Vlakke Meetkunde Meetkundige plaatsen en krommen. Cursus voor de vrije ruimte

Transcriptie

1 Vlakke Meetkunde Meetkundige plaatsen en krommen Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte

2 2

3 Hoofdstuk 1 Meetkundige plaatsen 1.1 Herhaling: analytische meetkunde Affiene meetkunde In het affien vlak Π zijn de begrippen van punt en rechte vastgelegd door vier axioma s. We herhalen: Π1 Het affien vlak is een oneindige verzameling van punten. Π2 Een rechte is een oneindige echte deelverzameling van het affien vlak. Π3 Door twee verschillende punten gaat juist één rechte. Π4 Door elk punt gaat juist één rechte evenwijdig met een gegeven rechte. In een affien vlak zijn de volgende begrippen gedefinieerd: lijnstukken, vectoren en midden van een lijnstuk M is midden van [AB] als MA + MB = o; evenwijdige rechten; collineaire punten en concurrente rechten; veelhoeken waaronder driehoeken, parallellogrammmen, trapezia; speciale lijnen in een driehoek: zwaartelijnen; 3

4 4 HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN speciale punten in een driehoek: zwaartepunt; transformaties: verschuivingen, evenwijdige projecties, homothetiën en evenwijdige spiegelingen. Analytische uitdrukkingen in het affien vlak Richting van een rechte (l, m) is een stel richtingsgetallen van een rechte a y (l 0) m l is de richtingscoëfficiënt van a ω is de richtingscoëfficiënt van a (1, ω) is een stel richtingsgetallen van a Zijn A(x 1, y 1 ) en B(x 2, y 2 ) punten van een rechte a dan geldt a) AB is een richtingsvector van a. b) AB = OB OA = (x2, y 2 ) (x 1, y 1 ) = (x 2 x 1, y 2 y 1 ) is een stel richtingsgetallen van a. c) y 2 y 1 x 2 x 1 is de richtingscoëfficiënt van de rechte a op voorwaarde dat x 1 x 2. Vergelijking van een rechte De rechte a is bepaald door een stel richtingsgetallen (l, m) en een punt P (x 1, y 1 ): a O : mx ly = 0 is de vergelijking van de richtingsruimte van a; De rechte a is het beeld van a O onder een verschuiving met vector (x 1, y 1 ). De vergelijking van a is m(x x 1 ) l(y y 1 ) = 0 De rechte a is bepaald door de richtingscoëfficiënt ω en een punt P (x 1, y 1 ). a O : y = ωx is de vergelijking van de richtingsruimte van a; De rechte a is het beeld van a O onder een verschuiving met vector (x 1, y 1 ). De vergelijking van a is (y y 1 ) = ω(x x 1 )

5 1.1. HERHALING: ANALYTISCHE MEETKUNDE 5 De rechte a gaat door (x 1, y 1 ) en is evenwijdig met b : ux + vy + w = 0. a O : ux + vy = 0 is de vergelijking van de richtingsruimte van a; De rechte a is het beeld van a O onder een verschuiving met vector (x 1, y 1 ). De vergelijking van a is u(x x 1 ) + v(y y 1 ) = 0 a = AB met A(x 1, y 1 ) en B(x 2, y 2 ): (x 2 x 1, y 2 y 1 ). is een stel richtingsgetallen van a; a O : (y 2 y 1 )x (x 2 x 1 )y = 0 is de vergelijking van de richtingsruimte van a; De vergelijking van a is: (y 2 y 1 )(x x 1 ) (x 2 x 1 )(y y 1 ) = 0 x 1 x 2 y y1 = y 2 y 1 (x x 1 ) x 2 x 1 De rechte a is bepaald door zijn doorgangen p en q met resp. de x-as en de y-as. De vergelijking van a is x p + y q = 1. Bijzondere gevallen: 1. a y en A(x 1, y 1 ) a dan is de vergelijking van a: x = x 1 (y ontbreekt) 2. a x en A(x 1, y 1 ) a dan is de vergelijking van a: y = y 1 (x ontbreekt) De algemene vergelijking van een rechte a is van de gedaante ux + vy + w = 0 met (u, v) (0, 0). Daarin is de eenvoudige oplossing (v, u) van a 0 : ux + vy = 0 een stel richtingsgetallen van de rechte.

6 6 HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN Euclidische meetkunde In een euclidisch vlak bestaat het scalair product en de daaruit volgende begrippen: hoek tussen twee rechten en loodrechte stand van twee rechten; afstand tussen twee punten en afstand van een punt tot een rechte; middelloodlijn van een lijnstuk, bissectrices van twee rechten en middenparallel van twee evenwijdige rechten; driehoeken: rechthoekige driehoeken, gelijkbenige driehoeken en gelijkzijdige driehoeken; speciale lijnen in een driehoek: middelloodlijnen, hoogtelijnen, bissectrices; speciale punten in een driehoek: hoogtepunt en middelpunt van om- en ingeschreven cirkel; ruiten, rechthoeken, vierkanten en cirkels; transformaties: loodrechte projecties, loodrechte spiegelingen, rotaties. Analytische uitdrukkingen in het euclidisch vlak De volgende analytische uitdrukkingen zijn enkel geldig t.o.v. een orthonormale basis. Scalair product van twee vectoren Is v 1 = v 2 = v(l, m) dan is v 1 v 2 = (l 1, m 1 ) (l 2, m 2 ) l 1 l 2 + m 1 m 2 v 2 = v 2 = l 2 + m 2 v = l 2 + m 2. Afstanden De afstand tussen de punten A(x 1, y 1 ) en B(x 2, y 2 ): d(a, B) = AB = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. De afstand van een punt P (x 1, y 1 ) tot een rechte a : ux + vy = w = 0: d(p, a) = ux 1 + vy 1 + w u2 + v 2.

7 1.1. HERHALING: ANALYTISCHE MEETKUNDE 7 Loodrechte stand van twee vectoren (l 1, m 1 ) en l 2, m 2 ) zijn de coördinaten van resp. v 1 en v 2 : v 1 v 2 (l 1, m 1 ) (l 2, m 2 ) = 0 l 1 l 2 + m 1 m 2 = 0 Vergelijking van een rechte De rechte is bepaald door een punt (x 1, y 1 ) en een normaalvector (u, v). a O : ux + vy = 0 is de vergelijking van de richtingsruimte van a; De rechte a is het beeld van a O onder een verschuiving met vector (x 1, y 1 ). De vergelijking van a is u(x x 1 ) + v(y y 1 ) = 0 De rechte is bepaald door een punt (x 1, y 1 ) en staat loodrecht op rechte b : ux+vy+w = 0. a O : vx uy = 0 is de vergelijking van de richtingsruimte van a; De rechte a is het beeld van a O onder een verschuiving met vector (x 1, y 1 ). De vergelijking van a is v(x x 1 ) u(y y 1 ) = 0 Loodrechte stand van twee rechten Gegeven zijn a : u 1 x + v 1 y + w 1 = 0 en b : u 2 x + v 2 y + w 2 = 0: a b u 1 u 2 + v 1 v 2 = 0 (l 1, m 1 ) en l 2, m 2 ) zijn de stellen richtingsgetallen van resp. de rechten a en b: a b l 1 l 2 + m 1 m 2 = 0 ω 1 en ω 2 zijn de richtingscoëfficiënten van resp. de rechten a en b (1, ω 1 ) en (1, ω 2 ) stellen richtingsgetallen. a b 1 + ω 1 ω 2 = 0 ω 1 ω 2 = 1

8 8 HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN De formule van Chasles-Möbius en twee interessante eigenschappen Uit de formule van Chasles Möbius kunnen we twee eigenschappen afleiden die geldig zijn in een driehoek en waarin gebruik gemaakt wordt van een zwaartelijn. In driehoek ABC beschouwen we het midden M van de zijde [AB]. De formule van Chasles-Möbius in de driehoek ACM geeft: We kwadrateren beide leden: CA = CM + MA ( CA) 2 = ( CM) 2 + ( MA) 2 + 2CM MA CA 2 = CM 2 + MA 2 + 2CM MA (1.1) In driehoek BCM geldt de analoge betrekking. We moeten enkel A vervangen door B. CB 2 = CM 2 + MB 2 + 2CM MB (1.2) Tellen we de betrekkingen 1.1 en 1.2 lid aan lid op en houden we rekening met het feit dat MA = MB = 1 AB dan verkrijgen we: 2 CA 2 + CB 2 = 2 CM AB AB 2 + 2CM ( MA + MB) CA 2 + CB 2 = 2 CM AB CM o CA 2 + CB 2 = 2 CM AB 2 Hieruit volgt een eigenschap van de lengte van een zwaartelijn van een driehoek: CM 2 = 1 2 ( CA 2 + CB 2 ) 1 4 AB 2 (1.3) Trekken we de betrekkingen 1.1 en 1.2 lid aan lid af en houden we rekening met het feit dat MA = MB dan verkrijgen we: CA 2 CB 2 = 2CM ( MA MB)

9 1.1. HERHALING: ANALYTISCHE MEETKUNDE 9 CA 2 CB 2 = 2CM ( MA + BM) CA 2 CB 2 = 2 CM BA Hieruit volgt een eigenschap van het verschil van de kwadraten van twee zijden van een driehoek: CA 2 CB 2 = 2MC AB (1.4) Figuur 1.1: eigenschappen in een driehoek

10 10 HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN 1.2 Meetkundige plaatsen Een meetkundige plaats van punten is de verzameling van punten die voldoen aan een gegeven meetkundige voorwaarde. We vermelden hier een aantal gekende meetkundige plaatsen: 1. de middelloodlijn van een lijnstuk is de meetkundige plaats van de punten die op gelijke afstand liggen van de eindpunten van het lijnstuk. 2. de bissectrices van twee snijdende rechten is de de meetkundige plaats van de punten die op gelijk afstand liggen van de twee rechten. 3. de middenparallel van evenwijdige rechten is de de meetkundige plaats van de punten die op gelijk afstand liggen van de twee rechten. 4. de cirkel is de meetkundige plaats van de punten die op gelijke afstand liggen van een punt. 5. de cirkel is de meetkundige plaats van de punten die een lijnstuk zien onder een rechte hoek. Uit deze voorbeelden leiden we af dat een bepaalde verzameling van punten op verschillende manieren een meetkundige plaats kan zijn. Een rechte kan bijvoorbeeld een middeloodlijn, een bissectrice of een middenparallel zijn maar kan nog op zeer veel andere manieren bekomen worden als meetkundige plaats. Een cirkel zal ook dikwijls het resultaat zijn van een meetkundige plaats. 1. Soms kan een meetkundige plaats op meetkundige wijze bekomen worden door ze te herleiden tot een gekende meetkundige plaats. Dit laatste vergt een behoorlijk meetkundig inzicht in figuren. Dat is de mooiste manier om een meetkundige plaats te bepalen. 2. Veelal reikt ons meetkundig inzicht niet ver genoeg en zijn we genoodzaakt de meetkundige plaats door berekening te verkrijgen. We voeren een assenstelsel in. We berekenen de vergelijking van de meetkundige plaats t.o.v. dat assenstelsel. We geven de meetkundig interpretatie van het resultaat. In dit hoofdstuk worden twee methodes aangereikt om de vergelijking van een meetkundige plaats te vinden.

11 1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN 11 (a) De eerste methode is gewoon het analytisch uitdrukken van de meetkundige voorwaarde. Dit is voor jullie niet nieuw en werd reeds meerdere malen gebruikt, bijvoorbeeld bij het opstellen van de algemene vergelijking van een cirkel, de vergelijking van de middelloodlijn van een gegeven lijnstuk, de vergelijkingen van de bissectrices van twee snijdende rechten, de vergelijking van de middenparallel van twee evenwijdige rechten. (b) De tweede methode om langs analytische weg een meetkundige plaats te vinden is de methode van de geassocieerde krommen.

12 12 HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN Methode I: analytisch uitdrukken van de meetkundige voorwaarde Bij deze methode geven we aan het punt dat de meetkundige plaats m beschrijft een coördinaat (x, y) t.o.v. een affien (willekeurige basis) of euclidisch (orthonormale basis) coördinatenstelsel. We zoeken dan het verband tussen x en y zó dat aan de meetkundige voorwaarde voldaan is. Om er weer in te komen: Bepaal de middelloodlijn van het lijnstuk [AB] met A( 1, 2) en B(2, 4). Oplossing: P m P A = P B P A 2 = P B 2 (x + 1) 2 + (y 2) 2 = (x 2) 2 + (y 4) 2 6x + 4y 15 = 0 Bepaal de bissectrices van de rechten a : 3x + 4y = 0 en b : x y = 2. Oplossing: (De gegeven rechten zijn snijdend omdat de normaalvectoren (3, 4) en (1, 1) niet evenwijdig zijn.) P m d(p, a) = d(p, b) P (x, y) m 3x + 4y = x y x + 4y = x y 2 3x + 4y = x y (3x + 4y) = 5(x y 2) 2(3x + 4y) = 5(x y 2) (3 2 5)x + ( )y + 10 = 0 ( )x + (4 2 5)y 10 = 0 Deze vergelijkingen zijn de vergelijkingen van de bissectrices van a en b. We kunnen hier gemakkelijk aantonen dat de bissectrices loodrecht op elkaar staan. Inderdaad het scalair product van de normaalvectoren is gelijk aan nul. (3 2 5)( ) + (4 2 5)( ) = 0

13 1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN 13 Bepaal de middenparallel van de rechten a : 2x + 3y 1 = 0 en b : 4x + 6y + 5 = 0. Oplossing: (De gegeven rechten zijn evenwijdig omdat de normaalvectoren (2, 3) en (4, 6) evenwijdig zijn.) P m d(p, a) = d(p, b) P (x, y) m 2x + 3y = 4x + 6y x + 3y = 4x + 6y + 5 2x + 3y 1 4x + 6y + 5 = (2x + 3y 1) = 13(4x + 6y + 5) 52(2x + 3y 1) = 13(4x + 6y + 5) ( )x + ( )y = 0 ( )x + ( )y = 0 Omdat 52 = 2 13 verkrijgen we 0x + 0y 7 13 = x y = 0 2x + 3y = 0 Deze vergelijking is de vergelijking van de middenparallel van a en b Stel de vergelijking op van de cirkel c met middelpunt M(x o, y o ) en straal r. P c P M = r P M 2 = r 2 (r > 0) P (x, y) c (x x o ) 2 + (y y o ) 2 = r 2. (1.5) De vergelijking van de cirkel c(m(x o, y o ); r) is:. x 2 + y 2 2x o x 2y o y + x 2 o + yo 2 r 2 = 0

14 14 HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN De vergelijking is van de gedaante x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 met (a, b, c) R Wordt de vergelijking van een cirkel gegeven in deze gedaante dan kunnen we de coördinaat van het middelpunt en de straal berekenen door het eerste lid te splitsen in onafhankelijke kwadraten om zodoende de gedaante 1.5 te bekomen. (x 2 + 2ax + a 2 ) + (y 2 + 2by + b 2 ) = a 2 + b 2 c (x + a) 2 + (y + b) 2 = a 2 + b 2 c Deze vergelijking stelt een cirkel voor op voorwaarde dat het tweede lid groter is dan 0. Dit is als de parameters a, b en c voldoen aan de volgende ongelijkheid: a 2 + b 2 c > 0 TAAK 1 Zoek de vergelijkingen van de bissectrices van het rechtenpaar {a, b} met a : x + 2y 6 = 0 en b : 5x 4y + 20 = 0. Construeer de bissectrices en controleer met de berekeningen. opl: ( )x + (2 41 ± 4 5)y = 0 2 Zoek de vergelijking van de middelloodlijn van het lijnstuk [AB] met A(1, 3) en B( 5, 2). Construeer de middelloodlijn en controleer met de berekeningen. Opl.: 12x + 10y Zoek de vergelijking van de middenparallel van de rechten a : 6x+7y 21 = 0 en b : 6x 7y 28 = 0. Construeer de middenparallel en controleer met de berekeningen. opl.: 6x 7y 7 2 = 0

15 1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN 15 Nog heel veel nieuwe meetkundige plaatsen: MEETKUNDIGE PLAATS 1 De meetkundige plaats van de punten die een gegeven lijnstuk zien onder een rechte hoek is een cirkel waarvan het lijnstuk een middellijn is. Vorig jaar hebben jullie gezien dat elk punt van de cirkel een middellijn ziet onder een rechte hoek. 1. Tekening van de gegevens We tekenen het gegeven lijnstuk [AB] met een bepaalde lengte die we voorstellen door 2r. 2. Speciale punten van de meetkundige plaats We bekomen een punt van de meetkundige plaats door een willekeurige rechte a te trekken door het punt A en dan een loodlijn b te trekken door B loodrecht op a. Het snijpunt van a en b is een punt van de meetkundige plaats. 3. Het coördinatenstelsel In de opgave is er sprake van loodrechte stand dus moeten we een orthonormaal coördinatenstelsel kiezen. We kiezen de oorsprong O in het midden van lijnstuk [AB] (de punten A en B spelen een evenwaardige rol). We leggen de x-as langs het lijnstuk [AB] en ijken de x-as zo dat A en B resp. de coördinaten ( r, 0) en (r, 0) krijgen. De y-as gaat door O loodrecht op de x-as. 4. De methode Methode I. Het punt P dat de meetkundige plaats m beschrijft, geven we de coördinaat (x 1, y 1 ) en we drukken de meetkundige voorwaarde uit. We moeten uitdrukken dat de rechte P A orthogonaal is met rechte P B. Het is voldoende de richtingsvectoren van deze rechten te bepalen en uit te drukken dat hun scalair product gelijk is aan nul. Richtingsvectoren van P A en P B zijn resp. (x 1 r, y 1 ) en (x 1 + r, y 1 ). De vectoren staan loodrecht op elkaar als hun scalair product gelijk is aan nul. P (x 1, y 1 ) m P A P B (x 1 r)(x 1 + r) + y1 2 = 0 x 2 1 r 2 + y1 2 = 0 x y1 2 = r 2 5. Interpretatie en tekening van de meetkundige plaats De meetkundige plaats is een cirkel x 2 + y 2 = r 2 met middelpunt in O en straal r. De meetkundige plaats is dus een cirkel waarvan het lijnstuk [AB] een middellijn is.

16 16 HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN Figuur 1.2: meetkundige plaats 2 MEETKUNDIGE PLAATS 2 T.o.v. een orthonormale basis beschouwt men de punten A(0, 0), B(0, 2), C(6, 1) en D(3, 5). Bepaal de meetkundige plaats van de punten P zodanig dat de oppervlakten van de driehoeken P AB en P CD zich verhouden als AB en CD. Oplossing: 1. Tekening van de gegevens We stellen de gegevens voor t.o.v. de gegeven orthonormale basis. 2. Speciale punten Voor deze meetkundige plaats is het moeilijk vooraf punten te bepalen. 3. Coördinatenstelsel Het coördinatenstelsel is reeds gegeven. 4. Methode Methode I. Het punt P dat de meetkundige plaats m beschrijft, geven we de coördinaat (x 1, y 1 ) en we drukken de meetkundige voorwaarde uit. De verhouding van de oppervlakten van driehoeken P AB en P CD is gelijk aan de verhouding van hun basissen AB en CD op voorwaarde dat ze gelijke hoogten hebben. Het punt P is dus een punt van de meetkundige plaats op voorwaarde

17 1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN 17 dat P op gelijke afstand ligt van de rechten AB en CD. De meetkundige plaats is dus de unie van de bissectrices van het rechtenpaar {AB, CD}. Een richtingsvector van de rechte CD is (3 6, 5 1) = ( 3, 4). De vergelijking van de rechte CD is 4(x 6) + 3(y 1) = 0 of 4x + 3y 27 = 0. P (x 1, y 1 ) m d(p, AB) = d(p, CD) x 1 = 4x 1+3y x 1 = 4x 1 + 3y x 1 = 4x 1 3y x 1 3y = 0 9x 1 + 3y 1 27 = 0 De bissectices zijn de rechten met vergelijkingen: x 3y+27 = 0 en 9x+3y 27 = Interpretatie en tekening van de meetkundige plaats De meetkundige plaats is de unie van twee rechten die we gemakkelijk kunnen construeren. Dit laat ons toe de resultaten van de berekeningen te controleren.

18 18 HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN MEETKUNDIGE PLAATS 3 Bepaal de meetkundige plaats van de punten P waarvoor de som van de kwadraten van de afstanden tot twee vaste punten A en B de constante waarde k 2 heeft. Figuur 1.3: meetkundige plaats 3 Oplossing: 1. Tekening van de gegevens We tekenen een lijnstuk met een bepaalde lengte k, alsook een lijnstuk [AB] waarvan we de lengte gelijkstellen aan 2a. 2. Speciale punten Voor deze meetkundige plaats is het moeilijk reeds een paar punten te bepalen. 3. Coördinatenstelsel Omdat er sprake is van afstanden, moeten we een orthonormale basis kiezen. We kiezen de x-as langs de rechte AB, de oorsprong O in het midden van [AB] en de y-as door O loodrecht op de x-as. We nemen de ijk op de x-as zo dat de coördinaten van A en B resp. ( a, 0) en (a, 0). 4. Methode Methode I. Het punt P dat de meetkundige plaats m beschrijft, geven we de coördinaat (x 1, y 1 )

19 1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN 19 en we drukken de meetkundige voorwaarde uit. P (x 1, y 1 ) m P A 2 + P B 2 = k 2 (x 1 a) 2 + y1 2 + (x 1 + a) 2 + y1 2 = k 2 2x y a 2 = k 2 x y1 2 = k2 2 a2 5. Interpretatie De meetkundige plaats is een kromme met vergelijking x 2 + y 2 = k2 2 a2 k Deze vergelijking stelt een cirkel voor met middelpunt in O en straal 2 2 a2 = 1 ( 2k 2 2 4a 2 ). De gegevens moeten dus van die aard zijn dat de 4a 2 < 2k 2 (2a) 2 < ( 2k) 2 = 2a < 2k. 6. Tekening van de meetkundige plaats Om de straal van de cirkel te construeren, tekenen we een rechthoekige driehoek met schuine zijde 2k en rechthoekszijde 2a, die de lengte is van het lijnstuk [AB]. De andere rechthoekszijde is de straal van de cirkel. Met CABRI kunnen goed zien vanaf wanneer we geen cirkel meer krijgen als we de lengte van de lijnstukken veranderen. Dankzij de eigenschap 1.1 van een zwaartelijn van een driehoek kunnen we de meetkundige plaats herleiden tot de cirkel als meetkundige plaats van de punten die op gelijke afstand liggen van een vast punt. In driehoek P AB is M het midden van [AB] en er geldt: P A 2 + P B 2 = 2 P M AB 2 P M 2 = k AB 2 P M = 1 2 2k2 AB 2. De afstand van M tot P is constant, dus beschrijft P een cirkel met middelpunt M en straal 1 2 2k2 AB 2 met k > 2 2 AB.

20 20 HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN MEETKUNDIGE PLAATS 4 Bepaal de meetkundige plaats van de punten waarvoor het verschil van de kwadraten van de afstanden tot twee gegeven punten A en B de constante waarde k 2 is. Figuur 1.4: meetkundige plaats 4 TAAK 4 Zoek deze meetkundige plaats met methode I. Oplossing: 1. Tekening van de gegevens 2. Speciale punten

21 1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN Coördinatenstelsel 4. Methode 5. Interpretatie 6. Tekening van de meetkundige plaats Omwille van een eigenschap 1.2 kunnen we de meetkundige plaats op een eenvoudige wijze herleiden tot en gekende meetkundige plaats. In driehoek P AB is M het midden van [AB], P de projectie van P op de zijlijn AB. De cosinusregel in de rechthoekige driehoek MP P geeft cos α = MP waarbij α de hoek is MP in M. In driehoek P AB geldt: P A 2 P B 2 = 2AB. MP = 2 AB MP cos α = 2 AB MP = 2AB. MP Hieruit volgt AB. MP = k2 2 MP AB. 2 = k2 4 MP. AM = k2 4 Uit dit laatste volgt dat k 2 middelevenredig is tussen MP en AM. Hieruit volgt dat P een vast punt is op de zijlijn AB. Het punt P ligt dus op de loodlijn door P op AB. Om P te construeren, trekken we door M de loodlijn op AB en passen hierop MC = k 2 af. De loodlijn in C op AC snijdt AB in P. (De lengte van de hoogtelijn op de schuine zijde van een rechthoekige driehoek is middelevenredig tussen de lengten van de stukken waarin ze de schuine zijde verdeelt of het kwadraat van de lengte van de hoogte op de schuine zijde is gelijk aan het product van de lengten van de stukken waarin ze de schuine zijde verdeelt). Deze beschouwing geldt voor een strikt positief constant verschil k 2. Het punt P ligt op de halfrechte ]MB tussen A en M.

22 22 HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN MEETKUNDIGE PLAATS 5 Bepaal de meetkundige plaats van de punten waarvoor de afstand tot een vast punt A gelijk is aan tweemaal de afstand tot een vast punt B. Oplossing: Figuur 1.5: meetkundige plaats 5 1. Tekening van de gegevens We tekenen een lijnstuk [AB] met een bepaalde lengte 2a 2. Speciale punten Er zijn twee punten C en D op de rechte AB waarvoor de verhouding van P A en P B gelijk is aan 2. Het ene punt C ligt binnen het lijnstuk [AB] het ander punt D ligt erbuiten. Om deze punten te tekenen, delen we het lijnstuk in drie gelijke delen. Het punt C ligt dan op 2 derden van A en 1 derde van B. Het punt D ligt aan de kant van B op een afstand van B gelijk aan de lengte AB. 3. Coördinatenstelsel We moeten een orthonormale basis kiezen omdat er in de opgave sprake is van afstanden. Omdat C en D dezelfde rol spelen, kiezen we de oorsprong in het midden van het lijnstuk [CD]. De x-as leggen we langs de rechte AB en de y-as door O loodrecht op AB. We kiezen de ijk op x-as zo dat de absis van D negatief is. We noemen a, b, c en d de absissen van resp. A, B, C en D. Er geldt: CA = 2CB en DA = 2 DB

23 1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN 23 De volgende betrekkingen gelden tussen a, b, c en d: a c = 2(b c) a d = 2(b d) c + d = 0 Het stelsel gaat over in een gelijkwaardig stelsel als we de eerste twee vergelijkingen eens lid aan lid van elkaar aftrekken en eens lid aan lid bij elkaar optellen. 2a = 2(c d) c d = 4b c + d = 0 a = 4b c d = 4b c + d = 0 a = 4b c = 2b c + d = 0 4. Methode Methode I. Het punt P dat de meetkundige plaats m beschrijft, geven we de coördinaat (x 1, y 1 ) en we drukken de meetkundige voorwaarde uit. P A P (x 1, y 1 ) m P B P A 2 = 4 P B 2 (x 1 a) 2 + y1 2 = 4((x 1 b) 2 + y1) 2 3x y (a 4b)x 1 + 4b 2 a 2 = 0 3x y1 2 12b 2 = 0 x y1 2 = 4b 2 5. Interpretatie en tekening van de meetkundige plaats De meetkundige plaats is en cirkel x 2 + y 2 = (2b) 2 met middelpunt in O en straal 2b. We kunnen gemakkelijk controleren of de cirkel gaat door de punten C en D.

24 24 HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN MEETKUNDIGE PLAATS 6 Bepaal de meetkundige plaats van de punten waarvoor de verhouding van de afstanden tot twee gegeven punten A en B de constante waarde k heeft. Oplossing: Figuur 1.6: meetkundige plaats 6 1. Tekening van de gegevens We tekenen eerst een willekeurige driehoek P AB. De verhouding van de zijden P A en P B is dan gelijk is aan een bepaalde waarde k. 2. Speciale punten We weten dat in een driehoek P AB de binnenbissectrice resp. de buitenbissectrice van de hoek in P de overstaande zijde [AB] inwendig resp. uitwendig verdeelt in stukken die zich verhouden als de aanliggende zijden P A en P B. We construeren de bissectrices van de rechten P A en P B. De snijpunten van deze bissectrices met de zijde AB levert de punten C en D op (zie tekening 1.6). Er geldt: CA CB = DA DB = P A P B = k. C en D zijn twee speciale punten van de meetkundige plaats.

25 1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN Coördinatenstelsel We kiezen het coördinatenstelsel zoals bij de meetkundige plaats Methode TAAK 5 Deze meetkundige plaats is een veralgemening van de meetkundige plaats 5. Bepaal de vergelijking van deze meetkundige plaats. Maak hier de berekeningen op analoge wijze als voor de meetkundige plaats 5: 5. Interpretatie 6. Tekening van de meetkundige plaats We kunnen meetkundig bewijzen dat de meetkundige plaats de cirkel is waarvan [CD] een middellijn is. Aangezien P het snijpunt is van de bissectrices en de bissectrices loodrecht op elkaar staan is het punt P gelegen op de cirkel met [CD] als middellijn. We moeten nu aantonen dat elk punt Q van de cirkel met [CD] als middellijn een punt is van de meetkundige plaats, m.a.w. dat de rechte QC en QD de bissectrices zijn van het rechtenpaar {AQ, BQ}. Daartoe construeren we de loodlijn in C op QC, die QA en QB snijden resp. in K en L. In de gelijkvormige driehoeken ADQ en ACK enerzijds, en driehoeken BCL en BDQ anderzijds, gelden de evenredigheden: CK DQ = CA DA en CL DQ = CB DB Rekening houdend met CA CB = DA DB volgt hieruit dat KC = CL. De rechte QC is middelloodlijn van [KL] en dus ook bissectrice van het rechtenpaar {QK, QL}. De meetkundige plaats is dus de cirkel met [CD] als middellijn. We noemen de meetkundige plaats de cirkel van Apollonius bij het lijnstuk [AB] en de verhouding k.

26 26 HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN MEETKUNDIGE PLAATS 7 Gegeven is een vast parallellogram ABCD en een veranderlijk punt P. De evenwijdige met BC door P snijdt AB in Q en de evenwijdige met AB door P snijdt BC in R. Bepaal de meetkundige plaats van P als QR parallel is met de diagonaal AC. Oplossing: Figuur 1.7: meetkundige plaats 7 1. Speciale punten Als de rechte QR samenvalt met AC dan valt het punt P in D. Q en R kunnnen ook samenvallen in B. Het punt P valt dan in B. De punten D en B zijn speciale punten van de meetkundige plaats. 2. Coördinatenstelsel In de opgave is geen sprake van loodrechte stand of afstand. We zijn dus niet verplicht een orthonormale basis te kiezen. We kiezen een affien coördinatenstelsel waarbij we de oorsprong kiezen in B, de x-as en de y-as leggen langs resp. de speciale zijden BA en BC van het parallellogram ABCD. De punten A, C en D krijgen resp. de coördinaten (1, 0), (0, 1), (1, 1). 3. Methode Methode I. Het punt P dat de meetkundige plaats beschrijft, geven we de coördinaat (x 1, y 1 ).

27 1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN 27 De richtingscoëfficiënt van AC is gelijk aan 1. De coördinaten van Q en R zijn resp. (x 1, 0) en (0, y 1 ). We drukken de meetkundige voorwaarde uit. RQ AC y 1 x 1 = Interpretatie De meetkundige plaats is de rechte met vergelijking y = x di. de andere diagonaal BD van het parallellogram. 5. Tekening MEETKUNDIGE PLAATS 8 Van een driehoek ABC met zwaartelijn AM zijn de hoekpunten A en B vast en is AM = r constant. Bepaal de meetkundige plaats van het hoekpunt C. Oplossing: 1. Speciale punten Als M AB dan C AB zodat CM = MB. 2. Coördinatenstelsel In de opgave is sprake van afstand. We zijn dus verplicht een orthonormale basis te kiezen. We kiezen de oorsprong in A, de x-as langs AB en de y-as door A loodrecht op AB. De punten A en B krijgen resp. de coördinaten (0, 0) en (b, 0). Omdat M het midden is van [CB] is de coördinaat van M( x+b 2, y 2 ).

28 28 HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN 3. Methode Methode I. Het punt C dat de meetkundige plaats beschrijft, geven we de coördinaat (x, y). We drukken de meetkundige voorwaarde uit. C m AM = r AM 2 = r 2. C(x, y) m ( x + b 2 )2 + ( y 2 )2 = r 2. (x + b) 2 + y 2 = (2r) Interpretatie De meetkundige plaats is de cirkel met middelpunt ( b, 0) en straal 2r. 5. Tekening TAAK 6 T.o.v. een orthonormale basis is een vast punt A gegeven op de x-as. Een veranderlijk punt P doorloopt de y-as. De loodlijn in P op AP snijdt de x-as in een punt B. Bepaal de meetkundige plaats van het punt M, zó dat P steeds het midden is van het lijnstuk [BM]. Teken de meetkundige plaats t.o.v. de gegeven orthonormale basis. MEETKUNDIGE PLAATS 9 De (niet-ontaarde) ellips is de meetkundige plaats van de punten waarvoor de som van de afstanden tot twee gegeven punten F 1 en F 2 constant is. Oplossing: 1. Tekening van de gegevens We tekenen de rechte F 1 F 2 en een lijnstuk [AB] met lengte 2a, die de constante som van de afstanden is. De afstand tussen de punten F 1 en F 2 noemen we 2c. 2. Speciale punten Om punten van de meetkundige plaats te construeren, moeten we twee cirkels trekken, een cirkel met middelpunt in F 1 en een cirkel met middelpunt F 2 en waarvan de som van de respectieve stralen r 1 en r 2 gelijk is aan 2a. De cirkels snijden elkaar op voorwaarde dat 2a 2c. Elk snijpunt van deze twee cirkels levert een punt op van de meetkundige plaats. Speciale punten van de meetkundige plaats zijn de punten waarvoor

29 1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN 29 Figuur 1.8: meetkundige plaats 9 (a) r 1 = r 2 = a Deze twee punten liggen op de middelloodlijn van [F 1 F 2 ] en op een afstand a van F 1 en F 2. (b) de cirkels raken aan elkaar. Voor de stralen van inwendig rakende cirkels geldt dat de absolute waarde van het verschil van de stralen gelijk is aan de afstand tussen de middelpunten. Als de cirkels elkaar uitwendig raken voldoen de stralen r 1 en r 2 aan de volgende betrekkingen: { r1 + r 2 = 2a Hieruit volgt dat r 1 r 2 = 2c { { r1 = a + c r 2 = a c r1 = a c r 2 = a + c Hieruit volgt dat de grootste straal gelijk is aan a+c en de kleinste straal gelijk aan a c. Beschouwen we het midden O van het lijnstuk [F 1 F 2 ] dan liggen deze speciale punten op de rechte F 1 F 2 op een afstand a van O. De afstand tussen deze twee punten is gelijk aan 2a. 3. Coördinatenstelsel In de opgave is sprake van afstand. We zijn dus verplicht een orthonormale basis te

30 30 HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN kiezen. De punten F 1 en F 2 spelen dezelfde rol. We kiezen de oorsprong O in het midden van [F 1 F 2 ], de x-as leggen we langs F 1 F 2 en de y-as langs de middellodlijn van [F 1 F 2 ]. De punten F 1 en F 2 hebben resp. de coördinaten (c, 0) en ( c, 0). 4. Methode Methode I. Het punt P dat de meetkundige plaats beschrijft, geven we de coördinaat (x 1, y 1 ). P (x 1, y 1 ) m P F 1 + P F 2 = 2a r 1 + r 2 = 2a We kwadrateren beide leden en we krijgen (r 1 + r 2 ) 2 = 4a 2 r r r 1 r 2 = 4a 2 2r 1 r 2 = 4a 2 r 2 1 r 2 2 We gaan nog eens beide leden kwadrateren en we krijgen 4r1r = (4a 2 (r1 2 + r2)) a 4 8a 2 (r1 2 + r2) 2 + (r1 2 + r2) 2 2 4r1r = 0 16a 4 8a 2 (r1 2 + r2) 2 + (r1 4 + r r1r r1r 2 2) 2 = 0 16a 4 8a 2 (r1 2 + r2) 2 + (r1 4 + r2 4 2r1r 2 2) 2 = 0 16a 4 8a 2 (r1 2 + r2) 2 + (r1 2 r2) 2 2 = 0 16a 4 8a 2 ((x 1 + c) 2 + y1 2 + (x 1 c) 2 + y1) 2 + ((x 1 + c) 2 + y1 2 (x 1 c) 2 y1) 2 2 = 0 16a 4 8a 2 (2x y c 2 ) + (4x 1 c) 2 = 0 4a 4 2a 2 (2x y c 2 ) + 4x 2 1c 2 = 0 We rangschikken de termen naar x 2 1 en y1: 2 (a 2 c 2 )x a 2 y1 2 = a 2 (a 2 c 2 ) Daar a c kunnen we stellen a 2 c 2 = b 2 en de voorwaarde wordt: b 2 x a 2 y1 2 = a 2 b 2

31 1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN 31 Bij deze berekeningen moeten we bij de tweede maal dat we kwadrateren, rekening houden met de voorwaarde 2a 2 (x y c 2 ) 0 x y 2 1 2a 2 c 2 x y 2 1 a 2 + b 2 5. Interpretatie De meetkundige plaats is de kromme met vergelijking b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 x 2 a + y2 2 b = 1 2 die we de (niet-ontaarde) ellips noemen. De punten F 1 en F 2 worden de brandpunten van de ellips genoemd. 6. Tekening Op de tekening kunnen we de betekenis zien van a, b en c. 2a en 2b noemen we resp. de grote as van de ellips en de kleine as van de ellips. Er geldt steeds dat a > b. In de limiet als a = b is dan is de ellips een cirkel waarvan het middelpunt samenvalt met de samenvallende brandpunten (c = 0). MEETKUNDIGE PLAATS 10 De (niet-ontaarde) hyperbool is de meetkundige plaats van de punten waarvoor de absolute waarde van het verschil van de afstanden tot twee gegeven punten F 1 en F 2 constant is. TAAK 7 Bepaal deze meetkundige plaats naar analogie met de meetkundige plaats 9

32 32 HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN MEETKUNDIGE PLAATS 11 De (niet-ontaarde) parabool is de meetkundige plaats van de punten waarvoor de afstand tot een punt gelijk is aan de afstand tot een rechte. Oplossing: Figuur 1.9: meetkundige plaats Tekening van de gegevens : We tekenen de rechte d en het punt F, de afstand van het punt tot de rechte d noemen we p. 2. Speciale punten Om punten van de meetkundige plaats te construeren, moeten een cirkel tekenen met middelpunt F en straal r en een rechte die evenijdig is met d op een afstand r van d. De cirkel snijdt de rechte op voorwaarde dat de straal r groter is dan de helft van de afstand p. Elk snijpunt van de cirkel en de rechte levert een punt op van de meetkundige plaats. Een speciaal punt van de meetkundige plaats is het punt waarvoor de rechte raakt aan de cirkel. Dit is het punt dat gelegen is op de loodlijn uit F op d en op een afstand p/2 van F en van d. 3. Coördinatenstelsel : In de opgave is sprake van afstand. We zijn dus verplicht een orthonormale basis te kiezen. We kiezen de oorsprong O in het speciaal punt, de

33 1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN 33 x-as brengen we aan door F loodrecht op d, de y-as langs de loodlijn door O op de x-as. Het punt F heeft de coördinaat ( p 2, 0) en de rechte d heeft vergelijking x = p Methode Methode I. Het punt P dat de meetkundige plaats beschrijft, geven we de coördinaat (x 1, y 1 ). P (x 1, y 1 ) m P F = d(p, d) (x 1 p 2 )2 + y 2 1 = x 1 + p 2 (x 1 p 2 )2 + y 2 1 = (x 1 + p 2 )2 (x 1 p 2 )2 (x 1 + p 2 )2 + y 2 1 = 0 (x 1 p 2 x 1 p 2 )(x 1 p 2 + x 1 + p 2 ) + y2 1 = 0 ( 2 p 2 )(2x 1) + y 2 1 = 0 2px 1 + y 2 1 = 0 5. Interpretatie : De meetkundige plaats is de kromme met vergelijking y 2 = 2px die we de (niet-ontaarde) parabool noemen. Het punt F wordt het brandpunt van de parabool genoemd en d de richtlijn van de parabool. 6. Tekening : Op de tekening kunnen we de betekenis zien van p. Als we door F een loodlijn trekken op de x-as dan is 2p de koorde van de parabool afgesneden door die loodlijn. 2p geeft aan hoe breed de parabool is. We noemen 2p de hoofdparameter van de parabool. OPGAVEN 8 T.o.v. een orthonormale basis zijn de punten A( 4, 0) en B(0, 3) gegeven. Bepaal de meetkundige plaats van het hoekpunt C van driehoek ABC als de oppervlakte van de driehoek constant is en gelijk aan k 2. Kies voor k een waarde en teken de meetkundige plaats. 9 T.o.v. een orthonormale basis zijn de punten A(2, 0) en B(2, 6) gegeven. Bepaal de meetkundige plaats van het punt P waarvoor P A 2 P B 2 = T.o.v. een orthonormale basis zijn het punt A(4, 2) gegeven alsook de rechte a : 4x 3y + 5 = 0. Bepaal de meetkundige plaats van het punt P zo dat P A = d(p, a). 11 Bepaal de meetkundige plaats van de punten waarvan de som van de kwadraten van de afstanden tot twee gegeven punten A en B gelijk is aan de van de kwadraten van de afstanden tot twee andere gegeven punten C en D. Tip: kies de x-as door de middens M en N van resp. [AB] en [CD] en de oorsprong in het midden van [MN].

34 34 HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN 12 Bepaal de meetkundige plaats van de punten waarvan de absolute waarde van het verschil van de afstanden tot twee orthogonale rechten gelijk is aan De bovenste twee punten C en D van een rechthoekige kantelpoort ABCD rollen over twee rails CC en DD. die evenwijdig zijn met het horizontaal vlak van de vloer. De onderste twee punten A en B van die poort rollen in twee verticale geleiders AD en BC. Het handvat bevindt zich in het midden van de poort; Welke baan beschrijft het handvat indien de poort kantelt van haar verticale stand tot haar horizontale stand. 14 T.o.v. een orthonormale basis zijn de punten A( a, 0) en B(a, 0) gegeven. Bepaal de meetkundige plaats van het punt P waarvoor P A P B = a 2. Teken deze meetkundige plaats met de computer. De kromme die je bekomt, noemt het lemniscaat van Bernoulli. 15 Bepaal de meetkundige plaats van de punten waarvan het verschil van de afstanden tot twee vaste snijdende rechten constant is. (Tip: Kies de bissectrices van de geg. rechten tot x-as en y-as en noem het verschil van de afstanden k. De rechten hebben dan vergelijking van de gedaante y = ωx en y = ωx. Ga dan tewerk zoals in oef 12.) 16 Vier punten A, B, C en D zijn gegeven. Bepaal de meetkundige plaats van de punten P waarvoor de oppervlakten van de driehoeken P AB en P CD gelijk zijn. (Kies een willekeurige orthonormale basis, de rechten hebben een vgl ux+vy+w=0.) 17 T.o.v. een affien assenstelsel (x-as niet noodzakelijk loodrecht op y-as) is P (p, 0) een veranderlijk punt op de x-as en Q(0, q) een veranderlijk punt op de y-as. Bepaal de meetkundige plaats van het zwaartepunt van driehoek OP Q als 1. p + q = k met k R; 2. p q = k met k R; 3. het midden van [P Q] op de vaste rechte ux + vy = w = 0 ligt. Voor deze oefening maak je gebruik van het feit dat het zwaartepunt op 1/3 ligt van O op de zwaartelijnen [0P ] en [OQ]. 18 Gegeven is een vaste driehoek ABC en een veranderlijk punt P. Men trekt de loodlijn in A op P A, in B op P B en in C op P C. Bepaal de meetkundige plaats van P als de drie loodlijnen concurrent zijn. (veel rekenwerk) 19 Uit een veranderlijk punt P trekt men aan elk van de vaste cirkels c en c een raaklijn. De raakpunten zijn A en A. Bepaal meetkundige plaats van P als P A = P A. Om de berekeningen eenvoudiger te maken, moet eerst meetkundig geredeneerd worden vooraleer aan het rekenen te gaan. 20 Op een vaste rechte a ligt een vast punt A en op de vaste rechte b loodrecht op a ligt een veranderlijk punt B. Op de evenwijdige met a door B neemt men het punt P zó dat P B = AB. Bepaal de meetkundige plaats van het punt P.

35 1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN 35 Oplossingen: 8. 3x 4y + 12 ± 2k 2 ; 9. y = 43 6 ; 10. par.met as a : 9x2 + 24xy + 16y 2 240x + 130y + 475; 11. rechte MN; halve rechten met bissectrices dr de punten van de rechten die op een afstand 5 van de andere rechte liggen.; 13. kwart cirkel: M =midden v [DC], R =halve hoogte poort; 14. (x 2 + y 2 ) 2 + 2a 2 (y 2 x 2 ) = 0; halve rechten met x en y door de 2 punten van de ene gegeven rechte die op een afstand k liggen van de andere rechte (dus op elke rechte 2 punten); rechten dr het snijpunt vd AB en CD ( op elkaar als AB = CD ; x + y = k/2, 2. x = ky, 3. 3ux + 3vy + 2w = 0, di een rechte parallel met ux + vy + w = 0; 18. We kiezen de x-as langs AB en de y-as door C loodrecht op AB. We ijken zodanig dat C de coördinaat (0, 1) heeft. De coördinaten van A en B noemen we resp. (a, 0) en (b, 0). De meetkundige plaats is de cirkel met middelpunt ( a+b 2, 1+ab 2 ) en straal 2 1 a2 + b 2 + a 2 b 2 + 1, di. de omgeschreven cirkel van driehoek ABC. Dit kan ook meetkundig beredeneerd worden. Om te tekenen stel a = 1 en b = We kiezen de x-as langs de centraal van de twee cirkels, de y-as door het middelpunt van de cirkel c loodrecht op de centraal en het middelpunt van c geven we de coördinaat (1, 0). De stralen van de cirkels c en c zijn resp. R en R. De meetkundige plaats is de rechte x = R2 R Deze rechte wordt de machtlijn van de cirkels genoemd. 20. We kiezen De x-as langs a en de y-as langs b. We kiezen de ijk zodanig dat het punt A de coördinaat (1, 0) heeft. De meetkundige plaats is een hyperbool x 2 y 2 = 1. LIN.AL. HUISTAAK 1 1. T.o.v. een affien assenstelsel (x-as niet noodzakelijk loodrecht op y-as) zijn de punten A(2, 3) en B( 4, 1) gegeven. Bepaal de meetkundige plaats van het punt P zodat de richtingscoëfficiënt van de rechte AP het dubbele is van de richtingscoëfficiënt van de rechte BP. 2. Een punt A ligt op een afstand a van een rechte r. Een lijnstuk BC met vaste lengte 2a, glijdt over r. Wat is de meetkundige plaats van het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC? 3. Een lijnstuk, met constante lengte, schuift met zijn eindpunten over de coördinaatassen van een rechthoekig assenkruis. Bepaal de meetkundige plaats van een bepaald punt van het lijnstuk. 4. T.o.v. een orthonormale basis doorloopt een punt P de ellips x2 + y2 = 1. a 2 b 2 P en P zijn de loodrechte projecties van P op resp. de x-as en de y-as. Bepaal de meetkundige plaats van (a) het midden van [OP ]; (b) het midden van [P P ]; (c) het zwaartepunt van driehoek P P P. 5. Bepaal de meetkundige plaats van de zwaartepunten van de driehoeken met dezelfde basis [BC] en gelijke oppervlakte.

36 36 HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN Methode II: methode van de geassocieerde krommen Deze methode steunt op het principe van de eliminatie van één of meerdere parameters. We illustreren dat met enkele voorbeelden. We hernemen de parabool van bladzijde 32 We werken t.o.v. het coördinatenstelsel dat we op bladzijde 32 gekozen hebben. Bij deze methode kiezen we een parameter, dit is een veranderlijk reëel getal die we hechten aan een veranderlijk element uit de opgave. Hier kiezen we afstand van het punt P van de meetkundige plaats tot het punt F of tot de rechte d als parameter en noemen hem r. Een punt P van de meetkundige plaats ligt enerzijds op de cirkel met middelpunt F en straal r en anderzijds op de rechte d parallel met d en op de afstand r van d (d ligt samen met F aan dezelfde kant van d). Geven we aan de parameter r een andere waarde dan verkrijgen we een andere cirkel en een andere rechte en bijgevolg twee andere punten van de meetkundige plaats. De cirkel en de rechte die behoren bij eenzelfde parameterwaarde noemen we geassocieerde krommen van de meetkundige plaats. Hier zal voor geen enkele waarde van de parameter de geassocieerde krommen oneindig veel gemeenschappelijke punten hebben. Hier zijn er hoogstens twee gemeenschappelijke punten per stel geassocieerde krommen. De gemeenschappelijke punten van geassocieerde krommen leveren punten op van de meetkundige plaats Het stelsel { (x p 2 )2 + y 2 = r 2 x = r p 2 is het stelsel geassocieerde krommen. We zoeken nu de nodige en voldoende voorwaarde waaraan de coördinaat (x o, y o ) van een punt moet voldoen opdat het de coördinaat zou zijn van een punt van de meetkundige plaats. Opdat het punt met coördinaat (x o, y o ) een punt zou zijn van de meetkundige plaats m moet er een parameterwaarde r o bestaan zodat er geldt { (xo p 2 )2 + y 2 o = r 2 o x o = r o p 2 Dit betekent dat het volgend stelsel oplosbaar is met r als onbekende: { (xo p 2 )2 + y 2 = r 2 x o = r p 2 { r 2 = (x o p 2 )2 + y 2 r = p x 2 o

37 1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN 37 De oplossing voor r uit de tweede vergelijking moet voldoen aan de eerste vergelijking. Er moet dus gelden: ( p 2 x o) 2 = (x o p 2 )2 + y 2 y 2 o = 2px o. Deze laatste betrekking drukt de nodige en voldoende voorwaarde uit waaraan (x o, y o ) moet voldoen opdat er in het stelsel een gemeenschappelijke r-waarde zou bestaan. Dit is dus de nodige en voldoende voorwaarde opdat (x o, y o ) de coördinaat zou zijn van een punt van de meetkundige plaats. Bijgevolg is y 2 = 2px de vergelijking van de meetkundige plaats. De vergelijking van de meetkundige plaats werd bekomen door de parameter r te elimineren uit het stelsel geassocieerde krommen. De vergelijking y 2 = 2px noemen we de eliminant van het stelsel geassocieerde krommen. Figuur 1.10: meetkundige plaats 11 met de methode van de geassocieerde krommen

38 38 HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN We hernemen de meetkundige plaats 1. Een punt van de meetkundige plaats wordt bekomen door een rechte m door A te snijden met een rechte door B loodrecht op m. De geassocieerde krommen zijn dus twee rechten resp. door A en door B loodrecht op elkaar. We kiezen als parameter de richtingscoëfficiënt ω van de veranderlijke rechte m door A. m heeft een vergelijking van de gedaante y = ω(x 1). De vergelijking van de rechte m door B loodrecht op m is y = 1 (x + 1). Elke waarde van ω levert juist één snijpunt op ω van de geassocieerde krommen m en m dat een punt is van de meetkundige plaats. Het stelsel { { y = ω(x 1) (x 1)ω = y y = 1 (x + 1) yω = x + 1 ω is dus een stelsel geassocieerde krommen met parameter ω. Elimineren we ω uit het stelsel dan verkrijgen we de vergelijking van de gevraagde meetkundige plaats. De eliminant is (x 1) y y x + 1 = 0 x2 + y 2 = 1 De eliminant is de vergelijking van een cirkel met middelpunt in de oorsprong en straal 1. Figuur 1.11: meetkundige plaats 1

39 1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN 39 Eliminatie van twee parameters Het kan voor de eliminatie soms handiger zijn te werken met twee parameters. Tussen die twee parameters bestaat dan wel en verband. We moeten dan twee parameters elimineren uit drie vergelijkingen. Daartoe lossen we de twee parameters op uit het stelsel geassocieerde krommen en substitueren deze waarden dan in de betrekking die het verband uitdrukt tussen de twee parameters. We illustreren met voorbeelden:

40 40 HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN MEETKUNDIGE PLAATS 12 T.o.v. een affien coördinatenstelsel zijn gegeven de punten A(0, a) en B(0, b). Op de x-as bewegen de punten Q(q, 0) en R(r, 0) zodanig dat = k, waarbij k een gegeven constante is. Bepaal de meetkundige plaats van het q r snijpunt P van AQ en BR. Oplossing: 1. Tekening van de gegevens Figuur 1.12: meetkundige plaats Speciale punten We onderzoeken of de punten Q en R kunnen samenvallen. Als Q = R dan geldt 1 q + 1 q = 1 k q = 2 k Het is dus mogelijk dat Q en R samenvallen. Aangezien de gegeven punten A en B verschillend verondersteld worden, snijden ze elkaar op de x-as in het punt ( 2, 0), k dat een speciaal punt is van de meetkundige plaats. De geassocieerde krommen vallen samen indien Q en R samen vallen in de oorsprong wat onmogelijk is (q 0 en r 0). 3. Coördinatenstelsel Dit is gegeven.

41 1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN Methode We kiezen de methode II omdat een punt van de meetkundige plaats bekomen wordt als snijpunt van twee rechten. De absissen q en r van de veranderlijke punten van de x-as zijn twee parameters. Deze parameters zijn afhankelijk van elkaar, ze zijn verbonden door de betrekking 1 q + 1 r = k. De geassocieerde krommen zijn de rechten AQ en BR met respectieve vergelijkingen: x q + y a = 1 en x r + y b = 1. Om de meetkundige plaats te vinden moeten we de parameters q en r elimineren uit het stelsel: x + y = 1 q a x + y = 1 r b = k q r Hier is het aangewezen 1 en 1 uit de eerste twee vergelijkingen op te lossen en te q r substitueren in de derde vergelijking. Zo verkrijgen we: a y ax + b y xb = k x = 0 kabx + (a + b)y = 2ab. De mogelijkheid x = 0 bekomen we voor de parameterwaarden q = 0 en r = 0. Deze mogelijkheid moet dus uitgesloten worden. 5. Interpretatie De meetkundige plaats is een rechte, nl. de rechte met vergelijking kabx + (a + b)y = 2ab. 6. Tekening van de meetkundige plaats We kunnen de meetkundige plaats tekenen op voorwaarde dat we twee punten kennen van de meetkundige plaats. We kennen alvast voor een bepaalde stand van Q en R een punt. We zien aan de vergelijking van de rechte dat het snijpunt met de y-as het punt (0, 2ab ) is, dat onafhankelijk is van de waarde van k. We tekenen de a+b meetkundige plaats in DERIVE. We kiezen A, B, R en Q zoals op de figuur 1.12 op bladzijde 40. We laten DERIVE het punt (0, 2ab 24 ) = (0, ) plotten. Dit punt a+b 11 verbinden we met het snijpunt van de twee rechten. De parameter treedt op met goniometrische getallen In dat geval beschouwen we de twee goniometrische getallen van de parameter als twee verschillende parameters waartussen een verband bestaat aangegeven door een formule van de goniometrie. Hiervan volgt een voorbeeld.

42 42 HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN MEETKUNDIGE PLAATS 13 In een trapezium ABCD zijn de hoekpunten A en B vast en zijn de evenwijdige zijden AD en BC veranderlijk met BC = p en AD = q constant. Bepaal de meetkundige plaats van a. het snijpunt van de diagonalen van het trapezium ABCD. b. het midden van de zijde [CD]. Oplossing: Figuur 1.13: meetkundige plaats 13 a. 1. Tekening van de gegevens We tekenen het lijnstuk [AB] en om de berekeningen een weinig te vereenvoudigen nemen we de lengte van [AB] gelijk aan Speciale punten Als punten D en C op de rechte AB vallen dan hebben we geen trapezium meer. Bovendien vallen de diagonalen samen. De gemeenschapelijke punten van deze geassocieerde krommen zijn geen punten van de meetkundige plaats maar vormen het singulier parasitisch deel van de meetkundige plaats. 3. Coördinatenstelsel We kiezen de x-as langs AB en de y-as door het midden van [AB] en loodrecht op de x-as. Omdat we de afstand tussen de punten A en B gelijk aan 2 gekozen hebben, hebben de punten A en B resp. de coördinaten ( 1, 0) en (1, 0).

43 1.2. MEETKUNDIGE PLAATSEN Methode Methode II: een punt van de meetkundige plaats is het snijpunt van twee rechten. (a) Keuze van de parameter Omdat de richting van de evenwijdige rechten AD en BC veranderlijk is, kiezen we als parameter de hoek α die deze rechten insluiten met de positieve x-as. Het stelsel coördinaatgetallen van de punten C(x c, y c ) en D(x d, y d ), uitgedrukt met de hoek α, is { xc = p cos α + 1 y c = p sin α en { xd = q cos α 1 y d = q sin α (b) Stelsel geassocieerde krommen Het stelsel geassocieerde krommen DB en (c) (d) AC is { x 1 q cos α 2 = x+1 p cos α+2 = y q sin α y p sin α Dit stelsel is lineair stelsel in twee onbekenden sin α en cos α, die beschouwd worden als twee verschillende parameters en die verbonden zijn door de grondformule sin 2 α + cos 2 α = 1. Singulier deel De x-as (y = 0) ingeval sin α = 0 en dit is voor de waarden van de parameter α = 0 o of α = 180 o. Eliminatie van de parameters We lossen het stelsel op naar cos α door beide vergelijkingen lid aan lid door elkaar te delen. Uit één van de vergelijkingen berekenen we dan sin α. We verkrijgen: { cos α = (q+p)x+p q pq sin α = (q+p)y pq De parameter α is geëlimineerd als we de waarden van sin α en cos α invullen in de grondformule. ( ) 2 (q + p)x + p q + (q + p)2 y 2 = 1 p 2 q 2 p 2 q 2 We delen in beide termen van het eerste lid teller en noemer door (p + q) 2 We verkrijgen de vergelijking: ( ) x + p q 2 p+q + y2 p 2 q 2 p 2 q 2 (p+q) 2 (p+q) 2 = 1

44 44 HOOFDSTUK 1. MEETKUNDIGE PLAATSEN ( ) x q p 2 p+q ) 2 + y2 ) 2 = 1. ( pq p+q ( pq p+q 5. Interpretatie De eliminant stelt een cirkel voor met middelpunt ( q p q+p, 0) en straal pq p+q. 6. Tekening van de meetkundige plaats b. Voor de meetkundige plaats van het midden gaan we op analoge wijze tewerk. We kiezen hetzelfde coördinatenstelsel, methode II en dezelfde parameter α. 1. Speciale punten Als punten D en C op de rechte AB vallen dan hebben ze als absis resp. 1 + q en 1 + p in geval α = 0 o en 1 q en 1 p in geval α = 180 o. Het midden van [CD] heeft dan resp. de absis p+q en p+q. Deze 2 2 twee punten zijn geen punten van de meetkundige plaats. Als AD en BC loodrecht staan op AB dan ligt het midden van [DC] op de y-as en heeft als ordinaat p+q 2 of p+q Stelsel geassocieerde krommen (p+q) cos α x = 2 (p+q) sin α y = 2 sin 2 α + cos 2 α = 1 3. Eliminaie van de parameters We elimineren cos α en sin α uit het stelsel: De eliminant is 4x 2 (p + q) + 4y2 2 (p + q) = 1 2 x2 + y 2 = ( p + q ) Interpretatie De meetkundige plaats is een cirkel met de oorsprong als middelpunt en straal p+q. We merken op dat de vier speciale punten, punten zijn 2 van deze cirkel. De punten op de x-as moeten we echter uitsluiten. Zij vormen een parasitisch deel van de meetkundige plaats. Een parasitisch deel van de meetkundige plaats is een deel van de meetkundige plaats die niet voldoet aan alle meetkundige voorwaarden maar die deel uitmaakt van het resultaat dat we bekomen na algebraïsch bepalen van de meetkundige plaats.