Hoofdstuk 5: De rentevoet

Transcriptie

1 Hoofdstuk 5: De rentevoet Tot nu toe hebben we gekeken naar de technieken voor het berekenen van de contante waarde en de toekomstige waarde, gegeven een markt rentevoet. Maar hoe wordt de rentevoet eigenlijk vastgesteld? 5.1 Rentevoet quote en aanpassingen Er zijn verschillende manieren waarop de rentevoet genoteerd wordt. Rentevoeten worden vaak genoteerd voor verschillende tijdsintervallen, zoals maandelijks, halfjaarlijks of jaarlijks. Daarom is het noodzakelijk om de rentevoet aan te passen aan een tijdsperiode dat past bij onze cash flow. De effectieve jaarrente Rentevoeten worden vaak aangeduid als een effectieve jaarrente (EAR). De effectieve jaarrente geeft het totale bedrag aan rente aan, dat verdiend zal worden aan het eind van een jaar. Stel: met een EAR van 5% zal een investering van groeien tot: x (1 +r ) = x (1,05) = Over twee jaar zal onze investering van groeien tot: x (1 + r)² = x (1,05)² = Aanpassen van de disconteringsvoet aan verschillende tijdsperioden De EAR kan gebruikt worden als een disconteringsvoet voor jaarlijkse cash flows. In het algemeen kunnen we met behulp van de onderstaande formule een disconteringsvoet r converteren naar een periode, equivalent aan de disconteringsvoet voor n periodes: Equivalent n-periode disconteringsvoet = (1 + r)ⁿ - 1 Stel: het verdienen van een effectieve jaarrente van 5% voor twee jaar is equivalent aan het verdienen van 10,25% aan totale rente, over de gehele periode: x (1,05)² = x 1,1025 = De jaarlijkse percentages Banken noteren rentevoeten in termen van een jaarlijks percentage (APR). Een jaarlijks percentage geeft het totale bedrag aan eenvoudige rente over een jaar aan, dat wil zeggen het bedrag aan verdiende rente, zonder het effect van discontering. Om het eigenlijke bedrag dat je over een jaar zult ontvangen te berekenen, moeten we de APR eerst omrekenen naar een effectieve jaarrente. APR s kunnen niet gebruikt worden als disconteringsvoet, omdat APR s niet het echte bedrag reflecteren dat je over een jaar zult verdienen.

2 Daarom moeten we het samengestelde interval, a, van een APR kennen om de EAR vast te kunnen stellen. Omrekenen van APR naar EAR: 1 + EAR = (1 + APR/a)ª In onderstaande tabel laten we de effectieve jaarrente van 6% APR zien, met verschillende samengestelde periodes. We moeten opmerken dat gegeven een APR, de EAR zal stijgen met de samengestelde frequentie. Effectieve jaarrente voor een 6% APR met verschillende samengestelde periodes Samengesteld interval (a) Effectieve Jaarrente Jaarlijks (1 + 0,06 / 1)¹ -1 = 6% Halfjaarlijks (1 + 0,06 / 2)² - 1 = 6,09% Maandelijks (1 + 0,06 / 12)¹² - 1 = 6,1678% Dagelijks (1 + 0,06 / 365)³⁶⁵ - 1 = 6,1831% Toepassing: disconteringsvoet en leningen Nu we weten hoe je de disconteringsvoet met behulp van een rentevoet quote kan berekenen, gaan we dit concept toepassen op twee alledaagse financiële problemen: 1. berekenen van de periodebetaling van een lening 2. berekenen van het resterende saldo van een lening Ad 1: Om de periodebetalingen van een lening te kunnen berekenen, moeten we eerst de disconteringsvoet uit de rentevoet quote van de lening herleiden. Daarna kunnen we het saldo van de uitstaande lening gelijkstellen aan de contante waarde van de periodebetalingen van de lening en dit oplossen voor de periodebetalingen. Een lening met afschrijving is een lening waarbij je elke maand rente over de lening betaalt, plus een deel van het saldo van de lening. Elke betaling is dezelfde en de lening wordt volledig afbetaald met de laatste periodebetaling. Stel: we hebben een autolening afgesloten. De lening bedraagt en zal in 60 maandelijkse betalingen terugbetaald worden tegen 6,75% APR met maandelijkse samengestelde rente.

3 Als eerste tekenen we de tijdslijn: maanden C -C -C De periodebetaling C, moeten we zodanig vaststellen dat de contante waarde van de cash flows, gebruikmakend van de leningsrente, gelijk is aan het oorspronkelijke bedrag van Dus 6,75% APR met een maandelijkse samengestelde rente correspondeert met een één-maandelijkse disconteringsvoet van 6,75% / 12 = 0,5625% Omdat de periodebetalingen een annuïteit zijn, kunnen we de volgende formule gebruiken voor het vinden van C: C = P / 1/r (1 1/(1+r)ⁿ) = / 1/0, (1 1/(1+0,005625)⁶⁰) = 590,50 Ad 2: Het uitstaande saldo van een lening is gelijk aan de contante waarde van de resterende toekomstige periodebetalingen, gebruikmakend van de leningsrente. We berekenen het uitstaande saldo van de lening door het vaststellen van de contante waarde van de resterende periodebetalingen, gebruikmakend van de leningsrente als een disconteringsvoet. Stel: tien jaar geleden heeft jouw bedrijf 3 miljoen geleend om een kantoorgebouw te kopen tegen 7,80% APR en maandelijkse betalingen van 30 jaar. Hoeveel ben je nu aan loon verschuldigd en hoeveel rente is tot vorig jaar betaald? Een APR van 7,80% met maandelijkse samengestelde rente is equivalent aan 7,80 / 12 = 0,65% per maand. De maandelijkse betaling is: C = P / 1/r (1 1/(1+r)ⁿ = = / 1/0,0065 (1 1/(1,0065)³⁶⁰) = Het saldo bedraagt na tien jaar: x 1/0,065(1 1/1,0065²⁴⁰) = Het saldo na negen jaar was: x 1/0,0065(1 1/1.0065²⁵²) = Het saldo is gedaald met = ten opzichte van vorig jaar. Tijdens het laatste jaar heeft het bedrijf dus x 12 = aan periodebetalingen betaald. Dus werd betaald om de investering terug te betalen en het resterende bedrag ( =) werd gebruikt om rente te betalen.

4 5.2 Determinanten van rentetarieven Hoe worden rentevoeten vastgesteld? Er zijn diverse factoren die invloed uitoefenen op de rentevoet, zoals inflatie, overheidsbeleid en verwachtingen over toekomstige groei. Inflatie en reële versus nominale rente De rentevoeten die door de banken en andere financiële instituties genoteerd worden, en die we gebruikt hebben voor het disconteren van cash flows, zijn nominale rentes. Nominale rente geeft de rentevoet aan waarmee jouw geld zal groeien als je het voor een zekere periode investeert. De reële rente rr, geeft het percentage van de groei van iemands koopkracht aan, ná aanpassing van de inflatie. Gegeven een nominale rente r, en een inflatiepercentage i, dan is de formule voor de reële rente als volgt: rr = r 1 / 1 + i r i Een nominale rente heeft de neiging om met de inflatie te fluctueren. Als het percentage van de inflatie hoog is, dan is een hogere nominale rente nodig om individuen over te halen om te sparen en vice versa. Als de kosten van een investering vooraf gaan aan de baten, zal een stijging van de rentevoet de NCW van de investering laten dalen. De Amerikaanse overheid en centrale banken in andere landen gebruiken deze relatie tussen rentevoeten en investering incentives om de economie te beïnvloeden. Zij kunnen de rentetarieven verlagen om mensen te stimuleren om te investeren als de economie terugloopt. En zij kunnen de rentetarieven verhogen om investeringen te verlagen als de economie overspannen is en de inflatie toeneemt. De rendementscurve en de disconteringsvoet De relatie tussen de investeringstermijn en de rentevoet noemen we de termijnstructuur van de rentevoet. Deze relatie kan in een grafiek weergegeven worden en heet een rendementscurve. In principe zouden cash flows verdisconteerd moeten worden tegen de disconteringsvoet, die toepasselijk is voor hun investeringshorizon. Vandaar dat de contante waarde van een cash flow stroom, gebruikmakend van een termijnstructuur van de disconteringsvoet er als volgt wordt berekend: n CW = (C₁/1+r ) + C₂/(1+r)² Cn/ (1+rn)ⁿ = Cn / (1 + rn)ⁿ n=1 rn = risicovrije rentevoet voor een n-jarige termijn. Cn = risicovrije cash flow ontvangen in n jaar.

5 We moeten opmerken dat de formules voor annuïteiten en perpetuiteïten niet toegepast kunnen worden wanneer de disconteringsvoeten variëren met de horizon van de investering. Rendementscurve en de economie De helling van de rendementscurve zal sterk beïnvloed worden door de verwachtingen over de rentevoet. Een sterk stijgende (steile) rendementscurve met lange termijn rentevoeten, die veel hoger zijn dan de korte termijn rentevoeten, geeft in het algemeen aan dat de rentevoeten in de toekomst waarschijnlijk zullen stijgen. Een dalende rendementscurve met lange termijn rentevoeten, die lager zijn dan korte termijn rentevoeten geeft in het algemeen een verwachte daling van de rentevoeten in de toekomst aan. De rendementscurve heeft de neiging steil te zijn als de economie uit een recessie komt en verwacht wordt dat de rentevoeten zullen stijgen. 5.3 Risico en belastingen Bij het evalueren van rentevoeten zijn risico en belastingen belangrijke factoren om rekening mee te houden. Rentevoeten variëren met de termijn van de investering. Rentevoeten variëren ook op basis van de identiteit van degene die leent (risicogevoelig of niet). De laagste rentekoersen worden betaald op de U.S. Treasuries van de Amerikaanse overheid, aangezien deze risicovrij zijn. Alle andere leners hebben enig risico van in gebreke blijven. Voor deze leningen is de opgegeven rentevoet, het maximumbedrag dat investeerders zullen ontvangen. Investeerders zullen minder ontvangen als het bedrijf financiële problemen heeft en niet in staat is om de lening volledig terug te betalen. Om dit risico te compenseren dat zij minder ontvangen als het bedrijf in gebreke blijft, vragen investeerders een hogere rentevoet dan de rente op U.S. Treasuries. We moeten opmerken dat bij het disconteren van toekomstige cash flows, het belangrijk is om een disconteringsvoet te gebruiken die past bij zowel de termijn als het risico van de cash flows. De juiste disconteringsvoet voor een cash flow is het verwachte rendement dat beschikbaar is op de markt op andere investeringen met vergelijkbaar risico en termijn. Rente na belasting Belastingen verlagen het rentebedrag dat de investeerder uiteindelijk overhoudt van zijn cash flows. Dit noemen we rente ná belasting. Stel: een investering levert 8% rente (EAR) op, over een termijn van een jaar. Als je 100 aan het begin van het jaar investeert, dan zal je 8% x 100 = 8 aan rente verdienen aan het eind van het jaar. Stel dat je 40% belasting moet betalen over deze rente-inkomsten:

6 (40% inkomstenbelasting) x ( 8 rente ) = 3,20 belasting verschuldigd. Dus je houdt 8-3,20 = 4,80 over nadat belastingen zijn betaald. Dit bedrag is equivalent aan het verdienen van 4,80% rente en géén belasting betalen, dus is de rente na belasting 4,80%. In het algemeen kunnen we stellen dat als de rentevoet r is en het belastingtarief τ is, dan zal je voor elke 1,00 die je investeert, rente ontvangen gelijk aan r. En je bent belasting verschuldigd over τ x r op de rente. De algemene formule voor rente ná belasting is: r (τ x r) = r (1 τ) Als we deze formule toepassen op ons voorbeeld hierboven, dan krijgen we de volgende uitkomst: 8% x (1 0,40) = 4,80% rente ná belasting. Dezelfde berekening geldt ook voor leningen. In sommige gevallen is de rente op een lening aftrekbaar van de belasting. Het netto effect is dat de effectieve rente na belasting gelijk is aan: r (1 τ). Dit betekent dat de mogelijkheid om rente-uitgaven af te kunnen trekken, de effectieve rente ná belasting verlaagt (die op de lening betaald wordt). 5.4 De opportunity kosten van kapitaal Verder in dit boek zullen we ons baseren op de disconteringsvoet, die we gebruiken om cash flows te evalueren op de opportunity kosten van het kapitaal van de investeerder. Opportunity kosten van het kapitaal is het best beschikbaar verwacht rendement, dat aangeboden wordt op een markt op een investering van vergelijkbaar risico en termijn, op de cash flow die verdisconteerd wordt.