Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde 2012
|
|
|
- Barbara de Croon
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde 202 Cor Kraaikamp August 24, 202 Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, 202 / 64
2 Decimale ontwikkelingen Iedereen weet dat = , 3 maar wat wil dit ook al weer zeggen?... en wat bedoelen we ook al weer met 4 = 0.25, 8 = 0.25, 7 = en wat gebeurt er met deze laatste ontwikkeling? Is deze eindig, oneindig?... en als zij oneindig is, op wat voor manier? Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
3 Decimale ontwikkelingen Iedereen weet dat = , 3 maar wat wil dit ook al weer zeggen?... en wat bedoelen we ook al weer met 4 = 0.25, 8 = 0.25, 7 = en wat gebeurt er met deze laatste ontwikkeling? Is deze eindig, oneindig?... en als zij oneindig is, op wat voor manier? Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
4 Decimale ontwikkelingen Iedereen weet dat = , 3 maar wat wil dit ook al weer zeggen?... en wat bedoelen we ook al weer met 4 = 0.25, 8 = 0.25, 7 = en wat gebeurt er met deze laatste ontwikkeling? Is deze eindig, oneindig?... en als zij oneindig is, op wat voor manier? Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
5 Decimale ontwikkelingen Iedereen weet dat = , 3 maar wat wil dit ook al weer zeggen?... en wat bedoelen we ook al weer met 4 = 0.25, 8 = 0.25, 7 = en wat gebeurt er met deze laatste ontwikkeling? Is deze eindig, oneindig?... en als zij oneindig is, op wat voor manier? Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
6 Decimale ontwikkelingen Iedereen weet dat = , 3 maar wat wil dit ook al weer zeggen?... en wat bedoelen we ook al weer met 4 = 0.25, 8 = 0.25, 7 = en wat gebeurt er met deze laatste ontwikkeling? Is deze eindig, oneindig?... en als zij oneindig is, op wat voor manier? Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
7 Decimale ontwikkelingen Iedereen weet dat = , 3 maar wat wil dit ook al weer zeggen?... en wat bedoelen we ook al weer met 4 = 0.25, 8 = 0.25, 7 = en wat gebeurt er met deze laatste ontwikkeling? Is deze eindig, oneindig?... en als zij oneindig is, op wat voor manier? Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
8 Decimale ontwikkelingen Iedereen weet dat = , 3 maar wat wil dit ook al weer zeggen?... en wat bedoelen we ook al weer met 4 = 0.25, 8 = 0.25, 7 = en wat gebeurt er met deze laatste ontwikkeling? Is deze eindig, oneindig?... en als zij oneindig is, op wat voor manier? Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
9 Decimale ontwikkelingen Iedereen weet dat = , 3 maar wat wil dit ook al weer zeggen?... en wat bedoelen we ook al weer met 4 = 0.25, 8 = 0.25, 7 = en wat gebeurt er met deze laatste ontwikkeling? Is deze eindig, oneindig?... en als zij oneindig is, op wat voor manier? Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
10 Decimale ontwikkelingen In het algemeen bedoelen we dat als de decimale ontwikkeling van een getal x R gelijk is aan x = a 0.a a 2 a 3... met a 0 Z en a n {0,, 2,..., 9}, dat: x = a 0 + n= a n 0 n. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
11 Decimale ontwikkelingen In het algemeen bedoelen we dat als de decimale ontwikkeling van een getal x R gelijk is aan x = a 0.a a 2 a 3... met a 0 Z en a n {0,, 2,..., 9}, dat: x = a 0 + n= a n 0 n. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
12 Decimale ontwikkelingen In het algemeen bedoelen we dat als de decimale ontwikkeling van een getal x R gelijk is aan x = a 0.a a 2 a 3... met a 0 Z en a n {0,, 2,..., 9}, dat: x = a 0 + n= a n 0 n. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
13 Decimale ontwikkelingen Hoe komen we aan zoiets? En hoe kunnen we zien dat de decimale ontwikkeling van rationale getallen x Q eindig of eventueel periodiek (maar wel oneindig) is? Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
14 Decimale ontwikkelingen Hoe komen we aan zoiets? En hoe kunnen we zien dat de decimale ontwikkeling van rationale getallen x Q eindig of eventueel periodiek (maar wel oneindig) is? Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
15 Decimale ontwikkelingen Om met de laatste vraag te beginnen: door te delen!! Als we een gewone staartdeling doen (zoals ik als oude man vroeger op school kreeg), dan krijgen we in de deling vanzelf twee keer dezelfde rest (er zijn maar eindig veel mogelijkheden, nietwaar...). Voor de eerste vraag gebruiken we de volgende afbeelding T 0 : [0, ) [0, ), gedefinieerd door: T 0 (x) = 0x 0x. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
16 Decimale ontwikkelingen Om met de laatste vraag te beginnen: door te delen!! Als we een gewone staartdeling doen (zoals ik als oude man vroeger op school kreeg), dan krijgen we in de deling vanzelf twee keer dezelfde rest (er zijn maar eindig veel mogelijkheden, nietwaar...). Voor de eerste vraag gebruiken we de volgende afbeelding T 0 : [0, ) [0, ), gedefinieerd door: T 0 (x) = 0x 0x. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
17 Decimale ontwikkelingen Om met de laatste vraag te beginnen: door te delen!! Als we een gewone staartdeling doen (zoals ik als oude man vroeger op school kreeg), dan krijgen we in de deling vanzelf twee keer dezelfde rest (er zijn maar eindig veel mogelijkheden, nietwaar...). Voor de eerste vraag gebruiken we de volgende afbeelding T 0 : [0, ) [0, ), gedefinieerd door: T 0 (x) = 0x 0x. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
18 Decimale ontwikkelingen Als x [0, ), zet dan a n = a n (x) = 0T n 0 (x), dan zijn de digits a n {0,, 2..., 9}, en geldt er: T 0 (x) = 0x a 0x = a + T 0 (x) en dus zien we dat x = a T 0(x) Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
19 Decimale ontwikkelingen Als x [0, ), zet dan a n = a n (x) = 0T n 0 (x), dan zijn de digits a n {0,, 2..., 9}, en geldt er: T 0 (x) = 0x a 0x = a + T 0 (x) en dus zien we dat x = a T 0(x) Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
20 Decimale ontwikkelingen Als x [0, ), zet dan a n = a n (x) = 0T n 0 (x), dan zijn de digits a n {0,, 2..., 9}, en geldt er: T 0 (x) = 0x a 0x = a + T 0 (x) en dus zien we dat x = a T 0(x) Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
21 Decimale ontwikkelingen Als x [0, ), zet dan a n = a n (x) = 0T n 0 (x), dan zijn de digits a n {0,, 2..., 9}, en geldt er: T 0 (x) = 0x a 0x = a + T 0 (x) en dus zien we dat x = a T 0(x) Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
22 Decimale ontwikkelingen Omdat volgt er T 2 0(x) = T 0 (T 0 (x)) = 0T 0 (x) a 2 T 0 (x) = a T 2 0(x). Simpelweg invullen geeft dan Zo doorgaand vinden we dus: x = a T 0(x) = a 0 + a T 2 0(x) x = a 0 + a a n 0 n + 0 n T n 0(x). Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
23 Decimale ontwikkelingen Omdat volgt er T 2 0(x) = T 0 (T 0 (x)) = 0T 0 (x) a 2 T 0 (x) = a T 2 0(x). Simpelweg invullen geeft dan Zo doorgaand vinden we dus: x = a T 0(x) = a 0 + a T 2 0(x) x = a 0 + a a n 0 n + 0 n T n 0(x). Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
24 Decimale ontwikkelingen Omdat volgt er T 2 0(x) = T 0 (T 0 (x)) = 0T 0 (x) a 2 T 0 (x) = a T 2 0(x). Simpelweg invullen geeft dan Zo doorgaand vinden we dus: x = a T 0(x) = a 0 + a T 2 0(x) x = a 0 + a a n 0 n + 0 n T n 0(x). Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
25 Decimale ontwikkelingen Omdat volgt er T 2 0(x) = T 0 (T 0 (x)) = 0T 0 (x) a 2 T 0 (x) = a T 2 0(x). Simpelweg invullen geeft dan Zo doorgaand vinden we dus: x = a T 0(x) = a 0 + a T 2 0(x) x = a 0 + a a n 0 n + 0 n T n 0(x). Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
26 Decimale ontwikkelingen Omdat volgt er T 2 0(x) = T 0 (T 0 (x)) = 0T 0 (x) a 2 T 0 (x) = a T 2 0(x). Simpelweg invullen geeft dan Zo doorgaand vinden we dus: x = a T 0(x) = a 0 + a T 2 0(x) x = a 0 + a a n 0 n + 0 n T n 0(x). Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
27 Decimale ontwikkelingen Omdat volgt er T 2 0(x) = T 0 (T 0 (x)) = 0T 0 (x) a 2 T 0 (x) = a T 2 0(x). Simpelweg invullen geeft dan Zo doorgaand vinden we dus: x = a T 0(x) = a 0 + a T 2 0(x) x = a 0 + a a n 0 n + 0 n T n 0(x). Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
28 Decimale ontwikkelingen Omdat 0 0 n T 0(x) n < 0 n volgt er: ( a x = lim n 0 + a a a n 0 n + ) 0 n T 0(x) n = a 0 + a a oftewel, x = n= a n 0 n. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
29 Decimale ontwikkelingen Omdat 0 0 n T 0(x) n < 0 n volgt er: ( a x = lim n 0 + a a a n 0 n + ) 0 n T 0(x) n = a 0 + a a oftewel, x = n= a n 0 n. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
30 Decimale ontwikkelingen Omdat 0 0 n T 0(x) n < 0 n volgt er: ( a x = lim n 0 + a a a n 0 n + ) 0 n T 0(x) n = a 0 + a a oftewel, x = n= a n 0 n. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
31 Decimale ontwikkelingen Omdat 0 0 n T 0(x) n < 0 n volgt er: ( a x = lim n 0 + a a a n 0 n + ) 0 n T 0(x) n = a 0 + a a oftewel, x = n= a n 0 n. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
32 Binaire ontwikkelingen Merk op, dat dit ook werkt als de base niet gelijk is aan 0, maar aan 2, of 3, of 2,... Dit werkt eigenlijk altijd zo voor gehele bases 2. Een bekend voorbeeld is de keuze van base 2 (dan krijgen we dus binaire ontwikkelingen). In het laatste geval hebben we dus alleen maar digits 0 en, en kunnen we elk getal x [0, ) schrijven als: b n x = 2 n, met b n {0, } voor n. n= Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
33 Binaire ontwikkelingen Merk op, dat dit ook werkt als de base niet gelijk is aan 0, maar aan 2, of 3, of 2,... Dit werkt eigenlijk altijd zo voor gehele bases 2. Een bekend voorbeeld is de keuze van base 2 (dan krijgen we dus binaire ontwikkelingen). In het laatste geval hebben we dus alleen maar digits 0 en, en kunnen we elk getal x [0, ) schrijven als: b n x = 2 n, met b n {0, } voor n. n= Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
34 Binaire ontwikkelingen Merk op, dat dit ook werkt als de base niet gelijk is aan 0, maar aan 2, of 3, of 2,... Dit werkt eigenlijk altijd zo voor gehele bases 2. Een bekend voorbeeld is de keuze van base 2 (dan krijgen we dus binaire ontwikkelingen). In het laatste geval hebben we dus alleen maar digits 0 en, en kunnen we elk getal x [0, ) schrijven als: b n x = 2 n, met b n {0, } voor n. n= Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
35 Binaire ontwikkelingen Merk op, dat dit ook werkt als de base niet gelijk is aan 0, maar aan 2, of 3, of 2,... Dit werkt eigenlijk altijd zo voor gehele bases 2. Een bekend voorbeeld is de keuze van base 2 (dan krijgen we dus binaire ontwikkelingen). In het laatste geval hebben we dus alleen maar digits 0 en, en kunnen we elk getal x [0, ) schrijven als: b n x = 2 n, met b n {0, } voor n. n= Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
36 Binaire ontwikkelingen Merk op, dat dit ook werkt als de base niet gelijk is aan 0, maar aan 2, of 3, of 2,... Dit werkt eigenlijk altijd zo voor gehele bases 2. Een bekend voorbeeld is de keuze van base 2 (dan krijgen we dus binaire ontwikkelingen). In het laatste geval hebben we dus alleen maar digits 0 en, en kunnen we elk getal x [0, ) schrijven als: b n x = 2 n, met b n {0, } voor n. n= Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 20224, / 64
37 Het maken van (binaire) rijtjes Je kunt het ook zo zien: Op ieder tijdstip moet aan een waarde een rijtje 0-en en -en gekoppeld worden. Dit doen we voor getallen tussen 0 en door het interval steeds in 2 stukken te delen en dan te kijken of het punt links of rechts ligt. Neem rijtjes = Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
38 Het maken van (binaire) rijtjes Je kunt het ook zo zien: Op ieder tijdstip moet aan een waarde een rijtje 0-en en -en gekoppeld worden. Dit doen we voor getallen tussen 0 en door het interval steeds in 2 stukken te delen en dan te kijken of het punt links of rechts ligt. Neem rijtjes = Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
39 Het maken van (binaire) rijtjes Je kunt het ook zo zien: Op ieder tijdstip moet aan een waarde een rijtje 0-en en -en gekoppeld worden. Dit doen we voor getallen tussen 0 en door het interval steeds in 2 stukken te delen en dan te kijken of het punt links of rechts ligt. Neem rijtjes = Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
40 Het maken van (binaire) rijtjes Je kunt het ook zo zien: Op ieder tijdstip moet aan een waarde een rijtje 0-en en -en gekoppeld worden. Dit doen we voor getallen tussen 0 en door het interval steeds in 2 stukken te delen en dan te kijken of het punt links of rechts ligt. Neem rijtjes = Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
41 Het maken van (binaire) rijtjes Op ieder tijdstip moet aan een waarde een rijtje 0-en en -en gekoppeld worden. Dit doen we voor getallen tussen 0 en door het interval steeds in 2 stukken te delen en dan te kijken of het punt links of rechts ligt. Neem rijtjes = Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, 202 / 64
42 Het maken van (binaire) rijtjes Op ieder tijdstip moet aan een waarde een rijtje 0-en en -en gekoppeld worden. Dit doen we voor getallen tussen 0 en door het interval steeds in 2 stukken te delen en dan te kijken of het punt links of rechts ligt. Neem rijtjes 2 3 = Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
43 Een functie die hetzelfde doet De functie T 2 doet hetzelfde als het algoritme. { 2x, als x tussen 0 en /2 ligt, T 2 (x) = 2x, als x tussen /2 en ligt. 2x 2x 0 2 Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
44 Het maken van rijtjes 0-en en -en Neem bijvoorbeeld x = 2 3. We maken een rijtje 0-en en -en. Schrijf b (x) = = Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
45 Het maken van rijtjes 0-en en -en Neem bijvoorbeeld x = 2 3. We maken een rijtje 0-en en -en. Schrijf b2 (x) = = Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
46 Het maken van rijtjes 0-en en -en Neem bijvoorbeeld x = 2 3. We maken een rijtje 0-en en -en. Schrijf b3 (x) = = Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
47 Het maken van rijtjes 0-en en -en Neem bijvoorbeeld x = 2 3. We maken een rijtje 0-en en -en. Schrijf b4 (x) = = Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
48 Benadering van 2 3 in 4 stappen Voor hadden we het rijtje 0 gekregen. De benadering die dit geeft is = Hoe meer stappen we nemen in de benadering, hoe nauwkeuriger de benadering wordt. We kunnen hier oneindig lang mee doorgaan en krijgen dan een oneindig lang rijtje met 0-len en -nen. We kunnen 2 3 dan schrijven als een oneindige som: 3 = Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
49 Benadering van 2 3 in 4 stappen Voor hadden we het rijtje 0 gekregen. De benadering die dit geeft is = Hoe meer stappen we nemen in de benadering, hoe nauwkeuriger de benadering wordt. We kunnen hier oneindig lang mee doorgaan en krijgen dan een oneindig lang rijtje met 0-len en -nen. We kunnen 2 3 dan schrijven als een oneindige som: 3 = Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
50 Benadering van 2 3 in 4 stappen Voor hadden we het rijtje 0 gekregen. De benadering die dit geeft is = Hoe meer stappen we nemen in de benadering, hoe nauwkeuriger de benadering wordt. We kunnen hier oneindig lang mee doorgaan en krijgen dan een oneindig lang rijtje met 0-len en -nen. We kunnen 2 3 dan schrijven als een oneindige som: 3 = Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
51 Benadering van 2 3 in 4 stappen Voor hadden we het rijtje 0 gekregen. De benadering die dit geeft is = Hoe meer stappen we nemen in de benadering, hoe nauwkeuriger de benadering wordt. We kunnen hier oneindig lang mee doorgaan en krijgen dan een oneindig lang rijtje met 0-len en -nen. We kunnen 2 3 dan schrijven als een oneindige som: 3 = Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
52 Benadering van 2 3 in 4 stappen Voor hadden we het rijtje 0 gekregen. De benadering die dit geeft is = Hoe meer stappen we nemen in de benadering, hoe nauwkeuriger de benadering wordt. We kunnen hier oneindig lang mee doorgaan en krijgen dan een oneindig lang rijtje met 0-len en -nen. We kunnen 2 3 dan schrijven als een oneindige som: 3 = Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
53 Eigenschappen van de benaderingen Bij iedere x tussen 0 en kunnen we een oneindig rijtje 0-en en -en geven. Met dit rijtje kunnen we x schrijven als oneindige som. x = b 2 + b b b Deze som heet de ontwikkeling in basis 2 van x. Bijna alle getallen tussen 0 en hebben een unieke ontwikkeling. Getallen die geen unieke ontwikkeling hebben, hebben precies 2 ontwikkelingen. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
54 Eigenschappen van de benaderingen Bij iedere x tussen 0 en kunnen we een oneindig rijtje 0-en en -en geven. Met dit rijtje kunnen we x schrijven als oneindige som. x = b 2 + b b b Deze som heet de ontwikkeling in basis 2 van x. Bijna alle getallen tussen 0 en hebben een unieke ontwikkeling. Getallen die geen unieke ontwikkeling hebben, hebben precies 2 ontwikkelingen. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
55 Eigenschappen van de benaderingen Bij iedere x tussen 0 en kunnen we een oneindig rijtje 0-en en -en geven. Met dit rijtje kunnen we x schrijven als oneindige som. x = b 2 + b b b Deze som heet de ontwikkeling in basis 2 van x. Bijna alle getallen tussen 0 en hebben een unieke ontwikkeling. Getallen die geen unieke ontwikkeling hebben, hebben precies 2 ontwikkelingen. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
56 Meerdere ontwikkelingen Getallen die twee ontwikkelingen hebben, zijn alle getallen die een keer op 2 terecht komen. Voorbeelden: 4, 3 4, 5 8, = = x 2x 0 2 Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
57 De gulden snede We zagen dat afgezien van een deelverzameling van de rationale getallen tussen 0 en alle getallen een unieke ontwikkeling hebben in elke basis β Z, β 2. Als we de eis laten vallen dat de basis geheel moet zijn gebeuren er opeens spectaculaire dingen. We beperken ons tot het meest eenvoudige geval, waarin de base β gelijk is aan de gulden snede. De gulden snede is g = Het is een van de oplossingen van de vergelijking x 2 x = 0. Het is te schrijven als een kettingwortel met alleen maar -nen, want g 2 = g + : g = Het is te schrijven als een kettingbreuk met alleen maar -nen, want g = + g : g = Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
58 De gulden snede We zagen dat afgezien van een deelverzameling van de rationale getallen tussen 0 en alle getallen een unieke ontwikkeling hebben in elke basis β Z, β 2. Als we de eis laten vallen dat de basis geheel moet zijn gebeuren er opeens spectaculaire dingen. We beperken ons tot het meest eenvoudige geval, waarin de base β gelijk is aan de gulden snede. De gulden snede is g = Het is een van de oplossingen van de vergelijking x 2 x = 0. Het is te schrijven als een kettingwortel met alleen maar -nen, want g 2 = g + : g = Het is te schrijven als een kettingbreuk met alleen maar -nen, want g = + g : g = Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
59 De gulden snede We zagen dat afgezien van een deelverzameling van de rationale getallen tussen 0 en alle getallen een unieke ontwikkeling hebben in elke basis β Z, β 2. Als we de eis laten vallen dat de basis geheel moet zijn gebeuren er opeens spectaculaire dingen. We beperken ons tot het meest eenvoudige geval, waarin de base β gelijk is aan de gulden snede. De gulden snede is g = Het is een van de oplossingen van de vergelijking x 2 x = 0. Het is te schrijven als een kettingwortel met alleen maar -nen, want g 2 = g + : g = Het is te schrijven als een kettingbreuk met alleen maar -nen, want g = + g : g = Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
60 De gulden snede We zagen dat afgezien van een deelverzameling van de rationale getallen tussen 0 en alle getallen een unieke ontwikkeling hebben in elke basis β Z, β 2. Als we de eis laten vallen dat de basis geheel moet zijn gebeuren er opeens spectaculaire dingen. We beperken ons tot het meest eenvoudige geval, waarin de base β gelijk is aan de gulden snede. De gulden snede is g = Het is een van de oplossingen van de vergelijking x 2 x = 0. Het is te schrijven als een kettingwortel met alleen maar -nen, want g 2 = g + : g = Het is te schrijven als een kettingbreuk met alleen maar -nen, want g = + g : g = Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
61 De gulden snede We zagen dat afgezien van een deelverzameling van de rationale getallen tussen 0 en alle getallen een unieke ontwikkeling hebben in elke basis β Z, β 2. Als we de eis laten vallen dat de basis geheel moet zijn gebeuren er opeens spectaculaire dingen. We beperken ons tot het meest eenvoudige geval, waarin de base β gelijk is aan de gulden snede. De gulden snede is g = Het is een van de oplossingen van de vergelijking x 2 x = 0. Het is te schrijven als een kettingwortel met alleen maar -nen, want g 2 = g + : g = Het is te schrijven als een kettingbreuk met alleen maar -nen, want g = + g : g = Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
62 De gulden snede We zagen dat afgezien van een deelverzameling van de rationale getallen tussen 0 en alle getallen een unieke ontwikkeling hebben in elke basis β Z, β 2. Als we de eis laten vallen dat de basis geheel moet zijn gebeuren er opeens spectaculaire dingen. We beperken ons tot het meest eenvoudige geval, waarin de base β gelijk is aan de gulden snede. De gulden snede is g = Het is een van de oplossingen van de vergelijking x 2 x = 0. Het is te schrijven als een kettingwortel met alleen maar -nen, want g 2 = g + : g = Het is te schrijven als een kettingbreuk met alleen maar -nen, want g = + g : g = Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
63 De gulden snede in kunst De gulden snede wordt wellicht gebruikt in kunst, zoals in de Vetruviaanse man van Leonardo da Vinci... maar anderen denken dat dat onzin is. De verhouding tussen de afstand van voeten tot navel en de afstand van hoofd tot navel is de gulden snede, evenals de verhouding tussen de afstand van voeten tot navel en de totale lichaamslengte. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
64 De gulden snede in kunst De gulden snede wordt wellicht gebruikt in kunst, zoals in de Vetruviaanse man van Leonardo da Vinci... maar anderen denken dat dat onzin is. De verhouding tussen de afstand van voeten tot navel en de afstand van hoofd tot navel is de gulden snede, evenals de verhouding tussen de afstand van voeten tot navel en de totale lichaamslengte. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
65 De gulden snede in kunst De gulden snede wordt wellicht gebruikt in kunst, zoals in de Vetruviaanse man van Leonardo da Vinci... maar anderen denken dat dat onzin is. De verhouding tussen de afstand van voeten tot navel en de afstand van hoofd tot navel is de gulden snede, evenals de verhouding tussen de afstand van voeten tot navel en de totale lichaamslengte. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
66 De bijbehorende functie? Als we kijken naar de lijnen gx en gx voor x-en tussen 0 en g, dan ziet dat er zo uit. g gx gx 0 g g Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
67 Benaderingen maken in basis de gulden snede We kunnen weer 0-len en -nen gebruiken om benaderingen te maken van alle getallen tussen 0 en g. Alleen nu is er een gebied waar we zowel de 0 als de kunnen gebruiken. g 0 gx gx 0 g g Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
68 Benaderingen maken in basis de gulden snede We kunnen weer 0-len en -nen gebruiken om benaderingen te maken van alle getallen tussen 0 en g. Alleen nu is er een gebied waar we zowel de 0 als de kunnen gebruiken. g 0 gx gx 0 g g Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
69 Benaderingen maken in basis de gulden snede We kunnen weer 0-len en -nen gebruiken om benaderingen te maken van alle getallen tussen 0 en g. Alleen nu is er een gebied waar we zowel de 0 als de kunnen gebruiken. g 0 0 gx gx 0 g g Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
70 Benaderingen maken in basis de gulden snede We kunnen weer 0-len en -nen gebruiken om benaderingen te maken van alle getallen tussen 0 en g. Alleen nu is er een gebied waar we zowel de 0 als de kunnen gebruiken. g 0 0 gx gx 0 g g Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
71 Benaderingen maken in basis de gulden snede We kunnen weer 0-len en -nen gebruiken om benaderingen te maken van alle getallen tussen 0 en g. Alleen nu is er een gebied waar we zowel de 0 als de kunnen gebruiken. g 0 0 gx gx 0 g g Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
72 Benaderingen maken in basis de gulden snede We kunnen weer 0-len en -nen gebruiken om benaderingen te maken van alle getallen tussen 0 en g. Alleen nu is er een gebied waar we zowel de 0 als de kunnen gebruiken. g 0 0 gx gx 0 g g Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
73 Benaderingen maken in basis de gulden snede We kunnen weer 0-len en -en gebruiken om benaderingen te maken van alle getallen tussen 0 en g. Alleen nu is er een gebied waar we zowel de 0 als de kunnen gebruiken. g 0 0 gx gx 0 g g Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
74 Benaderingen maken in basis de gulden snede We kunnen weer 0-len en -nen gebruiken om benaderingen te maken van alle getallen tussen 0 en g. Alleen nu is er een gebied waar we zowel de 0 als de kunnen gebruiken. g 0 0 gx gx 0 g g Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
75 Benaderingen maken in basis de gulden snede We kunnen weer 0-len en -nen gebruiken om benaderingen te maken van alle getallen tussen 0 en g. Alleen nu is er een gebied waar we zowel de 0 als de kunnen gebruiken. g 0 0 gx gx 0 g g Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
76 Oneindig veel rijtjes Neem bijvoorbeeld weer 2 3. g 0 0 g 0 0 gx gx gx gx 0 g0 g g g 3 = = Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
77 Oneindig veel rijtjes Neem bijvoorbeeld weer 2 3. g 0 0 g 0 0 gx gx gx gx 0 g0 g g g 3 = = Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
78 Oneindig veel rijtjes Neem bijvoorbeeld weer 2 3. g 0 0 g 0 0 gx gx gx gx 0 g0 g g g 3 = = = Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
79 Oneindig veel rijtjes Neem bijvoorbeeld weer 2 3. g 0 0 g 0 0 gx gx gx gx 0 g0 g g g 3 = = = Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
80 Ontwikkelingen in basis de gulden snede We kunnen de rijtjes weer omzetten in benaderingen van het originele getal. Zo vinden we ontwikkelingen in basis de gulden snede. Voor kregen we na een paar stappen het rijtje 00. Dit geeft de benadering We hebben de ontwikkeling g + 0 g 2 + g g = 2 g + 0 g 2 + g g g g g g g 9 + g 0 + Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
81 Ontwikkelingen in basis de gulden snede We kunnen de rijtjes weer omzetten in benaderingen van het originele getal. Zo vinden we ontwikkelingen in basis de gulden snede. Voor kregen we na een paar stappen het rijtje 00. Dit geeft de benadering We hebben de ontwikkeling g + 0 g 2 + g g = 2 g + 0 g 2 + g g g g g g g 9 + g 0 + Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
82 Ontwikkelingen in basis de gulden snede We kunnen de rijtjes weer omzetten in benaderingen van het originele getal. Zo vinden we ontwikkelingen in basis de gulden snede. Voor kregen we na een paar stappen het rijtje 00. Dit geeft de benadering We hebben de ontwikkeling g + 0 g 2 + g g = 2 g + 0 g 2 + g g g g g g g 9 + g 0 + Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
83 Veel ontwikkelingen Bij het maken van een rijtje 0-len en -nen met een algoritme moeten we een keuze maken in het gekleurde gebied. Als we altijd kiezen voor de krijgen we de zogenaamde greedy expansion. Als we altijd kiezen voor digit 0 dan krijgen we de lazy expansion.... maar we kunnen onze keuze natuurlijk afwisselen! Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
84 Veel ontwikkelingen Bij het maken van een rijtje 0-len en -nen met een algoritme moeten we een keuze maken in het gekleurde gebied. Als we altijd kiezen voor de krijgen we de zogenaamde greedy expansion. Als we altijd kiezen voor digit 0 dan krijgen we de lazy expansion.... maar we kunnen onze keuze natuurlijk afwisselen! Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
85 Veel ontwikkelingen Bij het maken van een rijtje 0-len en -nen met een algoritme moeten we een keuze maken in het gekleurde gebied. Als we altijd kiezen voor de krijgen we de zogenaamde greedy expansion. Als we altijd kiezen voor digit 0 dan krijgen we de lazy expansion.... maar we kunnen onze keuze natuurlijk afwisselen! Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
86 Veel ontwikkelingen Bij het maken van een rijtje 0-len en -nen met een algoritme moeten we een keuze maken in het gekleurde gebied. Als we altijd kiezen voor de krijgen we de zogenaamde greedy expansion. Als we altijd kiezen voor digit 0 dan krijgen we de lazy expansion.... maar we kunnen onze keuze natuurlijk afwisselen! Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
87 Veel ontwikkelingen Voor vaste keuze van de digit geeft dat de volgende afbeeldingen. Eerst de afbeelding voor de greedy afbeelding:. g. 0 g Figure: De afbeelding T β met β gelijk aan de gulden snede g Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
88 Veel ontwikkelingen Voor vaste keuze van de digit geeft dat de volgende afbeeldingen. Eerst de afbeelding voor de greedy afbeelding:. g. 0 g Figure: De afbeelding T β met β gelijk aan de gulden snede g Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
89 Veel ontwikkelingen... en voor de lazy afbeelding: g.. /g 0 /g g Figure: De afbeelding T β voor β = G op het grotere gebied [0, G] Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
90 Veel ontwikkelingen... en voor de lazy afbeelding: g.. /g 0 /g g Figure: De afbeelding T β voor β = G op het grotere gebied [0, G] Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
91 Oneindig veel ontwikkelingen We kunnen bij alle x-en dus veel verschillende ontwikkelingen opschrijven in basis de gulden snede. We hebben zelfs de volgende stelling. Stelling (Erdös, Joo en Komornik) Alle getallen tussen 0 en g hebben oneindig veel verschillende ontwikkelingen in basis de gulden snede. Bewijs: Iedere keer als een x in het gekleurde gebied komt, verdubbelt het aantal ontwikkelingen van x in basis de gulden snede. Als een x oneindig vaak in het gekleurde gebied komt, dan heeft het ook oneindig veel verschillende ontwikkelingen. Stel dat we laten zien dat een x in het 0-gebied of het -gebied altijd na een eindig aantal stappen in het 0/-gebied komt, dan laat dat zien dat alle x-en oneindig vaak in het 0/-gebied komen. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
92 Oneindig veel ontwikkelingen We kunnen bij alle x-en dus veel verschillende ontwikkelingen opschrijven in basis de gulden snede. We hebben zelfs de volgende stelling. Stelling (Erdös, Joo en Komornik) Alle getallen tussen 0 en g hebben oneindig veel verschillende ontwikkelingen in basis de gulden snede. Bewijs: Iedere keer als een x in het gekleurde gebied komt, verdubbelt het aantal ontwikkelingen van x in basis de gulden snede. Als een x oneindig vaak in het gekleurde gebied komt, dan heeft het ook oneindig veel verschillende ontwikkelingen. Stel dat we laten zien dat een x in het 0-gebied of het -gebied altijd na een eindig aantal stappen in het 0/-gebied komt, dan laat dat zien dat alle x-en oneindig vaak in het 0/-gebied komen. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
93 Oneindig veel ontwikkelingen We kunnen bij alle x-en dus veel verschillende ontwikkelingen opschrijven in basis de gulden snede. We hebben zelfs de volgende stelling. Stelling (Erdös, Joo en Komornik) Alle getallen tussen 0 en g hebben oneindig veel verschillende ontwikkelingen in basis de gulden snede. Bewijs: Iedere keer als een x in het gekleurde gebied komt, verdubbelt het aantal ontwikkelingen van x in basis de gulden snede. Als een x oneindig vaak in het gekleurde gebied komt, dan heeft het ook oneindig veel verschillende ontwikkelingen. Stel dat we laten zien dat een x in het 0-gebied of het -gebied altijd na een eindig aantal stappen in het 0/-gebied komt, dan laat dat zien dat alle x-en oneindig vaak in het 0/-gebied komen. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
94 Oneindig veel ontwikkelingen We kunnen bij alle x-en dus veel verschillende ontwikkelingen opschrijven in basis de gulden snede. We hebben zelfs de volgende stelling. Stelling (Erdös, Joo en Komornik) Alle getallen tussen 0 en g hebben oneindig veel verschillende ontwikkelingen in basis de gulden snede. Bewijs: Iedere keer als een x in het gekleurde gebied komt, verdubbelt het aantal ontwikkelingen van x in basis de gulden snede. Als een x oneindig vaak in het gekleurde gebied komt, dan heeft het ook oneindig veel verschillende ontwikkelingen. Stel dat we laten zien dat een x in het 0-gebied of het -gebied altijd na een eindig aantal stappen in het 0/-gebied komt, dan laat dat zien dat alle x-en oneindig vaak in het 0/-gebied komen. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
95 Oneindig veel ontwikkelingen We kunnen bij alle x-en dus veel verschillende ontwikkelingen opschrijven in basis de gulden snede. We hebben zelfs de volgende stelling. Stelling (Erdös, Joo en Komornik) Alle getallen tussen 0 en g hebben oneindig veel verschillende ontwikkelingen in basis de gulden snede. Bewijs: Iedere keer als een x in het gekleurde gebied komt, verdubbelt het aantal ontwikkelingen van x in basis de gulden snede. Als een x oneindig vaak in het gekleurde gebied komt, dan heeft het ook oneindig veel verschillende ontwikkelingen. Stel dat we laten zien dat een x in het 0-gebied of het -gebied altijd na een eindig aantal stappen in het 0/-gebied komt, dan laat dat zien dat alle x-en oneindig vaak in het 0/-gebied komen. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
96 Oneindig veel ontwikkelingen Bewijs, vervolg: g 0 0 gx gx 0 g g Neem een x tussen 0 en /g. Dan is x in het 0 gebied, en wordt x òf in het 0-gebied òf in het gekleurde gebied afgebeeld. Aangezien de x-en in het 0-gebied met g worden vermenigvuldigd, worden ze alleen maar groter, zodat ze uiteindelijk allemaal een keer in het gekleurde gebied worden afgebeeld. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
97 Oneindig veel ontwikkelingen Bewijs, vervolg: g 0 0 gx gx 0 g g Neem een x tussen 0 en /g. Dan is x in het 0 gebied, en wordt x òf in het 0-gebied òf in het gekleurde gebied afgebeeld. Aangezien de x-en in het 0-gebied met g worden vermenigvuldigd, worden ze alleen maar groter, zodat ze uiteindelijk allemaal een keer in het gekleurde gebied worden afgebeeld. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
98 Oneindig veel ontwikkelingen Bewijs, vervolg: g 0 0 gx gx 0 g g Neem een x tussen 0 en /g. Dan is x in het 0 gebied, en wordt x òf in het 0-gebied òf in het gekleurde gebied afgebeeld. Aangezien de x-en in het 0-gebied met g worden vermenigvuldigd, worden ze alleen maar groter, zodat ze uiteindelijk allemaal een keer in het gekleurde gebied worden afgebeeld. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
99 Oneindig veel ontwikkelingen Bewijs, vervolg: g 0 0 gx gx 0 g g Neem een x tussen en g. Dan wordt de x of in het -gebied afgebeeld of in het gekleurde gebied. Aangezien de x-en in het -gebied alleen maar kleiner worden, worden ze uiteindelijk allemaal een keer in het gekleurde gebied afgebeeld. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
100 Oneindig veel ontwikkelingen Bewijs, vervolg: g 0 0 gx gx 0 g g Neem een x tussen en g. Dan wordt de x of in het -gebied afgebeeld of in het gekleurde gebied. Aangezien de x-en in het -gebied alleen maar kleiner worden, worden ze uiteindelijk allemaal een keer in het gekleurde gebied afgebeeld. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
101 Oneindig veel ontwikkelingen Bewijs, vervolg: g 0 0 gx gx 0 g g Neem een x tussen en g. Dan wordt de x of in het -gebied afgebeeld of in het gekleurde gebied. Aangezien de x-en in het -gebied alleen maar kleiner worden, worden ze uiteindelijk allemaal een keer in het gekleurde gebied afgebeeld. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
102 Kettingbreuken We zagen eerder voor het gulden snede getal dat er naast de decimale en bianaire-ontwikkeling andere getal-ontwikkelingen bestaan. Eén van deze getal-ontwikkelingen is sterk gerelateerd aan een zeer oud algoritme: het algoritme van Euclides om de grootste gemende deler van twee gehele getallen te vinden. Laat a, b Z en veronderstel gemakshalve dat a > b > 0. Zet r 0 = a, r = b, en kies gehele getallen a, r 2 0, zo dat r 0 = a r + r 2, waarbij 0 r 2 < r. In het geval dat r 2 0 kunnen we deze procedure herhalen. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
103 Kettingbreuken We zagen eerder voor het gulden snede getal dat er naast de decimale en bianaire-ontwikkeling andere getal-ontwikkelingen bestaan. Eén van deze getal-ontwikkelingen is sterk gerelateerd aan een zeer oud algoritme: het algoritme van Euclides om de grootste gemende deler van twee gehele getallen te vinden. Laat a, b Z en veronderstel gemakshalve dat a > b > 0. Zet r 0 = a, r = b, en kies gehele getallen a, r 2 0, zo dat r 0 = a r + r 2, waarbij 0 r 2 < r. In het geval dat r 2 0 kunnen we deze procedure herhalen. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
104 Kettingbreuken We zagen eerder voor het gulden snede getal dat er naast de decimale en bianaire-ontwikkeling andere getal-ontwikkelingen bestaan. Eén van deze getal-ontwikkelingen is sterk gerelateerd aan een zeer oud algoritme: het algoritme van Euclides om de grootste gemende deler van twee gehele getallen te vinden. Laat a, b Z en veronderstel gemakshalve dat a > b > 0. Zet r 0 = a, r = b, en kies gehele getallen a, r 2 0, zo dat r 0 = a r + r 2, waarbij 0 r 2 < r. In het geval dat r 2 0 kunnen we deze procedure herhalen. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
105 Kettingbreuken We zagen eerder voor het gulden snede getal dat er naast de decimale en bianaire-ontwikkeling andere getal-ontwikkelingen bestaan. Eén van deze getal-ontwikkelingen is sterk gerelateerd aan een zeer oud algoritme: het algoritme van Euclides om de grootste gemende deler van twee gehele getallen te vinden. Laat a, b Z en veronderstel gemakshalve dat a > b > 0. Zet r 0 = a, r = b, en kies gehele getallen a, r 2 0, zo dat r 0 = a r + r 2, waarbij 0 r 2 < r. In het geval dat r 2 0 kunnen we deze procedure herhalen. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
106 Kettingbreuken We zagen eerder voor het gulden snede getal dat er naast de decimale en bianaire-ontwikkeling andere getal-ontwikkelingen bestaan. Eén van deze getal-ontwikkelingen is sterk gerelateerd aan een zeer oud algoritme: het algoritme van Euclides om de grootste gemende deler van twee gehele getallen te vinden. Laat a, b Z en veronderstel gemakshalve dat a > b > 0. Zet r 0 = a, r = b, en kies gehele getallen a, r 2 0, zo dat r 0 = a r + r 2, waarbij 0 r 2 < r. In het geval dat r 2 0 kunnen we deze procedure herhalen. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
107 Kettingbreuken We zagen eerder voor het gulden snede getal dat er naast de decimale en bianaire-ontwikkeling andere getal-ontwikkelingen bestaan. Eén van deze getal-ontwikkelingen is sterk gerelateerd aan een zeer oud algoritme: het algoritme van Euclides om de grootste gemende deler van twee gehele getallen te vinden. Laat a, b Z en veronderstel gemakshalve dat a > b > 0. Zet r 0 = a, r = b, en kies gehele getallen a, r 2 0, zo dat r 0 = a r + r 2, waarbij 0 r 2 < r. In het geval dat r 2 0 kunnen we deze procedure herhalen. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
108 Kettingbreuken We zagen eerder voor het gulden snede getal dat er naast de decimale en bianaire-ontwikkeling andere getal-ontwikkelingen bestaan. Eén van deze getal-ontwikkelingen is sterk gerelateerd aan een zeer oud algoritme: het algoritme van Euclides om de grootste gemende deler van twee gehele getallen te vinden. Laat a, b Z en veronderstel gemakshalve dat a > b > 0. Zet r 0 = a, r = b, en kies gehele getallen a, r 2 0, zo dat r 0 = a r + r 2, waarbij 0 r 2 < r. In het geval dat r 2 0 kunnen we deze procedure herhalen. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
109 Kettingbreuken Het is duidelijk dat we na ten hoogste r stappen tot stilstand komen. Er bestaat een positief geheel getal n met r n 0, en r k = a k+ r k+ + r k+2 voor k n 0 = r n+ < r n < < r. Er geldt dan dat de grootste gehele deler ggd(a, b) van a en b gelijk is aan r n. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
110 Kettingbreuken Het is duidelijk dat we na ten hoogste r stappen tot stilstand komen. Er bestaat een positief geheel getal n met r n 0, en r k = a k+ r k+ + r k+2 voor k n 0 = r n+ < r n < < r. Er geldt dan dat de grootste gehele deler ggd(a, b) van a en b gelijk is aan r n. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
111 Kettingbreuken Het is duidelijk dat we na ten hoogste r stappen tot stilstand komen. Er bestaat een positief geheel getal n met r n 0, en r k = a k+ r k+ + r k+2 voor k n 0 = r n+ < r n < < r. Er geldt dan dat de grootste gehele deler ggd(a, b) van a en b gelijk is aan r n. Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde August 2024, / 64
Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1
Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking
1 Kettingbreuken van rationale getallen
Kettingbreuken van rationale getallen Laten we eens starten met een breuk bijvoorbeeld 37/3 Laten we hier ons kettingbreuk algoritme op los, We concluderen hieruit dat 37 3 3 + 3 + + 37 3 + + + hetgeen
Relaties tussen verschillende getalsontwikkelingen en hun eigenschappen
I Verstraten Relaties tussen verschillende getalsontwikkelingen en hun eigenschappen Masterscriptie Scriptiebegeleider: dr CCCJ Kalle Datum Masterexamen: 6 maart 07 Mathematisch Instituut, Universiteit
Bijzondere kettingbreuken
Hoofdstuk 15 Bijzondere kettingbreuken 15.1 Kwadratische getallen In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat 2 = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,.... Men kan zich afvragen waarom we vanaf zeker moment alleen maar
Hoofdstuk 1 : De reële getallen
Hoofdstuk 1 : De reële getallen - 1 Rationale getallen (boek pag 3): Eventjes herhalen: De verzameling van de rationale getallen stellen voor door :... Elk rationaal getal kan geschreven worden als een
In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:
Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal
Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H17
Hints en uitwerkingen huiswerk 013 Analyse 1 H17 Rocco van Vreumingen augustus 014 1 Inhoudsopgave 1 Hints 1 3 Hints 4 3 Hints 3 4 4 Hints 4 5 5 Hints 5 5 6 Hints 6 6 7 Hints 7 6 8 Hints 8 6 9 Hints 9
Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)
Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk
Machten, exponenten en logaritmen
Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde
TEGELTJESWIJSHEDEN DOOR CHARLENE KALLE
TEGELTJESWIJSHEDEN DOOR CHARLENE KALLE Betegelingen kom je overal tegen. Denk bijvoorbeeld aan een betegelde badkamermuur, een houten vloer of het patroon op het behang van je oma, maar ook aan tetris,
1. Optellen en aftrekken
1. Optellen en aftrekken Om breuken op te tellen of af te trekken maak je de breuken gelijknamig. Gelijknamig maken wil zeggen dat je zorgt voor 'gelijke noemers': Om de breuken met 'derden' en 'vijfden'
Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.
OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π
OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π KOEN DE NAEGHEL Samenvatting. In deze nota buigen we ons over de vraag of een macht van π een irrationaal getal is. De aangereikte opbouw en bewijsmethoden zijn
1. Hoeveel decimalen van π ken je?
Deze samenvatting is bedoeld voor mijn moeder en alle andere lezers die niet veel van wiskunde weten, maar wel graag willen zien waar ik de afgelopen jaren aan heb gewerkt Wiskundigen verwijs ik graag
gelijkvormigheid handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek
gelijkvormigheid inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek gelijkvormigheid gelijkvormigheid 1 de grote lijn hoofdlijn de zijlijn
Geldwisselprobleem van Frobenius
Geldwisselprobleem van Frobenius Karin van de Meeberg en Dieuwertje Ewalts 12 december 2001 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Afspraken 3 3 Is er wel zo n g? 3 4 Eén waarde 4 5 Twee waarden 4 6 Lampenalgoritme
eerste en laatste cijfers Jaap Top
eerste en laatste cijfers Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 3-10 april 2013 (Collegecarrousel, Groningen) 1 laatste, eerste?! over getallen 2,..., 101,..., 2014,...... laatste cijfers hiervan: 2,...,
Breuken - Brak - Gebroken. Kettingbreuken
Breuken - Brak - Gebroken Kettingbreuken Voorwoord Kettingbreuken is een boekje dat bedoeld is voor HAVO- en VWO leerlingen met wiskunde in hun profiel. Aan het einde van elk hoofdstuk is een aantal oefeningen
Wiskunde in vierde, vijfde en zesde klas Lezing
Wiskunde in vierde, vijfde en zesde klas Lezing 14-02-2006 BREUKEN Nog eenmaal pannenkoeken verdelen. De cirkel als meest gebruikte beeld bij de breuken Breukentafels: ½ - 2/4 3/6 4/8 enz. De breukenregels:
Getallen, 2e druk, extra opgaven
Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in
Getallensystemen, verzamelingen en relaties
Hoofdstuk 1 Getallensystemen, verzamelingen en relaties 1.1 Getallensystemen 1.1.1 De natuurlijke getallen N = {0, 1, 2, 3,...} N 0 = {1, 2, 3,...} 1.1.2 De gehele getallen Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1,
Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2
Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van
1. REGELS VAN DEELBAARHEID.
REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden
In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:
Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 Extremenprincipe 6 3 Ladenprincipe 11 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van
REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS
REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS Schooljaar 008/009 Inhoud Uitleg bij het boekje Weektaak voor e week: optellen en aftrekken Weektaak voor e week: vermenigvuldigen Weektaak voor e week: delen en de staartdeling
Het irrationaal getal phi (φ)
Het irrationaal getal phi (φ) De gulden snede Het irrationaal φ is ongeveer 1,6180339887 Dit getal is terug te vinden in veel maten en verhoudingen van lengtes van oude Griekse beeldhouwwerken, architectuur
priemrecords? Jaap Top
priemrecords? Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 18-23 april 2013 (Collegecaroussel, Groningen) 1 priemrecords?! over priemgetallen 2, 3, 5, 7,..., 101,..., 2017,...... p priem: niet deelbaar door
De Wonderlijke Zonnebloem
De Wonderlijke Zonnebloem Brecht Verstappen Student SLO wiskunde KU Leuven Wiskunde en de natuur. Op het eerste zicht zijn dat twee aparte werelden, maar schijn bedriegt: de natuur zit vol met wiskundige
Het duivenhokprincipe
Tijdens de sneeuwstormen van 5 november j.l. hebben duizenden leerlingen zich gebogen over de opdracht in het kader van de wiskunde B-dag. Op het Jac P Thijsse College worden de werkstukken beoordeeld
1.1 Rekenen met letters [1]
![1.1 Rekenen met letters [1]](/thumbs/41/22623929.jpg "1.1 Rekenen met letters [1]")
1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren
Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9
Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte
Diophantische vergelijkingen
Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten
DE GULDEN SNEDE IN WEB DESIGN
HET NUT VAN DE GULDEN SNEDE IN WEB DESIGN In dit hoorcollege ga ik het hebben over mijn onderzoek naar de gulden snede met betrekking tot web design. De gulden snede fascineert me al van jongs af aan en
Verzamelingen, Lijsten, Functioneel Programmeren
Verzamelingen, Lijsten, Functioneel Programmeren Jan van Eijck jve@cwi.nl Stage Ignatiuscollege, 17 mei 2010 Samenvatting In deze lezing gaan we in op de overeenkomsten en verschillen tussen verzamelingen
1 Rekenen in eindige precisie
Rekenen in eindige precisie Een computer rekent per definitie met een eindige deelverzameling van getallen. In dit hoofdstuk bekijken we hoe dit binnen een computer is ingericht, en wat daarvan de gevolgen
Over de construeerbaarheid van gehele hoeken
Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:
Kettingbreuken Frits Beukers. Masterclass Kettingbreuken Utrecht, 14 en 15 oktober 2011
Kettingbreuken Frits Beukers Masterclass Kettingbreuken Utrecht, 4 en 5 oktober 20 INHOUDSOPGAVE Inhoudsopgave Inleiding 2 Wat is een kettingbreuk? 3 Eerste eigenschappen 3 4 Kettingbreuken van rationale
Uitdager van de maand. Rekenen Wiskunde, Groep 8. Algemeen
Uitdager van de maand Breuken Rekenen Wiskunde, Groep 8 Algemeen Titel Breuken Cognitieve doelen en vaardigheden voor excellente leerlingen Met een breuk aangeven welk deel van een vorm gekleurd is (begrijpen).
Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos
Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos Wobien Doyer Lieke de Rooij Volgens de titel is deze puzzel zonder doel, dus zonder bekende toepassing. Het doel is echter nul en dat is zeker in de wiskunde niet niks.
Functievergelijkingen
Functievergelijkingen Trainingsweek juni 2008 Basistechnieken Je mag alle getallen in het domein invullen in je functievergelijking. Wat er precies handig is, hangt af van het domein en van de functievergelijking.
I.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.
I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk
Hoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen
Hoofdstuk 3 Equivalentierelaties SCHAUM 2.8: Equivalence Relations Twee belangrijke voorbeelden van equivalentierelaties in de informatica: resten (modulo rekenen) en cardinaliteit (aftelbaarheid). 3.1
Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :
Overaftelbaar oneindig veel getalsontwikkelingen. Hans Fritzsche
Overaftelbaar oneindig veel getalsontwikkelingen Hans Fritzsche Voorwoord Voorwoord Deze scriptie is geschreven als afronding voor mijn bachelor Wiskunde aan de Universiteit Leiden, in samenwerking met
Les C-01: Algoritmen. 2005 David Lans
2005 David Lans Les C-01: Algoritmen 1.0 Inleiding Moeilijke problemen pakken we vaak stapsgewijs aan: Een olifant eet je met kleine hapjes. Het is van belang om de stappen waarmee we een probleem oplossen
Opgaven Inleiding Analyse
Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van iet dat y 0 y = 0. (b) Bewijs y 0 y 3 = 0 uit de definitie van iet. (c) Bewijs y 0 y 3
2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.
Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D020. Datum: Vrijdag 26 maart 2004. Tijd: 14.00 17.00 uur. Plaats: MA 1.41 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf
Bestaat er dan toch een wortel uit 1?
Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007 Wat zijn complexe getallen? Wat zijn
Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015
Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen
Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2
Werkboekje
Staartdeling Werkboekje www.roykenen.nl Inhoud Uitleg Staartdeling... 2 Opgave 1... 2 Opgave 2... 5 Deler is groter dan eerste cijfer deeltal... Opgave 3... Opgave... 8 Staartdeling met een rest... 9 Opgave
2 REKENEN MET BREUKEN 3. 2.3 Optellen van breuken 6. 2.5 Aftrekken van breuken 9. 2.7 Vermenigvuldigen van breuken 11. 2.9 Delen van breuken 13
REKENEN MET BREUKEN. De breuk. Opgaven. Optellen van breuken 6. Opgaven 8. Aftrekken van breuken 9.6 Opgaven 9.7 Vermenigvuldigen van breuken.8 Opgaven.9 Delen van breuken.0 Opgaven. Een deel van een deel.
0.25x. Het buitengebied - vanuit elk punt kun je twee raaklijnen tekenen - bevat twee oplossingen. De parabool zelf staat voor één oplossing.
Uitwerkingen opgaven Zichtbaar maken van discriminantkrommen Opgave 1.1 a. Het binnengebied van de dalparabool oplossingen. y 0.5x, het holle deel, bevat geen Het buitengebied - vanuit elk punt kun je
Prof. dr. H.W. Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Faculteit der Wiskunde en Natuurwetenschappen met dank aan Jan van Maanen en Pauline Vos
Werken met getallen (en verzamelingen en oneindigheid) Prof. dr. H.W. Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Faculteit der Wiskunde en Natuurwetenschappen met dank aan Jan van Maanen en Pauline Vos
Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte
Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 2 Gröbnerbases 1. Vragen We hebben gezien dat de studie van stelsels polynoomvergelijkingen in meerdere variabelen op natuurlijke manier leidt
Curiosa Mathematica. Over mij. Doel. Over de Curiosa Mathematica. Jens Bossaert Dag van de Wiskunde 22 november 2014
Over mij Curiosa Mathematica Jens Bossaert jens.bossaert@ugent.be Dag van de Wiskunde 22 november 214 Jens Bossaert UniversiteitGent, 3 de bachelorwiskunde http://users.ugent.be/~jebossae/ Webmaster wiskundevereniging
De exacte benadering. Vakantiecursus 2012. Eindhoven, 24 en 25 augustus 2012. Amsterdam, 31 augustus en 1 september 2012
De exacte benadering Vakantiecursus 2012 Eindhoven, 24 en 25 augustus 2012 Amsterdam, 31 augustus en 1 september 2012 VC2012 2012/8/16 14:17 page i #1 VC2012 2012/8/16 14:17 page ii #2 Syllabus Vakantiecursus
Bijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica
Bijzondere getallen Oneindig (als getal) TomVerhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica T.Verhoeff@TUE.NL http://www.win.tue.nl/~wstomv/ Oneindig Bijzondere getallen Er
Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De
4.1 Rijen. Inhoud. Convergentie van een reeks. Reeksen. a k. a k = lim. a k = s. s n = a 1 + a 2 + + a n = k=1
Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-0 Reesen en Machtreesen Inhoud. Rijen 2. Reesen Definities en enmeren Reesen met niet-negatieve termen Reesen met positieve en negatieve termen 3. Machtreesen
Reken zeker: leerlijn kommagetallen
Reken zeker: leerlijn kommagetallen De gebruikelijke didactische aanpak bij Reken Zeker is dat we eerst uitleg geven, vervolgens de leerlingen flink laten oefenen (automatiseren) en daarna het geleerde
RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002
RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven
college 6: limieten en l Hôpital
126 college 6: ieten en l Hôpital In dit college herhalen we enkele belangrijke definities van ieten, en geven we belangrijke technieken om ieten van functies (eigenlijk en oneigenlijk) te bepalen. In
Constructie der p-adische getallen
Constructie der p-adische getallen Pim van der Hoorn Marcel de Reus 4 februari 2008 Voorwoord Deze tekst is geschreven als opdracht bij de cursus Kaleidoscoop 2007 2008 aan de Universiteit Utrecht. De
Enkele valkuilen om te vermijden
Enkele valkuilen om te vermijden Dit document is bedoeld om per onderwerp enkele nuttige strategieën voor opgaven te geven. Ook wordt er op een aantal veelgemaakte fouten gewezen. Het is géén volledige
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen 8 december 2015, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is het totaal
1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling
Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking 10 december 2013, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is
1 - Geschiedenis van de Algebra
1 - Geschiedenis van de Algebra De opdracht omschrijving voor dit hoofdstuk bestond uit het volgende: A1 - Maak 5 van de 19 opdrachten. Zorg voor nette uitwerkingen. Kies de 5 verspreid over de 19. A2
2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16
Inhoud Voorwoord v Het metrieke stelsel vii Inhoud ix Trefwoordenlijst x 1 Basis 1.1 1.1 Veel voorkomende berekeningen 1.1 1.2 Van punt tot vlak 1.4 1.3 Oppervlakten berekenen 1.12 1.4 Zelf tekenen 1.16
Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie
Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Jan De Beule, Tom De Medts en Jeroen Demeyer Voorwoord 1 Voorwoord Beste leerling, Deze nota s zijn bedoeld als begeleiding bij 6 lesuren Opgeloste
DE STAARTDELING (cijferend rekenen) Derde leerjaar (groep 5) Luc Cielen
DE STAARTDELING (cijferend rekenen) Derde leerjaar (groep 5) Luc Cielen Wat voorafgaat aan het leren van de staartdeling: De kinderen moeten al vertrouwd zijn met de schrijfwijze van de delingen (hoofdrekenen)
Copyright 2017 Gertjan Laan Versie 3.1. uitgeverij czarina
G E R T J A N L A A N A N A LY S E B O E K U I T G E V E R I J C Z A R I N A Copright 07 Gertjan Laan Versie. uitgeverij czarina www.uitgeverijczarina.nl www.gertjanlaan.nl tufte-late.github.io/tufte-late
Helden van de wiskunde: L.E.J. Brouwer Brouwers visie vanuit een logica-informatica perspectief
Helden van de wiskunde: L.E.J. Brouwer Brouwers visie vanuit een logica-informatica perspectief Herman Geuvers Radboud Universiteit Nijmegen Technische Universiteit Eindhoven 1 Helden van de wiskunde:
Heron driehoek. 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule
Heron driehoek 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule = s(s a)(s b)(s c) met s = a + b + c 2 die gebruikt wordt om de oppervlakte van een driehoek te berekenen in
Universiteit Gent. Academiejaar Discrete Wiskunde. 1ste kandidatuur Informatica. Collegenota s. Prof. Dr.
Universiteit Gent Academiejaar 2001 2002 Discrete Wiskunde 1ste kandidatuur Informatica Collegenota s Prof. Dr. Frank De Clerck Herhalingsoefeningen 1. Bepaal het quotiënt en de rest van de deling van
5.327 703 x 15.981 3.728.900 + 3.744.881. 2.160 3.007 x 15.120 6.480.000 + 6.495.120. 2.160 3.007 x 15.120 00.000 0 00.000 6.480.000 + 6.495.
Bij vermenigvuldigen van twee grote getallen onder elkaar staan de rijen onder de streep elk voor een tussenstap. De eerste rij staat voor het vermenigvuldigen met het cijfer dat de eenheden van het onderste
Wiskunde waar Muziek in Zit
Wiskunde waar Muziek in Zit Onderwerp voor profielwerkstuk VWO G. Meinsma, M. Vellekoop Waarom klinkt de piano zoals hij kinkt? Waarom heeft een piano 2 toetsen per octaaf en niet 0 of of wat voor aantal
Het doel van dit Hoofdstuk is een inleiding te geven in de theorie van kettingbreuken,
Kettingbreuken Het doel van dit Hoofdstuk is een inleiding te geven in de theorie van kettingbreuken en enkele toepassingen daarvan te geven.. Eindige kettingbreuken Een aardige manier om kettingbreuken
Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 22 maart 2009 ONEINDIGHEID
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 22 maart 2009 ONEINDIGHEID. Paragraaf 13.3. De paradox van de oneindigheid ligt slechts
Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen
Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Ter inleiding: tellen Turven, maar: onhandig bij grote aantallen. Romeinse cijfers: speciale symbolen voor
Proefexemplaar. Wendy Luyckx Mark Verbelen Els Sas. Dirk Vandamme. bewerkt voor het GO! onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door. Cartoons.
bewerkt voor het GO! onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door Wendy Luyckx Mark Verbelen Els Sas Cartoons Dirk Vandamme Leerboek Getallen ISBN: 78 0 4860 48 8 Kon. Bib.: D/00/047/4 Bestelnr.: 4 0 000
iii Tristan Kuijpers Claudine Lybaert december 2013
Voorwoord De wiskundige vorming die in de wiskundig sterke richtingen van het Vlaamse secundair onderwijs wordt aangeboden, vormt een zeer degelijke basis voor hogere studies in wetenschappelijke, technologische
Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie
Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt
De Chinese reststelling
De Chinese reststelling 1 Inleiding 1. De Chinese reststelling is een stelling binnen de getaltheorie. De stelling werd voor het eerst beschreven in de vierde eeuw na Chr. door de Chinese wiskundige Sunzi
Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen
Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 en opmerkingen November 10, 2009 Opgave 1 Gegeven een vectorruimte V met deelruimtes U 1 en U 2. Als er geldt dim U 1 = 7, dimu 2 = 9, en dim(u 1 U 2 ) = 4, wat
We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.
II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;
Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken. Benne de Weger
Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken Benne de Weger 28 aug. / 4 sept. RSA 1/38 asymmetrisch cryptosysteem versleutelen met de publieke sleutel ontsleutelen met de bijbehorende privé-sleutel gebaseerd
Inleiding Analyse 2009
Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn
Groepen, ringen en velden
Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:
1. Vectoren in R n. y-as
1. Vectoren in R n Vectoren en hun meetkundige voorstelling. Een vector in R n is een rijtje (a 1, a 2,..., a n ) van reële getallen. De getallen a i heten de coördinaten van de vector. In het speciale
Eigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element.
Hoofdstuk 2 De regels van het spel 2.1 De gehele getallen Grof gezegd kunnen we de (elementaire) getaltheorie omschrijven als de wiskunde van de getallen 1, 2, 3, 4,... die we ook de natuurlijke getallen
De Dekpuntstelling van Brouwer
De Dekpuntstelling van Brouwer Non impeditus ab ulla scientia K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Twente, 19 oktober 2009: 18:00 20:00 Outline 1 2 3 4 De formulering Dekpuntstelling van Brouwer Zij n een
Vergelijkingen en hun oplossingen
Vergelijkingen en hun oplossingen + 3 = 5 is een voorbeeld van een wiskundige vergelijking: er komt een = teken in voor, en een onbekende of variabele: in dit geval de letter. Alleen als we voor de variabele
Grafieken, functies en verzamelingen. Eerst enkele begrippen. Grafiek. Assenstelsel. Oorsprong. Coördinaten. Stapgrootte.
Grafieken, functies en verzamelingen Eerst enkele begrippen Grafiek In een assenstelsel teken je een grafiek. Assenstelsel Een assenstelsel bestaat uit twee assen die elkaar snijden: een horizontale en
Dossier 3 PRIEMGETALLEN
Dossier 3 PRIEMGETALLEN atomen van de getallenleer Dr. Luc Gheysens Een priemgetal is een natuurlijk getal met twee verschillende delers, nl. 1 en het getal zelf. De priemgetallen zijn dus 2, 3, 5, 7,
Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.
4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen