Week 2. P.6 Polynomen en rationale functies P.7 Goniometrische functies
|
|
- Gerarda Boer
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Week 2 P.6 Polynomen en rationale functies P.7 Goniometrische functies
2 2 Basiswiskunde_Week_2_1.nb P.6 Polynomen phxl = 2 x 3 - x + 4 en qhxl = x 2 zijn polynomen in x. Een polynoom in x is een veelterm met eindig veel machten x k, k = 0, 1, 2, Laat n een natuurlijk getal of 0 zijn en a n, a n-1,, a 1, a 0 getallen zijn. Dan is phxl = a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0 een polynoom waar a n, a n-1,, a 1, a 0 de coëfficiënten van het polynoom zijn. Als a n 0, dan is de graad van phxl gelijk aan n. Notatie deghpl = n. Nulpolynoom phxl = 0 Polynoom van graad 0: phxl = a 0 met a 0 0. Als de getallen a n, a n-1,, a 1, a 0 ; phxl = 5 x 4 - x 3 - x + 11 is een polynoom van de graad 4. reëel? zijn, dan heet het polynoom phxl ; reëel complex complex?. phxl = Ix 2-1MI2 x 3 - x + 1M = 2 x 5-3 x 3 + x 2 + x - 1 is een polynoom van de graad 5.
3 Basiswiskunde_Week_2_1.nb 3 P.6 Rationale functies Laat phxl en qhxl twee polynomen zijn met qhxl 0. Dan is de functie r met rhxl = phxl een rationale functie. qhxl DHrL bestaat uit alle x œ R behalve x met qhxl = 0. Functies rhxl = x3-2 x 2 +x x+1 en shxl = x2-1 2 zijn rationale functies.
4 4 Basiswiskunde_Week_2_1.nb P.6 Deling 1 Laat phxl = 2 x 3 - x + 4; Laat dhxl = x x + 1. We trekken een veelvoud van dhxl af van phxl. We werken alleen met polynomen. Beschouw onderstaande staartdeling: x x x 3 - x x x x x H-L - 4 x 2-3 x x 2-8 x H-L + 5 x + 8 Hier staat niets anders dan 2 x 3 - x + 4 = H2 x - 4LIx x + 1M + H5 x + 8L. Anders gezegd 2 x3 -x+4 x 2 +2 x+1 = 2 x x+8 x 2 +2 x+1.
5 Basiswiskunde_Week_2_1.nb 5 P.6 Deling 2 Laat phxl = 2 x 2-7 x + 4; Laat dhxl = x - 2. We trekken een veelvoud van dhxl af van phxl. We werken alleen met polynomen. Beschouw onderstaande staartdeling: x x 2-7 x x x 2-4 x H-L - 3 x x H-L - 2 Hier staat niets anders dan 2 x 2-7 x + 4 = H2 x - 3LHx - 2L - 2. Anders gezegd 2 x2-7 x+4 x-2 = 2 x x-2.
6 6 Basiswiskunde_Week_2_1.nb P.6 Samenvatting Laat phxl en dhxl twee polynomen zijn met dhxl 0. Het polynoom dhxl is de deler. Dan bestaan er eenduidige polynomen qhxl, het quotiënt, en rhxl, de rest, zodanig dat (1) phxl = qhxl dhxl + rhxl, (2) deghrl < deghdl of rhxl = 0 Merk op dat phxl dhxl = qhxl + rhxl dhxl.
7 Basiswiskunde_Week_2_1.nb 7 P.6 Wortels en nulpunten Het getal a is een nulpunt van phxl als phal = 0. Een wortel/oplossing van de vgl phxl = 0 is een nulpunt van phxl. Het omgekeerde geldt ook. Laat a een getal zijn en phxl een polynoom. Dan bestaan er een quotiënt qhxl en getal r 0 zodanig dat phxl = qhxlhx -al + r 0. Laat zien dat r 0 = phal. Gevolg: Als a een nulpunt van phxl is, dan is phxl = qhxlhx -al. Het omgekeerde geldt ook. é Opm 1: Een polynoom van de graad n met n œ N, heeft hooguit n nulpunten. é Opm 2: Laat k in N. Als phxl = Hx -al k qhxl en qhal 0, dan is a een nulpunt met multipliciteit k.
8 8 Basiswiskunde_Week_2_1.nb P.6 Kwadratische polynomen Laat phxl = ax 2 + bx+ c met a 0 en b 2-4 ac 0. De nulpunten van phxl zijn x 1 = -b- b2-4 ac 2 a en x 2 = -b+ b2-4 ac 2 a Laat zien dat ax 2 + bx+ c = ahx - x 1 LHx - x 2 L.
9 Basiswiskunde_Week_2_1.nb 9 P.6 Voorbeeld 1 Beschouw phxl = x 3-1. Geef alle reële oplossingen van phxl = 0 In ieder geval is x = 1 een oplossing. Dus phxl is deelbaar door Hx - 1L. Het blijkt dat phxl = Hx - 1LIx 2 + x + 1M Er is één reële oplossing x = 1. positief definiet
10 10 Basiswiskunde_Week_2_1.nb P.6 Voorbeeld 2 Beschouw phxl = x 3-3 x 2-10 x Geef alle reële oplossingen van phxl = 0 Probeer x = 1, -1, 2, -2, maar niet teveel Via proberen blijkt dat ph2l = 0. Dus phxl is deelbaar door Hx - 2L. Het blijkt dat phxl = Hx - 2LIx 2 - x - 12M = 0. Nu is Ix 2 - x - 12M = Hx + 3LHx - 4L. Zodoende phxl = Hx - 2LHx + 3LHx - 4L Oplossingen zijn x = 2, x =-3 en x = 4.
11 Basiswiskunde_Week_2_1.nb 11 P.6 Voorbeeld 3 Beschouw phxl = x 4-2 x x 2-8 x + 4. Geef alle reële oplossingen van phxl = 0 Via proberen blijkt dat ph1l = 0. Dus phxl is deelbaar door Hx - 1L. Het blijkt dat phxl = Hx - 1LIx 3 - x x - 4M. Dus phxl = Hx - 1L 2 Ix 2 + 4M Oplossingen zijn x = 1, x = 1. Hx-1L is factor Het nulpunt x = 1 van phxl heeft multipliciteit 2.
12 12 Basiswiskunde_Week_2_1.nb P.7 Hoeken Grootte van hoek õ Gedeelte van cirkel 1 Hele cirkel komt overeen met 360 of 2 p radialen (2 p is lengte eenheidscirkel) Graden Radialen π ê 6 45 π ê 4 60 π ê 3 90 π ê 2
13 Basiswiskunde_Week_2_1.nb 13 P.7 Rechthoekige driehoek De zijden hebben lengte a, b en c. c b j a pê2 Merk op: 0 <j<pê 2 coshjl = a c ; sinhjl = b c ; tanhjl = b a = sinhjl coshjl Opmerking 1: Vanwege Pythagoras ( c 2 = a 2 + b 2 ) geldt cos 2 HjL + sin 2 HjL = 1 Opmerking 2: cosj p 2 -jn = sinhjl, sinj p 2 -jn = coshjl en tanj p 2 -jn = 1 tanhjl
14 14 Basiswiskunde_Week_2_1.nb P.7 Speciale hoeken Gelijkbenige rechthoekige driehoek en gelijkzijdige driehoek: é é pê cosj p 4 N = sinj p 4 N = 1 2 = 1 2 2, tanj p 4 N = 1 cosj p 3 N = 1 2 = sinj p 6 N, sinj p 3 N = = cosj p 6 N, tanj p 6 N = 1 3, tanj p 3 N = 3
15 Basiswiskunde_Week_2_1.nb 15 P.7 Uitbreiding Y 1.0 y 0.5 P j x X Merk op dat in eerste kwadrant geldt dat x = coshjl en y = sinhjl 1 1 Hoek j ; > 0, tegen klok in < 0, met klok mee Afspraak: bij iedere j uit R geldt voor PHx, yl dat x = coshjl en y = sinhjl. Voor alle j in R geldt dat coshj+2pl = coshjl en sinhj+2pl = sinhjl. Er geldt cosh0l = 1, sinh0l = 0, cosj p N = 0, sinj p N = 1 2 2
16 16 Basiswiskunde_Week_2_1.nb P.7 Symmetrie Punt PH coshjl, sinhjll wordt gespiegeld en komt in P terecht. Spiegelen aan x-as: P wordt H coshjl, -sinhjll ofwel H cosh-jl, sinh-jll Voor alle j geldt cosh-jl = coshjl sinh-jl =-sinhjl Spiegelen aan y-as: P wordt H -coshjl, sinhjll ofwel H coshp-jl, sinhp-jll Voor alle j geldt coshp-jl =-coshjl sinhp-jl = sinhjl Spiegelen aan lijn x = y: P wordt H sinhjl, coshjll ofwel J cosj p 2 -jn, sinj p 2 -jnn Voor alle j geldt cosj p 2 -jn = sinhjl sinj p 2 -jn = coshjl
17 Basiswiskunde_Week_2_1.nb 17 P.7 Oplossen van vergelijkingen De hoek a is gegeven. Gezocht alle j met coshjl = coshal. a+2k p, k in Z Dan j=; -a + 2 k p, k in Z Gezocht alle j met sinhjl = sinhal. a+2k p, k in Z Dan j=; p-a+2k p, k in Z Gezocht alle j met sinhjl = coshal. Dan j=?
18 18 Basiswiskunde_Week_2_1.nb P.7 Eigenschappen A A B b c a a g b C B b c a h g b C a+b+g=p De sinusregel: sinhal a = sinhbl b = sinhgl. c De cosinusregel: c 2 = a 2 + b 2-2 abcoshgl etc. Bewijs via Pythagoras generalisatie van de stelling van Pythagoras
19 Basiswiskunde_Week_2_1.nb 19 P.7 Somformules Voor alle x en y in R geldt (1) coshx - yl = coshxl coshyl + sinhxl sinhyl (2) coshx + yl = coshxl coshyl - sinhxl sinhyl (3) sinhx + yl = sinhxl coshyl + coshxl sinhyl (4) sinhx - yl = sinhxl coshyl - coshxl sinhyl Opmerkingen: (1) Via cosinusregel (2) Vervang y door -y in identiteit (1) (3) Vervang x door J p - xn in identiteit (1) 2 (4) Vervang y door -y in identiteit (3)
20 20 Basiswiskunde_Week_2_1.nb P.7 Verdubbelingsformules sinh2 xl = 2 sinhxl coshxl cosh2 xl = cos 2 HxL - sin 2 HxL 2 cos 2 HxL sin 2 HxL Gevolg: cos 2 HxL = cosh2 xl en sin2 HxL = cosh2 xl Gebruik: õ
21 Basiswiskunde_Week_2_1.nb 21 P.7 Tangens Y tanhjl j X Opmerking 1: tanhx +pl = tanhxl voor alle x in DHtanL. Opmerking 2: tan HxL = 1 cos 2 HxL
22 22 Basiswiskunde_Week_2_1.nb P.7 Voorbeeld 1 Gegeven hoek j met coshjl = 1 en -p<j<0. 3 Bepaal sinhjl, tanhjl en sinh2 jl. Weg
23 Basiswiskunde_Week_2_1.nb 23 P.7 Voorbeeld 2 Bepaal alle j met sinhjl = 1 2. Merk op dat 1 2 = sinj p 6 N. Dus j= p k p of j= 5 6 p+2 k p, k in Z.
24 24 Basiswiskunde_Week_2_1.nb P.7 Voorbeeld 3 Gegeven tanhjl = 2. Welke waarden heeft sinhjl? Er geldt sinhjl = 2 coshjl en cos 2 HjL + sin 2 HjL = 1. Dus cos 2 HjL = 1 en 5 sin2 HjL = 4. 5 Antwoord sinhjl =
25 Basiswiskunde_Week_2_1.nb 25 P.7 Voorbeeld 4 Bereken cosj p 12 N. p Merk op dat 2 ÿ = p Nu is cos 2 J p N = cosj p N = Dus cosj p 2+ 3 N = ( Waarom +?)
26 26 Basiswiskunde_Week_2_1.nb P.7 Voorbeeld 5 Los op tanhjl = 2 sinh2 jl Herschrijven geeft sinhjl coshjl Dus sinhjlj1-4 cos2 HjLN coshjl = sinhjl coshjl = 0. Gevolg: sinhjl = 0, coshjl = 1 2 of coshjl =-1 2. Oplossingen (1) j=k p (2) j= p k p (3) j= 2 p k p met k in Z.
27 Basiswiskunde_Week_2_1.nb 27 P.7 Voorbeeld 6 Laat zien dat sinh2 xl 1+cosH2 xl = tanhxl. sinh2 xl 1+cosH2 xl = 2 sinhxl coshxl sin 2 HxL = 2 sinhxl coshxl 2 cos 2 HxL = tanhxl
28 28 Basiswiskunde_Week_2_1.nb P.7 Voorbeeld 7 Druk cosh3 jl uit in coshjl en sinhjl. cosh3 jl = cosh2 j+jl = cosh2 jl coshjl - sinh2 jl sinhjl = = cos 3 HjL - 3 sin 2 HjL coshjl
Week 2. P.5 Combineren van functies P.6 Polynomen en rationale functies P.7 Goniometrische functies
Week 2 P.5 Combineren van functies P.6 Polynomen en rationale functies P.7 Goniometrische functies 2 Basiswiskunde_College_2.nb P.5 Combineren van functies Het combineren gaat op 3 manieren: é algebraïsch
Nadere informatieBasiswiskunde Week 3_ Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie
Basiswiskunde Week 3_2 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_Week_3_2.nb 2.8 Middelwaardestelling 1 Stelling 11 De middelwaardestelling (The Mean-Value
Nadere informatie1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE
E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Uiterste inleverdatum dinsdag oktober, voor het begin van het college N.B. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je moet het huiswerk
Nadere informatieVak Basiswiskunde 2DL00
Basiswiskunde_College_1.nb 1 Vak Basiswiskunde 2DL00 Cursus 2013-2014 Basis van wiskundige kennis en vaardigheden Kennismaking vooraf met wiskunde op TU/e Ook vak in allerlei schakelprogramma s Zie ook
Nadere informatieVoorbereidende sessie toelatingsexamen
1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar
Nadere informatievoorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen
Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt
Nadere informatiePolynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2
Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van
Nadere informatieIn dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies.
03 college 5: meer technieken In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies. Opmerking over de notatie. Net als in het
Nadere informatieVoorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie
Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt
Nadere informatieComplexe e-macht en complexe polynomen
Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten
Nadere informatieTe kennen leerstof Wiskunde
- 1 - Te kennen leerstof Wiskunde Wiskundeproeven voor de faculteit sociale en militaire wetenschappen (SSMW) en voor de polytechnische faculteit (POL) De te kennen leerstof is gebaseerd op de richtingen
Nadere informatie16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i
16.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i Voorbeeld 2: Los op in 4x 2 + 12x + 15 = 0 4x 2 + 12x + 9 + 6 = 0 (2x + 3) 2 + 6 = 0 (2x + 3) 2 = -6 (2x + 3) 2 = 6i 2 2x + 3 =
Nadere informatieColleges. Woensdag 5 februari 2014, college 1. ã Stof. Tijdschema colleges Basiswiskunde 2DL00 Cursus , Semester 2 Avondonderwijs
Tijdschema colleges Basiswiskunde 2DL00 Cursus 2013-2014, Semester 2 Avondonderwijs Versie vrijdag 21 februari 2014 Na ieder avondcollege wordt een klein verslag van het college in dit document opgenomen.
Nadere informatieP is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).
Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie
Nadere informatieInhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie
Inhoud college 4 Basiswiskunde 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Hogere afgeleiden De afgeleide f beschrijft
Nadere informatieVoorbereidende sessie toelatingsexamen
1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal
Nadere informatieActief gedeelte - Maken van oefeningen
Actief gedeelte - Maken van oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x 2. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? (A) x 2 (B) x 2 [ ] 4 (C) x, 2 [ ] 2 (D) x, 2 Oefening 2
Nadere informatieUitgewerkte oefeningen
Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4
Nadere informatie6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1
WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We
Nadere informatie1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14
INHOUD 1 De cirkel 9 1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen 11 1.2 Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 1.3 Onderlinge ligging van een rechte en een cirkel 20 1.3.1 Aantal snijpunten van een rechte
Nadere informatieBestaat er dan toch een wortel uit 1?
Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007 Wat zijn complexe getallen? Wat zijn
Nadere informatieVoorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen
Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt
Nadere informatie4.1 Rekenen met wortels [1]
4.1 Rekenen met wortels [1] Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B 3) A 2 A Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.1 Rekenen met wortels [1] Voorbeeld 3:
Nadere informatietoelatingsexamen-geneeskunde.be Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld.
Wiskunde juli 2009 Laatste aanpassing: 29 juli 2009. Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld. Vraag 1 Wat is de top van deze parabool 2 2. Vraag
Nadere informatieOver de construeerbaarheid van gehele hoeken
Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:
Nadere informatie12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0.
12.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0. Dit is in de punten (1,0) en (-1,0) (1,0) heeft draaiingshoek 0 (-1,0) heeft
Nadere informatieComplexe getallen: oefeningen
Complexe getallen: oefeningen Hoofdstuk 2 Praktisch rekenen met complexe getallen 2.1 Optelling en aftrekking (modeloplossing) 1. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 2 + i en z 2 = 2 3i. Bereken de
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 11 3 11 = () 11 2 3 () 11 5 6 () 11 1 12 11 1 4 11 1 6 2 ls a en b twee verschillende reële getallen verschillend van 0 zijn en 1 x + 1 b = 1, dan
Nadere informatie4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Nadere informatie12. Uitwerkingen van de opgaven
12. Uitwerkingen van de opgaven 12.1. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 3 Opgave 3.1 3,87 0,152 641, 2 Bereken met behulp van Maxima: 2,13 7,29 78 0,62 45 (%i1) 3.87*0.152*641.2/(2.13*7.29*78*0.62*45);
Nadere informatieSignalen 4CA00 (1) Gedeelte Signalen, docent M.J.G. van de Molengraft. Gedeelte Wiskunde, docent F.J.L. Martens
Signalen 4CA00 (1) Gedeelte Signalen, docent M.J.G. van de Molengraft Gedeelte Wiskunde, docent F.J.L. Martens Inhoud wiskundedeel Functies van meer variabelen Partiële afgeleiden Extrema Eigenwaarden
Nadere informatieSamenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van
Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =
Nadere informatieBasiswiskunde Week 4_2
Basiswiskunde Week 4_2 4.10 Taylorpolynomen, staan al in Basiswiskunde week 4_1 3.1 Inverse functies 3.2 Exponentiële en logaritmische functies Bestudeer de inhoud van de secties 3.1 en 3.2 in hun geheel
Nadere informatieSamenvatting VWO wiskunde B H04 Meetkunde
Samenvatting VWO wiskunde B H04 Meetkunde Getal & Ruimte editie 11 Goniometrie in rechthoekige driehoeken Stap 1: Zoek de rechthoekige driehoeken Figuur 1: Ga na dat in dit voorbeeld alleen ADC en DBC
Nadere informatie4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Nadere informatieVAKJARGON wiskunde. Bewerking Symbool Voorbeeld Benaming 2 7 = 14. kwadratering... 3: grondtal 2: exponent 9: kwadraat
VAKJARGON wiskunde GETALLENLEER Bewerking Symbool Voorbeeld Benaming 1+ 7 = 8 optelling + 1 en 7: term 8: som 7 1= 6 aftrekking 1 en 7: term 6: verschil 2 7 = 14 vermenigvuldiging 2 en 7: factor 14: product
Nadere informatieGoniometrische functies
Goniometrische functies gonè (Grieks) = hoek metron (Grieks) = maat Goniometrie, afkomstig van de Griekse woorden voor hoek en maat, betekent letterlijk hoekmeetkunde. Daarmee wordt aangegeven dat het
Nadere informatieBasiswiskunde_Week_1_2.nb 1. Week 1_2. P.4 Functies en hun grafieken P.5 Combineren van functies
Basiswiskunde_Week_1_2.nb 1 Week 1_2 P.4 Functies en hun grafieken P.5 Combineren van functies Basiswiskunde_Week_1_2.nb 2 P.4 Functies en grafieken Een functie f van verzameling D in verzameling S is
Nadere informatieInleiding goniometrie
Inleiding goniometrie We bekijken de volgende twee hellingen: 1 2 Duidelijk is dat de tweede helling steiler is dan de eerste helling. Ook zien we dat hellingshoek 2 groter is dan hellingshoek 1. Er bestaat
Nadere informatieMore points, lines, and planes
More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)
Nadere informatieFORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10
FORMULARIUM wwwbasiswiskundebe Inhoudsopgave Algebra 2 2 Lineaire algebra 4 3 Vlakke meetkunde 5 4 Goniometrie 7 5 Ruimtemeetkunde 0 6 Reële functies 2 7 Analyse 3 8 Logica en verzamelingen 6 9 Kansrekening
Nadere informatieUitslag Instaptoets Analyse ( ) 1 d 12 c 2 b 13 b 3 c 14 c 4 a 15 a 5 d 16 a 6 b 17 b 7 b 18 d 8 c 19 d 9 c 20 a 10 a 21 a 11 d 22 c September
Uitslag Instaptoets Analyse (2009-2010) 1 d 12 c 2 b 13 b 3 c 14 c 4 a 15 a 5 d 16 a 6 b 17 b 7 b 18 d 8 c 19 d 9 c 20 a 10 a 21 a 11 d 22 c September 11, 2009 2 Stelling (formule) van de Moivre Uit de
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op ,
1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op 25-11-1998, 9.00-12.00 uur Opgave 1 1. Formuleer de Cauchy-Riemann-vergelijkingen.
Nadere informatie1. Invoering van de goniometrische cirkel
. Invoering van de goniometrische cirkel We beschouwen de eenheidscirkel. Beschouwen we eveneens twee loodrechte assen door O. We duiden (E o, E δ ) aan : een orthonormale basis van het vlak. We kunnen
Nadere informatieOverzicht eigenschappen en formules meetkunde
Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules
Nadere informatieInhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen
Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt
Nadere informatieInhoud college 6 Basiswiskunde
Inhoud college 6 Basiswiskunde 4.0 Taylorpolynomen (slot) Zie college 5: Vanaf 4.0 Voorbeeld 4 3. Inverse functies 3.2 Exponentiële en logaritmische functies 3.3 De natuurlijke logaritme en de exponentiële
Nadere informatieLeerlijnen REKENEN WISKUNDE (BB)
Leerlijnen REKENEN WISKUNDE (BB) Domein : Bewerkingen Onderwerp: vervolg breuken B11 B11 B11 De leerlingen kunnen ongelijknamige breuken gelijknamig maken, optellen en aftrekken. De leerlingen kunnen bij
Nadere informatieSchooljaar: Leerkracht: M. Smet Leervak: Wiskunde Leerplan: D/2002/0279/048
Blz: 1/5 04 09 09 1.1 STELLING VAN PYTHAGORAS ouwregel tot Pythagoras: formulering. 07 09 09 11 09 09 14 09 09 18 09 09 21 09 09 22 09 09 25 09 09 29 09 09 01 10 09 02 10 09 06 10 09 08 10 09 09 10 09
Nadere informatie10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden
10.0 Voorkennis 5 1 6 6 cos( ) = -cos( ) = -½ 3 [cos is x-coördinaat] 5 1 3 3 sin( ) = -sin( ) = -½ 3 [sin is y-coördinaat] 1 Voorbeeld 1: Getekend is de lijn k: y = ½x 1. De richtingshoek α van de lijn
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, 9.00-12.00 uur. Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven. De uitwerkingen van deze opgaven dienen
Nadere informatieWeek 2_2. 1.2 Limieten 1.4 Continuïteit 2.2 De afgeleide 2.3 Differentiatieregels
Week 2_2 1.2 Limieten 1.4 Continuïteit 2.2 De afgeleide 2.3 Differentiatieregels 2 Basiswiskunde_Week_2_2.nb 1.2 Voorbeeld Beschouw de uitdrukking x2 +3 x in de buurt van x = 2. x-4 Als x op 2 lijkt, dan
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord
Nadere informatieDe wortel uit min één. Jaap Top
De wortel uit min één Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 20 maart 2007 1 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 2 3 4 5 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen
Nadere informatieInhoudsopgave. I Theorie 1
Inhoudsopgave I Theorie 1 1 Verzamelingen 3 1.1 Inleiding........................................ 3 1.2 Bewerkingen met verzamelingen........................... 6 1.2.1 Vereniging (unie) van twee verzamelingen.................
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt
Nadere informatieEerste deel van de cursus Algebra
Eerste deel van de cursus Algebra Procentrekenen Toename met p%: groeifactor = 1 + p% Afname met p% : groeifactor = 1 p% Toename in procenten = Afname in procenten = toename beginwaarde afname beginwaarde
Nadere informatie8.1 Rekenen met complexe getallen [1]
8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn
Nadere informatieAanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran
Aanvulling aansluitingscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de Aansluitingscursus staan. Die onderwerpen zijn: complexe getallen en volledige
Nadere informatieEindexamen wiskunde B pilot havo II
Eindexamen wiskunde B pilot havo 0 - II Beoordelingsmodel Mosselen maximumscore L = 9 invullen in de gegeven formule geeft C 5 De hoeveelheid gefilterd water is (ongeveer) 5 = 8 ml per dag Dit is meer
Nadere informatie1 Complexe getallen in de vorm a + bi
Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...
Nadere informatieAanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen
Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk
Nadere informatieICT Practicumboek (4e JAAR secundair onderwijs)
ICT Practicumboek (4e JAAR secundair onderwijs) GeoGebra Dit leerwerkboekje is bruikbaar in alle klassen aso tso kso van alle netten Functieleer, meetkunde & complexe getallen in het vierde jaar met GeoGebra
Nadere informatieParagraaf 4.1 : Gelijkvormigheid
Hoofdstuk 4 Meetkunde (V4 Wis B) Pagina 1 van 8 Paragraaf 4.1 : Gelijkvormigheid Les 1 : Gelijkvormigheid Definities sin( A) = Overstaande Schuine cos( A) = Aanliggende Schuine = O S = A S tan( A) = Overstaande
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde
Vlaamse Wiskunde Olympiade 988-989: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination -
Nadere informatiestap voor stap; zonder GR-functies; tussen- en eindantwoorden mogen benaderd worden genoteerd (wel doorrekenen met exacte antwoorden).
Samenvatting door Sterre 1437 woorden 5 mei 2018 7.8 3 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde B Getal en ruimte Vocabulair Algebraïsch stap voor stap; zonder GR-functies; tussen- en eindantwoorden mogen
Nadere informatieOp deze manier ligt φ exact vast (als we zouden zeggen 0 φ 2π zouden we de reële getallen dubbelop hebben, en dat willen wij als wiskundigen niet).
Moddergooien n.a.v. 31 augustus Allereerst: hartelijk dank voor de vragen; als dat zo doorgaat en als jullie zo blijven komen en ook nog eens huiswerk maken, dan weet ik zeker dat ik dicht bij 100% ga
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 1 oktober 2008, uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Basiswiskunde, DL3, woensdag oktober 8, 9.. uur. Geef op het eerste vel met uitwerkingen aan welk programma (Schakelprogramma
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 986 987: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij of zij
Nadere informatieEstafette. De langste zijde wordt in twee ongelijke stukken verdeeld. Laat x de lengte van het ene stuk zijn, dan is het andere stuk 25 x.
7 e Wiskundetoernooi Estafette 08 Uitwerking opgave e langste zijde wordt in twee ongelijke stukken verdeeld. Laat x de lengte van het ene stuk zijn, dan is het andere stuk 5 x. x 5 x at de twee rechthoeken
Nadere informatieIJkingstoets september 2015: statistisch rapport
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van de
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 995 996 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 30 punten
Nadere informatieAlgebra. Oefeningen op hoofdstuk Groepentheorie Cayleytabellen van groepen van orde Cyclische groepen
Oefeningen op hoofdstuk 5 Algebra 5.2 Groepentheorie 5.2.1 Cayleytabellen van groepen van orde 8 Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze
Nadere informatieHoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen
Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Les 0 (Extra) Aant. Voorkennis: Hoeken en afstanden Theorie A: Sinus, Cosinus en tangens O RHZ tan A = A RHZ O RHZ sin A = SZ A RHZ cos A = SZ Afspraak: Graden afronden
Nadere informatieIJkingstoets september 2015: statistisch rapport
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks 4 - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling
Nadere informatieIJkingstoets september 2015: statistisch rapport
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij
Nadere informatiewiskunde B pilot havo 2015-I
Hangar maximumscore Beschrijven hoe de vergelijking 0,006x + 56,6 = 0 opgelost kan worden De oplossingen zijn x,0 ( nauwkeuriger) en x,0 ( nauwkeuriger) Dit geeft een breedte van 86,0 meter Als voor x
Nadere informatieG Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie. K Geologie, Informatica, Schakelprogramma s
Tussentijdse Toets Wiskunde I ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, Master Chemie donderdag 3 november 06, :00-3:00
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatieMeetkundige ongelijkheden Groep A
Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor
Nadere informatie0. voorkennis. Periodieke verbanden. Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen
0. voorkennis Periodieke verbanden Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen Er zijn twee verschillende tekendriehoeken: de 45-45 -90 driehoek en de 30-0 -90 -driehoek. Kenmerken
Nadere informatieRakende cirkels. We geven eerst wat basiseigenschappen over rakende cirkels en raaklijnen aan een cirkel.
Rakende cirkels Inleiding We geven eerst wat basiseigenschappen over rakende cirkels en raaklijnen aan een cirkel. De raaklijn staat, in het raakpunt T, loodrecht op de straal. Bij uitwendig rakende cirkels
Nadere informatieProefToelatingstoets Wiskunde B
Uitwerking ProefToelatingstoets Wiskunde B Hulpmiddelen :tentamenpapier,kladpapier, een eenvoudige rekenmachine (dus geen grafische of programmeerbare rekenmachine) De te bepalen punten per opgave staan
Nadere informatieNoorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8. M. van der Pijl. Transfer Database
Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8 M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 006-007: tweede ronde 1 In een rechthoekige driehoek verdeelt de bissectrice uit een scherpe hoek de overstaande zijde in twee stukken met lengten 4 en 5 (zie figuur) De oppervlakte
Nadere informatieMETA-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen
META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek
Nadere informatieLes 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen
Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina van Les Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen N = Natuurlijke getallen =,2,,.. Z
Nadere informatieGoniometrie. Dr. Caroline Danneels Dr. Paul Hellings
Goniometrie Dr. Caroline Danneels Dr. Paul Hellings 1 Hoeken 1.1 De goniometrische cirkel De goniometrische cirkel wordt steeds gedefinieerd in een orthonormaal assenkruis. Het is een cirkel met het middelpunt
Nadere informatieDeel 2. Basiskennis wiskunde
Deel 2. Basiskennis wiskunde Vraag 26 Definieer de functie f : R R : 7 cos(2 ). Bepaal de afgeleide van de functie f in het punt 2π/2. (A) f 0 ( 2π/2) = π (B) f 0 ( 2π/2) = 2π (C) f 0 ( 2π/2) = 2π (D)
Nadere informatie6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden
6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels. 16 september dr.
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)
Nadere informatieVraagstukken van de tweede graad
Vraagstukken van de tweede graad 1. Een getal en zijn tweedemacht hebben als som 90. Bepaal dat getal.. Bepaal twee opeenvolgende getallen waarvan de som van de kwadraten 365 is. 3. Verdeel het getal 37
Nadere informatieHoofdstuk 4 - Periodieke functies
Hoofdstuk - Periodieke functies ladzijde 98 V-a Na seconden. Het hart klopt c, millivolt = slagen per minuut. V-a Ja, met periode ; nee; misschien met periode. Evenwichtsstand y = ; -; y =. Amplitude is
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 005-006: tweede ronde Volgende benaderingen kunnen nuttig zijn bij het oplossen van sommige vragen 1,1 3 1,731 5,361 π 3,116 1 Als a 1 3 a 1 3 a m = a met a R + \{0, 1}, dan
Nadere informatie1 Overzicht voorkennis algebraïsch rekenen
1 Overzicht voorkennis algebraïsch rekenen 1 Merkwaardige producten, ontbinden in factoren 1.1 Merkwaardige producten ( ) ( ) a+ b = a + ab+ b a b = a ab+ b ( ) ( ) a+ b = a + ab+ ab + b a b = a ab+ ab
Nadere informatieUniversiteit Gent. Academiejaar Discrete Wiskunde. 1ste kandidatuur Informatica. Collegenota s. Prof. Dr.
Universiteit Gent Academiejaar 2001 2002 Discrete Wiskunde 1ste kandidatuur Informatica Collegenota s Prof. Dr. Frank De Clerck Herhalingsoefeningen 1. Bepaal het quotiënt en de rest van de deling van
Nadere informatieStandaardfuncties. x c
Standaards Constante Parameter We geven in dit document een overzicht van een aantal veelvoorkomende s. We geven steeds het voorschrift en de grafiek. (Ter herinnering: het domein vermelden we niet, het
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Wiskunde B 16 januari 2015
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 6 januari 5 Vraag a f(x) = (x ) f (x) = (x ) = 6 (x ) Dit geeft f () = 6 = 6. y = ax + b met y =, a = 6 en x = geeft = 6 + b b
Nadere informatieMathematical Modelling
1 / 95 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 21-08-08 Last adapt: 30-08-09 2 / 95 Overzicht 1 Inleiding 2 Complexe getallen: rekenen 3 Complexe getallen: iets meer dan rekenen alleen 3 /
Nadere informatie