ONLY FOR PERSONAL USE. This digital version of the DictaatRekenvaardigheden - Algebraic Skills is for personal use because of copyright.

Transcriptie

1 ONLY FOR PERSONAL USE This digital version of the DictaatRekenvaardigheden - Algebraic Skills is for personal use because of copyright. c

2 Dictaat Rekenvaardigheden Faculteit Wiskunde en Informatica 0 mei 0

3 Voorwoord Voorwoord In het middelbaar onderwijs hebben zich de laatste jaren grote veranderingen voltrokken: de tweede fase met de daaraan verbonden profielkeuze en het studiehuis zijn ingevoerd. In sommige opzichten is daardoor de aansluiting tussen vwo en universiteit verbeterd. Echter, niet voor alle studies is dit het geval. Bij de technische studies is gebleken dat een deel van de instromende studenten deficiënties heeft. Dit geldt zowel voor studenten met het profiel Natuur en Techniek als voor studenten met het profiel Natuur en Gezondheid. Eén van de deficiënties betreft de algebraïsche vaardigheden oftewel het manipuleren met formules. Het efficiënt omgaan met èn het inzicht krijgen in formules wordt op het vwo nauwelijks meer geoefend. Dit hangt samen met het aantal beschikbare uren en met het invoeren van de formulekaart en de grafische rekenmachine. Doordat veel aankomende studenten deze vaardigheden ontberen, besteden zij in het eerste jaar op de universiteit vaak veel te veel tijd aan het maken van vraagstukken of blijven daar zelfs in steken. Het is veel beter om je op de essentie van een vraagstuk te concentreren dan om teveel tijd aan rekenwerk te besteden. Voor de eerstejaars met genoemde deficiënties is deze syllabus Rekenvaardigheden gemaakt. Deze syllabus is bedoeld voor het ophalen van de algebraïsche vaardigheden die benodigd zijn voor een technische studie op universitair niveau. Aan de opgaven uit de eerste 0 paragrafen kan men zien wat men aan rekenvaardigheden van eerstejaars verwacht. De paragrafen t/m 4 bevatten opgaven over onderwerpen die niet tot de standaard VWO-stof behoren, maar bijzonder nuttig zijn voor een technische studie. De wiskundestof wordt steeds kort herhaald, waarna er een groot aantal opgaven volgt. Door het (met de hand!) maken hiervan maakt de student zich de stof eigen en verkrijgt hij/zij inzicht in formules en rekenregels. Gebrek aan rekenvaardigheden en formulekennis los je niet binnen een paar maanden op. Etra training in het eerste tri- of semester zal waarschijnlijk niet genoeg zijn. In dat geval moet je zelf aandacht blijven besteden aan rekenvaardigheden en formulekennis. Deze syllabus is geschikt voor zelfwerkzaamheid: de antwoorden op de opgaven staan achterin. Let op: het is de bedoeling deze opgaven te maken zonder rekenmachine of formulekaart. De formules in de kaders moet je paraat hebben, dat wil zeggen uit het hoofd kennen of snel kunnen afleiden zonder formulekaart of rekenmachine. Tenslotte: volgens een oude en internationaal wijdverbreide traditie worden haakjes om het argument van de standaardfuncties sin, log, etc. weggelaten als geen verwarring zal ontstaan. Dus y sin sin()y sin y sin(y), sin cos sin() cos() sin( cos ) en sin + y sin() + y sin( + y). Meer haakjes gebruiken dan nodig is echter nooit verkeerd. De bedoelde functies worden typografisch onderscheiden door een romein (recht) lettertype. ii

4 Voorwoord ii Verzamelingen, logica, factoren en veeltermen. Verzamelingen en logica Factoren en veeltermen Machten Herleiden 5. Haakjes wegwerken Ontbinden in factoren Ontbinden in factoren, vervolg Breuken 9 5 Goniometrie 6 Goniometrische formules 5 6. Basisformules Ontbinden Bewijzen Differentiëren 9 7. Afgeleiden van speciale functies Rekenregels voor differentiëren Primitiveren 9 Grafieken tekenen 5 0 Vergelijkingen en ongelijkheden 9 0. Polynoomvergelijkingen Polynoomongelijkheden Breukvergelijkingen Breukongelijkheden Eponentiële vergelijkingen Eponentiële ongelijkheden Logaritmische vergelijkingen Logaritmische ongelijkheden iii

5 Inhoudsopgave 0.9 Goniometrische vergelijkingen en ongelijkheden Wortelvergelijkingen Wortelongelijkheden Noemer wortelvrij maken (etra stof) 5 Breuksplitsen A (etra stof) 55 Breuksplitsen B (etra stof) 57 4 Inverse goniometrische functies (etra stof) 59 5 Antwoorden 6 iv

6 Hoofdstuk Verzamelingen, logica, factoren en veeltermen. Verzamelingen en logica We kunnen een verzameling definieren door de elementen op te sommen: V { a, b, c, d }. Voorbeeld: {, 4, 6, 7 } is de verzameling die bestaat uit de getallen, 4, 6 en 7. Als element is van de verzameling V dan schrijven we V. Bijzondere, veel voorkomende verzamelingen zijn: de verzameling der Natuurlijke getallen N {,,, 4,... } Gehele getallen Z {...,,,, 0,,,, 4,... } Rationale getallen Reële getallen Complee getallen Q alle getallen die zijn te schrijven als p met p Z en q N q R alle getallen die zijn te schrijven als (oneindige) decimale breuk C alle getallen die zijn te schrijven als a + ib met a, b R Als W deelverzameling is van een verzameling V, dan schrijven we W V. Zo is N Z Q R C. Als W gedefinieerd wordt door een bepaalde voorwaarde B, dan schrijven we W { V B() }. We zeggen: W bestaat uit de elementen V waarvoor geldt B(). { Voorbeeld: de natuurlijke getallen die een veelvoud zijn van 5: n N 5 n N}. We definieren de vereniging van A en B A B { alle elementen die in A of in B zitten } We definieren de doorsnede van A en B A B { alle elementen die in A en in B zitten }

7 . Factoren en veeltermen Deelverzamelingen van R kunnen we aangeven op de getallenlijn. Een aaneengesloten deelverzameling noemen we een interval. Dit schrijven we ook met de intervalnotatie. Voorbeeld: U { R < 5 } (, 5] V { R } [, ) W { R } (, ] 5 Verenigingen en doorsneden hiervan zijn U V { R > } (, ) U V { R 5} [, 5] V W { R } (, ] [, ) V W { R } (, ] [, ) betekent de lege verzameling (de verzameling zonder elementen). betekent het logische of: a b is waar als a is waar of b is waar (of beide). betekent het logische en: a b is waar als a is waar en b is waar. Merk op de parallel tussen en, en en.. Factoren en veeltermen We onderscheiden factoren en termen. Een factor is een onderdeel van een vermenigvuldiging; een term is een onderdeel van een som (of verschil). Bijvoorbeeld, a is een eenterm die bestaat uit de factoren en a; a is een tweeterm die bestaat uit de termen en a. Voorbeelden: a b c bestaat uit twee termen, namelijk a b en c. a b bestaat uit drie factoren:, a en b. c bestaat uit twee factoren: en c. a(b cd) bestaat uit drie factoren:, a en (b cd). b cd is een tweeterm waarvan de eerste term bestaat uit de factoren en b; de tweede term uit, c en d. Het is van groot belang dat je beseft of je met termen of factoren te maken hebt, omdat de rekenregels anders zijn!

8 Hoofdstuk Machten De volgende regels gelden onder de voorwaarden a > 0 en b > 0: a p a q a p+q, (ab) p a p b p, a p a n a n, a a p q, (a p ) q a pq, q an a n p, a q a q p, ab a b. Een voorbeeld waarbij van het bovenstaande gebruik wordt gemaakt: (a b) a 4 b a b a 4 b a 0 b 5 6 De uitdrukking is teruggebracht tot een product van getallen en machten van de vorm C a n b m c o Als R dan en, waarbij is de absolute waarde van { als 0, als < 0, Let op: c c maar: c c c. Machten en logaritmen zijn elkaars inverse. Bijvoorbeeld: log y y Voor overige eigenschappen van de logaritme: zie sectie 0.7, pagina 4.

9 . Machten Opgaven Herleid onderstaande uitdrukkingen tot een vorm C a n b m c o.... Alle variabelen zijn positieve getallen.. (p 4 q ) (p q 5 ).. ( a 5 b ) 4 (a b) ( cd 4 ) (c d) 4. ( a b) 5. ab a 6. p q p q 4 7. (a b ) a 7 b 8. (a b) 4 (6a b ) a b a b (a) 4 a. (p q 4 ) (p q ) 4.. ( a b ) 4 ( a 4 b) ( c d 4 ) 4 (c d) 4. ( ab b) 5 5. ab a b 6. p q 4 p q 7. (a b ) a b 8. (a b) (6a b ) a 5 b a b (a) a 4

10 Hoofdstuk Herleiden. Haakjes wegwerken Er geldt: (a + b)(c + d) ac + ad + bc + bd Speciale gevallen van deze regel zijn de zogenaamde merkwaardige producten : (a + b) a + ab + b, (a b) a ab + b, (a b)(a + b) a b Van belang bij ontbinden is ( + a)( + b) + (a + b) + ab Voorbeeld: ( + )( 7) 4, waarin 4 ontstaat uit + plus 7, en uit + maal 7. (a b) 9a a b+4b, waarin a b het dubbele product wordt genoemd van a en b. Verder moeten we ook wortels kunnen herleiden. Voorbeelden: (7 splitsen in kwadraat maal getal), 7 7 (teller en noemer met 7 vermenigvuldigen)

11 . Haakjes wegwerken Opgaven Herleid onderstaande uitdrukkingen met behulp van bovenstaande regels. Zorg ervoor dat er geen wortels in de noemer blijven staan. Herleid wortels zoveel mogelijk.. (a b). ( a + a). ( 6 6 ) 4. (m n)(m + n) 5. (6 )( + ) 6. ( a b + a4 b) 7. ( a + )(a + ) 8. (a b + )(a + b 5) ( 9. ) (a )(a + )(9a + ). ( a + b). (a a). ( 5 ) 4. (m n)(m + n) 5. ( 5)( 5 + ) 6. ( a 4 b + 4 a b) 7. ( a + 0)(a + 0) 8. (a b + )(a + b 4) 9. ( ) 0. (a )(a + )(4a + ) 6

12 . Ontbinden in factoren. Ontbinden in factoren Bij ontbinden in factoren is het de bedoeling dat je een veelterm omzet in een vorm met zo veel mogelijk factoren. Dit doe je door eerst zo veel mogelijk buiten haakjes te halen en vervolgens, indien mogelijk, verder te splitsen, Voorbeelden: ( + )( 4). som +7 en product 44. Zoek naar twee getallen met ( + ) ( + ) ( + )( ). getallen met som + en product. Zoek naar twee 8 ( 8) ( + 4)( 7) Dus eerst buiten haakjes halen. 4 6 ( + 4)( 4) ( + 4)( + )( ) Hier is twee keer sprake van de vorm a b. Let op: a + b is niet verder te ontbinden! ( + ) ( + ) ( + )( ) Hier haal je ( + ) in zijn geheel buiten haakjes. + ( + ) ( + )( ) Hier haal je eerst buiten haakjes. Opgaven Ontbind in zoveel mogelijk factoren, uitgedrukt met gehele getallen ( ) ( ) 8. ( ) + ( ) 9. ( ) ( + ) ( + ) + ( + ) 8. ( ) ( ) 9. (5 ) ( + 5)

13 . Ontbinden in factoren, vervolg. Ontbinden in factoren, vervolg De sommen die nu volgen hebben ook betrekking op ontbinden in factoren. Voorbeelden: ( ) ( ) (6 )( ) Hier blijkt dat, als je twee aan twee iets buiten haakjes haalt, er toevallig hetzelfde overblijft, waardoor je echt kunt ontbinden in twee factoren. + 0 Het lukt in een dergelijk geval soms om twee getallen a en b te vinden zodat + 0 ( + a)( + b). Hier moet a maal b gelijk zijn aan 0 en b + a gelijk zijn aan +. Omdat a 5 en b voldoen geldt: + 0 ( + 5)( ) Opgaven Ontbind in zoveel mogelijk factoren, uitgedrukt met gehele getallen

14 Hoofdstuk 4 Breuken teller Een breuk, noemer, bestaat niet als de noemer gelijk aan 0 is, en is onbepaald als teller en noemer gelijk aan 0 zijn. Ga er in dit hoofdstuk vanuit dat de noemers 0 zijn. Er gelden de volgende rekenregels: ab ac b c a b + c d ad bd + bc bd a b c d ac bd a b : c d a b d c ad bc ad + bc bd Dus delen door een breuk is vermenigvuldigen met zijn omgekeerde. Vereenvoudig breuken door teller en noemer te ontbinden in factoren. Voorbeelden: a + ab a(a + b) ab + b b(a + b) a b a b (a b)(a + b) a b a + ab + b (a + b) a + b b a a b (a b) a b Bij de volgende serie opgaven dien je de uitkomst te schrijven als één breuk. We noemen deze bewerking onder één noemer brengen. Voorbeelden: ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 9

15 4. Breuken ( ) ( ) Opmerkingen bij het laatste voorbeeld: ( ) ( ) ( ) ( 4 + 4) ( ) + + ( ) ( ) - Neem een zo klein mogelijke gemeenschappelijke noemer, dit bespaart veel rekenwerk. Net als in waarbij een noemer 4 ook veel rekenwerk zou 4 opleveren. - Zorg dat je nauwkeurig alle termen tussen haakjes vermenigvuldigt met. - In de noemer mag je doorgaans de haakjes laten staan. Het gebeurt wel dat je de uitkomst nog kan vereenvoudigen door ook de teller weer te ontbinden in factoren. Opgaven ( + ) + ( ) ( ) + ( )

16 Hoofdstuk 5 Goniometrie In eerste instantie voert men de sinus, cosinus en tangens in als verhoudingen van zijden in een rechthoekige driehoek. Dit betekent dat de hoek tussen de 0 en 90 ligt. Er geldt: tangens() sinus() / cosinus(). Een natuurlijke uitbreiding voor willekeurige hoeken krijgen we met behulp van de eenheidscirkel. We definiëren: Een punt P op de eenheidscirkel heeft -coördinaat cos(α) en y-coördinaat sin(α), dus P (cos(α), sin(α)), of in iets andere notatie P (cos α, sin α). y P : cos Α, sin Α O Α Er blijft dan gelden: tan α sin α cos α en sin α + cos α. N.B. De tweede relatie is een versie van de stelling van Pythagoras. De hoek α wordt meestal uitgedrukt in radialen. In dat geval is α gelijk aan de lengte van de boog van de eenheidscirkel waar de hoek op staat. Daaruit volgt bijvoorbeeld dat π rad overeenkomt met 60. In deze cursus worden hoeken altijd in radialen uitgedrukt.

17 5. Goniometrie Van een aantal hoeken zijn eacte waarden te geven voor de sinus, cosinus en tangens. Met behulp van onderstaande driehoeken zijn deze waarden af te leiden. Ze worden gegeven in de tabel voor hoeken tussen 0 en π. Het verdient nadrukkelijk aanbeveling om de tabel van buiten te kennen. π 6 π π 4 π π sin π cos tan 0 6 π 4 π π π 0 n.g. Voor π is tan niet gedefinieerd (n.g.). Bij hoeken groter dan π behoren goniometrische verhoudingen die rechtstreeks zijn af te leiden uit de definities. Voorbeeld: De coördinaten van Q welke behoren bij een hoek van 7 π kun je afleiden uit de coördinaten 6 van P die behoren bij een hoek van 6 π. 7 Π 6 O Π 6 P Q Daarom sin 7 6 π sin 6 π cos 7 6 π cos 6 π tan 7 6 π sin 7 6 π cos 7 6 π We noemen dit herleiden naar een hoek in het eerste kwadrant.

18 5. Goniometrie Een ander type vraag gaat als volgt: Gegeven: sin α. Hoe groot is α, indien we de afspraak maken dat 0 α < π? 0 Gebruik de eenheidscirkel: Per definitie is sin α de y-coördinaat van een punt op de eenheidscirkel. Omdat negatief is, weten we dat de y-coördinaat negatief is. De y-coördinaat is negatief in het derde of vierde kwadrant, dus daar moeten we de hoek α zoeken. Bekend is: sin π. Met behulp van de tekening en bovenstaande tabel is vlot in te zien dat bij sin α hoeken behoren van π + π en π π. Het antwoord luidt dus: α 4 π α 5 π.

19 5. Goniometrie Opgaven Herleid tot hoeken in het eerste kwadrant en geef de waarde. Je kunt daarbij bovenstaande tabel gebruiken.. sin( 4 π). tan( 4 π). cos( 5 6 π) 4. sin( π) 5. tan( 85 4 π) 6. sin( π) 7. cos( 7 4 π) 8. tan( 5 6 π) 9. cos( π) 0. sin( 7 4 π). cos( 4 π). sin( 4 π). tan( 5 6 π) 4. cos( π) 5. sin( 85 4 π) 6. tan( π) 7. sin( 7 4 π) 8. cos( 5 6 π) 9. tan( π) 0. sin( 4 π) 4

20 Hoofdstuk 6 Goniometrische formules Met behulp van de definitie via de eenheidscirkel zijn de volgende uitdrukkingen eenvoudig in te zien: sin + cos, sin( ) sin, cos( ) cos, tan( ) tan sin(π ) sin, cos(π ) cos, tan(π ) tan sin cos( π ), cos sin( π ) De volgende formules worden niet allemaal afgeleid of bewezen. Ze hangen sterk met elkaar samen. Bijvoorbeeld, indien je er één als uitgangspunt neemt, kun je met behulp van bovenstaande formules de andere uitdrukkingen afleiden: sin( + y) sin cos y + cos sin y sin( y) sin cos y cos sin y cos( + y) cos cos y sin sin y cos( y) cos cos y + sin sin y tan + tan y tan( + y) tan tan y tan tan y tan( y) + tan tan y sin sin cos cos cos sin cos sin tan tan tan 5

21 6. Basisformules 6. Basisformules Opgaven. Leid uit de formule voor sin( + y) de formules voor sin( y), cos( + y) en cos( y) af.. Leid zelf af: en tan( + y) tan( y) tan + tan y tan tan y tan tan y + tan tan y. Leid uit de formules voor sin( + y), cos( + y) en tan( + y) af: sin sin cos cos cos sin cos sin tan tan tan 4. Voor een hoek [0, π] geldt: cos. Bereken cos( 6 π). 5. Voor een hoek [ π, π] geldt: cos. Bereken sin. 6. Voor een hoek [0, π] geldt: cos 4. Bereken tan. 7. Vereenvoudig zover mogelijk sin cos + cos + sin Vereenvoudig zover mogelijk (cos sin ) tan(). 6

22 6. Ontbinden 6. Ontbinden Opgaven Bij de volgende opgaven dient gebruik te worden gemaakt van bovenstaande goniometrische formules:. Ontbind in factoren: sin + sin. Ontbind in factoren: sin( + y) + sin( y). Ontbind in factoren: cos + sin 4. Ontbind in factoren: +sin cos 5. Ontbind in factoren: cos 6. Ontbind in factoren: sin 5 sin Ontbind in factoren: sin +5 cos Bereken eact een uitkomst voor cos 8 π 9. Vereenvoudig cos sin cos + sin 0. f () cos sin is te schrijven als f () a + b cos(c). Bepaal a, b en c.. Ontbind in factoren: sin sin. Ontbind in factoren: cos cos. Ontbind in factoren: sin sin 4. Ontbind in factoren: cos Ontbind in factoren: sin sin 6 6. Ontbind in factoren: cos + sin +9 cos 7. Schrijf zonder wortel: + cos 8. Bereken eact een uitkomst voor sin 8 π 9. Vereenvoudig cos 4 cos sin + sin 4 0. f () cos sin is te schrijven als f () a + b cos(c). Bepaal a, b en c. 7

23 6. Bewijzen 6. Bewijzen Opgaven Bij de volgende opgaven dient gebruik te worden gemaakt van bovenstaande goniometrische formules:. Toon aan dat cos + cos. Toon aan dat cos 4 sin 4 cos. Toon aan dat cos 4 + sin +sin 4 4. Toon aan dat cos ( + tan ) 5. Toon aan dat tan 6. Toon aan dat tan + tan y tan tan y 7. Toon aan dat 8. Toon aan dat 9. Toon aan dat sin + cos sin( + y) sin( y) tan sin tan sin tan tan + sin cos tan( + tan π + ) 4 tan 0. Toon aan dat cos cos. Toon aan dat sin cos. Toon aan dat cos 4 ( tan 4 ) cos. Toon aan dat 4 sin 4 sin 4 sin 4. Toon aan dat cos 4 ( + tan 4 ) sin cos 5. Toon aan dat tan 6. Toon aan dat + tan tan y tan tan y cos sin cos( y) cos( + y) 7. Toon aan dat sin tan tan cos 8. Toon aan dat sin + cos 9. Toon aan dat cos sin tan( 4 π +)+tan( 4 π ) cos sin 0. Toon aan dat cos sin cos + sin + cos + sin cos sin cos 8

24 Hoofdstuk 7 Differentiëren Als de functie f aan de functiewaarde f () toevoegt, dan noemen we f () ook wel het functievoorschrift. De grafiek van f is de kromme in het (, y)-vlak gegeven door y f (). We zullen vaak de functie f, het voorschrift f (), en de coordinaat y f () door elkaar gebruiken, hoewel dat slordig is. Onder bepaalde voorwaarden kunnen we de functie f () differentiëren naar. Grafisch is de afgeleide f () gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in aan de grafiek y f (). De afgeleide van y f () naar kan aangegeven worden als f () of d d f () of d f () d of y of dy d. 7. Afgeleiden van speciale functies d d n n n, d d e e, d d ln, d d a a ln a, d sin cos, d d cos sin, d d d tan cos + tan, 9

25 7. Rekenregels voor differentiëren Bij het differentiëren maken we gebruik van een aantal basisregels: 7. Rekenregels voor differentiëren f () u() + v() f u + v (somregel) f () cu() f cu (scalair productregel) f () u()v() f u v + v u (productregel) f () t() n() f nt tn n (quotiëntregel) Als de functies f (u) en u() gegeven zijn dan is de afgeleide naar van de samengestelde functie y f (u()) gelijk aan de afgeleide van f naar u vermenigvuldigd met de afgeleide van u naar : dy d dy du du d, (kettingregel) Voorbeelden: Bereken de afgeleide van de functie y 6( ). Definieer: u(). We moeten dan y 6u differentiëren naar u en het resultaat vermenigvuldigen met de afgeleide van u naar. Er geldt: dy du u en du d 6. Dus dy d dy du du d u 6 ( ) 6 Kortom: y 7( ) y ( ) 5 y 5( ) 4 ( ). Handig om van buiten te kennen: y u n y nu n u y u y u u y u y u u y ln u y u u 0

26 7. Rekenregels voor differentiëren Voorbeelden: y 4( ) y 8( ) 6 48( ) y 6 y y y ( ) 6 8 ( ) y ln( ) y 5 y y 5 ln ln 5 y ( sin ) y ( sin ) 4 sin cos sin cos ( sin )

27 7. Rekenregels voor differentiëren Opgaven Bereken de afgeleiden van:. y ( ) 5. y. y 5 4. y ( ) 5. y 6 6. y e 7. y ln( + 4) ( ) 8. y ln + 9. y 0. y. y ln ln. y ( ) e. y tan 4. y sin cos sin + cos 5. y sin cos. y ln. y ln. y sin 4. y + 5. y y sin ( 6 π) 7. y ln sin 8. y + 9. y ln( ) 0. y e sin. y e + e. y ln 4. y sin cos 4. y sin cos 5. y cos cos

28 Hoofdstuk 8 Primitiveren In de integraalrekening neemt primitiveren een essentiële plaats in. Het is de inverse bewerking van differentiëren. Kennis van differentiëren is daarom vereist. Basisformules (met a 0, n, en c een onbepaalde integratieconstante): a n d a n + n+ + c a d a ln + c e a d a ea +c sin(a) d a cos(a) + c cos(a) d a sin(a) + c (a + b) n d a a + b d ln a + b + c a cos d tan + c n + (a + b)n+ + c Controleer altijd of je goed geprimitiveerd hebt door de uitkomst te differentiëren.

29 8. Primitiveren Opgaven Primitiveer de volgende functies.. ( ). (5 ) ( + ) 4 5. sin ( 6 π) sin + e 9. tan 0.. ( + ). (8 ). 4. ( ) 5 5. cos ( π) cos + e 9. tan

30 Hoofdstuk 9 Grafieken tekenen De bedoeling van deze oefening is dat je bij een aantal functies de grafiek schetst zonder gebruik te maken van elektronische hulpmiddelen. Afstanden tussen eenheden op de -as hoeven niet noodzakelijk gelijk te zijn aan die tussen de eenheden op de y-as. Kies het domein telkens zó dat de eigenschappen van de grafiek duidelijk te zien zijn, zoals snijpunten met de assen, asymptoten, perioden, enz. Zet bij snijpunten en asymptoten ook getallen indien deze vlot uit het hoofd te berekenen zijn. Uit de grafiek van y f () kunnen we door verschuiving naar rechts/links en omhoog/omlaag en oprekking/inkrimping ten opzichte van de assen de grafiek van verwante functies maken. De grafiek van: a f () ontstaat uit de grafiek van f () door de y-waarde met a te vermenigvuldigen f (/b) de -waarde met b te vermenigvuldigen f ( c) deze over afstand c naar rechts te verschuiven f () + d deze over afstand d omhoog te verschuiven Let op de volgorde: Als we uit de grafiek van y f () de grafiek van ( c ) y a f + d b willen maken, dan moeten we goed op de volgorde letten: eerst vermenigvuldigen, dan verschuiven. 5

31 9. Grafieken tekenen Standaardfuncties 4 y y y y ep() y ln() y 0 y sin() y cos( ) π π.5π π.5π 0 0.5π π.5π π.5π 5 y / y tan() π 0.5π 0 0.5π π.5π π 6

32 9. Grafieken tekenen De grafiek van y tan() (zie vorige pagina) heeft de volgende eigenschappen: periodiek met periode π; nulpunten in kπ, k Z; asymptoten in π + kπ, k Z. Voorbeeld van verschuiving en inkrimping: De grafiek van y tan ( π) ontstaat uit die van y tan door inkrimping van de 4 -waarde met de factor (de periode π wordt dus π) en verschuiving over π naar rechts π π 4 π π 4 π 0 4 π 7

33 9. Grafieken tekenen Opgaven. f () ( + ) 4. f () ( ) +. f () f () f () 6( + ) 5 Serie C. f (). f () ( ) +. f () + 4. f () 5. f () e Serie E. f () +. f () 4. f () f () 5. f () 6. f (). f () 4. f () + 4. f () 5. f () Serie D 4 ( ). f () log. f () log( + ). f () log 4. f () log 5. f () ln( e) Serie F. f () sin. f () cos π. f () + 8 sin π( ) 4. f () sin 5. f () tan ( + 4 π) 8

34 Hoofdstuk 0 Vergelijkingen en ongelijkheden 0. Polynoomvergelijkingen De volgende regels gelden bij het oplossen van vergelijkingen: a + b 0 a b b a A B C... 0 A 0 B 0 C 0... A B A B A B A B A C A 0 B C Kwadratische vergelijking: a +b+c 0 b ± b 4ac. (abc-formule) a We gebruiken de abc-formule natuurlijk niet als het eenvoudiger kan, zoals in de gevallen a + c 0, a + b 0, + b + b 0, of als de uitdrukking gemakkelijk in factoren is te ontbinden: +4 6 ( + ) ( + ) ( )( +) 0. Voorts is kwadraatafsplitsen soms een handig alternatief: + 4 ( + + ) 5 ( + ) ± 5 ± 5. Polynoomvergelijkingen kunnen algemeen worden geschreven (met n een geheel getal) als: a n n + a n n + a n n a + a 0 0. Oplossingen kunnen soms gevonden worden door in factoren te ontbinden. Merk op: de abc-formule kan worden afgeleid met behulp van kwadraat-afsplitsen: a + b + c a ( + a b + a c ) ( a + a b + ( a b ) ( b ) a + c ) [ ( a a + b ) ] a b 4ac (a) 0, 9

35 0. Polynoomvergelijkingen Voorbeelden: Los op: ( 4) 7( 4) 0 ( 7)( 4) 0 ( 7)( )( + ) 0 Los op: ( 4)( + 4) 5( + 4): ( 4)( + 4) 5( + 4) 0 ( 4 5)( + 4) 0 ( + )( 7)( 4) Los op: ( 4)( ) ( + )( ): ( + 6)( + ) Opgaven Los de volgende vergelijkingen op: ( )( + 0) 7. ( ) ( 4)( + ) ( )(4 ) ( + )( + ) ( )( + ) 9. ( 4)( ) ( + )( ) 0. ( ) ( + ) ( + ) 0

36 0. Polynoomongelijkheden 0. Polynoomongelijkheden Basisregels (stel a > 0) A B A C B C a A ab a A ab (ongelijkheid keert om) A a a A a A a A a A a Analoog voor > en <. Voorbeelden: + 8 < 4 < 4 > 4 want bij delen door en vermenigvuldigen met een negatief getal keert het teken om. Let op: 0 < < y 0 < y < < y < 0 y < < 0 < 0 < y < 0 < y In alle gevallen vermenigvuldigen we met (y). In de eerste twee gevallen is dit positief, in het laatste negatief en keert de ongelijkheid dus om. Bij een kwadratische ongelijkheid kan het oplossingsinterval uit één, of meer stukken bestaan: > 5 < 5 > 5 Als een schets van de grafiek snel te maken is kan je ook eerst de gelijkheid oplossen en aan de hand van de grafiek aflezen wat de oplossing van de ongelijkheid is. Houd daarbij wel rekening met het domein. In ingewikkelde gevallen van een polynoomongelijkheid is een tekenschema een handig hulpmiddel. Tekenschema s geven op een getallenrechte met plussen en minnen aan waar een uitdrukking positief of negatief is. Daar waar de uitdrukking nul is zetten we één of meerdere nullen op de getallenrechte. Bij elke nul op de getallenrechte is er sprake van tekenverandering. Twee voorbeelden van tekenschema s: f () ( + )( )( ) heeft als tekenschema: Kijk bij één bepaalde gemakkelijke waarde van (anders dan een nulpunt) naar de uitkomst f (). Als de uitkomst positief of negatief is geldt dat overal tussen de naburige nulpunten. Bij een 0 op de getallenrechte verandert het teken.

37 0. Polynoomongelijkheden g() ( + ) ( )( ) heeft als tekenschema: Bij op de getallenrechte staat keer een 0 omdat je daar een oplossing krijgt van ( + ) 0 oftewel ( + )( + )( + ) 0. Zo n nulpunt noemen we drievoudig. Dat betekent ook dat er drie keer tekenwisseling plaats vindt, want bij elke 0 verandert het teken. Als g() dus positief is voor < zal g() negatief zijn als >. Bij op de getallenrechte moet keer een 0 komen, want ( ) is te schrijven als ( )( ). Er vindt daarom keer tekenwisseling plaats wat in feite betekent dat er geen tekenwisseling is bij de. Kortom, een n-voudig nulpunt geeft geen tekenwisseling als n even is en wel een tekenwisseling als n oneven is. Voorbeelden Los op: Herleid eerst op: Ontbind vervolgens in factoren: ( 6 + 8) 0 ( )( 4) 0 Tekenschema: De oplossing is dus: 0 4 of in intervalnotatie: (, 0] [, 4] Los op: ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) 0 ( )( + ) ( ) 0 Tekenschema: De oplossing is: of in intervalnotatie: (, ] [, )

38 0. Polynoomongelijkheden Opgaven Los de volgende ongelijkheden op:. 5. ( ). ( ) < + 5. ( + ) ( + ) > ( ) 6. 5 < + 7. ( 4)( 4) 0 8. ( + ) ( + ) > 5( ) 9. ( 7 + )( + 4) ( ) < + 5. ( ) ( + ) > 5( ) ( 9)( ) 0 8. ( 5) ( + )( 5) > 0 9. ( )( ) ( )

39 0. Breukvergelijkingen 0. Breukvergelijkingen De volgende regels gelden bij het oplossen van vergelijkingen: A B 0 A 0 B 0. A B C D A D B C B 0 D 0 (kruislings vermenigvuldigen) Bij breukvergelijkingen zijn kruislings vermenigvuldigen en onder één noemer brengen belangrijke technieken. Controleer achteraf de oplossingen, want de noemers van de breuken mogen niet gelijk aan 0 zijn! Voorbeelden: Kruislings vermenigvuldigen geeft: ( 6)( + 5) 5( + 8) ( 5) + 4( 5) 0 ( + 4)( 5) (de oplossingen voldoen) + We krijgen: ( )( 6) 0 6 (de oplossing vervalt) 6 4

40 0. Breukvergelijkingen We krijgen: 6( + ) + 5( ) ( )( + ) ( 4) + ( 4) 0 ( 4)( + ) 0 4 (de oplossingen voldoen) Opgaven Los de volgende vergelijkingen op ( + )

41 0.4 Breukongelijkheden 0.4 Breukongelijkheden Bij breuken kan niet alleen bij een nulpunt van de teller, maar ook bij een nulpunt van de noemer het teken omwisselen. Bij tekenschema s worden daarom zowel de nulpunten van de teller (0) als de nulpunten van de noemer ( ) aangegeven. Overigens, in zo n nulpunt van de noemer bestaat de functie dus niet. Voorbeeld 5 + ( + ) ( )( + ) 5( ) ( )( + ) ( )( + ) 0 ( + 7)( ) ( )( + ) 0 ( )( + ) ( )( + ) 0 Tekenschema: X X 0 7 dus 7 < <. Ook hier geldt: als een nulpunt van teller (0) of noemer ( ) een even aantal keren voorkomt, verandert het teken van de functie daar niet. 6

42 0.4 Breukongelijkheden Opgaven Los de volgende ongelijkheden met breuken op > ( ) ( ) < > 0 + > < > > ( )( + ) ( + )( ) > < 7 6 7

43 0.5 Eponentiële vergelijkingen 0.5 Eponentiële vergelijkingen Bij onderstaande opgaven is het de bedoeling dat je herleidt tot een vergelijking met machten, oftewel een uitdrukking van de vorm met a > 0. a uitdrukking met a getal Omdat a een overal stijgende (als a > ) of dalende (als a < ) functie is, mag je dan de eponenten gelijk stellen. Hierna dien je nog de resulterende vergelijking op te lossen. Gebruik de regels bij machten, bijvoorbeeld 4 ( ) ( ). Voorbeelden ( ) 6 e + e e + e ( 6) Stel a, dan a + 8 a 6 a 6a (a )(a 4) 0 a a 4 4 8

44 0.5 Eponentiële vergelijkingen Opgaven Los de volgende eponentiële vergelijkingen op e + ( e ) e e e e e 5 e log 4 8. ( ) ( 4 ) ( ) (0.4) 50 (0.8) 9

45 0.6 Eponentiële ongelijkheden 0.6 Eponentiële ongelijkheden Bij eponentiële ongelijkheden moet je met grondtallen kleiner dan oppassen. Bijvoorbeeld, > 4 > 4 maar ( ) > ( )4 < 4. Je had deze laatste conclusie ook als volgt kunnen trekken: ( ) > ( ) 4 > 4 > 4 < 4. Voorbeelden Los op: > > > 6 5 Vermenigvuldig beide zijden met 5 : > > > 5 Los op: + ( ) en + ( ) + ( ) Stel a en bedenk dat dan a > 0! a + 7 a a + 7 a. Dat mag omdat a > 0. Dus a a (a )(a 9) 0 a 9 40

46 0.6 Eponentiële ongelijkheden Opgaven Los de volgende eponentiële ongelijkheden op... ( ) < ( 4)( 8) > ( 4 ) < > > > 0. ( ) > < < ( ) ( ) < 5 0. ( ) 4 ( ) 5 < 0 4

47 0.7 Logaritmische vergelijkingen 0.7 Logaritmische vergelijkingen De definitie van logaritme is (met a > 0 en a ): a L L a log 0 log is van belang in technische literatuur en wordt geschreven als log. e log wordt genoemd de natuurlijke logaritme en wordt meestal geschreven als ln (in sommige wiskundige literatuur ook als log!) Belangrijke regels zijn: a log bestaat alleen als > 0 a log is een stijgende functie als a > en een dalende als 0 < a < a log 0, a log a a log a, a log a, (etc.) a a log mits > 0 a log + a log y a log y a log a log y a log ( y ) a log r r a log a log a log p plog a p log log p log a ln ln a log log a Let op: y n a log y a log n, maar y a log n y n a log. Controleer bij het oplossingen van vergelijkingen en ongelijkheden achteraf de oplossingen, want het argument van de logaritme moet positief en ongelijk aan nul zijn! Voorbeelden: Los op: log( + ) + log( ). We hebben dan: log( + ) log 4 + log( ) log 4( ) Onder de voorwaarde dat de argumenten positief zijn is dit gelijkwaardig met: (controleer: de oplossing voldoet). 7 Los op: ln ln. Dit is gelijkwaardig met (waarom?): ln ln 0. Stel ln a a a 0 (a + )(a ) 0 a a ln ln e e 4

48 0.7 Logaritmische vergelijkingen Opgaven Los de volgende vergelijkingen op.. log 6 8. log( ) 9. ln( 7 + 7) 0 4. log 5 log( + 4) 5. log( ) + log( + ) 5 6. log( 0) 7. ln(7 ) ln( ) 8. ln( + ) ln 5 9. ln + 6 ln 5 0. ln + ln 0. log log(8 ). ln( + e) ln 4. log(5 ) + log 5. + log( ) 6. log + log( + ) ( ) 7. log( + ) + log 5 8. ln( + ) ln( + ) 9. ln ln + 0 ( 0. ln( ) 8) ln 4

49 0.8 Logaritmische ongelijkheden 0.8 Logaritmische ongelijkheden Een belangrijke stap bij het oplossen van logaritmische ongelijkheden is het bepalen van het domein. Oplossingen dienen uiteraard binnen het domein te liggen. Ook hier opletten met bijvoorbeeld: log < log 4 0 < < 4 maar log < log 4 > 4! Net zoals bij machten is de log-functie dalend als het grondtal kleiner is dan, en moeten we het ongelijkheidsteken omdraaien. Voorbeelden: Los op: log + log( + ). Hier geldt: > 0 >, dus D (0, ). en dus log log 8 + log( + ) log log ( + ) 8 8 ( + ) Rekening houdend met het domein D is de oplossing: (0, 7 ] Los op: log( ) < log. We hebben: ( > ) ( > 0) D (, ) Hier moet gelden: log( ) + log < log 7 log ( ) < log 7 7 < 0 ( 9)( + ) < 0 < < 9 Rekening houdend met het domein D is de oplossing: (, 9 ) 44

50 0.8 Logaritmische ongelijkheden Opgaven Los de volgende logaritmische ongelijkheden op.. 5 log( + ). 4 log( ) >. log( 4 5) 4 4. ln + ln 0 5. log log( 6) 6. log > 7. ln( e) > 8. ln ln > 0 9. log( ) log( + 7) 0. ln ln( ). log( ). 4 log( + 6). log( 8 + 7) 4 4. ln + ln > 0 5. log( ) < log 6. ln( ) ln 0 7. log( + ) 8. log( + 4) + 4 log( + 4) 0 9. log( 8) < 0. log( + ) log < 45

51 0.9 Goniometrische vergelijkingen en ongelijkheden 0.9 Goniometrische vergelijkingen en ongelijkheden Enkele regels: sin sin a a + kπ π a + kπ cos cos a a + kπ a + kπ tan tan a a + kπ Hierbij geldt steeds dat k Z, dus k 0, ±, ±,... Voorbeelden: Los op: cos( π) sin 4 cos( 4 π) sin cos( 4 π) cos( π ) 4 π π + k π 5 4 π + k π 4 π π + + k π 4 π + k π 5 π + k π 4 π + k π Los op: sin cos sin cos ( cos ) cos cos + cos 0 Stel cos a dan a + a 0 (a + )(a ) 0 a a Merk op dat cos geen oplossing heeft, dus Ongelijkheden: cos ± π + k π. Kijk waar gelijkheid geldt.. Kijk waar de functie niet bestaat.. Dit levert de punten op, waar de ongelijkheid zou kunnen omkeren. Tussen deze punten liggen de intervallen waar de ongelijkheid, of haar tegengestelde, geldt. 4. Maak ter ondersteuning een schets en lees het antwoord af. Voorbeeld: Los op: tan( π). We hebben tan( π) als π 4 π + kπ, dus 8 π + kπ. De functie bestaat niet als π π + kπ, dus kπ. Beschouw de grafiek in hoofdstuk 9 op pagina 7. Het antwoord is dus 8 π + kπ < π + kπ. 46

52 0.9 Goniometrische vergelijkingen en ongelijkheden Opgaven Los de volgende goniometrische vergelijkingen en ongelijkheden op. Kies R als domein... sin sin. tan + tan 0. sin( + π 4 ) + sin( π 4 ) 0 4. cos + cos 0 5. cos + sin 6. sin cos sin 0 7. tan tan 8. sin tan 9. cos sin 0 0. sin + sin. sin cos. cos + tan 0. cos sin 4. (tan sin )(tan + sin ) cos 5. sin sin cos Serie C.. sin >. tan. sin < cos. cos cos. tan sin. cos( π) + sin( 6 π) 0 4. sin sin 0 5. cos + sin cos sin 6. sin cos 7. tan tan 8. sin tan 9. cos + cos sin 0. sin + 6 sin. 6 cos + sin 0. sin cos. sin + cos + sin cos 4. sin tan sin 5. sin + cos 0 Serie D. cos <. tan 0. tan sin 47

53 0.0 Wortelvergelijkingen 0.0 Wortelvergelijkingen Vergelijkingen met wortels zijn vaak op te lossen door links en rechts van het -teken te kwadrateren. Er sluipen hierdoor echter oplossingen binnen die niet oplossing zijn van de oorspronkelijke vergelijking. Met andere woorden: y y. Bedenk steeds dat de uitdrukking onder het wortelteken niet negatief mag zijn en dat de wortel zelf een niet-negatief getal is. Controleer een gevonden oplossing altijd door deze in de oorspronkelijke vergelijking in te vullen: Voorbeelden: Los op: ( 5) ( 4)( ) 0 4 Aangezien 5 < 0 als blijft 4 als enige oplossing over. Los op: ( 4)( 44) Alleen 4 is een oplossing. 48

54 0.0 Wortelvergelijkingen Opgaven Los de volgende vergelijkingen met wortels op p ( 4 p) p 4 p 8 0. Voor welke p raken de grafieken van f () + en g() + p elkaar? ( + ) Voor welke p raken de grafieken van en elkaar? f () 5 g() p + 49

55 0. Wortelongelijkheden 0. Wortelongelijkheden Soms is het handig grafieken te tekenen en de snijpunten te berekenen. Houd bij de oplossing rekening met het domein. Bijvoorbeeld, als gevraagd wordt <, dan is de oplossing [, 5) omdat. Voorbeelden: Los op: + < 0 + < < 0 met 0. Los eerst op: Met de abc-formule geldt: 5 6. Alleen 5 voldoet aan de vergelijking. 4 4 Vullen we nu in de ongelijkheid bijvoorbeeld 4 (4 < 5 ) in, dan krijgen we een 4 uitkomst die kleiner is dan 0. Maar als we bijvoorbeeld 9 invullen, krijgen we een oplossing die groter is dan 0. De oplossing is: [0, 5 4 ). Los op: + 5. Het domein is D (5, ). Dan is de breuk altijd positief. Los eerst op: + 5. We hebben: ( 5) Met de abc-formule geldt: 8 9. Alleen 9 voldoet aan de vergelijking. 6 Vullen we nu in de ongelijkheid bijvoorbeeld 6 (6 < 9) in, dan krijgen we een uitkomst die groter is dan. Maar als we bijvoorbeeld 4 invullen, krijgen we een oplossing die kleiner is dan. Dat betekent dat we getallen moeten hebben groter dan 9. De oplossing is: [9, ). 50

56 0. Wortelongelijkheden Opgaven Los de volgende ongelijkheden met wortels op < 0. <. < > ( ) > 5. ( ) > > < + < < ( ) + 5 > 7 6 > < 9 5

57 5

58 Hoofdstuk Noemer wortelvrij maken (etra stof) Bij onderstaande opgaven dien je de noemer van de breuk wortelvrij te maken. Bij een enkele wortel kan dit door onder en boven met dezelfde wortel te vermeningvuldigen. Voorbeeld: In meer ingewikkelde gevallen kunnen we de regel gebruiken: (a b)(a + b) a b. Voorbeeld: ( )

59 . Noemer wortelvrij maken (etra stof) Opgaven Maak telkens de noemer wortelvrij: ( + ) ( )

60 Hoofdstuk Breuksplitsen A (etra stof) Bij de volgende serie breuken is de noemer een product van factoren of kan er een product van factoren van worden gemaakt. Het is de bedoeling dat er twee breuken van worden gemaakt met als noemers de afzonderlijke factoren. Dit heet breuksplitsing. Voorbeelden: We hebben: + 0 ( )( + ) + Nu is dit eenvoudig te controleren maar hoe kom je aan de tellers? + 0 ( )( + ) vervangen we door A + B waarbij we A en B moeten berekenen. + Maak van de uitdrukking weer één breuk: A( + ) + B( ) ( )( + ) (A + B) + (A B) ( )( + ) Nu moet A + B en A B 0. Als je dit stelsel van twee vergelijkingen oplost, krijg je A en B. Splits op: ( + )( + 4)? We stellen: ( + )( + 4) A + + B + 4 A( + 4) + B( + ) ( + )( + 4) (A + B) + (4A + B) ( + )( + 4) Nu moet A + B 0 en 4A + B. Dit stelsel oplossen geeft A 6 5 en B 5. We kunnen daarom ( + )( + 4) vervangen door 6 5( + ) 5( + 4). 55

61 . Breuksplitsen A (etra stof) Vanwege het dubbele nulpunt in de teller gaat de volgende breuk iets anders: + ( )? De teller veranderen we in een vorm waarin voorkomt: + ( ) + 7 ( ) ( ) + 7 ( ) De voorkomende noemers zijn alle machten van ( ) tot en met de oorspronkelijke (). Opgaven Splits onderstaande uitdrukking in breuken:. 5 ( )( ). 5 ( + )( + ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 ( + ) ( + )( ) ( ) ( ) 6 ( ) 4 9 ( + ) 56

62 Hoofdstuk Breuksplitsen B (etra stof) Hieronder staat nog een aantal voorbeelden met opgaven waarbij een breuk wordt opgesplitst in meerdere delen. Voorbeelden Zo is We kunnen op manieren aan die uitkomst komen: We hebben: /\ en dus Dit kan altijd als de teller groter is dan de noemer. Ditzelfde kunnen we ook doen met gebroken functies: Of: / + \ en dus:

63 . Breuksplitsen B (etra stof) We hebben: / + \ en dus: De methode uit de laatste twee voorbeelden kan worden toegepast als de graad van de teller groter dan of gelijk is aan de graad van de noemer. Opgaven Pas op onderstaande opgaven breuksplitsen toe zoals hierboven

64 Hoofdstuk 4 Inverse goniometrische functies (etra stof) In het voortgezet onderwijs hebben we al met inverse functies te maken gekregen. Zo zijn log en 0 inverse functies van elkaar evenals bijvoorbeeld en voor 0. Op de rekenmachine staan deze functies op een toets en daarboven. Je ziet dan dat ln en e ook elkaars inversen zijn. Een eigenschap van inverse functies is dat de grafieken elkaars spiegelbeeld zijn, indien gespiegeld wordt in de lijn y. Domein en bereik hoeven voor een functie en zijn inverse niet hetzelfde te zijn; controleer maar voor bovenstaande functies. De functies sin, cos en tan hebben inverse functies op een beperkt domein. sin, cos en tan staat er vaak op rekenmachines; wij zullen het hebben over arcsin, arccos en arctan. We gaan na wat voor de laatste functies het domein en bereik is door te spiegelen. In de tekening links hieronder herken je de grafiek van y sin gespiegeld in de lijn y. π 4 π 0 4 π π y arcsin() π 4 π π 4 π 0 y arccos() π 4 π 0 4 π π 5 4 y arctan() We zien dat we maar een stukje van de sin-grafiek hebben genomen, omdat anders de gespiegelde grafiek geen functie meer voorstelt. Indien het domein voor sin gelijk is aan D [ π, π], is de inverse wél een functie. Bij deze keuze van het domein zitten we zo dicht mogelijk in de buurt van de oorsprong en zijn alle uitkomsten van sin mogelijk (van tot en met ). Zie de bovenstaande figuur. Het bereik van y sin is B [, ]. De inverse functie van y sin noemen we y arcsin. Hiervoor geldt het domein D [, ], terwijl B [ π, π]. Zo kunnen we ook de grafieken van y cos en y tan spiegelen in de grafiek van y. Inverse goniometrische functies behoren tot de zgn. cyclometrische functies. 59

65 4. Inverse goniometrische functies (etra stof). Ga op dezelfde manier na dat voor y arccos geldt dat D [, ] bij het gekozen bereik B [0, π].. Ga verder na dat voor y arctan geldt dat D (, ) bij het gekozen bereik B ( π, π). Zoals we hiervoor bepaald hebben welke mogelijke uitkomsten er waren bij sin, zo kunnen we nu een waarde geven aan arcsin( ). Het grote verschil is dat we nu maar één uitkomst hebben, omdat een functie telkens maar één waarde kan hebben. Daarom: arcsin( Of in het algemeen: ) π. y arcsin sin y, maar sin y y arcsin, en idem voor arccos en arctan. Opgaven Geef telkens de uitkomst uitgedrukt in π (radialen).. arcsin( ). arccos( ). arctan( ) 4. arccos( ) 5. arctan() 6. arcsin( ) 7. arccos( ) 8. arctan( ) 9. arcsin(0) 0. arccos( ). arccos( ). arcsin( ). arctan( ) 4. arcsin( ) 5. arccos() 6. arctan( ) 7. arcsin( ) 8. arccos( ) 9. arctan(0) 0. arcsin( ) 60

66 Hoofdstuk 5 Antwoorden Machten. p 6 q 6. a b c d a b 5. ab 6. p 4 q 5 7. a b ab 4. p 8 q 6. b c d 4. a 5 b 5 5. ab 6. p q a b a b 6 9. a 8 b a 5 b a a 6 6

67 5. Antwoorden. Herleiden. 9a 6ab + b. 9a a + 4a m 5mn n a 4 b 6 a 6 b a8 b 7. a 8. 7b 7a + ab + 6a b a 4. 9a ab + 4b. 9a a 4 + 4a m 5mn 6n a4 b a 6 b 4 + 4a 8 b a 8. 4b 5a 5ab + 6a 6b a 4. Herleiden. ( )( + )(4 + 9). ( + )( 7). ( )( + )( + )( 4 + )( 8 + ) 4. ( )( + ) 5. ( )( 7) 6. ( + )( 7) 7. ( ) 8. ( )( + + ) 9. (5 + )( 5) 0. ( ). ( )( + )(9 + 4). ( )( 4). ( )( + )( 6 + 4) 4. ( + 4)( 5) 5. ( )( 9) 6. ( + )( 9) 7. ( + ) 8. ( )( + ) 9. 4(4 + )( 4) 0. ( 5 + 4) 6

68 . Herleiden. ( )( 6). ( + )( + ). ( )( ) 4. ( + )(5 ) 5. ( )( + ) 6. ( )( 4)( + ) 7. ( )( + ) 8. ( + 5)( )( + ) 9. ( )( ) 0. ( )( + 5). ( 5)( ). ( + )( + ). ( 4)( ) 4. ( + )(7 ) 5. ( + )( )( + ) 6. ( )( 8)( + ) 7. ( 4)( + ) 8. ( + 5)( 4) 9. ( )( ) 0. ( + )( 6) 4 Breuken ( )(+) 4 ( )(+) 4. ( ) ( )(+) (+)(+) ( ) +6 ( )(+) + (+) + ( ) (+) + (+). ( ) ( )(+) ( )(+) ( +) ( )(+) ( )(7+4) ( +)(+) (+) 7 ( )(+) + ( ) + ( )(+) +6 ( ) 6

69 5. Antwoorden 5 Goniometrie niet gedefinieerd Goniometrische formules: basisformules 64. We hebben: sin( y) sin( + ( y)) sin cos( y) + cos sin( y) sin cos y cos sin y cos( + y) sin( π y) sin(( π ) y) sin( π ) cos y cos( π ) sin y cos cos y sin sin y cos( y) cos( + ( y)) cos cos( y) sin sin( y) cos cos y + sin sin y. We hebben: tan( + y) sin( + y) sin cos y + cos sin y cos( + y) cos cos y sin sin y tan( y) tan( + ( y)). We hebben: tan + tan y tan tan y tan + tan( y) tan tan y tan tan( y) + tan tan y. sin sin( + ) sin cos + cos sin sin cos cos cos( + ) cos cos sin sin cos sin ( sin ) sin sin cos ( cos ) cos tan + tan tan tan( + ) tan tan tan tan. 4. We hebben: cos( 6 π) cos cos 6 π +sin sin π. Omdat in het eerste kwadrant ligt 6 is ook sin. Dus cos cos 6 π + sin sin 6 π We hebben: cos sin sin sin sin ±. Omdat [ π, π] geldt: sin.

70 6. sin cos , zodat sin 7 6 want [0, π]. Dus tan 7, dus tan 7 7. sin cos + sin 4 + cos sin (cos + sin ) + cos sin + cos. 8. (cos sin ) tan() cos() sin()/ cos() cos() sin() sin(4). 6. Goniometrische formules: ontbinden. ( cos + ) sin. sin cos y. ( sin )( + sin ) cos 4. sin (sin + cos ) 5. (cos )(cos + ) sin 6. (sin )(sin 4) 7. (cos + )(6 cos ) sin 0., en. sin (sin cos ). (cos )(cos + ) sin. (cos sin ) cos 4. (sin )(sin + ) 5. (sin + )(sin ) 6. (sin + )(5 sin ) 7. cos sin tan cos 0.,, 65

71 5. Antwoorden 7. Differentiëren.. 0( ) 4. ( ). 6( 5) 4. 7( ) ln 6. 4 e 7. ln( + 4) ( ln + ) (ln ). e ( ). (tan )(tan + ) 4. sin + 5. cos cos. ln + ln +. ln. cos (sin ) 4. ( + ) 5. 7( ) 6. sin(4 π) 7. ln sin ln cos 8. ( + ) 9. (6 ) sin 0. sin() e cos. e. 4 ln. sin ( cos sin ) cos + cos sin 66

72 8 Primitiveren. ( )4 8. ( + )4. (5 ). (8 ) 6. 9 ( 4). ( ) 4. ( + ) 6 5. cos ( 6 π) ln 8. cos + e 9. tan 0. ln 4. ( ) sin ( π) ln sin + e 9. + tan 0. ln 67

73 5. Antwoorden 9 Grafieken tekenen f f f f f O O O O f 4 f 8 f 6 9 f 6 5 f A A A A4 A5 f f f f f O O f 4 f O f O f O 4 4 f B B B B4 B5 f f f f f f O f O f O f O f O f C C C C4 C5 f f f f O O O O O f O f O f log f log f log f log f ln D D D D4 D5 f f 4 O 4 f 4 f O 4 f 4 4 f O f f O f 6 E E E E4 E5 Π f sin Π f O f cos Π f 0 4 O 7 f 8 sin Π f () f () sin F F F F4 F5 f () f () tan ( + 4 π) 68

74 0. Polynoomvergelijkingen. 4 of. of of 6 of 6. 0 of of of of of 6. 5 of 4 of 7. of of 8. of of 9. of of 0. of of of. of. 6 of 6. 0 of of 4. of 5. 0 of of 6. of 7. of 8. of of 4 9. of 0. of of 69

75 5. Antwoorden 0. Polynoomongelijkheden. [ 5, 5]. (, ] [4, ). [, 5 ] 4. (, ) (, 4) (5, ) (, 7) 7. {4} [, ] 8. (, 7 6 ) 9. {4} [ 6, ] 0. [, ]. [4, ) (, 4]. [ 4, 4 ]. (, 5 ] [ 7, ) 4. (, ) [, 5) 5. (, 6 ) 6. [, ) (, 5] 7. [, ] 8. (, 5 ) (, ) 9. {} (, ] [, ) 0. [, 0] [, ] 0. Breukvergelijkingen of. + of 4. of 5. of 6. of of of of. of.. of of 6. of of 8. 0 of of 70

76 0.4 Breukongelijkheden. (, 5]. (, 4) (7, ). [, ] (, ) (, ) 4. (, ) (, ) 5. (, 5] (, ] 6. (0, ] (, ) (, ] 7. [, ) [, ) 8. (, ) (, 0) (, ) 9. (, ) (9, ) 0. (, ) (0, ). (, 7) (, 4). (, 0) (0, ). (, ) (0, ) (, ) 4. (, ) [5, ) [ 4, 5 ) 5. [, ) (, ] 6. ( 4, ] [0, ) 7. (4, 6) (, ) (, ) 8. (, ] (, 4 ] 9. (, ] [, ) 0. (4, 6) (, ) (, ) 0.5 Eponentiële vergelijkingen ln 4 of ln of of 0. ln of 5. ln 6. of

77 5. Antwoorden 0.6 Eponentiële ongelijkheden. (, ). [, ). (, ) (, ) 4. [ 5, ) 5. (, ] [, ) 6. (, 0) (, ) 7. (, ) 8. (, ] [, ) 9. (, ) 0. (, ). [, ). (, ). [, ) 4. [ 5, ) 5. (, 0] (, ) 6. (, ) 7. (, ) 8. (, 0] 9. (, 0) (, ) 0. (0, ) 0.7 Logaritmische vergelijkingen.. 5. of of e 9. e of e 0. e of e... e /(e ) 4. of e e 9. e of e 0. 7

78 0.8 Logaritmische ongelijkheden. (, ]. (, ) (4, ). [, ) (5, 7] 4. (0, e ) [e, ) 5. (6, 9] 6. (, 0) (0, ) 7. (, e e) (e + e, ) 8. (0, ) (, ) 9. (, ] 0. (, 6] [, 6). [, 0) (, ]. [ 8, 6) (0, ]. [, ) (7, 9] 4. (e, e ) 5. (, 4) 6. (, e +] 7. (, ] 8. ( 4, ] 9. (, 4) 0. (0, ) (, ) 7

79 5. Antwoorden 0.9 Goniometrische vergelijkingen en ongelijkheden. {kπ} { π + kπ}. { kπ}. { 5 kπ} { π + kπ} 4. { 5 π + 5 kπ} 5. { π + kπ} 6. {kπ} { 4 π + kπ} 7. {kπ} { 6 π + kπ} { 5 6 π + kπ} 8. { π + kπ} { 4 π + kπ} 9. { π + kπ} { π + kπ} 0. { 8 π + kπ}. { 4 π + kπ} { π + kπ}. { 7 6 π + kπ} { kπ + kπ} 6. {kπ} 4. { 4 π + kπ} 5. { π + kπ} { 4 π + kπ} Serie C. ( π + 4kπ, 5 π + 4kπ). [ π + kπ, π + kπ). [ 4 π + kπ, 4 π + kπ]. {kπ} { 5 kπ}. {kπ} { 4 π + kπ}. { kπ} 4. {kπ} { 4 π + kπ} 5. { 8 π + kπ} 6. { π + kπ} { 4 π + kπ} 7. {kπ} 8. { 6 π + kπ} 9. { π + kπ} 0. { 6 π + kπ} { 5 6 π + kπ}. { 6 π + kπ} { 5 6 π + kπ}. { 4 π + kπ} { π + kπ}. { 4 π + kπ} { π + kπ} 4. { kπ} {kπ} 5. { 4 π + kπ} Serie D. (0 + kπ, π + kπ). ( 4 π + kπ, π + kπ]. [0 + kπ, π + kπ) 74

80 0.0 Wortelvergelijkingen. 6.. of of 0 6. of of 7. of p 4 0. p of of 6 7. of p 0. Wortelongelijkheden. [9, ). [ 6, 0). ( 5, 0) 4. [, 4] 5. (, 8 ) ( 0, ) 6. [, 5) 7. [4, ) 8. [, ] [, ) 9. (0, ) (4, ) 0. [, ) (8, ). [, 4) (4, ). [, 7). (, 4] 4. [4, 8] 5. (, ) (4, ) 6. (, ) 7. (, ) 8. [ 7, 64] 9. ( 5, ) (, 5) 0. [, 4) ( 4, ) 75

81 5. Antwoorden Noemer wortelvrij maken (etra stof) Breuksplitsen A (etra stof). ( ) ( ). ( ) ( + ). ( ) ( ) 4. ( + ) + ( ) 5. ( ) 6. ( ) + 4( ) 7. ( ) + ( ) 8. ( ) + 9. ( ) + ( ) 0. ( + ) ( + ). ( + ) ( + ). 6 ( ) ( + ) 6. ( + ) + ( ) ( + ) + 9 ( ) 5 5. ( ) 6. 6( ) + 8( ) 7. ( ) + 9 ( ) 8. 4( ) ( ) + 8( ) 0. 6( + ) 76

82 Breuksplitsen B (etra stof) ( ) ( ) + ( + ) ( ) 8. + ( ) 9. + (7 0)/( 4) + ( ) + 6( + ) 0. + ( + ) ( ) ( + ) ( ) (5 )/( ) ( 4)/( + ) 4 Inverse goniometrische functies (etra stof). De grafiek van y sin kon gespiegeld worden in de lijn y waarbij de beeldfiguur een grafiek van een functie bleef als we voor het domein [ π, π] kozen. Bij dat domein hadden we te maken met een grafiek die overal stijgend is. Het moet geen probleem zijn in te zien dat dit ook geldt voor een grafiek die overal daalt. Dus met een domein [ π, π] zou de beeldfiguur ook een grafiek van een functie zijn. Dit is met een grafische rekenmachine te controleren door voor de TI-8 in te voeren: ysin() en dan met DrawInv y uit het Draw-menu te kijken naar de gespiegelde grafiek. Datzelfde kun je gaan controleren voor y cos binnen [0, π].. Zie boven. 77