Praktische opdracht Wiskunde A Patience

Transcriptie

1 Praktische opdracht Wiskunde A Patience Praktische-opdracht door een scholier 1365 woorden 23 januari ,2 8 keer beoordeeld Vak Wiskunde A Patience Inleiding Dit is een spel voor één speler. Hij heeft een stapel van vier kaarten: 1, 2, 3, 4. De stapel wordt zo goed mogelijk geschud. Hij legt de kaarten een voor een open op tafel. Het doel is zo weinig mogelijk stapels te maken. Er is één spelregel: er mag nooit een hogere kaart op een lagere kaart komen. Het gaat als volgt. De speler legt de bovenste kaart van de stapel open op tafel. Vervolgens neemt hij een tweede kaart van de stapel. Als die lager is dan de eerste kaart, legt hij de tweede kaart boven op de eerste kaart. Anders legt hij de tweede kaart naast de eerste kaart (en begint zodoende een tweede stapel). Dan neemt hij de derde kaart. Als die lager is dan de eerste, legt hij hem daarop. Als hij hoger is dan de eerste, maar lager dan de tweede, legt hij hem op de tweede. Anders legt hij hem ernaast (en begint dus een derde stapel). De laatste kaart legt hij tenslotte op de eerste als hij tenminste lager is dan de eerste, op de tweede als hij hoger is dan de eerste en lager dan de tweede, op de derde als hij hoger is dan de tweede maar lager is dan de derde, en anders komt hij er als vierde stapel naast te liggen. Vraag 1: Wat is de kans dat het spel eindigt met 1, 2, 3 en 4 stapels? De kans op 1 mogelijkheid is: 1/4 1/3 1/2 1 = 1/24 De kans om de eerste kaart te pakken is 1/4 want er zijn in totaal 4 kaarten en daarvan pak je er 1. Er blijven nog 3 kaarten over, waarvan je er 1 pakt, zo kom je aan 1/3. Er blijven nog 2 kaarten over waarvan je er 1 pakt, zo kom je aan 1/2. dan is er nog maar 1 kaart over daarvan pak je er 1, zo kom je aan 1/1 = 1. Als je al deze kansen met elkaar vermenigvuldigt omdat ze allemaal achter elkaar moeten gebeuren krijg je de kans op 1 mogelijkheid = 1/24. Het totale aantal mogelijkheden is dus = 24 (ofwel 4!) Mogelijkheid Aantal stapels Pagina 1 van 6

2 Vraag 2: wat is de verwachtingswaarde van het aantal stapels waarin het spel eindigt? (1 1/24) + (2 11/24) + (3 11/24) + (4 1/24) => 1/ / /24 + 4/24 => 60/24= 2.5 Stel jij hebt een casino waarin je dit spel aanbied. Een deelnemer moet 10,- betalen per keer dat hij speelt. Als zijn spel in één of twee stapels eindigt, wint hij en betaalt het casino hem uit. Vraag 3: Hoeveel kan het casino hoogstens betalen om gemiddeld geen verlies te leiden? Het casino kan hoogstens 20,- betalen om gemiddeld geen verlies te leiden. Omdat, de kans op één of twee is 1 (keer 1 stapel) + 11 (keer 2 stapels) = 12. Het totale aantal mogelijkheden is 24. De kans op één of twee stapels is 12/24 = 1/2. Je kunt dus stellen dat van de twee keer dat je dit spel speelt je één keer wint. Je betaalt per spel 10,-. Als we nou de kans gaan bekijken per twee spellen: je bent 20,- kwijt en je wint statistisch gezien één keer van de twee (1/2). Je zou dus per gewonnen spel 20,-uitgekeerd moeten krijgen. Nu heeft de speler een stapel van vijf kaarten: 1, 2, 3, 4, 5. Vraag 4: wat is de kans dat het spel eindigt met 1, met 2, met 3, met 4 en met 5 stapels? De kans dat het spel eindigt in 1 stapel= 1/120, 2 stapels= 26/120, 3 stapels= 66/120, 4 stapels= 26/120, 5 stapels= 1/120 Mogelijkheden Aantal stapels Pagina 2 van 6

3 Mogelijkheden Aantal stapels Mogelijkheid Aantal stapels Pagina 3 van 6

4 Mogelijkheid Aantal stapels Pagina 4 van 6

5 Mogelijkheid Aantal stapels Mogelijkheid Aantal stapels Vraag 5: Wat is de verwachtingswaarde van het aantal stapels waarin het spel eindigt? (1 1/120)+(2 26/120)+(3 66/120)+(4 26/120)+(5 1/120) => 1/ / / / /120 => 360/120 = 3 Stel jij hebt een casino waarin je dit spel aanbied. Een deelnemer moet 10,- betalen per keer dat hij speelt. Als zijn spel in één of twee stapels eindigt, wint hij en betaalt het casino hem uit. Vraag 6: Hoeveel kan het casino hoogstens betalen om gemiddeld geen verlies te leiden? Het casino kan hoogstens 44,44 betalen om gemiddeld geen verlies te leiden. De kans om te winnen is de kans op één stapel plus de kans op twee stapels, die kans is dus 1/ /120 = 27/120. Op elke 120 spelen wint de speler 27 en de bank er 93. Je kunt dus stellen dat van de 120 keer dat je dit spel speelt je 27 keer wint en 93 keer verliest. Van de 27 keer dat je wint mag je in totaal het hele bedrag dat je hebt besteed terug verdienen = 1200,- is het bedrag dat de speler besteed aan 120 spellen. Het casino kan dus 44.44,- (1200/27) uitkeren per door de speler gewonnen spel. Nu heeft de speler een stapel van dertien kaarten. Vraag 7: wat is de kans dat het spel eindigt met 1 stapel? En met 13 stapels? De kans dat het spel eindigt met 1 stapel = 1/ De kans dat het spel eindigt met 13 stapels= 1/ Het totale aantal mogelijkheden is 13! = Stel dat het spel eindigt met 1 stapel dit kan maar op één manier=> Namelijk 13, 12, 11, 3, 2, 1 dit is een mogelijkheid van 1/ Stel dat het spel eindigt met 13 stapels dit kan maar op één manier=> Namelijk 1, 2, 3, 11, 12, 13 dit is een mogelijkheid van 1/ Pagina 5 van 6

6 Vraag 8: Speel nu het spel een groot aantal keren zorg ervoor dat dit eerlijk gebeurt. Doe verslag van de opzet van je experiment. Bespreek de resultaten. De verhoudingen tussen het aantal stapels in het door ons uitgevoerde experiment is: 1 stapel : 2 stapels : 3 stapels : 4 stapels : 5 stapel = 2/50 : 12/50 : 24/50 : 11/50 : 1/50 = 4 % : 24 % : 48 % : 22 % : 2 % Het verschil met het berekende percentage (zie vraag 4) is klein: Het werkelijke percentage = 1 stapel : 2 stapels : 3 stapels : 4 stapels : 5 stapels = 1 % : 22 % : 55 % : 22 % : 1 % We hebben het spel gespeeld met de kaarten 2, 3, 4, 5, 6. We hebben het spel gespeeld zoals in de inleiding staat beschreven. We hebben ervoor gekozen om het spel 50 keer te spelen. Dit leek ons een mooi getal, omdat het genoeg is om te kunnen constateren hoe de verhoudingen tussen het aantal stapels zijn. Zie hier de resultaten: Volgorde van de kaarten Aantal stapels Volgorde van de kaarten Aantal stapels Pagina 6 van 6