Formuleverzameling. Logaritmische en exponentie le functie. Trigoniometrische functies. Sinus-en cosinusregel in een driehoek.

Transcriptie

1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur 6 september reeks - p. /6 Formuleverzameling 2, 4; 3, 73 Logaritmische en eponentie le functie e = lim ( + /) 2, 72 loga =a log = y = ay (a R+ 0 \ {}) ln = loge ; ep() = e loga (y) = loga + loga y loga y = loga loga y loga (n ) = n loga loga b logb c = loga c a+y = a ay ; ay = (a )y Trigoniometrische functies sin α cos α tg α = tan α = cos α ; cotg α = cot α = sin α = tan α sec α = cos α ; cosec α = sin α Bgsin = arcsin, ( ) Bgcos = arccos, ( ) Bgtan = arctg = arctan ; Bgcot = arccot Bgsec = arcsec, ( ) Bgcosec = arccosec ( ) sin2 α + cos2 α = ; tan2 α + = sec2 α; + cot2 α = cosec 2 α cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β tan(α ± β) = (tan α ± tan β)/( tan α tan β) 2 tan α sin 2α = 2 sin α cos α = +tan 2α cos 2α = cos2 α sin2 α = 2 sin2 α = 2 cos2 α = 2 tan α tan 2α = tan 2α tgα cotgα sin α α 0 tan2 α +tan2 α α β α β α+β sin α + sin β = 2 sin α+β 2 cos 2 ; sin α sin β = 2 sin 2 cos 2 α β α+β α β cos α + cos β = 2 cos α+β 2 cos 2 ; cos α cos β = 2 sin 2 sin 2 2 sin α cos β = sin(α + β) + sin(α β) 2 cos α cos β = cos(α + β) + cos(α β) 2 sin α sin β = cos(α + β) cos(α β) Sinus-en cosinusregel in een driehoek a b c = = sin α sin β sin γ c2 = a2 + b2 2ab cos γ α c b γ β a Verzamelingenleer AT B is de verzameling van alle elementen die tot A of tot B behoren. A B is de verzameling van alle elementen die tot A en tot B behoren. A \ B is de verzameling van alle elementen die tot A maar niet tot B behoren. A B als alle elementen van A ook tot B behoren. cos α

2 IJkingstoets burgerlijk ingenieur 6 september reeks - p. 2/6 Afstanden en hoeken in het vlak en in de ruimte (cartesiaans assenstelsel) p Afstand tussen twee punten p (, y ) en p2 (2, y2 ) in het vlak: p p2 = (2 )2 + (y2 y )2 a0 + by0 + c Afstand van het punt p(0, y0 ) tot de rechte L a + by + c = 0 in het vlak: d(p, L) = a2 + b2 ~u ~v 2 + y y2 p Hoek α tussen twee vectoren ~u(, y ) en ~v (2, y2 ) in het vlak: cos α = =p 2 k~uk k~uk + y y22 Afstand p tussen twee punten p (, y, z ) en p2 (2, y2, z2 ) in de ruimte: p p2 = (2 )2 + (y2 y )2 + (z2 z )2 Afstand van het punt p(0, y0, z0 ) tot het vlak γ a + by + cz + d = 0 in de ruimte: a0 + by0 + cz0 + d d(p, γ) = a2 + b2 + c2 Hoek α tussen twee vectoren ~u(, y, z ) en ~v (2, y2, z2 ) in de ruimte: ~u ~v 2 + y y2 + z z2 p cos α = =p 2 k~uk k~uk + y2 + z y22 + z22 Tweedegraadsvergelijkingen met ree le coe fficie nten a2 + b + c = 0, a 6= 0 D = b2 4ac D Als D > 0;,2 = b± ; a2 + b + c = a( )( 2 ) 2a b Als D = 0, = 2 = 2a ; a2 + b + c = a( )2 Als D < 0, geen ree le oplossingen. Afgeleiden f () f 0 () f () f 0 () g() ± h() g 0 () ± h0 () g(h()) g()h() g() h() g 0 ()h() + g()h0 () g 0 ()h() g()h0 () (h())2 g ()(inverse) q, q Q qq g 0 (h())h0 () 0 g (g ()) ln a ( < ) 2 ( < ) , ( > ) 2, ( > ) 2 e a ln a log e Bgsin a ln a Bgcos sin cos cos sin Bgtan tan sec2 Bgcot cot cosec 2 Bgsec sec tan sec cosec cot cosec Bgcosec

3 IJkingstoets burgerlijk ingenieur 6 september reeks - p. 3/6 Primitieven Z f () f ()d g 0 () g() + C, 6= 0 ln + C ln ln + C k2 2 Bgsin k + C ln + k C k2 +2,a 2 a2 6= 0 2a ln a +a +C R R 0 () d = Substitutie: f (g())g f (u) du R R 0 Partie le integratie: u()v () d = u()v() v()u0 () d

4 IJkingstoets burgerlijk ingenieur 6 september reeks - p. 4/6 Oefening Hieronder zie je de grafieken van twee ree le functies, links van de functie f, rechts van de functie g. De schaal in beide tekeningen is dezelfde. Wat is het verband tussen g en f? (A) Voor alle R is g() = f (/2 /2). (C) Voor alle R is g() = f (/2) /2. (D) Voor alle R is g() = f (2 /2). g f (B) Voor alle R is g() = f (/2 + /2). (E) Voor alle R is g() = f (2) /2. Oefening 2 De olympische schans van Garmisch Partenkirchen kunnen we modelleren door een lijnstuk in het cartesische vlak door de punten A(0,a) en B(b,0) met lengte 04 m en torenhoogte a=60 m. De hoek θ is de hellingshoek van deze schans (=hoek van de schans met de horizontale). Welk van onderstaande beweringen is correct? (A) cos θ = 60/04 (B) sin θ = 60/04 (C) tan θ = 60/04 (D) cot θ = 60/04 (E) arctanθ = 60/04 Oefening 3 Z Bereken I = (A) ln 4 (B) 2 ln 4 (C) 2(ln 4)2 (D) 2(ln 2)2 (E) 3 4 ln d

5 IJkingstoets burgerlijk ingenieur 6 september reeks - p. 5/6 Oefening 4 Volgens de montagehandleiding van een kast, kan je deze best monteren met de voorzijde naar beneden, om daarna te kantelen. De afmetingen van de kast zijn 00 cm 60 cm 200 cm (breedte diepte hoogte). Veronderstel dat onderstaande ruimtes allemaal groter zijn dan 4 m 4 m, maar een verschillende hoogte hebben. De kelder heeft een hoogte van 205 cm, de zolder een hoogte van 220 cm, de keuken een hoogte van 240 cm en de living een hoogte van 265 cm. In welk van deze ruimtes kan de kast gekanteld worden zonder het plafond te raken? (A) In geen van bovenstaande ruimtes. (B) Enkel in de living. (C) Enkel in de living en de keuken. (D) Enkel in de living, de keuken en de zolder. (E) In alle bovenstaande ruimtes. Oefening 5 Welk perspectief kan bij het onderstaande grondplan horen?

6 IJkingstoets burgerlijk ingenieur 6 september reeks - p. 6/6 Oefening 6 Beschouw de onderstaande functies: f : R R : 7 f () = 2 f2 : R R : 7 f2 () = f3 : R R : 7 f3 () = sin() f4 : R R : 7 f4 () = 2 We beschouwen verder de samengestelde functies fi (sin()) (voor i =, 2, 3, 4). Indien de functie fi periodiek is, noteren we de periode in van de functie fi (sin()) als Pi. Is de functie fi niet periodiek, dan stellen we Pi = 0. Wat is de waarde van P + P2 + P3 + P4? (A) 4π (B) 5π (C) 6π (D) 7π (E) 8π Oefening 7 Bepaal tan[arccos( 2 )] (A) 3 (B) 3 (C) 3/3 (D) 3/3 Oefening 8 Hoeveel (ree le) oplossingen heeft de vergelijking = 2 +? (A) 0 (B) (C) 2 (D) 3 (E) 4 (E) 3/2

7 IJkingstoets burgerlijk ingenieur 6 september reeks - p. 7/6 Oefening 9 Bij het verwachte verloop van een griepepidemie wordt het volgende model gehanteerd voor het geschatte aantal nieuwe besmettingen op dag t (t > 0): 2 N (t) = 80e 0.04(t 20) Het tijdstip T is het tijdstip waarop de toename van het aantal nieuwe gevallen het grootst is. Welke uitspraak is dan geldig? (A) T ligt in het interval [0,20[ (B) T is precies gelijk aan 20 (C) T ligt in het interval ]20,30[ (D) T ligt in het interval [30,40[ (E) T is meer dan 40 Oefening 0 In tekeningen, 2 en 3 wordt een object met een vaste vorm afgebeeld, telkens vanuit een ander standpunt. Welke is de logisch daaropvolgende tekening van dit object? A. 4B. 4C. 4D. 4E.

8 IJkingstoets burgerlijk ingenieur 6 september reeks - p. 8/6 Oefening Van een functie f : R R : 7 f () zegt men dat ze additief is als en slechts als, voor alle en y in R, f ( + y) = f () + f (y) Welke van de volgende uitspraken is correct? (A) f met f () = ln() is additief. (B) f met f () = e is additief. (C) f met f () = cos is additief. (D) f met f () = ( + 2)2 2( + 2) is additief. (E) f met f () = ( + 2)2 ( 2)2 is additief. Oefening 2 Beschouw de volgende punten in het y-vlak: P = (5, 0), Q = (5, 5), R = (0, 5), S = ( 3, 4) en T = ( 5, 5). Welke van de volgende antwoorden bestaat uit drie punten die behoren tot dezelfde cirkel met middelpunt in de oorsprong? (A) P, Q, R (B) Q, S, T (C) Q, R, T (D) P, R, T (E) P, R, S Oefening 3 Een comple getal z kunnen we schrijven als z = a + ib met a en b ree le getallen en i2 =. Beschouw volgende vierkantsvergelijking ( i)z 2 + (3 + 2i)z (2 i) = 0 Welke van onderstaande getallen is een oplossing van deze vergelijking? (A) i (B) i 2 (C) 2 2i (D) 2i (E) 2 4i

9 IJkingstoets burgerlijk ingenieur 6 september reeks - p. 9/6 Oefening 4 Gegeven een kegelvormig vat met de top naar beneden, met een totale hoogte van m en met een bovenvlak van m2. Dit vat wordt via een kraan gevuld met water volgens een debiet van 0 liter per minuut. Bepaal een uitdrukking voor de hoogte van het water in het vat in functie van de tijd. Of, bepaal de functie h(t) met h de hoogte (uitgedrukt in meter) en t de tijd (uitgedrukt in minuten). Tip: De inhoud I van een kegel bereken je met I = GH 3, met G de oppervlakte van het grondvlak en H de hoogte van de kegel. (A) h(t) = (0.0t) 3 (B) h(t) = (0t) 3 (C) h(t) = (30t) 3 (D) h(t) = (0.03t) 3 (E) h(t) = (0.03t)3 Oefening 5 B. C. D. PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT A. E. PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT Als je uitsluitend de vier onderstaande stukken hebt om een kubus te stapelen, welke stapeling is dan onmogelijk? De afzonderlijke blokjes waaruit de stukken zijn samengesteld, hebben aan iedere zijde dezelfde kleur en de stukken kunnen niet uiteen worden gehaald in afzonderlijke blokjes.

10 IJkingstoets burgerlijk ingenieur 6 september reeks - p. 0/6 Oefening 6 Betreffende een soort kever weten we het volgende: de kevers sterven enkel in de winter; van de nuljarigen overleeft 4 de eerste winter; de helft hiervan overleeft ook de tweede winter; geen enkele kever overleeft de derde winter. Een kever die de eerste winter overleeft, noemen we een eenjarige kever. Elke eenjarige kever brengt vlak na de eerste winter 2 nakomelingen ter wereld. Elke tweejarige kever brengt vlak na de tweede winter 4 nakomelingen ter wereld. We starten vlak voor de winter van 20 met een populatie van 200 nuljarigen, 600 eenjarigen en 300 tweejarigen. Wat is dan de totale populatie vlak voor de winter van 203? (A) 200 (B) 2550 (C) 2750 (D) 3000 (E) 5250 Oefening 7 Beschouw de functie f : R R : 7 f () = Bepaal het absolute minimum van deze functie voor [0, 3]. (A) -5 (B) 0 (C) 5 (D) (E) 27 Oefening 8 Een ontwerper moet een doosje voor ronde pralines met een diameter van 2 cm ontwerpen. Hij ontwerpt een vierkant doosje met tussenschotten volgens de diagonalen, zodanig dat de pralines er net in passen. Welke van onderstaande waardes is de beste benadering voor de lengte van de zijde van het doosje? De dikte van de tussenschotten mag verwaarloosd worden. (A) 4 cm (B) 4.4 cm (C) 4.8 cm (D) 5. cm (E) 5.4 cm

11 IJkingstoets burgerlijk ingenieur 6 september reeks - p. /6 Oefening 9 Een foute positie- en lenskeuze door een fotograaf resulteerde in een sterk vervormde foto. Gegeven is dat de vervorming lineair was, zodat het punt met coo rdinaten (, y) na vervorming terechtkwam op de locatie met coo rdinaten (0, y 0 ) waarbij 0 = A y0 y () met A een ree le 2 2 matri. Bovendien weten we dat punten met coo rdinaten van de vorm (α, 2α) na vervorming terechtkwamen op (3α, 6α). Punten met coo rdinaten van de vorm (2α, α) kwamen terecht op (8α, 9α). Wat is de som van de elementen van de matri A? (A) 3 (B) 4 (C) 9 (D) 2 (E) 36 Oefening 20 Welk object kan je openplooien tot onderstaande vlakke figuur? B. C. D. PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT A. E. PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

12 IJkingstoets burgerlijk ingenieur 6 september reeks - p. 2/6 De samengestelde oefeningen bestaan telkens uit 3 deelvragen. Samengestelde oefening Beschouw het punt a met coo rdinaten (2 sin 4, 2 cos 4) (hoeken in radialen). Vraag 2 Waar situeert het punt a zich? (A) in het eerste kwadrant ( > 0, y > 0) (B) in het tweede kwadrant ( < 0, y > 0) (C) in het derde kwadrant ( < 0, y < 0) (D) in het vierde kwadrant ( > 0, y < 0) (E) op een coo rdinaatas (-as of y-as) Vraag 22 Wanneer de cirkel met middelpunt (0,0) en straal 2 doorlopen wordt in tegenwijzerzin vanaf het punt (2,0) tot het punt a, wordt een cirkelboog beschreven. Welke uitspraak over de lengte l van deze cirkelboog is correct? (A) l < 2 (B) 2 l < 3 (C) 3 l < 4 (D) 4 l < 6 (E) 6 l Vraag 23 Welk van onderstaande vectoren is een raakvector (= vector evenwijdig met de raaklijn) in het punt a aan de cirkel met middelpunt (0,0) en straal 2? (A) de vector met coo rdinaten (,0) (B) de vector met coo rdinaten (0, ) (C) de vector met coo rdinaten (cos 4, sin 4) (D) de vector met coo rdinaten ( sin 4, cos 4) (E) de vector met coo rdinaten (sin 4, cos 4)

13 IJkingstoets burgerlijk ingenieur 6 september reeks - p. 3/6 Samengestelde oefening 2 Bekijk onderstaande figuur met daarin de grafiek van de ree le functie f. We noteren met g de ree le functie met voorschrift g : R R : 7 g() = 2f (sin()). f () 2 Vraag 24 Bepaal g(π/3). (A) 0 (B) (C) 3 (D) (E) 2 3 Vraag 25 Bepaal de afgeleide f 0 (π/3). (A) - (B) 0 (C) /2 (D) (E) 2 Vraag 26 Bepaal de afgeleide g 0 (π/3). (A) -2 (B) - (C) 0 (D) 2 (E) 4

14 IJkingstoets burgerlijk ingenieur 6 september reeks - p. 4/6 Samengestelde oefening 3 Om twee wielen te koppelen in een aandrijfsysteem, wordt een riem gebruikt. De stralen van deze wielen zijn respectievelijk 20cm en 5cm, en de afstand tussen de centra van de wielen bedraagt 30cm (zie figuur). Vraag 27 Als het grote wiel omwenteling maakt, hoeveel omwentelingen maakt het kleine wiel dan? (A) /6 (B) /4 (C) (D) 4 (E) 6 Vraag 28 Als het grote wiel omwenteling per seconde maakt, welke snelheid heeft de riem dan? (A) m/s (B) 20 cm/s (C) 25π cm/s (D) 40π cm/s (E) 400π cm/s Vraag 29 Bereken de lengte van de riem. (A) 30(π 3) cm (B) 20(π + 3) cm (C) 30(π + 3) cm (D) 20(π 3) cm (E) 20(π + 3) cm

15 IJkingstoets burgerlijk ingenieur 6 september reeks - p. 5/6 Samengestelde oefening 4 De rechte a is de raaklijn aan de kromme in het y-vlak met cartesiaanse vergelijking y = 2 in het punt (3, 4). Vraag 30 Welke is de richtingscoe fficie nt van de rechte a? (A) 43 (B) 43 (C) 3 (D) (E) 2 Vraag 3 Welke van volgende vectoren is evenwijdig met de rechte a? (A) de vector met coo rdinaten (3, 4) (B) de vector met coo rdinaten (4, 3) (C) de vector met coo rdinaten ( 3, 4) (D) de vector met coo rdinaten ( 4, 3) (E) de vector met coo rdinaten (, 2) Vraag 32 Bepaal cos θ, met θ de scherpe hoek tussen de rechte a en de y-as. 3 4 (A) 2 (B) 2 (C) 2 (D) 43 (E) 45

16 IJkingstoets burgerlijk ingenieur 6 september reeks - p. 6/6 Samengestelde oefening 5 Gegeven de functie f met functievoorschrift 2 + f : R R : 7 f () = 2 Vraag 33 Welke asymptoten vertoont de grafiek van deze functie? (A) Enkel de vertikale asymptoten = en =. (B) De vertikale asymptoten = en = en de horizontale asymptoten y = en y =. (C) De vertikale asymptoten = en = en de schuine asymptoot y =. (D) De vertikale asymptoten = en = en de schuine asymptoten y = en y =. (E) De vertikale asymptoten = en = en de schuine asymptoten y = en y = +. Vraag 34 Welke lokale etrema vertoont de grafiek van deze functie? (A) Geen. (B) Twee lokale minima in = 3 en = 3 en een lokaal maimum in = 0. (C) Drie lokale minima in = 3 en = 3 en = 0. (D) Twee lokale minima in = 3 en = 3. (E) Twee lokale minima in = 3 en = 3. Vraag 35 Welke buigpunten vertoont de grafiek van deze functie? (A) Geen. (B) = 3 en = 3 en = 0. (C) = 3 en = 3 en = 0. (D) = 0. (E) = 3 en = 3.