7.1 Symmetrie[1] Willem-Jan van der Zanden

Transcriptie

1 7.1 Symmetrie[1] Al de drie figuren hierboven zijn lijnsymmetrisch; Je kunt ze op één of meerdere manieren dubbelvouwen zodat de ene helft het spiegelbeeld van de andere helft is; De vouwlijn heet de symmetrieas/spiegelas; De vlinder heeft één symmetrieas; Het verkeersbord heeft vier symmetrieassen; De sneeuwvlok heeft zes symmetrieassen. 1

2 7.1 Symmetrie[2] Let op: Laat de hulplijnen staan; Let op de tekens voor even lange lijnstukken; Let op de loodrecht tekens. 2

3 7.1 Symmetrie[3] Het rode kruis hierboven is draaisymmetrisch. Als je de figuur draait zonder helemaal rond te gaan, krijg je hetzelfde rode kruis weer terug. Helemaal rond = 360 ; 4 stappen nodig om rond te zijn; Per stap 360 /4 = 90 ; 90 = kleinste draaihoek. De figuur heeft een draaihoek van 180 en is ook puntsymmetrisch. 3

4 7.1 Symmetrie[3] Helemaal rond = 360 ; 3 stappen nodig om rond te zijn; Per stap 360 /3 = 120 ; 120 = kleinste draaihoek; De figuur heeft geen draaihoek van 180 en is dus niet puntsymmetrisch. 4

5 7.1 Symmetrie[3] Helemaal rond = 360 ; 5 stappen nodig om rond te zijn; Per stap 360 /5 = 72 ; 72 = kleinste draaihoek; De figuur heeft geen draaihoek van 180 en is dus niet puntsymmetrisch 5

6 7.1 Symmetrie[4] 6

7 7.2 Spiegelen in de ruimte [1] De bovenstaande balk heeft een drie symmetrievlakken. Wat een symmetrielijn is bij een vlak figuur is een symmetrievlak bij een ruimtefiguur. 7

8 7.3 Vierhoeken [1] Parallellogram: De overstaande zijden zijn evenwijdig; De overstaande zijden zijn even lang; De overstaande hoeken zijn even groot; De diagonalen delen elkaar door de midden; Puntsymmetrisch. 8

9 7.3 Vierhoeken [2] Ruit: Alle zijden zijn even lang; De diagonalen staan loodrecht op elkaar; De diagonalen delen de hoeken middendoor; De diagonalen zijn de symmetrieassen van de ruit; Alle eigenschappen van de parallellogram. Een ruit is een vierhoek waarvan alle zijden even lang zijn. 9

10 7.3 Vierhoeken [3] Een trapezium is een vierhoek waarvan één paar overstaande zijden evenwijdig is. In dit voorbeeld zijn de zijden AD en BC even lang. Dit trapezium is daarom een gelijkbenig trapezium. 10

11 7.3 Vierhoeken [3] Een vlieger is een vierhoek waarvan precies één van de diagonalen een symmetrieas is. Een vlieger bestaat dus uit twee gelijke driehoeken. 11

12 7.3 Vierhoeken [3] Met dank aan: 12

13 7.4 Bijzondere lijnen [1] De gestippelde lijn staat loodrecht op het lijnstuk AB; De gestippelde lijn gaat door het midden van het lijnstuk AB. Middelloodlijn: De lijn die door het midden van een lijnstuk gaat en er loodrecht op staat. Elk punt op de middelloodlijn van lijnstuk AB ligt even ver van A als van B; Alle punten die even ver van A als van B liggen, zijn samen de middelloodlijn van het lijnstuk AB. 13

14 7.4 Bijzondere lijnen [1] 14

15 7.4 Bijzondere lijnen [2] Bissectrice: Dit is een lijn, die een hoek door de midden deelt. Voor elk punt dat op de bissectrice ligt, geldt: de afstand tot beide benen van de hoek is gelijk. 15

16 7.5 Hoeken berekenen [1] Overzicht hoeken berekenen: Overstaande hoeken zijn gelijk; [Overstaande hoeken] Een rechte hoek is 90 ; [Rechte hoek] Een gestrekte hoek is 180 ; [Gestrekte hoek] Een volle hoek is 360 ; [Volle hoek] De drie hoeken van een driehoek zijn samen 180 ; [Hoeksom driehoek] In een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken gelijk;[basishoeken] Een bissectrice deelt de hoek middendoor; [Bissectrice] De vierhoeken van een vierhoek zijn samen 360. [Hoeksom vierhoek] 16

17 7.5 Hoeken berekenen [2] Voorbeeld: In ABC is B = 30, C = 40 en A 1 = A 2. Bereken D 1 en D 2. A 12 = B - C ( -som ABC) = = 110 A 1 = A 2 = A 12 /2 = 110 /2 = 55 D 1 = A 1 - C ( -som ADC) = = 85 D 2 = D 1 (gestrekte ) = = 95 17

18 7.5 Opgave 58 D 1 + A = C 1 ( -som ADC) = = 138 D 1 = A = ( D 1 + A) = 138 /2 = 69 (gelijkbenige ) D 2 = D 1 (gestrekte ) = = 111 B = C 2 - D 2 ( -som BCD) = = 27 18

19 7.5 Opgave 61 C 2 = E - G ( -som CEG) = = 42 C 1 = C 2 = 42 A + D 1 = C 1 = = 138 D 1 = A = ( A + D 1 )/2 = (138 )/2 = 69 ( -som ACD) (bissectrice) D 2 = D 1 (gestrekte ) = =

20 7.5 Opgave 62 Q 1 + S = P ( -som PQS) = = 136 Q 1 = S = ( Q 1 + S)/2 (gelijkbenige ) = 136 /2 = 68 Q 2 = Q 1 (gestrekte ) = = 112 U 2 + T 1 = S ( -som UST) = = 112 U 2 = T 1 = ( U 2 + T 1 )/2 (gelijkbenige ) = 112 /2 = 56 T 3 = T 1 = 56 (overstaande -en) 20

21 7.5 Opgave 62 R = Q 2 - T 3 ( -som QTR) = = 12 21

22 Opgave 64A: K = L = M = 60 (gelijkzijdige ) 7.5 Opgave 64 M 23 = M - M 1 = = 48 N 2 = Q - M 23 ( -som MNQ) = = 42 Opgave 64B: N 1 = M 1 - K ( -som KNM) = = 108 N 23 = N 1 (gestrekte ) = = 72 22

23 7.5 Opgave 64 Opgave 64B: P 1 = N 23 = 72 (gelijkbenige MNP) M 2 = N 23 - P 1 ( -som MNP) = = 36 Opgave 64C: N 3 = N 23 - N 2 = = 30 S 2 = N 3 - P 1 ( -som NSP) = = 78 23

24 7.6 F-hoeken en Z-hoeken [1] Twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn. De twee rode hoeken (Z-hoeken) zijn gelijk. Let op: Als je bij een hoekenberekening gebruik maakt van Z-hoeken, geef dit dan aan. 24

25 7.6 F-hoeken en Z-hoeken [2] Twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn. De twee rode hoeken (F-hoeken) zijn gelijk. Let op: Als je bij een hoekenberekening gebruik maakt van F-hoeken, geef dit dan aan. 25

26 7.6 Opgave 76 A 2 + C 2 = D = = 52 ( -som ACD) C 2 = ( A 2 + C 2 )/2 (basishoeken gelijkbenige ) = 52 /2 = 26 A 1 = C 2 = 26 C 1 + B = A 1 = = 154 (Z-hoeken) ( -som ABC) B = ( B + C 1 )/2 (basishoeken gelijkbenige ) = 154 /2 = 77 26

27 7.6 Opgave 77 Opgave 77A: D 1 = B = 68 (F-hoeken) Opgave 77B: C 2 = A - B - C 1 ( -som ABC) = = 28 Opgave 77C: C 1 = D 2 = 30 (Z-hoeken) Opgave 77D: E 1 = D 2 - C 2 ( -som DEC) = = 122 E 2 = E 1 (gestrekte ) = = 58 27

28 7.6 Opgave 78 C = A - B ( -som ABC) = = 64 E 1 = C = 64 (F-hoeken) D 3 = E 1 - B ( -som BDE) = = 76 E 3 = E 2 - E 1 (gestrekte ) = = 26 S 1 = D 3 - E 2 ( -som DES) = = 14 S 4 = S 1 (gestrekte ) = =

29 7.6 Opgave 79 Opgave 79A A = C = 69 (parallellogram) B + D 12 = A - C ( -som ABCD) = = 222 B = D 12 = ( B + D)/2 (parallellogram) = 222 /2 = 111 E 1 = C 1 = 40 (Z-hoeken) 29

30 7.6 Opgave 79 Opgave 79B D 1 = A = 69 (gelijkbenige ABD) B 1 S 1 = D 1 - A ( -som ABD) = = 42 = B 1 - E 1 ( -som EBS) = = 98 30

31 7 Samenvatting Symmetrie: Als je een figuur op één of meerdere manieren kunt dubbelvouwen zodat de ene helft precies op de andere helft past is de figuur lijnsymmetrisch; Als je een figuur weer terugkrijgt door haar over een bepaalde hoek te draaien, dan is het figuur draaisymmetrisch. De draaihoek mag geen 360 zijn; Een figuur met een draaihoek van 180 is puntsymmetrisch. Je moet een figuur kunnen spiegelen in een punt en een lijn. Parallellogram: De overstaande zijden zijn evenwijdig en even lang; De overstaande hoeken zijn even groot; De diagonalen delen elkaar door de midden; Puntsymmetrisch. 31

32 7 Samenvatting Ruit: Alle zijden zijn even lang; De diagonalen staan loodrecht op elkaar en delen de hoeken middendoor; De diagonalen zijn de symmetrieassen van de ruit; Alle eigenschappen van de parallellogram. Rekenen met hoeken: Overstaande hoeken zijn gelijk; [Overstaande hoeken] Een rechte hoek is 90 ; [Rechte hoek] Een gestrekte hoek is 180 ; [Gestrekte hoek] Een volle hoek is 360 ; [Volle hoek] De drie hoeken van een driehoek zijn samen 180 ; [Hoeksom driehoek] In een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken gelijk;[basishoeken] Een bissectrice deelt de hoek middendoor; [Bissectrice] De vierhoeken van een vierhoek zijn samen 360. [Hoeksom vierhoek] Twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn (Z-hoeken); Twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn. (F-hoeken). 32