Quantum-computing toegepast op het n-queens probleem

Transcriptie

1 Quantum-computing toegepast op het n-queens probleem Erik Jongsma 5 Seminar Computational Algorithms Leiden University september Introductie Abstract Quantum-computing is een onderwerp binnen de informatica waar al vrij lang onderzoek naar gedaan wordt Ondanks het feit dat er nog niet of nauwelijks werkende hardware is wordt er nagedacht over mogelijke algoritmes voor een quantum-computer In het bijzonder bestaan er algoritmes voor het oplossen van het n-queens probleem In dit paper zullen eerst de basisprincipes van quantum-computing uitgelegd worden (grotendeels afgeleid van [YM) en vervolgens zullen in het kort twee papers besproken worden die gebruik maken van deze technieken Dit paper is geschreven in het kader van het seminar Computational Algorithms van de Universiteit Leiden /%*-- We beginnen met de uitleg van een beroemd natuurkundig experiment: het double-slit experiment Aan de hand hiervan kunnen we de eerste begrippen van de quantummechanica introduceren en illustreren C(*+-+&'+)%/(@-$D&-+'%$9E$+7$5'%FGH %$'$9%:%;<<<= T ! I <4<4<= T 4 4 J )?:%;4<<<4= T -+*/%*--%'#*'% '#%$'A$$5%$'+)$&% 4 K IM%)#*5)$%'#(@#%'(E%&-+'<%IM%)#*5)$%'#(@#%(''(7%&-+' '#$$%'*$'&%*>'$%$*)#%&-+'%'#*'%)*5%$%#+'%A+'#%$B@*-%E(*+-+'L (5$%'+7$%)-+)?%'(%*%&-+'<%(5$%'(%*%'*$'

2 Het experiment gaat als volgt: We schieten met een pistool op een muur met twee gaten Ervan uitgaande dat we de muur nooit raken zal de kogel met 5% kans door het bovenste gat gaan en met 5% kans door het onderste gat Achter elk gat zitten drie doelwitten die met gelijke kans geraakt kunnen worden Het middelste doelwit kan op twee manieren geraakt worden namelijk via het bovenste gat en via het onderste gat (zie bovenstaand plaatje) Na één tijdseenheid is de kogel in een van beide slits en na nog een tijdseenheid in één van de vijf doelwitten Nu kunnen we een matrix B opstellen voor de positie van de kogel: B = Stel dat de kogel zich op tijdstip t in toestand i bevindt Dan staat B ij voor de kans dat de kogel zich op tijdstip t+ in toestand j bevindt Door B met zichzelf te vermenigvuldigen kunnen we de kansen voor de kogel na twee tijdseenheden berekenen Dan krijgen we het volgende resultaat: B = Als we nu met een kogel starten die zich in het beginpunt bevindt dus X = [ T dan krijgen we de volgende eindsituatie: [ B X = T Zoals verwacht heeft de kogel twee keer zoveel kans om in het midden terecht te komen omdat dit de enige plek is die op twee manieren door de kogel bereikt kan worden Nu gaan we kijken naar hetzelfde experiment maar dan met fotonen in plaats van kogels We zullen zien dat hierbij quantum-effecten gaan optreden Het grote verschil tussen de

3 twee situaties is dat we nu niet meer met reële getallen werken voor de overgangskansen maar met complexe getallen De overgangsmatrix voor een foton ziet er als volgt uit: +i P = i i +i i i Voor P geldt dat het kwadraat van de absolute waarde van P ij de kans geeft in het klassieke geval We krijgen dus: Q = waar Q ij = P ij Na de eerste stap gebeurt er in het klassieke geval dus hetzelfde als in het quantum-geval Nu gaan we kijken wat er gebeurt na twee tijdstappen: P = +i i +i +i i i i i +i i Als we kijken naar de kansen die hierbij horen zien we wel een duidelijk verschil met het klassieke geval:

4 R = waar Q ij = Pij In het klassieke geval is de kans bij (5 ) gelijk aan + = In het quantum-geval is deze kans echter ineens Dit komt omdat we niet de kansen optellen maar de complexe getallen Dan krijgen we dus: ( ) + i + ( ) + i = + i + i = De verklaring voor dit verschijnsel heet in de natuurkunde interferentie Vergelijk het met twee kiezels die in een vijver gegooid worden Op sommige plekken zullen de ontstane golven elkaar versterken op andere plekken elkaar uitdoven Dat is exact wat er ook met fotonen gebeurt Wat moeilijker te verklaren is is dat interferentie ook optreedt als we maar één foton afvuren Het gedrag van een foton is dus fundamenteel anders dan dat van de kogel Het gedrag van een foton is te verklaren met behulp van het begrip superpositie Dit houdt in dat een foton niet alleen op één plek kan zijn maar op meerdere plekken tegelijk Dit gebeurt met een bepaalde kansverdeling In ons voorbeeld zal een foton na één tijdsstap dan ook met kans gevonden worden in het bovenste gat en met dezelfde kans in het onderste gat Maar hoe weten we dan waar het foton daadwerkelijk is? Dat ontdekken we met behulp van een meting Zodra we een foton meten vervalt zijn superpositie en komt in een klassieke toestand terecht Hier zien we ook meteen de kracht van de quantumcomputer We kunnen een superposititie maken van alle mogelijke uitkomsten van een algoritme en dan met allemaal tegelijk rekenen Superpositie Nu zullen we wat dieper ingaan op het begrip superpositie We beschouwen een subatomair deeltje op een lijn We nemen aan dat het deeltje alleen gedetecteerd kan worden worden op punten die op gelijke afstand van elkaar liggen dat wil zeggen {x x x n } waarvoor geldt x = x + δx x = x + δx met δx een constante Normaal gesproken kan een deeltje zich natuurlijk in alle punten op de lijn bevinden en niet alleen in een eindige deelverzameling hiervan Als we dit echter aannemen wordt onze toestand oneindig dimensionaal en dat rekent wat lastiger Daarbij is het bovenstaande genoeg om de werking van een quantum-computer uit te leggen Sterker nog in een quantum-computer zal het oneindige geval omgezet moeten worden in een discreet 4

5 geval omdat computers niet met oneindig om kunnen gaan We verbinden het begrip toestand nu met een n-dimensionale complexe vector [c c c n T Deze vector is opgebouwd uit een aantal basis-toestanden die we noteren met x i met de Dirac ket notatie Bij elk van deze basis-toestanden hoort een vector als volgt: x [ T x [ T x n [ T Nu kunnen we een willekeurige toestand ψ schrijven als een lineaire combinatie van x x x n met complexe coëfficiënten c c c n : ψ = c x + c x + + c n x n We kunnen nu dus iedere toestand schrijven als een element van C n als volgt: ψ [c c c n T Deze toestand noemen we een superpositie De kans dat we het deeltje na meting vinden in positie x i rekenen we als volgt uit: Qubits P (x i ) = c i ψ = c i j c j Gewapend met deze kennis kunnen we nu gaan kijken naar qubits Een qubit ziet er wiskundig gezien als volgt uit: [ c met c + c = De dikgedrukte en staan voor de toestand waar de coëfficiënt bij hoort Hierbij is c de kans dat de qubit na meting in de toestand gevonden wordt en analoog voor c Aangezien en de basisvectoren zijn van C kunnen we een qubit als volgt schrijven: [ c c = c [ c [ + c = c + c 5

6 Nu kijken we naar meerdere (qu)bits tegelijk Om twee normale bits op te slaan hebben we natuurlijk twee bits nodig In het quantum-geval werkt het echter anders: we krijgen een lineaire combinatie van de mogelijke basisvectoren van twee bits Dat zijn We hebben dus vier coëfficiënten nodig om een systeem met twee qubits te beschrijven Zodra we naar bytes kijken wordt het verschil nog groter Een systeem met acht qubits beschrijven we als volgt: c c c c 7 c c 54 c 55 met 55 i= c i = Zoals we zien neemt het aantal coëfficiënten exponentieel toe met het aantal bits Als we de toestand van een 4-bit quantum-register zouden willen opslaan in een klassieke computer dan hebben we 4 = bits nodig Hieruit blijkt meteen de kracht van de quantum-computer: de enorme hoeveelheid informatie waarmee we tegelijkertijd kunnen werken 4 Het algoritme van Deutsch Nu zijn we klaar om ons eerste echte quantum-algoritme te behandelen Alle quantumalgoritmes zien er globaal ongeveer als volgt uit: We beginnen met de qubits in een bepaalde klassieke toestand Dan brengen we het systeem in een superpositie Vervolgens bewerken we deze superpositie met een aantal operaties 4 Uiteindelijk meten we de qubits om weer een klassieke toestand te krijgen Bij het algoritme van Deutsch kijken we naar functies van { } naar { } Hierin onderscheiden we twee varianten: de functie is of constant of hij is gebalanceerd (alle uitkomsten van de functie komen even vaak voor) Van de vier mogelijke functies zijn er twee constant en twee gebalanceerd Het algoritme doet het volgende Gegeven is een functie zoals boven waar we verder niets van weten Door de functie te evalueren moeten we er achter komen of hij constant of gebalanceerd is In het klassieke geval moeten we eerst f() en f() uitrekenen en

7 vervolgens de uitkomsten vergelijken We moeten de functie dus twee keer evalueren Een quantum-computer kan het antwoord geven met maar één evaluatie Alle quantumalgoritmes werken met unitaire matrices om de verschillende bewerkingen te doen Zonder al te veel op de details in te gaan ziet het algoritme van Deutsch voor een quantumcomputer er als volgt uit: (H I)U f (H H) Hierbij is de klassieke toestand waarmee we beginnen H is de Hadamard-matrix die gebruikt wordt om de klassieke toestand in een superpositie te brengen Daarna voeren we de functie uit met behulp van een matrix U f Uiteindelijk gebruiken we weer de Hadamard-matrix om weer terug te komen in een klassieke toestand die we vervolgens kunnen meten Het symbool staat hier voor het tensorproduct een bepaalde manier van vermenigvuldigen van matrices De reden waarom de quantum-variant van het algoritme maar één evaluatie nodig heeft is dat de informatie die we uit de functie krijgen is veranderd Na de bovenstaande vermenigvuldigingen ziet de toestand die we overhouden er namelijk als volgt uit: ψ = (±) [ (±) als f constant is [ als f gebalanceerd is In plaats van de uitkomst van f() of f() krijgen we als antwoord als de functie constant is en als hij gebalanceerd is Dit doen we door de linker qubit te meten We weten dus niets over de waardes die f oplevert Het terugbrengen van het aantal benodigde evaluaties met de helft is niet eens een enorme verbetering Daarom kijken we nu naar Grover s zoekalgoritme 5 Grover s zoekalgoritme We zitten met het volgende probleem: vind een specifiek getal in een ongeordende rij van m getallen Normaal gesproken kost dit in het slechtste geval m vergelijkingen en gemiddeld m Met behulp van Grover s algoritme kunnen we het met minder doen: m vergelijkingen volstaan in dit geval Het algoritme ziet er als volgt uit: We beginnen met toestand We brengen de toestand in een superpositie met behulp van de Hadamard-matrix Herhaal het volgende n maal: Pas fase-inversie toe op de superpositie Inverteer om het gemiddelde 4 Meet het resultaat 7

8 Aan de hand van een voorbeeld zal de inhoud van stap hopelijk wat duidelijker worden Stel we hebben een algoritme dat zoekt naar de string We beginnen dan met: ψ = [ Vervolgens brengen we het geheel in een superpositie: [ ψ = Fase-inversie is een operatie die de fase verandert van alle toestanden die een oplossing zijn Zo lang we met reële getallen werken is dit hetzelfde als de coëfficiënt(en) van de gezochte toestand(en) vermenigvuldigen met Na fase-inversie krijgen we het volgende: ψ a = [ Nu moeten we inverteren om het gemiddelde Dat gaat als volgt: eerst rekenen we het gemiddelde uit van alle toestanden Dan berekenen we v = a + (a v) waar a het gemiddelde is v een oude waarde en v de bijbehorende nieuwe waarde Als v bijvoorbeeld is en a = 4 dan wordt v = 4 Als een getal dus onder het gemiddelde ligt wordt het veranderd naar evenveel boven het gemiddelde en andersom Het idee hiervan is dat de onderlinge verschillen vergroot worden waardoor we de kans verhogen dat we het goede element meten Het resultaat van deze operatie is: [ ψ b = 5 Als we stap nog een keer herhalen krijgen we: [ ψ a = 5 [ ψ b = Nu merken we op dat en 4 9 Als we nu zouden meten is de kans dat we een bepaalde toestand meten het kwadraat van deze getallen We zullen dus met een vrij grote kans de toestand meten terwijl alle toestanden aan het begin van het algoritme dezelfde kans hadden De kracht van dit algoritme zit hem dus in het verhogen van de kans dat we het gezochte element meten Toepassingen Nu gaan we kijken naar de mogelijkheden om quantum-computers te gebruiken voor het oplossen van het n-queens probleem

9 We beginnen met een paper dat alleen gebruik maakt van qubits zonder een echte quantum- computer nodig te hebben [DMTB Deze auteurs maken gebruik van een evolutionair algoritme zoals we dat al kennen Normaal gesproken zou een mogelijke oplossing voor het 4-queens probleem als volgt genoteerd worden: Nu gebruiken we echter qubits in plaats van normale bits We krijgen daarom een n n matrix die er bijvoorbeeld als volgt uitziet: Om de fitness van een bepaalde oplossing te berekenen worden de qubits gemeten Omdat dit algoritme echter in een normale computer uitgevoerd wordt blijft de superpositie behouden na meting We kunnen dus verder rekenen met de meest geschikte superposities Volgens de auteurs zorgt het gebruik van gesimuleerde qubits ervoor dat het algoritme sneller convergeert en ook convergeert naar een betere oplossing dan een normaal genetisch algoritme Manzano et al [MES hebben een algoritme ontworpen dat wel een quantum-computer vereist Zij beginnen met het construeren van een superpositie van alle mogelijke schaakborden als volgt We construeren een toestand voor iedere rij Aangezien in elke rij maar één dame kan staan ziet die er als volgt uit: ψ = N ( ) Vervolgens combineren we N van deze rijen om een schaakbord te krijgen: Ψ = N ( ψ ψ ψ ) Nu passen we Grover s algoritme toe zoals hierboven beschreven Hierdoor wordt na een aantal iteraties de kans dat we een oplossing meten heel groot De praktische toepasbaarheid (los van het gebrek aan een quantum-computer) van deze methode lijkt echter vooralsnog niet heel groot omdat de matrix die moet worden opgesteld om de oplossingen er uit te filteren enorm wordt (n n n n ) 9

10 7 Conclusie Met behulp van quantum-computers kan een aantal algoritmes veel efficiënter uitgevoerd worden De toepasbaarheid op het n-queens probleem lijkt echter niet zo groot de enige methode die tot nu toe winst oplevert is het gebruiken van qubits in een al bestaande methode Referenties [DMTB A Draa S Meshoul H Talbi and M Batouche A quantum-inspired differential evolution algorithm for solving the n-queens problem The International Arab Journal of Information Technology 7: 7 [MES HA Del Manzano C Echevar(r)ia and L Steinberg Quantum algorithm for n-queens problem In Computing Research Conference (CRC) Mayagüez Puerto Rico [YM Noson S Yanofsky and Mirco A Mannucci Quantum Computing for Computer Scientists pages Cambridge University Press New York NY USA