Een rappere Newton-Raphson
|
|
- Franciscus van Doorn
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Een rappere Newton-Raphson Edward Omey EHSAL (Stormstraat, 000 Brussel) Inleiding Bij vele kwantitatieve problemen is het nodig om nulpunten te bepalen van functies. Soms kunnen deze nulpunten expliciet gevonden worden omdat men (door toeval) de vergelijking f( = 0 exact kan oplossen. In andere situaties is het zoeken van de nulpunten niet zo evident en moeten er numerieke procedures gevolgd worden om tot een benaderende oplossing te komen. In vele toestellen is nu een SOLVER of een OPLOSSER aanwezig. Deze tool is in feite de voordeur van een ganse waaier aan technieken en wiskundige analyse! Tijd om daar even bij stil te staan.. Newton-Raphson We vertrekken van een functie f( en zoeken een punt (de punte t waarvoor f( = 0. Een populaire aanpak bestaat er in deze nulpunten numeriek te benaderen via een éénstaps iteratief schema van de vorm x ( n + ) = g( ), n = 0,,,... () Hierbij is g( een geschikte functie waarvoor g( = t en waarbij 0) oordeelkundig moet worden gekozen. Omdat g( = t noemt men t een vast punt van de functie g(. Indien men 0) = t kiest, volgt uit () dat = t voor alle waarden van n =,,... Bij de werkwijze van Newton-Raphson wordt de functie g( als volgt bepaald: Stap. Kies een startpunt 0) Stap. Bepaal f(0)) en bepaal de vergelijking van de raaklijn aan f( door het koppel (0), f(0)). De vergelijking van de raaklijn is gelijk aan: y = f ( 0)) + f '( 0))( x 0)) () Stap 3. Zoek het snijpunt van de raaklijn met de horizontale as. Via formule () vinden we hier f ( 0)) ) = snijpunt = 0) f '( 0)) We noteren dit snijpunt als ). Zie figuur. Stap 4. We vervangen 0) door ) en gaan terug naar stap. Stap 5. We bepalen achtereenvolgens ), ),...
2 In figuur tekenden we de raaklijn aan f( = 5 x² in 0) =. De raaklijn heeft als vergelijking y = 4(x ). Het snijpunt met de horizontale as is gelijk aan ) = 9/4=4,75. Figuur De bovenstaande procedure leidt tot een rij 0), ), ),... waarbij f ( ) n + ) = f '( ) Dit betekent dat () geldt met f ( g( = x (3) f '( Bemerk dat f( = 0 enkel en alleen als g( = t maar dat er problemen kunnen zijn indien ook f ( = 0. In de meeste gevallen kunnen we op met deze werkwijze de nulpunten vinden van afleidbare functies f(. Deze werkwijze noemt men de werkwijze van Newton-Raphson. Isaac Newton formuleerde dit procédé voor het eerst in 669. In 690 vereenvoudigde Joseph Raphson de aanpak van Newton.
3 Voorbeeld. We zoeken de nulpunten van f( = x² 3. We vinden hier f ( = x en g( = x (x² 3)/( = x/ + 3/(. De procedure van Newton-Raphson leidt tot de volgende tabel en figuur: n 0 5, , , ,500000, , , ,7663 4, , , , , , , , , , , , , ,730508, ,730508, , , , , , , , , , , , , , , , , , , Wanneer we als startwaarde 0) = 5 nemen, dan vinden we het eerste nulpunt van f(; bij de startwaarde 0) = 0,5 vinden we de negatieve wortel. Uit de tabel en de grafiek blijkt dat de convergentiesnelheid best meevalt.
4 Voorbeeld. 360 Voor de functie f ( = + ln( 6, x > 0 vinden we de volgende tabel: x n 0,000 00,000 00, , ,000,000 70,469 86,530 96,04-088,643,000 57,863 34, ,66 #NUM! 3,000 38, , ,336 #NUM! 4, ,6 357, ,696 #NUM! 5, , , ,696 #NUM! 6, , , ,696 #NUM! 7, , , ,696 #NUM! 8, , , ,696 #NUM! 9, , , ,696 #NUM! 0, , , ,696 #NUM!, , , ,696 #NUM!, , , ,696 #NUM! 3, , , ,696 #NUM! 4, , , ,696 #NUM! 5, , , ,696 #NUM! Voor de startwaarden 0) = 00, 00, 500 vinden we de benadering t 357,696. Bij de startwaarde 0) = 000 leidt het procédé niet tot een oplossing. Oefening. ) Neem andere startwaarden 0) (zoals bijvoorbeeld 0) = 5 000; 0) = ; 0) = ) en ga na of convergeert of niet. ) Schets een grafiek van f(. 3) Verklaar waarom 0) = 000 niet werkt. 4) Heeft f( nog (ee ander (e) nulpunt(e? Zo ja, zoek een goede benadering. Oefening. Werk de volgende voorbeelden uit en ga na wat er verkeerd loopt. ) f( = (x 3)³ (nulpunt voor t = 3, maar f (3) = f (3) = 0) ) f( = sin( (vele nulpunten en je weet (bijna) niet naar welk nulpunt convergeer. 3) f( = x² + (de rij oscilleert rond het minimul van f(; f( heeft géén nulpunte. Opmerking. Er bestaan ook twee-staps interatieve (en uiteraard ook drie-staps enzovoort procedures) schema s. In dit geval gebruikt men in de plaats van () een formule van de vorm x ( n + ) = g(, n )) waarbij de functie g(x,y) en 0),) op een verstandige manier moeten worden gekozen. In 6 komen een aantal andere werkwijzen aan bod.
5 3. MacLeod De wiskundige MacLeod paste het procédé van Newton-Raphson aan. In de plaats van de functie g( zoals in (3), gebruikte MacLeod de volgende functie: f ( g( = x (4) f '( + cf ( Hierbij is c een reële constante die we oordeelkundig moeten kiezen. De oorsprong van dit voorstel komt verder in 4 aan bod. Bij de keuze c = 0 vinden we uiteraard formule (3) terug. Voorbeeld. (vervolg) We bestuderen f( = x² 3 en gebruiken (4) met c = -/3. We vinden de volgende tabel en figuur: n 0,000 4,000-6,000,000 0,455-4,565,000,973-3,38 3,000,78 -,50 4,000,73 -,966 5,000,73 -,76 6,000,73 -,733 7,000,73 -,73 8,000,73 -,73 9,000,73 -,73 0,000,73 -,73,000,73 -,73,000,73 -,73 3,000,73 -,73 4,000,73 -,73 5,000,73 -,73 6,000,73 -,73 7,000,73 -,73 6,000 4,000,000 0,000 -,000-4,000-6,000-8,000 c = -/ Oefening. Werk voorbeeld uit voor andere keuzes van c en 0). 4. Convergentiesnelheid Uit de vorige oefening zal blijken dat c een belangrijke rol speelt en dat de convergentie niet steeds even vlot verloopt. Hoe kunnen we nu op een verantwoorde manier het getal c kiezen? Om deze vraag te beantwoorden stellen we e( gelijk aan de benaderingsfout die we maken bij de n-de stap: e( = t. We vinden dan dat x ( n + ) = g( ) = g( e( +.
6 Via een reeksontwikkeling(zie NOOT verderop) vinden we nu dat g ( e( + = g( + e( g'( + e²( g'' ( + e³( g' ''( Omdat f( = 0 en dus ook g( = t volgt dat x ( n + ) = t + e( g'( + e²( g''( + e³( g'''( en e ( n + ) = e( g' ( + e²( g' '( + e³( g'''( We berekenen nu g ( en vinden f '²( f ( f ''( g'( = ( f '( + cf ( )² g ( = 0. Uit het voorgaande volgt nu dat e( n + ) e²( g'' (. Als g ( klein is, dan verwachten we dat de convergentiesnelheid best meevalt. Bij elke stap is de volgende fout evenredig met het kwadraat van de vorige fout. Men noemt deze methode daarom een tweede-orde methode. f ''( Na (veel) rekenwerk vinden we eveneens dat g ''( = c +. Indien we c kunnen f '( kiezen zo dat g ( = 0, dan volgt dat e( n + ) e³( g''' (. In dit geval zal de 6 convergentiesnelheid nog beter zal zijn! Bij deze keuze is de methode een derde-orde methode. Het probleem hier is wel dat we t en bijgevolg ook c niet kennen. 5. Veralgemening In Omey (988) werd de aanpak van Macleod veralgemeend. Hierbij kiezen we een functie h( zodanig dat h( NIET gelijk is aan nul. Als we nu de functie F( = h(f( bekijken, dan is f( = 0 enkel en alleen als F( = 0. Mogelijke keuzes voor h( zijn: cx h ( = exp( c = e ; h ( = exp( cx²) ; h( = + x² ; h ( = + f ²( x ) ; enz. Wanneer we de methode van Newton-Raphson toepassen voor F( = h(f(, dan vinden we F( f ( h( g( = x = x (5) F'( f '( h( + f ( h'( Wanneer h( =, dan vinden we formule (3) terug. Wanneer we de keuze h( = exp(c maken, dan vinden we (4) terug.
7 Voorbeeld 3 We bestuderen f( = x³ 0,65x² +3,993/0000. Via een grafiek zien we dat de functie drie nulpunten heeft (in de buurt van 0, rond 0,05 en rond 0,5). We zoeken het grootste nulpunt. In de tabel hieronder staan de opeenvolgende benaderingen waaarbij we eerst werkten met (3) (volle lij en daarna met (5) (stippellij met als keuze h( = /x. formule (3) formule (5) n 0, , , ,0458 4, , ,00443, , , , , , , ,646 0, , , ,3859 0, ,40 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,
8 We vinden als nulpunt bij benadering t 0, We merken ook dat (5) vlugger convergeert. Voor formule (5) vinden we, net zoals in de vorige paragraaf, dat g( = t g ( = 0 h'( f ''( g ''( = + h( f '( en e( n + ) e²( g'' (. Als g ( klein is dan verwachten we dat de convergentiesnelheid goed zal zijn. Bij de keuze h ( = / f '( vinden we dat g ( = 0. In dit geval vinden we dat e( n + ) e³( g''' ( (6) 6 De enige (belangrijke!) voorwaarde is dat h( minstens in de buurt van x = t niet gelijk is aan 0. Voorbeeld 4 De hoeveelheid (in miljoene datapaketten q( die op een bepaald netwerk worden verstuurd neemt toe met de tijd t. Voor een bepaald netwerk vonden Waner en Costenoble (996) de volgende formule: exp(0,69 q( = 3 +,5exp( 0,4, t 0 De grafiek vertoont een sterk stijgend patroon. q(
9 Men is nu geïnteresseerd in het tijdstip waarop q( precies gelijk is aan Op de grafiek zien we dat er juist één dergelijk tijdstip is. Met de voorgaande methodes zoeken we nu het nulpunt van f( = q( 0000 In de volgende tabel en grafiek gebruikten we formule (3) (volle lij en formule (5) (stippellij met h( gelijk aan h( = exp(-0,345. We startten met 0) = 4. formule (3) formule (5) n 0 4, , , , , , ,058, ,6647 4, ,64 4, , , ,3859 4, ,8783 4, , , ,0680 4,9405 6, ,9405 5, , ,775 4, ,9537 4, ,9439 4, ,9435 4, ,9435 4, ,9435 4, ,9435 4, ,9435 4,9405 4,9435 4,9405 4,9435 4, ,9435 4, ,9435 4,
10 We merken dat de convergentiesnelheid bij formule (5) beduidend beter is dan bij formule (3). Oefening. Het verspreiden van nieuwe technologie kan bijvoorbeeld gemodelleerd worden als volgt (zie [6], p. 95): 3exp( 0,t ) p ( =, t 0 + exp(4,50 0,477 waarbij t de tijd is en p( het percentage firma s is die op tijdstip t een bepaalde technologie toepassen. In de grafiek zien we de opkomst en het verval van de nieuwe techniek. p( 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, ) Een techniek is goed ingeburgerd indien 50% van de bedrijven de techniek gebruiken. Op welk tijdstip gebeurt dit hier? ) Een techniek dooft uit als nog hoogstens 0% van de bedrijven de techniek gebruikt. Wanneer gebeurt dit in dit voorbeeld? 6. Andere werkwijzen Naast de formules van de vorige paragrafen zijn er nog tal van varianten. Ook zijn er procedures beschikbaar om de nulpunten te vinden van functies in meerdere variabelen. Hier gaan we niet dieper op in. 6.. Bissectie In deze procedure gaat men er van uit dat men ongeveer weet waar het nulpunt van f( ligt. Men weet bijvoorbeeld dat t in het interval [a, b] ligt en we veronderstellen hier dat f(a) < 0 < f(b). Men bepaalt nu een rij als volgt:
11 . [a(0), b(0)] = [a, b] en 0) = (a + b)/. als f(0)) < 0, dan is [a(), b()] = [0), b(0)] en ) = (0) + b(0))/ als f(0) > 0, dan is [a(), b()] = [a(0),0)] en ) = (a(0) + 0))/ als f() < 0, dan is [a(n+), b(n+)] = [, b(] en n+) = ( + b()/ als f( > 0, dan is [a(n+), b(n+)] = [a(,] en n+) = (a( + )/ 6.. Halley s methode Dit is de methode beschreven door formule (5) met de keuze h ( = / f '(. Bij deze keuze is g( = g ( = g ( = 0 en voldoen de fouten aan (6) Schröder s methode Dit is de methode beschreven door formule (5) met de keuze ( / f '( 6.4. Secant methode Bij deze werkwijze vertrekt men van de formules () en (3): f ( ) n + ) =. f '( ) en via de middelwaardestelling benadert men f () als volgt: f ( ) f ( n )) f '( ) n ) Door deze twee formules te combineren vinden we: f ( )( n )) x ( n + ) = ( f ( ) f ( n )) Dit is een twee-staps formule van de vorm n+)=g(,n-)). h =. Noot De reeksontwikkeling van een functie f( rond x = a is gelijk aan f ( = f ( a) + f '( a)( x a) + f ''( a)( x a)² + f '''( a)( x a)³ ! De functie moet wel aan een aantal vereisten voldoen om over een zincolle uitdrukking te beschikken. Welbekende voorbeelden zijn (telkens met a = 0) = + x + x² + x³ +... x e x = + x + x² + x !
12 Bibliografie [] A..K. Kaw (006). An interactive e-book for illustrating Newton-Raphson method of solving nonlinear equations. [] Macleod, A.J. (984). How to accelerate convergence in Newton-Raphson? Int. Journal of Math. Education, Science and Technology. Vol. 5, p. 7. [3] Omey, E. (988). Note on a paper of MacLeod. Int. Journal of Math. Education, Science and Technology. Vol. 9, p [4] T.R. Scavo and J.B. Thoo (995). On the geometry of Halley s method. Amer. Math. Monthly 0, [5] E. Schröder (870). Uber unendlich viele Algorithmen zur Auflösung der Gleichungen. Math. Ann., [6] Waner, S. en Costenoble, S. (996). Calculus applied to the real world. Harper Collins College Publisher, New York. [7] E.W. Weinstein. Secant method. Mathworld-A Wolfram Web Resource.
2. Het benaderen van nulpunten
Het benaderen van nulpunten Benaderen van vierkantswortels Als we met een numerieke rekenmachine benadering, 7 =,64575 7 berekenen, krijgen we als resultaat een Het numeriek benaderen kan met een recursieve
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2
Nadere informatieHet oplossen van vergelijkingen Voor het benaderen van oplossingen van vergelijkingen van de vorm F(x)=0 bespreken we een aantal methoden:
Hoofdstuk 4 Programmeren met de GR Toevoegen: een inleiding op het programmeren met de GR Hoofdstuk 5 - Numerieke methoden Numerieke wiskunde is een deelgebied van de wiskunde waarin algoritmes voor problemen
Nadere informatie8. Differentiaal- en integraalrekening
Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,
Nadere informatie1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift 3
HOOFDSTUK 6: RIJEN 1 Limiet van een rij 2 1.1 Het begrip rij 2 1.2 Bepaling van een rij 2 1.2.1 Expliciet voorschrift 2 1.2.2 Recursief voorschrift 3 1.2.3 Andere gevallen 3 1.2.4 Rijen met de grafische
Nadere informatie1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling
Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil
Nadere informatieMachten, exponenten en logaritmen
Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2009 - I
en benadering van een nulpunt Voor elke positieve startwaarde 0 is een rij 0,, 2, gegeven door de volgende recursievergelijking: n+ = 2 n +. n Deze recursievergelijking kunnen we ook schrijven als n+ =
Nadere informatie(x x 1 ) + y 1. x x k+1 x k x k+1
Les Talor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Nadere informatie( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong
Hoofdstuk 4 Verloop van functies Met DERIVE is het mogelijk om tal van eigenschappen van functies experimenteel te ontdekken. In een eerste paragraaf onderzoeken we het verband tussen de grafieken van
Nadere informatieHoofdstuk 6 - de afgeleide functie
Hoofdstuk 6 - de afgeleide functie 0. voorkennis Het differentiequotiënt Het differentiequotiënt van y op de gemiddelde verandering van y op [ ] is: A B de richtingscoëfficiënt (ook wel helling) van de
Nadere informatieSTEEDS BETERE BENADERING VOOR HET GETAL π
STEEDS BETERE BENADERING VOOR HET GETAL KOEN DE NAEGHEL Samenvatting. We bespreken een oplossing voor de (veralgemeende) opgave Noot 4 uit Wiskunde & Onderwijs nr.139. Onze inspiratie halen we uit het
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
amen VWO 2009 tijdvak dinsdag 2 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B,2 Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 9 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieInhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie
Inhoud college 4 Basiswiskunde 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Hogere afgeleiden De afgeleide f beschrijft
Nadere informatieCentrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013
Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 23 Voorlopige versie 29 januari 23 Opgave a Schrijf f ) g) met g) 9 2. g) 9 2 ) /2, dus g ) 2 9 2 ) /2 2 Dit geeft
Nadere informatieDe bisectie methode uitgelegd met een makkelijk voorbeeld
De Bisectie methode De bisectie methode uitgelegd met een makkelijk voorbeeld De bisectie methode is een recursieve methode om punten van een functie te gaan afschatten. Hierbij gaat men de functiewaarde
Nadere informatie4.1 Rijen. Inhoud. Convergentie van een reeks. Reeksen. a k. a k = lim. a k = s. s n = a 1 + a 2 + + a n = k=1
Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-0 Reesen en Machtreesen Inhoud. Rijen 2. Reesen Definities en enmeren Reesen met niet-negatieve termen Reesen met positieve en negatieve termen 3. Machtreesen
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatie(g 0 en n een heel getal) Voor het rekenen met machten geldt ook - (p q) a = p a q a
Samenvatting wiskunde h4 hoofdstuk 3 en 6, h5 hoofdstuk 4 en 6 Hoofdstuk 3 Voorkennis Bij het rekenen met machten gelden de volgende rekenregels: - Bij een vermenigvuldiging van twee machten met hetzelfde
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts
Voorbereiding toelatingsexamen artstandarts Wiskunde: oppervlakteberekening juli 05 dr. Brenda Castelen Met dank aan: Atheneum van Veurne (http:www.natuurdigitaal.begeneeskundefsicawiskundewiskunde.htm),
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.
Nadere informatie5. Vergelijkingen. 5.1. Vergelijkingen met één variabele. 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking
5. Vergelijkingen 5.1. Vergelijkingen met één variabele 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking Probleem : We willen x oplossen uit de lineaire vergelijking p x+q=r met p. Maxima biedt daartoe in
Nadere informatie5.7. Boekverslag door P woorden 11 januari keer beoordeeld. Wiskunde B
Boekverslag door P. 1778 woorden 11 januari 2012 5.7 103 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde B Getal en ruimte Wiskunde Hoofdstuk 1 Formules en Grafieken 1.1 Lineaire verbanden Van de lijn y=ax+b is de
Nadere informatiePARADOXEN 2 Dr. Luc Gheysens
PARADOXEN Dr. Luc Gheysens SPELEN MET ONEINDIG Historische nota De Griekse filosoof Zeno (ca. 90-0 v. Chr.) bedacht een aantal paradoen om aan te tonen dat beweging eigenlijk een illusie is. De meest bekende
Nadere informatie1. Orthogonale Hyperbolen
. Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies
Nadere informatieWetenschappelijk Rekenen
Wetenschappelijk Rekenen Examen - Bacheloropleiding informatica Oefeningen 3 september 204. Beschouw de matrix A = 8 6 3 5 7 4 9 2 Deze matrix heeft 5 als dominante eigenwaarde. We proberen deze eigenwaarde
Nadere informatieExamenvragen Numerieke Wiskunde 2012
Examenvragen Numerieke Wiskunde 2012 Dennis Frett, Karel Domin, Jonas Devlieghere 3 oktober 2014 1 Inhoudsopgave 1 Programma verschil, verklaar afwijking 4 2 Matrix met dominante eigenwaarde 6 3 Functiewaarden
Nadere informatieIJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur
Nadere informatieNumerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.
Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde N460 op donderdag 4 juni 010, 14.00-17.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatiewiskunde B pilot havo 2015-II
wiskunde B pilot havo 05-II Veilig vliegen De minimale en de maximale snelheid waarmee een vliegtuig veilig kan vliegen, zijn onder andere afhankelijk van de vlieghoogte. Deze hoogte wordt vaak weergegeven
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen HAVO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 0 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor
Nadere informatieOef 1. Oef 2 Geef het functievoorschrift van g, h en k als a = 1
Herhalingsoefeningen Tweedegraadsfuncties Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1
Nadere informatie(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1
Les Taylor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
5 bladzijde 9 ab f g h i j functie nr 5 Domein [ 0, 0, Bereik [ 0, [ 0, 0, c D k B k, 0 0, d Spiegelen in de -as geeft het tegengestelde bereik, dus, 0]. e u ( ) en yu ( ) u f D q, 0 0, ; B q 0, a [, b
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij
Nadere informatieBasistechnieken TI-84 Plus C Silver Edition
Basistechnieken TI-84 Plus C Silver Edition Als je dit practicum doorwerkt, weet je de eerste beginselen van het werken met de grafische rekenmachine TI-84 Plus C Silver Edition. In de tekst van het practicum
Nadere informatieMonitoraatssessie Wiskunde
Monitoraatssessie Wiskunde 1 Overzicht van de cursus Er zijn drie grote blokken, telkens voorafgegaan door de rekentechnieken die voor dat deel nodig zullen zijn. Exponentiële en logaritmische functies;
Nadere informatieDag van de wiskunde 22 november 2014
WISKUNDIGE UITDAGINGEN MET DE TI-84 L U C G H E Y S E N S VRAGEN/OPMERKINGEN/ peter.vandewiele@telenet.be TOEPASSING 1: BODY MASS INDEX Opstarten programma en naamgeven! Peter Vandewiele 1 TOEPASSING 1:
Nadere informatieExamen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
Wiskunde B,2 (nieuwe stijl) Eamen VW Voorbereidend Wetenschappelijk nderwijs Tijdvak 2 Woensdag 8 juni 3.30 6.30 uur 20 03 Voor dit eamen zijn maimaal 84 punten te behalen; het eamen bestaat uit 7 vragen.
Nadere informatieN3 LINEAIRE INTERPOLATIE
N3 LINEAIRE INTERPOLATIE 3.18 Inleiding Het komt vaak voor dat we slechts gedeeltelijke informatie hebben over het vloeiende verloop van een functie f en toch de waarde van de functie y = f(x) in een bepaald
Nadere informatie(Assistenten zijn Sofie Burggraeve, Bart Jacobs, Annelies Jaspers, Nele Lejon, Daan Michiels, Michael Moreels, Berdien Peeters en Pieter Segaert).
Tussentijdse Toets Wiskunde I 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, donderdag 17 november 011, 8:30 10:00 uur
Nadere informatieDefinitie 1.1. Een partitie van een natuurlijk getal n is een niet stijgende rij positieve natuurlijke getallen met som n
Hoofdstuk 1 Inleidende begrippen 1.1 Definities Definitie 1.1. Een partitie van een natuurlijk getal n is een niet stijgende rij positieve natuurlijke getallen met som n Voor het tellen van het aantal
Nadere informatieExamen HAVO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 vrijdag 17 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen HAVO 201 tijdvak 1 vrijdag 17 mei 1.0-16.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B. tijdvak 1 vrijdag 19 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen HAV 207 tijdvak vrijdag 9 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieAntwoorden Differentievergelijkingen 1
Opgave 1. a) 0,4 10 + 6 = 10. Dus u 0 = u 1 + u = = 10 b) 0,4 u + 6 = 10 kan alleen als u = 10. Dus voor u 0 = 6 komt 10 niet in de reeks voor. c) u 0 = 11; u 1 = 10,4; u = 10,16; u 3 = 10,064. De reeks
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen HAV 0 tijdvak woensdag 0 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage.. Dit eamen bestaat uit 0 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2
wiskunde B, Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag 3 mei 3.3 6.3 uur 6 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 9 vragen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatiewiskunde B pilot havo 2016-I
De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt ( 1, 1 ) 3p 1 Stel een vergelijking op van c. De punten B( 3, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) 2 2 C liggen op c. Punt Q is het midden van
Nadere informatieBlok 1 - Vaardigheden
Blok - Vaardigheden Blok - Vaardigheden Etra oefening - Basis B-a h( ) = 000 00 = 00 h( 7 ) = 000 00 7 = 0 h(, ) = 000 00, = 70 000 00t = 00 00t = 00 t = B-a Invullen van geeft f ( ) = + 0 = +, maar de
Nadere informatieOvergangsverschijnselen
Hoofdstuk 5 Overgangsverschijnselen Doelstellingen 1. Overgangsverschijnselen van RC en RL ketens kunnen uitleggen waarbij de wiskundige afleiding van ondergeschikt belang is Als we een condensator of
Nadere informatiede Wageningse Methode Beknopte gebruiksaanwijzing TI84 1
Algemene vaardigheden Veel knopjes hebben drie functies. De functie die op een knop... staat krijg je door er op de drukken. De blauwe functie die er boven een knop... staat krijg je met 2nd.... Zo zet
Nadere informatieParameter-krommen benaderen in een vlak
Parameter-krommen benaderen in een vlak Inleiding Het komt vaak voor dat we slechts gedeeltelijke informatie hebben over het vloeiende verloop van een kromme in een bepaalde ruimte Bij ruimte denken we
Nadere informatiewiskunde B havo 2017-I
Cirkel en lijn De cirkel c en de lijn l worden gegeven door l: 5. Zie figuur. 4 3 2 2 c: 9 en figuur l c 4p Toon aan dat l raakt aan c. Cirkel c snijdt de negatieve -as in het punt A. Lijn l snijdt de
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen HAV 2016 tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 18 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor
Nadere informatieExamen VWO. Wiskunde B Profi
Wiskunde B Profi Eamen VW Voorbereidend Wetenschappelijk nderwijs Tijdvak Woensdag 1 juni 13.30 16.30 uur 0 00 Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een
Nadere informatieExamen HAVO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl)
Wiskunde B1 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 18 juni 13.30 16.30 uur 20 03 Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen; het examen bestaat uit 19
Nadere informatie6. Toon aan dat voor alle 2]0; ß [ geldt dat sin <<tan Onderstel dat de functie f afleidbaar in ]a; +1[ is en dat Toon aan dat!+1 f ) = A.!+1 f
Afleiden en primitiveren Oefeningen Wiskundige Analyse I 1. Toon aan dat de functie f gedefinieerd op [ß; 3ß 2 ] door 1 p 1 + sin2 ) een inverse ffi bezit. Wat kan men besluiten omtrent de monotoniteit,
Nadere informatieTweede Programmeeropgave Numerieke Wiskunde 1 De golfplaat Uiterste inleverdatum : vrijdag 16 mei 2003
Tweede Programmeeropgave Numerieke Wiskunde 1 De golfplaat Uiterste inleverdatum : vrijdag 16 mei 2003 I Doelstelling en testcase In deze programmeeropgave zullen we een drietal numerieke integratiemethoden
Nadere informatieKettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1
Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking
Nadere informatieReeksontwikkeling Koen Van de moortel, 20070925-20071008 www.astrovdm.com
Reeksontwikkeling Koen Van de moortel, 20070925-20071008 www.astrovdm.com Vereiste voorkennis: limieten, reeksen, afgeleiden, goniometrische en exponentiële funkties, komplexe getallen Probleemstelling
Nadere informatieWetenschappelijk Rekenen
Wetenschappelijk Rekenen Examen - Derde bachelor informatica Oefeningen 0 mei 0. Gegeven is het beginwaardeprobleem y y 0, 04y + 0000y y y (0) = y = 0, 04y 0000y y 0 7 y y, y (0) = 0 0 7 y y (0) 0 Los
Nadere informatieDe verstrooide professor
Inleiding De verstrooide professor Edward Omey HU - Stormstraat 2 000 russel edward.omey@hubrussel.be In hun nota bestuderen Guido Herweyers en Ronald Rouseau (G. Herweyers en R. Rousseau, Een onverwacht
Nadere informatieEindexamen wiskunde A pilot havo 2011 - II
Eindexamen wiskunde A pilot havo 0 - II Beoordelingsmodel Woningvoorraad maximumscore 3 b = 3 6 3 a = = 0, 30 0 Opmerkingen Als voor het verschil in jaren 3 9 genomen is, hiervoor geen scorepunten in mindering
Nadere informatie3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n.
Radboud Universiteit Tentamen Calculus A NWI-WP025 25 januari 208, 8.30.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieSteeds betere benadering voor het getal π
Wiskunde & Onderwijs 38ste jaargang (2012 Steeds betere benadering voor het getal π Koen De Naeghel Samenvatting. We bespreken een oplossing voor de (veralgemeende opgave Noot 4 uit Wiskunde & Onderwijs
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2005-I
Inademen ij controlemetingen aan de ademhaling wordt men gevraagd om diep uit te ademen en vervolgens gedurende vijf seconden zo diep mogelijk in te ademen. Tijdens het inademen is de hoeveelheid verse
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 3 oktober 2007.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Algemeen deel. Bij het vermenigvuldigen met van de ongelijkheid moet u rekening houden met twee gevallen, te weten > 0 en < 0 en u moet
Nadere informatieTI83-werkblad. Vergelijkingen bij de normale verdeling
TI83-werkblad Vergelijkingen bij de normale verdeling 1. Inleiding Een normale verdeling wordt bepaald door de constanten µ en σ. Dit blijkt uit het voorschrift van de verdelingsfunctie van de normale
Nadere informatieExamenvragen Wiskundige Analyse I, 1ste examenperiode
Examenvragen Wiskundige Analyse I, ste examenperiode 24-25 Vraag (op 6pt) Vraag.. Waar of vals (.5pt) De Wronskiaanse determinant van twee LOF oplossingen y en y 2 van de differentiaalvergelijking cosh(x)y
Nadere informatieDe parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor
Nadere informatieDeel 3 Numerieke methoden
Deel 3 Numerieke methoden Differentiaalvergelijkingen Van discreet naar continu We bestuderen de evolutie van de bevolking van een land met 5 miljoen inwoners Stel u n het aantal inwoners na n jaar, met
Nadere informatieGrafieken van veeltermfuncties
(HOOFDSTUK 43, uit College Mathematics, door Frank Ayres, Jr. and Philip A. Schmidt, Schaum s Series, McGraw-Hill, New York; dit is de voorbereiding voor een uit te geven Nederlandse vertaling). Grafieken
Nadere informatieNaam: Studierichting: Naam assistent:
Naam: Tussentijdse Toets Wiskunde I ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, Master Chemie donderdag 4 november
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1
wiskunde B Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag 3 mei 3.3 6.3 uur 5 Voor dit eamen zijn maimaal 87 punten te behalen; het eamen bestaat uit vragen. Voor elk vraagnummer is
Nadere informatieWISKUNDE 3 PERIODEN EUROPEES BACCALAUREAAT 2010. DATUM : 4 juni 2010 DUUR VAN HET EXAMEN : TOEGESTANE HULPMIDDELEN : OPMERKINGEN : Geen
EUROPEES BACCALAUREAAT 010 WISKUNDE 3 PERIODEN DATUM : 4 juni 010 DUUR VAN HET EXAMEN : 3 uur (180 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische
Nadere informatie34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN
34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 1.11 Vraagstukken Vraagstuk 1.11.1 Beschouw het beginwaardeprobleem = 2x (y 1), y(0) = y 0. Los dit beginwaardeprobleem op voor y 0 R en maak een
Nadere informatieHoofdstuk 2: Grafieken en formules
Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde
Nadere informatie2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling
TU/e technische universiteit eindhoven Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk
Nadere informatie== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u
== en Tentamen Analyse, WI6 == Maandag januari, 4.-7.u Technische Universiteit Delft, Faculteit EWI. Gegeven is de functie + e + e arctan,, f = +, >. a Beargumenteer dat f continu is op R. b Bepaal de
Nadere informatie13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0.
Gegeven is de functie.0 Voorkennis Deze functie bestaat niet bij een van. Invullen van = geeft een deling door 0. De functie g() = heeft als domein R en is een ononderbroken kromme. Deze functie is continu
Nadere informatiebegin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie
begin van document Eindtermen vwo wiskunde (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie Domein Subdomein in CE moet in SE Vaardigheden 1: Informatievaardigheden X X : Onderzoeksvaardigheden
Nadere informatieFamilies parabolen en fonteinen met de TI-Nspire
Families parabolen en fonteinen met de TI-Nspire Dr Didier Deses Samenvatting We bestuderen 1-parameterfamilies van parabolen. De klassieke families (bijv.: y = ax 2 ) komen aan bod alsook de parabolen
Nadere informatieHet naaldenexperiment van Buffon
Het naaldenexperiment van Buffon (Ph. Cara, 3 april 2015) 1 Definitie en korte geschiedenis van π Reeds in 400 v.chr. stelde de Griek Hippocrates vast dat de verhouding tussen de oppervlakte van een cirkelschijf
Nadere informatieInhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen
Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2005-I
Inademen Bij controlemetingen aan de ademhaling wordt men gevraagd om diep uit te ademen en vervolgens gedurende vijf seconden zo diep mogelijk in te ademen. Tijdens het inademen is de hoeveelheid verse
Nadere informatieSchotelantennes. Maak ze met wiskunde! metaal. /k 1/18. Stukje van een groter geheel
Schotelantennes Maak ze met wiskunde! = 2 /(4F) m mal p metaal /k 1/18 m p Stukje van een groter geheel Als je een probleem uit de praktijk beschrijft met wiskundige vergelijkingen, dan kun je ze vrijwel
Nadere informatieDeel 2. Basiskennis wiskunde
Deel 2. Basiskennis wiskunde Vraag 26 Definieer de functie f : R R : 7 cos(2 ). Bepaal de afgeleide van de functie f in het punt 2π/2. (A) f 0 ( 2π/2) = π (B) f 0 ( 2π/2) = 2π (C) f 0 ( 2π/2) = 2π (D)
Nadere informatie2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen?
Vraag Een vloeistoftank met onbeperkte capaciteit, bevat aanvankelijk V liter zuiver water. Tijdens de eerste faze stroomt water, dat zout bevat met een concentratie van k kilogram per liter, de tank binnen
Nadere informatieReferentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen
Referentieniveaus uitgelegd De beschrijvingen zijn gebaseerd op het Referentiekader taal en rekenen'. In 'Referentieniveaus uitgelegd' zijn de niveaus voor de verschillende sectoren goed zichtbaar. Door
Nadere informatieVoorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 31 mei uur
wiskunde B,2 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag 3 mei 3.30 6.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 89 punten te behalen; het examen bestaat uit 20 vragen. Voor elk
Nadere informatieHoofdstuk 5 - Recursie
Hoofdstuk 5 - Recursie Een banktegoed waarover je jaarlijks rente krijgt uitgekeerd is een voorbeeld van recursie. Je kunt steeds het nieuwe banktegoed berekenen op basis van het banktegoed van vorig jaar.
Nadere informatieMETA-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen
META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek
Nadere informatieHoofdstuk 7 - veranderingen. getal & ruimte HAVO wiskunde A deel 2
Hoofdstuk 7 - veranderingen getal & ruimte HAVO wiskunde A deel 2 0. voorkennis Plotten, schetsen en tekenen Een grafiek plotten Een grafiek schetsen Een grafiek tekenen Na het invoeren van de formule
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2
wiskunde B1,2 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 19 vragen.
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts
Voorbereiding toelatingsexamen artstandarts Wiskunde: oppervlakteberekening 307 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http:users.telenet.betoelating) . Inleiding Dit oefeningenoverzicht
Nadere informatieSamenvatting Wiskunde B
Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen
Nadere informatie