is dus gelijk aan 6.13 dollar. Uiteraard zijn optieprijzen ook uit te rekenen voor opties die verlopen na meer dan 1 periode. Hieronder zal een voorbeeld gegeven worden van een calloptie die verloopt na 2 periodes. Het principe voor een optie die verloopt na n periodes is analoog. Beschouw nu een Europese call optie die verloopt na 2 periodes met een uitoefenprijs van 50 dollar. De spotprijs op t = 0 is 40 dollar. We nemen verder aan dat de prijs van het aandeel over 1 periode kan stijgen of dalen met 10 dollar. De risicovrije rente is wederom 6 procent. Deze informatie kunnen we samenvatten in een binomiale boom, zoals hieronder te zien in figuur 2: Om de optieprijs in een binomiale boom van meer dan 1 periode uit te rekenen, wordt begonnen aan het eind van de boom en van daaruit teruggewerkt. Op tijdstip 2 verloopt de optie. De optie zal dan 10 dollar waard zijn als de spotprijs naar 60 dollar is gegaan en zal anders niets waard zijn. Het idee is nu om te bekijken wat de optie waard is op elk mogelijke spotprijs op tijdstip 1. Wat is bijvoorbeeld de waarde van de optie als de optieprijs op tijdstip 1 is gestegen naar 50 dollar? In dit geval blijft de binomiale boom over die reeds in figuur 1 is weergegeven. Hierboven was aangetoond dat deze calloptie een waarde had van 6.13 dollar. Verder geldt voor het replicer portfolio dat = 0.5 en B = Als de optieprijs op tijdstip 1 is gedaald naar 30 dollar, zal de optie nooit meer in het geld kunnen eindigen, aangezien de spotprijs nooit meer boven de 50 dollar uit kan komen. In dit geval heeft de calloptie een waarde van 0 dollar. Nu de waarden van de calloptie op tijdstip 1 bek zijn, kan er nu door terug te rekenen de optieprijs op tijdstip 0 bepaald worden. De verwachte payoff als de optie omhoog gaat is gelijk

15 2.2. PRIJZEN VAN OPTIES 15 aan de optieprijs van de calloptie op tijdstip 1 en is dus gelijk aan 6.13 dollar. De verwachte payoff als de optie omlaag gaat is gelijk aan 0. Er is dus nu een binomiale boom met de volge situatie: Dit is weer gewoon de eerder behandelde binomiale boom met een periode van 1. De vergelijkingen worden nu alleen iets anders. Als de spotprijs omhoog gaat, moet de payoff van het portfolio gelijk zijn aan 6.13 dollar: B = 6.13 (2.6) Als de spotprijs omlaag gaat, moet de payoff van het portfolio gelijk zijn aan 0 dollar: B = 0 (2.7) Wederom 2 vergelijkingen met 2 onbeken, en B. Dit oplossen geeft De waarde van de calloptie is gelijk aan = (2.8) B = 8.67 (2.9) 40 + B = 40(0.3065) 8.67 = 3.59 (2.10) Het grootste verschil tussen een optie die na 1 periode verloopt en een optie die na n periodes verloopt, is dat bij een optie die na n periodes verloopt het replicer protfolio aan het eind van elke periode moet worden aangepast. In dit geval worden er op t = aandelen gekocht en 8.67 dollar gele. Als de spotprijs omlaag gaat naar 30 dollar, zijn de aandelen = 9.20 dollar waard en de schuld is gegroeid naar = 9.20 dollar. De netto

16 16 CHAPTER 2. OPTIES EN HET BLACK-SCHOLES MODEL waarde van het portfolio is dus gelijk aan 0. In het geval dat de spotprijs stijgt naar 50 dollar, stijgt de netto waarde van het portfolio ook naar 6.13 dollar. In dit geval wordt de nieuwe van het portfolio 0.5 en moeten er dus = aandelen bijgekocht worden. Dit wordt betaald door = 9.67 bij te lenen. Deze nieuwe samenstelling van het portfolio kost geen extra geld, op t = 2 is de schuld gelijk aan = dollar, wat de eerder gevonden B was. 2.3 Het Black-Scholes model In de werkelijkheid is het natuurlijk niet realistisch dat een aandeel over een paar tijdsintervallen met hetzelfde bedrag omhoog en omlaag gaat. Om het model realistisch te maken wordt de limiet van elk tijdsinterval naar 0 gebracht. Hierdoor worden oneindig veel tijdsintervallen verkregen. Dit leidt tot de formule van het Black-Scholes model: C = S N(d 1 ) P V (K) N(d 2 ) (2.11) met N(d) de kans dat een normaal verdeelde variabele een kleinere waarde heeft als d en d 1 en d 2 staan voor ln[s/p V (K)] d 1 = σ + σ T T 2 d 2 = d 1 σ T In deze formules is PV(K) de contante waarde van de uitoefenprijs, S de huidige prijs van het aandeel, T het aantal jaren totdat de optie verloopt en σ de volatiliteit van het aandeel. Om de waarde van een optie te bepalen zijn dus slechts 5 parameters nodig: De spotprijs, de uitoefenprijs, de verloopdatum, de risicovrije rente en de volatiliteit van het aandeel. Hiervan is de volatiliteit de enige parameter die voorspeld moet worden, de overige zijn direct waarneembaar. Hoe wordt deze volatiliteit dan geschat? Een manier waarop deze volatiliteit geschat kan worden, is door de optieprijs als input nemen en in te vullen in de Black-Scholes formule. Hierdoor blijft de volatiliteit over als enige onbeke. Deze schatting van de volatiliteit wordt ook wel de geïmpliceerde volatiliteit σ imp genoemd. De gevonden Black-Scholes formule geldt voor een call optie, maar ook voor een put optie is er een Black-Scholes formule. Call en put opties zijn namelijk als volgt verbonden via put-call pariteit: C = P + S P V (K) (2.12) Dit substitueren in de Black Scholes formule geeft de Black-Scholes formule voor een put optie P = P V (K)[1 N(d 2 )] S[1 N(d 1 )] (2.13) 2.4 Risiconeutrale kansen en Arrow-Debreu prijzen Naast de hierboven besproken manier is er nog een andere manier om optieprijzen uit te rekenen, namelijk via risiconeutrale kansen. De term risiconeutraal duidt er hier op dat wordt verondersteld dat een portfolio zo kan worden samengesteld, dat deze risicoloos is. Om aan te geven dat het om risiconeutrale kansen gaat en niet om daadwerkelijke kansen, wordt de risiconeutrale kans ρ genoemd. Om in te zien hoe risiconeutrale kansen werken, ga uit van een bedrag X op t = 0. Dit bedrag

17 2.4. RISICONEUTRALE KANSEN EN ARROW-DEBREU PRIJZEN 17 is groter te maken door het op de bank te zetten. In dit geval wordt er rente over dit bedrag verkregen en is er op t = 1 een bedrag verkregen van (1 + r) X. Om risicoloos te handelen, moet de verwachting van het bedrag dat verkregen wordt door aandelen te kopen, gelijk zijn aan het bedrag dat verkregen wordt door geld op de bank te zetten. Dit is precies wat risiconeutrale kansen weergeven: ze geven die kans waarvoor de verwachting van het bedrag dat verkregen wordt door aandelen te kopen, gelijk is aan het bedrag dat verkregen wordt door geld op de bank te zetten. Om dit te verduidelijken een voorbeeldje. Bekijk nogmaals de situatie uit figuur 1. De spotprijs hier was 50 dollar, de uitoefenprijs was eveneens 50 dollar en in 1 periode kon deze spotprijs stijgen met 10 dollar en dalen met 10 dollar en de risicovrije rente is 6 procent. Laat ρ de risiconeutrale kans zijn dat de spotprijs stijgt, waardoor de risiconeutrale kans dat de spotprijs daalt 1 ρ wordt. Door op t = 0 50 dollar op de bank te zetten, wordt op t = = 53 dollar verkregen. De verwachte waarde van het aandeel op t = 1 is gelijk aan 60ρ + 40(1 ρ). Door deze aan elkaar gelijk te stellen wordt de vergelijking gevonden waaruit de risiconeutrale kans te bepalen is: = 60ρ + 40(1 ρ) (2.14) Dit oplossen geeft ρ = Merk op dat dit niet de daadwerkelijke kans is dat de spotprijs stijgt, maar dat dit de kans geeft waarvoor geld op de bank zetten en beleggen in een aandeel naar verwachting hetzelfde bedrag oplevert. Om het begrip risiconeutraal iets te verduidelijken, stel dat de daadwerkelijke kans dat het aandeel uit figuur 1 stijgt gelijk is aan 75 procent en de daadwerkelijke kans dat het aandeel daalt gelijk is aan 25 procent. In dit geval heeft het aandeel een verwachte opbrengst van: = 0.1 (2.15) Dit geeft dus een verwachte opbrengst van 10 procent. Aangezien de risicovrije rente 6 procent is, betekent dit dat het aandeel een risicopremie heeft van 4 procent. Als nu teruggegaan wordt naar de risiconeutrale kansen ρ = 0.65 en 1 ρ = 0.35, dan wordt de verwachte opbrengst van het aandeel: = 0.06 (2.16) 50 In dit geval is de verwachte opbrengst van het aandeel gelijk aan de risicovrije rente, waardoor het aandeel geen risicopremie heeft, vandaar de term risicovrije kansen. Deze risiconeutrale kansen kunnen nu worden gebruikt om optieprijzen te bepalen. De waarde van een optie is uiteraard gelijk aan het bedrag dat een optie naar waarschijnlijkheid opbrengt, oftewel de verwachte payoff van de optie. Als het aandeel uit figuur 1 stijgt naar 60 dollar is er een payoff van 10 dollar en als het aandeel daalt is er geen payoff. De verwachtte payoff is dus gelijk aan 10 (0.65) + 0 (1 0.65) = 6.50 dollar. Aangezien dit de verwachte payoff is op t = 1 en de optieprijs op t = 0 verkregen moet worden, moet dit bedrag nog gedeeld worden door de risicovrije rente. Dit geeft = 6.13 dollar, wat zoals verwacht hetzelfde antwoord is dat gevonden werd in paragraaf 2. Dicht verbonden met risiconeutrale kansen zijn Arrow-Debreu prijzen λ i. Hierin staat de i voor het i-de knooppunt van onderaf gezien. De Arrow-Debreu prijs van een knooppunt geeft de gedisconteerde risiconeutrale kans om dit knooppunt te bereiken. Om dit te verduidelijken, beschouw wederom figuur 1. Er wordt gestart vanuit het knooppunt op t = 0. De gedisconteerde

18 18 CHAPTER 2. OPTIES EN HET BLACK-SCHOLES MODEL risiconeutrale kans λ 1 om dit knooppunt te bereiken is uiteraard gelijk aan λ 1 = 1. Vervolgens wordt de transitie omhoog of omlaag gemaakt. Hierboven was aangetoond dat de risiconeutrale kans om een transitie omhoog te maken gelijk was aan ρ = De gedisconteerde kans λ 2 om het bovenste knooppunt op t = 1 te bereiken is dus gelijk aan λ 2 = = Op dezelfde wijze is de risiconeutrale kans om een transitie omhoog te maken gelijk aan 1 ρ = De gedisconteerde kans λ 1 om het onderste knooppunt op t = 1 te bereiken is dus gelijk aan λ 1 = = Om nu Arrow-Debreu prijzen te berekenen op t = 2, zijn alleen de Arrow-Debreu prijzen op t = 1 en de risiconeutrale kansen om vanuit t = 1 de transitie omhoog of omlaag te maken nodig. Deze vermenigvuldigd geven de nieuwe Arrow-Debreu prijzen op t = 2. Arrow-Debreu prijzen zullen een zeer handig hulpmiddel blijken bij de uiteindelijke constructie van de geïmpliceerde binomiale boom. 2.5 Lognormale verdeling Als gekeken wordt naar binomiale bomen, bestaan er 2 soorten binomiale bomen. Er zijn bomen waar de spotprijs telkens verandert met een vast bedrag omhoog of omlaag. In dit geval wordt gesproken van een additieve boom. Hiernaast zijn er ook bomen waar de spotprijs niet verandert met een bepaald bedrag, maar verandert via een percentage. In dit geval wordt gesproken van een multiplikatieve boom. Stel er wordt nu gekeken naar de verdeling van de eindprijs die tot stand komt na een bepaald aantal tijdstappen. Als de additieve prijsverandering tussen tijdstippen t en t+1 gegeven worden door S t,t+1, dan geldt: S n = S 0 + S 0,1 + S 1, S n 1,n (2.17) Bij een additieve boom veranderd de prijs dus telkens met hetzelfde bedrag, bijvoorbeeld +10 met kans p en -10 met kans (1 p). Uit de centrale limietstelling volgt dan dat de gemiddelde prijsverandering, na een groot aantal stappen, normaal verdeeld is. Als nu naar een multiplikatieve boom gekeken wordt, wordt uiteraard een ander resultaat verkregen. Als de procentuele prijsveranderingen tussen tijdstippen t en t + 1 gegeven worden door, dan geldt: S t,t+1 S t S n = S 0 (1 + S 0,1 ) (1 + S 1,2 ).. (1 + S n 1,n ) (2.18) S 0 S n 1 Aangezien de centrale limietstelling alleen toe te passen is op sommen en in (2.18) juist producten staan, is de centrale limietstelling niet toe te passen op (2.18). Van producten zijn echter sommen te maken, door te werken met logaritmes. Hierdoor wordt uit (2.18) het volge verkregen: S 1 ln S n = ln S 0 + (1 + S 0,1 ) + ln(1 + S 1,2 ) ln(1 + S n 1,n ) (2.19) S 0 S n 1 Aangezien nu weer een vergelijking verkregen is met sommen, is de centrale limietstelling nu wel weer toepasbaar. Een multiplicatieve boom heeft dus een normale verdeling voor logaritmes, oftewel een lognormale verdeling. S 1

19 Chapter 3 De geïmpliceerde binomiale boom: De theorie 3.1 Waarom een geïmpliceerde binomiale boom? Er is nu dus een manier gevonden om opties te prijzen. Waarom dan toch een geïmpliceerde binomiale boom? Dit heeft er mee te maken dat het Black-Scholes model de aanname maakt dat de volatiliteit constant is, zoals te zien is in figuur 4. In werkelijkheid is de volatiliteit echter niet constant. Het blijkt bijvoorbeeld dat de geïmpliceerde volatiliteit gecorreleerd is met de uitoefenprijs. Figuur 5 laat zien dat de geïmpliceerde volatiliteit een correlatie vertoond met de uitoefenprijzen van opties op de SP 500 index, bekeken op 5 Mei

20 20 CHAPTER 3. DE GEÏMPLICEERDE BINOMIALE BOOM: DE THEORIE Naast de uitoefenprijs, blijkt de geïmpliceerde volatiliteit ook gecorreleerd te zijn met de looptijd. Als wederom gekeken wordt naar de SP 500 index van 5 Mei 1993, is te zien dat de geïmpliceerde volatiliteit en de looptijd correlatie vertonen. Dit is te zien in figuur 6. Er kan dus een beter model verkregen worden door de volatiliteit variabel te maken in de tijd in plaats van vast. Hierdoor verkrijgen we een volatiliteit die afhankelijk is van zowel de spotprijs

21 3.2. SAMENSTELLING GEÏMPLICEERDE BINOMIALE BOOM 21 als de tijd. In dat geval krijgen we de situatie zoals deze te zien is in figuur 7. Het model met een volatiliteit die variabel is in de tijd is de geïmpliceerde binomiale boom die hier gaat worden afgeleid. 3.2 Samenstelling geïmpliceerde binomiale boom Om de geïmpliceerde binomiale boom te verkrijgen, gaat het Black-Scholes model dus eigenlijk uitgebreid worden. Zoals eerder gezien heeft het Black-Scholes model de belangrijke eigenschap dat spotprijzen zich voortbewegen met een constante volatiliteit σ op elke tijd en elk marktlevel. Deze aanname bleek echter niet helemaal overeen te komen met de werkelijkheid. Figuur 5 laat de afname van σ imp zien bij hogere uitoefenprijs. Dit figuur blijkt a-symmetrisch te zijn, terwijl we via Black-Scholes dus een rechte lijn zouden verwachten. Dit verschijnsel wordt ook wel de volatiliteits skew genoemd. Om de geïmpliceerde boom nu te verkrijgen moeten er eerst een paar dingen gedefinieerd worden. We gaan er van uit dat er al een boom geconstrueerd is die loopt van tijdstip t 1 tot tijdstip t n. Al de gegevens die tot dit tijdstip berek zijn, zijn berek aan de hand van de geïmpliceerde volatiliteiten van alle opties met alle spotprijzen tot deze periode. Van deze boom zijn al n tijdstippen geconstrueerd, dus er zijn n knooppunten en elk knooppunt heeft een beke spotprijs s i. Het doel is om het (n + 1) e tijdstip te construeren, want als dat gedaan is, is via inductie de gehele boom te construeren. Er is dus de situatie als in figuur 8:

22 22 CHAPTER 3. DE GEÏMPLICEERDE BINOMIALE BOOM: DE THEORIE Er zijn dus al n knooppunten bek op tijdstip t n. Elk knooppunt heeft een beke spotprijs s i en gaat of naar een hoger knoopunt met prijs S i+1 of een lager knooppunt met prijs S i op tijdstip t n+1. Verder introduceren we de forward price F i. Deze forward price geeft het bedrag dat een tijdstip later uitgekeerd wordt indien geld op de bank wordt gezet. Over dit wordt dan rente verkregen. De forward price wordt daarom gegeven door Hierin staat r voor de risicovrije rente. F i = e r t s i (3.1) Zoals in chapter 2 was laten zien, heeft elk knooppunt een risiconeutrale kans ρ i om de transitie omhoog te maken naar het volge knooppunt. De risiconeutrale kans om de transitie omlaag te maken is dan uiteraard gelijk aan 1 ρ i. Deze risiconeutrale kans geeft de waarde van de kansen waarvoor de verwachte waarde van het aandeel op tijdstip t n+1 exact gelijk is aan de forward price. Er wordt met ρ i gewerkt in plaats van p i, om duidelijk te maken dat het gaan om risiconeutrale kansen en niet om daadwerkelijke kansen. Eerder was al aangetoond hoe spotprijzen en risiconeutrale kansen met elkaar verbonden waren: s i = S i+1ρ i + S i (1 ρ i ) e r t (3.2) e r t naar de andere kant halen en (3.1) invullen geeft een alternatieve formule voor de forward price: F i = ρ i S i+1 + (1 ρ i )S i (3.3)

23 3.2. SAMENSTELLING GEÏMPLICEERDE BINOMIALE BOOM 23 Omschrijven geeft ook de risiconeutrale kans ρ i, afhankelijk van de forward price en spotprijzen: ρ i = F i S i S i+1 S i (3.4) In het deel over risiconeutrale kansen is al laten zien dat de theoretische waarde van de optieprijs gelijk is aan de som van het product van de gedisconteerde kans een bepaald knooppunt te bereiken en de payoff in dit knooppunt. Laat nu C(s i, t n+1 ) en P (s i, t n+1 ) de beke huidige marktwaarden zijn voor een call en put optie met uitoefenprijs s i die verloopt op t n+1. De theoretische waarde van een call optie met uitoefenprijs K die verloopt op t n+1 is dan dus gegeven over de som van de gedisconteerde risiconeutrale kansen om ieder knooppunt j op tijdstip t n+1 te bereiken vermenigvuldigd met de payoff in ieder knooppunt. De payoff voor een call optie is het verschil tussen de uitoefenprijs en spotprijs als de spotprijs hoger is dan de uitoefenprijs en anders gelijk aan 0. Deze payoff wordt dus gegeven door max(s j+1 K, 0) (3.5) In het gedeelte over Arrow-Debrue prijzen was aangetoond dat de gedisconteerde risiconeutrale kans om een knooppunt op tijdstip t n+1 te bereiken de som is van de vermenigvuldiging van de Arrow-Debreu prijzen op tijdstip t n met de risiconeutrale kansen om dit betreffe knooppunt te bereiken. Deze is dus gelijk aan λ j ρ j + λ j+1 (1 ρ j+1 ) (3.6) Het product van de gedisconteerde kans een bepaald knooppunt j te bereiken en de payoff in dit knooppunt is dus het product van 3.6 en 3.5 en is gelijk aan: (λ j ρ j + λ j+1 (1 ρ j+1 )) max(s j+1 K, 0) (3.7) De theoretische waarde van C(K,t n+1 ) is gelijk aan de som van het product van de gedisconteerde kans een bepaald knooppunt j te bereiken en de payoff in dit knooppunt, oftewel de som over 3.7 en is gelijk aan C(K, t n+1 ) = e r t n (λ j ρ j + λ j+1 (1 ρ j+1 ))max(s j+1 K, 0) (3.8) j=1 Merk op dat deze vergelijking begint met een transitie omhoog vanaf het 1 e knooppunt. De transitie omlaag vanuit het 1 e knooppunt wordt niet gemaakt. Hier is dus de aanname gemaakt dat de bijdrage van deze transitie 0 is, oftewel dat de payoff bij deze transitie 0 is. Anders gezegd, S 1 < K. Als de uitoefenprijs K gelijk is aan de spotprijs s i, dan kan de contributie van het eerste knooppunt waarvoor de optie in the money belandt gescheiden worden van de overige contributies. Op deze manier is (3.8) zo te schrijven dat hij afhankelijk is van de beke Arrow-Debreu prijzen, de beke spotprijzen s i en de beke forward prijzen. Dit geeft e r t C(s i, t n+1 ) = λ i ρ i (S i+1 s i ) Voor de uitwerking van (3.9), zie appix A. n (λ j (F j s i )) (3.9) j=i+1

aandeelprijs op t = T 8.5 e 9 e 9.5 e 10 e 10.5 e 11 e 11.5 e

aandeelprijs op t = T 8.5 e 9 e 9.5 e 10 e 10.5 e 11 e 11.5 e 1 Technische Universiteit Delft Fac. Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tussentoets Waarderen van Derivaten, Wi 3405TU Vrijdag november 01 9:00-11:00 ( uurs tentamen) 1. a. De koers van het aandeel

Nadere informatie

AG8! Derivatentheorie Les4! Aandelen options. 30 september 2010

AG8! Derivatentheorie Les4! Aandelen options. 30 september 2010 AG8! Derivatentheorie Les4! Aandelen options 30 september 2010 1 Agenda Huiswerk vorige keer Aandelen opties (H9) Optiestrategieën (H10) Vuistregels Volatility (H16) Binomiale boom (H11) 2 Optieprijs Welke

Nadere informatie

EXAMENVRAGEN OPTIES. 1. Een short put is:

EXAMENVRAGEN OPTIES. 1. Een short put is: EXAMENVRAGEN OPTIES 1. Een short put is: A. een verplichting om een onderliggende waarde tegen een specifieke prijs in een bepaalde B. een verplichting om een onderliggende waarde tegen een specifieke

Nadere informatie

LYNX Masterclass Opties handelen: de basis deel 1

LYNX Masterclass Opties handelen: de basis deel 1 LYNX Masterclass Opties handelen: de basis deel 1 Mede mogelijk gemaakt door TOM Tycho Schaaf 22 oktober 2015 Introductie Tycho Schaaf, beleggingsspecialist bij online broker LYNX Werkzaam bij LYNX vanaf

Nadere informatie

Euronext.liffe. Inleiding Optiestrategieën

Euronext.liffe. Inleiding Optiestrategieën Euronext.liffe Inleiding Optiestrategieën Vooraf De inhoud van dit document is uitsluitend educatief van karakter. Voor advies dient u contact op te nemen met uw bank of broker. Het is verstandig alvorens

Nadere informatie

Optie-Grieken 21 juni 2013. Vragen? Mail naar

Optie-Grieken 21 juni 2013. Vragen? Mail naar Optie-Grieken 21 juni 2013 Vragen? Mail naar training@cashflowopties.com Optie-Grieken Waarom zijn de grieken belangrijk? Mijn allereerste doel is steeds kapitaalbehoud. Het is even belangrijk om afscheid

Nadere informatie

Appendices. Beleggen en financiële markten

Appendices. Beleggen en financiële markten Appendices bij Beleggen en financiële markten 4 e druk 2013 Hans Buunk 2014 Sdu Uitgevers, Den Haag Academic Service is een imprint van BIM Media bv. Deze publicatie behoort bij Titel: Beleggen en financiële

Nadere informatie

Optie strategieën. Brochure bestemd voor particuliere beleggers INTERMEDIATE. Member of the KBC group

Optie strategieën. Brochure bestemd voor particuliere beleggers INTERMEDIATE. Member of the KBC group Optie strategieën Brochure bestemd voor particuliere beleggers INTERMEDIATE Gepubliceerd door KBC Securities in samen werking met Euronext. p. 2 Index 1. Grafische voorstelling 4 2. Bull strategieën 5

Nadere informatie

Voorbeeld examenvragen Boekdeel 2 en special topics

Voorbeeld examenvragen Boekdeel 2 en special topics Voorbeeld examenvragen Boekdeel 2 en special topics Vraag 1 Stel dat je 10 aandelen Fortis in portfolio hebt, elk aandeel met een huidige waarde van 31 per aandeel. Fortis beslist om een deel van haar

Nadere informatie

OPTIE THEORIE. 1. Inleiding

OPTIE THEORIE. 1. Inleiding OPTIE THEORIE 1. Inleiding Het begrip aandeel is ongetwijfeld bij velen bekend. Je kunt op de financiële pagina van een willekeurige krant elke dag de aandelenkoersen van bekende en minder bekende ondernemingen

Nadere informatie

Het beleggingssysteem van Second Stage

Het beleggingssysteem van Second Stage Het beleggingssysteem van Second Stage Hoewel we regelmatig maar dan op zeer beperkte schaal (niet meer dan vijf procent van het kapitaal) - zeer kortlopende transacties doen, op geanticipeerde koersbewegingen

Nadere informatie

Welke soorten beleggingen zijn er?

Welke soorten beleggingen zijn er? Welke soorten beleggingen zijn er? Je kunt op verschillende manieren je geld beleggen. Hier lees je welke manieren consumenten het meest gebruiken. Ook vertellen we wat de belangrijkste eigenschappen van

Nadere informatie

1. De optie theorie een korte kennismaking

1. De optie theorie een korte kennismaking 1. De optie theorie een korte kennismaking 1.1 Terminologie Een optie is een recht. Een recht om iets te kopen of verkopen. Dit recht kan worden verkregen tegen betaling van een bedrag in geld: de optiepremie.

Nadere informatie

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2 1 INLEIDING 1 Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2 Volg stap voor stap de tekst en los de vragen op. Bedoeling is dat je op het einde van de rit een verzorgd verslag afgeeft

Nadere informatie

Opties. Brochure bestemd voor particuliere beleggers INTERMEDIATE. Member of the KBC group

Opties. Brochure bestemd voor particuliere beleggers INTERMEDIATE. Member of the KBC group Brochure bestemd voor particuliere beleggers Gepubliceerd door KBC Securities in samen werking met Euronext. p. 2 Index 1. Inleiding 3 2. Valutaopties 4 Twee valutaoptiecontracten 4 Waarom valutaopties

Nadere informatie

Het Ho-Lee rentemodel (Engelse titel: The Ho-Lee interest rate model)

Het Ho-Lee rentemodel (Engelse titel: The Ho-Lee interest rate model) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Het Ho-Lee rentemodel (Engelse titel: The Ho-Lee interest rate model) Verslag ten

Nadere informatie

Opties. Brochure bestemd voor particuliere beleggers BASIC. Member of the KBC group. Gepubliceerd door KBC Securities in samen werking met Euronext.

Opties. Brochure bestemd voor particuliere beleggers BASIC. Member of the KBC group. Gepubliceerd door KBC Securities in samen werking met Euronext. Brochure bestemd voor particuliere beleggers Gepubliceerd door KBC Securities in samen werking met Euronext. p. 2 Index 1. Call en put opties 3 2. Koper en schrijver 4 3. Standaardisatie 5 Onderliggende

Nadere informatie

Exposure vanuit optieposities

Exposure vanuit optieposities Exposure vanuit optieposities ABN AMRO is continue bezig haar dienstverlening op het gebied van beleggen te verbeteren. Eén van die verbeteringen betreft de vaststelling van de zogenaamde exposure (blootstelling)

Nadere informatie

OPTIES IN VOGELVLUCHT

OPTIES IN VOGELVLUCHT OPTIES IN VOGELVLUCHT Inleiding Deze brochure biedt een snelle, beknopte inleiding in de beginselen van opties. U leert wat een optie is, wat de kenmerken zijn van een optie en wat een belegger kan doen

Nadere informatie

AG8! Derivatentheorie Les3! Swaps & options. 23 september 2010

AG8! Derivatentheorie Les3! Swaps & options. 23 september 2010 AG8! Derivatentheorie Les3! Swaps & options 23 september 2010 1 Agenda Huiswerk vorige keer Swaps (H7 1 t/m 4) Optie markt (H8) 2 Interest Rate Swaps Een interest rate swap (IRS) is een financieel contract

Nadere informatie

Opties. Brochure bestemd voor particuliere beleggers INTERMEDIATE. Een onderneming van de KBC-groep

Opties. Brochure bestemd voor particuliere beleggers INTERMEDIATE. Een onderneming van de KBC-groep Brochure bestemd voor particuliere beleggers Gepubliceerd door KBC Securities in samen werking met Euronext. p. 2 Index 1. Inleiding 3 2. Valutaopties 4 Drie valutaoptiecontracten 4 Waarom valutaopties

Nadere informatie

Examen VWO-Compex. wiskunde A1,2

Examen VWO-Compex. wiskunde A1,2 wiskunde A1,2 Examen VWO-Compex Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit examen zijn maximaal 90 punten te behalen; het examen bestaat uit 22 vragen.

Nadere informatie

Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap

Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap 1 Rekenen met procenten, basispunten en procentpunten... 1 2 Werken met indexcijfers... 3 3 Grafieken maken en lezen... 5 4a Tweedegraads functie: de parabool...

Nadere informatie

De basiselementen van Markov-ketens zijn:

De basiselementen van Markov-ketens zijn: Contact Dit document is samengesteld door onderwijsbureau Bijles en Training. Wij zijn DE expert op het gebied van bijlessen en trainingen in de exacte vakken, van VMBO tot universiteit. Zowel voor individuele

Nadere informatie

Compex wiskunde A1-2 vwo 2004-I

Compex wiskunde A1-2 vwo 2004-I KoersSprint In deze opgave gebruiken we enkele Excelbestanden. Het kan zijn dat de uitkomsten van de berekeningen in de bestanden iets verschillen van de exacte waarden door afrondingen. Verder kunnen

Nadere informatie

Aandelenopties in woord en beeld

Aandelenopties in woord en beeld Aandelenopties in woord en beeld 2 Aandelenopties in woord en beeld 1 In deze brochure gaan we het hebben over aandelenopties zoals die worden verhandeld op de optiebeurs van Euronext. Maar wat zijn dat

Nadere informatie

Het beleggingssysteem van Second Stage

Het beleggingssysteem van Second Stage Het beleggingssysteem van Second Stage Hoewel we regelmatig maar dan op zeer beperkte schaal (niet meer dan vijf procent van het kapitaal) - zeer kortlopende transacties doen, op geanticipeerde koersbewegingen

Nadere informatie

Proefles webklas Wiskunde. Universiteit van Amsterdam September 2002

Proefles webklas Wiskunde. Universiteit van Amsterdam September 2002 Proefles webklas Wiskunde Universiteit van Amsterdam September 2002 1 Inleiding Deze proefles van de webklas Wiskunde behandelt hetzelfde onderwerp als de echte webklas, alleen in een veel eenvoudiger

Nadere informatie

Optie strategieën. Brochure bestemd voor particuliere beleggers BASIC. Member of the KBC group

Optie strategieën. Brochure bestemd voor particuliere beleggers BASIC. Member of the KBC group Optie strategieën Brochure bestemd voor particuliere beleggers Gepubliceerd door KBC Securities in samen werking met Euronext. p. 2 Index 1. Basisstrategieën 2 2. Voorbeelden van toepassingen 2 3. Grafische

Nadere informatie

Examen VWO-Compex. wiskunde A1

Examen VWO-Compex. wiskunde A1 wiskunde A1 Examen VWO-Compex Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te behalen; het examen bestaat uit 24 vragen.

Nadere informatie

Wij willen u graag helpen bij het vergroten van uw kennis over de beurs en haar producten!

Wij willen u graag helpen bij het vergroten van uw kennis over de beurs en haar producten! Lesbrief opties Inleiding Door uw investering in het bestuderen van deze lesbrief vergroot u uw kennis over de mogelijkheden die opties bieden. Het rendement daarvan kan zijn dat u mogelijk een rol ziet

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics

Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Discounters: Risicovol of Risicoloos? (Engelse titel: Discounters: Riskful or riskless?)

Nadere informatie

Portfolio-optimalisatie

Portfolio-optimalisatie Portfolio-optimalisatie Abdelhak Chahid Mohamed, Tom Schotel 28 februari 2013 Voorwoord Dit dictaat is geschreven ter voorbereiding op de presentatie van 5 maart die gegeven zal worden door twee adviseurs

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.30 16.30 uur wiskunde A1 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

Hedging strategies. Opties ADVANCED. Member of the KBC group

Hedging strategies. Opties ADVANCED. Member of the KBC group Hedging strategies Opties p. 2 Index 1. Hedging met opties 3 2. Hedging met put opties 4 3. Hedgen met valutaopties 6 Twee valutaoptiecontracten 6 p. 3 Hedging met opties Hedging komt van het Engelse to

Nadere informatie

20 Maart : Risk reversal en verticals

20 Maart : Risk reversal en verticals Welkom bij de starters coachingclub! 20 Maart : Risk reversal en verticals Vragen? Mail naar training@cashflowopties.com Piet @ Chicago CBOE @ Chicago Today DAL : DELTA Airlines DAL steeg reeds 43 percent

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1 vwo 2004-I

Eindexamen wiskunde A1 vwo 2004-I Bevolkingsgroei Begin jaren negentig verscheen in NRC Handelsblad een artikel over de bevolkingsgroei en de gevolgen van deze groei. Bij dit artikel werden onder andere de onderstaande figuren 1A, 1B,

Nadere informatie

Hypotheekrecht en - vormen

Hypotheekrecht en - vormen Hypotheekrecht en - vormen Wat is een hypotheek? Een hypotheek is in theorie een zekerheidsrecht. Wanneer u een hypotheek afsluit, geeft u het recht van hypotheek aan de geldverstrekker. Dit recht van

Nadere informatie

Fiscale regels voor optieplannen

Fiscale regels voor optieplannen Tijdschrift voor Economie en Management Vol. XLIV, 1,1999 Fiscale regels voor optieplannen door P. SERCU* en C. VAN I-IULLE* I. INLEIDING Een executive oytionplan (EOP) voorziet in liet toekennen van opties

Nadere informatie

Wat is een call optie?

Wat is een call optie? Hoofdstuk 6 Opties Doel: inzicht krijgen in werking en gebruik van opties binnen de portefeuille, om zodoende per jaar 2% extra rendement te genereren en bovendien ook nog goedkoop geld te lenen. Opties

Nadere informatie

voorwaarden opties Informatie Beleggen November 2011 november 2011

voorwaarden opties Informatie Beleggen November 2011 november 2011 voorwaarden opties Informatie Beleggen november 2011 ABN AMROABN AMRO Voorwaarden Opties ABN AMRO Opties ABN AMRO De Voorwaarden Opties ABN AMRO bestaan uit de Voorwaarden Opties en de Voorwaarden Opties

Nadere informatie

The Midas Formula THE MIDAS FORMULA. Een onderzoek naar het Black-Scholes-Merton model in de theorie en de praktijk

The Midas Formula THE MIDAS FORMULA. Een onderzoek naar het Black-Scholes-Merton model in de theorie en de praktijk THE MIDAS FORMULA Een onderzoek naar het Black-Scholes-Merton model in de theorie en de praktijk 1 The Midas Formula Een onderzoek naar het Black-Scholes-Merton model in de theorie en de praktijk. Profielwerkstuk

Nadere informatie

Wat u moet weten over beleggen

Wat u moet weten over beleggen Rabo BedrijvenPensioen Wat u moet weten over beleggen Beleggen voor het Rabo BedrijvenPensioen Uw werkgever betaalt pensioenpremies voor het Rabo BedrijvenPensioen. In deze brochure leest u hoe we deze

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: Logaritmen en getal e 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Opties: Kansen benutten, risico s begrenzen

Opties: Kansen benutten, risico s begrenzen Opties: Kansen benutten, risico s begrenzen Euronext, de nieuwe pan-europese beurs, komt voort uit de fusie tussen de beurzen van Amsterdam, Brussel en Parijs. Handelen op Euronext is snel en goedkoop.

Nadere informatie

AEX-Sparen: sparen en beleggen in één (AEX-Sparen: a combination of saving and investing)

AEX-Sparen: sparen en beleggen in één (AEX-Sparen: a combination of saving and investing) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics AEX-Sparen: sparen en beleggen in één (AEX-Sparen: a combination of saving and investing)

Nadere informatie

Strategieën met Opties

Strategieën met Opties Strategieën met Opties Euronext, de nieuwe pan-europese beurs, komt voort uit de fusie tussen de beurzen van Amsterdam, Brussel en Parijs. Handelen op Euronext is snel en goedkoop. Bovendien heeft u binnenkort

Nadere informatie

LYNX Masterclass: Opties handelen: handelsstrategieën deel 3. Tycho Schaaf 5 november 2015

LYNX Masterclass: Opties handelen: handelsstrategieën deel 3. Tycho Schaaf 5 november 2015 LYNX Masterclass: Opties handelen: handelsstrategieën deel 3 Tycho Schaaf 5 november 2015 Introductie Tycho Schaaf, beleggingsspecialist bij online broker LYNX Werkzaam bij LYNX vanaf 2007 Handelservaring

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Breuksplitsen WISNET-HBO NHL. update juli 20014

Breuksplitsen WISNET-HBO NHL. update juli 20014 Breuksplitsen WISNET-HBO NHL update juli 20014 1 Inleiding Bij sommige opleidingen is het belangrijk dat er enige vaardigheid ontwikkeld wordt om grote breuken te manipuleren en om te zetten in een aantal

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1,2 Compex. Vragen 11 tot en met 17. In dit deel van het examen staan de vragen waarbij de computer wel wordt gebruikt.

Examen VWO. wiskunde A1,2 Compex. Vragen 11 tot en met 17. In dit deel van het examen staan de vragen waarbij de computer wel wordt gebruikt. Examen VWO 2008 tijdvak 1 maandag 19 mei totale examentijd 3 uur wiskunde A1,2 Compex Vragen 11 tot en met 17 In dit deel van het examen staan de vragen waarbij de computer wel wordt gebruikt. Bij dit

Nadere informatie

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 3

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 3 1 INLEIDING 1 Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 3 Volg stap voor stap de tekst en los de vragen op. Bedoeling is dat je op het einde van de rit een verzorgd verslag afgeeft

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

Optie waardering: In vergelijking met

Optie waardering: In vergelijking met Black-Scholes model Optie waardering: In vergelijking met Neurale Netwerken Erasmus Universiteit Rotterdam Sectie Economie Bachelorthesis Door Randy van Hoek 66789 Onder begeleiding van dr. ir. J. van

Nadere informatie

Welkom bij de coachingclub! 3 mei 2012

Welkom bij de coachingclub! 3 mei 2012 Welkom bij de coachingclub! 3 mei 2012 CalendarSpreads Calendarspreads Calendarspreads zijn meestal non-directioneel. U wil dat de onderliggende waarde binnen een trading range blijft gedurende de volgende

Nadere informatie

Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 2

Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 2 Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 2 2.4.1 Basis Verhoudingen 1 13 cm : 390 km, dat is 13 cm : 390.000 m. Dat komt overeen met 13 cm : 39.000.000 cm en dat is te vereenvoudigen tot 1 : 3.000.000. 2 De schaal

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde A1,2

Examen HAVO. Wiskunde A1,2 Wiskunde A1,2 Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei 13.30 16.30 uur 20 00 Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen VWO Wiskunde C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek I Tjing Opgave 1. Het aantal hoofdstukken in de I Tjing correspondeert met het totale aantal

Nadere informatie

Beleggings- en Portefeuilletheorie Tentamen 14 januari 2004 Met oplossingen

Beleggings- en Portefeuilletheorie Tentamen 14 januari 2004 Met oplossingen Beleggings- en Portefeuilletheorie 14 januari 2004 1 Beleggings- en Portefeuilletheorie Tentamen 14 januari 2004 Met oplossingen 1. Een markt heeft uitsluitend risicoaverse beleggers met mean/variance

Nadere informatie

Hedging strategies. Opties ADVANCED. Een onderneming van de KBC-groep

Hedging strategies. Opties ADVANCED. Een onderneming van de KBC-groep Hedging strategies Opties p. 2 Index 1. Hedging met opties 3 2. Hedging met put opties 4 3. Hedgen met valutaopties 6 Drie valutaoptiecontracten 6 p. 3 Hedging met opties Hedging komt van het Engelse to

Nadere informatie

Workshop Sparen of beleggen? Karel Mercx en Hildo Laman Redacteuren Beleggers Belangen

Workshop Sparen of beleggen? Karel Mercx en Hildo Laman Redacteuren Beleggers Belangen Workshop Sparen of beleggen? Karel Mercx en Hildo Laman Redacteuren Beleggers Belangen Voorstellen Karel Mercx Hildo Laman Begonnen in de internetzeepbel Begonnen in de optiehandel Programma Voor & nadelen

Nadere informatie

Trade van de week. Welcome to. Africa

Trade van de week. Welcome to. Africa Trade van de week Welcome to Africa We versturen nu al een tijdje wekelijks de Trade van de Week. Een Trade van de Week hoeft in absolute termen niet de grootste winst op te leveren. Een kleine investering

Nadere informatie

Samenvatting. Analyses. Kostendekkende premie

Samenvatting. Analyses. Kostendekkende premie Samenvatting Op 14 juli 2015 heeft DNB aangekondigd dat zij de berekeningsmethodiek van de Ultimate Forward Rate (UFR), welke onderdeel vormt van de rekenrente waarmee pensioenfondsen hun verplichtingen

Nadere informatie

"Opties in een vogelvlucht"

Opties in een vogelvlucht "Opties in een vogelvlucht" Presentatie voor het NCD November 2010 Ton Ruitenburg Senior Officer Retail Relations Amsterdam Opties en hun gebruikers Doel van deze presentatie is u een eerste indruk te

Nadere informatie

Informatie betreffende NYSE Liffe

Informatie betreffende NYSE Liffe LESBRIEF OPTIES Informatie betreffende NYSE Liffe NYSE Liffe is de merknaam van de derivatenmarkt van Euronext een dochteronderneming van NYSE Euronext bestaande uit de derivatenmarkten in Amsterdam, Brussel,

Nadere informatie

Een model voor een lift

Een model voor een lift Een model voor een lift 2 de Leergang Wiskunde schooljaar 213/14 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Inleiding... 5 Model 1, oriëntatie... 7 Model 1... 9 Model 2, oriëntatie... 11 Model 2... 13

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde A (oude stijl)

Examen VWO. Wiskunde A (oude stijl) Wiskunde A (oude stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 27 mei 13.3 16.3 uur 2 3 Voor dit examen zijn maximaal 9 punten te behalen; het examen bestaat uit 2 vragen.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1

Examen VWO. wiskunde A1 wiskunde A1 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 25 mei 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen; het examen bestaat uit 21 vragen. Voor

Nadere informatie

Putoptie. 1Productinformatie!

Putoptie. 1Productinformatie! Putoptie 1Productinformatie! Een valutatransactie is een overeenkomst tussen twee partijen om een afgesproken hoeveelheid van één valuta te ruilen tegen een afgesproken hoeveelheid van één andere valuta.

Nadere informatie

Van Stuiver tot Miljardair

Van Stuiver tot Miljardair Van Stuiver tot Miljardair Ondernemend Beleggen pt 2 Rob Stuiver & Tycho Schaaf 26 november 2015 Sprekers Rob Stuiver RBA Tycho Schaaf Ondernemend belegger Beleggingsspecialist bij LYNX Masterclass Archief

Nadere informatie

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE 1 DOEL VAN REGRESSIE ANALYSE De relatie te bestuderen tussen een response variabele en een verzameling verklarende variabelen 1. LINEAIRE REGRESSIE Veronderstel dat gegevens

Nadere informatie

European Forward Extra

European Forward Extra European Forward Extra 1Productinformatie! Een valutatransactie is een overeenkomst tussen twee partijen om een afgesproken hoeveelheid van één valuta te ruilen tegen een afgesproken hoeveelheid van één

Nadere informatie

Cylinder. 1Productinformatie!

Cylinder. 1Productinformatie! Cylinder 1Productinformatie! Een valutatransactie is een overeenkomst tussen twee partijen om een afgesproken hoeveelheid van één valuta te ruilen tegen een afgesproken hoeveelheid van één andere valuta.

Nadere informatie

Participating Forward

Participating Forward Participating Forward 1Productinformatie! Een valutatransactie is een overeenkomst tussen twee partijen om een afgesproken hoeveelheid van één valuta te ruilen tegen een afgesproken hoeveelheid van één

Nadere informatie

1 Inleiding in Functioneel Programmeren

1 Inleiding in Functioneel Programmeren 1 Inleiding in Functioneel Programmeren door Elroy Jumpertz 1.1 Inleiding Aangezien Informatica een populaire minor is voor wiskundestudenten, leek het mij nuttig om een stukje te schrijven over een onderwerp

Nadere informatie

Bericht opties en futures

Bericht opties en futures Bericht opties en futures Bericht opties en futures 1. Wat zijn opties en futures?...2 2. Beschrijving van opties...2 3. De contractspecificaties...3 4. Doelstellingen van de optiebelegger...4 5. Het kopen

Nadere informatie

I. Vraag en aanbod. Grafisch denken over micro-economische onderwerpen 1 / 6. fig. 1a. fig. 1c. fig. 1b P 4 P 1 P 2 P 3. Q a Q 1 Q 2.

I. Vraag en aanbod. Grafisch denken over micro-economische onderwerpen 1 / 6. fig. 1a. fig. 1c. fig. 1b P 4 P 1 P 2 P 3. Q a Q 1 Q 2. 1 / 6 I. Vraag en aanbod 1 2 fig. 1a 1 2 fig. 1b 4 4 e fig. 1c f _hoog _evenwicht _laag Q 1 Q 2 Qv Figuur 1 laat een collectieve vraaglijn zien. Een punt op de lijn geeft een bepaalde combinatie van de

Nadere informatie

3 oefenopgaven lorenzcurve pagina 1 van 4

3 oefenopgaven lorenzcurve pagina 1 van 4 3 oefenopgaven lorenzcurve pagina 1 van 4 Inleiding Abstracte beschrijving Een lorenzcurve geeft aan hoe meetwaarde y is verdeeld over de populatie x. Een lorenzcurve loopt van (x, y) = (, ) tot (1, 1).

Nadere informatie

Kenmerken financiële instrumenten en risico s

Kenmerken financiële instrumenten en risico s Kenmerken financiële instrumenten en risico s Inleiding Aan alle vormen van beleggen zijn risico s verbonden. De risico s zijn afhankelijk van de belegging. Een belegging kan in meer of mindere mate speculatief

Nadere informatie

De financiële situatie van Pensioenfonds UWV vanaf 31 augustus 2014

De financiële situatie van Pensioenfonds UWV vanaf 31 augustus 2014 De financiële situatie van Pensioenfonds UWV vanaf 31 ustus 2014 Op 31 ustus 2014 liep het kortetermijnherstelplan van Pensioenfonds UWV af. Tegen de verwachting in heeft het pensioenfonds de pensioenen

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen HAV 0 tijdvak woensdag 0 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage.. Dit eamen bestaat uit 0 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Europese Callopties. Arald de Wilde. ardwilde@cs.vu.nl. BWI-werkstuk

Europese Callopties. Arald de Wilde. ardwilde@cs.vu.nl. BWI-werkstuk Europese Callopties Arald de Wilde ardwilde@cs.vu.nl BWI-werkstuk Vrije Universiteit Faculteit der Exacte Wetenschappen Bedrijfswiskunde en Informatica De Boelelaan 1081a 1081 HV Amsterdam Juli 2006 Voorwoord

Nadere informatie

Normering en schaallengte

Normering en schaallengte Bron: www.citogroep.nl Welk cijfer krijg ik met mijn score? Als je weet welke score je ongeveer hebt gehaald, weet je nog niet welk cijfer je hebt. Voor het merendeel van de scores wordt het cijfer bepaald

Nadere informatie

Bijlage 1 Toelichting kwantitatieve analyse ACM van de loterijmarkt

Bijlage 1 Toelichting kwantitatieve analyse ACM van de loterijmarkt Bijlage 1 Toelichting kwantitatieve analyse ACM van de loterijmarkt 1 Aanpak analyse van de loterijmarkt 1. In het kader van de voorgenomen fusie tussen SENS (o.a. Staatsloterij en Miljoenenspel) en SNS

Nadere informatie

Hoofdstuk 26: Modelleren in Excel

Hoofdstuk 26: Modelleren in Excel Hoofdstuk 26: Modelleren in Excel 26.0 Inleiding In dit hoofdstuk leer je een aantal technieken die je kunnen helpen bij het voorbereiden van bedrijfsmodellen in Excel (zie hoofdstuk 25 voor wat bedoeld

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1,2. tijdvak 1 maandag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde A1,2. tijdvak 1 maandag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2009 tijdvak 1 maandag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde A1,2 Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 20 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

15 feb : Waarom puts kopen?

15 feb : Waarom puts kopen? Welkom bij de starters coachingclub! 15 feb : Waarom puts kopen? Vragen? Mail naar training@cashflowopties.com CBOE @ Chicago last week WM Waste Management Waste Management reports earnings on Feb. 14,

Nadere informatie

voor uw Short Strangle Optiestrategie Hoog rendement bij neutrale markten

voor uw Short Strangle Optiestrategie Hoog rendement bij neutrale markten 7 De Tips voor uw Short Strangle Optiestrategie Hoog rendement bij neutrale markten Colofon Copyright 2013 FINODEX B.V. De 7 Tips voor uw Short Strangle Optiestrategie Hoog rendement bij neutrale markten.

Nadere informatie

Het opstellen van een lineaire formule.

Het opstellen van een lineaire formule. Het opstellen van een lineaire formule. Gegeven is onderstaande lineaire grafiek (lijn b). Van deze grafiek willen wij de lineaire formule weten. Met deze formule kunnen we gaan rekenen. Je kan geen lineaire

Nadere informatie

Wat is een optie waard?

Wat is een optie waard? Hoofdstuk III Wat is een optie waard? Herold Dehling 1. Inleiding In het najaar van 1997 werd de Nobelprijs voor Economie uitgereikt aan de Amerikaanse hoogleraren Robert C. Merton en Myron S. Scholes

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 18 juni 13.3 16.3 uur 2 3 Voor dit examen zijn maximaal zijn 88 punten te behalen; het examen bestaat

Nadere informatie

voor uw Covered Call Optiestrategie Extra inkomen op aandelen. Elke maand.

voor uw Covered Call Optiestrategie Extra inkomen op aandelen. Elke maand. 7 De Tips voor uw Covered Call Optiestrategie Extra inkomen op aandelen. Elke maand. Colofon Copyright 2013 FINODEX B.V. De 7 Tips voor uw Covered Call Optiestrategie Extra inkomen op aandelen. Elke maand.

Nadere informatie

Informatiebrochure opties

Informatiebrochure opties Informatiebrochure opties Inleiding In deze brochure wordt bondig de werking van opties toegelicht en wordt er stilgestaan bij de mogelijke risico s die verbonden zijn aan het handelen in opties. Het lexicon

Nadere informatie

De mate waarin de gevraagde hoeveelheid van een product(qv) gevoelig is voor een verandering van de prijs van het product (p).

De mate waarin de gevraagde hoeveelheid van een product(qv) gevoelig is voor een verandering van de prijs van het product (p). 1. Prijselasticiteit van de vraag De mate waarin de gevraagde hoeveelheid van een product(qv) gevoelig is voor een verandering van de prijs van het product (p). %-verandering gevraagde hoeveelheid (gevolg)

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen.

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

LYNX BELEGGERSDEBAT 2015

LYNX BELEGGERSDEBAT 2015 LYNX BELEGGERSDEBAT 2015 Lynx Beleggersdebat 2015 BELEGGERSDEBAT 2015 V.l.n.r.: Lukas Daalder, Jim Tehupuring, Janneke Willemse, André Brouwers en Karel Mercx -86,44% Resultaten tips beleggersdebat 2014

Nadere informatie

Dagboek Alpha European Select Fund d.d. 12-9-2011.

Dagboek Alpha European Select Fund d.d. 12-9-2011. Dagboek Alpha European Select Fund d.d. 12-9-2011. Ik durf het hardop te zeggen: Griekenland gaat failliet en verlaat de Eurozone. Tijd 08:10 uur. Met de S&P 500 futures rond 1145 en dus weer een 12,50

Nadere informatie

VOC Beleggen Verdubbelen met opties en conservatives

VOC Beleggen Verdubbelen met opties en conservatives VOC Beleggen Verdubbelen met opties en conservatives Rob Stuiver & Tycho Schaaf 12 mei 2016 Sprekers Rob Stuiver RBA Tycho Schaaf Ondernemend belegger Beleggingsspecialist bij LYNX Inhoud van vandaag Herhaling

Nadere informatie