Vijf gelijke borrelhapjes verdelen over vijf personen kan op

Transcriptie

1 h Iedereen één bitterbal geven kan op 1 manier. Iedereen één loempiaatje geven kan op 1 manier. Daarna zijn er nog één bitterbal, één loempiaatje, vijf vlammetjes en vijf kaassouflés te verdelen. Het gevraagde aantal mogelijkheden is = i Beschouw de borrelhapjes die blijven staan als vijfde persoon. Vijf gelijke borrelhapjes verdelen over vijf personen kan op V. " J W 126 manieren. Dus N(4 keer vijf borrelhapjes gelijk verdelen over vier personen als er ook borrelhapjes mogen blijven staan) = 1264 = Driehoeken en lijnen bladzijde 196 E a ZABC=ZADC = 116 ZCBE= 180 -ZABC= = 64 CE 6 tan(zcbe)= geeft tan(64 )= BE BE AE = AB + BE ~ ,93 = 12,93 CF f\ tan( ZBAQ= AE 12,93 BE = -2,93 tan(64 ) ZBAC = 24,9 b Zie de schets hiernaast. AF = BE ~ 2,93 BF = AB - AF ~ 10-2,93 = 7,07 De stelling van Pythagoras in ABDF geeft BD2 = BF2 + DF2 BD2 «7, «86,04 BD «V86,04 * 9,28 22 a Zie de schets hiernaast. BG wordt gevraagd. ZGBT= ,0-85,4 = 16,6 BG 135 De sinusregel in ABGT geeft =. sin(85,4 ) sin(16,6 ) n 135sin(85,4 ) Dus BG = = 471,0. sin(16,6 ) Bram bevindt zich op 471 m van de top van de Big Ben als hij in het reuzenrad stapt. b In ABGVis ZBGV= 90-78,0 = 12,0 en ZBVG = 90. Verder is AG «471,0. BV BV sm(zbgv)= geeft sin(12,0 )= BG 471,0 BV» 471,0- sin(12,0 ) = 97,9 De Big Ben is 98 m hoog. Gemengde opgaven 121

2 Q Gebruik de cosinusregel om ZA te berekenen. 7,92 = 5, ,42-2 5,8 10,4 cos(za) 2 5,8 10,4 cos(z^f) = 5, ,42-7,92 120,64 cos(z^) = 79,39 79,39 cos(za) - 120,64 ZA «48,8 Zie de schets hiernaast. CD CD sin(z^) = geeft sin(48,8 ) «AC 5,8 CD «5,8 sin(48,8 ) - 4,37 0(houten betimmering) = 0(AABQ - 2,8 = \ AB CD - 2,i { 10,4-4,37-2,8= 19,9 m2 De oppervlakte van de houten betimmering is 20 m2. '41 '61 E a A(-2, -3) en 5(4,-1), dus AB = b-a b-a= = = A(-2,-3) en >(-!, 5), dus r-r f-2 m = AD=d-a= =,"3 cos(z(^5, _ = v 2/ 6 v2y V4Ö-, Jó5 ' V2600 Z(^,^D)=64,4 Dus Z4 «64,4. '-2\ '41 ' = \ "1> 1,"2 5(4, -1) en C(5, 3), dus BC = c - b = -2 v4y cos(z(ba, BC)) = 40-V17 '680-2 v4y Z(BA, 5C)=122,5C Dus Z5= 122,5. -2 b A(-2, -3) en C(5, 3), dus AC = c - a = -3 v6y 5(4,-l)enD(-l,5),dus BD = d-b = v5 y '4^ v-ly -5 v6y cos(z(ac, BD)) = v6y '-5 N Vól V5185 v6 y Z(AC,BD)~ 89,2 Dus de hoek tussen de diagonalen en BD is 89, Gemengde opgaven

3 c Stel 0(0, A). 5(4, -1) en 0(0, A), dus 50 = f -4 N A + l A(-2, -3) en D(-\, 5), dus AD = ADBQ = f-4 ï = (A + l) = 8A + 4,8, 4 > 150, dus AD - BQ-0 Dus 0(0,-0. d 50:y = ax + 6 meta= _, ï = _Ienè=-j. 8A + 4 = 0 8A = -4 A = - l Dus 50: 7 = - ^ - f ^ 7 + 3=-^= (x+2) y + 3 = S(x + 2) v + 3 = 8x + 16 Dus AD:y = Sx+ 13.,4Z) en 50 snijden geeft 8x+13=-^x-{ DusP(-l,-g). CD: / \ geeft, = 8~l +13 = -. f-0 '51 f"6l c = -,5,.3,,2, C-iï = + A,5,,2, R op CZ), dus stel R(-l - 6A, 5 + 2A). AR=r-a = r-2] U + 2A, -3> ^ 2A + 8, AR_LCZ),dus ARCD=0 'A + 1 2A + 8 v 2, = 0 36A + 4A+ 16 = 0 40 A = -10 DusZ2(-l +,5-f) = (i 40. ^ a Zie dc figuur hiernaast. CE: + A r0, dus Z)(A, 2). 12, v0, d = f5',2;, 2, 4(0, 0) en Z)(A, 2), dus AD = 4.-9.= d - a =,2, - = Gemengde opgaven 123

4 AD BD = UJ, 2, = A(A - 5) = A2-5A >15Z), dus ADBD = 0 A= 1 geeftd(l,2). A = 4 geeft D(4, 2). De stelling van Pythagoras in A4DFmet Z)(l, 2) geeft A 2-5A + 4 = 0 (A- l)(a-4) = 0 A=1 v A = 4 AD2 = AF2 + DF2 AD2 = 22+\ = 5 AD = 45-2,2 De stelling van Pythagoras in &ADF met D(4, 2) geeft AD2 = AF2 + DF2 AD2 = = 20 AD = V2ÏÏ = 4,5 b Als D( 1,2), danc(6,2). 4(0, 0) en C(6, 2), dus 4C = c - a = 5(5, 0) en D( 1,2), dus BD = d-b =,2,,2 cos(z(4c, >)) = v / V , v2y f6] ' 1 '61,2,,2, rr r V20 /800 Z(AC,BD)= 135 Dus de hoek tussen de diagonalen is = 45. Als D(4, 2), dan C(9, 2). 4(0, 0) en C(9, 2), dus 4C = c - a = B(5, 0) en D(4, 2), dus 5Z) = d - b = (9) ' 1 '91 A r-i A _,2 cos(z(4c, D)) = Z(AC,5D)«104, V5 '425 Dus de hoek tussen de diagonalen is ,0 = 76,0. f, - * A { 0 > 5 = V -2p n = f2, dus r - m m -5J '5^ v2y klm, dus ' 5 ^ = p 2 = p = 0-4/? = -25 P=6} 124 Gemengde opgaven EPN

5 O v4y v4y r = v3;, dus n = DO r. _L «,,dus f3 c n, U v4y 14, = 0 3/?+16 = 0 3/7 = -16 c *:* + ^ = l 5 2/7 X 10/7 fc 2/?x + 5v = 10/7 2/7x + 5y= 10/7 2/ = 10/7 door (10, 4) 20/7 + 20= 10/7 10/7 = -20 /7 = -2 Dus t -4x + 5v = -20. /7 = -2, dus / snijdt de assen in (2, 0) en (0, 4). Dit geeft /:-+-= x + 5y = -20 5y = 4x- 20 y=\x-4 Dus k:y = /: 2x+y = 4 \x-4. x4 Snijden van k en / geeft x - 4 = -lx x = 8 O 6 x = 21 x = 2f geeft v = -2-2f+4 = - l f Dus het snijpunt is (21, -11). -p 4 ) x4/7 /: -4JC+/TV = 4/7 * -4x+/7^ = 4p J _ 4 5 (5,/7 + 3)op/ /_ 2 0 +/ + 3^ = 4; 2x + y = 4 y = -2x + 4 Dus l:y = -2x + 4. /?2-/7-20 = 0 (p + 4)(p-5) = 0 /7 = -4 V /7 = 5 /7 = -4 geeft /:-4.x - 4v =-16 ofwel /:x + v = 4.,dus r. =,dus n = 9 f'1 l-lj?:x-v = c c = 5--l = 5 + l=6 (5,-4+ 3) = (5,-1) op? Dus q: x y 6. Gemengde opgaven 125

6 p = 5 geeft /:-4x + 5y = , dus r_t =, dus nr = V4y r: 5x + 4y = c (5, 5 + 3) = (5, 8) op r Dus r. 5x + 4y = 57. c = = = 57 bladzijde 198 E k:x-5y = -\5 k: -5y = -x-\s k: y = ^x+ 3 Het punt C ligt op k, dus stel C(/7, \p + 3). y/ /? + 10 p-2 5p-10 rc = ^ y, p p+15 x^ - x. p-9 5/7-45 ZACB = 90, dus AC 1BC en dus rc^ rcfic = -1. TCAC-TCBC = -\t / / = -1 5/7-10 5/7-45 (p+loxp+15) = -1 5(/7-2)-5(/7-9) /72 +25/ = -1 25(/72-1 1/7 + 18) / / = -25/ /72-250/ = 0 > = (-250) = 100,dus VD= 10 P= ^ v p= /7=4^ v p = p=4± geeftc(4, i. 4 +3) = C(4, 3 ). p = 5geeftC(5,f 5 + 3) = C(5,4). E a A:///,dus Z+2 = Z - 2 /7-4 /7 + 5 (/7+l)(p + 5) = (/7-2)(/7-4) /72 + 6/7 + 5 = /72-6/ /7 = 3 i P = l b (/7+l)x + (/7-2)v = 3 geeft y = -^p + V ) x + p-2 P-2 (p-4)x + (p + 5)y = geeft y=~ xkll, dus rck rc, = - l _( +l) jp-4) = -1 p-2 (/7 + 5) (/7 + l)(/7-4) (/7-2)(/7 + 5) /? + 5 /? + 5 7>2-3/7-4 = 1 /7 2+3/ Gemengde opgaven /72-3/7-4 = -p2-3/ /72= 14 /72 = 7 p=4ï v /7=-V7

7 alternatieve uitwerking k: (p + l)x + (p - 2)y = 3, dus nk = l: (p - 4)x + (p + 5)y =, dus n{ - kll, dus r. r= O p-2 ( p + 5 -p-k -/>+4 = 0 p2 + 3p- \0+p2-3p-4 = 0 2p2=\4 p2 = l p + 5 p-2 -p-l '\p + 5^ -p + 4 p = 4ï v p=-y/7 c Snijden met de x-as, dus y - O, geeft (p + l)x = 3 ofwel JC = p + \ en (/? - 4)x = - 6 ofwel x = p-4 Snijden van & en / in een punt op de x-as geeft /7 + 1 /7-4 3(p-4) = (p+l) 3p- 12 = p 9/7 = 6 2 d Snijden met de v-as, dus x = 0, geeft (p - 2)y = 3 ofwel v = en Z 7-2 (/> + 5)y = - 6 ofwel y = p + 5 Snijden met k en / in een punt op de v-as geeft p-2 p+5 3(p + 5) = (p-2) 3p+\5 = p+ 12 9/7 = -3 i /> = " e Als de lijnen k en / elkaar snijden onder een hoek van 72, dan maken de richtingsvectoren en dus ook de normaalvectoren van de lijnen een hoek van 72 of een hoek van 108 met elkaar. :(p+l)x + (/?-2)y = 3,dus n = p + \ P-2 'p-4 l: (p - 4)x + (p + 5)y =, dus «/ = p + 5 p + \ p-2 p-4 p + 5 = (p + \)(p - 4) + (p - 2)(p + 5) =p2-3p - 4 +p2 + 3/7-10 = 2/72-14 l>?*h»,l = V/72+2/ p2-4/ yjp2-8/7 + \6 + p2 +10/ = V2/72-2/7 + 5-V2/72+2/ =V(2/72-2/7 + 5)(2/72 +2/7 + 41) Dus 2/-14 = cos(72 ) v 2/-14 = cos(108 ). V(2/72-2/? + 5)(2/72 +2/7 + 41) V(2/72-2/? + 5)(2/72+2/7 + 41) 2x2-14 Voer in v, =, v2 = cos(72 ) en v3 = cos(108 ). V(2x2-2x + 5)(2x2+2x + 41) Intersect met v, eny2 geeft x ~ -3,88 enx ~ 3,71. Intersectmet v, eny3 geeftx = -1,76 eni= 1,93. Dus voor p = -3,88, p ~-1,76, p ~ 1,93 en/7~3,71 snijden de lijnenden/ elkaar onder een hoek van 72. Gemengde opgaven 127

8 p+l p-2_3 f kenm vallen samen, dus p-4 p + 5 # ui«p + 1-"- 2 p-4 p+5 Uitp = jen p-4 q volgt p=t, zie vraag a. olgt -3J q -4-1 l ^ = -3f3 v2y v2, hc: 6x + 2y = c c = ,dus = 36 n. = door C(4, 6) Dus hc: 6x + 2y = 36 ofwel hc: y = -3x v7,,dus «, = /zs: 8x + 7y = c c = l=23 door 5(2, 1) Dus hb: Sx + ly = 23. Snijden van /zb en /?c geeft Sx + 7(-3x + 18) = 23 8x-21x = 23-13x = x = 7- x = 7 f geeft y = -3-7^ + 18 = -5g. Dus#(7,-5 ). 21 a Voor de v-coördinaat van een punt op k geldt y = 3 + 2X. P(3, 1) op k geeft 3 + 2A= 1 2A = -2 A = -l Voor de x-coördinaat van een punt op k geldt x = 2 + A(3 A = -1 en P(3, 1) op k geeft 2 - (3 -p) = p=3 Dus r_k = v2 y 128 3e~e^5ce csgaven l ±k, dus n, = r_k = v2y, dus /: -x + 2y = c c = =-1 PQ, l)op/ Dus /:-x + 2y = -l. 3P, dus rc, = E^ï-L 3/> P+3--4 p+7 rc = = = -p F b r = m II n, dus rc, = rc 3p p + 7 = -3pl-2\p 3p2 + 22p + 7 = 0 D = = 400, dus VZ> = p = -7 v p=-\ p = -7 geeft rc = 0, dus n: y = b.

9 n door Q(3, -4), dus n:y = -4. p = jgeeftrc = -, dus «: y=-x + Ti door 0(3, -4) geeft f = -4 ofwel b = -A = 16, dus»:y 6f x f9ï c r = = 2,,4, Uit rcr = - volgt r_r = v4y r r \ cos(z(r,rr)) = v y '6 A V4Ö-V25 2VÏÖ-5 ÏOVÏÖ VÏÖ v-2, Omdat k en m elkaar onder dezelfde hoek snijden als g en r moet gelden 1 cos(z(r f t,r w)) = cos(z(rk N/10 cos(z(r,,r )) = l 2, KP + V (3-p)-3p + 2(p + 7) /-> \ ^9p + p2 +4 -^9p2+p2 +14/? + 49 I P\ ( n \ P. 2, 9/7-3/72+2/ /72+ll/7+14 vv/ VlO/ / vv/7 + 13)(10/ /7 + 49) XT. -3x2 + llx Voer m y, = - 72 en y 3=- V(x2-6x +13)(10x2 + 14x + 49)' Intersect mety, eny2 geeft x «-0,45 en x ~ 3,91. Intersect mety, eny3 geeft x ~ -1,61 enx ~ 5,83. De lijnen kp en mp snijden elkaar onder dezelfde hoek als q en r voor /7 = -0,45 v /7 = -l,61 v /7~3,91 v /? = 5,83. 3 Kansrekening bladzijde 199 SOM P(som<6)=- = - b VERSCHIL P(verschil = 2)=^ = f Gemengde opgaven 129