WERKBOEK REKENVAARDIGHEID. Voeding en Diëtetiek

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "WERKBOEK REKENVAARDIGHEID. Voeding en Diëtetiek"

Transcriptie

1 WERKBOEK REKENVAARDIGHEID Voeding en Diëtetiek 11

2 INHOUDSOPGAVE ACHTERGROND 3 1. Elementaire bewerkingen 4 2. Voorrangsregels (bewerkingsvolgorde) 8 3. Bewerkingen met machten Rekenen met breuken Breuken optellen/aftrekken Breuken vermenigvuldigen en delen Werken met percentages Wortels uit breuken Wortels onderling vermenigvuldigen / delen Negatieve machten en gebroken machten Vergelijkingen oplossen (Eenvoudige) vergelijkingen met twee onbekenden 'Bijzondere' notaties Logaritmen Formules invullen Grafieken en functies 39 2

3 ACHTERGROND Bij diverse vakken in je studie komt er het nodige rekenwerk kijken: onder andere bij scheikunde (chemie), bij 'methoden en technieken van onderzoek' (waaronder statistiek) en bij diverse voedings- en dieetleeronderdelen. Om die vakken goed te kunnen begrijpen, is dus enige rekenvaardigheid nodig. Dat is de reden dat tijdens de decentrale selectie ook een rekentoets is opgenomen. Om je goed op de decentrale selectie (en dus de opleiding) te kunnen voorbereiden, is er dit werkboek. De categorieën zijn: A. Basisbewerkingen, voorrangsregels, percentages, notaties B. Breuken C. Wortels D. Gewone, negatieve en gebroken machten E. Vergelijkingen (met een of twee onbekenden) F. Logaritmen en grafieken G. Opgaven met behulp van een rekenmachine Inhoud/onderdelen Het werkboekgedeelte is naar onderwerp onderverdeeld in de volgende paragrafen: 1. Elementaire bewerkingen 2. Voorrangsregels 3. Machten vermenigvuldigen/delen 4. Rekenen met breuken 5. Breuken optellen/aftrekken 6. Breuken vermenigvuldigen en delen 7. Percentages 8. Wortels uit breuken 9. Wortels vermenigvuldigen 10. Negatieve machten en gebroken machten 11. Vergelijkingen oplossen 12. (Eenvoudige) vergelijkingen met twee onbekenden 13. Notaties 14. Logaritmen 15. Formules invullen 16. Grafieken en functies 3

4 1. ELEMENTAIRE BEWERKINGEN 1.2 Soorten getallen Positieve getallen Negatieve getallen Gehele getallen Natuurlijke getallen Rationele getallen Irrationele getallen 1.3 Bewerkingen met getallen A) Optellen en aftrekken Bewerking Symbolen Voorbeelden Naam Optellen Som Aftrekken Verschil Optellen en aftrekken zijn gelijksoortige bewerkingen: Aftrekken is optellen van een negatief getal: 12-8 = ; = 30 en = 20 B) Vermenigvuldigen en delen Bewerking Symbolen Voorbeelden Naam Vermenig- x en en niets 3x p ab Produkt vuldigen maar let op: 3½ is niet 3 ½ maar 3+½ Delen : en / en - 10:5 10/5 9 Quotiënt 3 Vermenigvuldigen en delen zijn gelijksoortige bewerkingen: Delen is vermenigvuldigen met een breuk: = - x 8; 5x4 = 20 en 20/5 =

5 Tekens bij vermenigvuldigen/delen: + x + = + dus ook: + / + = + - x - = + dus ook: - / - = + + x - = - dus ook: + / - = - - x + = - dus ook: - / + = - C) Machtsverheffen, worteltrekken en logaritme bepalen Bewerking Symbolen Voorbeelden Naam Machtsverheffen 'verhoging' 5² 2 3 a² Macht Worteltrekken Wortel Logaritmen log ²log4 10 log100 log1 Logaritme Machtsverheffen, Worteltrekken en Logaritmen zijn gelijksoortige bewerkingen: 4 2 = 16; 16 = = 8; 3 8 = 2 Wanneer er geen macht in de 'opening' van het wortelteken staat, gaat het om de tweedemachtswortel, ofwel de vierkantswortel ofwel gewoon de wortel. Afspraak: De vierkanstwortel uit een getal is altijd een positief getal. Dus: 16 = 4 (en niet -4). D) Aandachtspunten bij het gebruik van een rekenapparaat: - machtsverheffen - worteltrekken: eerst getal, dan wortelteken E) Getallen voorstellen door letters -a x -a = a²; a x -b = -ab; 5

6 Opgaven zonder rekenmachine 1 30 x ½ 2 30/ x ½ x (-2) (-3) x (-4) 15 9² (8,13)² /1 21 1² a

7 Opgaven met rekenmachine , , , ,876² 31 (-65) x -78 / 45 7

8 2. VOORRANGSREGELS (BEWERKINGSVOLGORDE) Probleem: hoe ga je om met: 8x /32-98/7 2 +7x 'Mijnheer van Dalen' Voorheen werd Mijnheer van Dalen vaak gebruikt als ezelsbruggetje voor de voorrangsregels. Dit ezelsbruggetje klopt echter niet helemaal meer. Voor de prioriteiten zijn tegenwoordig de volgende afspraken gemaakt; Merk op: is niet 10-5=5 maar 11! - 6x4/2x3 is striktgenomen 24/6 = 4. Dit geeft echter nogal gemakkelijk verwarring, omdat delen en vermenigvuldigen min of meer gelijkwaardig zijn. Dan bewerkt men stapsgewijs: 6x4/2x3 = 24/2x3 = 12x3 = 36 (zo doen ook computers dat!). Daarom is het verstandig in zulke gevallen duidelijkheid te geven door andere middelen (zie 2.2 en 2.3). 2.2 Haakjes en dergelijke Haakjes doorbreken de prioriteit afspraken. Wat tussen haakjes staat wordt eerst uitgewerkt. Dus: 5x9-4 = 45-4 = 41, maar 5x(9-4) = 5x5 = = 3+16 = 19, maar (9+16) = 25 = 5. Voor ingewikkelder voorrangsproblemen gebruikt men wel accolades ({}) en/of 'vierkante haken' ([]) en/of vaker een haakje. In het algemeen geldt: van binnen naar buiten uitwerken. {(17+8)x(5-1)+800} = (25x4+800) = 900 = 30 ((17+8)x(5-1)+800) = (25x4+800) = 900 = 30 [300+{(3+2)x(3-1)}²] = {300+(5x2)²} = (300+10²) = 400 = 20 8

9 2.3 Grafische middelen De voorrang kan ook worden aangegeven met grafische middelen. De omvang van deelstrepen, haken, worteltekens, de 'stok' van worteltekens, en soms ook van cijfers en letters, dwingen je dan tot een bepaalde volgorde. Voorbeelden: 8+8 = 16 = 4 34/17 x 16/8 = 2 x 2 = = 26 = ½/¼ = 2; ½ : ¼ = ½ x 4 = Aandachtspunten bij het gebruik van een rekenapparaat - haakjes, accolades e.d. - van binnen naar buiten werken - tussenresultaten in het geheugen zetten - tussenresultaten opschrijven en later opnieuw intikken (maar dan zoveel mogelijk met oorspronkelijke getallen) 9

10 Opgaven zonder rekenmachine 1 -(16+8) 2-4² 3 (-8)² 4 3² 4 5-3½x2² 6 ( 16-2)² 7 (6²+8²) /(1/2) (-4)² 12 ½x8²+(2-6)² (6x8)x(5-4) 13 {(12-9)x2}² (2+8) 5 14 [300+{(3+2)x(3-1)}²] 10

11 3. BEWERKINGEN MET MACHTEN 3.1 Machten met een gelijk grondtal vermenigvuldigen/delen Achtergrondsvoorbeeld: 2 3 x 2 4 = (2x2x2)x(2x2x2x2) = 2x2x2x2x2x2x2 = 2 7. REGEL: Om machten met een gelijk grondtal te vermenigvuldigen, neem je hetzelfde grondtal, maar tel je de exponenten bij elkaar op. Achtergrondsvoorbeeld (bedenk dat delen en vermenigvuldigen elkaars omgekeerde zijn): 2 5 2x2x2x2x2 = = 2x2 = x2x2 REGEL: Om machten met een gelijk grondtal te delen, neem je hetzelfde grondtal, maar trek je de exponenten van elkaar af. 3.2 Machten van machten Achtergrondsvoorbeeld: machten van machten (2 3 )² = = 2 6 De exponenten worden kennelijk met elkaar vermenigvuldigd. Voorbeelden: (3²)² = 3 4 = 81 (a 4 )² = a Machten van producten Achtergrondsvoorbeeld: (3a)² = 3a 3a = 3 3 a a = 3²a² = 9a² Zo is ook (ab)² = a²b² etc. REGEL: Een macht van een product P is gelijk aan het product van de machten van elk lid van P. 11

12 Opgaven zonder rekenmachine Bereken of vereenvoudig: x 2 6 = 2? x 10 7 = 10? 3 2,5 3 x 2,5 3 = 2,5? x 2 6 x 2 4 = 2? : : x 3 6 : a 2 a 3 9 b 3 x b 6 10 b 9 : b 4 11 b 3 x b 9 : b 4 12 b 2a x b 4a 13 8b 2a x 2b 4a 14 (2²) 3 15 (3a) 3 12

13 4. REKENEN MET BREUKEN teller Breuk: of: teller/noemer noemer REGEL: Je mag de teller en de noemer van een breuk met een gelijk getal vermenigvuldigen of delen. VOORBEELDEN: 5 5 x = - = 6 6 x /5 2 = = /5 3 1, = = - 1, De twee laatste voorbeelden tonen vereenvoudiging van breuken. Je moet breuken normaal gesproken zover mogelijk vereenvoudigen. Uit deze regels komt ook het zogeheten 'wegstrepen' van gelijke elementen uit de teller en de noemer. Voorbeelden: 8 x 9 x 4 x 5 5 x 8 x 7 x 11 In deze deling zitten 5 en 8 in zowel teller als noemer. Deze worden dus tegen elkaar weggestreept: 8\ x 9 x 4 x 5/ 9 x 4 36 = = 5/ x 8\ x 7 x 11 7 x Iets soortgelijks vindt plaats in de volgende situatie, waarin 24 (in teller) en 36 (in noemer) beide deelbaar zijn door 12, wat vereenvoudiging mogelijk maakt. 13

14 24 x 5 2 x 5 10 = = 7 x 36 7 x Opgaven zonder rekenmachine Vereenvoudig: 1 12/ / /8 4 3/½ 5 2,5/7,5 6 4 x x 5 25 x 27 8 ¼/½ 9 81x76x24x105 35x9x38x a²bc 15ac 11 c 1/c 14

15 5. BREUKEN OPTELLEN/AFTREKKEN Je telt breuken op of trekt ze af door het gelijkmaken van de noemers. Dit 'gelijknamig maken' gebeurt met de regel uit de voorgaande paragraaf. Voorbeelden: 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/ /5 = 10/5 + 4/5 = 14/5 1½ - 2/3 = 3/2-2/3 = 9/6-4/6 = 5/6 a/b + a/2b = 2a/2b + a/2b = 3a/2b Opgaven zonder rekenmachine 1 1/3 + 1/4 2 2/5 + 1/2 3 4/5 + 3/6 4 1/8 + 1/ ¼ - 5/8 6 1/7-1/8 7 21/8 + 5/3 8 1/ / /400-1/ /a + 6/a 11 8/g - 6/g 12 16/(3b) + 7/b 13 12/(7a) + 8a/(14a²) 14 16/(3b) - 5/b 15 2a/3 + 3a/5 16 y/4 - y/6 15

16 6. BREUKEN VERMENIGVULDIGEN EN DELEN REGEL: Voorbeelden: Om breuken met elkaar te vermenigvuldigen, moet je de tellers met elkaar vermenigvuldigen tot een nieuwe teller, en de noemers met elkaar vermenigvuldigen tot een nieuwe noemer x1 1 x = = [korter: 1/3 x 1/4 = (1x1)/(3x4) = 1/12] 3 4 3x4 12 Net zo is: 2/3 x 2/5 = 4/15 2/5 x 15/4 = 30/20 (vereenvoudigen:) = 3/2 = 1½ Hetzelfde geldt in principe voor delen. Dus: 6 3 6:3 2 : = = [korter: 6/25 : 3/5 = (6:3)/(25:5) = 2/5] :5 5 MAAR: delen en vermenigvuldigen zijn elkaars omgekeerde. Het is gemakkelijker te werken met de volgende regel: REGEL: Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde van die breuk. Uitgaande van het laatste voorbeeld: : = x = = Andere voorbeelden: 8 = 8 x (2/1) = 8 x 2 = 16 1/2 1/5 = 1/5 x 3/2 = 3/10 2/3 6/5 = 6/5 x 10/4 = 60/20 = 3 4/10 16

17 a/b ac = a/b x c/2b = 2b/c 2b² Opgaven zonder rekenmachine 1 2 x /3 x 1/4 3 3/2 x 5/4 4 14/3 x 15/7 5 8(1/4) 2 (1/2) : : 2/ /2 9 1/6 1/3 10 1/3 x 2/7 x 11/5 11 (3/2 x 5/4)/(3/4) 12 a/b x b/c 13 a/b : b/c 14 t²/6 : t/30 17

18 7. WERKEN MET PERCENTAGES 'Percent' betekent 'per honderd'. Rekenen in percentages houdt in dat je alles terugrekent 'per honderd', ofwel een standaardnoemer van 100 hanteert. 30% van 200 is 30/100 van 200 = 30/100 x 200 = (30x200)/100 = 60. REGEL: a% van b = ab/100 De meeste mensen vinden het omgekeerde lastiger. 3 van de 50 komt neer op 6 van de 100, en is dus 6%. Ofwel: 3/50 = 6/100 -> 3/50 is 6%. Om te zien hoe je het met lastiger getallen moet berekenen, gaan we na hoe deze 6% eigenlijk tot stand komt. Hou in de gaten dat het doel daarbij is om tot een teller van 100 te komen. 3 3 x / = = = = --- = 6% x x De oorspronkelijke breuk was 3/50, het percentage is 300/50. Zo is ook 6 van de 25: (6/25)x100 = 600/25 = 24% Zo is ook 8 van de 32: (8/32)x100 = 800/32 = 25% REGEL: a is (100 a)/b % van b Opgaven zonder rekenmachine 1 15% van 60 = 2 35% van 200 = 3 200% van 35 = 4 37½% van 200 = 5 17% van 20 = 6 10 =?% van 40 (komt neer op: 10 van de 40 =?%) 18

19 7 13 =?% van =?% van =? % van = 80% van? = 40% van? = 80% van? = 15% van? = 48% van? = 27% van? 19

20 8. WORTELS UIT BREUKEN Machten en wortels zijn omgekeerde bewerkingen. Zo is bijvoorbeeld: 3² = 9 -> 9 = 3 Eerder bleek: ½ x ½ = ¼ ofwel: (½)² = ¼ Daarom is: ¼ = ½ Evenzo is: (1/9) = 1/3, (1/16) = 1/4, enzovoort. Merk op: (1/9) = 1/3 = 1/ 9 Eerder bleek ook: x - = - Dus: (2/3) 2 = 4/9. Daarom geldt: (4/9) = 2/ Algemeen gezegd: (a/b) = a/ b Geformuleerd in woorden: REGEL: De wortel uit een breuk is gelijk aan de wortel uit de teller gedeeld door de wortel uit de noemer. Omgekeerd geldt natuurlijk ook: a/ b = (a/b) Merk op: 0,16 = (16/100) = 16/ 100 = 4/10 (= 0,4) 20

21 Opgaven zonder rekenmachine Reken uit: 1 (1/25) 2 (1/100) 3 (1/64) 4 0,36 5 0,81 6 1,44 7 (16/25) 8 0,09 9 (1/10000) 10 0,

22 9. WORTELS ONDERLING VERMENIGVULDIGEN / DELEN 9.1 Algemene regel ( 9)² = (3² =) 9 Dus: 9 x 9 = 9 Maar ook: 9 = 81 Dus: 9 x 9 = 81 Algemeen geldt: a x a = (a a) = a Deze vermenigvuldigingsregel is ook breder toepasbaar. Zo is: 8 x 2 = (8x2) = 16 = 4 (controleer dit met je rekenapparaat). REGEL: a x b = ab en omgekeerd: ab = a x b. Vanwege de overeenkomst tussen delen en vermenigvuldigen, geven we meteen de bijbehorende deelregel: REGEL: a / b = (a/b) Voorbeeld: 72 / 2 = (72/2) = 36 = 6. Dit komt eigenlijk neer op het omgekeerd toepassen van de regel uit paragraaf 8 (Ga dit na!). 9.2 Vereenvoudiging van wortels Door de laatste regel is het mogelijk wortels te vereenvoudigen. Voorbeelden: 48 = (16x3) = 16 x 3 = = (25x2) = 25 x 2 = Breuken wegwerken van onder het wortelteken Dikwijls is het lelijk of onhandig om met wortels uit breuken te werken. Deze kunnen worden weggewerkt door teller en noemer van de breuk zodanig te vermenigvuldigen, dat de noemer een kwadraat van een heel getal wordt. Voorbeelden: (1/8) = (2/16) = 2/ 16 = ( 2)/4 = ¼ 2 (1/5) = (5/25) = 5/ 25 = ( 5)/5 = (1/5) 5 (5/6) = (30/36)= 30/ 36)=( 30)/6 = (1/6) 30 22

23 Opgaven zonder rekenmachine Reken uit: 1 8 x x x ½ 4 27 / / x 2 7 b x (b 3 ) 8 50 x 6 / 3 9 ab x bc x ac 10 a 3 / a Vereenvoudig: a 14 50b Werk de breuk onder het wortelteken weg: 18 ½ 19 (1/10) 20 (1/6) 21 (3/4) 22 (1/n) 23 (2/5) 23

24 10. NEGATIEVE MACHTEN EN GEBROKEN MACHTEN 10.1 Gebroken machten Eerder bleek dat bijvoorbeeld: a 3 a 3 = a 6 Ter vermenigvuldiging van machten met een gelijk grondtal, moet je de exponenten optellen. Maar hoe zit het dan met bijvoorbeeld het volgende: a? a? = a 1 (= a) Redenerend vanuit de genoemde regel, zou je op de vraagtekens een ½ kunnen zetten. Dan krijg je dus: a ½ a ½ = a M aar we weten ook: a a = a Dat komt er dus op neer dat a ½ hetzelfde is als a. AFSPRAAK: Een gebroken exponent duidt op een wortel. Voorbeelden: 16 ½ = 16 = 4 27 ½ = 27 = 3 8 2/3 = 3 8 ² = 3 64 = Negatieve machten Een volgende, soortgelijke stap: a 4 a? = a 2. Dus: 4 +? = 2 Op het vraagteken hoort -2 te staan. Dus: a 4 a -2 = a 2. 24

25 We weten ook: a 4 /a 2 = a 4 x 1/a 2 = a 2. Hieruit blijkt: a -2 = 1/a 2 Voorbeelden: 10-1 = 1/10 1 = 1/ = 1/6² = 1/ = 1/3 3 = 1/ = 8/4² = 8/16 = 1/2 Er bestaan natuurlijk ook negatieve gebroken machten. Met een voorbeeld: 9 -½ = 1/9 ½ = 1/ 9 = 1/ De macht nul We zetten nu de laatste soortgelijke stap: a 3 a -3 = a? Op het vraagteken hoort kennelijk een nul te staan. Maar: a 3 a -3 = a 3 /a 3 = 1 Dus: a 0 = 1 REGEL: Welk getal je ook tot de macht nul verheft, er komt altijd 1 uit! Het belangrijkste zijn: de macht ½ en -½ de macht nul de negatieve gehele macht 25

26 Opgaven zonder rekenmachine Reken uit of vereenvoudig: 1 9 ½ = = = x ½ ½ ½ x a 4 a a a 4 a a 4 a ¼ ¼ ½ 26

27 11. VERGELIJKINGEN OPLOSSEN Een voorbeeld van een vergelijking is het volgende: a + 3 = 4 Een vergelijking bevat altijd een = ('is gelijk')-teken). Links van dat teken staat het linkerlid, rechts het rechterlid. Het linkerlid is hier a+3, het rechterlid 4. Er staat een getal in de vergelijking dat aanvankelijk onbekend is (a), maar door oplossing van de vergelijking, kun je die onbekende berekenen. In dit geval is de oplossing: a = 1. Vergelijkingen kunnen heel gemakkelijk en heel moeilijk zijn. De basis van het oplossen van vergelijkingen is vervat in drie regels. REGEL 1: Je mag een element van het linkerlid overbrengen naar het rechterlid, maar dan moet je het teken omdraaien. Je kunt zeggen: = 12, maar ook: 8 = Je ziet dat +4 uit het linkerlid naar het rechterlid is gebracht, met omkering van het teken. Voorbeelden: a + 12 = 20 a = = 8 a - 12 = 20 a = = = a = a 3 = a 2r + 8 = r + 5 2r - r = 5-8 r = -3 REGEL 2: Je mag het linkerlid en het rechterlid met eenzelfde getal vermenigvuldigen of delen. Voorbeelden: 4p = 8 (4p)/4 = 8/4 p = 2 ½y = 8 ½y 2 = 8 2 y = 16 De truc is dan dus om met een zodanig getal te delen of te vermenigvuldigen, dat de onbekende 'vrij' komt. Je vermenigvuldigt met -1, als je wilt dat de tekens omdraaien. Bijvoorbeeld: 8 - t = 34 -t = 26 t =

28 REGEL 3: Je mag het linker- en het rechterlid tot dezelfde macht verheffen (en er dus ook dezelfde wortel uit trekken). Deze regel gebruik je als er machten of wortels aan de onbekende zijn gekoppeld. Voorbeelden: p² = 4 (p²) = 4 p = 2 (maar zie onder) r² = 0,36 r = 0,6 (maar zie onder) f² = 9/16 f = 3/4 (maar zie onder) y = 4 ( y)² = 4² y = 16. t = 1/3 - = 1/9 MAAR LET OP! In bijvoorbeeld het eerste voorbeeld kan p ook -2 zijn. Ook dan is p² immers 4! Men zegt dat die vergelijking twee oplossingen heeft: -2 en +2. Dit wordt veelal geschreven als: p = ±2. REGELS COMBINEREN In de praktijk gebruik je de drie regels veelal in combinatie met elkaar. Het doel is dat je de onbekende stap voor stap verder 'vrijmaakt'. Voorbeelden: gegeven: (a + 3)² = 16 regel 3: (a + 3)² = 16 a + 3 = ± 4 regel 1: a = 1 of -7 gegeven: (4-2p) = 6 regel 3: 4-2p = 36 regel 1: -2p = 32 regel 2: p =

29 Opgaven zonder rekenmachine Los de volgende vergelijkingen op: 1 20 = 4r 2 8p = 4 3 2p+8 = b+4 = b+7 5 n/8 = 2 6 ¼p=3 7 3 = (1/5)p 8 14/n = 2 9 9/m = /3d = 5/2 11 8/3m = 2/5 12 8/n = n/ n = 2² = (p-10)/ 9 15 x² = r² = 0,16 17 s² = 81/ p² = /t² = /3g² = 2 21 (a+3)² = 36 (LET OP) 22 (y-2) = 5 23 (2t²+3) = 1 (LET OP) 29

30 24 8 = 8 (p+4) 25 5y 5y = 2 MERK HET VERSCHIL OP MET: = -2 (y²+21) (y²+21) 30

31 12. (EENVOUDIGE) VERGELIJKINGEN MET TWEE ONBEKENDEN Het is ook mogelijk vergelijkingen met meer dan één onbekende op te lossen. Daarvoor heb je dan wel meer dan één vergelijking tegelijkertijd nodig. We gaan hier in op de situatie waarin je met twee redelijk simpele vergelijkingen te maken hebt. Bijvoorbeeld: 1) y + 5z = 15 2) y + 2z = 9 Er zijn twee standaardmanieren om deze paren op te lossen, namelijk substitutie en eliminatie Substitutie Substitutie betekent 'vervanging'. Deze methode houdt in dat je de ene vergelijking gebruikt om de ene onbekende 'vrij' te maken, en daardoor uit te drukken in de andere onbekende. In het voorbeeld: 1) y + 5z = 15 y = 15-5z Met deze 'oplossing' (y) vervang je de betreffende onbekende in de andere vergelijking. Hierdoor ontstaat één vergelijking met één onbekende, waar we inmiddels raad mee weten (zie vorige paragraaf). 2) y + 2z = 9 (15-5z) + 2z = z = 9 3z = 15-9 = 6 z = 2 Deze oplossing (z) stop je weer in één van de vergelijkingen. In dit geval bijvoorbeeld in 1): 1) y + 5z = 15 y = 15 y + 10 = 15 y = = Eliminatie Eliminatie betekent 'verwijdering'. Deze methode houdt in dat je één van de onbekenden verwijdert door de vergelijkingen op te tellen of af te trekken. 31

32 Voorbeeld 1: 1) y + 5z = 15 2) y + 2z = 9 - (aftrekken) 3) 3z = 6 z = 2 enzovoort. Voorbeeld 2: 1) 2y - z = 5 2) 3y + z = 10 + (optellen) 3) 5y = 15 y = 3 (en z is dan 1) Soms is het nodig om (een van) de vergelijkingen eerst te vermenigvuldigen met een of ander getal (volgens regel 2 van paragraaf 11): Voorbeeld 3: 1) 2y + 5z = 20 vermenigvuldigen met 3: 6y + 15z = 60 2) 3y + 2z = 8 vermenigvuldigen met 2: 6y + 4z = 16 11z = 44 etc. Opgaven zonder rekenmachine 1 d + 3e = 13 d + 2e = 7 Hoe groot zijn d en e? 2 4t - r = 5 16t - 5r = 17 Hoe groot zijn t en r? 3 d + 3n = 20 d - 3n = 2 n =? 4 z = 2 d + z n = 40 d - z n = 20 n =? 5 z = 2, s = 3 d + z.s/ n = 20 d - z.s/ n = 16 n =? 32

33 13. 'BIJZONDERE' NOTATIES 13.1 > < =/ a > b betekent: a is groter dan b a < b betekent: a is kleiner dan b a b betekent: a is groter dan of gelijk aan b (dus: a is minstens b) a b betekent: a is kleiner dan of gelijk aan b (en dus: a is hoogstens b) a =/ b betekent: a is ongelijk aan b 13.2 Modulusstrepen Modulusstrepen zijn verticale rechte strepen: Ze geven aan dat het getal ertussen niet negatief is. Een eventueel min-teken vervalt dus. Voorbeelden: = - 8 = 8 5 x -4 = -20 = 20 a = a als a positief is en -a als a negatief is. Men spreekt van de absolute waarde van een getal. De absolute waarde van -10 is dus 10. Opgaven zonder rekenmachine Bereken: 1 3 x x ( ) 33

34 14. LOGARITMEN 14.1 Algemeen In paragraaf 1.3 stond al dat machtsverheffen, worteltrekken en logaritmen elkaar onderling aanvullende bewerkingen zijn. Pas hier gaan we op die logaritme in. De verhouding tussen macht, wortel en logaritme is, met getallenvoorbeelden, als volgt: macht wortel logaritme 4 2 = = 4 4 log16 = = = 2 2 log8 = = =10 10 log10000 = 4 Algemeen gezegd: a LOGb is het getal waartoe je a moet verheffen om b te krijgen. (NB. We schrijven log hier met hoofdletters (LOG) als we met letters werken i.p.v. cijfers) VOORBEELDEN: 2 log8 = 3 want 2 3 = 8 2 log16 = 4 want 2 4 = 16 3 log9 = 2 want 3 2 = 9 9 log9 = 1 want 9 1 = 9 10 log100 = 2 want 10 2 = 10 7 log1 = 0 want 7 0 = 1 Basisopgaven zonder rekenmachine log16 2 log16 5 log125 8 log64 34

35 log? = 2 2 log? = 5 2 log 2? log49 = 2 5 log(1/5) 3 log(1/9) 9 log3? log2 3 = 3 10 log log log log log10 4 = 10 log10? De meeste toepassingen van de logaritme hebben het grondtal 10. Vandaar de volgende AFSPRAAK: Wanneer bij een logaritme geen grondtal staat, gaat het om het grondtal 10. Dus: log100 = 2 log0,1 = -1 log10 = 1 enzovoort. 17 log1 18 log log(1/100) 20 log0, log Waarom is loga negatief voor elke A die kleiner is dan 1? 23 8log ½log log0,001 35

36 14.3 De ph ofwel waterstof-exponent In de scheikunde wordt veel met logaritmes gewerkt. Een belangrijke toepassing is de ph: ph = -log(concentratie van waterstof-ionen) In een neutrale oplossing is de concentratie waterstof-ionen 1 op de tien miljoen, ofwel 1/ ofwel 1/10 7. Dat is dus De ph is dan dus -log10-7 = -(-7) = +7. Als de concentratie hoger is, bijvoorbeeld 1/10 5, is de ph lager. In dit geval is de ph dan 5. Dan is de oplossing dus zuur. Een alcalische oplossing heeft een concentratie H-ionen die lager is, en heeft dus een ph van boven de Rekenregels voor logaritmen Er bestaan diverse rekenregels voor logaritmen. We behandelen er hier twee van. De eerste is de optelregel (waarmee je 'dus' ook kunt aftrekken). Merk op: log10 + log100 = = 3 Maar ook: log1000 = 3 Dus: log 10 + log100 = log1000 (= log10x100) Algemeen geldt: REGEL: LOGa + LOGb = LOGab LOGa - LOGb = LOG(a/b) Voorbeelden: log200 + log5 = log200 5 = log1000 = 3 log200 - log20 = log(200/20) = log10 = 1 Je kunt ook vergelijkingen met logaritmes erin oplossen: Gegeven: log5 + LOGy = log20 Oplossing: log5 + LOGy = log5y (optelregel) Dus: log5y = log20 Dan moet: 5y = 20 y = 4 36

37 Opgaven zonder rekenmachine Bereken: 26 log5 + log2 27 log8 + log12½ 28 log250 + log4 29 log6 + log5 + log(1/3) 30 log300 - log3 31 log5 - log5 32 Vereenvoudig: LOGab²c - LOGab 37

38 15. FORMULES INVULLEN Formule geven het verband aan tussen een aantal 'grootheden'. Deze grootheden worden meestal uitgedrukt met letters. Het handige van een formule is, dat je de waarde van een grootheid kunt uitrekenen als je de waarden van andere grootheden kent. Voorbeelden van formules zijn: O = l x b R = V / I Inc = Exc x 1,175 (waarbij O staat voor oppervlakte van een rechthoek, l voor de lengte en b voor de breedte) (waarbij R staat voor de elektrische weerstand in Ohms, V voor de elektrische spanning in Volts en I voor de stroomsterkte in Ampères) (waarbij Exc is de verkoopprijs van een artikel vóór Btw-heffing, Inc de prijs inclusief Btw van 17,5 %) Meestal staat de grootheid die je moet berekenen vòòr het 'is gelijk-teken (=). De grootheden die je nodig hebt om deze te berekenen zijn bekend. Opgaven zonder rekenmachine 1 Gegeven: k=12, n=16 en π=½. Bereken z met behulp van de volgende formule: z = k - nπ {nπ(1-π)} 2 Gegeven: -x = 13, a = 3, s = 10 en n = 25. Bereken t met behulp van de volgende formule: t = -x - a s/ n 38

39 16. GRAFIEKEN EN FUNCTIES Er bestaan verschillen tussen functies en formules, maar deze zijn klein, en lastig uit te leggen. Vandaar dat we dat hier dan ook maar achterwege laten. Een functie drukt het verband uit tussen variabele grootheden. Drie voorbeelden zijn: 1) y = 2x 2) y = x² 3) y = 2x - 1 De omvang van y hangt in deze voorbeelden kennelijk af van x. Men zegt: y is een functie van x. Eigenlijk zijn het vergelijkingen, maar dan met twéé onbekenden. Ze zijn dan ook niet op te lossen. Je kunt de vergelijking pas oplossen, als je weet hoe groot x is. Als we uitgaan van voorbeeld 3, kun je zeggen: als x bijvoorbeeld 1 zou zijn, is y ook 1, als x bijvoorbeeld 5 zou zijn, is y 9. Zo kun je doorgaan, en bijvoorbeeld de volgende tabel maken: áls x is: dán is y: ½ Deze tabel zou je eindeloos kunnen aanvullen. Maar je kunt ook een tekening, een grafiek, maken waarin het verband tussen x en y naar voren komt. Zo'n grafiek helpt je dan om bij elke waarde van x de bijbehorende waarde van y te vinden. In de volgende figuur staan de punten uit de voorgaande tabel aangebracht. Ze liggen op een rechte lijn. 39

40 # 12 y x Je kunt de lijn tekenen door twee punten van die lijn vast te stellen. Voor de functie y = 2x - 1 vul je bijvoorbeeld voor x een keer 0 in (dit levert op: y = -1) en een keer 5 (dan is y = 9). Die twee punten zet je in het assenstelsel, waarna je de lijn kunt trekken. Andersoortige functies kunnen op niet-rechte lijnen liggen. We gaan hier alleen in op functies met een rechte lijn. Deze heten lineaire functies. Voor zo'n functie geldt de algemene vergelijking: y = ax + b x en y zijn hierbij de variabelen; a en b zijn vaste getallen. We hebben hier dus gezien hoe je de lijn kunt tekenen van een bekende functie. Hierna doen we het omgekeerde: uitpuzzelen welke functie hoort bij een gegeven lijn. 40

41 Als een rechte lijn in een assenstelsel staat, kun je de bijhorende functie als volgt bepalen. We gaan met een voorbeeld uit van de volgende tekening. 12 y A 4 2 B x -> Trek een lijn door de punten A en B. voor punt A geldt: x=-4 en y=+6, we schrijven: A(-4,+6) voor punt B geldt: x=+4 en y=+2, we schrijven: B(+4,+2) De getallen tussen haakjes heten de coördinaten van de betreffende punten. Je weet dat de algemene vergelijking is: y = ax + b Je vult nu voor A en B afzonderlijk de bijbehorende waarden in voor x en y. Dat levert op: punt A: 6 = a -4 + b -> 6 = -4a + b punt B: 2 = a 4 + b -> 2 = 4a + b Dit zijn twee vergelijkingen met twee onbekenden, a en b. Eliminatie van b door aftrekken levert op: 6 = -4a + b 2 = 4a + b - 4 = -8a -> a = -½; b is dan 4 De gezochte functie is dus: y = -½x

42 Opgaven zonder rekenmachine 1. Teken, in één assenstelsel, de lijnen van de volgende functies. Wat valt je op? a. y = x b. y = 4x c. y = ½x d. y = -x 2. Teken, in hetzelfde assenstelsel, de grafieken van de volgende functies. Wat valt je op? a. y = x b. y = x + 4 c. y = x Welke functie hoort er bij de lijn door de punten: a. (0,0) en (5,5) b. (1,3) en (3,9) c. (-4,-2) en (8,4) d. (0,2) en (2,8) e. (0,4) en (-1,0) 42

43 ANTWOORDEN REKENVAARDIGHEIDSWERKBOEK Onderdeel 1/Elementaire bewerkingen Opgavenummer Uitkomst Opgavenummer Uitkomst , , , , , , , Onderdeel 2/Voorrangregels Opgavenummer Uitkomst Opgavenummer Uitkomst Onderdeel 3/ Bewerkingen met machten Opgavenummer Uitkomst Opgavenummer Uitkomst b b 5 3 2, b b 6a b 6a a 3 8 a 5 43

44 Onderdeel 4/Rekenen met breuken Opgavenummer Uitkomst Opgavenummer Uitkomst 1 1/4 7 2/15 2 1/5 8 1/2 3 25/ ab/3 5 1/3 11 c 2 6 2/3 Onderdeel 5/ Breuken optellen/aftrekken Opgavenummer Uitkomst Opgavenummer Uitkomst 1 7/12 9 1/ / /a 3 39/ /g 4 43/ /3b 5 5/ /14a 6 1/ /3b 7 103/ a/15 8 5/ y/12 Onderdeel 6/ Breuken vermenigvuldigen en delen Opgavenummer Uitkomst Opgavenummer Uitkomst 1 8/ /12 9 ½ 3 15/ / /21= /2 5 1/16 12 a/c 6 2/9 13 ac/b 2 7 9/2 14 5t Onderdeel 7/ Werken met percentages Opgavenummer Uitkomst Opgavenummer Uitkomst , , , ,5 44

45 Onderdeel 8/ Wortels en breuken Opgavenummer Uitkomst Opgavenummer Uitkomst 1 1/5 6 1,2 2 1/10 7 4/5 3 1/8 8 0,3 4 0,6 9 1/ ,9 10 0,01 Onderdeel 9/ Wortels onderling vermenigvuldigen/delen Opgavenummer Uitkomst Opgavenummer Uitkomst a b b abc 21 1/ a 22 n , Onderdeel 10/Negatieve machten en gebroken machten Opgavenummer Uitkomst Opgavenummer Uitkomst / a 4 ¼ 12 a 2 5 1/2 13 8a /

46 Onderdeel 11/Vergelijkingen oplossen Opgavenummer Uitkomst Opgavenummer Uitkomst 1 r = 5 14 p = 16 2 p = 1/2 15 x = 5 of x = -5 3 p = 4 16 r = 0,04 of r = - 0,04 4 b = 3 17 s= 9/4 of s = -9/4 5 n = p = 2 of p = -2 6 p = t= 3 of t = -3 7 p = g = 2 of g = -2 8 n = 7 21 a = 3 of a = -9 9 m = 9/5 22 y = d = 4/3 23 t =? opgave is niet oplosbaar 11 m = 20/3 24 p = 4 12 n = 4 of n = y = 2 13 n = 13. Onderdeel 12/Vergelijkingen met 2 onbekenden Opgavenummer Uitkomst 1 e = 6 d = -5 2 t = 2 r = 3 3 n = 3 d = 11 4 n = 25 d =30 5 n = 9 d = 18 Onderdeel 13/ Bijzondere notaties Opgavenummer Uitkomst

47 Onderdeel 14/ Logaritmen Opgavenummer Uitkomst Opgavenummer Uitkomst ½ * 7 1/ ½ log c * omdat je, alleen als je 10 verheft met een getal < 0, een getal < 1 krijgt Onderdeel 15/ Formules invullen Opgavenummer Uitkomst 1 Z = 2 2 T = 5 Onderdeel 16/Grafieken en functies Opgavenummer Uitkomst 3a Y = x 3b Y = 3x 3c Y = ½x 3d Y = 3x + 2 3e Y = 4x

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde 8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige

Nadere informatie

3.1 Haakjes wegwerken [1]

3.1 Haakjes wegwerken [1] 3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben

Nadere informatie

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] 4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats

Nadere informatie

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER

Nadere informatie

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken

Nadere informatie

Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2

5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2 Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) = a b 5.1 Herleiden [1] Voorbeeld 1: (a + 5)(a 6) (a + 5)(-a + 7) = a 6a + 5a 30 ( a + 14a 5a + 35) = a 6a + 5a 30

Nadere informatie

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel) 1 Inleiding Wortels met getallen en letters WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht

Nadere informatie

1 Rekenen met gehele getallen

1 Rekenen met gehele getallen 1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9

Nadere informatie

3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat.

3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat. 92 Algebra 3.2 Basiskennis Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: 3.2.1 De getallenlijn... -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5... 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen Het=teken 5+2+3=10 = geeft aan dat wat links van = staat,

Nadere informatie

1.3 Rekenen met pijlen

1.3 Rekenen met pijlen 14 Getallen 1.3 Rekenen met pijlen 1.3.1 Het optellen van pijlen Jeweetnuwatdegetallenlijnisendat0nochpositiefnochnegatiefis. Wezullen nu een soort rekenen met pijlen gaan invoeren. We spreken af dat bij

Nadere informatie

2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45

2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45 15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

1. Optellen en aftrekken

1. Optellen en aftrekken 1. Optellen en aftrekken Om breuken op te tellen of af te trekken maak je de breuken gelijknamig. Gelijknamig maken wil zeggen dat je zorgt voor 'gelijke noemers': Om de breuken met 'derden' en 'vijfden'

Nadere informatie

1. Orthogonale Hyperbolen

1. Orthogonale Hyperbolen . Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies

Nadere informatie

OP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl

OP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl OP WEG NAAR WISKUNDE Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl Voor kinderen die iets meer willen weten en begrijpen van wiskunde, bijvoorbeeld als voorbereiding op de middelbare

Nadere informatie

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1] 4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )

Nadere informatie

Rekenen aan wortels Werkblad =

Rekenen aan wortels Werkblad = Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden

Nadere informatie

WISNET-HBO. update aug. 2011

WISNET-HBO. update aug. 2011 Basiskennis van machten WISNET-HBO update aug. 0 Inleiding Deze les doorwerken met pen en papier! We noemen de uitdrukking a 4 (spreek uit: a tot de vierde macht) een macht van a (in dit geval de vierde

Nadere informatie

2. Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken

2. Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken 1. Wat is een breuk? Een breuk Een breuk is een verhoudingsgetal. Een breuk geeft aan hoe groot een deel is van een geheel. Stel een taart is verdeeld in stukken. Je neemt 2 stukken van de taart. Je hebt

Nadere informatie

Wortels met getallen. 2 Voorbeeldenen met de vierkantswortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen. 2 Voorbeeldenen met de vierkantswortel (Tweedemachts wortel) Wortels met getallen 1 Inleiding WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht van de

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013

Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013 Breuken met letters WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers

Nadere informatie

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek

Nadere informatie

Voorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214

Voorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214 Open Inhoud Universiteit Appendix A Wiskunde voor milieuwetenschappen Voorkennis getallenverzamelingen en algebra Introductie Leerkern Natuurlijke getallen Gehele getallen 8 Rationele getallen Machten

Nadere informatie

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] 1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

2 REKENEN MET BREUKEN 3. 2.3 Optellen van breuken 6. 2.5 Aftrekken van breuken 9. 2.7 Vermenigvuldigen van breuken 11. 2.9 Delen van breuken 13

2 REKENEN MET BREUKEN 3. 2.3 Optellen van breuken 6. 2.5 Aftrekken van breuken 9. 2.7 Vermenigvuldigen van breuken 11. 2.9 Delen van breuken 13 REKENEN MET BREUKEN. De breuk. Opgaven. Optellen van breuken 6. Opgaven 8. Aftrekken van breuken 9.6 Opgaven 9.7 Vermenigvuldigen van breuken.8 Opgaven.9 Delen van breuken.0 Opgaven. Een deel van een deel.

Nadere informatie

Vergelijkingen met breuken

Vergelijkingen met breuken Vergelijkingen met breuken WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het doorwerken van begin tot einde met behulp van pen en papier. 1 Oplossen van gebroken vergelijkingen Kijk ook nog

Nadere informatie

Niveauproef wiskunde voor AAV

Niveauproef wiskunde voor AAV Niveauproef wiskunde voor AAV Waarom? Voor wiskunde zijn er in AAV 3 modules: je legt een niveauproef af, zodat je op het juiste niveau kan starten. Er is de basismodule voor wie de rekenvaardigheden moet

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde B

Samenvatting Wiskunde B Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen

Nadere informatie

Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429)

Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429) Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429) - een lijst met operationele en concrete doelen van de lessenserie, indien mogelijk gerelateerd

Nadere informatie

Vergelijkingen oplossen met categorieën

Vergelijkingen oplossen met categorieën Vergelijkingen oplossen met categorieën De bewerkingen die tot de oplossing van een vergelijking leiden zijn niet willekeurig, maar vallen in zes categorieën. Het stappenplan voor het oplossen maakt gebruik

Nadere informatie

Goed aan wiskunde doen

Goed aan wiskunde doen Goed aan wiskunde doen Enkele tips Associatie K.U.Leuven Tim Neijens Katrien D haeseleer Annemie Vermeyen Maart 2011 Waarom? Dit document somt de belangrijkste aandachtspunten op als je een wiskundeopgave

Nadere informatie

Domeinbeschrijving rekenen

Domeinbeschrijving rekenen Domeinbeschrijving rekenen Discussiestuk ten dienste van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Rekenen en Taal auteur: Jan van de Craats 11 december 2007 Inleiding Dit document bevat een beschrijving van

Nadere informatie

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO Rekenvaardigheden voor klas en VWO Een project in het kader van het Netwerk VO-HO West Brabant Voorjaar 00 Samenstelling: M. Alberts (Markenhage College, Breda) I. van den Bliek (Mencia de Mendoza, Breda)

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden

Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen

Nadere informatie

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a.

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a. 98 Algebra 3.3 Variabelen 3.3.1 Inleiding F= 9 5 15+32= 27+32=59 15 C= 59 F In de inleidende tekst aan het begin van dit hoofdstuk staat een afkorting waarmee de temperatuur in graden Celsius in graden

Nadere informatie

Die moeilijke decibels.

Die moeilijke decibels. Die moeilijke decibels. Hoe werkt het en hoe moet ik er mee rekenen? PA FWN Met potlood en papier Er wordt zoveel mogelijk een rekenmethode toegepast, welke door zijn eenvoud met een simpele rekenmachine

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

3.1 Kwadratische functies[1]

3.1 Kwadratische functies[1] 3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt

Nadere informatie

logaritmen WISNET-HBO update jan Zorg dat je het lijstje met rekenregels hebt klaarliggen als je met deze training begint.

logaritmen WISNET-HBO update jan Zorg dat je het lijstje met rekenregels hebt klaarliggen als je met deze training begint. Training Vergelijkingen met logaritmen WISNET-HBO update jan. 0 Inleiding Voor deze training heb je nodig: de rekenregels van machten de rekenregels van de logaritmen Zorg dat je het lijstje met rekenregels

Nadere informatie

1.1 Lineaire vergelijkingen [1]

1.1 Lineaire vergelijkingen [1] 1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg

Nadere informatie

Paragraaf 5.1 : Machten en wortels

Paragraaf 5.1 : Machten en wortels Hoofdstuk 5 Machten, exponenten en logaritmen (H Wis B) Pagina 1 van 1 Paragraaf 5.1 : Machten en wortels Machtsregels SPECIAAL GEVAL MACHTREGEL 1 : MACHTREGEL 2 : MACHTREGEL : a p a q = a p+q a p aq =

Nadere informatie

REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS

REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS Schooljaar 008/009 Inhoud Uitleg bij het boekje Weektaak voor e week: optellen en aftrekken Weektaak voor e week: vermenigvuldigen Weektaak voor e week: delen en de staartdeling

Nadere informatie

Gehele getallen: machtsverheffing en vierkantsworteltrekking

Gehele getallen: machtsverheffing en vierkantsworteltrekking 4 Gehele getallen: machtsverheffing en vierkantsworteltrekking Dit kun je al gehele getallen vermenigvuldigen 2 afspraken i.v.m. de volgorde van de bewerkingen toepassen 3 regelmaat en patronen ontdekken

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus. Rekenregels voor vereenvoudigen ( ) = = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = = ( )

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus. Rekenregels voor vereenvoudigen ( ) = = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = = ( ) Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in één van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk hem dan uit tot

Nadere informatie

kwadratische vergelijkingen

kwadratische vergelijkingen kwadratische vergelijkingen In deze paragraaf: 'exact berekenen van oplossingen', 'typen kwadratische vergelijkingen' en 'de abc-formule en de discriminant'. de abc-formule Voor een tweedegraads vergelijking

Nadere informatie

opdracht 1 opdracht 2. opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 2014 x y toename

opdracht 1 opdracht 2. opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 2014 x y toename Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 014 1 Parabolen herkennen opdracht 1. x - -1 0 1 3 y 4 1 0 1 4 9-3 -1 + 1 + 3 +5 toename tt + + + + a) + b) De toename is steeds een nieuwe rand. De randen

Nadere informatie

Hoe schrijf je de logaritmische waarden welke bij db s horen?

Hoe schrijf je de logaritmische waarden welke bij db s horen? Die moeilijke decibellen toch. PA0 FWN. Inleiding. Ondanks dat in Electron al vaak een artikel aan decibellen is geweid, en PA0 LQ in het verleden al eens een buitengewoon handige tabel publiceerde waar

Nadere informatie

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16 Inhoud Voorwoord v Het metrieke stelsel vii Inhoud ix Trefwoordenlijst x 1 Basis 1.1 1.1 Veel voorkomende berekeningen 1.1 1.2 Van punt tot vlak 1.4 1.3 Oppervlakten berekenen 1.12 1.4 Zelf tekenen 1.16

Nadere informatie

klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf

klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf Checklist 3 HAVO wiskunde klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf 1. Hoofdstuk 1 - lineaire problemen Ik weet dat de formule y = a x + b hoort bij de grafiek hiernaast. Ik kan bij een lineaire formule de

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN

Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN 1-6 H3. Negatieve getallen Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 96 123) 3.1 Positieve en negatieve getallen Het verschil verwoorden tussen positieve en negatieve getallen.

Nadere informatie

PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5

PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 2015-2015 PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 Inhoud Kenmerken van deelbaarheid (herhaling)...1 Ontbinden in factoren...1 Priemgetallen (herhaling)...2 Ontbinden in priemfactoren...2 KGV (Kleinste Gemene

Nadere informatie

Decimaliseren. 1.1 Vereenvoudigen 2. 1.2 Verhoudingen omzetten 3. 1.3 Afronden 4. 1.4 Oefeningen 4

Decimaliseren. 1.1 Vereenvoudigen 2. 1.2 Verhoudingen omzetten 3. 1.3 Afronden 4. 1.4 Oefeningen 4 Decimaliseren Samenvatting Decimaliseren is nodig, omdat alle apparaten voor hun instelling een decimaal getal nodig hebben. Bijvoorbeeld: een infuuspomp kan wel op 0,8 ml/min ingesteld worden, maar niet

Nadere informatie

Hoofdstuk 9: NEGATIEVE GETALLEN

Hoofdstuk 9: NEGATIEVE GETALLEN 1 H9. Negatieve getallen Hoofdstuk 9: NEGATIEVE GETALLEN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 53 57) 9.1 Getallen onder 0 Het verschil verwoorden tussen positieve en negatieve getallen. Weten dat we 0 zowel

Nadere informatie

Antwoordmodel - Kwadraten en wortels

Antwoordmodel - Kwadraten en wortels Antwoordmodel - Kwadraten en wortels Schrijf je antwoorden zo volledig mogelijk op. Tenzij anders aangegeven mag je je rekenmachine niet gebruiken. Sommige vragen zijn alleen voor het vwo, dit staat aangegeven.

Nadere informatie

De teller geeft hoeveel stukken er zijn en de noemer zegt wat de 5. naam is van die stukken: 6 taart geeft dus aan dat de taart in 6

De teller geeft hoeveel stukken er zijn en de noemer zegt wat de 5. naam is van die stukken: 6 taart geeft dus aan dat de taart in 6 Breuken Breuk betekent dat er iets gebroken is. Het is niet meer heel. Als je een meloen doormidden snijdt, is die niet meer heel, maar verdeeld in twee stukken. Eén zo n stuk is dan een halve meloen,

Nadere informatie

exponentiële verbanden

exponentiële verbanden exponentiële verbanden . voorkennis Procenten en vermenigvuldigingsfactoren Procentuele toename met p%: g = + p 00 p = ( g ) 00 Procentuele afname met p%: g = p 00 p = ( g) 00 De constante factor In 859

Nadere informatie

breuken 1.0 Inleiding 1.1 Natuurlijke getallen

breuken 1.0 Inleiding 1.1 Natuurlijke getallen 1 Natuurlijke getallen, breuken 1.0 Inleiding Dit hoofdstuk begint in paragraaf 1.1 met het rekenen met de getallen 0, 1, 2,, enzovoort. Dat heb je op de lagere school ook geleerd, alleen wordt er nu wat

Nadere informatie

EXACT- Periode 1. Hoofdstuk Grootheden. 1.2 Eenheden.

EXACT- Periode 1. Hoofdstuk Grootheden. 1.2 Eenheden. EXACT- Periode 1 Hoofdstuk 1 1.1 Grootheden. Een grootheid is in de natuurkunde en in de chemie en in de biologie: iets wat je kunt meten. Voorbeelden van grootheden (met bijbehorende symbolen): 1.2 Eenheden.

Nadere informatie

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be SOORTEN GETALLEN (Dit hoofdstukje geldt als inleiding en is geen te kennen leerstof). Natuurlijke getallen

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig

Trillingen en geluid wiskundig Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Radialen 3 Uitwijking van een harmonische trilling 4 Macht en logaritme 5 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Sinus van een hoek

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Eenheidscirkel In de figuur hiernaast

Nadere informatie

Vergelijkingen en hun oplossingen

Vergelijkingen en hun oplossingen Vergelijkingen en hun oplossingen + 3 = 5 is een voorbeeld van een wiskundige vergelijking: er komt een = teken in voor, en een onbekende of variabele: in dit geval de letter. Alleen als we voor de variabele

Nadere informatie

Rekenen met de GRM. 1 van 1. Inleiding: algemene zaken. donkerder. lichter

Rekenen met de GRM. 1 van 1. Inleiding: algemene zaken. donkerder. lichter 1 van 1 Rekenen met de GRM De grafische rekenmachine (voortaan afgekort met GRM) ga je bij hoofdstuk 1 voornamelijk als gewone rekenmachine gebruiken. De onderste zes rijen toetsen zijn vergelijkbaar met

Nadere informatie

LESFICHE 1. Handig rekenen. Lesfiche 1. 1 Procent & promille. 2 Afronden. Procent of percent (%) betekent letterlijk per honderd.

LESFICHE 1. Handig rekenen. Lesfiche 1. 1 Procent & promille. 2 Afronden. Procent of percent (%) betekent letterlijk per honderd. Lesfiche 1 1 Procent & promille Handig rekenen Procent of percent (%) betekent letterlijk per honderd. 5 5 % is dus 5 per honderd. In breukvorm wordt dat of 0,05 als decimaal getal. Promille ( ) betekent

Nadere informatie

inhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2

inhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2 handleiding algebra inhoudsopgave Inhoudsopgave 2 De grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 1 Routes in een rooster 4 2 Oppervlakte in een rooster 4 3 Producten 4 4 Onderzoek 5 Tijdpad 9 Materialen voor

Nadere informatie

5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde.

5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. 5.0 Voorkennis Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. Vermenigvuldigen is eponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige

Nadere informatie

Download gratis de PowerPoint rekenen domein getallen:

Download gratis de PowerPoint rekenen domein getallen: Getallen Bron: Examenbladmbo.nl, SYLLABUS REKENEN 2F en 3F vo en mbo, Versie mei 2015 Download gratis de PowerPoint rekenen domein getallen: http://nielspicard.nl/download/powerpoint-rekenen-domein-getallen/

Nadere informatie

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1 Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 500765005 Haags Montessori Lyceum (c) 06 Inleiding In de leerroute transformaties van grafieken gaat het om de karakteristieke eigenschappen

Nadere informatie

8 Oefeningen bij dehoofdstukken 5, 6 en 7 van deel Logaritmen met andere grondtallen dan Overzicht en oefening bij logaritmen 10

8 Oefeningen bij dehoofdstukken 5, 6 en 7 van deel Logaritmen met andere grondtallen dan Overzicht en oefening bij logaritmen 10 deel 2 Inhoudsopgave 8 Oefeningen bij dehoofdstukken 5, 6 en 7 van deel 1 3 9 Logaritmen met andere grondtallen dan 10 6 10 Overzicht en oefening bij logaritmen 10 Dit is een vervolg op Verbanden, Exponenten

Nadere informatie

ANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999

ANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999 ANTWOORDEN blz. 3 a. Zeer onwaarschijnlijk Zeer onwaarschijnlijk a. Dan heb je ergens een schuld uitstaan 86 Dan hadden beide een kopie van de kerfstok; om fraude te voorkomen a. MMXII, MCCCXXVII, DLXXXVI,

Nadere informatie

Toegepast Rekenen Theorie:

Toegepast Rekenen Theorie: Toegepast Rekenen Theorie: Hfst 1: Rekenen De volgorde van de basisbewerkingen is: Eerst tussen haakjes Daarna de volgorde volgens het ezelsbruggetje: Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord - Machtsverheffen

Nadere informatie

D A G 1 : T W E E D O M E I N E N

D A G 1 : T W E E D O M E I N E N REKENEN 3F DAG 1 :TWEE DOMEINEN DAG 2 : TWEE DOMEINEN DAG 3: EXAMENTRAINING DAG 4:EXAMENTRAINING EN A FRONDING Programma: Voorstellen 13.30 uur 16.15 uur Pauze: 15 minuten Theorie dag 1: Domein Getallen

Nadere informatie

Inhoud. Inleiding... 9

Inhoud. Inleiding... 9 Inhoud Inleiding.............................................................. 9 Hoofdstuk 1: Rekenen met getallen en letters............................ 15 De symbolen ontcijferen..................................

Nadere informatie

INHOUDSOPGAVE. HOOFDSTUK 6 AFRONDEN Inleiding Cijfers Verstandig afronden 48 BLZ

INHOUDSOPGAVE. HOOFDSTUK 6 AFRONDEN Inleiding Cijfers Verstandig afronden 48 BLZ INHOUDSOPGAVE BLZ HOOFDSTUK 1 DOMEIN A: GETALLEN 15 1.1. Inleiding 15 1.2. Cijfers en getallen 15 1.3. Gebroken getallen 16 1.4. Negatieve getallen 17 1.5. Symbolen en vergelijken van getallen 19 HOOFDSTUK

Nadere informatie

De kleine Wiskunde voor Dummies. Mary Jane Sterling

De kleine Wiskunde voor Dummies. Mary Jane Sterling De kleine Wiskunde voor Dummies Mary Jane Sterling Amersfoort, 2016 Inhoud Inleiding.............................................................. 9 Hoofdstuk 1: Rekenen met getallen en letters............................

Nadere informatie

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B... Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een

Nadere informatie

Elementaire rekenvaardigheden

Elementaire rekenvaardigheden Hoofdstuk 1 Elementaire rekenvaardigheden De dingen die je niet durft te vragen, maar toch echt moet weten Je moet kunnen optellen en aftrekken om de gegevens van de patiënt nauwkeurig bij te kunnen houden.

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 5 e 5,00 e 3,70 e 6,58 5 e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 e 3,9) 5 e 5,00 3 e 5, 5 e 5,00 e 0,8 5 e,7 V-a 6 3 5 36 9 5 7 b 9 (5 ) 5 9 (5 ) 5 9 5 c 0 3 6 5 000

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-1a 4 8 + 4 1,80 + 4 0,60 = 32 + 7,20 + 2,40 = 41,60. Ze is 41,60 kwijt. 4 (8 + 1,80 + 0,60) = 4 10,40 = 41,60. Ze krijgt hetzelfde edrag. c 8 + 1,80 + 0,60 4 = 8 + 1,80 + 2,40 = 12,20. Je

Nadere informatie

Deel C. Breuken. vermenigvuldigen en delen

Deel C. Breuken. vermenigvuldigen en delen Deel C Breuken vermenigvuldigen en delen - 0 Sprongen op de getallenlijn. De sprongen op de getallenlijn zijn even groot. Schrijf passende breuken of helen bij de deelstreepjes. 0 Welk eindpunt wordt bereikt

Nadere informatie

Getallen 1F Doelen Voorbeelden 2F Doelen Voorbeelden

Getallen 1F Doelen Voorbeelden 2F Doelen Voorbeelden A Notatie en betekenis - Uitspraak, schrijfwijze en betekenis van, symbolen en relaties - Wiskundetaal gebruiken - de relaties groter/kleiner dan - breuknotatie met horizontale streep - teller, noemer,

Nadere informatie

Berekeningen op het basisscherm

Berekeningen op het basisscherm Berekeningen op het basisscherm Het basisscherm Zet de grafische rekenmachine (GR) aan met. Je komt op het basisscherm waarop je de cursor ziet knipperen. Berekeningen maak je op het basisscherm. Van een

Nadere informatie

Logaritmen. Het tijdstip t waarop S(t) = is op de t-as aangegeven. Dat tijdstip komt niet mooi uit. Dat tijdstip noemen 5,3

Logaritmen. Het tijdstip t waarop S(t) = is op de t-as aangegeven. Dat tijdstip komt niet mooi uit. Dat tijdstip noemen 5,3 5 Logaritmen 1 We bekijken de Shigella-bacterie uit opgave 1 van de vorige paragraaf. Hieronder staat een stukje van de grat fiek van de functie S(t) = 5,. Het tijdstip t waarop S(t) = 100.000 is op de

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode. M. van der Pijl. Transfer Database

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode. M. van der Pijl. Transfer Database Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Reader Wiskunde MBO Niveau Periode M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Inhoud. 1 Ruimtefiguren 8. 4 Lijnen en hoeken 148. 2 Plaats bepalen 60. 5 Negatieve getallen 198. 3 Rekenen 100

Inhoud. 1 Ruimtefiguren 8. 4 Lijnen en hoeken 148. 2 Plaats bepalen 60. 5 Negatieve getallen 198. 3 Rekenen 100 1 BK deel 1 Voorkennis 1 Aan de slag met wiskunde 6 1 Ruimtefiguren 8 1.1 Wiskundige ruimte guren 10 1.2 Vlakken, ribben en hoekpunten 14 1.3 Kubus en vierkant 17 1.4 Balk en rechthoek 24 1.5 Cilinder

Nadere informatie

klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf

klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf Checklist 3 HAVO wiskunde klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf 1. Hoofdstuk 1 - lineaire problemen Ik weet dat de formule y = a x + b hoort bij de grafiek hiernaast. Ik kan bij een lineaire formule de

Nadere informatie

4.1 Rekenen met wortels [1]

4.1 Rekenen met wortels [1] 4.1 Rekenen met wortels [1] Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B 3) A 2 A Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.1 Rekenen met wortels [1] Voorbeeld 3:

Nadere informatie

Breuken in de breuk. 1 Breuken vermenigvuldigen en delen (breuken in de breuk)

Breuken in de breuk. 1 Breuken vermenigvuldigen en delen (breuken in de breuk) Breuken in de breuk update juli 2013 WISNET-HBO De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers

Nadere informatie

Als je, van achter naar voor, na iedere 3 cijfers een klein beetje ruimte laat, of je zet een punt, wordt het allemaal duidelijker.

Als je, van achter naar voor, na iedere 3 cijfers een klein beetje ruimte laat, of je zet een punt, wordt het allemaal duidelijker. Samenvatting leerjaar 4 hoofdstuk 1: Rekenen Grote getallen Grote getallen, zoals 5300000000 zijn niet eenvoudig te lezen. Je kunt je gemakkelijk vergissen in een nul meer of minder, met grote gevolgen.

Nadere informatie

Tussenhoofdstuk - oplossen tweedegraads vergelijkingen

Tussenhoofdstuk - oplossen tweedegraads vergelijkingen Wiskunde Leerjaar 3 - periode 3 Hogere machtsverbanden, gebroken functies, exponentiële functies en logaritmen Tussenhoofdstuk - oplossen tweedegraads vergelijkingen A. Ontbinden in factoren 1. Bij het

Nadere informatie

META-kaart domein - Exponentieel verband havo4 wiskunde A H=bxg^t

META-kaart domein - Exponentieel verband havo4 wiskunde A H=bxg^t META-kaart domein - Exponentieel verband havo4 wiskunde A H=bxg^t Welk verband zie ik tussen de gegeven informatie en wat er gevraagd wordt? Wat heb ik nodig? Heb ik de gegevens uit de tekst gehaald? Welke

Nadere informatie

Getallen 2. Doelgroep Rekenen en Wiskunde Getallen 2

Getallen 2. Doelgroep Rekenen en Wiskunde Getallen 2 Getallen 2 Getallen 2 bestrijkt de uitbreiding van de basisvaardigheden van het rekenen, regels en vaardigheden die in het vmbo en de onderbouw van havo/vwo worden aangeleerd, geoefend en toegepast. Doelgroep

Nadere informatie

Differentiëren. Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden

Differentiëren. Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden Differentiëren Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden Wisnet-HBO update maart 2011 Voorkennis Repeteer de standaardafgeleiden en de rekenregels voor differentiëren. Draai eventueel het

Nadere informatie