Handout Gambler s ruin

Transcriptie

1 Handout Gambler s ruin Een gokker heeft een startkaitaal van ie. Hij seelt herhaaldelijk een goksel waarbij hij telkens 1e inlegt. Met kans wint hij en wordt zijn inleg verdubbeld en met kans verliest hij zijn inleg. Als zijn vermogen 0e bereikt is hij natuurlijk niet meer in staat verder te selen, en als hij een vermogen van Ne bijelkaar heeft, dan gaat hij tevreden naar huis en betaalt de volgende dag zijn collegegeld ter hoogte van Ne). Wat is de kans dat de gokker uiteindelijk tevreden naar huis gaat? Om deze vraag o te lossen definiëren we de eventualiteiten en we zetten: T : {de gokker gaat uiteindelijk tevreden naar huis}, W : {de gokker wint het eerste sel}, i : P i T ) i 0,..., N). Hier betekent het subscrit i dat de gokker begint met een startkaitaal van ie. We zien direct dat 0 0, N 1. Verder merken we o dat, voor alle 0 < i < N: P i T W ) P i+1 T ), P i T W c ) P i 1 T ). Als hij het eerste sel wint dan is de situatie hetzelfde als aan het begin van het sel met startkaitaal i + 1e, en als hij het eerste sel verliest dan is de situatie hetzelfde als aan het begin van het sel met startkaitaal i 1e.) Met de wet van de totale kans vinden we, voor alle 0 < i < N: P i T ) P i T W )P i W ) + P i T W c )P i W c ). We hebben dus de volgende relatie afgeleid voor the i -tjes: Herschrijven geeft: oftewel: i ) i 1 + i+1, voor i 1,..., N 1. 1) ) i ) i 1 i+ i, 1

2 Herhaaldelijk toeassen van 2) geeft: ) i+ i i i 1 ). 2) i+ i in de laatste sta gebruiken we dat 0 0.) Aan de andere kant hebben we ) i i 1 ) ) 2 i i 2 ) ) 3 i 2 i 3 ). ) i 0 ) 1 ) i 1 1 i+1 i+ 0 i+ i ) + i i 1 ) ) ) i ) i ) In het seciale geval dat 1 2 hebben we )/ 1 en dan staat hier dus gewoon: i+1 i + 1) 1. Omdat moet gelden dan N 1 N 1 volgt nu dat 1 1/N en dus in het algemeen is: i i N voor i 0,..., N. als 1 2.) Maar wat nu als 1 2? In dat geval volgt met de formule voor de som van een geometrische reeks dat: i+1 ) i ) 1. Merk o dat je de formule voor de som van een geometrische reeks niet kunt toeassen als 1 2 omdat de noemer dan nul wordt.) Door middel van 1 N ) N 1 1 ) 1, 2

3 vinden we dat 1 als 1 2 ) )) 1 / ) ) N 1. Dus voor algemene 0 i N geldt: i Het verwachte totale aantal sellen. ) i 1 1 Laat nu X het totaal aantal sellen zijn dat de gokker doet voordat hij ofwel een vermogen van 0e ofwel een vermogen van N e heeft bereikt. We zijn geïnteresseerd in de verwachting E i X. Hier betekent het subscrit i weer dat het startkaitaal gelijk is aan ie.) Merk o dat geldt en voor 0 < i < N: ) N. E 0 X E N X 0, E i X W ) 1 + E i+1 X, E i X W c ) 1 + E i 1 X. Als de gokker het eerste sel wint dan is de situatie als bij het begin van het roces met startkaitaal van i + 1e, behalve dat er al een sel is geseeld. Idem als hij het eerste sel verliest.) We kunnen dus schrijven: E i X E i X W )PW ) + E i X W c )PW c ) 1 + E i+1 X) + )1 + E i 1 X) 1 + E i+1 X + )E i 1 X. Als we schrijven e i : E i X dan hebben we het stelsel Herschrijven van die laatste vergelijking geeft e 0 e N 0, e i 1 + )e i 1 + e i+1. 3) e i+ e i ) )e i e i 1 ) 1, i 1,..., N 1). Stel nu eerst weer dat 1 2. Dan kunnen we schrijven: Herhaaldelijkt toeassen geeft: En dus: e i+ e i e i e i 2, i 1,..., N 1). e i+ e i e e 0 2i e 2i, i 1,..., N 1). e i+1 e i+ e 0 e i+ e i ) + e i e i 1 ) + + e e 0 ) i + 1)e 2i + + 1) i + 1)e ii + 1). 3

4 Of ook: e i ie ii 1). Invullen van i N geeft: 0 e N Ne NN 1), oftewel e 1 N 1. De olossing voor algemene 1 i N is dus: e i : in 1) ii 1) in i). Wat nu als 1 2? Je kunt laten zien dat e i dan de volgende vorm heeft: Zie de ogaven.) e i : i 2 N ) i 1 ) N. 4) 1 Ogaven Ogave 1. In de nabije toekomst gaat het collegeld omhoog naar 10000e. De nieuwe directeur van de SNS bank is bereid om je telkens 1e te laten inzetten o ko bij een wor met een zuivere munt bij ko verdubbelt hij de inzet, bij munt verlies je je inzet). Hoeveel startkaitaal moet je hebben om met kans 0.9 met 10000e naar huis te gaan in laats van met lege handen? Ogave 2. Bacchus, de god van de wijn, houdt niet alleen van wijn maar ook van gokken. Hij seelt roulette in het casino van de goden en heeft een beginkaitaal van 1000e. Hij zet telkens 1e in o rood bij winst verdubbelt de inzet, bij verlies ben je je inzet kwijt). Anders dan in de casino s voor sterfelingen, is in het casino van de goden de kans o rood gelijk aan maar liefst 2 3. Bacchus is onsterfelijk en zou dus in rincie oneindig lang door kunnen selen. Stel dat hij naar huis gaat zodra hij ofwel 0e heeft ofwel e. Wat is de kans dat hij nooit naar huis gaat? Ogave 3. Bacchus uit de vorige ogave besluit alleen naar huis te gaan als zijn geld helemaal o is. Wat is de kans dat hij oneindig lang kan doorselen zijn vermogen nooit 0e bereikt)? Ogave 4. Zelfde vraag als de kans o rood gelijk is aan 1 3 en als 1 2. Z.O.Z 4

5 Ogave 5. Een muis bevindt zich in een aartement met 9 kamers, 2 katten en 2 stukken kaas als in de lattegrond hieronder. Als de muis een kamer met een kat binnen gaat, wordt hij meteen ogegeten. De katten zijn nogal lui en blijven altijd in dezelfde kamer. De arme muis is nogal vergeetachtig en kiest telkens een willekeurige kamer uit alle kamers die grenzen aan de kamer waar hij zich o het moment bevindt, elk met gelijke kans. Dus o het moment kiest hij elk van de 4 aangrenzende kamers met kans 1/4.) Wat is de kans dat de muis één van de kazen vindt voordat hij door een kat wordt ogegeten? Wat is de kans dat de muis beide kazen vindt voordat hij wordt ogegeten? Ogave 6. Wat is het verwachte aantal kamers dat de muis uit de vorige ogave bezoekt voordat hij/zij wordt ogegeten door een kat? Na het vinden/oeten van een kaas gaat het beestje gewoon door met steeds een willekeurige kamer kiezen.) Ogave 7. Wat is het verwachte aantal kazen dat de muis uit de ogave 5 oeet voordat hij/zij zelf wordt ogegeten? Ogave 8. Laat zien dat 4) de unieke olossing van het stelsel 3) is als 1 2 ). 5