Toepassingen op matrices - Opgave

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Toepassingen op matrices - Opgave"

Transcriptie

1 Toepassingen op matrices - Opgave Toepassing. Matrices en aantal verbindingen in grafen Op ontdekking. De onderstaande figuur is een voorbeeld van een graaf. Het toont het aantal dagelijkse internationale vluchten tussen de belangrijkste luchthavens in de drie landen Algerije, Brazilië en Canada. Het getal bij elke verbinding geeft aan hoeveel vluchten er per dag zijn tussen de twee luchthavens. Bijvoorbeeld, van luchthaven b 3 in Brazilië zijn er vier dagelijkse vluchten naar luchthaven c 3 in Canada, maar geen enkele vlucht naar c 2 in Canada. Bereken het aantal dagelijkse vluchten van a i naar c j met een tussenlanding in Brazilië (voor elke i en j). Algerije Brazilië Canada 2 b 3 a 2 2 c b 2 a b 3 4 c 2 c 3 b 4 Oplossing. Uiteraard kunnen we alle mogelijkheden afzonderlijk uitrekenen. Maar zoals je later zal merken kunnen we zo n soort problemen wat efficiënter aanpakken, namelijk met behulp van matrices. Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen. Stap. Start met een voorbeeld. We berekenen bijvoorbeeld: aantal vluchten van a naar c via B is = 8 via b via b 2 via b 3 via b 4 Analoog bereken je bijvoorbeeld: ( ) aantal vluchten van a 2 naar c via B is aantal vluchten van a 2 naar c 3 via B is A-90

2 Stap 2. Herken in Stap een vermenigvuldiging van matrices. In de bewerking ( ) herkennen we: aantal vluchten van a naar c via B is 3 [ ] = [ 8 ] 0 Analoog herken je: aantal vluchten van a 2 naar c via B is aantal vluchten van a 2 naar c 3 via B is [ ] = [ ] = Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P, en alle kolommen in een matrix Q. Om met één bewerking het aantal dagelijkse vluchten van a i naar c j via Brazilië te berekenen, maken we volgende matrixvermenigvuldiging: [ ] = 0 0 P Q Zo is bijvoorbeeld het aantal vluchten van a 2 naar c 3 met een tussenlanding in Brazilië gelijk aan het (, )-de element van de matrix P Q, en dat is gelijk aan Opmerking. De matrix P stelt het aantal directe verbindingen van Algerije naar Brazilië voor, ook wel de directe-wegenmatrix (of éénstapsverbindingsmatrix) van Algerije naar Brazilië genoemd. b b 2 b 3 b 4 a 2 0 a matrix P = [ 2 0 ] 0 2 P ik = aantal directe wegen van a i naar b k De notatie a b wijst op het aantal wegen van a naar b, namelijk a b = 2. Analoog stelt matrix Q de directe wegenmatrix van Brazilië naar Canada voor. c c 2 c 3 b b b b matrix Q = Q kj = aantal directe wegen van b k naar c j A-9

3 Modelvoorbeeld De volgende graaf toont het aantal metroverbindingen tussen vier stations s, s 2, s 3 en s 4. (a) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s i naar s j met één tussenstop in een willekeurige station (voor elke i en j). (b) Wat is het aantal verbindingen van s 2 naar s 3 met één tussenstop? Lees dit af uit je antwoord op (a). (c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s 4 naar s met twee tussenstops in willekeurige stations. Maak gebruik van je grafische rekenmachine. Metro van Londen (d) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s naar s met tien tussenstops in willekeurige stations. Maak gebruik van je grafische rekenmachine. s 2 s s 4 s 3 Oplossing. (a) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan. Stap. Start met een voorbeeld. We berekenen bijvoorbeeld: aantal verbindingen van s naar s 4 via één tussenstop is = ( ) via s via s 2 via s 3 via s 4 Stap 2. Herken in Stap een vermenigvuldiging van matrices. In de bewerking ( ) herkennen we: aantal verbindingen van s naar s 4 [ ] via één tussenstop is = Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P, en alle kolommen in een matrix Q. Om met één bewerking het aantal verbindingen van s i naar s j via één tussenstop te berekenen, maken we volgende matrixvermenigvuldiging: = P Q Opmerking. In dit voorbeeld is de matrix Q gelijk aan de matrix P. Dat komt omdat het beginstation, de tussenstop en het eindstation nu eender welk station mag zijn. Daarom noemt men P de directe-wegenmatrix (of éénstapsverbindingsmatrix) van de totale graaf. (b) Het aantal verbindingen van s 2 naar s 3 met één tussenstop gelijk aan het (, )-de element van de matrix P 2, en dat is gelijk aan A-92

4 (c) Hoe kunnen we met één bewerking het aantal verbindingen van station s i naar s j met twee tussenstops berekenen? Het berekenen kan met behulp van de grafische rekenmachine. 2ND MATRIX EDIT :[A] 4 ENTER etc. 2ND QUIT 2ND MATRIX ENTER ENTER > Zo is het aantal wegen van s 4 naar s met twee tussenstops gelijk aan het (, )-de element van de matrix en dus gelijk aan Opmerking. De matrix noemen we de stapsverbindingsmatrix van de totale graaf. (d) Hoe kunnen we met één bewerking het aantal verbindingen van station s i naar s j met tien tussenstops berekenen? Het berekenen kan met behulp van de grafische rekenmachine. Zo is het aantal wegen van s naar s met tien tussenstops gelijk aan het (, )-de element van de matrix en dus gelijk aan Opmerking. De matrix noemen we de stapsverbindingsmatrix van de totale graaf. A-93

5 Toepassing 2. Matrices en migratie- en populatievoorspellingen Op ontdekking We beschouwen een eenvoudig model voor de verandering van het aantal inwoners in een bepaalde stad t.o.v. het platteland. Onderstel dat ieder jaar 5% van de inwoners van de stad verhuizen naar het platteland en dat ieder jaar 3% van de inwoners van het platteland verhuizen naar de stad. Stel in 202 wonen er mensen in de stad en mensen op het platteland. (a) Bepaal het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaar en na vijf jaar. Maak gebruik van je grafische rekenmachine. Jan Van Eyckplein,Brugge (b) Naar welke waarde evolueert het aantal mensen in de stad? Maak gebruik van je grafische rekenmachine. Oplossing. We kunnen de migratiebeweging voorstellen met behulp van de volgende graaf: 0, 05 0, 97 0, 95 platteland stad 0, 03 Ook hier kunnen we het probleem wat efficiënter aanpakken met behulp van matrices. Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen. Stap. Start met een voorbeeld. We berekenen bijvoorbeeld: aantal mensen in de stad na één jaar: Analoog bereken je bijvoorbeeld: aantal mensen op platteland na één jaar: 0, aandeel van stad Stap 2. Herken in Stap een vermenigvuldiging van matrices. In de bewerking ( ) herkennen we: aantal mensen in de stad na één jaar: Analoog herken je: aantal mensen op platteland na één jaar: + 0, = aandeel van platteland [ ] [ ] , 95 0, 03 = [ ] [ [ ] ] = Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P, en alle kolommen in een matrix Q. Om met één bewerking het aantal mensen in de stad en op het platteland na één jaar te berekenen, maken we volgende matrixvermenigvuldiging: [ ] [ ] 0, 95 0, = 0, 05 0, P Q Opmerking. De matrix P stelt de (procentuele) bijdragen voor die een plaats (stad of platteland) genereert voor een andere plaats (stad of platteland), ook wel een overgangsmatrix (of migratiematrix) genoemd. stad platteland stad 0, 95 0, 03 platteland 0, 05 0, 97 matrix P = [ 0, 95 ] 0, 03 0, 05 0, 97 P ij = proc. aandeel van plaats j naar i De notatie stad platteland wijst op het procentueel aandeel bij overgang van platteland naar stad, namelijk stad platteland = 0, 05. Een overgangsmatrix is een vierkante matrix waarvoor de som van elke kolom gelijk is aan 00%. A-94 ( )

6 (a) Hoe kunnen we met één bewerking het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaar berekenen? En na vijf jaar? (b) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal mensen in de stad evolueert? A-95

7 Modelvoorbeeld De bioloog K. Evers bestudeert een insectensoort. Hij beschikt over 3000 eitjes, 2000 larven en 000 insecten. Elke levensfase (ei, larve en insect) duurt één maand. Hij plaatst de eitjes, larven en insecten in een afgesloten ruimte. Na één maand is de situatie als volgt: Van de eitjes is 95% opgegeten of niet uitgekomen. De rest is uitgekomen. Van de larven heeft 20% zich ontwikkeld tot insect. De rest is dood. Van de oorspronkelijke insecten is er niet één meer over. Maar ze hebben elk gemiddeld 00 eitjes voortgebracht. (a) Stel de populatiebeweging voor met behulp van een graaf. (b) Bepaal met behulp van matrices het aantal eitjes, larven en insecten na één maand, twee maanden en acht maanden. (c) Naar welke waarde evolueert het aantal eitjes? Maak gebruik van je grafische rekenmachine. Oplossing. Roodkopvuurkever (Pyrochroa serraticornis) (a) We kunnen de overgang van de levensfasen voorstellen met volgende graaf: 00 eitje larve insect 0, 05 0, 2 (b-c) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan. Stap. Start met een voorbeeld. We berekenen bijvoorbeeld: aantal eitjes na één maand: aandeel van eitjes + aandeel van larven +.. = ( ) aandeel van insecten Stap 2. Herken in Stap een vermenigvuldiging van matrices. In de bewerking ( ) herkennen we: aantal eitjes [ ] = [ ] na één maand: Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P, en alle kolommen in een matrix Q. Om met één berekening de populatie (eitjes, larven en insecten) na één maand te kennen maken we de volgende matrixvermenigvuldiging: P Q = Opmerking. De matrix P stelt de fracties voor die een levensfase genereert voor een andere levensfase, ook wel een Leslie-matrix 2 (of populatievoorspellingsmatrix) genoemd. 2 Een Leslie-matrix is een vierkante matrix P waarvan enkel de elementen op de eerste rij en de elementen vlak onder de diagonaal mogen verschillen van het getal 0. Het model van Leslie werd beschreven door P.H. Leslie 945 [6], en vereist een populatie die niet onderhevig is aan migratie en waarbij slechts één sexe, meestal de vrouwelijke, wordt beschouwd. A-96

8 (b) Hoe kunnen we met één bewerking het aantal eitjes, larven en insecten na twee maanden berekenen? En na acht maanden? (c) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal eitjes, larven en insecten streeft? A-97

12.1 Grafen [1] Definitie: Een graaf bestaat uit punten, waarvan er twee of meer door wegen verbonden zijn. Willem-Jan van der Zanden

12.1 Grafen [1] Definitie: Een graaf bestaat uit punten, waarvan er twee of meer door wegen verbonden zijn. Willem-Jan van der Zanden 12.1 Grafen [1] Een spoorwegkaart is een voorbeeld van een graaf; Een graaf bestaat uit punten; De punten worden door wegen met elkaar verbonden; De plaats van de punten en de vorm van de wegen is van

Nadere informatie

WISKUNDE C VWO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0

WISKUNDE C VWO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0 WISKUNDE C VWO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0 De vakinformatie in dit document is vastgesteld door het College voor Toetsen en Examens (CvTE). Het CvTE is verantwoordelijk voor de afname van de

Nadere informatie

Uitwerkingen hoofdstuk K deel A3 Grafen en Matrices

Uitwerkingen hoofdstuk K deel A3 Grafen en Matrices 1 Uitwerkingen hoofdstuk K deel A3 Grafen en Matrices 1. Er zijn 3. 2. 1 = 6 rondritten mogelijk. Iedere keer 2 ritten met dezelfde lengte wege de mogelijkheid de omgekeerde richting. b. De kortste ritten

Nadere informatie

2 Toepassingen van matrices

2 Toepassingen van matrices Toepassingen van matrices. Matrices en verkeer.. efinities Een graaf is een figuur bestaande uit een eindig aantal punten (= knopen) en een eindig aantal verbindingslijnen (= takken) tussen die knopen.

Nadere informatie

Determinanten. , dan is det A =

Determinanten. , dan is det A = Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is

Nadere informatie

Matrixrekenen. Wilfried Van Hirtum. Versie 1.11 2015

Matrixrekenen. Wilfried Van Hirtum. Versie 1.11 2015 Matrixrekenen Wilfried Van Hirtum Versie 1.11 2015 2 Even opfrissen Het algemeen principe bij een matrixvermenigvuldiging is: ri j kolom. Voorbeeld: A 1 2 3 4 1 0 2 3 0 2 3 2 B 10 5 20 6 30 7 40 8 A B

Nadere informatie

Matrixalgebra (het rekenen met matrices)

Matrixalgebra (het rekenen met matrices) Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg

Nadere informatie

Rekenen met de GRM. 1 van 1. Inleiding: algemene zaken. donkerder. lichter

Rekenen met de GRM. 1 van 1. Inleiding: algemene zaken. donkerder. lichter 1 van 1 Rekenen met de GRM De grafische rekenmachine (voortaan afgekort met GRM) ga je bij hoofdstuk 1 voornamelijk als gewone rekenmachine gebruiken. De onderste zes rijen toetsen zijn vergelijkbaar met

Nadere informatie

Antwoorden. 32-jarige vrouwen op 1 januari Zo gaan we jaar per jaar verder en vinden

Antwoorden. 32-jarige vrouwen op 1 januari Zo gaan we jaar per jaar verder en vinden Antwoorden 1. De tabel met bevolkingsaantallen is niet moeilijk te begrijpen. We zullen gebruik maken van de bevolkingsaantallen volgens geslacht en leeftijdsklassen van 1 jaar (de cijfers die in het midden

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Functies van vectoren

Functies van vectoren Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.

Nadere informatie

1 Verbindingsmatrix, directe-wegenmatrix, overgangsmatrix

1 Verbindingsmatrix, directe-wegenmatrix, overgangsmatrix Verbindingsmatrix, directe-wegenmatrix, overgangsmatrix In deze grafische voorstelling zie je steden die met elkaar verbonden zijn door de Thalys. Onderstaande stamboom geeft een beeld van de familierelatie

Nadere informatie

Migrerende euromunten

Migrerende euromunten Migrerende euromunten Inleiding Op 1 januari 2002 werden in vijftien Europese landen (twaalf grote en drie heel kleine) euromunten en - biljetten in omloop gebracht. Wat de munten betreft, ging het in

Nadere informatie

De inverse van een matrix

De inverse van een matrix De inverse van een matrix Laat A een n n matrix zijn. Veronderstel dat de matrixvergelijking A X = I n de oplossing X = C heeft. Merk op dat [ A I n ] rijoperaties [ I n C ] [ I n A] inverse rijoperaties

Nadere informatie

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1 WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit

Nadere informatie

Haarlem 135 Eindhoven 85 Utrecht. Utrecht-Eindhoven-Zwolle-Haarlem-Utrecht en Utrecht-Haarlem-Zwolle-Eindhoven-Utrecht zijn de kortste.

Haarlem 135 Eindhoven 85 Utrecht. Utrecht-Eindhoven-Zwolle-Haarlem-Utrecht en Utrecht-Haarlem-Zwolle-Eindhoven-Utrecht zijn de kortste. G&R vwo A deel C von Schwartzenberg 1/1 1a 1b r zijn 1 1 = 6 rondritten mogelijk (het maakt niet uit waar de rondrit begint) r zijn steeds twee rondritten met gelijke lengte (maar in omgekeerde volgorde)

Nadere informatie

In de 4som-puzzel kun je de gegeven sommen variëren. Nog zo eentje.

In de 4som-puzzel kun je de gegeven sommen variëren. Nog zo eentje. 4som kaart a In een 4som-puzzel moeten in vier hokjes getallen worden geschreven. Van de (horizontale) rijen en van de (verticale) kolommen is de som gegeven en ook van de diagonalen. Welke getallen moeten

Nadere informatie

De dimensie van een deelruimte

De dimensie van een deelruimte De dimensie van een deelruimte Een deelruimte van R n is een deelverzameling die op zichzelf ook een vectorruimte is. Ter herinnering : Definitie. Een deelverzameling H van R n heet een deelruimte van

Nadere informatie

2. Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken

2. Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken 1. Wat is een breuk? Een breuk Een breuk is een verhoudingsgetal. Een breuk geeft aan hoe groot een deel is van een geheel. Stel een taart is verdeeld in stukken. Je neemt 2 stukken van de taart. Je hebt

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

11.1 Kansberekeningen [1]

11.1 Kansberekeningen [1] 11.1 Kansberekeningen [1] Kansdefinitie van Laplace: P(gebeurtenis) = Aantal gunstige uitkomsten/aantal mogelijke uitkomsten Voorbeeld 1: Wat is de kans om minstens 16 te gooien, als je met 3 dobbelstenen

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken.

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken. Rood-wit-blauw werkblad 1 Bij het hele werkblad: Alle rode getallen zijn deelbaar door hetzelfde getal. Elk wit getal is gelijk aan een rood getal + 1, elk blauw getal aan een rood getal + 2 Russisch vermenigvuldigen

Nadere informatie

0.97 0.03 0 0 0.008 0.982 0.01 0 0.02 0 0.975 0.005 0.01 0 0 0.99

0.97 0.03 0 0 0.008 0.982 0.01 0 0.02 0 0.975 0.005 0.01 0 0 0.99 COHORTE MODELLEN Markov ketens worden vaak gebruikt bij de bestudering van een groep van personen of objecten. We spreken dan meestal over Cohorte modellen. Een voorbeeld van zo n situatie is het personeelsplanning

Nadere informatie

Zoek de unieke oplossing van het stelsel π = π P waarvoor bovendien geldt dat i S π i = 1.

Zoek de unieke oplossing van het stelsel π = π P waarvoor bovendien geldt dat i S π i = 1. LIMIETGEDRAG VAN REDUCIBELE MARKOV KETEN In het voorgaande hebben we gezien hoe we de limietverdeling van een irreducibele, aperiodieke Markov keten kunnen berekenen: Voorbeeld 1: Zoek de unieke oplossing

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 Basiswetten van de elektriciteit.

Hoofdstuk 3 Basiswetten van de elektriciteit. Hoofdstuk 3 Basiswetten van de elektriciteit. 1 Wet van Ohm. Volledigheidshalve vermelden we hier nog eens de wet van Ohm: Elektriciteit U R. I of U I of R U R I 2 Wetten van Kirchhoff. Kirchhoff heeft

Nadere informatie

Opdrachtenboekje. Willem van Ravenstein 2006-2007

Opdrachtenboekje. Willem van Ravenstein 2006-2007 Opdrachtenboekje Willem van Ravenstein 2006-2007 versie 2 herzien in 2010 Inleiding Met de komst van de Tweede Fase is de grafische rekenmachine ingevoerd, ook op het HAVO. Zoals altijd heeft een nieuwe

Nadere informatie

1 Rekenen met gehele getallen

1 Rekenen met gehele getallen 1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9

Nadere informatie

Paragraaf 9.1 : Twee soorten groei

Paragraaf 9.1 : Twee soorten groei Hoofdstuk 9 Exponentiële Verbanden (H5 Wis A) Pagina 1 van 9 Paragraaf 9.1 : Twee soorten groei Les 1 Lineaire en exponentiele groei Definitie Lijn = LINEAIRE GROEI Algemene formule van een lijn : y =

Nadere informatie

Compex wiskunde A1-2 vwo 2003-I

Compex wiskunde A1-2 vwo 2003-I Epidemie Men spreekt van een epidemie als in korte tijd minstens 2% van de bevolking een besmettelijke ziekte oploopt. Een voorbeeld van zo n ziekte is griep. Rond 930 hebben twee Schotse wiskundigen,

Nadere informatie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde C (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde C (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie begin van document Eindtermen vwo wiskunde C (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie Domein subdomein in CE moet in SE A Vaardigheden A1: Informatievaardigheden A2: Onderzoeksvaardigheden

Nadere informatie

Projectieve Vlakken en Codes

Projectieve Vlakken en Codes Projectieve Vlakken en Codes 1. De Fanocode Foutdetecterende en foutverbeterende codes. Anna en Bart doen mee aan een spelprogramma voor koppels. De ene helft van de deelnemers krijgt elk een kaart waarop

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Populaties in de tijd. Populaties in de tijd. - Lesbrief. Lia Hemerik. Doelgroep Klas 5 t/m 6 havo en vwo

Populaties in de tijd. Populaties in de tijd. - Lesbrief. Lia Hemerik. Doelgroep Klas 5 t/m 6 havo en vwo - Lesbrief Populaties in de tijd Doelgroep Klas 5 t/m 6 havo en vwo Vakken en domeinen Biologie VWO Algemene natuurwetenschappen VWO Wiskunde VWO: A domein Ea Niveau *** Tijdsduur Afhankelijk van de uitgevoerde

Nadere informatie

Bij het oplossen van een telprobleem zijn de volgende 2 dingen belangrijk: Is de volgorde van de gekozen dingen van belang?

Bij het oplossen van een telprobleem zijn de volgende 2 dingen belangrijk: Is de volgorde van de gekozen dingen van belang? 4. tellen & kansen 4.1 Tellen Herkennen Je kunt een vraag over telproblemen herkennen aan signaalwoorden: - hoeveel mogelijkheden, manieren, routes, volgordes etc. zijn er?, - bereken het aantal mogelijkheden/manieren

Nadere informatie

Lijsten op uw TI grafische rekenmachine.

Lijsten op uw TI grafische rekenmachine. Lijsten op uw TI grafische rekenmachine. Een van de sterke punten van een grafische rekenmachine is de mogelijkheid berekeningen uit te voeren op een lijst met getallen, in plaats van op een enkel getal.

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt

Nadere informatie

Excel reader. Beginner Gemiddeld. bas@excel-programmeur.nl

Excel reader. Beginner Gemiddeld. bas@excel-programmeur.nl Excel reader Beginner Gemiddeld Auteur Bas Meijerink E-mail bas@excel-programmeur.nl Versie 01D00 Datum 01-03-2014 Inhoudsopgave Introductie... - 3 - Hoofdstuk 1 - Databewerking - 4-1. Inleiding... - 5-2.

Nadere informatie

. noemer noemer Voorbeelden: 1 Breuken vereenvoudigen Schrijf de volgende breuken als één breuk en zo eenvoudig mogelijk: 4 1 x e.

. noemer noemer Voorbeelden: 1 Breuken vereenvoudigen Schrijf de volgende breuken als één breuk en zo eenvoudig mogelijk: 4 1 x e. Tips: Maak de volgende opgaven het liefst voorin in één van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, werk hem dan uit tot waar je kunt en ga verder met de volgende

Nadere informatie

2. Het benaderen van nulpunten

2. Het benaderen van nulpunten Het benaderen van nulpunten Benaderen van vierkantswortels Als we met een numerieke rekenmachine benadering, 7 =,64575 7 berekenen, krijgen we als resultaat een Het numeriek benaderen kan met een recursieve

Nadere informatie

Niveauproef wiskunde voor AAV

Niveauproef wiskunde voor AAV Niveauproef wiskunde voor AAV Waarom? Voor wiskunde zijn er in AAV 3 modules: je legt een niveauproef af, zodat je op het juiste niveau kan starten. Er is de basismodule voor wie de rekenvaardigheden moet

Nadere informatie

Toepassingen op differentievergelijkingen

Toepassingen op differentievergelijkingen Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij

Nadere informatie

Opgave 1 Bestudeer de Uitleg, pagina 1. Laat zien dat ook voor punten buiten lijnstuk AB maar wel op lijn AB geldt: x + 3y = 5

Opgave 1 Bestudeer de Uitleg, pagina 1. Laat zien dat ook voor punten buiten lijnstuk AB maar wel op lijn AB geldt: x + 3y = 5 2 Vergelijkingen Verkennen Meetkunde Vergelijkingen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg Meetkunde Vergelijkingen Uitleg Opgave Bestudeer de Uitleg, pagina. Laat zien dat ook

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

P (X n+1 = j X n = i, X n 1,..., X 0 ) = P (X n+1 = j X n = i). P (X n+1 = j X n = i) MARKOV KETENS. Definitie van Markov keten:

P (X n+1 = j X n = i, X n 1,..., X 0 ) = P (X n+1 = j X n = i). P (X n+1 = j X n = i) MARKOV KETENS. Definitie van Markov keten: Definitie van Markov keten: MARKOV KETENS Een stochastisch proces {X n, n 0} met toestandsruimte S heet een discrete-tijd Markov keten (DTMC) als voor alle i en j in S geldt P (X n+1 = j X n = i, X n 1,...,

Nadere informatie

oefenbundeltje voor het vijfde leerjaar

oefenbundeltje voor het vijfde leerjaar oefenbundeltje voor het vijfde leerjaar bevat: werkbladen uit de map van Wibbel bij Rekensprong Plus, aansluitend bij de wiskundeopdrachten op de poster; de correctiesleutel bij deze werkbladen. Meer informatie

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Opdrachtbladen (I) Hoe komt een formule tot stand?

Opdrachtbladen (I) Hoe komt een formule tot stand? Opdrachtbladen (I) Hoe komt een formule tot stand? Adriaan Herremans Dag van de wiskunde Kortrijk 14/11/2015 Hieronder vinden jullie opdrachten. Je werkt samen met je buur en kan overleggen met je overburen.

Nadere informatie

Compex wiskunde A1 vwo 2006-I

Compex wiskunde A1 vwo 2006-I Beschuit Gewone beschuiten worden verkocht in beschuitrollen van 13 stuks. Een gewone beschuit weegt gemiddeld 8,0 gram. Er zijn ook grotere, zogeheten Twentsche beschuiten die worden verkocht in zakken

Nadere informatie

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] 1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2

Nadere informatie

Computerlessen voor Senioren. Themacursus. Basis Excel. Uitgave Samenstelling: Lucien Delchambre Paul Derycke. Werken met mappen 1

Computerlessen voor Senioren. Themacursus. Basis Excel. Uitgave Samenstelling: Lucien Delchambre Paul Derycke. Werken met mappen 1 & Computerlessen voor Senioren Themacursus Basis Excel Uitgave 2010 Samenstelling: Lucien Delchambre Paul Derycke Werken met mappen 1 HANDLEIDING BASIS EXCEL 3 1 Inleiding 3 2 Belangrijke functies 8 3

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A havo I

Eindexamen wiskunde A havo I Eindexamen wiskunde A havo 00 - I Opgave Veldkrekels volgens Duijm is de temperatuur,4 5 + = 9 C,4 60 40 volgens Dekkers is de temperatuur + 0 5 C het antwoord is (ongeveer) 6 n 5 de toevoeging + de formule

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen VWO Wiskunde C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek I Tjing Opgave 1. Het aantal hoofdstukken in de I Tjing correspondeert met het totale aantal

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

Monitoraatssessie Wiskunde

Monitoraatssessie Wiskunde Monitoraatssessie Wiskunde 1 Overzicht van de cursus Er zijn drie grote blokken, telkens voorafgegaan door de rekentechnieken die voor dat deel nodig zullen zijn. Exponentiële en logaritmische functies;

Nadere informatie

4. Determinanten en eigenwaarden

4. Determinanten en eigenwaarden 4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:

Nadere informatie

De Wetenschappelijke notatie

De Wetenschappelijke notatie De Wetenschappelijke notatie Grote getallen zijn vaak lastig te lezen. Hoeveel is bijvoorbeeld 23000000000000? Eén manier om het lezen te vergemakkelijken is het zetten van puntjes of spaties: 23.000.000.000.000

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 () Tussentoets 26 november, tijdens de instructies Zaal: paviljoen (study hub) Time: 90min Tentamenstof: colleges 4 (LP; Simplex; dualiteit; complementaire slackness) Oude tentamens:

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen? In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.

Nadere informatie

P = LIMIETGEDRAG VAN MARKOV KETENS Limietverdeling van irreducibele, aperiodieke Markov keten:

P = LIMIETGEDRAG VAN MARKOV KETENS Limietverdeling van irreducibele, aperiodieke Markov keten: LIMIETGEDRAG VAN MARKOV KETENS Limietverdeling van irreducibele, aperiodieke Markov keten: Voorbeeld: Zoek de unieke oplossing van het stelsel π = π P waarvoor bovendien geldt dat i S π i = 1. P = 0 1/4

Nadere informatie

Introductie Lineaire Algebra Voor Computer Graphics

Introductie Lineaire Algebra Voor Computer Graphics Introductie Lineaire Algebra Voor Computer Graphics John Val th October Inleiding In deze cursus staat tekenen op het computerscherm en animaties van die tekeningen centraal. We willen bereiken dat je

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

t in uren 0 1 2 3 5 8 10 H in mg 100 68 46,2 31,4 Hoeveel procent breekt het lichaam ieder uur af? voelen. Geef je antwoord in minuten nauwkeurig.

t in uren 0 1 2 3 5 8 10 H in mg 100 68 46,2 31,4 Hoeveel procent breekt het lichaam ieder uur af? voelen. Geef je antwoord in minuten nauwkeurig. Opgave 1 Een peuter heeft in een onbewaakt moment 100 mg gedronken van een medicijn dat uitsluitend bestemd is voor volwassenen. De tabel hieronder geeft aan hoeveel werkzame stof H er na t uren nog in

Nadere informatie

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties M1 Wiskundig taalgebruik en notaties Verzamelingenleer Verzameling = aantal objecten samengebracht tot een geheel - Lege verzameling = verzameling die geen elementen bevat A = - Singleton verzameling =

Nadere informatie

Berekeningen op het basisscherm

Berekeningen op het basisscherm Berekeningen op het basisscherm Het basisscherm Zet de grafische rekenmachine (GR) aan met [ON]. Je komt op het basisscherm waarop je de cursor ziet knipperen. Berekeningen maak je op het basisscherm.

Nadere informatie

Het eenzame vierkant van Khajuraho!

Het eenzame vierkant van Khajuraho! Het eenzame vierkant van Khajuraho! Stephan Berendonk 19-12-2006 ii Contents 1 De Lo Shu vii 2 Het vierkant van Khajuraho xi iv Contents Voorwoord Het stuk is vooral gericht op middelbare scholieren, die

Nadere informatie

5 Eenvoudige complexe functies

5 Eenvoudige complexe functies 5 Eenvoudige complexe functies Bij complexe functies is zowel het domein als het beeld een deelverzameling van. Toch kan men in eenvoudige gevallen het domein en het beeld in één vlak weergeven. 5.1 Functies

Nadere informatie

Een functie is een kant en klare formule. Via de knop Som in de groep Bewerken van het tabblad Start kun je een aantal veelgebruikte functies kiezen:

Een functie is een kant en klare formule. Via de knop Som in de groep Bewerken van het tabblad Start kun je een aantal veelgebruikte functies kiezen: SAMENVATTING HOOFDSTUK 6 De functies Gemiddelde en Afronding Een functie is een kant en klare formule. Via de knop Som in de groep Bewerken van het tabblad Start kun je een aantal veelgebruikte functies

Nadere informatie

3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625.

3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625. 3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625. Absolute verandering = Aantal 2004 Aantal 1994 = 1625 3070 = -1445 Relatieve verandering = Nieuw Oud Aantal

Nadere informatie

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud

Nadere informatie

Informatica: C# WPO 10

Informatica: C# WPO 10 Informatica: C# WPO 10 1. Inhoud 2D arrays, lijsten van arrays, NULL-values 2. Oefeningen Demo 1: Fill and print 2D array Demo 2: Fill and print list of array A: Matrix optelling A: Matrix * constante

Nadere informatie

Elementaire rekenvaardigheden

Elementaire rekenvaardigheden Hoofdstuk 1 Elementaire rekenvaardigheden De dingen die je niet durft te vragen, maar toch echt moet weten Je moet kunnen optellen en aftrekken om de gegevens van de patiënt nauwkeurig bij te kunnen houden.

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1-2 compex vwo 2008-I

Eindexamen wiskunde A1-2 compex vwo 2008-I Tijdens dit examen werk je in Excel. Door in het openingsscherm op Excel werkbladen te klikken start Excel automatisch op. Je komt dan meteen in het eerste werkblad dat hoort bij het eerste deel van de

Nadere informatie

Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Windows

Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Windows - Lesbrief Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Voorspelbaarheid en Populaties in de tijd Doelgroep Klas 5 t/m 6 havo en vwo Vakken en domeinen Algemene natuurwetenschappen VWO Wiskunde VWO: A domein

Nadere informatie

MARKOV MODEL MET KOSTEN In Markov modellen zijn we vaak geïnteresseerd in kostenberekeningen.

MARKOV MODEL MET KOSTEN In Markov modellen zijn we vaak geïnteresseerd in kostenberekeningen. MARKOV MODEL MET KOSTEN In Markov modellen zijn we vaak geïnteresseerd in kostenberekeningen. voorraadmodel: voorraadkosten personeelsplanningmodel: salariskosten machineonderhoudsmodel: reparatiekosten

Nadere informatie

Als je, van achter naar voor, na iedere 3 cijfers een klein beetje ruimte laat, of je zet een punt, wordt het allemaal duidelijker.

Als je, van achter naar voor, na iedere 3 cijfers een klein beetje ruimte laat, of je zet een punt, wordt het allemaal duidelijker. Samenvatting leerjaar 4 hoofdstuk 1: Rekenen Grote getallen Grote getallen, zoals 5300000000 zijn niet eenvoudig te lezen. Je kunt je gemakkelijk vergissen in een nul meer of minder, met grote gevolgen.

Nadere informatie

Combinatoriek en rekenregels

Combinatoriek en rekenregels Combinatoriek en rekenregels Les 2: Roosters en ongeordende grepen (deze les sluit aan bij de paragrafen 3 en 4 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)

Nadere informatie

Haarlem 135 Eindhoven 85 Utrecht. Utrecht-Eindhoven-Zwolle-Haarlem-Utrecht en Utrecht-Haarlem-Zwolle-Eindhoven-Utrecht zijn de kortste.

Haarlem 135 Eindhoven 85 Utrecht. Utrecht-Eindhoven-Zwolle-Haarlem-Utrecht en Utrecht-Haarlem-Zwolle-Eindhoven-Utrecht zijn de kortste. G&R vwo C deel 1 Grafen en matrices C von Schwartzenberg 1/16 1a 1b r zijn 1 1 = 6 rondritten mogelijk (het maakt niet uit waar de rondrit begint) r zijn steeds twee rondritten met gelijke lengte (maar

Nadere informatie

2. Transformaties en matrices

2. Transformaties en matrices Transformaties en matrices Lineaire afbeelding Onder een lineaire afbeelding van R n naar R m verstaan we een functie A die aan iedere vector uit R n een vector uit R m toevoegt en van het volgende type

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

Rekenen: Getallen groep 5 en hoger. Rekenen en schattingen ontdekken. Algebra groep 5 en hoger. Patronen en relaties ontdekken.

Rekenen: Getallen groep 5 en hoger. Rekenen en schattingen ontdekken. Algebra groep 5 en hoger. Patronen en relaties ontdekken. Activiteit 4 Kaarten truc Fout opsporen & herstellen Samenvatting Wanneer data worden opgeslagen op een harde schijf of worden verzonden van de ene computer naar de andere, nemen we aan dat de data niet

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde 1. Het quotiënt 28 is gelijk aan 82 (A) 2 0 () 2 1 (C) 2 2 (D) 2 3 (E) 2 4 2. Het resultaat van de vermenigvuldiging 1 3 5 7 9 2011 eindigt op het cijfer

Nadere informatie

Naam. Nummer:. Klas. Datum.

Naam. Nummer:. Klas. Datum. ([FHOKHUKDOLQJVRHIHQLQJHQ Naam. Nummer:. Klas. Datum. 1 Vergelijk de vensters van Excel en Word Open Microsoft Word. Als het werkvenster leeg is, open je een nieuw document. Open Microsoft Excel. Als het

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1

Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1 Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1 Wortels uit willekeurige getallen In paragraaf 1.3.5 hebben we het worteltrekalgoritme besproken. Dat deden we aan de hand van de relatie tussen de (van tevoren gegeven)

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Tussentoets: 26 november, tijdens de instructies Tentamenstof: LP; Simplex; dualiteit (= colleges 1 4) Bij de tussentoets mag een eenvoudige (niet programmeerbare)

Nadere informatie

Inleiding Logica 2013

Inleiding Logica 2013 Inleiding Logica 2013 Praktica Logisch Programmeren 21, 28 oktober 2013 1 Stamboom Op deze wiki pagina vind je een stukje stamboom van een willekeurige familie. Opgave 1 Vertaal die stamboom, beginnend

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1,2 Compex. Vragen 11 tot en met 17. In dit deel van het examen staan de vragen waarbij de computer wel wordt gebruikt.

Examen VWO. wiskunde A1,2 Compex. Vragen 11 tot en met 17. In dit deel van het examen staan de vragen waarbij de computer wel wordt gebruikt. Examen VWO 2008 tijdvak 1 maandag 19 mei totale examentijd 3 uur wiskunde A1,2 Compex Vragen 11 tot en met 17 In dit deel van het examen staan de vragen waarbij de computer wel wordt gebruikt. Bij dit

Nadere informatie

1 Binaire plaatjes en Japanse puzzels

1 Binaire plaatjes en Japanse puzzels Samenvatting Deze samenvatting is voor iedereen die graag wil weten waar mijn proefschrift over gaat, maar de wiskundige notatie in de andere hoofdstukken wat te veel van het goede vindt. Ga er even voor

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Instructies (vandaag, 10:45 12:30) in vier zalen: Zaal Aud 10 Pav b2 Pav m23 Ipo 0.98 voor studenten met achternaam beginnend met letters A tot en met D met letters

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op 6--,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

Cabri werkblad Lineaire transformaties met Cabri

Cabri werkblad Lineaire transformaties met Cabri Cabri werkblad Lineaire transformaties met Cabri Doel Introductie tot lineaire transformaties in het platte vlak op basis van matrices, met gebruikmaking van het programma Cabri Geometry II (of Plus).

Nadere informatie

1.1 Lineaire vergelijkingen [1]

1.1 Lineaire vergelijkingen [1] 1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg

Nadere informatie