Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden, evenredigheden. 16 september dr.

Transcriptie

1 Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden, evenredigheden 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne Leen Goyens (

2 1. Inleiding Dit oefeningenoverzicht is opgebouwd vanuit de vragen van de vorige examens, gerangschikt per thema. De vragen komen van diverse sites. Vooral de site van Leen Goyens was handig en het atheneum van Veurne heeft een prachtige website maar deze is helaas niet meer online. 2. Oefeningen uit vorige examens 1997 Juli Vraag 1 Veronderstel dat de concentraties in het bloed van stof A en stof B omgekeerd evenredig zijn en positief. Als de concentraties van stof A met p% toeneemt, dan zal de concentratie van stof B afnemen met A. P% B. C. D. % % % juli Vraag 5 of juli Vraag 9 Een student moet het gemiddelde ma van drie getallen x, y en z berekenen. Hiertoe berekent hij eerst het gemiddelde van x en y en nadien het gemiddelde van dit resultaat met z. Als x<y<z, dan is het eindresultaat dat de student bekomt: <A> <C> <D> soms kleiner dan me en soms gelijk aan m altijd kleiner dan m altijd groter dan m soms groter dan m en soms gelijk aan Juli Vraag 12 Het bloedvolume van een volwassen man bedraagt circa 5 liter. Eén liter bloed bevat ongeveer 0,45 liter rode bloedcellen. Deze waarde uitgedrukt in delen van 1 (0,45) wordt de hematocriet genoemd. Eén mm 3 (1µl) bloed bevat rode bloedcellen. De voornaamste functie van de rode bloedcellen is het transport van O 2 en CO 2 tussen long en weefsel, waarvoor hemoglobine dient (ongeveer 15 g hemoglobine per 100 ml bloed). Laten we aannemen dat de levensduur van de rode bloedcellen 120 dagen bedraagt of met andere woorden dat de gehele voorraad rode bloedcellen op 120 dagen éénmaal opnieuw wordt aangemaakt. dr. Brenda Casteleyn Page 2

3 Hoe groot is het volume van één rode bloedcel? <A> <C> <D> liter liter liter Dat kan hieruit niet afgeleid worden Juli Vraag 13 Met gebruik van dezelfde gegevens als bij de vorige vraag kan afgeleid worden dat het lichaam van de man per seconde ongeveer het volgende aantal rode bloedcellen aanmaakt: <A> 2, 2, <C> 2, <D> Geen van de bovenstaande antwoorden is juist Augustus Vraag 12 Een hypothetisch zoogdier heeft een bloedvolume van 240 liter. Eén liter bloed bevat 0,54 liter rode bloedcellen. Eén mm 3 (= 1µl) bloed bevat 1,35 miljoen rode bloedcellen. Per seconde worden 15 miljoen rode bloedcellen vervangen door nieuw aangemaakte. De gemiddelde levensduur van de rode bloedcellen bij dit zoogdier bedraagt: <A> <C> <D> 120 dagen 250 dagen 1200 dagen 3600 dagen Augustus Vraag 13 Een hypothetisch zoogdier heeft een bloedvolume van 240 liter. Eén liter bloed bevat 0,54 liter rode bloedcellen. Eén mm 3 (= 1µl) bloed bevat 1,35 miljoen rode bloedcellen. Per seconde worden 15 miljoen rode bloedcellen vervangen door nieuw aangemaakte. Het gemiddelde volume van één rode bloedcel bij dit zoogdier bedraagt: <A> <C> <D> liter liter liter 0, liter 2000 Juli Vraag 10 dr. Brenda Casteleyn Page 3

4 Veronderstel dat de concentraties in het bloed van stof A en stof B omgekeerd evenredig zijn en positief. Als de concentraties van stof A met 20% afneemt, dan zal de concentratie van stof B toenemen met A. 30% B. 25% C. 22.5% D. 20% 2001 Juli Vraag 10 Bij een gegeven productie van CO 2 in het menselijk lichaam is de arteriële partieeldruk van CO 2 (pco 2 ) omgekeerd evenredig met de alveolaire ventilatie. Als de alveolaire ventilatie van 5 tot 6,25 liter/minuut toeneemt dan A. zal de arteriële pco 2 afnemen met 20% B. zal de arteriële pco 2 afnemen met 22,5% C. zal de arteriële pco 2 afnemen met 25% D. kan de wijziging in arteriële pco 2 hier niet uit afgeleid worden 2009 Juli Vraag 5 De concentratie van stof A is positief omgekeerd evenredig met de concentratie van stof B. Wanneer A daalt met 50%, wat gebeurt er dan met de concentratie van stof B? A. Stijgen met 50% B. Stijgen met 100% C. Stijgen met 25% D. Stijgen met 66% Juli Vraag 9 Een student moet het gemiddelde van drie meetresultaten x, y en z bepalen. Hij doet dit echter niet op de gebruikelijke manier. Hij bepaalt eerste het deelgemiddelde m van x en y, vervolgens neemt hij het gemiddelde m van het deelgemiddelde m en z. Gegeven is dat x < y < z. Wat kan je zeggen over het reële gemiddelde m, het berekende gemiddelde m en het deelgemiddelde m? <A> m is altijd groter dan m m is altijd groter dan m <C> m is altijd gelijk aan m dr. Brenda Casteleyn Page 4

5 <D> m is altijd groter dan m augustus Vraag 9 Het gemiddelde van de schoenmaten van een groep van 10 personen bedraagt 40. Bij deze groep moeten zich n personen met een schoenmaat 44 voegen om een gemiddelde schoenmaat van 43 te bekomen. Welke uitspraak over het aantal n is dan juist? <A> n is een veelvoud van 11 n is een veelvoud van 6 <C> n is een veelvoud van 7 <D> n is een veelvoud van Juli Vraag 7 Gegeven is de volgende ongelijkheid < 2 Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? <A> x > 1/2 x < 1/2 <C> x є ]1/2, 9/2[ <D> x є ]-1/2, 3/2[ Augustus Vraag 9 Gegeven is de volgende ongelijkheid Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? <A> x 2/3 x 2/3 <C> x є [4/3, 2] <D> x є [2/3,2] 2014 Juli Vraag 4 versie 1 We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden: log 2 (5x 4) Om aan deze ongelijkheid te voldoen, <A> voldoet alleen x =0 voldoen zowel strikt positieve getallen als strikt negatieve getallen <C> voldoen geen strikt positieve getallen <D> voldoen geen strikt negatieve getallen 2014 Juli Vraag 4 versie 2 dr. Brenda Casteleyn Page 5

6 We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden: log 2 (5x + 4) Om aan deze ongelijkheid te voldoen, <A> voldoet alleen x =0 voldoen zowel strikt positieve getallen als strikt negatieve getallen <C> voldoen geen strikt positieve getallen <D> voldoen geen strikt negatieve getallen 2014 Juli Vraag 9 Een groep van twaalf mensen hebben een gemiddelde leeftijd van 21 jaar. Hoeveel mensen van 26 jaar moeten zich bij deze groep voegen om een gemiddelde leeftijd voor de groep van 25 jaar te bekomen? <A> 48 46 <C> 44 <D> Juli Vraag 10 We beschouwen de uitdrukking:..() Voor x, y en z kunnen we kiezen tussen 5, 6, 7, 8 waarbij elke wortel slechts één maal gebruikt mag worden. We willen de uitkomst van deze uitdrukking zo klein mogelijk maken. Welke wortel zullen we niet gebruiken? <A> <C> <D> Augustus Vraag 4 versie 1 We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden: Om aan deze ongelijkheid te voldoen,! (2 + 1) 2 2 <A> Er zijn evenveel even gehele getallen als oneven gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen. Er zijn meer even gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen dan oneven gehele getallen dr. Brenda Casteleyn Page 6

7 <C> Er zijn meer oneven gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen dan even gehele getallen <D> Er zijn oneindig veel gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen Augustus Vraag 4 versie 2 We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden:! (2 1) 2 2 <A> Er zijn evenveel even gehele getallen als oneven gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen. Er zijn meer even gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen dan oneven gehele getallen <C> Er zijn meer oneven gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen dan even gehele getallen <D> Er zijn oneindig veel gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen Augustus Vraag 9 Een groep van tien mensen hebben een gemiddelde leeftijd van 21 jaar. Iedereen is 18 jaar of ouder. Wanneer twee ervan de groep verlaten daalt de gemiddelde leeftijd naar 19 jaar. Gegeven zijn twee uitspraken: 1. De gemiddelde leeftijd van de twee personen is 29 jaar 2. Ze zijn allebei niet ouder dan 42 jaar Wat kan je zeggen over de uitspraken? <A> <C> <D> Beide uitspraken zijn verkeerd Beide uitspraken zijn correct Uitspraak 1 is correct en uitspraak 2 is verkeerd Uitspraak 2 is correct en uitspraak 1 is verkeerd 2014 Augustus Vraag 10 We beschouwen de uitdrukking: '.& ( Voor x, y en z kunnen we kiezen tussen 1, 2, 3 en 4 waarbij elk getal slechts één maal gebruikt mag worden. We willen de uitkomst van deze uitdrukking zo groot mogelijk maken. Welk getal zullen we niet gebruiken? dr. Brenda Casteleyn Page 7

8 <A> 1 2 <C> 3 <D> Juli geel Vraag 5 Judoclub Yuko neemt deel aan een internationale competitie met zeven van haar leden. Op de wedstrijddag worden alle zeven judoka s één voor één gewogen. Tijdens het wegen houdt de manager van de club het gemiddeld gewicht bij van de leden die reeds gewogen werden. Hij observeert dat het gemiddeld gewicht bij elke nieuwe poging met 1 kg toeneemt. Hoeveel weegt de zwaarste van de zeven judoka s meer dan de lichtste? <A> <C> <D> 7 kg 10 kg 12 kg 14 kg 2016 Augustus geel Vraag 2 In onderstaande tabel staan de gegevens van een bowlingwedstrijd waaraan 4 clubs deelnamen. Wat is de gemiddelde score van alle spelletjes die alle spelers die avond speelden? Bowlingclub Aantal spelers Spelletjes per speler Hoogste score Laagste score Gemiddelde per spelletje Aardebeke Bevergem Cleve Denterberg <A> 146 147 <C> 151 <D> Augustus geel Vraag 14 In onderstaande tabel staan de gemiddelde resultaten van de leerlingen uit twee scholen, kortweg met A en B aangeduid. A B A en B samen Jongens Meisjes 76 90? Alle leerlingen dr. Brenda Casteleyn Page 8

9 Wat is het gemiddelde resultaat van de meisjes van beide scholen samen? <A> 82 83 <C> 84 <D> Juli geel Vraag 2 Een student moet het gemiddelde m berekenen van drie getallen x, y en z, met x < y < z. Eerst berekent hij het gemiddelde van x en y, en daarna het gemiddelde van dat gevonden resultaaat en z. Het eindresultaat dat deze student vindt is <A> <C> <D> Correct Altijd kleiner dan m Altijd groter dan m Soms kleiner dan, soms groter dan m 2017 Juli geel Vraag 12 Noteer V de verzameling van de elementen x R waarvoor 2 x + 1 < x Welke van de volgende uitspraken is waar? <A> <C> <D> V bevat strikt prositieve getallen maar geen strikt negatieve V bevat strikt negatieve getallen maar geen strikt positieve V bevat zowel strikt positieve als strikt negatieve getallen V is de lege verzameling 2017 Augustus geel Vraag 2 In acht bedrijven wer het aantal werknemers verzameld door een statisticus. Dat aantal wordt achtereenvolgens gegeven door 20 8 x Het precieze aantal in het derde bedrijf, x is verloren gegaan, maar de statisticus herinnert zich dat de mediaan 16 of 17 was. Welke uitspraak over het gemiddeld aantal werknemers µ is geldig? <A> 17,0 µ 17,5 17,5 µ 18,0 <C> 18,0 µ 18,5 <D> 18,5 µ 19,0 dr. Brenda Casteleyn Page 9

10 2017 Augustus geel Vraag 11 Kenzy heeft rode, gele en blauwe knikkers. Op 24 na zijn ze allemaal rood, op 30 na zijn ze allemaal geel en op 42 na zijn ze allemaal blauw. Hoeveel rode knikkers heeft Kenzy? <A> 20 24 <C> 28 <D> Augustus geel Vraag 12 Drie natuurlijke getallen verhouden zich als 3 : 5 : 8. Als je de som van het kleinste en het grootste van deze getallen 48 aftrekt, vind je het middelste getal. Wat is het grootste van die drie getallen? <A> 40 48 <C> 64 <D> 88 dr. Brenda Casteleyn Page 10

11 3. Oplossingen oefeningen 1997 Juli Vraag 1 Gegeven: AB = constant A neemt toe met p% Gevraagd: Hoeveel neemt B af in termen van p? stel de afname van B voor door q% (A+ ) *+ ).(B- ) = AB A(1+ ). B(1 - * ) = AB (1+ ). (1 - * ) = AB/AB 1 - * + - * = 1 * + - * = 0 100p = 100q + pg 100p = q(100+p) q = Antwoord C juli Vraag 5 of 2012 juli, vraag 9 Gegeven: m = gemiddelde van x, y en z n = gemiddelde van x en y en gemiddelde van dit resultaat met z x<y<z Gevraagd: verhouding van n tov m m =, dr. Brenda Casteleyn Page 11

12 n = ( ('-.) ) Stel m en n aan elkaar gelijk:, =( ('-.) ) <-->, = 0 <--> 4x + 4y + 4z = 3x + 3y + 6z <--> x + y = 2 z Maar: x < y en y< z dus x+ y < 2z, dus m en n kunnen niet gelijk zijn. Voor antwoord b stellen we m > n en verkrijgen we: x + y > 2z, wat ook in tegenspraak is met x < y<z, dus enige juiste antwoord is C Antwoord C Juli Vraag 12 Gegeven: bloedvolume van een volwassen man bedraagt circa 5 liter. Eén liter bloed bevat ongeveer 0,45 liter rode bloedcellen. Eén mm 3 (1µl) bloed bevat rode bloedcellen. Er is 15 g hemoglobine per 100 ml bloed). Levensduur van de rode bloedcellen = 120 dagen of met andere woorden dat de gehele voorraad rode bloedcellen op 120 dagen éénmaal opnieuw wordt aangemaakt. Gevraagd: volume van één rode bloedcel? 1 liter bloed omzetten naar mm 3 1 dm 3 = 1 liter 1 mm 3 = dm 3 = l = 1 µl Dus: per µl zijn er rode bloedcellen (aantal) en in volume is dat 0, l Dus voor 1 bloedcel is het volume: 0, / = 45/ = l Antwoord C Juli Vraag 13 Gegevens: zie vorige vraag dr. Brenda Casteleyn Page 12

13 Gevraagd: hoeveel rode bloedcellen worden door lichaam van een man per seconde aangemaakt? Aantal cellen in 5 liter: x = rode bloedcellen In 120 dagen worden dus rode bloedcellen gemaakt Omzetting 120 dagen naar seconden: Per seconde worden er dus: / rode bloedcellen gemaakt. Na vereeenvoudiging --> 2, Antwoord A Augustus Vraag 12 Gegeven: Eén zoogdier heeft bloedvolume van 240 liter. Eén liter bloed bevat 0,54 liter rode bloedcellen. Eén mm 3 (= 1µl) bloed bevat 1,35 miljoen rode bloedcellen. Per seconde worden 15 miljoen rode bloedcellen vervangen door nieuw aangemaakte. Gevraagd: De gemiddelde levensduur van de rode bloedcellen bij dit zoogdier 1 liter bloed omzetten naar mm 3 1 dm 3 = 1 liter 1 mm 3 = dm 3 = l = 1 µl 10-6 l bevat 1, bloedcellen, 1 liter bevat: 1, /10-6 bloedcellen 240 liter bevat: , /10-6 bloedcellen = , Dit aantal gedeeld door 15miljoen is het aantal seconden nodig om rode bloedcellen te vervangen: (240. 1, )/ = 21, seconden Omzetting naar dagen: 21, / Antwoord B Augustus Vraag 13 dr. Brenda Casteleyn Page 13

14 Gegeven: Een hypothetisch zoogdier heeft een bloedvolume van 240 liter. Eén liter bloed bevat 0,54 liter rode bloedcellen. Eén mm 3 (= 1µl) bloed bevat 1,35 miljoen rode bloedcellen. Per seconde worden 15 miljoen rode bloedcellen vervangen door nieuw aangemaakte. Gevraagd: Het gemiddelde volume van één rode bloedcel bij dit zoogdier Volume cellen in 1 liter: 0,54l Aantal cellen in 1 liter: 1, /10-6 Volume in 1 cel: volume in 1 liter delen door aantal cellen in 1 liter: 0,54/1, = 0, Antwoord D 2000 Juli Vraag 10 Gegeven: omgekeerd evenredig, dus AB = constant A neemt af met 20% Gevraagd: toename van B? (A- ) + ).(B + ) = AB A(1- ). B(1 + ) = AB (1- ). (1 + ) = AB/AB = x -20x =0 80x = 2000 X = 2000/80 = 25% Antwoord B 2001 Juli Vraag 10 Gegeven: artiële partieeldruk omgekeerd evenredig met alveolaire Alveolaire stijgt van 5 tot 6,25 liter per minuut Gevraagd: wijziging van arteriële druk dr. Brenda Casteleyn Page 14

15 AB is constant We moeten eerst vertalen hoeveel procent (p) stijging de wijziging van 5 naar 6.25 vertegenwoordigt = 6,25 p.5 = = 125/5 = 25% Je kan dit ook met de regel van 3: 5 = 100% 1 = 100%/5 6,25 = ( )/5 = 125%, dus 25% hoger dan 100% (A+ ) + ).(B- ) = AB A(1+ ). B(1 - ) = AB (1+ ). (1 - ) = AB/AB = x -25x =0-125x = X = 12500/125 = 20% Antwoord A 2009 Juli Vraag 5 Gegeven: A positief omgekeerd evenredig met B A daalt met 50% Gevraagd: wijziging concentratie B (A- ) + ).(B + ) = AB A(1- ). B(1 + ) = AB (1- ). (1 + ) = AB/AB = 1 dr. Brenda Casteleyn Page 15

16 x -50x =0 50x = 5000 X = 100% Antwoord B Ook door simple redeneren: omgekeerd evenredig betekent als A verdubbelt, B halveert of A.B blijft constant. -50% betekent 2x kleiner, dus B moet dan 2x groter worden, dus een stijging van 100% Juli Vraag 9 Gegeven: gemiddelde van drie meetresultaten x, y en z bepalen waarbij x<y<z m = deelgemiddelde van x en y, m = deelgemiddelde van m en z. Gevraagd: Wat kan je zeggen over het reële gemiddelde m, het berekende gemiddelde m en het deelgemiddelde m? A. m is altijd groter dan m B. m is altijd groter dan m C. m is altijd gelijk aan m D. m is altijd groter dan m berekening gemiddelde en deelgemiddeldes: m =, m' = =, +, +, = + m'' = '-. = '-. + = Test nu elk antwoord: Antwoord A: m' > m" of + > linker. dit is onmogelijk, rechterlid is altijd kleiner dan Antwoord B: m > m' of, +, +, > + Of: 2x + 2y + 2z > 3x + 3y Of 2z > x + y dit klopt altijd omdat gegeven is x < y < z Antwoord C: m'' = m: =, +, +, dr. Brenda Casteleyn Page 16

17 Zet op gelijke noemer:, 0 +, + 2 = x+3y+6z = 4x+4y+4z 2z = x + y maar dit kan niet want gegeven is x<y<z Antwoord D: m'' > m of >, +, +, Zet op gelijke noemer:, +, + 2 > Antwoord B en D augustus Vraag 9 3x + 3y+6z > 4x + 4y + 4z 2z > x + y Gegeven: gemiddelde 10 personen bedraagt 40. Bij deze groep moeten zich n personen met een schoenmaat 44 voegen om een gemiddelde schoenmaat van 43 te bekomen. Gevraagd: juiste uitspraak over aantal n is dan juist? Oplossing 43 = n = n n = Juli Vraag 7 Antwoord B Gegeven: volgende ongelijkheid < 2 Gevraagd Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? Het gaat over de absolute waarde, dus als x <2, betekent dit dat x tussen -2 en 2 mag liggen, dus kleiner dan 2 of groter dan -2. Dus ( ) < 2 of 4 5> -2 --> x < 2 + 5/2 of x > -2 +5/2 --> x < 4,5 of x > 0,5 Antwoord C dr. Brenda Casteleyn Page 17

18 Augustus Vraag 9 Gegeven is de volgende ongelijkheid Gevraagd: Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? Het gaat over de absolute waarde, dus als x <2, betekent dit dat x tussen -2 en 2 mag liggen, dus kleiner dan 2 of groter dan -2. Dus: (4-3x) 2 of (4-3x) > x 0 of x 0 (let op het teken verandert omdat beide leden door een,, negatief getal worden gedeeld) --> x, of x 2 Antwoord D 2014 Juli Vraag 4 versie 1 Gegeven: We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden: log 2 (5x 4) Gevraagd: waaraan moet x voldoen? We kunnen enkel een logaritme nemen van een positief getal, dus 5x-4 >0 of x >4/5 Opdat de absolute waarde 1 is, moeten we de negatieve en de positieve uitkomst van het geheel berekenen: Positief: log 2 (5x 4) 3 1 log 2 (5x 4) log 2 (5x 4) 4 Dit betekent volgens definitie van logaritme dat: (5x-4) 2 4 ; dus (5x 4) 16 x 4 Negatief: - log 2 (5x 4) 3 1 log 2 (5x 4) 3 1 (ongelijkheid vermenigvuldigen met negatief getal, in dit geval met -1 verandert het ongelijkheidsteken) log 2 (5x 4) log 2 (5x 4) 2 Dit betekent volgens definitie van logaritme dat: (5x-4) 2 2 x 8/5 X is dus groter of gelijk aan 8/5 en kleiner of gelijk aan 4, dus in ieder geval strikt positief Antwoord D 2014 Juli Vraag 4 versie 2 dr. Brenda Casteleyn Page 18

19 Gegeven: We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden: log 2 (5x + 4) Gevraagd: waaraan moet x voldoen? We kunnen enkel een logaritme nemen van een positief getal, dus 5x+4 >0 of x > -4/5 Opdat de absolute waarde 1 is, moeten we de negatieve en de positieve uitkomst van het geheel berekenen: Positief: log 2 (5x + 4) 3 1 log 2 (5x + 4) 1 +3 log 2 (5x + 4) 4 Dit betekent volgens definitie van logaritme dat: (5x44) 2 4 ; dus (5x + 4) 16 x 12/5 Negatief: - log 2 (5x + 4) log 2 (5x + 4) log 2 (5x + 4) -2 log 2 (5x + 4) 2 (ongelijkheid vermenigvuldigen met negatief getal verandert het ongelijkheidsteken) Dit betekent volgens definitie van logaritme dat: (5x+4) 2 2 x 0 X is dus groter of gelijk aan 0 en kleiner of gelijk aan 12/5, dus in ieder geval strikt positief Antwoord D 2014 Juli Vraag 9 Gegeven: Bij n= 12; gemiddelde = 21 jaar. Gevraagd: Hoeveel mensen van 26 jaar moeten zich bij deze groep voegen om een gemiddelde leeftijd voor de groep van 25 jaar te bekomen? x = (12+x) x = x x = x X = 48 Antwoord A 2014 Juli Vraag 10 Gegeven:..() Voor x, y en z kunnen we kiezen tussen 5, 6, 7, 8 waarbij elke wortel slechts één maal gebruikt mag worden. We willen de uitkomst van deze uitdrukking zo klein mogelijk maken. Gevraagd: Welke wortel zullen we niet gebruiken? dr. Brenda Casteleyn Page 19

20 Om de teller zo klein mogelijk te houden hebruiken we voor de teller de kleinste waarden nl: De noemer willen we zo groot mogelijk, dus daar gebruiken we de grootste waarde voor nl. 8 Bijgevolg wordt 7 niet gebruikt. Antwoord C 2014 Augustus Vraag 4 versie 1 Gegeven: de volgende ongelijkheid met absolute waarden:! (2 + 1) 2 2 Gevraagd: voor welke getallen voldoet deze ongelijkheid? We kunnen enkel logaritme nemen van een positief getal, dus 2x+1 > 0; dus x > -1/2 Omdat we absolute waarden nemen moeten we zowel het positieve als het negatieve logaritme berekenen: Berekening positieve: log 2 (2x+1) -2 2 log 2 (2x+1) 4 2x x 7,5 Berekening negatieve: -(log 2 (2x+1) -2) 2 -log 2 (2x+1) log 2 (2x+1) 0 log 2 (2x+1) 2 0 2x x 0 x Dus: 0 x 7,5; dus voor volgende gehele getallen voldoet de ongelijkheid: 0,1,2,3,4,5,6,7 Dat zijn dus 4 even en 4 oneven getallen Antwoord A dr. Brenda Casteleyn Page 20

21 2014 Augustus Vraag 4 versie 2 Gegeven: volgende ongelijkheid met absolute waarden:! (2 1) 2 2 We kunnen enkel logaritme nemen van een positief getal, dus 2x-1 > 0; dus x > 1/2 Omdat we absolute waarden nemen moeten we zowel het positieve als het negatieve logaritme berekenen: Berekening positieve: log 2 (2x-1) -2 2 log 2 (2x-1) 4 2x x 8,5 Berekening negatieve: -(log 2 (2x-1) -2) 2 -log 2 (2x-1) log 2 (2x-1) 0 log 2 (2x-1) 2 0 2x x 1 x Dus: 1 x 8,5; dus voor volgende gehele getallen voldoet de ongelijkheid: 1,2,3,4,5,6,7,8 Dat zijn dus 4 even en 4 oneven getallen Antwoord A 2014 Augustus Vraag 9 Gegeven: Gemiddelde van tien mensen = 21 jaar. Iedereen is 18 jaar of ouder. Wanneer twee ervan de groep verlaten daalt de gemiddelde leeftijd naar 19 jaar, dus gemiddelde van 8 personen (na verlaten 2 uit de groep) = 19 jaar Gegeven zijn twee uitspraken: A. De gemiddelde leeftijd van de twee personen is 29 jaar dr. Brenda Casteleyn Page 21

22 Gevraagd: welke uitspraken zijn correct? B. Ze zijn allebei niet ouder dan 42 jaar Stel de leeftijd van de twee personen die de groep verlaten = x en y De gemiddelde leeftijd van de tien mensen is 21, die kunnen we als volgt voorstellen: (89::;.<&;=>3&3) x + y = 210/ 19.8 x = y = 58 = 21 De gemiddelde leeftijd van x en y is dan 58/2 = 29 Zijn ze allebei niet ouder dan 42. Stel dat één van beide 43 is, dan is de andere = 15 jaar. Dat kan niet want, gegeven is dat ze allemaal 18 jaar of ouder zijn. Als de ene dus 18 is,kan de andere maar maximaal 40 jaar zijn. Antwoord B 2014 Augustus Vraag 10 Gegeven: de uitdrukking: '.& ( Voor x, y en z kunnen we kiezen tussen 1, 2, 3 en 4 waarbij elk getal slechts één maal gebruikt mag worden. We willen de uitkomst van deze uitdrukking zo groot mogelijk maken. Gevraagd: Welk getal zullen we 6 6 Waarde van y: hoe kleiner y wordt, hoe en in de noemer staat wordt dan de hele uitdrukking groter. Dus voor y nemen we een zo klein mogelijke waarde. Waarde van x: hoe kleiner x wordt hoe kleiner de e-macht in de noemer en dus hoe groter de hele uitdrukking wordt. Dus ook voor x een zo klein mogelijke waarde. Waarde van z: hoe groter z hoe groter de teller (z 2 ), en hoe kleiner de noemer want de e- macht wordt dan kleiner. Dus voor z gebruiken we een zo groot mogelijke waarde. Voor x en y gebruiken we 1 en 2 en voor z gebruiken we 4. 3 blijft over. Antwoord C dr. Brenda Casteleyn Page 22

23 2016 Juli Geel Vraag 5 Judoclub Yuko neemt deel aan een internationale competitie met zeven van haar leden. Op de wedstrijddag worden alle zeven judoka s één voor één gewogen. Tijdens het wegen houdt de manager van de club het gemiddeld gewicht bij van de leden die reeds gewogen werden. Hij observeert dat het gemiddeld gewicht bij elke nieuwe poging met 1 kg toeneemt. Hoeveel weegt de zwaarste van de zeven judoka s meer dan de lichtste? <A> <C> <D> 7 kg 10 kg 12 kg 14 kg x 1 = minimumgewicht (x 1 + x 2 )/2 = minimumgewicht + 1, dus x 2 = x (x 1 + x 2 + x 3 )/3 = minimumgewicht +2, dus x 3 = x (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )/4 = minimumgewicht + 3, dus x 4 = x Elke stap is dus telkens 2 erbij bij x 7 keer eindigen we dus op +12 kg meer Antwoord C 2016 Augustus Geel Vraag 2 In onderstaande tabel staan de gegevens van een bowlingwedstrijd waaraan 4 clubs deelnamen. Wat is de gemiddelde score van alle spelletjes die alle spelers die avond speelden? Bowlingclub Aantal spelers Spelletjes per speler Hoogste score Laagste score Gemiddelde per spelletje Aardebeke Bevergem Cleve Denterberg Oplossing 5*2 = 10 10*145 = *3 = 9 9*165 = 1485 dr. Brenda Casteleyn Page 23

24 7*1 = 7 7*153 = *1 = 10 10*125 = 1250 Totaal /36 = 146 Antwoord A 2016 Augustus Geel Vraag 14 Gegeven: In onderstaande tabel staan de gemiddelde resultaten van de leerlingen uit twee scholen, kortweg met A en B aangeduid. A B A en B samen Jongens Meisjes 76 90? Alle leerlingen Gevraagd: Wat is het gemiddelde resultaat van de meisjes van beide scholen samen? Oplossing Aandeel jongens A t.o.v. B: 71A + 81B = 79(A+B) 71A 79A = -81B + 79B B = 8/2A of B = 4A Aandeel jongens t.o.v. meisjes in school A: 71J + 76M = 74 (J+M) 71J 74 J = 74M 76M 3J = 2M M = 3/2 J Aandeel jongens t.o.v. meisjes in school b 81J + 90M = 84 (J+M) 81J 84J = -90M + 84 M 3J = 6M M = 3/6J = 1/2J dr. Brenda Casteleyn Page 24

25 Maak nu een tabel met de verhoudingen van de aantallen A B Jongens 1 4 Meisjes 3/2 2 Met deze weegcoëfficiënten kunnen we nu het totaalgemiddelde voor de meisjes berekenen: 3/ = x(3/2 +2) = 7/2.x 294.2/7 = x x = 84 Antwoord C 2017 Juli geel Vraag 2 Een student moet het gemiddelde m berekenen van drie getallen x, y en z, met x < y < z. Eerst berekent hij het gemiddelde van x en y, en daarna het gemiddelde van dat gevonden resultaaat en z. Het eindresultaat dat deze student vindt is Intuïtief: z is het grootste en krijgt door eerst het gemiddelde van x en y te nemen en dan het gemiddelde hiermee met z meer gewicht in het geheel. Daardoor is het eindresultaat altijd groter dan wanneer we de drie getallen zouden optellen en delen door 3. Bewijs: = n, 3 = k = m Te bewijzen: k > m? m =, k = 3 = ( = 000 '-. ) = + = =,,2 0 0 vermits gegeven is dat x < y < z geldt: 3x + 3y + 6z > 4x + 4y + 4 Antwoord C dr. Brenda Casteleyn Page 25

26 2017 Juli geel Vraag 12 Noteer V de verzameling van de elementen x R waarvoor 2 x + 1 < x Welke van de volgende uitspraken is waar? Stel x is positief vermenigvuld met 2 en 1 erbij opgeteld kan nooit kleiner worden Stel x is negatief: de linkerkant wordt positief, terwijl de rechterkant negatief blijft. Een positief getal kan nooit kleiner worden dan een negatief getal: Antwoord d 2017 Augustus geel Vraag 2 In acht bedrijven werd het aantal werknemers verzameld door een statisticus. Dat aantal wordt achtereenvolgens gegeven door 20 8 x Het precieze aantal in het derde bedrijf, x is verloren gegaan, maar de statisticus herinnert zich dat de mediaan 16 of 17 was. Welke uitspraak over het gemiddeld aantal werknemers µ is geldig? Zet de gegevens in volgorde om de mediaan te vinden Vermits de mediaan 16 of 17 is, bevindt x zich tussen 10 en 20. De mediaan vinden we dan als volgt: (x + 20)/2 = 16 of 17 X = 13 of 14 Bereken nu met deze waarden het gemiddelde voor x =13: ( )/8 = 18,625 Voor x = 14 ( )/8 = 18,75 Antwoord D 2017 Augustus geel Vraag 11 dr. Brenda Casteleyn Page 26

27 Kenzy heeft rode, gele en blauwe knikkers. Op 24 na zijn ze allemaal rood, op 30 na zijn ze allemaal geel en op 42 na zijn ze allemaal blauw. Hoeveel rode knikkers heeft Kenzy? Rood + 24 = totaal Geel + 30 = totaal Blauw + 42 = Totaal Rood + Geel + Blauw = Totaal (Totaal 24) + (Totaal 30) + (Totaal -42) = Totaal 2.Totaal = 96 Totaal = 48 Rood = = 24 Antwoord B 2017 Augustus geel Vraag 12 Drie natuurlijke getallen verhouden zich als 3 : 5 : 8. Als je de som van het kleinste en het grootste van deze getallen 48 aftrekt, vind je het middelste getal. Wat is het grootste van die drie getallen? Verhouding: 3x : 5x : 8x 3x + 8x 48 = 5x 11x 5x = 48 6x = 48 x =8 De getallen zijn dan 24 : 40 : 64 Antwoord C dr. Brenda Casteleyn Page 27