Hoofdstuk 3 - Piramides - uitwerkingen

Transcriptie

1 Wiskunde Leerjaar 1 - periode Ruimtemeetkunde Hoofdstuk - iramides - uitwerkingen 1. iramide Hiernaast staat een regelma/ge vierzijdige piramide met (dus) een vierkant grondvlak. e hoogte van deze piramide = 15 cm. e inhoud van de piramide = 980 cm. a) ereken de zijde van het grondvlak. inhoud = 1 opp.grondvlak hoogte 980 = 1 opp.grondvlak 15 opp.grondvlak = 980 = 19cm 15 1 grondvlak is vierkant, dus : zijde = 19 = 14cm b) ereken de oppervlakte van de piramide. teken hulpdriehoek Q om uit te rekenen : = = 74 1, reken nu de oppervlakte van driehoek uit : 15 opp. = 1 basis hoogte = , ,9cm r zijn 4 van deze driehoeken, plus het grondvlak. Opp. piramide = 4 115, = 59,5cm N.. Is jouw antwoord 0,8? an heb je tussendoor afgerond. r obeer pas aan het einde van de berekening af te ronden! Q 7. iramide In de figuur hiernaast is de regelma/ge zeszijdige piramide. getekend. egeven is verder dat = en dat de afstand van tot het grondvlak gelijk is aan. a) ereken de totale oppervlakte van de piramide. en zeshoek bestaat uit zes gelijkzijdige driehoeken! e oppervlakte is dus de opp. van één zo' n driehoek. Opp. = 1 basis hoogte = 1 15,cm 017 H.J. Riksen!1

2 Oppervlakte zeshoek = 15, ,5cm teken hulpdriehoek Q om uit te rekenen : Q = 5,(die had je al uitgerekend!) = Q + Q = ,9 reken nu de oppervlakte van driehoek uit : opp. = 1 basis hoogte = 1 15, ,cm r zijn van deze driehoeken, plus het grondvlak. Opp. piramide = 47, , ,cm Q b) ereken de inhoud van de piramide. Inhoud piramide = 1 opp.grondvlak hoogte = 1 9, ,7cm. iramide egeven is de piramide.. Het grondvlak van deze piramide is een vierkant met zijde. e top ligt recht boven. e hoogte van de piramide is dus gelijk aan de lengte van. eze is 8. e piramide wordt afgeknot op hoogte 4. Hierdoor ontstaat de afgeknoe piramide.h. Zie figuur. ereken de totale oppervlakte van de afgeknoe piramide.h eken of schets eerst de vlakken van de afgeknotte piramide : H H H = 8 en grondvlak is ; en H ligt op hoogte 4; dan worden H en H automatisch. en zijn allebei de schuine zijde van een 4 5 driehoek; dus = = H.J. Riksen!

3 Opp. = = 1 Opp. = hetzelfde = 1 Opp.H = = 18 Opp. H = hetzelfde = 18 Opp. = = Opp.H = 4 = 1 otale opp.afgekn. piramide = = 1cm 4. iramide Je ziet hier een afgeknoe regelma/ge vierzijdige piramide.h. it betekent dat het grondvlak een vierkant is, evenals het bovenvlak. ovendien staat het lijnstuk S dat het midden van het grondvlak verbindt met het midden van het bovenvlak loodrecht op beide vlakken. egeven is: = cm, = cm en S= cm. ereken de totale oppervlakte van de afgeknoe piramide. eken of schets eerst het blauwe hulpvlak (zie figuur) en één van de zijvlakken + grondvlak + bovenvlak. 1,5 H,, 1,5 1,5 S Via het blauwe hulpvlak bereken je de hoogte van de zijvlakken : h = (1,5) +,cm. 1,5, e oppervlakte van een zijvlak wordt dan :, ,8cm otale opp.afgekn. piramide = 4 7, ,cm 5. iramide (?) Hiernaast staat een ruimtelijke figuur.h. Het grondvlak is een rechthoek van 8 bij 11, het bovenvlak een rechthoek van bij 4. rondvlak en bovenvlak zijn evenwijdig. unt ligt recht boven. hee[ lengte. a) ereken de lengte van. eken hulpdriehoek Q Q = H R = = 8 =,5 QR = 8,5 = 5,5 = 11 4 verl.stelling v.ythagoras : = =,5 R = 11,5 = 7,5 + (5,5) + (7,5) 11,1cm Q,5 5,5 R,5 7,5 017 H.J. Riksen!

4 b) eken vlak, en bereken daarmee de hoek die en met elkaar maken. 5 β δ α 1, is gegeven :cm; enbereken je met destelling van ythagoras : = 5cm en 1,cm. 5 α in = tan 1 9,8 β in = 1, tan 1,. δ = 180 9,8, 74,0 c) Is de figuur hiernaast eigenlijk wel een afgeknoe piramide? Verklaar je antwoord. ls het een afgeknotte piramide is, moeten de opstaande ribben in één punt samenkomen. ls je doortrekt naar boven, kom je op een hoogte van : 11 9,4 cm. 7 ls je H doortrekt naar boven, kom je op een hoogte van : 8 = 9, cm. 5 conclusie : de figuur is géén afgeknotte piramide. 9,4 9, 4 H H.J. Riksen!4

5 . iramide e hoogte van de piramide hiernaast is 1 en top ligt recht boven het midden van grondvlak, dat vierkant is met zijde. QRS is ook vierkant, ligt evenwijdig aan grondvlak en ligt op hoogte 8 (dus 4 onder ). M ereken de inhoud van balk H.QRS. eken hulpdriehoeken KLM en XL. eze driehoeken zijn gelijkvormig en hebben daarom dezelfde verhoudingen. Hoogte KM = 8; hoogte X = 1. en verhouding van 1:1,5. eze verhouding zit ook tussen KL en XL. XL = en daarom moet KL gelijk zijn aan 1,5 =. an is ook bekend,namelijk : =. X K L einhoud vandebalk is : 8 = cm 7. iramide In een regelma/ge vierzijdige piramide. zijn alle ribben even lang. Het midden van de ribbe is het punt. ereken (dat is de hoek bij in driehoek ). Schets en. Kies zelf een lengte voor de ribben, bijv. cm. 5, α 5, 8,5 ereken. lsribbe =, dan : = ereken. lsribbe =, dan : = + 8,5. ereken nu met de cosinusregel hoek α. a = b + c bccosα (8,5) = (5,) + (5,) 5, 5, cosα 7,5 = 54,08 54,08 cosα 18,17 = 54,08 cosα cosα = 18,17 54,08 = 0, α = cos 1 ( 0,598...) 109, 5,. isdanhetzelfde 5,. 017 H.J. Riksen!5

6 osinusregel e cosinusregel geldt voor iedere willekeurige driehoek. Je kunt er hoeken mee uitrekenen als je de lengte van alle zijden weet. edenk wel dat zijde a tegenover hoek α geplaatst wordt; zijde b tegenover hoek β en zijde c tegenover hoek γ. 017 H.J. Riksen!