Formuleverzameling. Logaritmische en exponentiële functie. Trigoniometrische functies. Sinus-en cosinusregel in een driehoek.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Formuleverzameling. Logaritmische en exponentiële functie. Trigoniometrische functies. Sinus-en cosinusregel in een driehoek."

Transcriptie

1 Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect Formuleverzameling, 4; 3, 73 Logaritmische en exponentiële functie e = lim ( + x /x)x, 7 log a x = a log x = y x = a y (a R + 0 \ {}) ln x = log e x; exp(x) = e x log a (xy) = log a x + log a y x log a y = log a x log a y log a (x n ) = n log a x log a b log b c = log a c a x+y = a x a y ; a xy = (a x ) y Trigoniometrische functies tg α = tan α = sin α cos α cos α ; cotg α = cot α = sin α = tan α sec α = cos α ; cosec α = sin α Bgsin x = arcsin x, ( x ) Bgcos x = arccos x, ( x ) Bgtan x = arctg x; Bgcot x = arccot x Bgsec x = arcsec x, ( x ) Bgcosec x = arccosec x ( x ) sin α + cos α = ; tan α + = sec α; + cot α = cosec α cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β tan(α ± β) = (tan α ± tan β)/( tan α tan β) sin α = sin α cos α = tan α +tan α cos α = cos α sin α = sin α = cos α = tan α +tan α tan α = tan α tan α sin α + sin β = sin α+β cos α β α β ; sin α sin β = sin cos α+β cos α + cos β = cos α+β cos α β α+β ; cos α cos β = sin sin α cos β = sin(α + β) + sin(α β) cos α cos β = cos(α + β) + cos(α β) sin α sin β = cos(α + β) cos(α β) sin α β sin α 0 tgα cotgα α cos α Sinus-en cosinusregel in een driehoek a sin α = b sin β = c sin γ c = a + b ab cos γ β c a α γ b Verzamelingenleer A B is de verzameling van alle elementen die tot A of tot B behoren. A B is de verzameling van alle elementen die tot A en tot B behoren. A \ B is de verzameling van alle elementen die tot A maar niet tot B behoren. A B als alle elementen van A ook tot B behoren.

2 Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect Afstanden en hoeken in het vlak en in de ruimte (cartesiaans assenstelsel) Afstand tussen twee punten p (x, y ) en p (x, y ) in het vlak: p p = (x x ) + (y y ) Afstand van het punt p(x 0, y 0 ) tot de rechte L ax + by + c = 0 in het vlak: d(p, L) = ax 0 + by 0 + c a + b u v Hoek α tussen twee vectoren u(x, y ) en v(x, y ) in het vlak: cos α = u u = x x + y y x + y x + y Afstand tussen twee punten p (x, y, z ) en p (x, y, z ) in de ruimte: p p = (x x ) + (y y ) + (z z ) Afstand van het punt p(x 0, y 0, z 0 ) tot het vlak γ ax + by + cz + d = 0 in de ruimte: d(p, γ) = ax 0 + by 0 + cz 0 + d a + b + c Hoek α tussen twee vectoren u(x, y, z ) en v(x, y, z ) in de ruimte: u v cos α = u u = x x + y y + z z x + y + z x + y + z Tweedegraadsvergelijkingen met reële coëfficiënten ax + bx + c = 0, a 0 D = b 4ac Als D > 0; x, = b± D a ; ax + bx + c = a(x x )(x x ) Als D = 0, x = x = b a ; ax + bx + c = a(x x ) Als D < 0, geen reële oplossingen. Afgeleiden f(x) f (x) f(x) f (x) g(x) ± h(x) g(x)h(x) g(x) h(x) x q, q Q e x a x sin x cos x tan x cot x sec x cosec x g (x) ± h (x) g (x)h(x) + g(x)h (x) g (x)h(x) g(x)h (x) (h(x)) qx q e x a x ln a cos x sin x sec x cosec x tan x sec x cot x cosec x g(h(x)) g (h(x))h (x) g (x)(inverse) g (g (x)) ln x x log x x ln a Bgsin x ( x < ) x Bgcos x ( x < ) x Bgtan x + x Bgcot x + x Bgsec x x, ( x > ) x Bgcosec x x, ( x > ) x

3 Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect 3 Primitieven f(x) f(x)dx g (x) x, x 0 ln x k x g(x) + C ln x + C x ln x x + C Bgsin x k + C k +x x a, a 0 ln x + k + x + C a ln x a x+a + C Substitutie: f(g(x))g (x) dx = f(u) du Partiële integratie: u(x)v (x) dx = u(x)v(x) v(x)u (x) dx

4 4 Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect Modelvragen Basiswiskunde Oefening. Zij f : R R een afleidbare functie. Gegeven is de grafiek van de afgeleide van f. Welke uitspraak is waar? (A) De functie f bereikt een lokaal minimum in 3. (B) De functie f bereikt een lokaal minimum in p. (C) De functie f bereikt een lokaal maximum in p. (D) De functie f bereikt een lokaal maximum in q. (E) De functie f bereikt een lokaal maximum in 3. Oefening. Hieronder zie je de grafieken van twee reële functies, links van de functie f, rechts van de functie g. De schaal in beide tekeningen is dezelfde. Wat is het verband tussen g en f? (A) Voor alle x R is g(x) = f(x + ). (B) Voor alle x R is g(x) = f(x ). f g (C) Voor alle x R is g(x) = f(x/ + ). (D) Voor alle x R is g(x) = f(x/ ). x x (E) Voor alle x R is g(x) = f(x /). Oefening.3 We noemen twee natuurlijke getallen onderling ondeelbaar als ze geen gemeenschappelijke delers hebben behalve. Dan bevat de lijst van de natuurlijke getallen,, 3, 4,, 0 precies n getallen die onderling ondeelbaar zijn met. Bepaal n. (A) n = 336 (B) n = 503 (C) n = 67 (D) n = 006 (E) n = 845

5 Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect 5 Oefening.4 Welke van onderstaande mogelijkheden is de afgeleide van de functie met voorschrift f(x) = (A) sin(x) sin(x) cos(x) sin(x)? (B) cos(x) sin(x) (C) (D) (E) cos(x) sin(x)+cos(x) cos(x) sin(x) cos(x) Oefening.5 Wat is de lengte van de cirkelboog die een hoek θ = /5 rad omsluit. De straal R van de cirkel is 5. De figuur dient enkel als principe-tekening; de hoek θ is niet met de juiste grootte getekend. (A)π (B) π 5 (C) (D)5π (E)5 Oefening.6 Een lineair stelsel met 7 vergelijkingen en 3 onbekenden (A) is altijd strijdig. (B) is nooit strijdig. (C) heeft in sommige gevallen precies 4 oplossingen. (D) heeft nooit oneindig veel oplossingen. (E) heeft in sommige gevallen oneindig veel oplossingen.

6 6 Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect Oefening.7 Gegeven een functie f : R R : x ae bx. Hierin is a, b R. Hieronder zie je de grafiek van f(x). Wat kan je besluiten over de parameters a en b? (A) a > 0 en b > 0 (B) a > 0 en b < 0 (C) a < 0 en b < 0 (D) a < 0 en b > 0 (E) b = 0 Oefening.8 Bepaal de vergelijking van de raaklijn die raakt in het punt ( 4, ) aan de cirkel in het xy-vlak met middelpunt (, 0) en straal 5. (A) x + y = 8 (B) x y = 7 (C) x + y = (D) x + y = 9 (E) x + y = 3 Oefening.9 Als x 4 + 4x 3 + 6px + 4qx +r deelbaar is door x 3 + 3x + 9x +3, dan is p(q+r) gelijk aan (A) (B)5 (C)8 (D) (E)4

7 Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect 7 Oefening.0 Een complex getal z kunnen we schrijven als z = a + ib met a en b reële getallen en i =. Dan zijn er onder de lijst van complexe getallen ( + i) 4, 4 ( i)4, 4 ( + i), ( i), i precies n die gelijk zijn aan -. Bepaal n. (A) n = (B) n = (C) n = 3 (D) n = 4 (E) n = 5 Oefening. Veronderstel dat x en y reële getallen zijn die voldoen aan e x = 3 e y. Wat mag je besluiten over x en y? (A) x = 3y. (B) x = y ln 3. (C) x = 3 + y. (D) x = y + ln 3. (E) x = y 3. Oefening. Bereken, indien mogelijk, volgende limiet: lim x / 4x 3 3x + 4x 3 4x + x (A) Deze limiet bestaat en is gelijk aan 0. (B) Deze limiet bestaat en is gelijk aan. (C) Deze limiet bestaat en ligt in het interval [, 0]. (D) Deze limiet bestaat en is gelijk aan +. (E) Deze limiet bestaat niet.

8 8 Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect Wiskundige combinatievragen Oefening. De functie x = f(y) is gedefinieerd via het verband yx n = C met n en C constant. Als y stijgt van tot 00, daalt x van 0 tot. Bereken 00 f(y)dy. (A) 99 (B)360 (C) 396 (D) 89 (E) 9999 Oefening. Bepaal de afgeleide van de functie f : R R met voorschrift f(x) = (A) f (x) = (B) f (x) = (C) f (x) = (D) f (x) = (E) f (x) = + cos(x) sin x cos x sin(x) cos(x) sin(x) sin x cos x[ cos(x) + sin(x)] [ + cos(x)] sin(x) [ + cos(x)] sin x cos x + cos(x). Oefening.3 We definiëren f(x) met volgend meervoudig voorschrift: f(x) = 0 als x 0 f(x) = x als x > 0 Onderstaande figuur geeft de grafiek van g(x) = a 0 f(x) + a f(x ) + a f(x ) + a 3 f(x 3) + a 4 f(x 4) + a 5 f(x 5) Bepaal a 3. (A)- (B)- (C)0 (D) (E)

9 Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect 9 Oefening.4 De grafiek van de functie f : R R is gegeven in onderstaande figuur. Definieer drie functies, α, β, γ : R R, met voorschriften α(t) = f(cos t) β(t) = f( cos(t/)) γ(t) = f(3 cos(t/3)) waarbij t R. Als a het maximum is van de functie α, b het maximum van de functie β en c het maximum van de functie γ, welk van de volgende uitspraken is dan geldig: (A) a = b = c (B) a > b > c (C) a < b < c (D) a = b c (E) a b = c Oefening.5 Bekijk onderstaande figuren met daarin de functies f(x) en g(x). Welke waarde is een benadering van de volgende uitdrukking (f g) (6)? We noteren met f g de functie van R naar R gegeven door (f g)(x) = f(g(x)) (voor x R). (A)- (B)- (C)0 (D) (E)

10 0 Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect Oefening.6 Hier zie je de grafiek van de functie f : R R : x + a e x. Hierin is a R. Wat kan je op basis van de grafiek besluiten over a? / 0 (A) a / (B) / < a < (C) a = (D) < a < (E) a Oefening.7 Welke van volgende integralen is strikt positief? (A) (B) (C) (D) (E) π π π π π π π π π 0 sin x + x dx cos x + x dx x 4 sin x dx x 4 cos x dx (x π/) cos x dx

11 Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect Oefening.8 Bepaal de x-coördinaat van de vector v 3 = v + v in het xy-vlak als je weet dat v een lengte heeft en een hoek van 30 maakt met de positieve x-as. v geöriënteerd is volgens de x-as v 3 een hoek α maakt met de positieve x-as (A) cos α (B) tan α (C) cot α (D) 3 cos α (E) 3 + cos α Oefening.9 De functie f : R R heeft als voorschrift f(t) = a e t/τ, met a en τ constant. Verder weten we dat f(0) = e en f() =. Bereken 0 f(t)dt (A) e- (B) e- (C) e (D) -/e (E) Oefening.0 Beschouw de kromme K bepaald door de vergelijking y = x 3/ in het vlak met cartesiaans assenstelsel xy. Welk punt van deze kromme ligt het dichtst bij het punt met coördinaten (/, 0)? (A) (0, 0) (B) (/, / 3/ ) (C) (/3, /3 3/ ) (D) (/4, /4 3/ ) (E) (, )

12 Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect Oefening. Onderstaande figuur geeft de grafiek weer van de functie f : R + R met als voorschrift f(t) = e t/τ cos(πt/t ), waarbij T en τ constant zijn. Bepaal T/τ. Oefening. (A) T/τ = 0. (B) T/τ = 0. (C) T/τ = /e (D) T/τ = e (E) T/τ = 5 Definieer de functie f : R R met als voorschrift Bepaal f(x) = n als n x < n + met n een geheel getal, m.a.w. n Z. 4 0 f(x)dx (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 0 (E)

13 Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect 3 3 Toepassingen Oefening 3. De grafiek stelt de snelheid voor van een bal die een rechtlijnige beweging uitvoert: Op welke(e) tijdstip(pen) is de bal het verst verwijderd van zijn positie op het tijdstip t = 0 s? (A) t = s. (B) t = 3 s. (C) t = 4 s. (D) t = 5 s. (E) t = s en t = 4 s. Oefening 3. De letter F uit onderstaande figuur is opgebouwd uit 7 vierkanten met elk zijde. Elk vierkant heeft dezelfde massa m. Het zwaartepunt van elk vierkant is gelegen in het midden van elk vierkant. Bepaal de coördinaten van het zwaartepunt van de volledige letter. Tip: de coördinaten van het zwaartepunt van een object dat samengesteld is uit twee objecten A en B is gegeven door ( m Ax A + m B x B, m Ay A + m B y B ). Hierbij zijn m A en m B de massa s van respectievelijk het m A + m B m A + m B object A en het object B. (x A, y A ) zijn de coördinaten van het zwaartepunt van object A; (x B, y B ) zijn de coördinaten van het zwaartepunt van object B. y (A) (3, 4) (B) (7/4, 5) (C) (/7, 5) (D) (5/7, 5) 0 x (E) (5/7, 33/7)

14 4 Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect Oefening 3.3 Onderstaande figuur geef het tijdsverloop aan van een wagen die vanuit rust met een constante versnelling vertrekt. Op de horizontale as staat de tijd in het kwadraat t. De grootte van de versnelling van de wagen is dan (A) 0,5 m/s (B),5 m/s (C),5 m/s (D) 5 m/s (E) 0 m/s Oefening 3.4 Een auto rijdt aan 95 km/u en haalt een.0 km lange trein in die in dezelfde richting rijdt op een spoor dat parallel loopt met de weg. Als de trein een snelheid van 75 km/u heeft, hoelang doet de auto er dan over om de trein in te halen? En welke afstand zal de auto in die tijd afgelegd hebben? (A) minder dan.5 min en minder dan.5 km (B) minder dan.5 min en meer dan.5 km (C) meer dan.5 min en minder dan 7.5 km (D) meer dan.5 min en meer dan 7.5 km (E) Geen van voorgaande antwoorden is correct

15 Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect 5 Oefening 3.5 Schip A bevindt zich 65 km ten westen van schip B in open zee. Om 9 uur s morgens begint schip A naar het zuiden te varen aan 5 km/u, en begint schip B naar het westen te varen aan 0 km/u. Op welk tijdstip zijn beide schepen het dichtst bij elkaar? (A) Om 0 uur zijn de schepen het dichtst bij elkaar (B) Om 0u30 zijn de schepen het dichtst bij elkaar (C) Om uur zijn de schepen het dichtst bij elkaar (D) Om uur zijn de schepen het dichtst bij elkaar (E) Om u30 zijn de schepen het dichtst biji elkaar Oefening 3.6 Een mier legt een afstand van 0,0 cm over de x as af in,00 s. Daarna draait ze naar links over een hoek van 30, 0 en loopt nog eens 0,0 cm in,80 s in een rechte lijn. Tenslotte draait ze nog een draai van 70, 0 naar links en legt weer 0,0 cm af langs een rechte lijn, deze keer in,55 s. Bepaal de x en y component van de eindpositie van de mier. (A) x > 5 en y > 5 (B) x > 5 en y < 5 (C) x < 5 en y > 5 (D) x < 5 en y < 5 (E) Geen van voorgaande antwoorden is correct Oefening 3.7 De breedte b, de lengte l en de hoogte h van een balkvormig voorwerp zijn op een bepaald ogenblik respectievelijk 0 cm, 5 cm en 3 cm. De breedte en de hoogte groeien allebei op dat ogenblik met een snelheid van cm/s. De lengte neemt af met een snelheid van cm/s. Hoe snel groeit het volume van het voorwerp op het gegeven ogenblik? (A) 4 cm 3 /s. (B) 35 cm 3 /s. (C) 95 cm 3 /s. (D) 00 cm 3 /s. (E) 60 cm 3 /s.

16 6 Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect Oefening 3.8 Een glijbaan moet bekleed worden met een gladde folie. In de onderstaande figuur wordt een doorsnede van de glijbaan getoond. Het eerste stuk, AB, is een recht stuk van 6m lang dat een hoek maakt van 60 met de horizontale. Het tweede stuk is een cirkelboog die in B raakt aan het eerste stuk, en die in C raakt aan de horizontale. Het hoogteverschil tussen B en C bedraagt m. Het laatste stuk is een horizontaal stuk van lengte m. Hoe lang (uitgedrukt in m) moet de folie zijn? A (A) 7 + 4π/3 6m (B) π/3 60 m B C m D (C) 7 + π (D) 7 + π/3 (E) Samengestelde oefening Je plaatst een ladder van 5 meter lengte op een horizontale vloer tegen een verticale muur. Als de ladder onderaan op de vloer steunt op een afstand van x v meter van de muur, steunt hij bovenaan op een hoogte van y m meter tegen de muur. Vraag 3.9 Zoek de functie f die y m uitdrukt in functie van x v (dus y m = f(x v )). Bepaal f(3). (A) (B) (C) 3 (D) 4 (E) 5 Vraag 3.0 Bereken de afgeleide van f in x v = 3. (A) -/8 (B) -/4 (C) -/ (D) -3/4 (E) - Vraag 3. De ladder schuift uit en de positie van het steunpunt x v hangt af van de tijd t, x v = g(t). Hierdoor is ook de hoogte y m tijdsafhankelijk: y m = f(g(t)) = h(t). Op tijdstip t 0 is x v = g(t 0 ) = 3 en is de afgeleide g (t 0 ) = 4 Bereken de afgeleide h (t 0 ). (A) -6/3 (B) -3 (C) (D) 3t 0 (E) 4t 0

17 Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect 7 Samengestelde oefening De schepbak van een kleine graafmachine is verbonden aan de hefarm ACDE, die roteert rond het punt A. Een zuiger BC is met scharnieren verbonden aan het frame van de machine (in het punt B) en aan de arm van de schepbak (in het punt C). De schepbak wordt opgetild door de lengte van de zuiger BC te vergroten. De linkerhelft van de figuur toont de machine met de hefarm in de rusttoestand. De rechterhelft van de figuur toont een andere stand van de machine. De stand van de schepbak hangt af van de geöriënteerde hoek α tussen de positieve x-as en de lijn AC. Dit betekent dat stand (linkerfiguur) α < 0 en voor stand (rechterfiguur) α > 0. D E C A α A α B C D B y E y x x Vraag 3. De baan die het punt C volgt om van stand (linkerfiguur) naar stand (rechterfiguur) te bewegen is (A) een cirkelboog met centrum in A (B) een cirkelboog met centrum in B (C) een stuk van een parabool (D) een stuk van een ellips (E) een lijnstuk Vraag 3.3 De raaklijn aan de baan uit vorige vraag in het punt C voor stand (linkerfiguur) (A) is vertikaal (B) is horizontaal (C) maakt een hoek α met de horizontale x-as (D) maakt een hoek α met de vertikale y-as (E) maakt een hoek van 45 met de horizontale x-as Vraag 3.4 De eenheidsvector evenwijdig met de raaklijn uit vorige vraag is gegeven door (A) (, 0) (B) ( /, /) (C) (cos α, sin α) (D) (cos α, sin α) (E) ( sin α, cos α)

18 8 Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect 4 Ruimtelijk inzicht Toelichting vragen ruimtelijk inzicht De toets bevat vragen die je ruimtelijk inzicht meten. Er wordt gebruik gemaakt van enkele begrippen die hier kort toegelicht worden. Een ruimte van maximaal 5 bij 5 bij 5 identieke kubussen De figuur hieronder links toont een object dat opgebouwd is uit kubussen in een ruimte van maximaal 5 bij 5 bij 5 identieke kubussen. Rechts zie je de dezelfde figuur, waarbij de grenzen tussen vlakken van kubussen die in elkaars verlengde liggen niet meer getekend worden. Isometrische voorstelling Een isometrische voorstelling is één van de manieren om een driedimensioneel object in twee dimensies weer te geven. Wat dit is wordt verder toegelicht. De figuur hieronder links geeft een beeld van een kubus met de schaduw op het vlak waarop hij rust. Randen die enkel zichtbaar zijn als de vlakken doorzichtig zijn, worden voorgesteld in stippellijn. De figuur rechts geeft een isometrische voorstelling: verticale randen lopen van boven naar onder op het tekenblad en randen die in de ruimte weg van de waarnemer lopen worden getekend onder 30 ten opzichte van een lijn van links naar rechts op het blad. Het hoekpunt vooraan-boven en onderaan-achter valt samen bij deze voorstelling.

19 Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect 9 De figuur hieronder bevat links een isometrische voorstelling van de kubus, zonder schaduw en met ondoorzichtige vlakken. Een dikke lijn geeft de grens aan van het object met de omgevende lucht vanuit de waarnemer gezien. Hieronder rechts wordt de isometrische voorstelling van een object getoond dat bekomen werd door het samensmelten van kleine kubussen in een ruimte van maximaal 5 bij 5 bij 5 identieke kubussen. Doorsnedes We beschouwen nu een doorsnede van een object. Hiertoe wordt een doorzichtig snijvlak aangegeven en een kijkrichting: De letters AB bevinden zich in het snijvlak en zijn vanuit het standpunt van de waarnemer normaal leesbaar De streepjes aan de hoeken van het vlak bevinden zich achter het snijvlak vanuit de waarnemer gezien Bij de voorstelling van de snede gelden volgende conventies: Delen van het object die gesneden worden hebben een dikke rand en zijn grijs ingekleurd Delen waarop men kijkt hebben een dunne rand en zijn niet ingekleurd Delen voor het snijvlak (ten opzichte van de waarnemer) hebben een streepjeslijn als grens en zijn niet ingekleurd Een dikke lijn heeft voorrang op een dunne, die op zijn beurt voorrang heeft op een streepjeslijn. Onderstaande figuren tonen een voorbeeld. Links wordt een object getoond dat bekomen werd door het samensmelten van kleine kubussen in een ruimte van maximaal 5 bij 5 bij 5 kubussen. De doorsnede AB is rechts getekend.

20 0 Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect Oefening 4. Bij deze vraag dien je gebruik te maken van de toelichting vragen ruimtelijk inzicht. Het object uit de figuur is bekomen door het samensmelten van kleine kubussen in een ruimte van maximaal 5 bij 5 bij 5 identieke kubussen. Kies op basis van de ruimtelijke isometrische voorstelling in de figuur boven links welke voorstelling van de snede correct is. De positie van de letters AB in de snedetekening heeft enkel tot doel om de kijkrichting aan te geven en heeft geen verband met de positie van de letters in de isometrie. (A) (B) (C) (D) (E) Oefening 4. Bij deze vraag dien je gebruik te maken van de toelichting vragen ruimtelijk inzicht. Het object uit de figuur is bekomen door het samensmelten van kleine kubussen in een ruimte van maximaal 5 bij 5 bij 5 identieke kubussen. Kies op basis van de ruimtelijke isometrische voorstelling in de figuur boven links welke voorstelling van de snede correct is. De positie van de letters AB in de snedetekening heeft enkel tot doel om de kijkrichting aan te geven en heeft geen verband met de positie van de letters in de isometrie. (A) (B) (C) (D) (E)

21 Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect Oefening 4.3 Welk object kan je openplooien tot bijgevoegde figuur? Oefening 4.4 Welk object kan je openplooien tot bijgevoegde figuur?

22 Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect Correcte antwoorden. E. B.3 C.4 A.5 C.6 E.7 C.8 D.9 A.0 C. D. C. B. A.3 E.4 E.5 B.6 D.7 B.8 C.9 B.0 C. B. B 3. A 3. E 3.3 D

23 Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect C 3.5 C 3.6 B 3.7 D 3.8 A 3.9 D 3.0 D 3. B 3. A 3.3 D 3.4 E 4. E 4. C 4.3 D 4.4 D

Ijkingstoets 4 juli 2012

Ijkingstoets 4 juli 2012 Ijkingtoets 4 juli 2012 -vragenreeks 1 1 Ijkingstoets 4 juli 2012 Oefening 1 In de apotheek bezorgt de apotheker zijn assistent op verschillende tijdstippen van de dag een voorschrift voor een te bereiden

Nadere informatie

Meet je kennis! Modelvragen ijkingstoets. burgerlijk ingenieur burgerlijk ingenieur-architect

Meet je kennis! Modelvragen ijkingstoets. burgerlijk ingenieur burgerlijk ingenieur-architect burgerlijk ingenieur burgerlijk ingenieur-architect Meet je kennis! Modelvragen ijkingstoets v.u.: Jelle De Borger, Kasteelpark Arenberg, 300 Heverlee Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk

Nadere informatie

Modelvragen ijkingstoets. 1 Redeneren

Modelvragen ijkingstoets. 1 Redeneren Modelvragen ijkingtoets - KU Leuven, Groep W&T - versie 26 juni 2012 1 Modelvragen ijkingstoets Onderstaande vragen staan model voor de ijkingstoets georganiseerd door de groep wetenschap en technologie

Nadere informatie

Formuleverzameling. Logaritmische en exponentie le functie. Trigoniometrische functies. Sinus-en cosinusregel in een driehoek.

Formuleverzameling. Logaritmische en exponentie le functie. Trigoniometrische functies. Sinus-en cosinusregel in een driehoek. IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 204 - reeks - p. /8 Formuleverzameling 2, 4; 3, 73 Logaritmische en eponentie le functie e = lim ( + /) 2, 72 loga =a log = y = ay (a R+ 0 \ {}) ln = loge ; ep()

Nadere informatie

Formuleverzameling. Logaritmische en exponentie le functie. Trigoniometrische functies. Sinus-en cosinusregel in een driehoek.

Formuleverzameling. Logaritmische en exponentie le functie. Trigoniometrische functies. Sinus-en cosinusregel in een driehoek. IJkingstoets burgerlijk ingenieur 6 september 203 - reeks - p. /6 Formuleverzameling 2, 4; 3, 73 Logaritmische en eponentie le functie e = lim ( + /) 2, 72 loga =a log = y = ay (a R+ 0 \ {}) ln = loge

Nadere informatie

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 5 september 204 - reeks 4 - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 204: algemene feedback In totaal namen 286 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 5 september 204 - reeks - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 204: algemene feedback In totaal namen 286 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 5 september 204 - reeks 2 - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 204: algemene feedback In totaal namen 286 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2013: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2013: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 6 september 203 - reeks - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 203: algemene feedback In totaal namen 245 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback IJkingstoets juni 4 - reeks - p. / Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op juni 4: algemene feedback In totaal namen studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel ingenieur

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 2015 Oplossingen

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 2015 Oplossingen IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 15 Oplossingen IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 15 - p. 1/1 Oefening 1 Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag zonder score, wel

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 15 september 2014: algemene feedback

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 15 september 2014: algemene feedback IJkingstoets 5 september 04 - reeks - p. /0 Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 5 september 04: algemene feedback In totaal namen 5 studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel

Nadere informatie

Niveau 1. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan. 1p. x + 6. 4x + 3. 4x 2 + 3. x 2 + 3x + 3. x 2 + 27

Niveau 1. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan. 1p. x + 6. 4x + 3. 4x 2 + 3. x 2 + 3x + 3. x 2 + 27 1p. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan x + 6 4x + 3 4x 2 + 3 x 2 + 3x + 3 Niveau 1 1p. 1p. 1p. x 2 + 27 Opgave 2. Als a log b = 64, dan is a2 log (b 3 ) gelijk aan 6 48 28/3 96 512 Opgave

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Actief gedeelte - Maken van oefeningen

Actief gedeelte - Maken van oefeningen Actief gedeelte - Maken van oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x 2. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? (A) x 2 (B) x 2 [ ] 4 (C) x, 2 [ ] 2 (D) x, 2 Oefening 2

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 2013: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 2013: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 1 juli 013 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 013: algemene feedback In totaal namen 61 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur die

Nadere informatie

burgerlijk ingenieur burgerlijk ingenieur-architect Meet je kennis! www.ijkingstoets.be

burgerlijk ingenieur burgerlijk ingenieur-architect Meet je kennis! www.ijkingstoets.be burgerlijk ingenieur burgerlijk ingenieur-architect Meet je kennis! www.ijkingstoets.be 04 IJkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect IJkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk

Nadere informatie

burgerlijk ingenieur burgerlijk ingenieur-architect Meet je kennis!

burgerlijk ingenieur burgerlijk ingenieur-architect Meet je kennis! burgerlijk ingenieur burgerlijk ingenieur-architect Meet je kennis! www.ijkingstoets.be 017 IJkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect 1 Inhoudsopgave 1 Wat is een ijkingstoets

Nadere informatie

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2. BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Deel 2. Basiskennis wiskunde

Deel 2. Basiskennis wiskunde Deel 2. Basiskennis wiskunde Vraag 26 Definieer de functie f : R R : 7 cos(2 ). Bepaal de afgeleide van de functie f in het punt 2π/2. (A) f 0 ( 2π/2) = π (B) f 0 ( 2π/2) = 2π (C) f 0 ( 2π/2) = 2π (D)

Nadere informatie

IJkingstoets Bio-ingenieur 29 juni Resultaten

IJkingstoets Bio-ingenieur 29 juni Resultaten IJkingstoets Bio-ingenieur 9 juni 6 Resultaten IJkingstoets Bio-ingenieur 9 juni 6 - reeks - p. / Aan de KU Leuven en Universiteit Antwerpen namen in totaal 74 aspirant-studenten deel aan de ijkingstoets

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 199 1994 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 2017: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 2017: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 5 juli 2017 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 2017: algemene feedback Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen 635 studenten

Nadere informatie

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] 9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,

Nadere informatie

Wiskundige notaties. Afspraken. Associatie K.U.Leuven

Wiskundige notaties. Afspraken. Associatie K.U.Leuven Wiskundige notaties Afspraken Associatie K.U.Leuven Tim Neijens Katrien D haeseleer Annemie Vermeyen Maart 2011 Waarom? Wiskundetaal gebruikt veel woordenschat, dat weet elke student. Het is niet altijd

Nadere informatie

Oefening 1. Welke van de volgende functies is injectief? (E) f : N N N : (n, m) 7 2m+n. m n. Oefening 2

Oefening 1. Welke van de volgende functies is injectief? (E) f : N N N : (n, m) 7 2m+n. m n. Oefening 2 IJkingstoets 30 juni 04 - reeks - p. /5 Oefening Een functie f : A B : 7 f () van verzameling A naar verzameling B is injectief als voor alle, A geldt: als 6=, dan is f () 6= f (). Welke van de volgende

Nadere informatie

13 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.

13 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde. 13 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1999-000: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 18 Geïntegreerde oefeningen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 18 Geïntegreerde oefeningen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 18 Geïntegreerde oefeningen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Inleiding 1 2 Opgaves 1 3 Oplossingen 11 18-1 1 Inleiding In deze module worden

Nadere informatie

Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie

Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie Inleiding In dit pakket wordt zeer kort de definitie van onbepaalde integralen herhaald evenals het verband tussen bepaalde en onbepaalde integralen.

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 11 3 11 = () 11 2 3 () 11 5 6 () 11 1 12 11 1 4 11 1 6 2 ls a en b twee verschillende reële getallen verschillend van 0 zijn en 1 x + 1 b = 1, dan

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2016: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2016: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 12 september 2016 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2016: algemene feedback Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen

Nadere informatie

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1]

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] 15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] Bereken: Bereken algebraisch: Bereken exact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 97-9: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (Annual High School Mathematics Examination - USA en

Nadere informatie

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2. BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor

Nadere informatie

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk 11. Daar worden deze begrippen echter

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 11 Minimum-Maximumproblemen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 11 Minimum-Maximumproblemen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 11 Minimum-Maimumproblemen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Theoretische achtergrond 1 2 Oefeningen 7 2.1 Basis (A- en B-programma)........................

Nadere informatie

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10 FORMULARIUM wwwbasiswiskundebe Inhoudsopgave Algebra 2 2 Lineaire algebra 4 3 Vlakke meetkunde 5 4 Goniometrie 7 5 Ruimtemeetkunde 0 6 Reële functies 2 7 Analyse 3 8 Logica en verzamelingen 6 9 Kansrekening

Nadere informatie

PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET

PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET Van onderzoekend leren naar leren onderzoeken in de tweede en derde graad Luc Gheysens DPB-Brugge 2012 PROBLEEM 1 Stelling van Pythagoras en gelijkvormige driehoeken Hieronder

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 14 mei uur

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 14 mei uur Examen HAVO 204 tijdvak woensdag 4 mei.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

2012 I Onafhankelijk van a

2012 I Onafhankelijk van a 0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Grafieken van functies en krommen (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Grafieken van functies en krommen (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 8 Grafieken van functies en krommen (versie 4 augustus 8) Grafieken van functies en krommen Inleiding In deze module bestuderen we grafieken van functies van reële

Nadere informatie

12. Uitwerkingen van de opgaven

12. Uitwerkingen van de opgaven 12. Uitwerkingen van de opgaven 12.1. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 3 Opgave 3.1 3,87 0,152 641, 2 Bereken met behulp van Maxima: 2,13 7,29 78 0,62 45 (%i1) 3.87*0.152*641.2/(2.13*7.29*78*0.62*45);

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Definitie Betekenis van de afgeleide 1 2 Standaardafgeleiden

Nadere informatie

De Afgeleide. ) = 2y. 2 = 4y = 4.(2x+1)

De Afgeleide. ) = 2y. 2 = 4y = 4.(2x+1) De Afgeleide DE AFGELEIDE FUNCTIE VAN EEN GEGEVEN FUNCTIE y = f(x) = u is een andere functie genoteerd met y' die uit f'(x) wordt verkregen door toepassing van enkele basisformules. Zo is (u n ) =n.u n-1.u,

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

Wiskunde. Als de veelterm P (x) = x 2 + ax + a deelbaar is door x + b, met a en b reele getallen, dan geldt. b 6= 1 en a = b2 b 1

Wiskunde. Als de veelterm P (x) = x 2 + ax + a deelbaar is door x + b, met a en b reele getallen, dan geldt. <A> b 6= 1 en a = b2 b 1 Vraag 1 Als de veelterm P (x) = x 2 + ax + a deelbaar is door x + b, met a en b reele getallen, dan geldt b 6= 1 en a = b2 b 1 b 6= 1 en a = b b 1 b 6= 1 en a = b 6= 1 en a = b b 1 b 2

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade 988-989: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination -

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B, (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Vrijdag 4 mei 3.30 6.30 uur 0 0 Voor dit examen zijn maximaal 86 punten te behalen; het examen bestaat uit 8 vragen.

Nadere informatie

1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg

1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg 1 Middelpunten Verkennen Middelpunten Inleiding Verkennen Probeer vanuit drie gegeven punten (niet op één lijn) die op een cirkel moeten liggen het middelpunt van die cirkel te construeren. Je kunt hem

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Minimum-Maimumproblemen (versie 11 augustus 2008) Inleiding In heel wat vraagstukken gaan we op zoek naar het maimum of het minimum van een zekere grootheid.

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 24 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 24 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 009 tijdvak woensdag 4 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde Vlaamse Wiskunde lmpiade 2007-2008: tweede ronde 1 Jef mit cola met whisk in de verhouding 1 : In whisk zit 40% alcohol Wat is het alcoholpercentage van de mi? () 1, (B) 20 (C) 25 () 0 (E) 5 2 ver jaar

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 995 996 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 30 punten

Nadere informatie

wiskunde B havo 2015-II

wiskunde B havo 2015-II Veilig vliegen De minimale en de maximale snelheid waarmee een vliegtuig veilig kan vliegen, zijn onder andere afhankelijk van de vlieghoogte. Deze hoogte wordt vaak weergegeven in de Amerikaanse eenheid

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2

Examen VWO. wiskunde B1,2 wiskunde B1,2 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 19 vragen.

Nadere informatie

Bal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2.

Bal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2. Bal in de sloot Een bal met een straal van cm komt in een figuur sloot terecht en blijft drijven. Het laagste punt van de bal bevindt zich h cm onder het wateroppervlak. In figuur zie je een doorsnede

Nadere informatie

13 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde

13 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde 3 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde De tweede ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord bezorgt

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 995-996 : Tweede Ronde De tweede ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten

Nadere informatie

Kaas. foto 1 figuur 1. geheel aantal cm 2.

Kaas. foto 1 figuur 1. geheel aantal cm 2. Kaas Op foto 1 zie je drie stukken kaas. Het zijn delen van een hele, ronde kaas. Het grootste stuk is precies de helft van een hele kaas. Deze halve kaas heeft een vlakke zijkant. De vorm van de vlakke

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) chter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 19 juni 13.30 16.30 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 85 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2 .0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij

Nadere informatie

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN IGNACE VAN DE WOESTNE. Inleiding In diverse wetenschappelijke disciplines maakt men gebruik van functies om fenomenen of processen te beschrijven. Hiervoor biedt

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Examen HAVO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit examen

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

héöéäëåéçéå=~äë=ãééíâìåçáöé=éä~~íëéå=ãéí=`~äêá= = hçéå=píìäéåë= = = = = = = =

héöéäëåéçéå=~äë=ãééíâìåçáöé=éä~~íëéå=ãéí=`~äêá= = hçéå=píìäéåë= = = = = = = = héöéäëåéçéå~äëãééíâìåçáöééä~~íëéåãéí`~äêá hçéåpíìäéåë De algemene vergelijking van een kegelsnede is van de vorm : 2 2 ax by 2cxy 2dx 2ey f 0 met a, b, c, d, e, f + + + + +. Indien je vijf punten van een

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 31 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 31 mei uur wiskunde B,2 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag 3 mei 3.30 6.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 89 punten te behalen; het examen bestaat uit 20 vragen. Voor elk

Nadere informatie

(Assistenten zijn Sofie Burggraeve, Bart Jacobs, Annelies Jaspers, Nele Lejon, Daan Michiels, Michael Moreels, Berdien Peeters en Pieter Segaert).

(Assistenten zijn Sofie Burggraeve, Bart Jacobs, Annelies Jaspers, Nele Lejon, Daan Michiels, Michael Moreels, Berdien Peeters en Pieter Segaert). Tussentijdse Toets Wiskunde I 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, donderdag 17 november 011, 8:30 10:00 uur

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II

Eindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II Pompen of... Een cilindervormig vat met een hoogte van 32 dm heeft een inhoud van 8000 liter (1 liter = 1 dm 3 ). figuur 1 4p 1 Bereken de diameter van het vat. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 14 mei uur

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 14 mei uur Examen HAVO 014 tijdvak 1 woensdag 14 mei 1.0-1.0 uur wiskunde B Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een

Nadere informatie

Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen

Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Les 0 (Extra) Aant. Voorkennis: Hoeken en afstanden Theorie A: Sinus, Cosinus en tangens O RHZ tan A = A RHZ O RHZ sin A = SZ A RHZ cos A = SZ Afspraak: Graden afronden

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 9 Grafieken van functies en krommen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 9 Grafieken van functies en krommen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September Module 9 Grafieken van functies en krommen (versie augustus ) Inhoudsopgave Functies van reële getallen en grafieken Som, verschil, product en quotiënt van reële

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2005-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2005-I Inademen Bij controlemetingen aan de ademhaling wordt men gevraagd om diep uit te ademen en vervolgens gedurende vijf seconden zo diep mogelijk in te ademen. Tijdens het inademen is de hoeveelheid verse

Nadere informatie

Uitwerkingen goniometrische functies Hst. 11 deel B3

Uitwerkingen goniometrische functies Hst. 11 deel B3 Uitwerkingen goniometrische functies Hst. deel B. f() = sin(-) = -sin() g() = cos(-) = cos () h() = sin( + ) = cos() j() = cos( + ) = -sin() k() = sin ( + ) = -sin () l() = cos ( + ) = -cos (). Zie ook

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Maandag 27 mei 1.0 16.0 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 19 vragen.

Nadere informatie

6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1]

6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1] 6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1] De eenheidscirkel heeft een middelpunt O(0,0) en straal 1. De draaiingshoek van P is α overstaande rechthoekzijde sin schuine zijde PQ yp sin yp OP 1 aanliggende rechthoekzijde

Nadere informatie

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x )

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x ) G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / spiegelen in de y -as y = sin( x f ( x = sin( x f ( x = sin( x heeft dezelfde grafiek als y = sin( x. spiegelen in de y -as y = cos( x g(

Nadere informatie

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)

Nadere informatie