Eigenschappen van driehoeken

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Eigenschappen van driehoeken"

Transcriptie

1 5 igenschappen van driehoeken it kun je al een hoek meten de verschillende soorten driehoeken definiëren 3 de verschillende soorten hoeken definiëren 4 de eigenschappen van de verschillende soorten hoeken gebruiken 5 een vergelijking oplossen Test jezelf lke vraag heeft maar één juist antwoord. ontroleer je antwoord in de correctiesleutel. chter elke vraag staat een verwijzing naar extra oefeningen in je oefenboek of je vademecum. Hoe groot is? Verder oefenen? ad Wat is de meest passende naam voor de driehoek? gelijkbenige, stomphoekige driehoek rechthoekige, gelijkzijdige driehoek rechthoekige, gelijkbenige driehoek ad 3 In welke figuur vind je overstaande hoeken? oef. nr Vul aan. Verwisselende binnenhoeken zijn bij evenwijdigen en een snijlijn... 5 Los op. x + 5 = 6 it heb je nodig leerwerkboek p oefenboek nr passer geodriehoek groene en rode pen kleurpotloden complementair even groot supplementair oef. nr. 735 x = x = x = 5,5 oef. nr. 45 Inhoud M7 e basishoeken in een gelijkbenige driehoek p. 00 M8 en buitenhoek van een driehoek p. 04 M9 onstructie en classificatie van driehoeken p. 06 M30 e driehoeksongelijkheid p. 08 M3 ewijs: de eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek p. 0 M3 ewijs: de eigenschap van een buitenhoek van een driehoek p. 4 M33 ewijs: het verband tussen de hoeken en de zijden in een driehoek p. 6 M34 ewijs: de driehoeksongelijkheid p. 7 99

2 M7 e basishoeken in een gelijkbenige driehoek Op verkenning a e basishoeken in een gelijkbenige driehoek Vul aan. In de gelijkbenige driehoek is de...hoek, top en zijn de... basis hoeken. Vul de rest van de tabel in. = =... =... Wat stel je vast? e basishoeken zijn even groot = =... F =... Wat stel je vast? e basishoeken zijn even groot F Teken een scherphoekige driehoek met twee even grote hoeken. Meet de lengten van de zijden van de driehoek. Noteer op de figuur. Wat stel je vast? e benen zijn even lang, de driehoek is gelijkbenig igenschap de basishoeken in een gelijkbenige driehoek en driehoek is gelijkbenig In Δ geldt: = a.s.a. de basishoeken even groot zijn. = Het bewijs van deze eigenschap vind je in les M3. ONTROL 5 Is driehoek STU gelijkbenig als S = 70 en T = 55? Verklaar. Û = = 55 e basishoeken zijn even groot, dus de driehoek is gelijkbenig igenschappen van driehoeken

3 b e hoeken in een gelijkzijdige driehoek K M L Noteer de meest passende naam voor de driehoek KLM.... Is deze driehoek ook gelijkbenig? Leg uit.... ekijk de gelijkbenige driehoek KLM met K als tophoek. Wat weet je over de andere hoeken? e andere (basis)hoeken zijn even groot, M = L.... ekijk de gelijkbenige driehoek KLM met L als tophoek. Wat weet je over de andere hoeken? e andere (basis)hoeken zijn even groot, M = K.... Wat besluit je over de grootte van de hoeken in een gelijkzijdige driehoek?... Vul in: K =... L =... M =... igenschap de hoeken in een gelijkzijdige driehoek en driehoek is gelijkzijdig a.s.a. de hoeken even groot zijn. In driehoek geldt: = = 60 = = = 80 3 = Het bewijs van die eigenschap vind je in je oefenboek: oef ONTROL 6 Is driehoek XYZ gelijkzijdig als X = 60? Gelijkzijdige (scherphoekige) driehoek Ja, want ten minste twee zijden zijn even lang. 80 = = = 60 Niet altijd: bv. X = 60 Y = 80 Z = 40 Ze zijn allemaal even groot Oefeningen ereken telkens de ontbrekende grootten van de hoeken in de gelijkbenige driehoek F. e hoek is de tophoek. Maak eerst een schets. F F WR?

4 M7 e basishoeken in een gelijkbenige driehoek (vervolg) WR? WR? ereken de hoeken in de gelijkbenige driehoek met als top. = Maak eerst een schets. Los de oefening op met een vergelijking.... Â + + = 80 gegeven = 80 ig. gelijkbenige driehoek = = = 80 : 4 = = = 45 = = 90 ntwoord: = 90 = = 45 ontrole: = 80 3 Teken de gelijkbenige driehoek GHI die aan de volgende voorwaarden voldoet. basis GH =,8 cm I = 84 Maak eerst de nodige berekeningen. G en H zijn de basishoeken I is de tophoek. G = H = = G I H WR? ereken V, I en R. Toon je berekening en geef telkens een korte verklaring. V??? R I Ê = 80 = 69 (def. nevenhoeken)... R = = 68 (ig. basishoeken in een gelijkbenige driehoek)... V = = 4 (som van de hoeken in driehoek VR) V = 90 4 = 48 (rechte hoek in V) Î = = (som van de hoeken in driehoek VI) of I = = (som van de hoeken in driehoek VIR)... 0 igenschappen van driehoeken

5 5 Juist of fout? Verklaar telkens en teken een tegenvoorbeeld bij de foute uitspraken. a en gelijkbenige driehoek kan rechthoekig zijn. Juist, de tophoek is dan recht.... WR? b c en gelijkbenige driehoek heeft altijd drie scherpe hoeken. Fout, de tophoek kan ook recht of stomp zijn.... Gelijkzijdige driehoeken zijn steeds scherphoekig. Juist, alle hoeken zijn d en gelijkbenige driehoek is ook gelijkzijdig. Fout, andersom klopt wel altijd onstrueer in een gelijkzijdige driehoek de drie bissectrices. Wat stel je vast? e bissectrices snijden elkaar in één punt.... Noem het snijpunt van de bissectrices S. ereken de hoeken in driehoek S.  = = = 60 = 60 = 30 (def. bissectrice)  = 60 = 30 (def. bissectrice) S = 80  = = d f e S WR? 89 7 Δ is gelijkbenig met tophoek. ereken de ontbrekende hoekgrootten als a = 50 b = + 30 c = 3  + + = 80  + + = 80  + + = 80 = (eig. basis) hoeken gelijkbenige driehoek  + + = 80  + = 80  = = 80 = = 30 = 30 : = 65 ntwoord: = = 65 ontrole: = 80 =  + + = 80 =  + 30  +   + 30 = 80 3  =  = 0 : 3 = 40 = = 70 ntwoord:  = 40 = = 70 ontrole: = 80 =  + + = 80 =  3  +  +  = ( ) =  +  +  = = 540 = 540 : 5 = = 36 = = 3 3 ntwoord:  = 08 Wat moet je kunnen? de eigenschap van de basishoeken van een gelijkbenige driehoek verwoorden de eigenschap van de hoeken van een gelijkzijdige driehoek verwoorden = = 36 ontrole: = 80 03

6 M8 en buitenhoek van een driehoek (uitbreiding) Op verkenning a en buitenhoek van een driehoek Teken [. e binnenhoek van de driehoek in het hoekpunt noem je. e nevenhoek van noem je. FINITI Teken een nevenhoek van. Hoeveel oplossingen heb je?... Wiskundetaal definitie en buitenhoek van een driehoek is een nevenhoek van een binnenhoek van de driehoek. In driehoek is een buitenhoek. a. s. a. en zijn aanliggende hoeken Twee + = 80 Teken alle buitenhoeken van driehoek. Hoeveel buitenhoeken tel je?... 6 b igenschap van een buitenhoek van een driehoek Opdracht Teken een driehoek op een blad papier. Teken een buitenhoek. Kleur de hoeken en in de driehoek in een verschillende kleur. Knip de driehoek met zijn buitenhoek uit, zoals aangegeven op figuur. Knip de hoeken en af, zoals aangegeven op figuur. Leg deze afgeknipte hoeken, netjes aansluitend met de gekleurde hoekpunten tegen elkaar op hoek. Figuur Figuur Figuur 3 Wat stel je vast? e twee afgeknipte hoeken passen precies op de buitenhoek.... Wat vermoed je? en buitenhoek is even groot als... de som van de twee niet-aanliggende hoeken. Neen Is er iemand in de klas die een driehoek kan tekenen waarbij dit niet zo is? igenschappen van driehoeken

7 igenschap een buitenhoek van een driehoek en buitenhoek van een driehoek is even groot als de som van de twee niet-aanliggende binnenhoeken. is een buitenhoek van Δ = = = 95 Het bewijs van deze eigenschap vind je in les M3. Oefeningen 8 Teken alle buitenhoeken van driehoek F. WR? F 9 Hoe groot is de buitenhoek in het hoekpunt als in de driehoek = 50 en = 44? Toon je berekening. = + (ig. buitenhoek van een driehoek)... = = WR? Teken de driehoek KLM die voldoet aan de volgende voorwaarden. KL = 4 cm K = 30 buitenhoek L = 0 Maak eerst de nodige berekening. L = 80 0 = K 30 4 M 60 L WR? ereken, en als je weet dat a // b. Toon je berekening en geef telkens een korte verklaring.... Ê = = 77 ( = def. nevenhoeken ) (eig. overeenkomstige hoeken) = = 7 (eig. overeenkomstige hoeken) a b 7 Â = 80 Ĉ = = 3 (eig. som van de hoeken in Δ) Â = 80 Â = 80 3 = 49 (def. buitenhoek van een driehoek) 03 WR? Wat moet je kunnen? een buitenhoek van een driehoek herkennen de eigenschap van een buitenhoek van een driehoek verwoorden 05

8 M9 onstructie en classificatie van driehoeken Op verkenning ad a onstructie van driehoeken onstrueer een ongelijkbenige driehoek met zijden van 4 cm, cm en 3 cm. onstrueer een gelijkbenige driehoek F met een basis van 4 cm en opstaande zijden van 3 cm. F onstrueer een gelijkzijdige driehoek GHI met een zijde van 4 cm. F b lassificatie van driehoeken Teken in de bovenstaande driehoeken alle mogelijke symmetrieassen. Hoeveel symmetrieassen heeft de ongelijkbenige driehoek? Hoeveel symmetrieassen heeft de gelijkbenige driehoek F? Hoeveel symmetrieassen heeft de gelijkzijdige driehoek GHI? Teken ook in de volgende driehoeken alle mogelijke symmetrieassen. 0 3 G I F H K L Q T M P S U R 06 igenschappen van driehoeken

9 Overzicht classificatie van driehoeken op basis van de symmetrieassen en ongelijkbenige driehoek heeft geen symmetrieassen. en gelijkbenige driehoek die niet gelijkzijdig is, heeft één symmetrieas. en gelijkzijdige driehoek heeft drie symmetrieassen. H F G I Oefeningen onstrueer de gevraagde driehoeken. WR? a onstrueer een gelijkbenige driehoek met een basis van 4 cm en opstaande zijden van 3 cm b onstrueer de driehoek met een zijde van 4 cm en drie symmetrieassen. Wat moet je kunnen? een driehoek construeren die aan bepaalde voorwaarden voldoet driehoeken classificeren op basis van het aantal symmetrieassen 07

10 M30 e driehoeksongelijkheid Op verkenning a Het verband tussen de hoeken en zijden in een driehoek (uitbreiding). Noteer van driehoek : de grootste hoek... de langste zijde... de kleinste hoek... de kortste zijde... estaat er een verband tussen de grootte van de hoeken en de lengte van de zijden? Â [ ] [ ] Welke zijde staat tegenover de grootste hoek?... e langste zijde Welke zijde staat tegenover de kleinste hoek?... e kortste zijde Vul aan. Tegenover de grootste hoek ligt... Teken een ongelijkbenige driehoek. Markeer in de driehoek de kleinste hoek. Markeer in de driehoek de kortste zijde. estaat er een verband tussen beide? de langste zijde. e kleinste hoek ligt tegenover de kortste zijde en omgekeerd.... igenschap verband tussen de hoeken en zijden in een driehoek (uitbreiding) In elke driehoek ligt tegenover een grotere hoek een grotere zijde en omgekeerd. 3 cm 04 4 cm b cm < < Het bewijs van deze eigenschap vind je in les M33. ONTROL 7 In de driehoek PQR is [QR] de langste zijde. Welke hoek is de grootste hoek van de driehoek?... riehoeksongelijkheid F G I H P 08 igenschappen van driehoeken

11 Meet in elke driehoek de lengte van de zijden. Δ ΔF ΔGHI =... =... IH =... + =... F + F =... IG + GH =... Vul aan.,3 cm 5,9 cm 3, cm 4,9 cm,7 cm 5,8 cm e lengte van een zijde is steeds... kleiner dan de som van... de lengten van de twee andere zijden. In de driehoek XYZ is... XY <... YZ +... ZX en... YZ <... XY +... ZX en... ZX <... XY +... YZ J onstrueer de driehoek JKL. JK = 8 cm KL = 4 cm LM = 3 cm Wat stel je vast? 8 cm e driehoek kun je niet construeren. e passerbogen snijden elkaar niet.... K igenschap driehoeksongelijkheid In een driehoek is de lengte van een zijde altijd kleiner dan de som van de lengten van de andere twee zijden. In driehoek geldt: < + < + < + 7 cm <,8 cm + 6 cm,8 cm < 7 cm + 6 cm 6 cm < 7 cm +,8 cm 7 cm 6 cm,8 cm Het bewijs van deze eigenschap vind je in les M34. Oefeningen 3 enoem telkens de grootste hoek van de driehoeken. is Â. driehoek = 4,5 cm = 5, cm = 4,8 cm e grootste hoek... driehoek F = 7, cm F = 3,6 cm F = 8 cm e grootste hoek... driehoek GHI GH = 3,4 cm HI = 3 cm IG = 3,4 cm e grootste hoek... is. en zijn H en I. WR? Vul aan en controleer. 4,5 cm 4,8 cm In Δ: < ontrole: 5,... cm< Wat moet je kunnen? de driehoeksongelijkheid tussen de zijden van een driehoek verwoorden 09

12 M3 ewijs: de eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek igenschap de basishoeken in een gelijkbenige driehoek en driehoek is gelijkbenig a.s.a. de basishoeken even groot zijn. In driehoek geldt: = = STP Verkennen Lees de eigenschap aandachtig en vul aan. In de eigenschap zie je een dubbele pijl. it betekent... dat de eigenschap uit twee delen bestaat. eel: = = lees je als: ls een driehoek gelijkbenig is, dan zijn de basishoeken even groot.... eel: = = lees je als: ls de basishoeken van een driehoek even groot zijn, dan is de driehoek gelijkbenig.... Je bewijst eerst deel (basis) en dan deel (verdieping). L eigenschap ls een driehoek gelijkbenig is, dan zijn de basishoeken even groot STP nalyseren: vooruitdenken terugdenken een plan maken d vraag antwoord verklaring Wat is gegeven? Noteer dit in symbolen. uid het gegeven in het groen aan op de figuur. Δ = Wat moet je bewijzen? Noteer dit in symbolen. uid wat bewezen moet worden in het rood aan op de figuur. Hoe kun je aantonen dat hoeken even groot zijn? Welke bijzondere rechte m verdeelt driehoek in twee congruente driehoeken? r zijn verschillende mogelijkheden. Noem het snijpunt van de rechte m met de basis. = Via congruente driehoeken m is de zwaartelijn uit de top In congruente driehoeken zijn de overeenkomstige hoeken even groot. 0 igenschappen van driehoeken

13 Noteer en kleur de driehoeken waarvan je vermoedt dat ze congruent zijn, elk in een andere kleur. Welk congruentiekenmerk kun je gebruiken? Noteer de gelijkheden. Is dit wat je moet bewijzen? Indien niet, welke stap moet je nog zetten? Δ en Δ ZZZ Z = Z = Z = Δ Δ Neen, hieruit volgt =. ef. zwaartelijn Gemeensch. zijde ef. gelijkbenige driehoek Uit het voorgaande afleiden dat basishoeken even groot zijn. STP 3 L ewijs ewijs (deel ) als een driehoek gelijkbenig is, dan zijn de basishoeken even groot Gegeven: Δ = Te bewijzen: = ewijs: Je hebt verschillende mogelijkheden. mogelijkheid: Teken de zwaartelijn m uit de top. Noem het snijpunt met []. Voor Δ en Δ geldt: Z = (def. zwaartelijn) Z = (def. gelijkbenige driehoek) Z = (gemeenschappelijke zijde) ZZZ Δ Δ ig. overeenkomstige hoeken in congruente driehoeken = m e andere mogelijkheden om deze eigenschap te bewijzen vind je in het oefenboek: oef. 949.

14 M3 ewijs: de eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek (vervolg) L STP eigenschap ls de basishoeken in een driehoek even groot zijn, dan is de driehoek gelijkbenig nalyseren: vooruitdenken terugdenken een plan maken m vraag antwoord verklaring Wat is gegeven? Noteer dit in symbolen. uid het gegeven in het groen aan op de figuur. Δ = Wat moet je bewijzen? Noteer dit in symbolen. uid wat bewezen moet worden in het rood aan op de figuur. Hoe kun je aantonen dat zijden even lang zijn? Welke bijzondere rechte m verdeelt de driehoek in twee driehoeken waarvan je vermoedt dat ze congruent zijn? r zijn verschillende mogelijkheden. Noem het snijpunt van de rechte h met de basis. Noteer en kleur de driehoeken waarvan je vermoedt dat ze congruent zijn, elk in een andere kleur. Welk congruentiekenmerk kun je gebruiken? Noteer de gelijkheden. Is dit wat je moet bewijzen? Indien niet, welke stap moet je nog zetten? = Via congruente driehoeken m is de hoogtelijn uit de top Δ en Δ ZHH Z = H = H = = 90 Δ Δ Neen, hieruit volgt =. In congruente driehoeken zijn de overeenkomstige zijden even lang. Gemeensch. zijde Gegeven ef. hoogtelijn Ui het voorgaande afleiden dat de opstaande zijden even lang zijn. igenschappen van driehoeken

15 STP 3 ewijs ewijs (deel ) als een driehoek even grote basishoeken heeft, is de driehoek gelijkbenig Gegeven: Δ = Te bewijzen: = ewijs: Je hebt verschillende mogelijkheden. v.: Teken de hoogtelijn m uit de top. Noem het snijpunt met []. Voor Δ en Δ geldt: H = (gegeven) H = = 90 (def. hoogtelijn) Z = (gemeensch. zijde) HHZ Δ Δ ig. overeenkomstige zijden in congruente driehoeken = ndere mogelijkheden om deze eigenschappen te bewijzen, vind je in het oefenboek: oef Oefeningen 4 Δ is gelijkbenig met tophoek. [] wordt in drie gelijke delen verdeeld. ewijs dat = F Gegeven: Δ = F = F = Te bewijzen: = F ewijs:... Voor ΔF en Δ geldt: Z = (def. gelijkbenige driehoek)... F WR? H Â = (eig. gelijkbenige driehoek)... Z F = (geg.)... ZHZ ΔF ~ = Δ ig. overeenkomstige hoeken in congruente driehoeken... F =... Wat moet je kunnen? de eigenschap van de basishoeken van een gelijkbenige driehoek bewijzen 3

16 M3 ewijs: de eigenschap van een buitenhoek van een driehoek (uitbreiding) igenschap een buitenhoek van een driehoek en buitenhoek van een driehoek is even groot als de som van de twee niet-aanliggende binnenhoeken. is een buitenhoek van Δ. = + STP Verkennen Lees de eigenschap aandachtig. Welke meetkundige elementen komen er in voor? en buitenhoek van een driehoek en twee niet-aanliggende binnenhoeken.... STP nalyseren: vooruitdenken terugdenken een plan maken Onderzoek de eigenschap voor de buitenhoek. Je kunt deze eigenschap natuurlijk ook met een andere buitenhoek onderzoeken. Wat is gegeven? Wat moet je bewijzen? Noteer dit in symbolen. vraag antwoord verklaring Δ is een buitenhoek van Δ = Â + Welke eigenschap ken je al over de som van de hoeken in Δ? Noteer dit in symbolen. Hoe groot is de som van en? + = Uitdrukking = uitdrukking. Noteer dit in symbolen. Â + + = Â + + = + ig. de som van de hoeken van een driehoek is 80. ef. buitenhoek van een driehoek () en () 4 igenschappen van driehoeken

17 Zoek uit deze vergelijking de grootte van de buitenhoek. Is dit wat je moet bewijzen? Â + Ĉ = Ja ig. van gelijkheden: beide leden verminderd met STP 3 ewijs ewijs een buitenhoek van een driehoek is even groot als de som van de twee niet-aanliggende binnenhoeken van die driehoek Gegeven: driehoek buitenhoek Te bewijzen: = + ewijs: + = 80 (def. nevenhoeken) + + = 80 (eig. som van de hoeken in een driehoek) + + = + + ig. van een gelijkheid beide leden = + Wat moet je kunnen? de eigenschap van een buitenhoek van een driehoek bewijzen 5

18 M33 ewijs: het verband tussen de hoeken en de zijden in een driehoek (uitbreiding) igenschap verband tussen de hoeken en zijden in een driehoek (uitbreiding) In elke driehoek ligt tegenover een grotere hoek een grotere zijde en omgekeerd. 3 cm 04 4 cm 45 6 cm < < 3 ewijs (deel ) in een driehoek ligt tegenover een grotere zijde een grotere hoek Gegeven: Δ > Te bewijzen: > ewijs: ls > dan kun je op [] een punt vinden zodat Δ een gelijkbenige driehoek is. In Δ is = en (eig. basishoeken in een gelijkbenige driehoek). in Δ is > (eig. buitenhoek van de driehoek = + ) en > + = > het geheel is altijd groter dan het deel Waarom wordt in de eerste stap van het bewijs gesproken over een gelijkbenige driehoek? In een gelijkbenige driehoek liggen tegenover even lange zijden even grote hoeken en omgekeerd ewijs (deel ) in een driehoek ligt tegenover een grotere hoek een grotere zijde Gegeven: Δ > Te bewijzen: > ewijs: ewijs uit het ongerijmde Stel dat niet groter is dan. an heb je twee andere mogelijkheden: Stel dat =, dan zou Δ gelijkbenig zijn en de hoeken en even groot. it is in tegenspraak met het gegeven. Stel dat <, dan zou volgens het eerste deel van het bewijs <. it is in tegenspraak met het gegeven. r blijft dus maar één mogelijkheid over: > Wat is een bewijs uit het ongerijmde? In plaats van de eigenschap rechtstreeks te bewijzen, ga je bewijzen dat elke andere mogelijkheid niet kan.... In het bewijs uit het ongerijmde worden drie mogelijkheden bekeken. Welke? = < > Wat moet je kunnen? de eigenschap van het verband tussen hoeken en zijden in een driehoek bewijzen 6

19 M34 ewijs: de driehoeksongelijkheid igenschap driehoeksongelijkheid In een driehoek is de lengte van een zijde altijd kleiner dan de som van de lengten van de andere twee zijden. In driehoek geldt: < + < + < + 7 cm <,8 cm + 6 cm,8 cm < 7 cm + 6 cm 6 cm < 7 cm +,8 cm 7 cm 6 cm,8 cm ewijs in een driehoek is de lengte van een zijde kleiner dan de som van de lengten van de andere twee zijden Gegeven: ΔF F G Te bewijzen: < F + F F + F ewijs: Je maakt de som F + F zichtbaar op de tekening: Je verlengt [F] met [FG] zodat F + FG = G (met F = FG ). = G (eig. basishoeken in gelijkbenige driehoek) en > (het geheel is altijd groter dan het deel want = + ) dus is > G In ΔG ligt tegenover een grotere hoek een grotere zijde: G > of F + F > Waarom wordt er in de eerste stap van het bewijs gesproken over een gelijkbenige driehoek? In een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken even groot. Zo kun je de hoeken vergelijken Wat moet je kunnen? de driehoeksongelijkheid bewijzen/verklaren 7

20 Problemsolving Gamal knipt uit een vel papier een driehoek. Twee zijden van zijn driehoek zijn 6 cm en 8 cm, de hoek tussen deze zijden is een rechte hoek. Hij gaat de driehoek één keer vouwen en kan zo verschillende figuren vormen ijvoorbeeld: of Welke van de volgende getallen kan de oppervlakte van een figuur zijn? 9 cm cm 8 cm 4 cm 30 cm e oppervlakte van de driehoek is 6 8 cm = 4 cm. e oppervlakte van de figuur is minder, maar zeker meer dan de helft (je kunt deze driehoek niet precies op zichzelf vouwen). en ongelijkbenige driehoek heeft geen symmetrieassen. e oppervlakte kan inderdaad 8 cm zijn, zoals de figuur hiernaast laat zien. (8 + 4) 3 cm = 8 cm en driehoek heeft een hoek van 86. In de driehoek zijn de drie bissectrices getekend. Hoeveel graden is de hoek met het vraagteken? In de grote driehoek is de som van de twee andere hoeken = In de kleine driehoek is de som van de twee scherpe hoeken 90 : = (def. bissectrice).?... e hoek met het vraagteken: = 33 3 Van een driehoek zijn twee zijden elk 7 cm lang. e lengte van de derde zijde is een geheel aantal centimeters. Hoeveel cm is de grootste omtrek die zo n driehoek kan hebben? e som van de twee gekende zijden is 4 cm. e lengte van de derde zijde moet... korter zijn dan 4 cm (= de som van de twee andere zijden). 8 cm is bijgevolg... geen mogelijke oplossing. Omdat de grootst mogelijke omtrek gevraagd wordt, is 7 cm het correcte antwoord Van een stomphoekige en een scherphoekige driehoek zijn de volgende hoeken gekend: 0, 80, 55 en 0. Hoe groot is de kleinste hoek van de scherphoekige driehoek? is de enige stompe hoek. In deze driehoek blijft nog 60 over. e hoek van of de hoek van 0 zijn mogelijkheden. 55 kan echter niet, want dan zou de... scherphoekige driehoek hoeken van 80 en 0 en bijgevolg een rechte hoek hebben. e stomphoekige driehoek heeft dus hoeken van 0, 0 en e scherphoekige driehoek heeft dan hoeken van 80, 55 en problemsolving

Congruentie. Dit heb je nodig leerwerkboek p oefenboek nr geodriehoek passer groene en rode pen kleurpotloden

Congruentie. Dit heb je nodig leerwerkboek p oefenboek nr geodriehoek passer groene en rode pen kleurpotloden 4 ongruentie it kun je al 1 een figuur spiegelen, verschuiven of draaien de eigenschappen herkennen van de verschuiving, de spiegeling en de draaiing 3 de middelloodlijn en de bissectrice van een hoek

Nadere informatie

Driehoeken. 18 m 2 18 dm 2 90 dm 2 oef. 694. 24 dm 3 96 dm 3 240 dm 3 oef. 704

Driehoeken. 18 m 2 18 dm 2 90 dm 2 oef. 694. 24 dm 3 96 dm 3 240 dm 3 oef. 704 4 riehoeken it kun je al 1 ruimtefiguren herkennen hoeken meten en tekenen 3 oppervlakte berekenen van vierhoeken 4 volume berekenen van balk en kubus Test jezelf lke vraag heeft maar één juist antwoord.

Nadere informatie

1 MEETKUNDE. Wat vindt u van deze preview? www.plantyn.com/integraal. Laat het ons weten op. http://wiskunde.plantyn.com/mijnmeningoverintegraal

1 MEETKUNDE. Wat vindt u van deze preview? www.plantyn.com/integraal. Laat het ons weten op. http://wiskunde.plantyn.com/mijnmeningoverintegraal INTEGRL www.plantyn.com/integraal INTEGRL SNEK PREVIEW DEEL HOOFDSTUK MEETKUNDE LEERWERKOEK Wat vindt u van deze preview? Laat het ons weten op http://wiskunde.plantyn.com/mijnmeningoverintegraal WISKUNDE

Nadere informatie

INHOUDSTABEL. 1. TRANSFORMATIES (fiche 1) SYMMETRIE (fiche 2) MERKWAARDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6

INHOUDSTABEL. 1. TRANSFORMATIES (fiche 1) SYMMETRIE (fiche 2) MERKWAARDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6 INHOUDSTBEL 1. TRNSFORMTIES (fiche 1)...3 2. SYMMETRIE (fiche 2)...4 3. MERKWRDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6 4. VLKKE FIGUREN: DRIEHOEKEN (fiche 4)...7 5. VLKKE FIGUREN: BIJZONDERE VIERHOEKEN

Nadere informatie

handleiding pagina s 687 tot Handleiding 1.1 Kopieerbladen pagina 444: tangram 2 Werkboek 3 Posters

handleiding pagina s 687 tot Handleiding 1.1 Kopieerbladen pagina 444: tangram 2 Werkboek 3 Posters week 22 les 4 toets en foutenanalyse handleiding pagina s 687 tot 695 nuttige informatie 1 Handleiding 11 Kopieerbladen pagina 444: tangram 12 Huistaken huistaak 14: bladzijde 445 (vierhoeken tekenen)

Nadere informatie

Voorkennis meetkunde (tweede graad)

Voorkennis meetkunde (tweede graad) Voorkennis meetkunde (tweede graad) 1. Vlakke meetkunde Lengten van de zijden en grootte van de hoeken van driehoeken en vierhoeken - De som van de hoeken van een driehoek is 180 - Bij een rechthoekige

Nadere informatie

1 a. Hoeveel hoekpunten heeft figuur 1 hieronder? b. Hoeveel hoekpunten heeft figuur 2 hieronder? c. Hoeveel hoekpunten heeft figuur 3 hieronder?

1 a. Hoeveel hoekpunten heeft figuur 1 hieronder? b. Hoeveel hoekpunten heeft figuur 2 hieronder? c. Hoeveel hoekpunten heeft figuur 3 hieronder? H1 Vlakke figuren 2 BBL 1.1 Eigenschappen van vlakke figuren 1 a. Hoeveel hoekpunten heeft figuur 1 hieronder? b. Hoeveel hoekpunten heeft figuur 2 hieronder? c. Hoeveel hoekpunten heeft figuur 3 hieronder?

Nadere informatie

3.1 Soorten hoeken [1]

3.1 Soorten hoeken [1] 3.1 Soorten hoeken [1] Let op: Een lijn heeft geen eindpunt; Een halve lijn heeft één eindpunt Een lijnstuk heeft twee eindpunten; Het plaatje is een bovenaanzicht; De persoon kan het gedeelte binnen de

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht Hoofdstuk 1 : Hoeken -1 - Complementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken zijn complementair als... van hun hoekgrootten... is. Supplementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken noemen we supplementair als...

Nadere informatie

2 Lijnen en hoeken. De lijn

2 Lijnen en hoeken. De lijn 1 Inleiding In het woord meetkunde zitten twee woorden verborgen: meten en kunnen. Deze periode gaat dan ook over het kunnen meten. Meetkunde is een oeroude kennis die al duizenden jaren geleden voorkwam

Nadere informatie

Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting

Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting 1 Lijnen en rechten Hoe kunnen lijnen zijn? gebogen of krom gebroken recht We onthouden: Een rechte is een rechte lijn. c a b Een rechte heeft geen begin- en

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 : Hoeken ( Zie ook : boek pag 1 tot en met pag 33)

Hoofdstuk 1 : Hoeken ( Zie ook : boek pag 1 tot en met pag 33) - 1- Hoofdstuk 1 : Hoeken ( Zie ook : boek pag 1 tot en met pag 33) Hoekeenheden (boek pag 1) Hoofdeenheid om hoeken te meten is de grootte van de rechte hoek de graad :...... notatie :... de minuut :...

Nadere informatie

Kleur de congruente vierhoeken in onderstaand mozaïek in eenzelfde kleur.

Kleur de congruente vierhoeken in onderstaand mozaïek in eenzelfde kleur. VRAAG 1 Kleur de congruente vierhoeken in onderstaand mozaïek in eenzelfde kleur. VRAAG 2 Duid in de onderstaande figuur de overeenkomstige zijden en hoeken van de congruente driehoeken aan met eenzelfde

Nadere informatie

Lijst van alle opdrachten versie 13 mei 2014

Lijst van alle opdrachten versie 13 mei 2014 Lijst van alle opdrachten versie 13 mei 2014 Punt Pu1 Zorg dat Toon assen aan staat. Teken een punt in het vlak. Wijzig de naam naar X (hoofdletter!) (rechtsklikken op het punt voor openen snelmenu). Sleep

Nadere informatie

STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie

STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie Euclides van Alexandrië (ca. 265-200 v.chr.) Thales van Milete (ca. 624 v.chr. - 547 v.chr.) INHOUDSOPGAVE Algemene begrippen..blz. 1-3 - Stelling en bewijs

Nadere informatie

PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP

PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP OEFENINGEN 1 Kleur de figuren die congruent zijn met elkaar in dezelfde kleur. 2 Gegeven: PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP Gevraagd: Zijn de driehoeken congruent? Verklaar. 3 Gegeven: Gevraagd: Is

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN

Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN 1 / 6 H2 Vlakke figuren Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 46-74) 2.1 Herkennen van vlakke figuren In verband met een veelhoek: a) een veelhoek op de juiste wijze benoemen.

Nadere informatie

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ...

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ... PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE a) Begrippen uit de getallenleer Bewerking optelling aftrekking vermenigvuldiging Symbool deling : kwadratering... machtsverheffing...

Nadere informatie

BRUGPAKKET 8: VLAKKE FIGUREN

BRUGPAKKET 8: VLAKKE FIGUREN BRUGPAKKET 8: VLAKKE FIGUREN Brugpakket 8: Vlakke figuren 1 Vlakke figuren 1.1 Vlakke figuren: Veelhoeken en niet-veelhoeken Een veelhoek is enkel begrensd door rechte lijnen. OEFENING Zet een kruisje

Nadere informatie

Inhoud Methode Materiaal Timing V: Eigenschap: De som van de hoeken in een driehoek is gelijk aan 180.

Inhoud Methode Materiaal Timing V: Eigenschap: De som van de hoeken in een driehoek is gelijk aan 180. V: De som van de hoeken in een driehoek is gelijk aan 180. Neem dan eens allemaal een blad papier en teken daarop een driehoek. In elke hoek zet je een letter (A, B en C) of geef je een kleurtje. Knip

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 : Som Hoekgrootten van een veelhoek (boek pag 34)

Hoofdstuk 2 : Som Hoekgrootten van een veelhoek (boek pag 34) - 39- Hoofdstuk 2 : Som Hoekgrootten van een veelhoek (boek pag 34) Som hoekgrootten van een driehoek ( boek pag 35) Stelling: Voor ABC geldt: A ˆ + Bˆ + Cˆ = 180 o Bewijs: Trek door het punt A een rechte

Nadere informatie

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden

Nadere informatie

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

handleiding pagina s 241 tot Handleiding 1.1 Kopieerbladen pagina 59: wandelplannen pagina 60: grondplannen constructies 2 Werkboek

handleiding pagina s 241 tot Handleiding 1.1 Kopieerbladen pagina 59: wandelplannen pagina 60: grondplannen constructies 2 Werkboek week 8 les 5 toets en foutenanalyse handleiding pagina s 2 tot 29 nuttige informatie Handleiding. Kopieerbladen pagina 59: wandelplannen pagina 60: grondplannen constructies.2 Huistaken huistaak 5: bladzijde

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren 141 Eventjes herhalen : Wat is een homothetie? h (o,k) : Een homothetie met centrum o en factor k Het beeld van een punt Z door de homothetie met centrum O en factor

Nadere informatie

44 De stelling van Pythagoras

44 De stelling van Pythagoras 44 De stelling van Pythagoras Verkennen Pythagoras Uitleg Je kunt nu lezen wat de stelling van Pythagoras is. In de applet kun je de twee rode punten verschuiven. Opgave 1 a) Verschuif in de applet punt

Nadere informatie

Vlakke Meetkunde. Les 1 Congruentie en gelijkvormig

Vlakke Meetkunde. Les 1 Congruentie en gelijkvormig Vlakke Meetkunde Les 1 Congruentie en gelijkvormig (Deze les sluit aan bij het paragraaf 1 van Vlakke Meetkunde van de Wageningse Methode. Vlakke Meetkunde kun je downloaden vanaf de site van de Open Universiteit.

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 Driehoeken en cirkels uitwerkingen

Hoofdstuk 6 Driehoeken en cirkels uitwerkingen Kern Meetkundige plaatsen a Zie afbeelding rechts. b In het niet-gearceerde deel. c Op de middenparallel. l m 2 a Teken lijn m en lijn n, beide evenwijdig aan l en op een afstand van 3 cm van l. b Punten

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 995-996 : Tweede Ronde De tweede ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 Vlakke meetkunde

Hoofdstuk 2 Vlakke meetkunde Opstap eellijn, hoogtelijn, samen 180 en samen 360 O-1a P 60º R d O-2a O-3a d P x x Q e drie deellijnen van de driehoek gaan inderdaad door één punt. M O Zie opdraht O-2a. U S V T UV is de hoogtelijn op

Nadere informatie

7.0 Voorkennis. Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden.

7.0 Voorkennis. Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden. 7.0 Voorkennis Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden. Voorbeeld definitie: Een gestrekte hoek is een hoek van 180 ; Een rechte hoek is een hoek van 90 ; Een parallellogram is een vierhoek

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a Voorkennis: ijzondere figuren ladzijde 30 50 60 = 80 50 60 = 70 d V-a Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen Ja, de zwaartelijnen gaan door één punt: het zwaartepunt Ja, de hoogtelijnen gaan door één

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: HOEKEN. 4.5 Overstaande hoeken, aanliggende hoeken en nevenhoeken

Hoofdstuk 4: HOEKEN. 4.5 Overstaande hoeken, aanliggende hoeken en nevenhoeken 1-10 H4.Hoeken Hoofdstuk 4: HOEKEN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 144 170) 4.1 Hoeken Op de tekening van een hoek de benen, het hoekpunt en het binnengebied herkennen en benoemen. De definities van

Nadere informatie

Herhalingsles 5 Meetkunde Weeroefeningen

Herhalingsles 5 Meetkunde Weeroefeningen Herhalingsles 5 Meetkunde Weeroefeningen HB1.5 1 Teken de vierhoek die aan de opgesomde eigenschappen voldoet. Geef de best passende naam. eigenschappen teken best passende naam vier gelijke vier rechte

Nadere informatie

Vlakke meetkunde en geogebra

Vlakke meetkunde en geogebra Vlakke meetkunde en geogebra Open de geogebra-app. Kies het algebra- en tekenvenster. Aan de linkerkant zie je het algebravenster en rechts daarvan het tekenvenster met een x-as en een y-as. Om een rooster

Nadere informatie

2.1 Cirkel en middelloodlijn [1]

2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] 2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] Hiernaast staat de cirkel met middelpunt M en straal 2½ cm In het kort: (M, 2½ cm) Op de zwarte cirkel liggen alle punten P met PM = 2½ cm In het rode binnengebied liggen

Nadere informatie

Antwoordmodel - Vlakke figuren

Antwoordmodel - Vlakke figuren Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.

Nadere informatie

Samenvatting. Hoofdstuk 4. Machtsfunctie De functie f x x n heet een machtsfunctie. Het verloop van de grafiek hangt af van de waarde van n.

Samenvatting. Hoofdstuk 4. Machtsfunctie De functie f x x n heet een machtsfunctie. Het verloop van de grafiek hangt af van de waarde van n. Hoofdstuk Samenvatting Machtsfunctie De functie f n heet een machtsfunctie. Het verloop van de grafiek hangt af van de waarde van n. Gebroken functie Machtsfuncties waarbij n een negatief geheel getal

Nadere informatie

handleiding pagina s 965 tot Handleiding 1.2 Huistaken nihil 2 Werkboek 3 Posters 4 Scheurblokken bladzijden 117, 123, 129, 140 en Cd-rom

handleiding pagina s 965 tot Handleiding 1.2 Huistaken nihil 2 Werkboek 3 Posters 4 Scheurblokken bladzijden 117, 123, 129, 140 en Cd-rom week 32 les 2 toets en foutenanalyse handleiding pagina s 95 tot 974 nuttige informatie 1 Handleiding 1.1 Kopieerbladen pagina 444: tangram pagina 754: puzzel geometrische figuren pagina 837: diverse gezichtspunten

Nadere informatie

Vandaag 11/22/11$ ALS WE KIEZEN VOOR BEWIJZEN, LATEN WE DAN NIET TOVEREN. Moeilijk onderdeel van de leerstof

Vandaag 11/22/11$ ALS WE KIEZEN VOOR BEWIJZEN, LATEN WE DAN NIET TOVEREN. Moeilijk onderdeel van de leerstof 2 3 ALS WE KIEZEN VOOR BEWIJZEN, LATEN WE DAN NIET TOVEREN ErasmushogeschoolBrussel Lerarenopleiding LSO anne.schatteman@ehb.be Vandaag 2 Moeilijk onderdeel van de leerstof 3 Bewijzen worden behandeld

Nadere informatie

Basisconstructies, de werkbladen 1 Het midden van een lijnstuk

Basisconstructies, de werkbladen 1 Het midden van een lijnstuk Basisconstructies, de werkbladen 1 Het midden van een lijnstuk Basisconstructie 1 Het lijnstuk AB Neem vanuit A een afstand tussen de benen van de passer die wat groter is dan van A tot het geschatte midden

Nadere informatie

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een

Nadere informatie

8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Willem-Jan van der Zanden

8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Willem-Jan van der Zanden 8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] 1 8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn. De twee rode hoeken (F-hoeken) zijn gelijk.

Nadere informatie

HZH: c, α en β ZZR: a, b en β

HZH: c, α en β ZZR: a, b en β EETKUNE e hoekpunten van een driehoek of vierhoek geven we met HOOFLETTER aan. Lijnen krijgen een kleine letter en voor hoeken gebruiken we vaak Griekse letters. Het Griekse alfabet begint met de letters

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras

Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras Benamingen afspraken ( boek pag 53) - 49 We spreken van een rechthoekige driehoek als... We zeggen dat in de rechthoekige ABC de grootte van de hoek A 90 o is We

Nadere informatie

CEVA-DRIEHOEKEN. Eindwerk wiskunde 2010. Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi. Soetemans Dokus

CEVA-DRIEHOEKEN. Eindwerk wiskunde 2010. Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi. Soetemans Dokus CEVA-DRIEHOEKEN Eindwerk wiskunde 010 Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi Soetemans Dokus Inhoud 1. Inleiding... 4 1.1. Info over Giovanni Ceva... 4 1.. Wat zijn Ceva-driehoeken?... 4 1.3. Enkele voorbeelden...

Nadere informatie

Pienter 1ASO Extra oefeningen hoofdstuk 7

Pienter 1ASO Extra oefeningen hoofdstuk 7 Extra oefeningen hoofdstuk 7: Vlakke figuren 1 Teken binnen een cirkel met straal 6 cm een tweede cirkel met straal 2 cm. Wat is de kleinste en wat is de grootst mogelijke afstand tussen beide middelpunten?

Nadere informatie

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een

Nadere informatie

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16 Inhoud Voorwoord v Het metrieke stelsel vii Inhoud ix Trefwoordenlijst x 1 Basis 1.1 1.1 Veel voorkomende berekeningen 1.1 1.2 Van punt tot vlak 1.4 1.3 Oppervlakten berekenen 1.12 1.4 Zelf tekenen 1.16

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 0 tijdvak woensdag 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Hoofdstuk - Gelijkvormigheid Voorkennis V-1a /A = 74, /B 1 = 18 en /D 1 = 88 /A + /B 1 + /D 1 = 74 + 18 + 88 = 180 c /B = 104, /C = 55 en /D = 1 d /B = /B 1 + /B = 18 + 104 = 1 en /D = /D 1 + /D = 88 +

Nadere informatie

Lijnen van betekenis meetkunde in 2hv

Lijnen van betekenis meetkunde in 2hv Lijnen van betekenis meetkunde in 2hv Docentenhandleiding bij de DWO-module Lijnen van betekenis Deze handleiding bevat tips voor de docent bij het gebruiken van de module Lijnen van betekenis, een module

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5

Tentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 16 januari 2015 Tijd: 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 5 Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.

Nadere informatie

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1]

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] 12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] Stelling van de constante hoek: Voor de punten C en D op dezelfde cirkelboog AB geldt: ACB = ADB. Omgekeerde stelling van de constante hoek: Als punt D aan dezelfde

Nadere informatie

Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I

Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I - 1-1. Bewerkingen met hoeken kunnen uitvoeren met een ZRM: vb : 45 o 15 17 + 65 o 65 39 = 110 80 56 = 111 20 56 75 o 15 17-65 o 65 39 = 74 74 77 65 65 39 = 9 9 38 45 o 15 17 : 15 o 01 39 = = (162000 +

Nadere informatie

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2 Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2017-II

wiskunde B vwo 2017-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Laat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij één waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden

Laat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij één waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden Lesbrief 6 Meetkunde 1 Hoektransversalen in een driehoek ABC is een driehoek. Een lijn l door een hoekpunt A van de driehoek heet een hoektransversaal van A. We zullen onderzoeken onder welke voorwaarden

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

Wiskunde Opdrachten Vlakke figuren

Wiskunde Opdrachten Vlakke figuren Wiskunde Opdrachten Vlakke figuren Opdracht 1. Teken in de figuren hieronder alle symmetrieassen. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. Opdracht 2. A. Welke

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 : De driehoek

Hoofdstuk 5 : De driehoek Hoofdstuk 5 : De driehoek - 89 1. Congruente figuren Figuren die elkaar volkomen kunnen bedekken noemen we congruente figuren. Congruente figuren hebben dezelfde vorm (~ ) en dezelfde grootte (=). Als

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

handleiding pagina s 1005 tot 1015 1 Handleiding 1.2 Huistaken nihil 2 Werkboek 3 Posters 4 Scheurblokken bladzijden 122, 147, 150 en 156 5 Cd-rom

handleiding pagina s 1005 tot 1015 1 Handleiding 1.2 Huistaken nihil 2 Werkboek 3 Posters 4 Scheurblokken bladzijden 122, 147, 150 en 156 5 Cd-rom week 32 les 2 toets en foutenanalyse handleiding pagina s 1005 tot 1015 nuttige informatie 1 Handleiding 11 Kopieerbladen pagina 812: gelijkvormig / vervormen pagina 813: patronen pagina 814: kubus pagina

Nadere informatie

BETALES. Wiskunde B. Examenoefeningen VWO. A. Smit BSc 3/14/2017

BETALES. Wiskunde B. Examenoefeningen VWO. A. Smit BSc 3/14/2017 BETALES Wiskunde B Examenoefeningen VWO A. Smit BSc 3/14/2017 Examenopdrachten op basis van oude examens van www.examenblad.nl. Ieder examen in deze bundel moet in 3h gemaakt kunnen worden, gelijk aan

Nadere informatie

DEEL I. Vlakke figuren. Hoofdstuk 1. Vlakke figuren 6 Hoofdstuk 2. Rechten 20 Hoofdstuk 3. Lijnstukken 39 Hoofdstuk 4. Hoeken 57

DEEL I. Vlakke figuren. Hoofdstuk 1. Vlakke figuren 6 Hoofdstuk 2. Rechten 20 Hoofdstuk 3. Lijnstukken 39 Hoofdstuk 4. Hoeken 57 DEEL I Vlakke figuren Hoofdstuk. Vlakke figuren 6 Hoofdstuk. Rechten 0 Hoofdstuk. Lijnstukken 9 Hoofdstuk. Hoeken 57 Vlakke figuren OP VERKENNING! Sneeuwvlokjes zijn een mooi voorbeeld van meetkunde in

Nadere informatie

Meetkunde. Trainingsweekend 23 25 januari 2009. 1 Gerichte hoeken. gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi

Meetkunde. Trainingsweekend 23 25 januari 2009. 1 Gerichte hoeken. gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi Meetkunde gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi Trainingsweekend 23 25 januari 2009 Als je een meetkundig probleem aan het oplossen bent, stuit je vaak op verschillende oplossingen voor de verschillende

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 005-006: tweede ronde Volgende benaderingen kunnen nuttig zijn bij het oplossen van sommige vragen 1,1 1,71 5,61 π,116 1 ls a a 17 a m = a 006, met a R + \{0, 1}, dan is m gelijk

Nadere informatie

1 Coördinaten in het vlak

1 Coördinaten in het vlak Coördinaten in het vlak Verkennen Meetkunde Coördinaten in het vlak Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er niet uitkomt, ga je gewoon naar de Uitleg, maar bekijk het probleem

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Driehoeksmeting in een. Copyright. rechthoekige driehoek

Driehoeksmeting in een. Copyright. rechthoekige driehoek Driehoeksmeting in een opyright rechthoekige driehoek opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek. Goniometrische getallen van een scherpe hoek.... Sinus, cosinus en tangens van een scherpe hoek...

Nadere informatie

Deze stelling zegt dat je iedere rechthoekige driehoek kunt maken door drie vierkanten met de hoeken tegen elkaar aan te leggen.

Deze stelling zegt dat je iedere rechthoekige driehoek kunt maken door drie vierkanten met de hoeken tegen elkaar aan te leggen. Meetkunde Inleiding We beginnen met het doorlezen van alle theorie uit hoofdstuk 3 van het boek. Daar staan een aantal algemene regels goed uitgelegd. Waar je nog wat extra uitleg over nodig hebt, is de

Nadere informatie

Extra oefeningen wiskunde 3lawe 3wet Transformaties, Stelling van Thales, Homothetie. Meetkunde. Transformaties en Stelling van Thales.

Extra oefeningen wiskunde 3lawe 3wet Transformaties, Stelling van Thales, Homothetie. Meetkunde. Transformaties en Stelling van Thales. Etra oefeningen wiskunde 3lawe 3wet Transformaties, Stelling van Thales, Homothetie. Meetkunde Transformaties en Stelling van Thales.. Waar of niet waar? a. Het beeld van een rechte door de projectie op

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales

Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales - 127 1. Projectie op een rechte (boek pag 175) x en y zijn twee... rechten. We trekken door het punt A een evenwijdige rechte met de rechte y en noemen het

Nadere informatie

Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde

Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde Vierhoeken Vierkant Rechthoek Parallellogram Ruit Trapezium Vlieger Vierhoek 1. Vierkant zijde zijde Een vierkant is een vierhoek met vier rechte hoeken én vier

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde 1. Het quotiënt 28 is gelijk aan 82 (A) 2 0 () 2 1 (C) 2 2 (D) 2 3 (E) 2 4 2. Het resultaat van de vermenigvuldiging 1 3 5 7 9 2011 eindigt op het cijfer

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 - Meetkundige plaatsen

Hoofdstuk 5 - Meetkundige plaatsen oderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: Eigenschappen en ewijzen ladzijde 138 V-1a Gegeven: Driehoek met hoeken :, en Te ewijzen: 180 ewijs: 1 3 Teken lijn door die evenwijdig loopt met : lijn door

Nadere informatie

Voorbereiding : examen meetkunde juni - 1 -

Voorbereiding : examen meetkunde juni - 1 - Voorbereiding : examen meetkunde juni - 1 - De driehoek : Congruentiekenmerken van een driehoek kennen Soorten lijnen in een driehoek kennen Bissectricestelling kennen Stelling van het zwaartelijnstuk

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 58 Voorkennis V-1a /A 5 74, /B 1 5 18 en /D 1 5 88 /A 1 /B 1 1 /D 1 5 74 1 18 1 88 5 180 c /B 2 5 104, /C 5 55 en /D 2 5 21 d /B 5 /B 1 1 /B 2 5 18 1 104 5 122 en /D 5 /D 1 1 /D 2 5 88 1 21 5 109, dus

Nadere informatie

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4 Wiskunde Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4 Paragraaf 4 Het inproduct om hoeken te berekenen Opgave a e hoek is kleiner dan 4, want het dak zelf staat onder een hoek van 45, en de kilgoot loopt schuin

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Driehoeken vmbo-kgt34. CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie. http://maken.wikiwijs.nl/74268

Driehoeken vmbo-kgt34. CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie. http://maken.wikiwijs.nl/74268 Auteur VO-content Laatst gewijzigd Licentie Webadres 24 May 2016 CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie http://maken.wikiwijs.nl/74268 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijsleermiddelenplein. Wikiwijsleermiddelenplein

Nadere informatie

Bijkomende Oefeningen: Les 1

Bijkomende Oefeningen: Les 1 1 Inhoudstafel ijkomende Oefeningen: Les 1...2 ijkomende Oefeningen: Les 2...3 ijkomende Oefeningen: Les 3...4 ijkomende Oefeningen: Les 4...5 ijkomende Oefeningen: Les 5...6 ijkomende Oefeningen: Les

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

ZESDE KLAS MEETKUNDE

ZESDE KLAS MEETKUNDE ZESDE KLAS MEETKUNDE maandag 1. Het vierkant. Eigenschappen. 2. Vierkanten tekenen met passer en lat vanuit zeshoek 3. Vierkanten tekenen met passer en lat binnen cirkel 4. Vierkanten tekenen met passer

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1997-1998: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt

Nadere informatie

Construeer telkens twee hoeken waarvan de cosinus of sinus gegeven is. Teken voor elke opgave een andere goniometrische cirkel.

Construeer telkens twee hoeken waarvan de cosinus of sinus gegeven is. Teken voor elke opgave een andere goniometrische cirkel. Herhalingsoefeningen Driehoeksmeting Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1 Construeer

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2017-I

wiskunde B vwo 2017-I wiskunde vwo 017-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek,

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 2008-2009: eerste ronde 1 Hoeveel is 2 5 7? (A) 10 21 (B) 25 7 (C) 7 10 (D) 1 15 (E) 29 21 2 Welke van volgende sommen is gelijk aan 10? (A), + 5,555 (B) 2,222 + 6,666 (C),

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3

Nadere informatie