Hoofdstuk 4: De tijdswaarde van geld

Transcriptie

1 Hoofdstuk 4: De tijdswaarde van geld 4.1 De tijdslijn Een serie cash flows die verschillende periodes duurt, noemen we een cash flow stroom. Een cash flow stroom kunnen we op een tijdslijn weergeven. Een tijdslijn is een lineaire tijdsweergave van de verwachte cash flows. Tijdslijnen zijn een kritieke eerste stap bij het organiseren van de cash flows bij een financieel probleem. 4.2 Drie regels voor verplaatsing in tijd Financiële beslissingen vereisen vaak het vergelijken of combineren van cash flows, die op verschillende tijdstippen voorkomen. Er zijn drie belangrijke regels voor het vergelijken en combineren van waarden namelijk: 1. Slechts cash flows die op hetzelfde tijdstip voorkomen, kunnen vergeleken en gecombineerd worden. 2. Om een cash flow vooruit in de tijd te kunnen verplaatsen, moet je het samengesteld maken. 3. om een cash flow terug in de tijd te kunnen berekenen, moet je het disconteren. Ad 1: vergelijken en combineren van waarden Een euro nú en een euro over één jaar zijn niet equivalent. Het is waardevoller om een euro nu te hebben, want dan kan je het op de bank zetten en rente ontvangen. Ad 2: cash flows vooruit in de tijd verplaatsen Stel we hebben 1000 nu en we willen weten wat de waarde over één jaar is. Als de huidige rentevoet 10% is, kunnen we de cash flow vooruit in de tijd berekenen: ( 1000 nú) x (1,10 over een jaar / nú ) = 1100 over een jaar Het vermenigvuldigen met (1 + r) noemen we samengesteld maken van rente. Dit kunnen we aangeven met behulp van een tijdslijn: Tijdslijn x 1,10 x 1,10 De toekomstige waarde (TW) is de waarde van een cash flow die vooruit in de tijd wordt berekend. Volgens het bovenstaande voorbeeld is 1210 de toekomstige waarde van 1000 over twee jaar, vanaf vandaag gerekend. De equivalente waarde van twee cash flows op twee verschillende tijdstippen wordt soms ook de tijdswaarde van geld genoemd. Door eerder geld te ontvangen, kun je het investeren en later meer geld hebben.

2 Samengestelde rente is rente over rente, dat wil zeggen dat je in het eerste jaar 100 rente ontvangt, maar in het tweede jaar krijg je 110 aan rente doordat je ook rente krijgt over de al ontvangen rente van het eerste jaar (zie voorbeeld hierboven). Over het derde jaar ziet de toekomstige waarde er als volgt uit: 1000 x (1,10) x (1,10) x (1,10) = 1000 x (1,10)³ = 1331 In het algemeen ziet de formule voor de toekomstige waarde van een cash flow er als volgt uit: TWn = C x (1+r) x (1+r) x x (1+r) = C x (1+r)ⁿ Ad 3: terugrekenen van cash flows in de tijd Stel je wilt de huidige waarde berekenen van 1000, die je over één jaar ontvangt. De huidige rentevoet bedraagt 10%. ( 1000 over een jaar) (1,10 over een jaar / nú) = 909,09 nú. Dus om een cash flow terug in tijd te rekenen, delen wij het door de rentefactor (1 + r), waarbij r de rentevoet is. Dit proces van terugrekenen van een toekomstige cash flow naar de equivalente waarde vandaag, noemen we disconteren. 0 jaar 1 jaar 2 826,45 909, ,10 1,10 Tijdslijn Als we de contante waarde van een cash flow van 1000 over drie jaar willen weten, dan doen we dat met de volgende algemene formule: CW = C(cash flow) (1 + r)ⁿ = C / (1 + r)ⁿ Toepassing van regels voor verplaatsing in tijd Stel we sparen 1000 nú en 1000 aan het eind van elk volgende twee jaren. De bank biedt ons 10% op ons spaartegoed. Hoeveel hebben we na drie jaar gespaard? ? Tijdslijn Eerst calculeren we de waarde van 1000 dat we nu hebben naar de waarde over een jaar ? 1100 x 1, Tijdslijn

3 En zo kunnen we de waarde over twee jaar enzovoort berekenen Tijdslijn x 1, x 1, x 1.10 Het totale bedrag dat we na drie jaar bij de bank hebben opgebouwd is De kracht van disconteren: een toepassing Wanneer je besluit om 1000 op de bank te zetten voor 20 jaar tegen een rente van 10%. Hoeveel geld heb je dan over 20 jaar? We gebruiken de formule voor de toekomstige waarde van een cash flow: 1000 x 1,10²º = 6.727,50 De rente die je in het 21 ste jaar krijgt is 10% van 6.727,50 = 672,75. Na 20 jaar is het geld meer dan verzesvoudigd. Wat gebeurt er met het geld als je het 40 jaar laat staan? 1000 x 1,40 º = 1000 x 1,10²º x 1,10²º = ,26. Omdat er rente betaald wordt over al ontvangen rente in het verleden, is de groei van de cash flow exponentieel te noemen. 4.4 Waarderen van een cash flow stroom Het berekenen van de contante waarde van een cash flow stroom doen we in twee stappen: bereken de contante waarde van elke individuele cash flow als alle cash flows in algemene eenheden van euro s zijn, kunnen we ze combineren.

4 De tijdslijn voor een gegeven rentevoet r ziet er als volgt uit: N Tijdslijn C0 C1 C2 Cn C1/(1+r) C2/(1+r)² (1+r) (1+r)² Cn/(1+r)ⁿ (1+r)ⁿ C0 + C1 / (1+r) + C2 / (1+r)² + +Cn / (1+r)ⁿ Deze formule kunnen we ook als een sommatie opschrijven: De contante waarde van een cash flow stroom is: n n CW = CW ( Cn ) = Cn / (1 + r)ⁿ n=0 n=0 De toekomstige waarde op datum n voor een cash flow stroom met een contante waarde van CW is: TWn = CW x (1+ r)ⁿ 4.5 De netto contante waarde van een cash flow stroom Nu gaan we kijken naar ons eigenlijke doel, namelijk het berekenen van de netto contante waarde van toekomstige cash flows om een investeringsbeslissing te kunnen evalueren. We hebben al gezien dat de netto contante waarde gedefinieerd wordt als: NCW = CW (baten) CW (kosten). De netto contante waarde van een mogelijke investering is ook de contante waarde van de cash flow stroom van de investeringsmogelijkheid: NCW = CW (baten) CW (kosten) = CW (baten kosten) 4.6 Perpetuïteiten, Annuïteiten en andere speciale gevallen In deze paragraaf gaan we kijken naar twee soorten activa namelijk: perpetuïteiten annuïteiten Perpetuïteiten Een perpetuïteit is een stroom van gelijke cash flows, die voorkomen op regelmatige intervallen en eeuwig duren.

5 Stel: we investeren een bedrag P bij de bank. Elk jaar kunnen we de verdiende rente opnemen. C = r x P, waarbij bedrag P op de bank blijft. De contante waarde van het ontvangen van cash flow C in een perpetuïteit is daarom de vooraf te betalen kosten: P = C / r, dus de contante waarde van een perpetuïteit is: CW ( C in perpetuïteit) = C / r Door het op de bank zetten van het bedrag C/r nú, kunnen we (C/r) x r = C elke periode in perpetuïteit aan rente ontvangen. Annuïteiten Een annuïteit is een stroom van N gelijke cash flows, die op regelmatige intervallen betaald worden. Het verschil tussen een annuïteit en een perpetuïteit is dat een annuïteit eindigt na een vast aantal betalingen; een perpetuïteit duurt eeuwig. Stel: we investeren 100 bij de bank tegen 5% rentevoet. Aan het eind van het jaar hebben we 105 bij de bank staan. We nemen ieder jaar de verdiende rente op en laten 100 bij de bank staan. Bij de perpetuïteit was het principe dat wij het eeuwig blijven doen. Maar bij een annuïteit kun je dat voor een vaste periode van bijvoorbeeld 20 jaar doen. Met onze initiële investering van 100 hebben wij een 20 jarige annuïteit van 5 per jaar gecreëerd, plus we krijgen nog 100 aan het einde van het 20 ste jaar. 100 = CW (20 jaar annuïteit van 5 p.j.) + CW ( 100 over 20 jaar) = CW (20 jaar annuïteit van p.j.) = 100 CW ( 100 over 20 jaar) = = / (1,05)²º = 62,31 Dus de contante waarde van 5 voor 20 jaar is 62,31. Uit het bovenstaande kunnen we de algemene formule afleiden waarbij P de totale contante waarde van twee soorten cash flows is: P = CW(annuïteit van C voor N periodes) + CW(P in periode N). Als we deze vergelijking oplossen dan kunnen we de contante waarde van de annuïteit berekenen: CW(annuïteit van C voor N periodes) = P CW(P in periode N) = P P / (1 + r)ⁿ = P ( 1 (1/(1+r)ⁿ). We weten dat C = r x P, dus als we P oplossen dan krijgen we: P = C / r Als we P oplossen met behulp van de bovenstaande vergelijking, dan krijgen we de formule voor de contante waarde van de annuïteit van C voor N periodes.

6 CW(annuïteit van C voor N periodes met r) = C x 1/r (1 - (1 / (1+r)ⁿ)) Nu kunnen we ook de formule voor de toekomstige waarde van een annuïteit herleiden. Als we de waarde van N jaren in de toekomst willen weten, moeten we de contante waarde N periodes vooruit in tijd verplaatsen, dat wil zeggen dat we de contante waarde disconteren voor N periodes tegen een rentevoet r: TW(annuïteit) = CW x (1 + r) = = C / r (1-1/(1+r)ⁿ) x (1 + r)ⁿ = = C x 1/r ((1+r)ⁿ - 1) Met deze formule kunnen we bepalen hoeveel een spaarbedrag zal groeien met de tijd. Groeiende cash flows Een groeiende perpetuïteit is een stroom van cash flows, die op regelmatige tijdstippen betaald worden en eeuwig groeien met een constante factor. Stel: een groeiende perpetuïteit met een eerste betaling van 100 die groeit met een rentevoet van 3% heeft de volgende tijdslijn: x1,03= x1,03= 106,09 106,09x1,03= 109,27 In het algemeen kunnen we stellen dat de tijdslijn van een groeiende perpetuïteit er als volgt uitziet: C C x (1+g) C x (1+g)² C x (1+g)³ De formule voor de contante waarde van een groeiende perpetuïteit is: CW (groeiende perpetuïteit) = C / (r g) waarbij: r = rentevoet g = groeipercentage C = cash flow (inleg) Groeiende annuïteit Een groeiende annuïteit is een stroom van N groeiende cash flows, die op regelmatige intervallen betaald worden. De tijdslijn van een groeiende annuïteit met een initiële cash flow C, en met een groeipercentage van g voor elke periode tot periode N ziet er als volgt uit: N C C(1+g) C(1+g)ⁿ¹

7 De formule voor de contante waarde van een groeiannuïteit is: CW = C x 1/(r g) (1 ((1+g)/(1+r))ⁿ) 4.7 Oplossen van problemen met spreadsheetprogramma s In Excel heb je een aantal functies dat de berekeningen uitvoert, die financiële professionals vaak nodig hebben. Deze functies in Excel heten: NPER, RATE, PV (=CW), PMT en FV (=TW). Al deze functies zijn gebaseerd op de tijdslijn van een annuïteit: NPER PV PMT PMT PMT + FV 4.8 Oplossen van variabelen anders dan CW of TW Tot nu toe hebben we de contante waarde van de toekomstige waarde van een cash flow stroom berekend. Soms weten we de contante waarde of de toekomstige waarde al, maar we weten niet één van de variabelen die we als input moeten gebruiken. Oplossen van de cash flow Stel: we weten de contante waarde van een investering maar we weten niet de cash flows. Als voorbeeld kunnen we denken aan een lening, want we weten hoeveel we moeten lenen (contante waarde) en we kennen de rentevoet, maar we weten niet hoeveel we ieder jaar moeten terugbetalen. We gaan uit van een initiële investering van , die we in gelijke jaarlijkse termijnen moeten terugbetalen tegen een rentevoet van 8%. Wat is de jaarlijkse betaling? Eerst tekenen we een tijdslijn: C C C = CW (10 jarige annuïteit van C per jaar, geëvalueerd tegen de leningsrente) Als we de formule voor de contante waarde van een annuïteit toepassen: = C x 1/0,08 ( 1 1/1,08¹º) = C x 6,71 C = / 6,71 = We moeten dus 10 jaarlijkse betalingen van doen in ruil voor nú. De algemene formule voor een periodieke betaling op een lening van N periodes met een geleend bedrag P en een rentevoet r is: C = P / 1/r (1 1/(1+r)ⁿ)

8 Interne opbrengstvoet In sommige situaties ken je de contante waarde en de cash flows van een mogelijke investering, maar je weet de rentevoet niet. Deze rentevoet noemen we de interne opbrengstvoet (IRR), dat is de rentevoet die de netto contante waarde van de cash flows gelijk stelt aan nul. Stel: een mogelijke investering vereist 1000 nú en zal over zes jaar 2000 opleveren. De tijdslijn ziet er als volgt uit: Welke rentevoet r heb je nodig zodat de netto contante waarde van deze investering nul is. NCW = / (1+r)⁶ = x (1+r) = r = (2000 / 1000)¹ ⁶ = 1,1225 r = 12,24% Het oplossen van het aantal periodes N In sommige gevallen kennen we de rentevoet, de contante waarde en de toekomstige waarde. Maar nu moeten we berekenen, hoe lang het zal duren voor de contante waarde om te groeien tot de toekomstige waarde (dus we berekenen N). Stel: we zetten bij de bank tegen 10% rentevoet en we willen weten hoe lang het zal duren totdat het bedrag gegroeid is tot Als eerste tekenen we de tijdslijn: N We willen N berekenen, dus moeten we N zoeken zodat de toekomstige waarde van onze investering gelijk is aan : TW = x 1,10ⁿ = Als we beide zijden van de vergelijking met delen dan krijgen we: 1,10ⁿ = / = 2 Om de exponent N te vinden, moeten we de logaritme van beide zijden nemen en uitgaan van ln (xª) = a ln (x): N ln (1,10) = ln (2) N = ln (2) / ln (1,10) = 0,6931 / 0,0953 7,3 jaar