Oefeningen Financiële wiskunde

Transcriptie

1 Pagina 1 van 11 Oefeningen Financiële wiskunde Hoofdstuk 1: Inleidende begrippen 1.1. Bereken het renteperunage en de rentefactor Renteperunage (i) Rentefactor (u) 4% 0,04 1,04 10% 0,1 1,1 100% ,2/8% 0,1125 1, ,11% 0,1111 1, % 1,11 2, Bereken n voor 11 jaar en 6 maanden als i = 0,11 per semester n = 23 semesters (22+1) 8 jaar en 3 maanden als p = 12% per kwartaal n = 33 kwartalen (32+1) 10 jaar en 9 maanden als i = 0,08 per trimester n = 43 trimesters (40+3) 1.3. Een contract liep van 5 december 1999 tot 27 maart Bepaal het aantal rentedagen. December 31-5=26, januari 31, februari 29 en maart 27 : Σ Idem maar in 2000 en December 31-5=26, januari 31, februari 28 en maart 27 : Σ Een contract loopt het laatste kwartaal. Bepaal het aantal rentedagen. Oktober 31, november 30 en december 31-1 : Σ 91 (eerste of laatste dag niet)

2 Pagina 2 van 11 Hoofdstuk 2: Enkelvoudige intrest 2.1. Bereken I en K n K o n i I (K o.i.n) K n (K o +I) jaar 8,1/8% per jaar dagen 7,7% per semester ,17 * , dagen 1,8% per maand ** jaar en 70 dagen 4,15% per trimester ,67 *** , dagen 0, , , dagen 0, , , dagen 0, , , dagen 0, , ,21 * (7,7/100).2 = (7,7/100).15/180 = 1 604,17 ** (1,8/100).225/30 = *** (4,15/100).(4.3+70/90) = , Bereken K o I n i K o (I/i.n) ,8 3 jaar en 7 maanden 0, ,69 * maanden 0, ,3 340 dagen 0, , ,5 190 dagen 0, jaar 8,1/8% per jaar ,62 ** dagen 7,7% per semester ,58 *** dagen 1,8% per maand ,22 **** * ,8 / (0,0775.(3+7/12)) = ,69 ** / (0,8125.4) = ,62 *** / (7,7/100).(2+15/180) = ,58 **** / (1,8/100).(225/30) = , Bereken n K o i I n (I/K o.i) , ,583 = 7 maanden , ,66 1,416 = 1 jaar 5 maanden , ,25 = 2 jaar en 3 maanden , ,25 = 1 jaar en 3 maanden 2.4. Bereken i per jaar en per kwartaal K o n I i/jaar (I/K o.n) i/kwartaal jaar ,1125 0, jaar en 1 maand ,5 0,0990 * 0, dagen ,14 0,1267 0, dagen , , * ,5 / ( /12) = 0,0990

3 Pagina 3 van Stel K n grafisch voor a) K o = 1000 i = 0,12 n = 2; 4; 6 b) K o = 100 n = 5 i = 0,1; 0,05; 0,02 Kn = Ko + Ko. i. n a) 2 jaar: Kn = ( ,12. 2) = 1 240,00 4 jaar: Kn = ( ,12. 4) = 1 480,00 6 jaar: Kn = ( ,12. 6) = 1 720,00 b) i 0,1: Kn = (100. 0,1. 5) = 150,00 i 0,05: Kn = (100. 0,05. 5) = 125,00 i 0,02: Kn = (100. 0,02. 5) = 110, Bereken de intrest van een lening van gedurende 2 maanden aan 4% per semester. i = ,00. 4 %. 2/6 = 2 666, Een belastingplichtige is schuldig aan de fiscus sinds 4 maand. De nalatigheidintrest bedraagt 1% per maand. Bereken zijn nalatigheidintrest. i = ,00. 1%. 4 = 4000, Een gezin koopt nieuwe meubelen met een waarde van en betaalt 3000 contant en de rest in 36 maandelijkse afbetalingen. De lasten bedragen 4% per jaar. Bepaal de grootte van de afbetalingen. Te financieren bedrag : = 1 200,00 Gemiddelde looptijd (m ): /2 = 18,5 I = 1 200, %. 18,5/12 = 444,00 Ko + I = 1 200, ,00 = 1 644,00 Grootte afbetaling: 1 644,00/36 = 45,67

4 Pagina 4 van Iemand koopt een auto van op volgende condities: contant en de rest met 12 tweemaandelijkse afbetalingen van 300. Welk lastenpercentage werd hier aangerekend? Te financieren bedrag: = Gemiddelde looptijd (m ): /2 = 13 De koper moet betalen = De vergoeding voor intrest & kosten bedraagt dus: = i = ( )/( ) = 40,62 % 2.10.Een gezin koopt goederen voor een waarde van ,16. Contant betaalt men en de rest met maandelijkse termijnen van 1 576,12. De lasten belopen 23% per jaar. Bereken het aantal termijnen. Te financieren bedrag: , ,00 = ,16 Gemiddelde looptijd: (m ): (1+X)/ ,12 X = Ko + I (Ko. i. m )/12 = ,16 + [24 000,16. 0,23. (1+X)/2]/ ,12 X = , X 1 346,12 X = ,16 X = 18 maanden 2.11.Iemand wenst een persoonlijke lening aan te gaan van Terugbetaling over 36 maanden. Intrest 0,80% per maand verhoogd met 10% dossierkosten. Bereken de maandelijkse termijnen en de werkelijke intrest. Kapitaal: ,00 Intrest: 4 320,00 ( , ) Dossierkost: 423,00 (0, ,00) Totaal: ,00 Maandelijkse termijn: ,00/36 of 548,67 i = ( ) / ( ,5) m = / 2 = 0,20549 of 20,55 % (ook wel JKP genoemd) 2.12.Iemand koopt huisraad voor een contante waarde van Men betaalt contant en de rest in maandelijkse termijnen van ongeveer 150. De aangerekende lasten belopen 18% per jaar. Stel het afbetalingsplan op. Te financieren bedrag: , ,00 = ,00 Gemiddelde looptijd (m ): 1 + X / 2 De koper betaald: 150 X = [ ,18. (1+X)/2]/ X = X X = ,00 Oplossing: * Wanneer betaalt men? 1 maand na aankoop * Hoeveel betaalt men? 150 EUR per maandag * Hoelang betaalt men? Zonder einde, want men betaalt in feite te weinig terug: het deel terugbetaling is kleiner dan het deel van de aangerekende intrest.

5 Pagina 5 van 11 Hoofdstuk 3: Samengestelde intrest 3.1. Bereken K n K o i n K n = (K o.u n ) ,11 10 jaar , ,03 per trimester 10 jaar ,89 * % per maand 10 jaar ,35 ** 1 0,06 6 jaar en 3 maanden 1,4393 *** /11 10 jaar ,65 **** ,75% per semester 7 jaar en 4 maanden ***** * (1,03) 40 = ,89 ** (1,01) 120 = ,35 *** 1.(1,06) 75/12 = 1,44 **** (1+1/11) 10 = ,65 ***** (1,0275) /6 = Een gemeente telt inwoners en kent een bevolkingsgroei van 2/53 per jaar. Hoeveel volk zal er wonen na 20 jaar? Kn = Ko. u n = (1 + 2/53) 20 = Bereken K o K n i n K o = (K n /u n ) , jaar ,08 * 1 3,87% 4 jaar 0,8590 ** ,06 per trimester 10 jaar en 3 maanden 9 171,90 *** % per semester 5 jaar en 3 maanden ,59 **** * /1, = ,08 ** 1/1, = 0,86 *** /1,06 41 = 9 171,90 **** /1,02 10,25 = , Men kan een eigendom onderhands kopen onder volgende voorwaarden: a) contant b) ofwel betaalbaar na 4 jaar c) ofwel betaalbaar na 6 jaar Als men rekening houdt met een rentevoet van 9,25% per jaar, wat is dan de beste keuze? a) b) Ko = Kn/u n = / (1,0925) 4 = ,64 c) Ko = / (1,0925) 6 = ,37 De beste keuze is: c

6 Pagina 6 van Een persoon heeft op zijn 30 ste verjaardag geplaatst aan 10%. Vanaf zijn 60 ste neemt hij telkens op zijn verjaardag op. Hoeveel laat hij na als hij kort na zijn 75 ste verjaardag sterft? Kn = Ko. u n Kn = (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) 15 = , Welk kapitaal moet men plaatsen à 12% per jaar om hetzelfde kapitaal te bekomen van à 15% geplaatst. De duur van beide beleggingen is 9 jaar. Kn = Kn. u n Ko = Kn / u n = (1,15) 9 = ,63 / (1,12) 9 = ,63 = , Een persoon wenst gedurende 7 jaar en 7 maand een lening aan te gaan die afbetaald wordt met De ingecalculeerde intrest is 4,25%. Hoeveel kan hij nu lenen? Ko = Kn / u n = / (1,0425) 7 + 7/12 = , Na hoeveel tijd zullen 2 kapitalen nl à 5% en à 3,5% eenzelfde slotwaarde van hebben. n = log (Kn/Ko) / log u a) n = log ( / ) / log 1,05 = 32,987 -> 32 jaar, 11 maand en 26 dagen (32 jaar en 361 dagen) b) n = log ( / ) / log 1,035 = 33,122 -> 33 jaar, 1 maand en 14 dagen (33 jaar en 45 dagen) 3.9. Indien het aantal overlijdens constant 1/42 bedraagt per jaar en het aantal geboorten 1/35 per jaar, na hoeveel tijd zal deze populatie dan verdubbeld zijn? n = log (Kn/Ko) / log u = log 2 / log ( /42. 35) = 145, = 145 jaar, 10 maand en 27 dagen

7 Pagina 7 van Iemand leent die hij met 2 betalingen van elk moet terugbetalen. Wat is de werkelijke rente indien de eerste terugbetaling na 5 jaar en de tweede 5 jaar later gebeurt? = u u -10 Stel: u -5 = x = x x 2 ax 2 + bx + c = 0 x = -b +- b 2 4ac / 2a hier is a = hier is a = 1 b = b = 1 c = c = / = - 1,18375 x 1 = [4. 1. (-1,18375)] 2 u = x 1-1/5 of -5 x = 0, /5 i = 0, / = 7,47 % = ,735 / 2 = 0, x 2 = [4. 1. (-1,18375)] 2 = -1-5,735 / 2 = -1, (niet bruikbaar) 3.11 Een erfenis van moet verdeeld worden onder 3 personen van 15, 11 en 8 jaar. Hoe moet de verdeling gebeuren opdat ze alledrie op hun 21 ste ofwel hetzelfde bedrag ofwel dezelfde koopkracht zouden bezitten. Men rekent met een verrekenintrest van 10%. Koopkracht: / 3 = Hetzelfde bedrag: 8 jaar: / 1 + 1(1,1) 3 + 1(1,1) 7 = , ,37. (1,1) 13 = ,34 11 jaar: / 1(1,1) (1,1) 4 = , ,39. (1,1) 10 = ,34 15 jaar: / 1(1,1) (1,1) = , ,24. (1,1) 6 = ,34 Controle : , , ,24 =

8 Pagina 8 van Iemand plaatst een kapitaal van op samengestelde intrest. Na 10 maand bedraagt het Na nog eens 2 jaar en 6 maand is het tot aangegroeid. Bereken i voor beide perioden. i = (Kn/Ko) 1/n 1 Na 10 maand: i = ( / ) 1/10/12 1 = 5,02 % Na nog eens 2 jaar en 6 maand: i = ( / ) 1/2,5 1 = 6,09 % 3.13.Iemand bezit een kapitaal van dat hij plaatst op samengestelde intrest. Als hij het een jaar minder lang plaatst is het eindkapitaal 3 914,32 minder en als hij dat een jaar langer plaatst 4031,77 meer dan wat het werkelijk is. Hoe lang heeft het kapitaal uitgestaan en tegen welk rendement? Kn ,77 = (Kn ,32) u i = 4 031,77/3 914,32 1 = 3 % u n = ,03 n ,32 of 1. u n = 1. 1,03 n ,32/ ,03 n 1,03 n 1 = 3 914,32/ n = log (Kn/Ko) / log u n = log (3 914,32/ )/1 1,03-1 log 1,03 = 10 jaar

9 Pagina 9 van 11 Hoofdstuk 4: De gelijkwaardige of equivalente rentevoet 4.1. Bereken de werkelijke rentevoet van 7,1% per semester. r = (1,071) 2 1 = 0, = 14,70 % 4.2. Bereken de reële rentevoet van 1,2% en van 1,4% per maand. 1,2 % r = (1,012) 12 1 = 15,39 % per jaar (altijd reële rentevoet) 1,4 % r = (1,014) 12 1 = 18,16 % per jaar 4.3. Bereken de rentevoet per semester gelijkwaardig aan 1% per maand. r = (1,01) 6 1 = 6,152 % 3 cijfers na komma want tis semester 4.4. Bereken de kwartaalrentevoet gelijkwaardig aan 10% reële rente. En wat indien het 10% nominale rente was? Kwartaalrentevoet r = (1,1) 1/4 1 = 2,411 % kwartaal dus 3 cijfers na komma Nominale rentevoet i = j(k) i = 10 %/4 = 2,5 % 4.5. Bereken de nominale rentevoet gelijkwaardig met een reële rentevoet van 4,7% bij maandelijkse, driemaandelijkse en semesteriele kapitalisaties. Maandelijks r = 12. ( 12 1,047 1) = 4,60 % Driemaandelijks r = 4. ( 4 1,047 1) = 4,62 % Semesterieel r = 2. ( 1,047 1) = 4,65 % 4.6. Bereken de reële rentevoet van a) 2% op 5 maand b) 4% op 8 maand c) 4/43 op 9 maand a) r = (1,02) 12/5 1 = 4,87 % b) r = (1,04) 12/8 1 = 6,06 % c) r = (1 + 0, ) 12/9 1 = 12,59 % 4.7. Bereken de rentekracht van een reële rente van 10% en van een nominale rentevoet van 10% bij 2, 4, 12 kapitalisaties. K. ln(1 + j(k)/k) = ln(1 + r) = ln(1 +0,1) = 9,53 %

10 Pagina 10 van 11 Bij 2 kapitalisaties 2. ln(1,05) = 9,76 % Bij 4 kapitalisaties 4. ln(1,025) = 9,88 % Bij 12 kapitalisaties 12. ln(1 + 0,1/12) = 9,96 % 4.8. Bereken de slotwaarde van een kapitaal van na 10 jaar bij een rentekracht van 0,04. Kn = Ko. e n RM: 0, nd e x (0,04. 10) Kn = e = , Iemand kan een kapitaal van plaatsen gedurende 10 jaar aan de volgende voorwaarden a) 16, 1% per jaar b) 8,05% per semester c) 4,025% per kwartaal Zijn de condities gelijkwaardig? Verklaar waarom? Kn = Ko. u n a) Kn = (1 + 16,1 %) 10 = ,14 b) Kn = (1 + 8,05 %) 20 = ,12 c) Kn = (1 + 4,025 %) 40 = ,34 ze zijn niet gelijkwaardig. (nominaal zijn ze wel gelijkwaardig) Iemand heeft aan 8,5% nominaal per jaar geplaatst voor een duur van 5 jaar en 3 maanden. Bereken de eindwaarde. Bekomen we dezelfde eindwaarde bij kapitalisatie per trimester en per maand? Kn = Ko. u n 5 jaar en 3 maanden Kn = (1,085) 5,25 = ,73 Kapitalisatie per trimester Kn = (1,085/4) 21 = ,84 Kaptialisatie per maand Kn = (1,085/12) 63 = ,23

11 Pagina 11 van Een belegging aan 9% nominaal per jaar zal op 3 jaar een slotwaarde van bereikt hebben. Wat is haar aanvangswaarde bij a) jaarlijkse kapitalisatie b) trimesteriele kapitalisatie c) maandelijkse kapitalisatie d) halfmaandelijkse kapitalisatie Ko = Kn/(1 + j(1)/1) 1n a) Ko = /(1 + 0,09/1) 3 = ,80 b) Ko = /(1 + 0,225/1) 12 = ,46 c) Ko = /(1 + 0,0075/1) 36 = ,46 d) Ko = /(1 + 0,00378/1) 72 = ,25