Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics

Transcriptie

1 Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Borelsommeerbaarheid en een toepassing op een oneindig lineair systeem (Engelse titel: Borel s method of summability and an application to an infinite linear system) Verslag ten behoeve van het Delft Institute of Applied Mathematics als onderdeel ter verkrijging van de graad van BACHELOR OF SCIENCE in TECHNISCHE WISKUNDE door TIM QUAK Delft, Nederland Juni 205 Copyright c 205 door Tim Quak. Alle rechten voorbehouden.

2

3 BSc verslag TECHNISCHE WISKUNDE Borelsommeerbaarheid en een toepassing op een oneindig lineair systeem (Engelse titel: Borel s method of summability and an application to an infinite linear system ) TIM QUAK Technische Universiteit Delft Begeleider Dr. M.H.A. Haase Overige commissieleden Dr. C. Kraaikamp Dr. B. van den Dries Juni, 205 Delft

4 Abstract Stel dat we eindig veel mieren in het complexe vlak plaatsen, waarbij we de mieren nummeren. Elke mier loopt in de richting van de volgende en de laatste mier beweegt zich in de richting van de eerste. Wanneer de snelheid waarmee de mieren zich verplaatsen evenredig is met de afstand tot hun voorganger, zullen de mieren naar het gemiddelde van de startposities convergeren. Wanneer we in plaats van een eindig aantal, oneindig veel mieren toelaten, ontstaat er een oneindig lineair systeem. Wanneer de startposities van de mieren een begrensde rij vormen, is convergentie van de mieren naar één punt equivalent met Borelsommeerbaarheid van de begrensde rij die als beginvoorwaarde fungeert. In het geval dat de beginvoorwaarde een convergente rij is, zullen de mieren uniform naar dezelfde limiet convergeren. In het algemeen, dus ook in het geval dat de mieren onder een begrensde beginvoorwaarde niet convergeren, zal de snelheid van de mieren uniform naar nul convergeren. De sommatiemethode van Borel is regulier en er bestaan reeksen die niet Cesàrosommeerbaar zijn maar wel Borelsommeerbaar. Slechts onder een voorwaarde op de convergentiesnelheid van de Cesàrogemiddelden zal Cesàrosommeerbaarheid Borelsommeerbaarheid impliceren. Wanneer een reeks Borelsommeerbaar is en voor de termen van de reeks geldt a n = O(n 2 ), dan is de reeks convergent. iv

5 Inhoudsopgave Voorwoord vi Convergente en divergente reeksen 2 Sommatiemethoden 4 2. De sommatiemethode van Cesàro Regulariteit Voorbeelden en een toepassing De sommatiemethode van Borel Regulariteit Voorbeelden Een relatie tot Cesàrosommeerbaarheid De O -Tauberstelling Een oneindige rij mieren 6 3. Het eindige model Het oneindige model De Banachruimte l (N 0 ) De oplossing van het systeem De relatie tot Borelsommeerbaarheid Divergentie en een tra(a)g(isch) einde Referenties 28 v

6 Voorwoord Stel dat je een eindig aantal mieren q 0, q,..., q n (n N) in het complexe vlak plaatst, waarbij elke mier q i in de richting van q i beweegt (0 i < n ) en mier q n loopt in de richting van mier q 0. Wanneer de snelheid van de mieren evenredig is met de afstand tot hun voorganger, zullen alle mieren naar het gemiddelde van de startpunten convergeren. Dit probleem staat bekend onder de naam cyclic pursuit en wordt uitgewerkt in sectie 3.. Wanneer we in plaats van eindig veel mieren, aftelbaar oneindig veel mieren in ons model toelaten, ontstaat er een nieuw probleem. Hierbij kunnen we de beginposities van de mieren zien als een rij in C, zeg (q k ) k N0. De positie van de mieren houden we bij in een functie q(t), waarbij q(t) een rij van complexe getallen is voor elke t 0. Als in het eindige geval vragen we ons af wat het asymptotische gedrag is van de mieren. Onder welke voorwaarde convergeert de n-de mier q n (t) als t? Stel nu dat de beginvoorwaarde (q k ) k N0 een begrensde rij is, dan volgt in sectie dat voor de n-de mier, dus de n-de component van de functie q(t), geldt q n (t) = e t t k k! q nk (t 0). De vraag of q n (t) convergeert als t is per definitie equivalent aan de vraag of de rij (q nk ) k N0 Borelsommeerbaar is. De sommatiemethode van Borel, hier geïntroduceerd aan de hand van een toepassing, staat centraal in dit verslag. Daarnaast wordt bovenstaand voorbeeld gedetailleerd uitgewerkt. Ten behoeve van de structuur van dit verslag is een theoretisch hoofdstuk over sommatiemethoden voor het hoofdstuk over een toepassing geplaatst. De lezer die zich comfortabeler voelt bij een toepassing wordt aangeraden om te beginnen bij hoofdstuk 3 om de toepassing vervolgens in een theoretisch kader te plaatsen met behulp van hoofdstuk 2. Hieronder volgt een korte omschrijving per hoofdstuk. Hoofdstuk geeft een elementaire introductie op het thema convergente en divergente reeksen. Dit hoofdstuk is geschreven voor de geïnteresseerde lezer die niet noodzakelijkerwijs de behoefte voelt om wiskunde te studeren. De verwachte voorkennis ten aanzien van dit hoofdstuk is dan ook beperkt. Hoofdstuk 2 is theoretisch van aard en gaat over sommatiemethoden. In het bijzonder zoals de titel van dit verslag wellicht doet vermoeden krijgen eigenschappen van de sommatiemethode van Borel een plek in dit hoofdstuk. Een van de meest fundamentele eigenschappen is dat deze sommatiemethode regulier is. Dat wil zeggen dat elke convergente reeks Borelsommeerbaar is, waarbij de som die wordt toegekend precies de waarde is waar de reeks naartoe convergeert. Vervolgens vergelijken we de sommatiemethode van Borel met de sommatiemethode van Cesàro. Hier blijkt dat er zowel reeksen bestaan die wel Borel- maar niet Cesàrosommeerbaar zijn als reeksen die niet Borel- maar wel Cesàrosommeerbaar zijn. Stelling 2.2 geeft een verband tussen de convergentiesnelheid van de Cesàrogemiddelden en Borelsommeerbaarheid. Het hoofdstuk eindigt met de O -Tauberstelling voor Borelsommeerbaarheid. Deze stelling beweert dat elke Borelsommeerbare reeks a k die voldoet aan de Tauberconditie a n = O(n 2 ), convergent is. In hoofdstuk 3 staat de hiervoor genoemde toepassing centraal. Allereerst bekijken we het eindige geval, waarbij we aantonen dat de mieren altijd naar het gemiddelde van de beginvoorwaarde zullen convergeren. vi

7 Vervolgens maken we de vertaalslag naar het oneindige model, waarbij we ons beperken tot beginvoorwaarden die begrensd zijn, dus rijen uit de Banachruimte l (N 0 ). Wanneer de beginvoorwaarde een convergente rij is, zullen we in sectie zien dat alle mieren uniform naar hetzelfde limietpunt convergeren. In sectie zien we een voorbeeld van een begrensde rij die niet Borelsommeerbaar is. Dit geeft een beginvoorwaarde voor het lineaire systeem waarmee de mieren niet naar een punt convergeren. Hoewel de mieren dus niet naar een punt hoeven te convergeren, convergeert de snelheid van de mieren uniform naar nul. Dit betekent een traag, maar vooral tragisch einde voor de mieren... vii

8 Convergente en divergente reeksen De schildpad daagde Achilles uit voor een hardloopwedstrijd. Hij beweerde dat hij zou winnen als Achilles hem een kleine voorsprong gaf. Achilles moest lachen, want hij was natuurlijk een machtige strijder, snel van voet, terwijl de schildpad zwaar en langzaam was. Hoeveel voorsprong? vroeg hij de schildpad met een glimlach. Tien meter, antwoordde deze. Achilles lachte harder dan ooit. Dan ga jij zeker verliezen, vriend, vertelde hij de schildpad, maar laten we vooral rennen als je dat graag wilt. Integendeel, zei de schildpad, ik zal winnen en ik kan het je met een eenvoudige redenering bewijzen. Kom op dan, antwoordde Achilles, die al iets minder vertrouwen voelde dan eerst. Hij wist dat hij een superieure atleet was, maar hij wist ook dat de schildpad een scherper verstand had en dat hij al vaak een discussie met het dier had verloren. Veronderstel, begon de schildpad, dat u me een voorsprong van tien meter geeft. Zou u zeggen dat u die tien meter tussen ons snel kunt afleggen? Zeer snel, bevestigde Achilles. En hoeveel meter heb ik in die tijd afgelegd, denkt u? Misschien een meter niet meer, zei Achilles na even nagedacht te hebben. Zeer goed, antwoordde de schildpad, dus nu is er een meter afstand tussen ons. Zou u die afstand snel inlopen? Zeer snel inderdaad! En toch zal ik in die tijd verder gegaan zijn, zodat u díé afstand moet inhalen, ja? Eh, ja, zei Achilles langzaam. En terwijl u dat doet, zal ik een stukje verder gegaan zijn, zodat u steeds een nieuwe achterstand moet inlopen, ging de schildpad stug door. Achilles zei niets. Zo ziet u, elke periode dat u bezig bent uw achterstand in te halen zal ik gebruiken om een nieuwe afstand, hoe klein dan ook, aan die achterstand toe te voegen. Inderdaad, daar valt geen speld tussen te krijgen, antwoordde Achilles, nu al vermoeid. En zo kunt u nooit de achterstand inlopen, besloot de schildpad met een sympatieke glimlach. U heeft gelijk, zoals altijd, besloot Achilles droevig en gaf de race gewonnen. Vrij naar Physica, boek VI, hoofdstuk 9 van Aristoteles ( v.chr.). onbekend. De herkomst van deze vertaling is Bovenstaand verhaal is een van de beroemde paradoxen van de Griekse filosoof Zeno van Elea (ca v.chr.). Het wordt een paradox genoemd, omdat het idee dat Achilles de schildpad nooit in zou kunnen halen haaks staat op het gezond verstand. In werkelijkheid zal er namelijk een moment zijn waarop Achilles de schildpad inhaalt. De achterliggende wiskunde heeft ermee te maken dat het in bepaalde gevallen wel degelijk mogelijk is om (aftelbaar) oneindig veel positieve getallen bij elkaar op te tellen met als uitkomst een eindig getal. Ter illustratie volgen twee voorbeelden van convergente reeksen, welke grafisch worden ondersteund om het idee inzichtelijk te maken. In voorbeeld.4 volgen de details. Voorbeeld.. De reeks , ofwel ( 2 )n, convergeert naar 2. Zie figuur. De reeks , ofwel n= ( 4 )n, convergeert naar 3. Zie figuur 2.

9 = 2 Figuur : De reeks P n ( 2 ) Figuur 2: De reeks is convergent = = = 3 P n n= ( 4 ) is convergent. Een kenmerk van convergente reeksen is dat de termen van de reeks naar nul convergeren. Toch is dit niet de enige voorwaarde voor convergentie van een reeks. Een bekend voorbeeld hiervan is de harmonische reeks. Voorbeeld.2. De harmonische reeks wordt gegeven door ofwel P n= n , Hoewel de termen van de harmonische reeks snel kleiner worden, is de reeks toch divergent. Er geldt immers > 2 ( 4 4 ) ( 8 = ) =, zie figuur 3. N Figuur 3: De harmonische reeks is divergent. Een parti ele som sk van een reeks is de som van de eerste k termen van de reeks. De eerste vier parti ele sommen van de harmonische reeks, zie voorbeeld.2, worden gegeven door s =, s2 = 2, s3 = 56, s4 = 2 2. Hoewel het niet bepaald snel gaat, kunnen de parti ele sommen van de harmonische reeks willekeurig groot worden. Dit is de reden dat de reeks niet convergeert. Om een idee te krijgen hoe langzaam deze parti ele 2

10 sommen toenemen: de e partiële som komt als eerste boven de tien en de miljardste partiële som is ongeveer 2.3. Er zijn ook andere manieren waarop een reeks kan divergeren. wiskundige slapeloze nachten bezorgd. Onderstaand voorbeeld heeft menig Voorbeeld.3. Beschouw de reeks. (.) Er geldt ( ) ( ) ( ) = = 0, ( ) ( ) = 0 0 =. Hieruit blijkt dat de volgorde van optellen van groot belang is. Voor de partiële sommen geldt s =, s 2 = 0, s 3 =, s 4 = 0, enzovoort. Aangezien de partiële sommen afwisselend en 0 zijn, convergeert de rij van partiële sommen niet. Hieruit volgt dat de reeks (.) divergeert. De reeksen in de figuren en 2 zijn voorbeelden van meetkundige reeksen. meetkundige reeks in het algemeen. Tot slot bekijken we de Voorbeeld.4. Beschouw de meetkundige reeks r r 2 r 3 r 4 (.2) met r <. Wanneer we de partiële sommen nummeren vanaf 0, geldt voor de partiële som s k Hieruit volgt ( r)s k = r k, ofwel s k = r r 2 r k r k, rs k = r r 2 r 3 r k r k. s k = rk r. Aangezien r <, convergeert r k naar 0 als k. Hieruit volgt dat de partiële sommen en dus de reeks (.2) convergeert naar r. Dit verklaart direct de genoemde reeksen in voorbeeld.: = 2 ( 2 )2 ( 2 )3 = = 2, = 4 ( 4 )2 ( 4 )3 = =

11 2 Sommatiemethoden In dit hoofdstuk staat de sommatiemethode (B) van Borel centraal. Ter kennismaking met sommatiemethoden wordt allereerst de sommatiemethode (C, ) van Cesàro geïntroduceerd. Voor beide methoden wordt een bewijs gegeven voor de regulariteit en stelling 2.2 geeft een verband tussen de twee sommatiemethoden. De laatste paragraaf van dit hoofdstuk is gewijd aan de O -Tauberstelling voor Borelsommeerbaarheid. Deze stelling betreft een voorwaarde waaronder Borelsommeerbaarheid convergentie van de betreffende reeks impliceert. 2. De sommatiemethode van Cesàro In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat een reeks a k convergent is wanneer de bijbehorende rij (s k ) k N0 van partiële sommen convergent is. Op basis van de partiële sommen kunnen we een nieuwe rij (σ n ) n N0 definiëren, waarbij het element σ n het gemiddelde is van de eerste n partiële sommen. Wanneer deze rij convergent is, spreken we van sommeerbaarheid met sommatiemethode (C, ). gebruikelijke notatie (C, ) is afkomstig van een generalisatie van de bovengenoemde methode tot een scala aan methodes (C, α) voor α 0, zie bijvoorbeeld sectie 2.2 van [6]. Aangezien deze generalisatie hier niet van toepassing is, wordt de sommatiemethode (C, ) in het vervolg de sommatiemethode van Cesàro genoemd. Definitie 2.. Zij a k een reeks met bijbehorende partiële sommen (s k ) k N0. Als er een σ C bestaat zodanig dat σ n := n s k σ als n, dan heet de reeks a k Cesàrosommeerbaar met Cesàrosom σ en we schrijven a k = σ (C, ) of s k σ (C, ). De 2.. Regulariteit Een sommatiemethode heet regulier wanneer elke convergente reeks sommeerbaar is en de som die de methode toekent precies de waarde is waar de reeks naartoe convergeert. Stelling 2.2. De sommatiemethode van Cesàro is regulier. Bewijs. Zij a k een convergente reeks met de bijbehorende rij (s k ) van partiële sommen. Zonder verlies van algemeenheid nemen we aan dat geldt s n 0 als n. Kies ε > 0 willekeurig en kies N N zodanig dat s n < 2ε voor alle n > N. Definieer M := sup s n <. Voor n > N geldt n N σ n = n s n n < N n M 2 ε ε N voor n voldoende groot. Hieruit volgt σ n 0 als n. s k n k=n s k 4

12 2..2 Voorbeelden en een toepassing Elke convergente reeks is dus Cesàrosommeerbaar. Daarnaast bestaan er reeksen die niet convergent zijn, maar wel Cesàrosommeerbaar. Een voorbeeld hiervan is de omstreden reeks uit voorbeeld.3. Voorbeeld 2.3. Beschouw de reeks ( )k. Voor de bijbehorende partiële sommen (s k ) k N0 geldt { als k even is, s k = 0 als k oneven is. Voor de Cesàrogemiddelden (σ n ) n N0 geldt σ n := 2 n s k = n = 2 als n even is, 2(n ) n 2 als n oneven is. Hieruit volgt σ n 2 als n, dus geldt ( )k = 2 (C, ). Toch bestaan er ook divergente reeksen waar de sommatiemethode van Cesàro geen raad mee weet. Voorbeeld 2.4. De partiële sommen van de reeks ( 2)k worden gegeven door Voor de Cesàrosommen geldt σ k = k k s k = k ( 2) n = ( 2)k = ( 2) ( 2)k. s n = k k ( ( 2)n ) = 3 2s k 3(k ) = 3 2 4( 2)k 9(k ), dus de Cesàrosommen convergeren niet. Hieruit volgt dat de reeks ( 2)k niet Cesàrosommeerbaar is. Een interessante vraag bij sommatiemethoden is of de som die de methode toekent aan een (divergente) reeks een betekenis heeft of een toepassing kent. Een mooie toepassing van Cesàrosommeerbaarheid vinden we in de Fourieranalyse. Zij f een Lebesgue-integreerbare 2π-periodieke functie. De bijbehorende (reële) Fourierreeks wordt gegeven door met a 0 a n = π b n = π 2 (a n cos nx b n sin nx) n= π π π π f(t) cos nt dt (n N 0 ), f(t) sin nt dt (n N). Hoewel de Fourierreeks van f in sommige gevallen niet convergeert, is de Fourierreeks van f altijd Cesàrosommeerbaar naar wanneer de limieten f(x±) bestaan. f(x) f(x ) 2 In het bijzonder convergeren de Cesàrogemiddelden naar f(x) wanneer f continu is in x. Als f overal continu is en 2π-periodiek, dan convergeren de Cesàrogemiddelden uniform naar f op [ π, π]. Deze resultaten zijn afkomstig van stellingen van de Hongaarse wiskundige Lipót Fejér ( ). Zie bijvoorbeeld sectie 3.2 van [5]. 5

13 2.2 De sommatiemethode van Borel Bij de sommatiemethode van Cesàro wordt er een rij geconstrueerd op basis van de rij van partiële sommen. Bij de sommatiemethode (B) van Borel genereren we een functie, gebaseerd op de partiële sommen. Aangezien de focus ligt op deze sommatiemethode van Borel, spreken we in het vervolg van Borelsommeerbaarheid in plaats van sommeerbaarheid met Borels methode (B). Beschouw de reeks a n met a n C (n N 0 ) met bijbehorende partiële sommen s k = k a n (k N 0 ). We definiëren de functie S(x) := e x x n n! s n (x > 0). (2.) Definitie 2.5. Als er een σ C bestaat zodanig dat S(x) σ (x ), dan heet de reeks a n Borelsommeerbaar en we schrijven a n = σ (B) of s k σ (B) onder de aanname dat de reeks in (2.) convergeert Regulariteit Om de regulariteit van de sommatiemethode van Borel te onderzoeken, plaatsen we de methode in het perspectief van sommatiemethoden op basis van een functie t(x) := c k (x)s k (x > 0) gebaseerd op de rij van partiële sommen (s k ) k N0. Stelling 2.6 geeft precies de voorwaarden op de rij van functies {c k (x)} k N0 om aan de regulariteitseis te voldoen. Het bewijs is gebaseerd op sectie 2. van [6]. Stelling 2.6 (Toeplitz-Kojima-Schur). Zij {c k (x)} een rij van functies gedefinieerd voor x > 0. Voor elke convergente rij (s k ) k N0 met lim k s k = s (s C) convergeert voor alle x > 0 t(x) := c k (x)s k én lim x t(x) = s dan en slechts dan als aan de volgende voorwaarden wordt voldaan: (I) De reeks c k(x) is absoluut convergent voor elke x > 0 en er bestaan A 0 en M > 0 zodanig dat c k (x) < M voor alle x > A. (II) Voor elke k N 0 geldt c k (x) 0 als x. (III) Er geldt c k(x) als x. Voor het bewijs van deze stelling gebruiken we de twee onderstaande lemma s. Lemma 2.7. De volgende uitspraken zijn equivalent: (i) De reeks c k(x) is absoluut convergent voor elke x > 0. 6

14 (ii) Als lim k s k = s dan convergeert de reeks c k(x)s k voor elke x > 0. (iii) Als lim k s k = 0 dan convergeert de reeks c k(x)s k voor elke x > 0. Bewijs. (i) (ii) Zij c k(x) een absoluut convergente reeks voor elke x > 0. Kies een x > 0 en een convergente rij (s k ) k N0 met lim k s k = s willekeurig. Aangezien de rij (s k ) k N0 convergent is, is deze rij begrensd. Definieer M := sup n N0 s n. Aangezien de reeks c k(x) absoluut convergent is, is ook de reeks M c k(x) = Mc k(x) absoluut convergent. Voor elke n N 0 geldt c n (x)s n M c n (x). (2.2) Hieruit volgt dat de reeks c k(x)s k (absoluut) convergeert voor elke x > 0. (ii) (iii) Triviaal. (iii) (i) Neem aan dat voor elke rij (s k ) k N0 met s k 0 (k ) geldt dat ook de reeks c k(x)s k convergeert voor elke x > 0. Stel dat de reeks c k(x) niet absoluut convergent is voor iedere x > 0. Dan bestaat er een x 0 > 0 en een stijgende deelrij (n i ) i= van natuurlijke getallen zodanig dat n i k=n i c k (x 0 ) > i (2.3) voor i N. Definieer nu de rij (s k ) k N0 als volgt c k (x 0 ) als n i k < n i en c k (x 0 ) 0, s k = i c k (x 0 ) 0 als 0 k < n i of c k (x 0 ) = 0. (2.4) Er geldt s k 0 als k, maar voor i N geldt n i k=n i c k (x)s k = = i n i i c k(x 0 ) k=n i n i k=n i c k (x 0 ) >, dus de reeks c k(x 0 )s k divergeert. We vinden een tegenspraak, waaruit volgt dat de reeks c k(x) absoluut convergent is voor elke x > 0. Lemma 2.8. De uitspraken (I) en (II) uit stelling 2.6 gelden dan en slechts dan als lim k s k = 0 impliceert dat de reeks c k(x)s k convergeert voor elke x > 0 en c k(x)s k 0 als x. Bewijs. ( ) Neem aan dat de reeks c k(x) absoluut convergent is voor elke x > 0 en dat er A 0 en M > 0 bestaan zodanig dat c k(x) < M voor alle x > A. Neem tevens aan dat voor elke k N 0 geldt c k (x) 0 als x. Uit lemma 2.7 volgt dat de reeks c k(x)s k convergeert voor elke x > 0, dus definieer voor x > 0 t(x) := c k(x)s k. Kies n N 0 willekeurig (vast). Er geldt lim sup x t(x) = lim sup x lim sup x c k (x)s k c k (x) s k k=n M sup s k (2.5) k n 7

15 voor willekeurig gekozen n N 0. Als geldt lim k s k = 0, dan volgt uit (2.5) dat t(x) naar nul convergeert als x. ( ) Neem aan dat voor elke rij (s k ) k N0 met lim k s k = 0 geldt dat de reeks c k(x)s k convergeert voor elke x > 0 en c k(x)s k 0 als x. Uit lemma 2.7 volgt dat de reeks c k(x) absoluut convergent is voor elke x > 0. Kies nu n N 0 willekeurig en definieer de rij (s k ) als volgt: { als k = n s k = voor k N 0. 0 als k n Er geldt s k 0 als k waaruit volgt c k (x)s k = c n (x) 0 (2.6) als x voor elke n N 0. Dat ook (I) geldt, bewijzen we uit het ongerijmde: stel dat voor elke A 0 en M > 0 een x > A bestaat zodanig dat c k(x) > M. Zij (M i ) i N een rij natuurlijke getallen met M > 2 en M i > M i voor alle i N. Laat x 0 > 0 en n N gegeven zijn. Definieer s k = 0 voor 0 k < n. Uit (2.6) en c k(x) < volgt dat er een A > x 0 bestaat zodanig dat n c k(x) < voor elke x > A. Uit de aanname volgt dat er een x > A bestaat zodanig dat c k(x ) > M. Uit c k(x ) < volgt nu dat er een n 2 > n bestaat zo dat k=n 2 c k (x ) <. Merk op dat geldt 2 k=n c k (x ) = ( n ) c k (x ) k=n 2 > M = M 2. (2.7) Definieer voor n k < n 2 s k = c k (x ) 2 c k (x ) als c k (x ) 0, 0 als c k (x ) = 0. Analoog vinden we voor elke i > dat er een A i > x i bestaat zodanig dat n i c k(x) < voor alle x > A i. Uit de aanname volgt dat er een x i > A i bestaat zodanig dat c k(x i ) > M i en k=n c i k(x i ) <. Analoog aan (2.7) vinden we n i k=n i c k (x i ) > M i 2. Definieer nu voor n i k < n i Er geldt s k = c k (x i )s k n i k=n i n i c k (x i ) i c k (x i ) als c k (x i ) 0, 0 als c k (x i ) = 0. ni c k (x i )s k c k (x i )s k c k (x i )s k k=n i k=n i c k (x i ) i > M i 2 i 2. Definieer M i = 3i 5 voor i N. Dan geldt c k(x i )s k > voor elke i N. Hieruit volgt dat c k(x)s k niet naar 0 convergeert als x. We vinden een tegenspraak waaruit volgt dat er een A 0 en een M > 0 bestaan zodanig dat c k(x) < M voor alle x > A. 8

16 Bewijs van stelling 2.6 (TKS). ( ) Stel dat voor elke convergente rij (s k ) k N0 met lim k s k = s C t(x) := c k (x)s k ook convergeert voor elke x > 0 en er geldt lim x t(x) = s. Definieer de rij (s k ) k N0 alle k N 0. Er geldt door s k = voor c k (x) = c k (x)s k (x ), dus (III) geldt. Bekijk nu een rij (t k ) k N0 met t k 0 (k ). Uit de aannamen volgt dat c k(x)t k convergeert voor elke x > 0 en c k(x)t k 0 als x. Uit lemma 2.8 volgt nu dat (I) en (II) gelden. ( ) Neem nu aan dat (I), (II) en (III) gelden. convergeert voor elke x > 0. Schrijf nu Dan volgt uit lemma 2.7 dat de reeks c k(x)s k c k (x)s k s = c k (x)(s k s) s c k (x) s = ( ) c k (x)(s k s) s c k (x). (2.8) Aangezien (s k s) 0 als k, volgt uit lemma 2.8 c k (x)(s k s) 0 (x ). (2.9) Uit (III) volgt ( ) s c k (x) s( ) = 0 (x ). (2.0) Uit (2.8), (2.9) en (2.0) volgt c k (x)s k s als x. Gevolg 2.9. De sommatiemethode van Borel is regulier. Bewijs. Definieer voor x > 0 en k N 0 x xk c k (x) := e k!. Voor elke k N 0 geldt lim x c k (x) = 0 en er geldt c k (x) = c k (x) = e x voor elke x > 0. Hieruit volgt dat de rij {c k (x)} k N0 stelling 2.6, dus de sommatiemethode van Borel is regulier. x k k! = e x e x = voldoet aan de voorwaarden (I), (II) en (III) van 9

17 2.2.2 Voorbeelden In voorbeeld.4 hebben we gezien dat de meetkundige reeks rn convergeert voor r < en er geldt r n = r. Voorbeeld 2.0. De partiële sommen s k van de reeks zn worden gegeven door s k = k z n = zk z (k N 0 ). Wanneer we nu de sommatiemethode van Borel toepassen, vinden we e t s k t k k! = e t z t k k! e t z = z e t z zetz k tk z k! = z z z et(z ) z (t ) als Re(z ) < 0 ofwel Re(z) <. De sommatiemethode van Borel geeft dus een uitbreiding van de meetkundige reeks die slechts convergeert voor z < tot de sommeerbaarheid z n = z (B) (2.) voor z C met Re(z) <. In het bijzonder volgt uit voorbeeld 2.0 ( ) n = 2 (B). Merk op dat dit dezelfde som oplevert als de Cesàrosom van de reeks, zie voorbeeld 2.3. Daarnaast volgt uit voorbeeld 2.0 ( 2) n = 3 (B), terwijl de reeks ( 2)n niet Cesàrosommeerbaar is, zie voorbeeld 2.4. Op basis van de meetkundige reeks lijkt de sommatiemethode van Borel sterker te zijn dan de sommatiemethode van Cesàro. Er bestaan echter ook reeksen die wel Cesàrosommeerbaar zijn, maar niet Borelsommeerbaar. Het onderstaande voorbeeld is gebaseerd op Example 9.8.(iii) van [4]. Voorbeeld 2.. Beschouw de reeks a k waarvan de partiële sommen worden gegeven door { ( ) n n als k = n 2, s k = 0 anders. Merk op dat de termen van de reeks worden gegeven door a n = s n s n (n N) en a 0 = s 0. Kies k N 0 willekeurig. Definieer nu K := k N 0 zodat K 2 k < (K ) 2. Voor het k-de Cesàrogemiddelde geldt σ k = k k s k = k K ( ) K ( ) n n = O k ( ) = O k, 0

18 dus σ k 0 als k. Hieruit volgt dat de reeks a k Cesàrosommeerbaar is met Cesàrosom 0. Definieer nu S(x) := e x x n n! s n = e x m=0 x m2 m 2! ( )m m. Neem x = N 2 en m = N µ, dan volgt uit Theorem 37 van [4] dat S(N 2 ) wordt gedomineerd door de termen waarvoor geldt µ < N β met 0 < β < 3 en S(N 2 ) = ( )N 2π µ <N β ( ) µ e 2µ 2 O() welke alternerende waarden aanneemt die groter zijn dan 4 als N. Hieruit volgt dat de reeks a k niet Borelsommeerbaar is Een relatie tot Cesàrosommeerbaarheid Uit de bovenstaande voorbeelden volgt dat de volgende verzamelingen niet leeg zijn B C B C c B c C B c C c waarbij B en C de verzamelingen zijn van alle reeksen die respectievelijk Borel- en Cesàrosommeerbaar zijn en B c en C c zijn de verzamelingen van reeksen die respectievelijk niet Borel- en niet Cesàrosommeerbaar zijn. Stelling 2.2 is gebaseerd op Theorem 49 van [4] en geeft een voorwaarde op de convergentiesnelheid van de Cesàrogemiddelden welke Borelsommeerbaarheid impliceert. Het bewijs is gebaseerd op de bewijzen van Theorems 28, 39 en 49 van [4]. Stelling 2.2. Zij a k een reeks met bijbehorende partiële sommen (s k ) k N0. Als voor een σ C geldt dan geldt a k = σ (B). σ n = n s k = σ O ( n ), (2.2) Bewijs. Zonder verlies van algemeenheid nemen we aan dat geldt σ = 0. Uit (2.2) volgt nu s k = (n )σ n = O( n). (2.3) Kies ε > 0 willekeurig en definieer met v k (n) = 2 n ( n k ). Er geldt c n := 2 n n ( ) n s k = k v k (n) v k (n) = n k k v k (n)s k als k n, 2 < als k > n. 2 Definieer K := K(n) = (n )/2, dan geldt voor alle n, k N 0 We onderscheiden twee gevallen: v k (n) v K (n). (2.4)

19 (i) Voor n even geldt K = 2n. Er geldt ) Uit de formule van Stirling volgt Dit geeft v K (n) = 2 n ( n 2 n log v K (n) = n log 2 log(n!) 2 log ( 2 n!). log(y!) = (y 2 ) log y y 2 log 2π O(y ). log v K (n) = n log 2 2 log 2π (n 2 ) log n (n ) log( 2 n) O(n ) = n log 2 2 log 2π (n 2 ) log n n log n n log 2 log n log 2 O(n ) = 2 log(kπ) O(n ). (ii) Voor n oneven geldt K = 2 n 2. Op dezelfde manier vinden we log v K (n) = n log 2 log(n!) log[( 2 n 2 )!] log[( 2 n 2 )!] = n log 2 2 log 2π (n 2 ) log n ( 2 n ) log( 2 n 2 ) 2 n log( 2 n 2 ) O(n ) = n log 2 2 log 2π (n 2 ) log n ( 2 n ) log(n ) ( 2n ) log 2 2 n log(n ) 2 n log 2 O(n ) = 2 log(kπ) 2 n log( n 2 ) 2 log( n ) O(n ) = 2 log(kπ) O(n ). Uit (i) en (ii) volgt v K (n) = Kπ [ O(n )], dus v K (n) = O(n 2 ). Kies M > 0 zodanig dat voor alle n N geldt Uit (2.3) volgt dat we een µ N kunnen kiezen zodanig dat voor j i µ. Schrijf voor n > µ v K (n) < M n. (2.5) s i s i s j < ε j (2.6) 2M Er geldt voor een vast gekozen µ µ c n = v k (n)s k } {{ } =:S (n) v k (n)s k. k=µ } {{ } =:S 2(n) µ S (n) v K (n) s k < M µ s k 0 n als n, dus kies n 0 N met n 0 > µ zodanig dat voor alle n > n 0 geldt S (n) < 2ε. Uit (2.4), (2.5) en (2.6) volgt S 2 (n) < v K (n) ε n < 2M 2 ε. 2

20 Hieruit volgt c n < ε voor alle n > n 0, dus Er geldt c n 0 (n ). (2.7) met Uit (2.8) volgt e x d n n n! = m=0 s n x n n! = s m m!(n m)! x n n! x n s n n! = x n d n n! ofwel d n = m=0 ( ) n s m. m (2.8) e x Uit (2.7) en gevolg 2.9 volgt s n x n n! = e 2x d n (2x) n 2 n n! = e 2x (2x) n c n. (2.9) n! e 2x c n (2x) n n! 0 (x ) en uit (2.9) volgt nu e x s n x n n! 0 (x ). Hieruit volgt a k = 0 (B). 2.3 De O -Tauberstelling Het begrip Tauberstelling is vernoemd naar de Oostenrijkse wiskundige Alfred Tauber ( ). Hij bewees dat een Abelsommeerbare reeks (lim x a nx n = A C) die voldoet aan de Tauberconditie a n = O(n ) convergent is met a n = A. Een Tauberstelling legt een voorwaarde (Tauberconditie) op aan de termen van een reeks. Wanneer aan de Tauberconditie wordt voldaan, impliceert sommeerbaarheid de convergentie van de reeks. Het bewijs van onderstaande stelling is gebaseerd op Theorem van []. Stelling 2.3 (O -Tauberstelling voor Borelsommeerbaarheid). Elke reeks a k die Borelsommeerbaar is en voldoet aan de Tauberconditie ( ) a n = O n (2.20) is convergent. Bewijs. Zij a k een reeks die Borelsommeerbaar is en voldoet aan de Tauberconditie (2.20). Zonder verlies van algemeenheid nemen we aan dat geldt a k = 0 (B). Voor de bijbehorende rij (s k ) k N0 van partiële sommen geldt dan s n s n = O(n 2 ) en uit de formule van Stirling volgt ( ) n n s n s n = O n!e n. 3

21 Hieruit volgt dat er voor elke ε > 0 een n ε N 0 bestaat, zodanig dat voor alle n n ε. Er geldt voor n N 0 n k e n k! s k s n = n k e n k! s k s n = e n n k k! (s k s n ) s n s n ε nn n!e n (2.2) n k k! ( n e n n k k! s k s n 0 } {{ } =:S (n) k=n n k k! s k s n } {{ } =:S 2(n) Kies ε > 0 willekeurig. Uit de driehoeksongelijkheid volgt dat voor n n ε geldt en uit (2.2) volgt nu aangezien e ν S 2 (n) k=ν νk k! k=n n k k! S 2 (n) ε k ν=n = ε ε s ν s ν = ν=n ν=n ν=n ν ν ν!e ν k=ν ν ν n ν ν!e ν ν ν n k k! k=ν ν=n s ν s ν ν k ( n ) k ν k! } ν {{} k=ν n k k! n ν ν!, (2.22). De convergentie van de laatstgenoemde reeks in (2.22) rechtvaardigt bovenstaande berekeningen. Op dezelfde manier volgt uit de driehoeksongelijkheid dat voor n n ε geldt Uit (2.2) volgt nu aangezien e ν ν νk k! S (n) = n ε ν= n k k! ν=k ν s ν s ν s ν s ν = n k k! } {{ } =:S 3(n) S (n) S 3 (n) ε = S 3 (n) ε ν=n ε ν=n ε S 3 (n) ε nν ν!, ν=n ε. Voor ν N vast en n ν geldt ν e n ν= ν s ν s ν ν=n ε s ν s ν νν ν n k ν!e ν k! νν n ν ν ν k ν!e ν ν ν k! n k k! e n ν nν (ν )! 0 ν ( n ν ) k ν } {{ } n k k! n k k!. ). 4

22 als n, dus e n S 3 (n) 0 als n. We hebben dus laten zien dat geldt n k lim sup s n lim sup n n e n k! s n k k lim sup n e n k! s k s n ) 0 lim sup e (ε n nν n ν! ε n ν ν! S 3(n) ν=n ε ν=n ( ) = ε lim sup e n nν ε. n ν! ν=n ε Hieruit volgt s n 0 als n, dus de reeks a k is convergent en er geldt a k = 0. De O in stelling 2.3 kan zelfs worden vervangen door O, zie Theorem 56 van [4]. 5

23 3 Een oneindige rij mieren In dit hoofdstuk bekijken we een toepassing van de sommatiemethode van Borel op een oneindig lineair systeem. Ter kennismaking beschouwen we allereerst het eindige model. De resultaten van dit hoofdstuk zijn gebaseerd op het artikel An Infinite String of Ants and Borel s Method of Summability van A. Feintuch en B. Francis, zie [3]. 3. Het eindige model Stel je voor dat er een eindig aantal, zeg n N, mieren loopt op een plat vlak. Hierbij zijn de mieren genummerd van 0 tot en met n. Daarnaast zijn ze zodanig geprogrammeerd dat elke mier op elk tijdstip in de richting van de mier voor hem loopt. Hierbij achtervolgt mier i mier i (0 i < n ) en mier n loopt in de richting van mier 0. De snelheid waarmee een mier zich voortbeweegt is evenredig met de afstand tot zijn voorganger. Nu is de vraag: wat gebeurt er met de mieren wanneer de tijd naar oneindig loopt? Komen ze samen in één punt? Dit probleem staat bekend onder de naam cyclic pursuit. Stel dat we beginnen met een verzameling {q 0, q,..., q n } C van n punten in het complexe vlak. Dit geeft de beginvoorwaarde van een dynamisch lineair systeem van punten die op t = 0 in beweging komen volgens de differentiaalvergelijkingen q i(t) = q i (t) q i (t) (0 i < n ) q n (t) = q 0 (t) q n (t) voor t > 0. Beschouw de beginvoorwaarde (q 0, q,..., q n ) als een vector q C n. Op dezelfde manier schrijven we het stelsel (3.) als q (t) = (P I)q(t) q(0) = q waarbij q : [0, ) C n en P is een n n-permutatiematrix die wordt gedefinieerd door P i,j := { als j i mod n, 0 anders. 0 0 Ofwel P = Uit de differentiaalrekening weten we dat de oplossing van het stelsel (3.2) wordt gegeven door q(t) = e (P I)t q (t 0). Als t zal elke mier q j (t) convergeren naar het gemiddelde van de beginvoorwaarde n Stelling 3.. Voor de j-de component van q(t) geldt als t. q j (t) n n q k n q k. (3.) (3.2) 6

24 Bij het bewijs van stelling 3. gebruiken we dat de matrix (P I) diagonaliseerbaar is. Hierover gaan de onderstaande twee lemma s, waarbij we dankbaar gebruik maken van de n n-fouriermatrix F die wordt gegeven door F i,j := ω ij / n, ofwel ω ω F := 2 ω n ω 2 ω 4 ω 2(n ) n met ω := e 2πi/n. ω n ω 2(n ) ω (n )(n ) Lemma 3.2. Voor de geconjugeerde matrix F van F geldt F = F, i.e. F F = I. Bewijs. Voor i, j {0,,..., n } geldt n (F F ) i,j = F k,j Fi,k = n ω kj ω n ik = n ω k(j i) = δ i j n met δ i j = als i = j en δ i j = 0 als i j. Hieruit volgt F F = I, dus F = F. Lemma 3.3. De matrix (P I) is diagonaliseerbaar en er geldt (P I) = F DF met D := diag(0, ω, ω 2,..., ω n ). (3.3) Bewijs. Uit lemma 3.2 volgt F (P I)F = (F P F )F = F P F I. (3.4) Wanneer we de elementen van de matrix F P F berekenen, vinden we (F P F ) i,j = n n n ω ik ω (k)j = ω j ω k(j ) = ω j δ i j, n dus (F P F ) = diag(, ω,..., ω n ). Uit (3.4) volgt nu F (P I)F = D. Bewijs van stelling 3.. Voor de matrix D in (3.3) geldt e Dt = diag(, e (ω )t,..., e (ωn )t ). (3.5) Voor m n geldt Re(ω m ) = cos(2πm/n) < 0, dus e (ωm )t 0 als t. Uit (3.5) volgt nu e Dt diag(, 0,..., 0) als t. Uit lemma 3.3 volgt dus e At = e F DF t (F DF t) k = = k! F (Dt) k F k! = F e Dt F, lim t eat = lim F e Dt F = F diag(, 0,..., 0)F = t n J n met (J n ) i,j = voor alle 0 i, j n. Hieruit volgt q(t) n J nq (t ), dus voor alle 0 j n. q j (t) n q k (t ) n 7

25 Voorbeeld 3.4. Voor n = 4 wordt het stelsel differentiaalvergelijkingen gegeven door 0 0 q (t) = q(t) } 0 0 {{ } =:A met beginvoorwaarde q(0) = q C 4. De oplossing van dit stelsel wordt gegeven voor q(t) = e At q. Definieer F := i i 2. i i Uit lemma 3.3 volgt dat de matrix A diagonaliseerbaar is en dat geldt A = F DF met Er geldt D := diag(0, i, 2, i ). q(t) = e At q = F e Dt F q cos t sin t cos t sin t = 4 e 2t q 2 e t sin t cos t sin t cos t cos t sin t cos t sin t q 4 J 4q. sin t cos t sin t cos t In figuur 4 is de oplossing geplot met beginvoorwaarde 5 2i q = 6 i 2i. 3 i q 0 q 3 q q 2 Figuur 4: De oplossing q(t) met stapgrootte t = Het oneindige model Wanneer we in plaats van een eindig aantal mieren, aftelbaar oneindig veel mieren in het complexe vlak plaatsen, ontstaat er een nieuw probleem. In dit geval is de beginvoorwaarde een rij (q n ) n N0 =: q van 8

26 complexe getallen en wordt het systeem gegeven door q n(t) = q n (t) q n (t) (t > 0) q n (0) = q n voor n N 0. In dit geval is convergentie niet meer vanzelfsprekend. Neem bijvoorbeeld als beginvoorwaarde q n = n (n N 0 ), dan bewegen alle mieren met snelheid in dezelfde richting, waarbij de afstand tussen de mieren (en dus de snelheid) constant blijft. We beperken ons tot het geval waarin de beginvoorwaarde een begrensde rij is in C, ofwel q l (N 0 ) De Banachruimte l (N 0 ) De ruimte l (N 0 ) met bijbehorende norm wordt gedefinieerd door l (N 0 ) := {(x n ) n N0 n N 0 : x n C en sup n N 0 x n < } x := sup n N 0 x n voor elke x l (N 0 ). Stelling 3.5. (l (N 0 ), ) is een Banachruimte, i.e. volledig. de genormeerde ruimte (l (N 0 ), ) is Bewijs. Laat (x n ) n N0 een Cauchyrij zijn in l (N 0 ). Merk op dat elk element x n van deze rij ook een rij op zich is, namelijk x n = (x n m) m N0 l (N 0 ). Kies ε > 0 willekeurig. Aangezien (x n ) n N0 een Cauchyrij is, kunnen we N N 0 kiezen, zodanig dat x n x m < ε voor alle n, m > N. Uit de definitie van de supremumnorm volgt sup k N 0 x n k x m k < ε voor alle n, m > N. Uit de definitie van het supremum volgt nu x n k x m k < ε (3.6) voor alle k N 0 en n, m > N. Hieruit volgt dat voor elke k N 0 de rij (x 0 k, x k, x2 k,...) een Cauchyrij is in R. Aangezien R volledig is, bestaat voor elke k N 0 de limiet lim n xn k =: x k in R. Kies analoog aan (3.6) een M N 0 zodanig dat x n k xm k < 2 ε voor alle k N 0 en n, m > M. Wanneer we nu de limiet voor m bekijken, vinden we x n k x k 2 ε voor alle k N 0 en n > M. Hieruit volgt sup x n k x k 2ε < ε. (3.7) k N 0 Definieer nu x := (x 0, x, x 2,...). Uit (3.7) volgt x n x < ε voor alle n > M, dus x n convergeert naar x. Aangezien de deelruimten c 0 en c 00 van l (N 0 ) in het bewijs van stelling 3.0 een rol spelen, volgen hieronder alvast twee lemma s. Lemma 3.6. c 0 := {(x n ) n N0 C lim n x n = 0} is een gesloten deelruimte van l (N 0 ) ten opzichte van de supremumnorm. Bewijs. Aangezien convergente rijen begrensd zijn, geldt c 0 l (N 0 ). Uit lineariteit van het limiet volgt dat voor alle x, y c 0 en λ C geldt x y c 0 en λx c 0, dus c 0 is een (lineaire) deelruimte van l (N 0 ). Zij (x n ) n N0 een rij in c 0 en x = (x n ) n N0 l (N 0 ) zodanig dat x n x 0 als n. Merk op dat elke component x n van de rij (x n ) n N0 ook een rij is, (x n m) m N0 met x n m 0 als m. 9

27 Zij ε > 0. Kies nu een N N 0 zodanig dat x n x < 2 ε voor alle n N. Uit xn c 0 volgt x N m 0 als m. Kies nu M N 0 zodanig dat x N m < 2ε voor alle m M. Hieruit volgt voor alle m > M, dus van l (N 0 ). x m = x m x N m x N m x m x N m x N m x N x x N m < 2 ε 2 ε = ε lim x m = 0 en dus geldt x c 0. Hieruit volgt dat c 0 een gesloten deelruimte is m Lemma 3.7. c 00 := {(x n ) n N0 C N N 0 n > N : x n = 0} ligt dicht in c 0. Bewijs. Uit de definitie van c 00 volgt direct dat c 00 een deelverzameling is van c 0. Laat x c 0 gegeven zijn en kies ε > 0 willekeurig. Er geldt x n 0 als n, dus kies N N 0 zodanig dat x n < 2 ε voor alle n > N. Definieer nu de rij (y n ) n N0 =: y als volgt { xn als n N, y n = 0 als n > N. Er geldt y c 00 en uit x k y k = 0 voor k N volgt x y = sup x n y n = sup x n y n = sup x n 2 ε < ε. n N 0 n>n n>n Hieruit volgt dat c 00 dicht ligt in c 0 t.o.v De oplossing van het systeem We bekijken een systeem van differentiaalvergelijkingen q n(t) = q n (t) q n (t) (3.8) voor n N 0 en t > 0 met beginvoorwaarde q n (0) = q n waarbij q = (q n ) n N0 l (N 0 ). Als in het eindige geval zien we het systeem in (3.8) als een variabel punt q(t) in dezelfde Banachruimte. Zij V de left shift operator op l (N 0 ), gedefinieerd door V (x 0, x, x 2,...) := (x, x 2, x 3,...). De operator V schuift dus elke component een plek naar links. Kies x l (N 0 ) willekeurig. Voor de norm geldt V x = sup n N 0 (V x) n = sup n N 0 x n sup n N 0 x n = x, (3.9) dus V is een begrensde operator. De operatornorm van V wordt gedefinieerd door V := sup V x. x Uit (3.9) volgt V. Voor de constante vector := (,,,...) l (N 0 ) geldt V = =, dus geldt V =. 20

28 Met behulp van deze operator schrijven we het systeem van differentiaalvergelijking in (3.8) als volgt q (t) = (V I)q(t) (t > 0) (3.0) q(0) = q. Het systeem (3.0) is in evenwicht als geldt q (t) = 0, ofwel (V I)q(t) = 0. Termsgewijs betekent dit q n (t) q n (t) = 0 en dus q n (t) = q n (t) voor n N 0. Hieruit volgt dat de constante vector een basisvector is voor ker(v I). Lemma 3.8. Voor q l (N 0 ) en t > 0 convergeert de reeks t n (V I) n q. (3.) n! Bewijs. Kies q l (N 0 ) willekeurig. Voor t > 0 geldt t n (V I) n q t n n! n! V I n q Hieruit volgt dat de reeks in (3.) convergeert voor t > 0. = e t V I q <. Stelling 3.9. De unieke oplossing van het systeem (3.0) wordt gegeven door voor t 0. q(t) = e (V I)t q := (V I) n t n q n! Bewijs. Er geldt q (t) = d dt e(v I)t q = d (V I) n t n q dt n!! d (V I) n t n (V I) n t n = q = q 0 dt n! (n )! n= (V I) n t n = (V I) q = (V I)q(t) n! en q(0) = q, dus q(t) is een oplossing van (3.0). Merk op dat sommatie en differentiatie verwisseld mogen worden, aangezien de afgeleide functies uniform convergeren op elk willekeurig interval [0, T ] met T > 0. Zij u(t) een willekeurige oplossing van (3.0) en definieer v(t) := e (V I)t u(t). Dan geldt ( ) d v I)t (t) = e (V u(t) e (V I)t u (t) dt = (V I)e (V I)t u(t) e (V I)t (V I)u(t) = e (V I)t [ (V I) (V I)]u(t) 0, dus v(t) is constant. Het invullen van t = 0 geeft v(t) = q. Hieruit volgt dat de oplossing q(t) de unieke oplossing is van het systeem (3.0). 2

29 3.2.3 De relatie tot Borelsommeerbaarheid Voor de oplossing q(t) van systeem (3.0) geldt q(t) = e (V I)t q = e t e V t q = e t (V t) k q = e t k! Hieruit volgt dat de n-de component van q(t) wordt gegeven door q n (t) = e t t k k! q nk. t k k! V k q. De vraag of de limiet lim t q n (t) bestaat is equivalent met de vraag of de rij (q nk ) k N0 Borelsommeerbaar is, zie sectie 2.2. Wanneer de beginvoorwaarde (q k ) k N0 wordt gegeven door een convergente rij met lim k q k = c C, dan weten we uit gevolg 2.9 dat elke rij (q nk ) k N0 Borelsommeerbaar is met lim t q n (t) = c voor elke n N 0. De volgende stelling laat zien dat deze convergentie uniform is ten aanzien van de supremumnorm. Stelling 3.0. Als lim n q n = c, dan convergeert q(t) in l (N 0 ) naar de constante vector (c, c, c,...). Bewijs. Wegens de lineariteit mogen we aannemen dat geldt c = 0. l (N 0 ), gedefinieerd door Zij R de right shift operator op R(x 0, x, x 2,...) := (0, x 0, x,...). Stel dat de beginvoorwaarde q een eindige lineaire combinatie is van de vectoren {R k δ} k N0, waarbij δ de eenheidsvector (, 0, 0,...) l (N 0 ) is en schrijf q(0) = m α i R i δ met m N 0 en α i C voor 0 i m. Met behulp van de driehoeksongelijkheid vinden we m I)t q(t) = e(v α i R i δ = i=0 i=0 m e t α i e V t R i δ i=0 m e t α i (t i /i!, t i /(i )!,..., t,, 0, 0,...) i=0 m = e t α i sup t k k! 0 i=0 0 k i als t. Zij nu q c 0. Kies ε > 0 willekeurig. Uit lemma 3.7 weten we dat c 00 dicht ligt in c 0, dus zij w c 00 zodanig dat q w < 2ε. Er geldt q(t) = e (V I)t q = e (V I)t (q w w) e (V I)t (q w) e (V I)t w e t e V t q w e (V I)t w < 2 ε e(v I)t w. (3.2) Merk op dat de rij (q nk ) k N0 hierbij de plek inneemt van de rij partiële sommen (s k ) k N0 en niet de termen a n van de reeks. 22

30 Hiervoor hebben we gezien dat e (V I)t w 0 als t, dus kies t 0 > 0 zodanig dat e (V I)t w < 2 ε voor t > t 0. Uit (3.2) volgt nu q(t) < 2 ε 2 ε = ε voor alle t > t 0. Hieruit volgt q(t) 0 als t. In het geval dat de beginvoorwaarde een convergente rij is, convergeren dus alle punten q n (t) naar dezelfde limiet. In de volgende stelling beschouwen we een beginvoorwaarde die niet noodzakelijkerwijs convergent is, maar waarbij de Cesàrogemiddelden convergeren met een bepaalde snelheid. Stelling 3.. Als er een c C bestaat zodanig dat σ n := ( q k = c O n ), (3.3) n dan geldt lim t q n (t) = c voor elke n N 0. Bewijs. Definieer voor m N 0 Er geldt σ n (m) = mn n σ (m) n := n k=m = m n n ( = m = c O = c O q k q mk. m n ( mn ) σ mn n ( ) n O ( ) n ( n n ) m q k m q k q k ) voor elke m N. Uit stelling 2.2 volgt nu dat de rij (q nk ) k N0 voor elke n N 0 Borelsommeerbaar is met bijbehorende som c. Er geldt dus voor elke n N 0 lim q n(t) = c. t Voorbeeld 3.2. Zij α R zodanig dat α/π R \ Q, dus α is geen rationaal veelvoud van π. Uit een stelling van Kronecker volgt dat de rij (q k ) k N0 Daarnaast voldoet de rij aan de voorwaarde (3.3) van stelling 3. σ n = e ikα = n n ( ) 2 n e iα = O, n met q k = e ikα (k N 0 ) dicht ligt op de eenheidscirkel. e i(n)α e iα dus alle punten convergeren naar de oorsprong als t. Een directe berekening geeft hetzelfde resultaat: lim q n(t) = lim e t i(nk)α tk e t t k! = lim t e t e inα (e iα t) k k! = lim t e t e inα e eiαt = lim t e (cos α )t e inα e it sin α = 0. 23

31 3.2.4 Divergentie en een tra(a)g(isch) einde In sectie wordt een aantal voorbeelden genoemd van rijen die niet Borelsommeerbaar zijn. genoemde rijen zijn echter onbegrensd en zijn dus niet van toepassing in dit hoofdstuk. Onderstaand voorbeeld laat zien dat er ook begrensde rijen bestaan die niet Borelsommeerbaar zijn. Voorbeeld 3.3. Uit Theorem van [2] volgt dat voor elke A N en c C onderstaande beweringen equivalent zijn: () er geldt lim t k t e t k! = c, k A De (2) voor elke ε > 0 geldt lim n ε = c. n k A n k<nε n Definieer nu A m := {m 2 k} (m (2N )), A := A m. m Dan geldt voor n = m 2 (met m 2) en ε = ε = n m k A n k<nε n = k A m 2 k<m 2 m { 0 als m even is, als m oneven is. m (2N) Hieruit volgt dat de verzameling A niet aan voorwaarde (2) voldoet, waaruit volgt dat de limiet niet bestaat. lim t k t e t k! k A Definieer als beginvoorwaarde van het systeem (3.0) { als n A, q n = 0 als n A. Aangezien de rij (q k ) k N0 niet Borelsommeerbaar is, zal q(t) niet convergeren als t. Hoewel de punten niet noodzakelijkerwijs convergeren, convergeert de snelheid waarmee de mieren zich bewegen uniform naar nul. Stelling 3.4. Er geldt (V I)e (V I)t 0 als t, dus voor elke q(0) = q l (N 0 ) convergeert q (t) naar nul als t. Ter voorbereiding op het bewijs van bovenstaande stelling, volgt een lemma over het limietgedrag van het product van de functie e t met de meest dominante term van de reeks tk k!. 24

32 Lemma 3.5. Er geldt e t sup t k k! 0 (3.4) k N 0 als t. Bewijs. Kies t > 0 willekeurig. Definieer n = t N 0. Er geldt n t < n, waaruit volgt i 0 < n!ti (n i)! = t n j 0 < j= i n! (n i)!t i = j=0 n j t Uit (3.5) en (3.6) volgen respectievelijk de ongelijkheden < (i N), (3.5) ( i n). (3.6) t n n! > tn n!t i n! (n i)! = tni (n i)! t n tn n! n! n! (n i)!t i = tn i (n i)! (i N), ( i n). Hieruit volgt met n = t N 0. Voor n t < n geldt sup t k k! = tn n! k N 0 (3.7) d tn (n t)tn e t = e t 0, dt n! n! dus voor t > 0 en n = t geldt Uit de insluitstelling volgt nu lim n n! e t tn e n nn n!. n n n!e n = 0 lim t e t sup k N 0 t k k! = 0. (3.8) Laat de rij (a n ) n N gegeven zijn door ( ) nn n a n = log n!e n (n N). Na enig rekenwerk vinden we voor n N a n a n = (n 2 ) log n n Uit de machtreeksontwikkeling van de logaritme volgt dat voor t < geldt log( t) = t 2 t2 3 t3 4 t4 log( t) = t 2 t2 3 t3 4 t4 log t t = log( t) log( t) = 2 2k t2k.. (3.9) 25

33 Uit de equivalentie n = t n t t = 2n log n n = 2 volgt nu ( ) 2k 2k 2n voor /(2n ) <, dus zeker voor n N. Wanneer we dit substitueren in (3.9) vinden we a n a n = (n 2 )2 ( ) 2k 2k 2n ( = (n 2 ) ( ) ) 2k n 2 2k 2n 2 k= ( ) 2k = > 0 (3.20) 2k 2n k= voor alle n N, dus de rij (a n ) n N0 is strikt stijgend. Verder volgt uit (3.20) ( ) k a n a n = 2k (2n ) 2 k= ( ) k < (2n ) 2 = (2n ) 2 /(2n ) 2 = k= 4n(n ) voor n N. Uit de telescoopsom n k= (a k a k ) = a n a volgt nu n a n a = (a k a ) < k= < 4 k= n k= k(k ) = 4. 4k(k ) Hieruit volgt a n < 4 a = 4 = 3 4. De rij (a n) n N is strikt stijgend en heeft een bovengrens, dus de limiet lim a n =: a R bestaat. Uit de continuïteit van de exponentiële functie volgt nu n nn n lim n n!e n = lim exp(log a n) = exp( lim a n) = e a =: c n n n n nn n lim n n!e n = lim c n n n!e n = lim = 0. n n Uit de implicatie (3.8) volgt het beoogde resultaat e t sup t k k! 0. k N 0 Bewijs van stelling 3.4. Zij q(0) = q l (N 0 ). Definieer Er geldt r(t) := (V I)e (V I)t q. r(t) = e t (V e V t q e V t q) = e t ( = e t ( q t k k! V k q ( t k ) t k k! V k q k! tk (k )! ) ) V k q. 26

34 De n-de component van r(t) wordt gegeven door r n (t) = e t ( q n ( ) ) t k k! tk q nk (k )! en dus geldt r(t) = e t ( ) t k sup n N 0 q n k! tk q nk (k )! ) e ( t t k k! tk (k )! q. Hieruit volgt de implicatie lim t e t t k k! tk (k )! = 0 lim r(t) = 0. (3.2) t Zoals in lemma 3.5 is aangetoond, heeft de rij (t k /k!) k N0 een maximum in k = t. Daarnaast is de rij stijgend voor k t en dalend voor k t. Hieruit volgt t k k! tk (k )! = ( ) t k (k )! tk k! = 2 t t t!. k= t ( ) t k k! tk (k )! Samen met het resultaat van lemma 3.5 volgt hieruit e t t k k! tk (k )! 2e t sup t k k! 0 k N 0 (t ). Uit (3.2) volgt nu r(t) 0 als t. Uit bovenstaande stelling volgt direct een voorwaarde op de beginvoorwaarde die leidt tot uniforme convergentie van q(t) naar nul. Gevolg 3.6. In het geval dat q(0) een element is van (V I)l (N 0 ) geldt q(t) 0 als t. 27

35 Referenties [] J. Boos en F.P. Cass, Classical and Modern Methods in Summability, Oxford, Oxford University Press, [2] P. Diaconis en C. Stein, Some Tauberian Theorems Related to Coin Tossing, Annals of Probability, 978, 6, 3, [3] A. Feintuch en B. Francis, An Infinite String of Ants and Borel s Method of Summability, The Mathematical Intelligencer, 202, Volume 34, Number 2, 5-8. [4] G.H. Hardy, Divergent Series, Oxford, Clarendon Press, 967. [5] J. Korevaar, Fourier Analysis and Related Topics, Amsterdam, 20. [6] B. Shawyer en B. Watson, Borel s Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford, Oxford University Press,