Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 7 les 2

Transcriptie

1 Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO lok 7 les Paragraaf Loodrechte stand en inproduct Opgave De lijnen HM En BD snijden elkaart, want ze liggen eide in het vlak door de punten H, D, B en M Ze snijden elkaar want ze zijn niet evenwijdig Zie verder de antwoorden in het oek Opgave a De lijn DF loopt diagonaal dwars door de kuus Er zijn twee vlakken makkelijk te herkennen die loodrecht staan op deze lijn, dat zijn het vlak door de punten E, B en G en het vlak door de punten A, H en C, immer E, B en G liggen allemaal even ver van F en de hoeven van de lijn door DF met de lijnen naar die punten zijn even groot oortgelijk geldt voor A, H en C Van de in opgave genoemde lijnen liggen BG en AH in die vlakken en de overige niet Teken N in het midden van HD De lijn AN is dan evenwijdig met MG Teken ook de lijn NC In de kuus is nu een driehoek ACN Als we er vanuit gaan dat de lengte van een rien van de kuus gelijk is aan, dan is: AC, AN NC Met de cosinusregel volgt: C A + AC o A o AC o cosα AC o A o AC o cosα α N M AC cosα 0,4 A Met de rekenmachine volgt nu: α 0,8 c Teken weer N in het midden van HD en trek de lijn NB Deze lijn is evenwijdig aan HM Teken ook de lijn AN en ekijk de driehoek ABN NAB 90, AN en AB AN Nu geldt: tan β AB Met de rekenmachine volgt nu: β 48, N β M d Teken de lijn DG, deze is evenwijdig aan AF en snijdt ED Teken ook de lijnen ED en EG en ekijk driehoek EDG De zijden van deze driehoek zijn de diagonalen van zijvlakken van de kuus en dus allemaal even lang Driehoek EDG is dus gelijkzijdig en alle hoeken ervan zijn 60, dus γ 60 γ 8 april 06

2 Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO lok 7 les Opgave a De lengte van OB kan met de stelling van Pythagoras erekend worden in driehoek OAB, met OA en AB 4: OB OA + AB De lengte van OF kan met de stelling van Pythagoras erekend worden in driehoek OBF, met OB BF 4: OF OB + BF Omdat geldt OB OA + AB p + q en OF OB + BF OB + r, volgt OF OB + BF OA + AB + BF p + q + r Opgave 4 a FO o f ( 0, 0, 0) (, 4, ) (, 4, ) FC c f ( 0, 4, 0) (, 4, ) (, 0, ) HB h (, 4, 0) (0, 0, ) (, 4, ) (, 4, 0) FO ( ) + ( 4) + ( ) 0 FC HB ( ) ( ) ( ) Opgave a PQ q p (,, 6) (,, ) (,, 9) AP p a ( p, q, r) ( a,, c) ( p a, q, r c) Opgave 6 a Als γ stomp is, dan is c langer dan wanneer γ 90, dus als γ stomp is, dan is c > a Als γ scherp is, dan is c korter dan wanneer γ 90, dus als γ scherp is, dan is c < a 8 april 06

3 Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO lok 7 les Opgave 7 a AB ( a ) + ( a ) + ( a ) AB a ( a, a, a ) ( a ) + ( a ) + ( a ) Als γ 90, dan in is AB OA + OB Met het resultaat uit onderdeel a en OA a a en OB, volgt dan: ( a ) + ( a ) + ( a ) a a a a a 0 a 0 a a a De erekeningen met de ongelijkheden gaan op dezelfde wijze Opgave 8 a AC c a ( 0,, 0) (, 0, 0) (,, 0), OF f (,, ) AC OF (,, 0) (,, ) Omdat AC OF 0 staan de twee vectoren loodrecht op elkaar OP p (,, z), HB h (,, 0) (0, 0, ) (,, ) OF en HB moeten elkaar loodrecht snijden, dus moet gelden: OF HB 0 (,, z) (,, ) 0 + z 0 z 6 c CM m c ( 0, 0, ) (0,, 0) (0,, ), HP p h (,, z) (0, 0, ) (,, z ) CM en HP moeten elkaar loodrecht snijden, dus moet gelden: CM HP (0,, ) (,, z ) ( z ) 0 z 0 9 f d Een richtingsvector voor de lijn OF is (,, ) Delen we de kentallen door, dan vinden we (,, ), en dit is ook een richtingsvector van de lijn Bekijk nu een willekeurige vector met kentallen (p, q, r) en ereken het inproduct met (,, ) Dat is (p, q, r) o (,, ) p + q + r Als deze som gelijk is aan 0, dan staat de vector (p, q, r) loodrecht op lijn OF Hiervoor zijn oneindig veel mogelijkheden, ijvooreeld (, -, 0), (, 0, -), (0,, -) en (,, ) 8 april 06

4 Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO lok 7 les Opgave 9 a (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) Er geldt (, -4, 4) (,, ) + (, -, ) Deze laatste twee vectoren zijn de rechterfactoren in de eerste twee inproducten in onderdeel a Nu kunnen we als volgt redeneren: (,, ) (, 4, 4) (,, ) ((,, ) + (,, ) ) (,, ) (,, ) + (,, ) (,, ) De waarden van deze twee laatste inproducten zijn al in onderdeel a erekend en waren 0 en 6, dus (,, ) (, 4, 4) c Er geldt (, 4, 6) o (,, ) Nu kunnen we redeneren: (, 4, 6) (,, ) ( (,, ) ) (,, ) ((,, ) (,, ) ) Het inproduct (,, ) (,, ) is al in onderdeel a erekend is 6, en nu is het resultaat dus het duele: (, 4, 6) (,, ) 6 d Er geldt: (,, ) (,, ) + ( ) + Voor de lengte geldt:, ) + ( ) (, + Dus het inproduct van een vector met zichzelf, is gelijk aan het kwadraat van de lengte van die vector Opgave 0,,, Zie de uitwerkingen in het oek Opgave 4 a Als de vectoren loodrecht op elkaar staan is het inproduct gelijk aan 0: (, ) (, a ) 0 + a 0 a Neem als willekeurige vector (x, y) Dan moet gelden: ( x, y) (7, ) 7x y 0 Kies nu x en y zo dat deze gelijkheid geldt Hiervoor zijn oneindig veel mogelijkheden, ijvooreeld x en y 7 c ( a, ) (, a) a a 0 Opgave a CB is een richtingsvector: CB c ( 9, ) (, ) (6, ) De richtingscoëfficiënt van de lijn is /6 / De lijn gaat door (, ), dus moet gelden met x, y en rc /: y ax 0 Een vergelijking van de lijn is dan y x Kies een steunvector OA (, ) De richtingsvector moet loodrecht staan op (6, ); dat is ijvooreeld (-, ) Nu volgt als parametervoorstelling: (x, y) (, ) + t o (-, ) ( t), + t) 8 april 06

5 Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO lok 7 les c Het snijpunt ligt op de lijn door A, loodrecht op de lijn BC, dus is één van de punten weergegeven door de parametervoorstellling met x t, y + t Het punt ligt ook op de lijn door B en C met verlijking y x, dus moet ook gelden: y x + t ( t ) Oplossen van deze vergelijking geef t en vervolgens x en vervolgens y 4 8 april 06