Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics

Transcriptie

1 Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Discounters: Risicovol of Risicoloos? (Engelse titel: Discounters: Riskful or riskless?) Verslag ten behoeve van het Delft Institute for Applied Mathematics als onderdeel ter verkrijging van de graad van BACHELOR OF SCIENCE in TECHNISCHE WISKUNDE door Harold Sebastiaan Selman Delft, Nederland Mei 2011 Copyright c 2011 door Harold Sebastiaan Selman. Alle rechten voorbehouden.

2

3 BSc verslag TECHNISCHE WISKUNDE Discounters: Risicovol of risicoloos? (Engelse titel: Discounters: Riskful or riskless? ) Harold Sebastiaan Selman Technische Universiteit Delft Begeleider Dr. J.A.M. van der Weide Overige commissieleden Dr. G.F. Ridderbos Dr. J.A.M. de Groot Mei, 2011 Delft

4

5 Discounters: Risicovol of risicoloos? Riskful or riskless? Harold Selman ( ) 9 augustus 2011

6 Inhoudsopgave 1 Inleiding 7 2 Wat willen we onderzoeken? Onderzoeksvragen Conclusie Discounter Verschil met aandeel Discounter zelf maken Hedgen Risico Discounters Wat is een Discounter? Waarom wil je een Discounter? Voorbeeld Korting Extra kosten Risico s en nadelen Zelf maken Opties Strategie Model Aannames AEX Discounter AEX Index AEX Mini Dividend Certificaat Data van Vergelijken Testen Kolmogorov-Smirnov test Jarque-Bera test Autocorrelatie Durbin-Watson test Ljung-Box test Black-Scholes PDE Call-optie Volatiliteit Wiener proces

7 10 Risico Historische volatiliteit Impliciete volatiliteit Discounter Discussie Bibliografie Appendix AEX-index data AEX Mini Dividend Certificaat MATLAB

8 1 Inleiding In de financiële sector zijn er telkens weer nieuwe ontwikkelingen. Het is een gebied dat nooit stilstaat. Ook de wiskunde daarachter niet. Steeds worden er nieuwe dingen bedacht en op de markt gebracht. In dit artikel gaan we een nieuw product bekijken en analyseren. Daarbij komen we de (bekende) Black-Scholes formule tegen. Waarom ik dit project heb gekozen? Ik werd geprikkeld door nieuwsgierigheid. Financiële wiskunde, wat is dat? Dat is een van de redenen om voor dit onderwerp te kiezen. Ik had nog geen ervaring met financiële wiskunde, dus ik moest wel bij het begin beginnen. Dus ik ben eerst gaan lezen over alle basis principes van de financiële wiskunde en de financiële markt. Onderdeel van die basiskennis is dat banken handelen in aandelen en in opties. Om hierbij zeker te zijn van winst of geen verlies, berekent de bank van tevoren de prijs die de klant moet betalen. Om te voorkomen dat de bank verlies maakt in plaats van winst, zal de bank hedgen. Deze techniek is eigenlijk een strategie waarmee de bank er voor zorgt dat genoeg geld heeft om haar betalingsverplichtingen na te komen. Anders geformuleerd, bij hedgen zorgt de bank dat zij ten alle tijden genoeg geld heeft om haar verplichting te kunnen voldoen. Dit doet de bank zonder er opnieuw geld in te steken. In het geval van statisch hedgen zal de bank eenmaal, aan het begin van de looptijd, een potje maken waarin genoeg geld dan wel aandelen zit, om aan het einde van de looptijd voldoende geld en aandelen te hebben. In de praktijk kun je niet weten wat de aandelenmarkt gaat doen, dus kun je niet zeggen hoeveel aandelen en geld je apart moet zetten. Daar moet de bank een dynamische hedge gebruiken, waarbij ze het aantal aandelen en de hoeveelheid geld tussendoor veranderen. Als ze een nieuw product op de markt brengen, dan zal de bank zeker goed nagedacht hebben over de hedgestrategie die ze gaan gebruiken. Dan komen we tot de kern van mijn project. Niet zolang geleden heeft de RBS, Royal Bank of Scotland, de Discounter op de markt gebracht. Dit is een product waarin je kunt beleggen. Beleggers kunnen een aandeel kopen met korting onder bepaalde voorwaarden. Wat zijn de voorwaarden? Voor wie is dit nieuwe product bedoeld en geschikt? Daarnaast is de belegger in staat om het idee van de Discounter na te bootsen met behulp van opties. Wat zijn de verschillen met de echte Discounter? De Discounter is een kanten-klaar product. Het is dus zeker een gemakkelijke keuze. Maar wat valt er daarnaast over te zeggen. Wat is het risico van beide beleggingsstrategiën? Tot slot wil ik nogmaals aanstippen dat dit project mijn eerste ervaring is met financiële wiskunde. Voordat ik met de kern van het project kon beginnen, heb ik me verdiept in de wereld van de financiële wiskunde. Daarnaast heb ik aannames van het model wat ik heb gebruikt, getest voor de data die ik heb gebruikt. De statistiek, die mij geleerd is, heeft me geholpen om dit onderwerp goed onder de knie te krijgen. 7

9 2 Wat willen we onderzoeken? 2.1 Onderzoeksvragen Wat is de Discounter? Wat is het verschil tussen een aandeel en een Discounter? Je kunt de Discounter ook zelf maken. Hoe? Kun je hem er echt op laten lijken? Wat zijn de verschillen of overeenkomsten? Voordelen / nadelen? Hoe hedget de bank de Discounter? Wat is het risico van de Discounter? En ten op zichtte van de zelf gemaakte Discounter? 8

10 3 Conclusie 3.1 Wat is een Discounter? De Discounter is simpel gezegd een aandeel met korting. De bank biedt je de mogelijkheid om een aandeel te kopen met korting, tegen bepaalde voorwaarden. Je spreekt met de bank af dat je niet meer kunt verdienen dan het plafond, wat gelijk is aan de koers op het tijdstip van aankoop. Hierdoor krijg je geen dividend uitgekeerd, want daar haalt de bank geld vandaan om je korting te geven. Lees hierover meer in Sectie Wat is het verschil tussen een aandeel en een Discounter? We bekijken het verschil tussen een aandeel en de bijbehorende Discounter. Wat is nu precies dit verschil? Hieronder een overzicht van de verschillen. Als je een aandeel koopt, mag jij bepalen wanneer je het aandeel weer verkoopt. Bij de Discounter heb je een vaste looptijd. Waarom zou je er dan voor kiezen om een Discounter te kopen? Een Discounter kopen is een goed alternatief voor het kopen van een aandeel, wanneer de koers van het aandeel aan het einde van de looptijd niet te veel is gestegen. Bij kleine koersstijgingen maak je namelijk meer rendement met een Discounter. Ook wanneer de koers is gedaald, heb je een voordeel aan de Discounter. In dat geval heeft je korting tot gevolg dat je minder verlies hebt gemaakt. Bij een aandeel krijg je dividend uitgekeerd. Dit is een winstpremie die aandeelhouders krijgen omdat het goed gaat met het bedrijf van het aandeel. De eigenaar van de Discounter krijgt geen dividend. De bank ontvangt dit en heeft op de verwachting van de dividenduitkering jouw korting gebaseerd. Als de dividenduitkering hoger is dan verwacht, dan loop je met een Discounter rendement mis. Het uitgebreide verhaal en een voorbeeld is te vinden in Hoofdstuk Discounter zelf maken: Hoe? Voordelen / nadelen? Een Discounter kun je prima zelf maken. Ook de RBS geeft dit aan op hun website. Dit is wat je moet doen: Je koopt een aandeel op het moment dat de looptijd van de Discounter start. Dan verkoop je gelijk een call-optie voor de prijs die gelijk is aan de korting die de Discounter heeft gegeven. Als je wilt weten waarom deze twee stappen hetzelfde zijn als een Discounter kopen, lees dan mijn uitleg in Hoofdstuk 5. 9

11 3.4 Hoe hedget de bank de Discounter? De bank hedget alle producten die ze verkopen. Dat wil zeggen dat ze ervoor zorgen dat ze geen verlies maken. Bijvoorbeeld berekent de bank hoeveel ze moeten vragen voor de Discounter zodat ze uit de kosten zijn. Daarvoor moet je waarde van een product weten op tijdstip t = 0. In Hoofdstuk 9 kun je lezen over de Black-Scholes PDE. Dat hoofdstuk ligt ten grondslag aan het antwoord op deze onderzoeksvraag. Via de Black-Scholes formule kunnen we een formule C(S, t) vinden voor de waarde van een Europese call-optie, bij een bepaalde koers S op een tijdstip t. Omdat we weten dat we met een call-optie de Discounter kunnen nabootsen, kunnen we deze uitdrukking C(S, t) gebruiken om de waarde van de Discounter te bepalen op tijdstip t = 0. We zagen dat we de prijs van de optie, C(S, t), gelijk moesten nemen aan de korting voor de Discounter. Dan krijgen we hetzelfde product. Zo bepalen we de waarde van de Discounter op t = 0, net zoals de bank doet. 3.5 Wat is het risico van de Discounter? Het antwoord op deze vraag is niet geworden wat ik me ervan had voorgesteld. Ik had gehoopt om te kunnen zeggen of het risico hoog of laag was. Ik dacht dat ik de belegger advies kon geven over de AEX Discounter. Maar ik ben er achter gekomen dat de keuzes die ik maak met mijn parameters, van grote invloed zijn op de uitkomst. Wat ik de belegger kan adviseren, is het volgende. Wanneer een product niet veel van koers verandert, is het voordelig om een Discounter te nemen in plaats van het product zelf. De uitgebreide discussie is te vinden in Hoofdstuk 10. Het zelf maken van een Discounter brengt voor- en nadelen met zich mee. Je ontvangt wel dividend bij een aandeel en bij een Discounter niet. Je kunt zelf de looptijd bepalen, maar je moet tweemaal transactiekosten betalen. Daarom adviseer ik de beginnende belegger om voor de Discounter te gaan, of anders voor het aandeel zelf. Het zelf maken van de Discounter is niet moeilijk, maar een Discounter is zoveel gemakkelijker. Ik heb de keuze gemaakt om te kijken naar de AEX Discounter die pas op de markt is sinds maart Omdat er dus niet zoveel gebeurd is in 2011 met de Discounter, heb ik gekozen om te kijken naar de koersen van Hiervoor heb ik aannames gemaakt om ons model te kunnen toepassen. Het model neemt aan dat de logaritmische verschillen van de koersen normaal verdeeld zijn, maar dat zijn ze niet. Hierover lees je meer in Sectie 8. Daarnaast zijn de schattingen voor de volatiliteit nogal verschillend. Achteraf gezien had ik waarschijnlijk een beter antwoord kunnen geven op deze vraag als ik voor een Discounter had gekozen die al langere tijd op de markt is. Lees hier meer over in Sectie 9.2. In Hoofdstuk 10 ga ik in op de prijs van de Discounter en het risico. 10

12 4 Discounters 4.1 Wat is een Discounter? Een Discounter zou je kunnen omschrijven als een aandeel met korting. Hierbij is de maximale uitkering aan het einde van de looptijd van tevoren beperkt. Je koopt een aandeel voor een lagere prijs dan hij op dat moment waard is. Je spreekt dan een looptijd af en een plafond. In Figuur 1 zie je hoe dit er uitziet. De waarde van een aandeel geven we aan met de letter S. Meestal zien we dit als een functie van de tijd, ofwel S(t). Figuur 1: Plaatje van de Discounter Het plafond is de maximale uitkering van de Discounter die de bank doet aan het einde van de looptijd. Je krijgt aan het einde van de looptijd de marktwaarde van het aandeel op dat moment uitbetaald, maar nooit meer dan het afgesproken plafond. Als je de kleine lettertjes goed leest, dan zie je dat wanneer de beurskoers boven het plafond is uitgestegen, je het plafond contant krijgt uitbetaald. Als de koers onder het plafond is, dan krijg je per Discounter een aandeel van de bank. Dit laatste wordt het koersrisico genoemd. Meer uitleg hierover volgt in Sectie Waarom wil je een Discounter? Waarom zou je geïnteresseerd zijn in een Discounter? Een Discounter is een goed alternatief voor het kopen van een gewoon aandeel, wanneer de marktwaarde van een aandeel 11

13 stabiel is. Als je verwacht dat de komende drie of zes maanden de koers gelijk blijft, dan zou je kunnen overwegen een Discounter aan te schaffen. Dit komt doordat bij kleine stijgingen in de marktwaarde, je winst groter is dan bij een aandeel. Daarnaast heb je minder verlies bij de Discounter dan bij het aandeel, omdat je minder hebt betaald in het begin. Wat vervelend is, is dat de marktwaarde van het aandeel boven het plafond uit kan stijgen, waardoor je een stuk rendement misloopt. Rendement is de relatieve winst die de belegger of een bedrijf heeft. Winst in euro s is bijvoorbeeld lastig te vergelijken met winst in dollars als je de wisselkoers niet weet. Je kunt dan wel kijken hoeveel procent die winst is ten opzichte van het startkapitaal. Dit percentage noemen we rendement. 4.3 Voorbeeld We kunnen de werking van de Discounter het beste uitleggen met behulp van een voorbeeld. Neem in gedachten een aandeel dat 25 euro per stuk waard is op dit moment, t = 0. Dan spreken we af dat we over drie maanden kijken naar de waarde. Het plafond is hetzelfde als de prijs op t = 0, dat wil zeggen 25 euro. Je koopt de Discounter op dit aandeel voor 24 euro, dat is 4% korting. Merk op dat we voor de berekeningen van het rendement de volgende formule gebruiken: Stel dat... rendement = winst in euro s aankoopprijs 100% 1....de koers van het aandeel gelijk blijft aan 25 euro. Het aandeel is dan 25 euro waard. Dan ontvang je op de einddatum 25 euro in contanten retour. Rendement van de Discounter is dan 4, 17%. Rendement van het aandeel is dan 0, 00% de koers van het aandeel licht daalt, dat wil zeggen met 1,50 euro. Het aandeel is dan 23,50 euro waard. Dan ontvang je op de einddatum een aandeel dat 23,50 euro waard is. Rendement van de Discounter is dan 2, 08%. Rendement van het aandeel is dan 6, 00% de koers van het aandeel sterk daalt, dat wil zeggen met 4 euro. Het aandeel is dan 21 euro waard. Dan ontvang je op de einddatum een aandeel die 21 euro waard is. Rendement van de Discounter is dan 12, 50%. Rendement van het aandeel is dan 16, 00% de koers van het aandeel licht stijgt, dat wil zeggen met 1,50 euro. Het aandeel is dan 26,50 euro waard. Dan ontvang je op de einddatum 25 euro in contanten retour, omdat je niet meer dan het plafond uitgekeerd krijgt. Rendement van de Discounter is dan 4, 17%. Rendement van het aandeel is dan 6, 00%. 12

14 5....de koers van het aandeel sterk stijgt, dat wil zeggen met 4 euro. Het aandeel is dan 29 euro waard. Dan ontvang je op de einddatum 25 euro in contanten retour, omdat je niet meer dan het plafond uitgekeerd krijgt. Rendement van de Discounter is dan 4, 17%. Rendement van het aandeel is dan 16, 00%. 4.4 Korting Hoe bepaalt de RBS de korting die het geeft voor een bepaalde Discounter? Dat hangt af van een aantal factoren. Wanneer je kiest om een Discounter met een langere looptijd te nemen, zal de korting hoger zijn. Daarnaast is de korting hoger naarmate de bewegelijkheid van het aandeel hoger is. Ten slotte wordt in de korting verwerkt het dividend wat het onderliggende aandeel oplevert. Wanneer je een Discounter neemt krijg je niet het dividend uitgekeerd van het onderliggende aandeel. Als er een dividenduitkering van het onderliggende aandeel wordt verwacht gedurende de looptijd van jouw Discounter, dan zal de korting daardoor hoger worden. Hoe hoger de verwachte dividenduitkering is, des te hoger de korting. Alleen wanneer de dividenduitkering hoger uitvalt dan verwacht, dan zul je daar niet van mee profiteren als eigenaar van de Discounter. 4.5 Extra kosten Met welke kosten moet je rekening houden wanneer je een Discounter koopt? Allereerst koop je de Discounter bij je eigen bank. Jouw bank berekent de kosten en vergoedingen voor het verlenen van die dienst. Deze kosten variëren per bank. Daarnaast is er een gedeelte dat je moet afdragen aan de Belastingdienst. Die kosten zijn afhankelijk van de grootte van je belegging. Ten slotte zit in de prijs van de Discounter kosten verrekend die de RBS wil vangen. Deze kosten noemt de RBS de beheerkosten en de spread. De beheerkosten zijn verwerkt in uitgiftekoers van de Discounter. Deze beheerkosten bedragen 2% op jaarbasis en hangen daarmee af van de prijs van de Discounter. Onder andere gebruikt de RBS de beheerkosten om te verdelen over de aanbieders, juridische en administratieve kosten en nog een aantal partijen. Daarnaast betaal je de bid-ask spread, het verschil tussen de bied- en laatprijs. De biedprijs is de prijs die iemand wil hebben voor een aandeel. De laatprijs is de prijs waarvoor iemand zijn aandeel zou verkopen. De bid-ask spread heeft te maken met de liquiditeit van de markt. In een markt die erg liquide is, wordt voor veel geld gehandeld. Dit heeft een lage bid-ask spread tot gevolg. De bid-ask spread betekent extra kosten voor de belegger. De spread is als transactiekosten verwerkt in de koers. Een lage bid-ask spread is dus voordeliger voor beleggers. 13

15 4.6 Risico s en nadelen Risico s Twee risico s die genoemd worden door de RBS zijn het kredietrisico en het koersrisico. Het kredietrisico wil zeggen dat in het geval dat het bedrijf, wiens aandelen ten grondslag liggen aan jouw Discounters, failliet gaat, jouw Discounter niet evenveel rechten geeft op terugbetaling als bij een aandeel. Het kan zijn dat je minder terugkrijgt dan dat het aandeel waard was. Het Nederlandse depositogarantiestelsel is niet van toepassing op Discounters, maar het Britse depositogarantiestelsel. Het koersrisico houdt in dat de waarde van een Discounter lager kan zijn dan de koers bij uitgifte. In dat geval kan een bedrijf er voor kiezen om niet contant, maar in aandelen uit te keren. De koersontwikkeling van een Discounter gedurende de looptijd is onder meer afhankelijk van de ontwikkeling van de koers van het onderliggende aandeel en de bewegelijkheid van het onderliggende aandeel. Als de koers lager is dan de koers bij uitgifte, is de kans groot dat de bank besluit om uit te betalen in aandelen Wat zijn de nadelen? Wanneer een aandeel sterk in waarde stijgt, is een Discounter geen aantrekkelijke keuze. Discounters zijn winstgevend in het geval dat de koers van het onderliggende aandeel niet al te veel stijgt. Beleggers die graag dividend krijgen van hun aandeel, moeten geen Discounter nemen. Dividend wordt bij een Discounter niet uitgekeerd. Dividend wordt verwerkt in de prijs van de Discounter. In paragraaf 4.4 over Korting heb ik dit al precies uitgelegd. Als de dividend even hoog is als de bank verwacht, dan heb je er met een Discounter weinig tot geen nadeel van. Tot slot geeft de RBS aan dat ze in grote getalen handelt in opties, waardoor er lage transactiekosten zijn wanneer je meer aandelen met hun verhandeld. Maar particuliere beleggers profiteren hier niet of nauwelijks van. Beleggers betalen 2% op jaarbasis. 5 Zelf maken De Discounter is niets meer dan een samenstelling van optiestrategieën. RBS brengt Discounters op de markt als een kant-en-klaarpakket. Het is mogelijk om zelf de Discounter na te bootsen wanneer je genoeg verstand hebt van call-opties. De basis van een Discounter is een veelgebruikte optieconstructie genaamd gedekt schrijven van call-opties op aandelen. Hier komen we op terug in Sectie 5.2. Nu eerst wat meer over opties. 14

16 5.1 Opties De bank verhandelt verschillende aandelen. Ook van andere markten en bedrijven. Op elk aandeel kun je een optie nemen. Maar wat is een optie precies? Je hebt twee soorten, call-opties en put-opties. Call-optie. Een call-optie geeft het recht om een aandeel te mogen kopen over een bepaalde looptijd T voor een bepaalde prijs E, de strike. Voor dit recht moet je geld betalen, de optieprijs. Je mag dus kiezen na de looptijd of je het aandeel wilt kopen voor de afgesproken prijs. Dit hoef je niet te doen, maar dan ben je wel het geld kwijt wat je voor de optie hebt betaald. Put-optie. Een put-optie geeft het recht om een aandeel te mogen verkopen over een bepaalde looptijd T voor een bepaalde prijs E, de strike. Voor dit recht heb je geld gekregen, de optieprijs. De koper van jouw put-optie mag dus kiezen na de looptijd of hij/zij het aandeel wilt kopen voor de afgesproken prijs. Dit hoeft hij/zij niet te doen, maar dan is diegene wel het geld kwijt dat hij/zij voor de optie heeft betaald Call-opties We zijn in dit project geïnteresseerd in call-opties. We gaan nu preciezer zijn over wat een call-optie inhoudt. Je kunt call-opties kopen of schrijven. Dit heeft er mee te maken of jij het recht koopt of verkoopt. Wie een call-optie koopt, krijgt daarmee het recht om het onderliggende aandeel te kopen voor strike E na tijd T. Voor dit recht betaald deze persoon een premie, die we de optieprijs noemen. Wie een call-optie schrijft, oftewel verkoopt, is verplicht om het onderliggende aandeel te verkopen voor strike E na tijd T aan de koper als die dat wil. Voor deze verplichting krijgt deze persoon de optieprijs. 5.2 Strategie We bekijken nu de strategie die overeenkomt met het kopen van een Discounter. De optieconstructie die hiervoor gebruikt wordt, heet gedekt schrijven van call-opties. Dit betekent dat je voor elke call-optie die je schrijft, je een aandeel in bezit hebt. Zo direct zul je zien dat dit het geval is. Je koopt een aandeel en verkoopt een call-optie met als einddatum dezelfde als die van de Discounter. Wanneer de prijs is gestegen, zal de koper van je optie het aandeel nemen. De winst die je als korting kreeg met de Discounter, krijg je nu als opbrengst van de optie. Waar je nog rekening mee moet houden, is dat je bij het zelf construeren van een Discounter je tweemaal transactiekosten moet betalen, in plaats van eenmaal. 15

17 Het voordeel van het zelf doen is dat je meer flexibiliteit hebt. Je kunt ook zelf meer variëren met de looptijd en/of de uitoefenprijs. Daarnaast betaal je geen beheerkosten aan de RBS voor de dienst van de Discounter. Nu gaan we laten zien dat een Discounter zelf maken echt hetzelfde is als de Discounter zelf. We gaan terug naar het voorbeeld van Sectie 4.3. We bekijken dus de Discounter die 24 euro kost terwijl het aandeel 25 euro kost op tijdstip t = 0. We kopen nu het aandeel van 25 euro. Dan verkopen we een call-optie op ons aandeel met dezelfde looptijd als de Discounter. De strike E = 25, gelijk aan het plafond en de koers op t = 0, en de optie kost 1 euro. De strike E is de prijs die de koper van de optie mag betalen aan het einde van de looptijd. Merk op dat we nu relatief gezien 24 euro hebben uitgegeven, net als de Discounter. Dan bekijken we nu het einde van de looptijd. Als de koers van het aandeel onder de 25 euro ligt, dan zal de koper van jouw optie het aandeel niet van je kopen. Dus je houdt het aandeel met een waarde van minder dan 25 euro. Bij de Discounter kreeg je onderliggende aandeel uitgereikt als de koers onder het plafond lag. In dat geval zijn de twee strategieën gelijk. Als de koers van het aandeel 25 euro is, dan maakt het niet uit of de koper van je optie de optie koopt. Je hebt in beide gevallen iets dat 25 euro waard is. Net als in het geval dat je een Discounter koopt. Als de koers van het aandeel boven de 25 euro ligt, dan koopt de koper van jouw optie het aandeel zeker voor 25 euro. Merk op dat je dan altijd maximaal 25 euro krijgt voor dat aandeel en dat je 24 euro hebt uitgegeven, dus dat je maximaal 1 euro winst kan maken. Net als bij de Discounter. Kortom wanneer we een Discounter willen nabootsen met behulp van een call-optie, dan zullen we de volgende dingen moeten doen. Je koopt een aandeel op het moment dat de looptijd van de Discounter start. Dan verkoop je gelijk een call-optie voor de prijs die gelijk is aan de korting die de Discounter heeft gegeven. Neem de strike E gelijk aan het plafond van de Discounter. 6 Model Uit de financiële wiskunde hebben we een model voor de prijsbeweging van een aandeel. Dit is: S(t) = S 0 e (µ 1 2 σ2 )t+σ tz (1) met Z N(0, 1). We beschouwen hier Z N(0, 1), maar je kunt ook W = tz N(0, t) bekijken. Dan is W een Wiener proces. Hierover zal ik meer vertellen in Sectie

18 Daarnaast hebben we het discrete model met met ξ i N(0, 1). S i+1 = S i e (µ 1 2 σ2 )(t i+1 t i )+σ t i+1 t i ξ i (2) Een verdeling zoals in ons model (1) wordt een lognormale verdeling genoemd. Omdat de logaritmen van S(t) normaal verdeeld zijn. 6.1 Aannames Bij dit model zit een lijstje met aannames. Alle aannames zijn terug te vinden in Bron [1]. We gaan nu kijken naar de aannames die voor ons van belang zijn. De logaritmen van de data zijn onderling onafhankelijk en normaal verdeeld. Deze twee aannames gaan we testen in Hoofdstuk 8. r is constant. De rente r verandert in de werkelijkheid. Wij nemen aan dat deze constant is voor de periode die we bekijken. Als we kortere looptijden bekijken, dan is dit model dus nauwkeuriger. σ is constant. De volatiliteit σ beweegt in werkelijkheid mee met de koers van het aandeel. Wij nemen aan dat deze constant is voor de periode die we bekijken. Als we kortere looptijden bekijken, dan is dit model dus nauwkeuriger. No arbitrage principle. We nemen aan dat je niet risicoloos winst kunt maken. Dat wil zeggen dat je meer verdient zonder risico dan je geld op de bank zetten tegen rente r. Dit principe gaan we gebruiken in Hoofdstuk 9 bij het bepalen van de Black-Scholes formule. 7 AEX Discounter We willen de AEX Discounter bekijken en op het onderliggende aandeel willen we ons model toepassen. Daarvoor bekijken we eerst wat de AEX is, Sectie 7.1, en welk aandeel ten grondslag ligt aan de AEX Discounter, Sectie 7.2. Dan bekijken we de datasets van 2010 die we hebben gevonden, Sectie 7.3, en bepalen we de parameters µ en σ uit ons model (1). Ten slotte kunnen we in dit hoofdstuk, in Sectie 8, de aannames van ons model testen. Volgend hoofdstuk dan gaan we verder met het model. Daaruit gaan we de Black-Scholes formule afleiden. Zie Hoofdstuk 9. 17

19 7.1 AEX Index AEX staat voor Amsterdam Exchange Index. Dit is de belangrijkste Nederlandse beursindex. Deze index geeft weer hoe het gaat met de 25 aandelen met het meeste kapitaal. Uit die koersen met behulp van gewichten, wordt de stand van de AEX-index berekend. Het bedrijf Euronext beheert de AEX. Elk fonds in de AEX heeft een eigen wegingsfactor. De werkelijke wegingsfactoren veranderen dagelijks door de verandering van de koersen, maar de factoren waar ze mee rekenen, veranderen tweemaal per jaar. Daarnaast verandert Euronext de wegingsfactoren als er een aandeel verdwijnt door overname of faillissement. De AEX-index berekenen je als volgt: Neem de som, van de koersen vermenigvuldigd met hun wegingsfactoren, deel door 100 en je krijgt de AEX-index. 7.2 AEX Mini Dividend Certificaat Sinds 1 maart 2011 heeft de RBS ook AEX Discounters op de markt gebracht. Het onderliggende product is dan het AEX Mini Dividend Certificaat. De informatie hiervoor heb ik gevonden in Bron [5] en [6]. Wat is dit product precies? Wat is een certificaat precies? Een certificaat is een product dat de koers van een ander product volgt. Nagenoeg volgt het certificaat het onderliggende product één-op-één. Het onderliggende product kan van alles zijn. Alle certificaten zijn verdeeld in diverse thema s: Ontwikkelde Markten, Grondstoffen, Eco Markets, Sectoren, Strategie, Opkomende Markten en Vastgoed. Zo kan een onderliggend product een aandeel, een index of een grondstof zijn. De looptijd van een certificaat is niet van tevoren bepaald. Jij koopt het certificaat en bepaalt zelf wanneer je dit certificaat verkoopt. Wij zijn geïnteresseerd in een certificaat gebaseerd op de AEX Index, het AEX Mini Dividend Certificaat. Er zijn nog een aantal andere varianten die gebaseerd zijn op de AEX index. Het certificaat waar we in zijn geïnteresseerd, is ongeveer een tiende waard van wat de AEX index waard is. Zo kunnen niet-professionele beleggers ook profiteren van de veranderingen van de AEX index. Het bijzondere aan het certificaat is dat er wel dividend wordt uitgekeerd, twee keer per jaar in contanten. Meestal krijg je alleen bij het originele aandeel dividend uitgekeerd. De AEX Discounter is gebaseerd op het AEX Mini Dividend Certificaat. Dit betekent dat de dividenduitkering die je twee keer zou krijgen met het AEX Mini Dividend Certificaat, zorgt voor de korting op je aandeel. In Figuur 2 vindt je de koers van het AEX Mini Dividend Certificaat gedurende Merk op dat we niet 365 koersdagen in het jaar hebben, maar minder omdat in het weekend de beurs dicht is. 18

20 7.3 Data van 2010 Figuur 2: Het AEX Mini Dividend Certificaat Ik heb koersen van de AEX-Index gevonden van het jaar Daarnaast heb ik de koersen van het AEX Mini Dividend Certificaat van het jaar 2010 opgezocht. Deze twee datasets heb ik vergeleken om de herkomst van het AEX Mini Dividend Certificaat te bepalen. Dit is te lezen in Sectie 7.4. We kijken nu naar het AEX Mini Dividend Certificaat in Merk op dat de AEX Discounter pas sinds maart 2011 op de markt is. We gaan dus net doen alsof deze Discounter al in 2010 bestond en dan wat zeggen over de Discounter. Nu gaan we de koersen van het AEX Mini Dividend Certificaat gebruikt om te kijken of de logaritmische verschillen van deze data trekkingen zijn uit de normale verdeling. De databestanden die ik heb gedownload, bevatte een datum en de waarde op het einde van die dag. Hoe die data er uitziet, is te lezen in de Appendix 13.1 en Van de dataset, van het AEX Mini Dividend Certificaat, heb ik toen een plotje gemaakt. Dit plotje heb ik vergeleken met de grafiek op de website van de RBS en deze twee kwamen overeen. Mijn plaatje is te zien in Figuur 3. We willen kijken of de log-ratio s normaal verdeeld zijn. Daarvoor moest ik de logaritmen van de data nemen en de verschillen uitrekenen. Daarna kon ik uit die data de parameters, µ en σ, uit ons model (1) schatten, er van uit gaande dat de data uit de normale verdeling komt. De momentenmethode en de maximum likelihood zeggen dat in het geval van een normale verdeling de parameters geschat kunnen worden door: 19

21 Figuur 3: De waarden van het AEX Mini Dividend Certificaat in het jaar 2010 ˆµ = X ˆσ 2 = 1 n (X i X) 2 n i=1 In de financiële wiskunde zijn we geïnteresseerd in de opbrengst. Dit wordt meestal gegeven als de rate of return. De rate of return op dag k wordt gegeven door R k = S(k + 1) S(k). S(k) Hierbij is S(t) de aandeelprijs op dag t. We kunnen dit schrijven tot R k = S(k + 1) S(k) 1. Dan schrijven we dit als 1 + R k = S(k + 1) S(k) (3) We verwachten dat de koers niet met sprongen verandert, dus S(k+1) S(k) 1 en dus R k 0. Als ik de logaritme neem van uitdrukking (3) krijgen we 20

22 S(k + 1) log (1 + R k ) = log S(k) = log S(k + 1) log S(k) Omdat R k 0 geldt log (1 + R k ) R k. Daarom gebruiken we dat R(t) D(t) = log S(t + 1) log S(t). (4) Merk op dat D(t) de logaritmische verschillen van onze data zijn. We gaan in het vervolg D(t) beschouwen als onze dataset. Figuur 4: Plaatje van de logaritmische verschillen. We kunnen dit weergeven in een plaatje, zie Figuur 4. Dan kunnen we van die data de parameters ˆµ en ˆσ schatten, omdat we denken dat die log-ratio s de normale verdeling volgen met parameters µ en σ. We vinden dat: ˆµ = ˆσ = Vervolgens schaal ik D(t) tot een standaard normale verdeling door de verwachting er af te halen en te delen door de standaardafwijking. Dan maak ik een histogram hiervan en daar doorheen plot ik de verdelingsfunctie van de standaard normale verdeling met de geschatte parameters, ˆµ en ˆσ zoals hierboven. Wat je dan krijgt is te zien in Figuur 5. 21

23 Figuur 5: Histogram met logratio s en normale verdeling met ˆµ en ˆσ Uit de literatuur blijkt dat deze data niet altijd normaal verdeeld is. Het zogeheten fattail behaviour treedt op. De staarten van de verdelingsfunctie met geschatte parameters zouden te vet zijn voor een normale verdeling. We zien dit ook terug in Hoofdstuk Vergelijken Ik heb de waarden van het AEX Mini Dividend Certificaat en de AEX Index van heel Deze twee datasets heb ik vergeleken. Als het goed is, zou het AEX Mini Dividend Certificaat de AEX Index bijna één-op-één moeten volgen. Het resultaat is te zien in 6 en 7. 8 Testen We willen dit model (1) gebruiken. Het model heeft echter wel een paar aannames gedaan. Er wordt van uitgegaan dat de logaritmische verschillen van S(t) normaal verdeeld en onderling onafhankelijk zijn. Deze twee aannames gaan we in de volgende secties testen. Allereerst kijken we naar de aanname dat de logaritmische verschillen normaal verdeeld zijn. Hiervoor gaan we de Kolmogorov-Smirnov test (Sectie 8.1) en de Jarque-Bera test (Sectie 8.2) gebruiken. Vervolgens kijken we naar de aanname dat de logaritmische verschillen onderling onafhankelijk zijn. We bekijken de autocorrelatie (Sectie 8.3) van de data, of deze autocorrelatie 22

24 Figuur 6: De AEX Index vergeleken met het AEX Mini Dividend Certificaat Figuur 7: Het verschil tussen de tiende van de AEX Index en certificaat 23

25 te gek is met behulp van de Durbin-Watson test (Sectie 8.4) en wat de Ljung-Box test vind van de afhankelijkheid van de data (Sectie 8.5). We willen wat gaan zeggen over de AEX Discounter, zie Hoofdstuk 7. Het onderliggende aandeel is het AEX Mini Dividend Certificaat, zie Sectie 7.2. Daarom kijken we naar de koersen van het AEX Mini Dividend Certificaat voor de testen. Daarnaast passen we de gebruikte testen toe op datasets, waarvan het resultaat bekend is. Zo test ik of ik de test goed heb geimplementeerd. De komende secties zijn als volgt ingedeeld. Eerst beschrijf ik de wiskundige achtergrond van de testen, dan pas ik de testen toe op onze datasets, zie Appendix 13.1 en 13.2, en ten slotte pas ik de test toe op een dataset waarvan we de uitkomst van de test al weten. 8.1 Kolmogorov-Smirnov test Wat is de Kolmogorov-Smirnov test? We gaan kijken naar de K-S test, de Kolmogorov-Smirnov test. Allereerst willen we de empirische verdelingsfunctie F n voor n i.i.d. datapunten X i weten. Deze is te vinden door: F n (x) = 1 n n I Xi x (5) i=1 waar I Xi x de indicatorfunctie is. Deze is gelijk aan 1 als X i x en gelijk aan 0 elders. Dan definiëren we de Kolmogorov-Smirnov steekproeffunctie als D n = sup F n (x) F (x). x We zijn op zoek naar de grootste afstand tussen F n (x) en F (x), dus D n. Hoe kleiner D n, des te beter zit F n (x) in de buurt bij F (x). De functie F (x) is de cumulatieve verdelingsfunctie die we testen onder de nulhypothese Toegepast op onze data Onze data uit Appendix 13.2 gebruiken we als startpunt. We bepalen de logaritmische verschillen en nemen dat als dataset X 1,..., X n. Merk op dat in ons geval n = 259, omdat we de koersen van het AEX Mini Dividend Certificaat hebben van 260 koersdagen. Dan nu het uitvoeren van de test. Allereerst moeten we F n (x) bepalen zodat we D n kunnen bepalen. Dit gaan we als volgt doen: We hebben onze data, X 1, X 2,..., X n. 24

26 We sorteren de data van klein naar groot, X (1), X (2),..., X (n). We maken een tijdschaal t beginnend 1 links van de kleinste en eindigend 1 rechts van de grootste, dus t [ X (1) 1, X (n) + 1 ]. We nemen ongeveer 4n stappen in dat interval, zodat we een mooie gladde grafiek krijgen. Voor elke i kijken we wanneer t > X(i) is en daarmee hebben we een boolean die 0 geeft voor t = X(i) en 1 na t = X(i). Merk op dat deze boolean hetzelfde effect heeft als de indicatorfunctie I Xi x uit Sectie We tellen als die booleans op en delen door n. Dan hebben we F n (x), zoals is de definitie bij (5). Tot slot plotten we deze F n (x) samen met de kromme van een standaard normaal verdeling. Het resultaat is te zien in figuur 8. Het MATLAB programma is te vinden in de Appendix Figuur 8: De empirische verdeling van onze data en de standaard normaal verdeling Wanneer mogen we aannemen dat X i trekkingen zijn uit de standaard normaalverdeling? Wanneer D n dicht bij nul zit dan ligt F n (x) overal dicht bij de standaard normaal kromme. Wij hebben n = 259 en krijgen D 259 = In MATLAB heb je een functie genaamd kstest. Deze test geeft terug of we de nulhypothese, dat de data uit de standaard normale verdeling komt, verwerpen. We kiezen voor 25

27 een verwerpingsniveau α = Dan krijgen we: h = 1 p = kstat = critval = Hieruit volgt dat deze data niet uit de standaard normale verdeling komt. De p-waarde uit de test ligt in de buurt van De standaard normale verdeling is een redelijk benadering van onze dataset, als je een verwerpingsniveau onder de ligt Testen normaal Om te kijken of we met dit programma het goede antwoord krijgen als we weten dat een dataset uit de normale verdeling is gekomen. Ik heb daarvoor een MATLAB programma geschreven, zie Appendix We trekken 259 getallen uit de standaard normale verdeling. Op deze dataset passen we de test toe. Hieruit komt dat D 259, die bij de standaard normale verdeling hoort, rond de 0.2 ligt. Dit is groter dan de D 259 van onze dataset. Elke keer wordt in het standaard normale geval de nulhypothese niet verworpen. De p-waarde ligt telkens vrij hoog, zo tussen de 0.3 en 0.8. Hieruit volgt dat deze data uit de normale verdeling komt. Ik ga er daarom van uit dat mijn programma in orde is. 8.2 Jarque-Bera test Wat is de Jarque-Bera test? Om te kijken of de logaritmische verschillen van de data een normale verdeling volgen, gaan we de Jarque-Bera test gebruiken. Bij deze test bereken je de toetingsgrootheid JB. ( ) ˆτ 2 JB = n 6 + ˆκ2 24 met ˆτ de skewness en ˆκ de kurtosis. Deze zijn als volgt gedefinieerd. ˆτ = ˆµ 1 n 3 ˆσ = n i=1 (x i x) 3 3 ( 1 n n i=1 (x i x) 2) 3/2 ˆκ = ˆµ 1 n 4 ˆσ = n i=1 (x i x) 4 4 ( 1 n n i=1 (x i x) 2) 2 Hierbij zijn ˆµ 3 en ˆµ 4 schattingen van het derde en vierde gecentreerde moment, x het steekproefgemiddelde en ˆσ 2 een schatting van de variantie. 26

28 Het k-de gecentreerde moment ˆµ k ziet er als volgt uit: [( ˆµ k = E X E [X] k)] = 1 n Merk op dat ˆµ 0 = 1, ˆµ 1 = 0 en ˆµ 2 = σ 2, de variantie. n (x i x) k Soms gebruikt men ook de excess kurtosis in plaats van de kurtosis. Deze ziet er als volgt uit: i=1 ˆK = ˆµ 1 n 4 ˆσ 3 = n i=1 (x i x) 4 4 ( 1 n n i=1 (x i x) 2) 2 3 De reden dat men de excess kurtosis gebruikt, is dat de ˆµ 4 = 3 voor de standaard normale ˆσ 4 verdeling. Hiermee zou een excess kurtosis in de buurt van 0 moeten liggen, als de data uit een standaard normale verdeling komt. Als je de excess kurtosis gebruikt om de toetingsgrootheid JB te bepalen, dan krijg je JB = n ( ˆτ ˆK ) Toegepast op onze data In MATLAB kun je gebruik maken van de functie genaamd jbtest, zoals hierboven beschreven. Je kunt van deze test vier gegevens terug krijgen, h, p, jbstat en critval. Maar wat zijn deze dingen precies en wat betekenen ze voor ons? h heeft altijd waarde 0 of 1. De 0 geeft aan dat we de nulhypothese moeten verwerpen. De 1 geeft aan van niet. Standaard genomen neemt MATLAB het verwerpingsniveau α = 0, 05. Je kunt deze zelf nog aanpassen als je dat wilt. p is de p-waarde is van de test. Dit is het verwerpingsniveau wat de grens aangeeft of de nulhypothese verworpen wordt of niet. jbstat geeft de waarde van de JB-statistiek. Hierboven hebben we deze JB genoemd. critval geeft de kritieke waarde van JB waarbij de waarde van h veranderd. In Appendix is het MATLAB bestand te vinden wat ik heb geschreven. In MAT- LAB geeft jbtest ons: h = 1 p = jbstat = critval =

29 Daarnaast heb ik de skewness en de excess kurtosis uitgerekend: s = 0.26 k = 3.69 Bij de standaard normale verdeling zal de excess kurtosis dicht bij 0 zitten. Dit is niet het geval en dat zien we ook terug in de p-waarde. Zelfs bij α = zullen we de nulhypothese nog verwerpen Testen normaal Om te kijken of mijn MATLAB programma van de Jarque-Bera test in orde is, heb ik een programma geschreven, zie Appendix Ik heb net als bij de Kolmogorov-Smirnov test gekeken naar een dataset uit de normale verdeling en de uitkomst van de test. Uit de test komt dat de data uit de normale verdeling komt, want de p-waarde van de test is vrij hoog, elke keer als je het programma runt. 8.3 Autocorrelatie Wat is autocorrelatie? De autocorrelatie van een random proces beschrijft de correlatie tussen twee verschillende waarden in de tijd. We kunnen ook de autocorrelatie van onze data van de AEX-index bekijken. Allereerst bekijken we wat autocorrelatie wiskundig inhoudt. Zij X een experiment, bijvoorbeeld elke dag de koers van de AEX-index. Zij X i de koers van de AEX-index op de ide dag, tellend vanaf het begin van de data die je hebt verzameld. Neem aan dat de verwachting µ i en de variantie σi 2 van X i bekend zijn voor alle i. Dan wordt de autocorrelatie R tussen tijdstip s en t gegeven door R(s, t) = E[(X t µ t )(X s µ s )] σ s σ t. (6) Deze functie is goed gedefinieerd als σ s en σ t niet 0 of zijn. In dat geval weten we dat R [ 1, 1]. Als R = 1, dan hebben we te maken met perfecte correlatie, positieve correlatie. Als R = 1, dan hebben we te maken met perfecte anti-correlatie, oftewel negatieve correlatie. Wij zijn geïnteresseerd in het geval dat R = 0, want dan treedt er geen autocorrelatie op en zijn de X i onderling onafhankelijk. Je kunt de autocorrelatie uitrekenen bij een bepaalde lag k. Dit houdt in dat je bij het berekenen van bovenstaande autocorrelatie, (6), je het verschil tussen s en t gelijk neemt aan k. Stel je hebt 260 beursdagen en je bekijkt een bepaald aandeel met prijs S i op dag i. Je berekent de autocorrelatie bij lag k door dag 1 te vergelijken met dag (1 + k), dag 2 met dag (2 + k),... en dag (260 k) met dag

30 8.3.2 Toegepast op onze data Ik heb een programma geschreven in MATLAB dat bij de eerste m lags de autocorrelatie uitrekent, zie Appendix Dus we berekenen telkens de autocorrelatie bij lag k met k {1, 2,..., m}. Daarbij heb ik een correlogram, zie Figuur 9, gemaakt. Een correlogram geeft bij elke lag m aan wat de waarde van R, uit (6), was. Figuur 9: Correlogram van onze autocorrelaties We zien dat R [ 0.15, 0.15]. Het is aannemelijk dat er geen autocorrelatie opgetreden is, want R ligt in de buurt van 0. Om dit te toetsen, passen we twee testen toe, de Durbin-Watson test (8.4) en de Ljung-Box test (8.5) Testen autocorrelatie Om te kijken of mijn MATLAB programma s de juiste conclusies geven, heb ik een tijdreeks geconstrueerd waar we de autocorrelatie van weten. Die tijdreeks volgt het AR(1) model, zie Hoofdstuk 2.4 van Bron [7]. Deze reeks ontstaat als volgt. We nemen X i = ax i 1 + ε i + b. (7) Hierbij is ε i en rij met storingen die uit de normale verdeling komen met verwachting 0 en variantie σ 2 a. De keuze van a bepaalt wat de autocorrelatie bij lag m gaat worden. De 29

31 keuze van b is in principe vrij. Maar bij b = 0 krijgen we niet de gewenste autocorrelatie, dus kiezen we b = 1. We nemen aan dat de tijdreeks weakly stationary is. Dit houdt in dat de verwachting E(X i ) = µ voor elke i, de variantie Var(X i ) = γ 0 voor elke i en de covariantie Cov(X i, X i j ) = γ j voor elke j > 0. Merk op dat µ en γ 0 constanten zijn. We nemen de verwachting van (7), wetend dat E(X i ) = µ voor alle i, E(X i ) = a E(X i 1 ) + b, µ = aµ + b, Hieruit volgt dat E(X i ) = µ = b 1 a. b = (1 a)µ. (8) Het resultaat uit (8) gebruiken we om in (7) in te vullen, zodat we krijgen Daaruit volgt dat X i µ = a(x i 1 µ) + ε i. (9) E[X i µ] = E[a(X i 1 µ) + ε i ] = E[a(X i 1 µ)] + E(ε i ). (10) Merk op dat ε i en X i 1 onafhankelijk zijn, dus Cov(ε i (X i 1 µ)) = 0. vermenigvuldigen met ε i en de verwachting te nemen, krijgen we Door (9) te Door (10) in te vullen in (11) krijgen we E[ε i (X i µ)] = E[ε i ] E[X i µ]. (11) E[ε i (X i µ)] = E[ε i ] {E[a(X i 1 µ)] + E(ε i )} = E[ε i ] E[a(X i 1 µ)] + E(ε 2 i ). (12) Vanwege de definitie van ε geldt E[ε i ] = 0 voor alle i en als we weten dat σ 2 a de variantie is van ε i, dan krijgen we E[ε i (X i µ)] = σ 2 a. (13) 30

32 Als we (9) vermenigvuldigen met (X i µ) en de verwachting nemen, dan krijgen we E[(X i µ)(x i µ)] = a E[(X i 1 µ)(x i µ)] + E[ε i (X i µ)] (14) Omdat E[(X i µ)(x i j µ)] = γ j, zien we dat uit (13) en (14) dat γ 0 = aγ 1 + σ 2 a. (15) Als we (9) vermenigvuldigen met (X i l µ), l > 0, en de verwachting nemen, dan krijgen we E[(X i µ)(x i l µ)] = a E[(X i 1 µ)(x i l µ)] + E[ε i (X i l µ)]. (16) We weten dat ε i en X i l µ onafhankelijk zijn, omdat Cov(ε i, X i l µ) = 0. We gebruiken (10) door i l in plaats van i in te vullen. Door die twee dingen weten we dat E[ε i (X i l µ)] = E(ε i ) E[X i l µ] = E(ε i ) {ae[x i l 1 µ] + E(ε i l )}. (17) We kunnen dit herschrijven tot E[ε i (X i l µ)] = E(ε i ) a E[X i l 1 µ] + E(ε i ) E(ε i l ). (18) Omdat we weten dat E(ε i ) = 0 voor alle i, geldt E[ε i (X i l µ)] = 0 voor l > 0. (19) Omdat E[(X i µ)(x i j µ)] = γ j, zien we dat uit (16) en (19) dat Uit (15) en (20) volgt γ l = aγ l 1 voor l > 0. (20) γ l = { aγl+1 + σa 2 als l = 0 aγ l 1 als l > 0. (21) Merk op dat dus Var(X i ) = γ 0 = γ 0 = aγ 1 + σ 2 a = a(aγ 0 ) + σ 2 a = a 2 γ 0 + σ 2 a, σ2 a voor elke i. 1 a 2 We wisten al dat de covariantie Cov(X i, X i j ) = γ j. Dan kunnen we berekenen wat de autocorrelatie is. De autocorrelatie wordt gegeven door 31

33 R(s, t) = Cov(X s, X t ) Var(Xs ) Var(X t ) Als ik kies voor σ 2 a = 1 a 2, dan zal Var(X i ) = γ 0 = 1 voor elke i. Dan krijgen we R(s, t) = Cov(X s, X t ) = γ t s Merk op dat γ 0 = 1, dus dat γ 1 = a, γ 2 = a 2, γ 3 = a 3, etc. Oftewel γ j = a j. Figuur 10: Tijdreeks met lengte 5000 en autocorrelatie a j Ik heb in MATLAB deze tijdreeks gemaakt met lengte 5000, zie Appendix Daarna heb ik autocorrelatie.m, zie Appendix , getest met deze tijdreeks en kreeg het volgende plaatje, zie figuur 10. De groene lijn is γ j = a j, de autocorrelatie zoals hij moet zijn. Merk op dat dit het resultaat is wat we willen. Merk op dat bij lag m, we te maken hebben met autocorrelatie R(s, t) = γ m = a m. We zien in het plaatje dat voor lags hoger dan 10 de autocorrelatie een beetje gaat afwijken. Merk op dat dit waarschijnlijk niet zo erg is, omdat de financiële markt van vandaag zich niet zo veel aantrekt van de gebeurtenissen van twee weken geleden. Blijkbaar hebben de random fluctuaties ε i voor hogere m meer invloed op de autocorrelaties. We bekijken nu ook de tijdreeks behorend bij bij AR(1) model met lengte 259, omdat dit de grootte is van onze dataset die we testen, zie figuur 11. We zien dat dit vrij goed is. 32

34 Figuur 11: Tijdreeks met lengte 252 en autocorrelatie a j 8.4 Durbin-Watson test Wat is de Durbin-Watson test? Met de Durbin-Watson test kun je testen of er autocorrelatie optreedt in de residuen. Daarvoor moeten we eerst weten wat een residu precies is. Het residu e t is het verschil van de data op tijdstip t met de geschatte sample mean X = ˆµ. Oftewel e t = X i X = X i ˆµ Dan wordt de Durbin-Watson statistiek gegeven door d = T t=2 (e t e t 1 ) 2 T t=1 e2 t waarbij T het aantal observaties is Toegepast op onze data In MATLAB berekenen we d. Voor het programma wat ik daarvoor heb geschreven, kun je kijken in de Appendix De waarde voor d die daaruit komt, is 33

35 d = De Durbin-Watson statistiek d zal, wanneer er geen autocorrelatie is, een waarde hebben van d = 2. De waarde van deze statistiek zullen variëren tussen 0 en 4. Als de statistiek veel minder dan 2 is, dan is dat bewijs van positieve autocorrelatie. Aangezien d dichtbij 2 ligt, is het de verwachting dat er geen autocorrelatie optreedt en dat de data onderling onafhankelijk zijn. We kijken verderop met de Ljung-Box test naar de afhankelijkheid van de datapunten Testen Durbin-Watson test Om te kijken of de Durbin-Watson test in mijn MATLAB file correct is, heb ik die file ook toegepast op de tijdreeks uit Sectie Die tijdreeks heeft een hoge positieve correlatie, dus verwachten we dat d dicht bij 0 ligt. We krijgen d = Ons programma geeft ons wat we verwachten. 8.5 Ljung-Box test Wat is de Ljung-Box test? Om te testen of een aantal trekkingen onafhankelijk uit een verdeling zijn gekomen, heb je verschillende testen. Je kijkt of er echt random trekkingen zijn gedaan. We gaan deze test toepassen op onze dataset van logratio s. Hiervoor hebben we de autocorrelatie nodig met tijdstappen van lengte k. De Ljung-Box test kan als volgt worden weergegeven: H 0 : De data zijn onafhankelijk verdeeld. H 1 : De data zijn niet onafhankelijk verdeeld. De teststatistiek van de Ljung-Box test is dan: Q = n(n + 2) h k=1 ˆρ 2 k n k Hierbij is n de grootte van de trekking, ˆρ k is de autocorrelatie met tijdstappen van lengte k, en h is het aantal tijdsintervallen dat getest wordt. Voor significantieniveau α is het verwerpingsgebied voor de hypothese, dat de trekkingen onafhankelijk zijn, gelijk aan 34

36 Q > χ 2 1 α,h waarbij χ 2 1 α,h het α-quantiel is van de chi-kwadraat verdeling met h de graad van vrijheid Toegepast op onze data Ik heb drie programma s geschreven, waarvan er twee functies zijn die het andere programma gebruikt. Zie Appendix , en We krijgen een 0 als we de nulhypothese niet verwerpen en een 1 als we de nulhypothese verwerpen. Ik heb in mijn programma verschillende waarden van h bekeken. Voor sommige waarden van h, dan verwerpen we de nulhypothese en voor sommige waarden niet. Dit wisselt zo omdat de covariantie de ene keer positief en de andere keer negatief is. We kregen Om te weten wat deze waarden ons vertellen, gaan we in Sectie de Ljung-Box test op onze tijdreeks uit Sectie Testen Ljung-Box test Om te kijken of de Ljung-Box test in mijn MATLAB file correct is, heb ik die file ook toegepast op de tijdreeks uit Sectie We verwachten met die reeks dat de covariantie groot is, dus dat de test verworpen wordt. Ik heb de covariantie voor de eerste 10 lags berekend in mijn programma, zie Appendix We kregen We verwachtten dat het allemaal enen zouden zijn. We zien dat bij beide testen dezelfde soort resultaten geven, dus dat onze data onderling onafhankelijk zijn. 9 Black-Scholes PDE Maar de grote vraag is: Wat is een optie waard? Wat is een eerlijke optieprijs op tijdstip t = 0? En kunnen we een manier verzinnen om deze optieprijs keer op keer te bepalen? We gaan in deze Sectie vanuit ons model (1), uit Sectie 6, de Black-Scholes formule afleiden. Daarmee kunnen we in Sectie 9.1 een eerlijke optieprijs bepalen. We gaan op zoek naar een functie V (S, t), de prijs van de optie bij aandeelprijs S 0 en op tijdstip 0 t T. Hierbij staat T voor de lengte van de looptijd. We zijn uiteindelijk geïnteresseerd in V (S 0, 0), de optieprijs op tijdstip t = 0. We nemen aan dat we de optie 35