10 ALGEMENE SINUSFUNCTIE

Transcriptie

1 Algemene sinusfunctie Afstandsleren - verbetersleutel ALGEMENE SINUSFUNCTIE 10.1 Astronomische daglengte Onder astronomische daglengte verstaan we de tijd die verloopt tussen zonsopgang en zonsondergang. Die tijd varieert van dag tot dag. Bij het begin van de lente (1 maart) en de herfst (1 september) is de daglengte ongeveer 1 uur. Voor Ukkel bedraagt deze daglengte (uitgedrukt in uren en minuten) ongeveer: Datum Daglengte 8u4 10u30 1u18 14u1 15u48 16u30 Datum Daglengte 15u48 14u1 1u18 10u4 8u4 8u0 Gevraagd : bestaat er een functievoorschrift dat het verband aangeeft tussen de astronomische daglengte en de dag van het jaar? kan men de daglengte bepalen voor een willekeurige dag van het jaar, bijvoorbeeld op 5 mei? 10. Analyse van het probleem Om een duidelijker beeld te krijgen van het probleem, volstaat het de waarnemingen uit te zetten in een grafiek. Aangezien wij in de wiskunde bij functieonderzoek meestal werken met functies in R zullen wij de numerieke gegevens eerst omrekenen naar reële waarden d.w.z. : minuten omrekenen naar decimale uren; datum vervangen door de rangorde van de dag van het jaar. Dit leert de volgende tabel gegevens : Dag Daglengte 8,7 10,5 1,3 14, 15,8 16,5 Dag Daglengte 15,8 14, 1,3 10,4 8,7 8,0

2 Algemene sinusfunctie Afstandsleren - verbetersleutel 6 Plot deze punten in dit assenstelsel en verbind ze door een vloeiende lijn. Welke vorm herken je in deze grafiek? sinusoïde Om het wiskundige voorschrift van deze (benaderende) functie te bepalen, maken we eerst een studie van de algemene sinusfunctie De algemene sinusfunctie De grafiek van de algemene sinusfunctie : [ b(x c) ] d f : x asin + kan uit de grafiek van de sinusfunctie met voorschrift y = sin x afgeleid worden door uitrekkingen en verschuivingen. We trachten aan de hand van concrete voorbeelden uit te zoeken welke rol de coëfficiënten a, b, c en d vervullen in het voorschrift. We vertrekken van de gewone sinusfunctie die je al kent van vroeger.

3 Algemene sinusfunctie Afstandsleren - verbetersleutel De functie y = sin x We schetsen de grafiek van de functie y = sin x hieronder: Van deze functie ken je het domein: R de beeldverzameling (of bereik): [-1, 1] de nulpunten: k π met k Z de periode: π We voeren nog drie nieuwe begrippen in: de evenwichtslijn: dit is een horizontale lijn waarrond de grafiek zich beweegt. de evenwichtslijn van de sinusoïde is: x-as met vergelijking y = 0 de amplitude: dit is de grootste uitwijking ten opzichte van de evenwichtslijn. de amplitude van de sinusoïde is: 1 de frequentie: dit is het aantal doorlopen periodes in het interval [ 0,π] de frequentie van de sinusoïde is: 1

4 Algemene sinusfunctie Afstandsleren - verbetersleutel De rol van b Schets de grafiek van de volgende functies 1 f 1 : y = sin(x) f : y = sin x Bepaal voor deze twee functies: Welk verband is er tussen de grafieken van f en f 1? de grafiek van f horizontaal uitrekken met factor 1 = 1 geeft de grafiek van f 1 b Welk verband is er tussen de grafieken van f en f? de grafiek van f horizontaal uitrekken met factor f 1 f beeldverzameling [-1, 1] [-1, 1] nulpunten k π met k Z k π met k Z periode π 4π evenwichtslijn y = 0 y = 0 amplitude 1 1 frequentie 0,5 1 = geeft de grafiek van f b De grafiek van y = sin(bx) wordt bekomen door de grafiek van y = sin x horizontaal uit te rekken met factor 1 b. De periode is π en de frequentie is b. b De periode De amplitude De evenwichtslijn π en de frequentie is b. b 1 en blijft ongewijzigd y = 0 blijft ongewijzigd

5 Algemene sinusfunctie Afstandsleren - verbetersleutel De rol van c Schets de grafiek van de volgende functies π f 3 : y = sin x 4 f 4 : π y = sin x + Bepaal van deze twee functies: f 3 f 4 beeldverzameling [-1, 1] [-1, 1] nulpunten π π + k π met k Z + k π met k Z 4 periode π π evenwichtslijn y = 0 y = 0 amplitude 1 1 frequentie 1 1 Welk verband is er tussen de grafieken van f en f 3? π de grafiek van f over verschuiven naar rechts geeft de grafiek van f3 4 Welk verband is er tussen de grafieken van f en f 4? π de grafiek van f over verschuiven naar links geeft de grafiek van f4 De grafiek van y = sin(x-c) wordt bekomen door de grafiek van y = sin x te verschuiven over een afstand c. Is c > 0 dan verschuiven we naar rechts. Is c < 0 dan verschuiven we naar links. De periode π blijft ongewijzigd, de frequentie blijft 1 De amplitude 1 blijft ongewijzigd De evenwichtslijn y = 0 blijft ongewijzigd

6 Algemene sinusfunctie Afstandsleren - verbetersleutel De rol van a 1 f 5 : y = sin(x) f 6 : y = sin(x) Bepaal van deze twee functies: f 5 f 6 beeldverzameling [-, ] 1 1, nulpunten kπ met k Z kπ met k Z periode π π evenwichtslijn y = 0 y = 0 amplitude 1 frequentie 1 1 Welk verband is er tussen de grafieken van f en f 5? de grafiek van f verticaal uitrekken met factor geeft de grafiek van f 5 Welk verband is er tussen de grafieken van f en f 6? de grafiek van f verticaal uitrekken met factor 1 geeft de grafiek van f 6 De grafiek van y =a sin x wordt bekomen door de grafiek van y = sin x verticaal uit te rekken met factor a. De amplitude is a. De periode π blijft ongewijzigd, de frequentie blijft 1 De amplitude a De evenwichtslijn y = 0 blijft ongewijzigd

7 Algemene sinusfunctie Afstandsleren - verbetersleutel De rol van d f 7 : y = sin(x) 1 f 8 : y = sin(x) + Bepaal van deze twee functies: f 7 f 8 beeldverzameling [-, 0] [1,3] nulpunten π geen + k π met k Z periode π π evenwichtslijn y = -1 y = amplitude 1 1 frequentie 1 1 Welk verband is er tussen de grafieken van f en f 7? de grafiek van f 1 naar onder verschuiven geeft de grafiek van f 7 Welk verband is er tussen de grafieken van f en f 8? de grafiek van f naar boven verschuiven geeft de grafiek van f 8 De grafiek van y = sin x + d wordt bekomen door de grafiek van y = sin x te verschuiven over een afstand d. Is d > 0 dan verschuiven we naar boven. Is d < 0 dan verschuiven we naar beneden. De periode π blijft ongewijzigd, de frequentie blijft 1 De amplitude 1 blijft ongewijzigd De evenwichtslijn y = d