Basiswiskunde Week 4_2

Transcriptie

1 Basiswiskunde Week 4_ Taylorpolynomen, staan al in Basiswiskunde week 4_1 3.1 Inverse functies 3.2 Exponentiële en logaritmische functies Bestudeer de inhoud van de secties 3.1 en 3.2 in hun geheel en maak de bijbehorende opgaven. Het schema wordt vrijdag aangepast.

2 2 Basiswiskunde_Week_4_2.nb 3.1 Inleiding inverse functies Los op 2 x-1 = 8 x. Dan 2 x-1 = I2 3 M x ofwel 2 x-1 = 2 3 x ; Dus x - 1 = 3 x ofwel x = Als twee machten van 2 aan elkaar gelijk zijn, dan zijn hun exponenten gelijk. Zie de grafiek. 4 3 y 2 x

3 Basiswiskunde_Week_4_2.nb Eenduidige functies Een functie f is eenduidig (one-to-one) als voor alle x 1 en x 2 in DHf L met f Hx 1 L = f Hx 2 L geldt dat x 1 = x 2. Voor eenduidige functie f geldt dat voor iedere y œ RHf L de vgl y = f HxL met x als onbekende précies één oplossing x œ DHf L heeft. Als voor een functie f geldt dat voor iedere y œ RHf L de vgl y = f HxL met x als onbekende précies één oplossing x œ DHf L heeft, dan is f eenduidig. Zijn onderstaande functies f eenduidig? Zoja, waarom? (a) f HxL = x 3 ; (b) f HxL = x ; (c) f HxL = x ; (d) f HxL = x+1 ; (e) f HxL = x 3 - x x+2 De eerste vier functies zijn eenduidig vanwege een positieve afgeleide. Functie (d) is eenduidig omdat de vgl y = x+1 één oplossing x geeft x+2

4 4 Basiswiskunde_Week_4_2.nb 3.1 Inverse functie Laat de functie f eenduidig zijn. Bij iedere y œ RHf L heeft de vgl y = f HxL met x als onbekende, précies één oplossing x œ DHf L. Iedere y œ RHf L levert één x œ DHf L op met y = f HxL. Bij de functie f hoort een inverse functie f -1 zodanig dat als y = f HxL, dan x = f -1 HyL en als x = f -1 HyL, dat dan y = f HxL. Overtuig u ervan dat DIf -1 M = RHf L en RIf -1 M = DHf L. Vraag: Is f -1 een eenduidige functie? Ja, veronderstel dat x = f -1 Hy 1 L = f -1 Hy 2 L. Dan f HxL = y 1 en f HxL = y 2, dus y 1 = y 2.

5 Basiswiskunde_Week_4_2.nb Functiesamenstelling Beschouw een eenduidige functie f. Toepassen van f -1 aan beide kanten van y = f HxL geeft f -1 HyL = f -1 Hf HxLL ofwel x = f -1 Hf HxLL. Toepassen van f aan beide kanten van x = f -1 HyL geeft uiteindelijk y = f If -1 HyLM. Dit leidt tot de volgende twee identiteiten: x = f -1 Hf HxLL voor alle x œ DHf L, x = f If -1 HxLM voor alle x œ DIf -1 M = RHf L. De functies f en f -1 heffen elkaar op. De inverse van f -1 is f, in formule If -1 M -1 = f.

6 6 Basiswiskunde_Week_4_2.nb 3.1 Grafiek van inverse De grafiek van f -1 is de gespiegelde aan de lijn x = y van de grafiek van f. De lijn 1 is de raaklijn aan de grafiek van f in Ha, bl met b = f HaL. De lijn 2 is de raaklijn aan de grafiek van f -1 in Hb, al met a = f -1 HbL. f HxL a 2 b b a f -1 HxL 1

7 Basiswiskunde_Week_4_2.nb Verband tussen afgeleiden Via plaatje Rc van raaklijn 1 is f HaL en rc van raaklijn 2 is If -1 M HbL. De raaklijn 2 is de gespiegelde van de lijn 1 aan de lijn y = x. Dus If -1 M HbL = 1 f. HaL Gevolg If -1 M Hf HaLL = 1 f. HaL Via kettingregel Er geldt f -1 Hf HxLL = x. Differentiëren aan beide kanten geeft If -1 M Hf HxLL f HxL = 1. Dus If -1 M Hf HxLL = 1 f. HxL

8 8 Basiswiskunde_Week_4_2.nb 3.1 Voorbeeld 1 Beschouw de functie f met DHf L L en f HxL = (a) Laat zien dat f eenduidig is. (b) Bepaal f -1 HxL. x2 1+x 2 voor x œ DHf L. (a) Methode 1 f HxL = 2 x J1+x 2 N 2 > 0 voor 0 < x <. Dus f is strikt stijgend. Methode 2 Verwissel de rol van x en y. Los op x = f HyL met y als onbekende. Merk op dat geldt dat 0 x < 1 want RHf L 1L. Dus x = y2 ofwel x + 1+y 2 xy2 = y 2. Gevolg y 2 = x. 1-x Nu geldt dat y =+ x 1-x want y œ DHf L. Er is maar een oplossing van x = f HyL, dus f is eenduidig. Dus f -1 HxL = (b) Als u methode 2 heeft gebruikt, dan bent u klaar. x 1-x.

9 Basiswiskunde_Week_4_2.nb Voorbeeld 2 Gegeven f HxL = x 3 + x. De functie f is eenduidig want f HxL = 3 x > 0. Bepaal If -1 M H2L. Er geldt algemeen If -1 M H f HxLL= 1 f. HxL Gezocht x met f HxL = x 3 + x = 2. Er is geen hanteerbare formule voor de oplossingen. Uitproberen levert x = 1. Dus If -1 M H2L = 1 f = 1. H1L 4

10 10 Basiswiskunde_Week_4_2.nb 3.2 Exponentiële functies é Een macht a b bestaat uit en grondtal (base) a en een exponent b. é Een exponentiële functie is van de vorm f HxL = a x. Voor alle a, a > 0 en a 0 is functie f met f HxL = a x eenduidig en DHf L = R en RHf L = H0, L. a x a > < a < 1 1 é Laat a > 0. Voor m œ Z en n œ N is a m n = n a m de enige positieve oplossing van x n = a m

11 Basiswiskunde_Week_4_2.nb Eigenschappen van exponentiële functies Laat a > 0 en b > 0. Dan geldt voor alle x en y é a -x = 1 a x é Ia x M y = a x y é a x+y = a x a y é HabL x = a x b x

12 12 Basiswiskunde_Week_4_2.nb 3.2 Logaritmen Laat 0 < a < 1 of a > 1. De functies f HxL = a x zijn eenduidig. Zij hebben een inverse f -1 HxL = log a HxL, de logaritme van x bij grondtal a (of x to the base a ) Er geldt DHlog a L = H0, L en RHlog a L = R Er geldt dat y = a x x = log a HxL Gevolg: log a Ia x M = x voor alle x œ R en a logahxl = x voor alle x > 0. Voor de logaritmen zijn drie notaties: a log HxL = log a HxL = a log HxL. log a HxL a > < a < 1

13 Basiswiskunde_Week_4_2.nb Eigenschappen van logaritmen Laat a > 0 en a 1 en laat b > 0 en b 1. Voor alle x > 0 en y > 0 geldt é log a H1L = 0 é log a HxyL = log a HxL + log a HyL é log a Ix r M = r log a HxL é log a J 1 x N =-log ahxl é log a HxL = log b HxL log b HaL

14 14 Basiswiskunde_Week_4_2.nb 3.2 Voorbeelden (1) Los op 2 2 x > 2 x-1. (2) Los op J 1 2 N2 x > J 1 2 Nx-1. (3) Vereenvoudig log 3 H1 - coshxll + log 3 H1 + coshxll - 2 log 3 H sinhxl L. (4) Vereenvoudig log 2 H5L - log 1 2 H3L. (5) Vereenvoudig log a HbL log b HaL (6) Los op log 2 HxL + log 2 Hx - 2L = log 2 H3L Antwoorden (1) x >-1 (2) x <-1 (3) 1 (4) log 2 H15L (5) 1 (6) x = 3