Wiskundige Structuren

Transcriptie

1 wi1607 Wiskundige Structuren Cursus 2013/2014 Ev Coplkov Bs Edixhoven Lenny Telmn Mrk Verr

2 i

3 Inhoudsopgve I Verzmelingen en fbeeldingen I.1 Nottie I.2 Operties op verzmelingen I.3 Functies I.4 Aftelbre en overftelbre verzmelingen II Ntuurlijke, gehele en rtionle getllen II.1 Ntuurlijke getllen en volledige inductie II.2 Gehele getllen II.3 Equivlentierelties en quotiënten II.4 Rtionle getllen III De reële getllen III.1 Algebrïsche structuur vn reële getllen III.2 De ordening op R en ongelijkheden III.3 Supremum en infimum IV Rijen IV.1 Rijen, convergentie en limiet IV.2 Eigenschppen vn convergente rijen IV.3 Monotone rijen IV.4 Volledigheid vn R IV.5 De exponentiële functie V Continuïteit V.1 Continue functies V.2 Limieten vn functies V.3 Uniforme continuïteit V.4 Eigenschppen vn continue functies V.5 De exponentiële functie VI Reeksen VI.1 Convergentie vn reeksen VI.2 Reeksen met positieve termen VI.3 Absolute convergentie VI.4 De exponentiële functie VII Afgeleide VII.1 Differentiëren VII.2 De Middelwrdestelling VII.3 De exponentiële functie ii INHOUDSOPGAVE

4 VIII Riemnn-integrl VIII.1 Definitie en criteri voor Riemnn-integreerbrheid VIII.2 Eigenschppen vn de Riemnn-integrl VIII.3 De Hoofdstelling vn de Integrlrekening IX Puntsgewijze en uniforme convergentie IX.1 Convergentie vn rijen vn functies IX.2 Uniforme convergentie en integrtie X Appendix X.1 De Axiom s vn Zermelo en Frenkel X.2 Axiom s vn Peno X.3 De recursiestelling Antwoorden en Uitwerkingen Index INHOUDSOPGAVE iii

5 Voorwoord Dit dictt is sterk gebseerd op het dictt vn Ev Coplkov en Bs Edixhoven dt l geruime tijd in Delft en sinds 2007 ook in Leiden wordt gebruikt. Delen vn de hoofdstukken IV, V, VI en VII zijn gebseerd op een dictt vn Ben de Pgter. Het doel vn dit college is niet zozeer het leren vn rekenvrdigheden in de nlyse, mr meer het begrijpen vn de theorie drchter, in het bijzonder het leren omgn met definities, stellingen en bewijzen. Hiermee hopen we een stevig fundment te leggen voor de verdere studie in de wiskunde. De nm Wiskundige structuren is een erfenis uit het verleden, en is nu misschien n herziening toe. In dit college worden, n enige voorbereidingen over verzmelingen en fbeeldingen, de getlsystemen vn ntuurlijke, gehele, rtionle en reële getllen xiomtisch ingevoerd, en dus exct beschreven. Drn worden reële rijen, limieten en reeksen bestudeerd, en vervolgens reële functies, limieten, continuïteit, de Riemnn-integrl, en tot slot puntsgewijze en uniforme convergentie vn rijen vn reële functies. Het dictt eindigt met een index. Drvoor stn er ntwoorden en uitwerkingen vn sommige opgven (dit wordt ngegeven met het symbool ). De uitwerkingen zijn soms beknopt tot een ntl nwijzingen. Alle commentr, mr liefst wel constructief, is welkom (liefst per emil n één vn de docenten). Actuele informtie over de twee colleges zl te vinden zijn op blckbord, respectievelijk in Delft en in Leiden. Lenny Telmn Mrk Verr INHOUDSOPGAVE 1

6 I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN Het begrip verzmeling kennen we uit het dgelijks leven: een bibliotheek bevt een verzmeling vn boeken, een museum een verzmeling vn kunstvoorwerpen. We kennen verzmelingen ook uit de wiskunde: de verzmeling vn lle getllen, de verzmeling vn lle punten in het pltte vlk, de verzmeling vn lle oplossingen vn een vergelijking; in feite kunnen we zeggen dt de hele wiskunde opgebouwd is uit verzmelingen. Verzmelingen en hun eigenschppen zijn onderwerp vn een breed wiskundig gebied de verzmelingenleer. Ongeveer honderd jr geleden begonnen wiskundigen met een groot enthousisme verzmelingen overl te gebruiken: het ws heel hndig elementen die een beplde eigenschp hdden ls een geheel, een verzmeling, te beschouwen. Mr heel snel ontstonden problemen: sommige groepen elementen leidden tot tegensprken: men stuitte op prdoxen. Blijkbr kunnen niet lle eigenschppen gebruikt worden om nieuwe verzmelingen te vormen. Prdoxen We zullen twee vn die tegensprken bekijken. I.0.1 Voorbeeld. Prdox vn Russell In een dorp woont kpper Hns die lléén die mnnen uit het dorp scheert die zichzelf niet scheren. Wie scheert kpper Hns? Het is duidelijk dt er twee mogelijkheden zijn: kpper Hns scheert zichzelf of hij scheert zichzelf niet. Als hij zichzelf scheert dn scheert de kpper hem niet, mr hij zelf is de kpper, dus hij kn zichzelf niet scheren. An de ndere knt, ls hij zichzelf niet scheert dn moet hij, de kpper, zichzelf toch scheren. We zien dt geen vn de mogelijkheden mogelijk is, we krijgen een prdox. I.0.2 Voorbeeld. Prdox vn Berry Een vn de bsiseigenschppen vn ntuurlijke getllen is dt elke niet-lege verzmeling ntuurlijke getllen een kleinste element bevt. Beschouw nu lle ntuurlijke getllen die beschreven kunnen worden in het Nederlnds met behulp vn ten hoogste honderd letters. Het Nederlndse lfbet heeft 26 letters, dus met behulp vn honderd letters of minder kunnen we ten hoogste getllen beschrijven (niet elke lettercombintie is zinvol, en ook niet elke zinvolle combintie vn letters beschrijft een ntuurlijk getl). Er zijn oneindig veel ntuurlijke getllen, dus de verzmeling getllen die niet met honderd letters of minder te beschrijven zijn is ook oneindig en dus zeker niet leeg. Deze verzmeling moet dus een kleinste element bevtten. Zij n het kleinste ntuurlijke getl dt niet met honderd letters of minder te beschrijven is. Mr we hebben n net met minder dn honderd letters beschreven! Om prdoxen te vermijden moeten we voorzichtig zijn met wt we verzmeling zullen noemen: niet elke collectie mg een verzmeling zijn. 2 I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN

7 Er zijn vste xiom s (grondregels) ingevoerd die het bestn vn sommige verzmelingen grnderen en beschrijven hoe we nieuwe verzmelingen uit oude kunnen mken, welke operties met verzmelingen zijn toegestn en welke eigenschppen ze hebben. Uitgnde vn de xiom s en met behulp vn logic kunnen we verdere eigenschppen vn verzmelingen bewijzen. We zullen nu niet diep in de xiom s duiken, we zullen ons concentreren op het werken met verzmelingen. We zullen operties met verzmelingen definiëren en de belngrijkste eigenschppen fleiden. Een volledige lijst vn xiom s voor de verzmelingenleer is te vinden in Appendix X.1. I.1 Nottie Verzmelingen bevtten elementen; ls A een verzmeling is en x een element vn A dn schrijven we 1 x A. Om n te geven dt y geen element vn A is schrijven we y / A. { We gebruiken de nottie {1} voor de verzmeling die lleen het getl 1 bevt, 1, 2} is een verzmeling die twee elementen bevt, nmelijk de getllen 1 en 2. De verzmeling {, b, c, d, e} heeft minstens één en hoogstens vijf elementen: het hngt ervn f hoeveel gelijkheden er gelden tussen de niet gespecificeerde elementen, b, c, d, e. De verzmeling die geen elementen bevt heet de lege verzmeling en wordt genoteerd ls. Elementen vn een verzmeling kunnen ook verzmelingen zijn, bijvoorbeeld A = { 3, {2}, {4, 5} } heeft elementen 3, {2} en {4, 5}. Er geldt dus 3 A mr 2 / A; er geldt echter {2} A. In de wiskunde zijn verzmelingen die getllen ls elementen bevtten vn groot belng. We gebruiken de letter N voor de verzmeling vn lle ntuurlijke getllen: N = {0, 1, 2, 3,...}, 2 Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} voor de verzmeling vn lle gehele getllen, Q voor de verzmeling vn lle breuken p q met p, q Z en q 0, R voor de verzmeling vn lle reële getllen en C voor de verzmeling vn lle complexe getllen. Uiteindelijk zullen we deze getlsystemen (behlve C) exct beschrijven door middel vn gegevens en eigenschppen, en, uitgnd vn N, constructies schetsen vn Z, Q en R. Tot het zover is gn we op een informele mnier met deze getlsystemen om. Als A een verzmeling is dn wordt de verzmeling vn lle elementen uit A die een eigenschp E hebben ls volgt genoteerd: { x A : E(x) }. I.1.1 Voorbeeld. (i) De verzmeling R >0 = {x R : x > 0} is de verzmeling vn lle positieve reële getllen. Deze verzmeling is niet leeg wnt 5 R >0. Drentegen is {x R : x > 5 en x < 2} leeg; er is geen reëel getl te vinden dt tegelijk groter dn 5 en kleiner dn 2 is. (ii) De verzmeling vn lle reële oplossingen vn de vergelijking sin(πx) = 0 kunnen we kort ls volgt schrijven: A = { x R : sin(πx) = 0 }. Anloog, de verzmeling B = {x R : cos(πx/2) = 0} is de verzmeling vn lle oplossingen vn de vergelijking cos(πx/2) = 0. 1 Verzmelingen worden vk, mr niet ltijd, met behulp vn hoofdletters genoteerd en hun elementen met behulp vn kleine letters. We zullen ook verzmelingen tegenkomen wrvn de elementen weer verzmelingen zijn. 2 Ps op, er zijn uteurs die N nders definiëren, nmelijk {1, 2, 3,...}. Een goede lterntieve nottie voor N is Z 0 ; deze mkt meteen duidelijk dt 0 N. I.1 NOTATIE 3

8 I.1.2 Definitie. (i) Twee verzmelingen zijn n elkr gelijk ls ze dezelfde elementen hebben, dt wil zeggen, A = B ls ieder element vn A element vn B is, en ieder element vn B element vn A. (ii) Als elk element vn A element vn B is zeggen we dt A een deelverzmeling vn B is. Nottie: 3 A B. Hieruit volgt dt A = B dn en slechts dn ls A B en B A. I.1.3 Voorbeeld. (i) De verzmelingen A = {1, 2, 3} en B = {3, 3, 3, 2, 2, 1} hebben dezelfde elementen en zijn dus n elkr gelijk. We kunnen schrijven: A = B. (ii) Beschouw de verzmelingen A en B uit Voorbeeld I.1.1 (ii). Als x een geheel getl is dn is sin(πx) = 0; dit betekent dt Z A. An de ndere knt, ls sin(πx) = 0 dn moet x een geheel getl zijn; dit betekent dt A Z. We hebben bewezen A = Z: de verzmeling vn lle oplossingen vn de vergelijking sin(πx) = 0 is de verzmeling vn lle gehele getllen. (iii) Anloog kunnen we bewijzen dt lle oplossingen vn cos(πx/2) = 0 de verzmeling vn lle oneven gehele getllen is: B = { 2k + 1 : k Z }. 4 (iv) De verzmelingen A = { 0, {1, 2, 3}, 4 } en B = { 0, 1, {2, 3}, 4 } zijn niet n elkr gelijk. Immers 1 / A en 1 B. Intervllen I.1.4 Voorbeeld. Belngrijke deelverzmelingen vn de reële rechte (de verzmeling vn lle reële getllen) zijn intervllen. We onderscheiden begrensde en onbegrensde intervllen. (i) Begrensde intervllen: Voor, b R is (, b) = {x R : < x < b} een open intervl, [, b] = {x R : x b} een gesloten intervl, en [, b) = {x R : x < b} en (, b] = {x R : < x b} zijn hlfopen (of hlfgesloten) intervllen. Als nodig, dn kunnen we (, b] links-open en rechts-gesloten noemen, enzovoorts. (ii) Onbegrensde intervllen: Zij R, dn zijn (, ) = {x R : x > } en (, ) = {x R : x < } open intervllen, en [, ) = {x R : x } en (, ] = {x R : x } gesloten intervllen 5. Ook de hele reële rechte kn beschouwd worden ls een onbegrensd intervl: R = (, ), dt zowel open ls gesloten is. I.1.5 Voorbeeld. (i) Er geldt (0, 1) (0, 1] wnt elk element vn (0, 1) is ook een element vn (0, 1], mr (0, 1] (0, 1) omdt 1 een element vn (0, 1] is mr niet vn (0, 1). (ii) is een deelverzmeling vn elke verzmeling, wnt voor iedere x geldt x A (immers, er is geen x, dus er is niets te controleren). 3 Voor strikte inclusie wordt vk gebruikt, en is ook een gebruikelijke nottie voor deelverzmeling. 4 Strikt genomen is deze nottie niet toegelten in het door ons gebruikte systeem vn xiom s voor verzmelingstheorie, mr de betekenis is duidelijk. Een correcte nottie zou zijn: {x Z : er is een k Z zodt x = 2k + 1}. 5 Het hier gebruikte symbool is geen element vn R, het stt slechts voor het begrip oneindig. 4 I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN

9 (iii) Het open intervl (0, 1) is leeg, en gelijk n het gesloten intervl [0, 1]. Crtesisch product Het volgende begrip wordt vk gebruikt. I.1.6 Definitie. Het Crtesisch product vn twee verzmelingen A en B is de verzmeling geordende pren A B = { (, b) : A en b B }. 6 De volgorde vn elementen vn een geordend pr is belngrijk: ls b dn (, b) (b, ). Twee geordende pren (, b) en (, b ) zijn n elkr gelijk dn en slechts dn ls = en b = b. I.1.7 Voorbeeld. (i) Zij A = {0, 1, 2} en B = {0, 3}. Het Crtesisch product vn A en B is de volgende verzmeling A B = { (0, 0), (0, 3), (1, 0), (1, 3), (2, 0), (2, 3) }. (ii) Zij R de reële rechte. Dn is R R de verzmeling vn lle punten in het pltte vlk 7. Opgven 1. Zij V = { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}. Vind een eigenschp P zó dt elke vn de volgende verzmelingen is te schrijven in de vorm { x V : P (x) } en bewijs dt deze twee verzmelingen n elkr gelijk zijn. () A = {1, 2, 3}; (b) B = {0, 1, 2, 3}; (c) C = { 2, 1}; (d) D = { 2, 0, 2}; (e) E =. 2. Wt is het ntl elementen vn de volgende verzmelingen: () A = {0, 2, 4,..., 22}; (b) B = { 1, {2}, {{2}} } ; (c) C = { {{1}} } ; (d) D = { }; (e) E = { 1, {1, 2, 3, 4, 5} }. 3. () Vind lle deelverzmelingen vn {0, 1}. (b) Vind lle deelverzmelingen vn {0, 1, 2}. (c) Vind lle deelverzmelingen vn {0, 1, 2, 3}. (d) Zij A een eindige verzmeling, d.w.z., een verzmeling die mr eindig veel elementen bevt. 8 Vind een verbnd tussen het ntl elementen vn A en het ntl deelverzmelingen vn A, en bewijs je vermoeden. 6 Hels zijn onze notties voor een geordend pr (, b) vn reële getllen en het open intervl (, b) gelijk. De lezer zl iedere keer de juiste keuze moeten mken op grond vn de context. 7 In plts vn R R schrijven we vk R 2. 8 Voor de duidelijkheid: het reële intervl (0, 1) heet dn misschien wel eens een eindig intervl, mr het is géén eindige verzmeling. I.1 NOTATIE 5

10 4. Lt A de verzmeling vn lle even ntuurlijke getllen, B de verzmeling vn lle ntuurlijke getllen die deelbr door 3 zijn en C de verzmeling vn lle ntuurlijke getllen die deelbr door 6 zijn. Bewijs of weerleg: () A B; (b) A C; (c) B C; (d) B A; (e) C A; (f) C B. 5. Bewijs: voor elke verzmeling A geldt dt A en A A. 6. Welke vn de volgende verzmelingen zijn n elkr gelijk? Bewijs je bewering of geef een tegenvoorbeeld. () A = {n Z : n < 2}; (b) B = {n Z : n 3 = n}; (c) C = {n Z : n 2 n}; (d) E = { 1, 0, 1}. 7. Geef de precieze voorwrden op de verzmelingen A en B opdt A B = B A. 8. Voor elke verzmeling A zij P(A) de verzmeling vn lle deelverzmelingen vn A (deze heet de mchtsverzmeling vn A). Geef de lijst vn elementen vn P(A) P(B), wrbij A = {0, 1} en B = { }. 6 I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN

11 I.2 Operties op verzmelingen De bsisoperties op verzmelingen zijn ls volgt gedefinieerd. I.2.1 Definitie. Zij Ω een verzmeling. Voor deelverzmelingen A en B vn Ω definiëren we (i) het complement vn A in Ω door Ω \ A = {x Ω : x A} (we schrijven vk A c ls duidelijk is wt de verzmeling Ω is); (ii) de vereniging vn A en B door (iii) de doorsnede vn A en B door (iv) het verschil vn A en B door A B = {x Ω : x A of x B}; A B = {x Ω : x A en x B}. A \ B = {x Ω : x A en x / B}. I.2.2 Opmerking. In de bovenstnde definitie hngen A B, A B en A\B niet f vn de verzmeling Ω wrin dit lles gebeurt. We zullen dn ook in deze gevllen deze Ω niet meer ltijd noemen. I.2.3 Voorbeeld. Beschouw weer de verzmelingen A en B uit Voorbeeld I.1.1(ii). Dn is A B de verzmeling vn lle getllen die oplossingen zijn vn beide vergelijkingen sin(πx) = 0 en cos(πx/2) = 0, en A B is de verzmeling vn lle getllen die oplossingen zijn vn tenminste één vn die twee vergelijkingen. Omdt A = Z en B = {2k + 1 : k Z} is het niet moeilijk in te zien dt A B = B en A B = A. Om doorsnede en vereniging vn A en B te illustreren kunnen we Venn-digrmmen tekenen. In Figuur 1.1 zijn de doorsnede A B en de vereniging A B getekend. De Venn-digrmmen zijn ook hndig om llerlei eigenschppen vn de bsisoperties te vinden; zie bijvoorbeeld Opgven I.2.1 en I.2.2. A B Ω A B Ω Figuur 1.1: Doorsnede en vereniging vn A en B I.2.4 Definitie. Twee verzmelingen A en B heten disjunct ls A B =. I.2.5 Voorbeeld. I.2 OPERATIES OP VERZAMELINGEN 7

12 (i) De verzmelingen A = {x R : x > 9} en B = {0, 1/2} zijn disjunct: A B = wnt lle elementen vn A zijn reële getllen groter dn 9 en geen element vn B is groter dn 9. (ii) De verzmelingen C = ( 3, π) en D = (1, 33] zijn niet disjunct; immers 2 C D wnt 3 < 2 < π en 1 < In feite bevt de doorsnede oneindig veel elementen: C D = (1, π). In Figuur 1.2 zijn Venn-digrmmen voor drie respectievelijk vier deelverzmelingen vn Ω getekend. Venn-digrmmen voor meer dn vier verzmelingen zijn lstig: het is niet mkkelijk om in een overzichtelijke mnier lle mogelijke doorsneden in één pltje te krijgen. A B Ω A B Ω C C D Figuur 1.2: Venn-digrmmen voor drie en vier verzmelingen Vereniging en doorsnede vn oneindig veel verzmelingen In de wiskunde onderzoeken we vk oneindige objecten: er zijn oneindig veel ntuurlijke getllen, oneindig veel breuken, oneindig veel punten in het pltte vlk, oneindig veel lijnen, oneindig veel functies. Drvoor is de tl vn de verzmelingenleer ook hndig. We kunnen ook de doorsnede en de vereniging vn willekeurig veel verzmelingen definiëren: I.2.6 Definitie. Lt Ω een verzmeling zijn. Lt L een verzmeling zijn, en voor elke λ L, A λ een deelverzmeling vn Ω. Dn: A λ = {x Ω : voor elke λ L geldt x A λ } en λ L A λ = {x Ω : er is een λ L met x A λ }. λ L I.2.7 Voorbeeld. Beschouw de verzmeling N vn lle ntuurlijke getllen. Voor elke n N zij A n = (0, 1/(n + 1)]. We bewijzen dt n N A n =. Immers, neem n dt n N A n. Dn is er een x R met x n N A n. Volgens Definitie I.2.6 ligt x in elk intervl (0, 1/(n + 1)], dt wil zeggen, voor elke n N geldt 0 < x 1/(n + 1). We krijgen een tegensprk 9 : voor lle n N met n + 1 > 1/x geldt dt 1/(n + 1) < x. Beschouw nu voor elke n N de verzmeling B n = (0, n]. We bewijzen nu dt n N B n = (0, ). Volgens Definitie I.1.2 moeten we lten zien dt n N B n (0, ) en (0, ) n N B n. We bewijzen nu de eerste inclusie. Lt x n N B n. Volgens Definitie I.2.6 is er een n N met x (0, n]. Hieruit volgt dt x (0, ). Nu de tweede inclusie. Lt x (0, ). Neem dn een n N met x < n, dn x (0, n] en bijgevolg x n N B n. 9 Dit soort bewijs heet bewijs uit het ongerijmde. Het werkt ls volgt: Om een bewering te bewijzen (in ons gevl: n N An = ) kunnen we het tegengestelde veronderstellen ( n N An ) en lten zien dt dit tot een onjuiste bewering, een tegensprk, leidt (er is een x R en er is een n N zó dt x 1/(n + 1) èn x > 1/(n + 1)). 8 I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN

13 Opgven 1. (Wetten vn de Morgn) Zij Ω een verzmeling. Bewijs dt voor lle deelverzmelingen A en B vn Ω geldt () Ω \ (A B) = (Ω \ A) (Ω \ B); (b) Ω \ (A B) = (Ω \ A) (Ω \ B). 2. Zij Ω een verzmeling. Formuleer en bewijs de Wetten vn de Morgn () voor drie deelverzmelingen vn Ω; (b) voor vier deelverzmelingen vn Ω. 3. Bewijs dt voor lle verzmelingen A, B en C geldt () B \ (B \ A) = A B; (b) A (B C) = (A B) (A C); (c) A (B C) = (A B) (A C). 4. () Zij A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Vind A A, A A en A \ A. (b) Zij A een willekeurige verzmeling. Vind en bewijs een lgemene regel voor A A, A A en A \ A. 5. Beschouw de verzmelingen A = {x N : x 15} en B = {x N : x 20}. Beschrijf nu N \ A, N \ B, A B en A B met soortgelijke formules. 6. Zij K = {1, 2, 4}. Vind k K A k en k K A k ls gegeven is: () A k = {k 2 }; (b) A k = [k 1, k + 1]; (c) A k = (k, ). 7. Beschouw voor elke n N de verzmeling A n = {x R : 1/2 n x < 2 + 1/2 n }. () Vind n N A n. (b) Vind n N A n. 8. Lt A, B en C deelverzmelingen zijn vn Ω. () Wt is het verbnd tussen A (B \ C) en (A B) \ (A C)? (b) Wnneer geldt A (B \ C) = (A B) \ (A C)? 9. Vereenvoudig de volgende uitdrukking met behulp vn Venn-digrmmen: (A B C c ) (A B D c ) (A B C D). I.2 OPERATIES OP VERZAMELINGEN 9

14 I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situties het begrip functie tegengekomen; vk ls een voorschrift dt n elk getl een nder getl toevoegt, bijvoorbeeld de functie f(x) = x 2 die n elk getl zijn kwdrt toevoegt. Er zijn echter veel meer mogelijkheden, we hoeven ons niet tot getllen te beperken: het voorschrift dt n elke uto zijn kenteken toevoegt, het voorschrift dt n elke persoon zijn geboortedtum toevoegt, of de kleur vn zijn ogen zijn ook functies. Een functie kn gegeven worden door een formule (bijvoorbeeld f(x) = x 2 ), mr ook ls een grfiek (bijvoorbeeld het verloop vn de koers vn ndelen in de tijd), of een tbel (bijvoorbeeld tentmencijfers vn studenten die n een tentmen hebben pltsgenomen). Om lgemene eigenschppen vn functies f te leiden en ze te kunnen gebruiken moeten we eerst fspreken welke voorschriften functies definiëren, en ook wt een functie precies is, zodt we bijvoorbeeld over gelijkheid kunnen prten. Informeel gesproken is een functie vn A nr B een voorschrift dt n elk element vn A precies één element vn B toevoegt. Een formele definitie gt met behulp vn Crtesisch product vn A en B. I.3.1 Definitie. Een functie 10 vn A nr B is een tripel (A, B, f) met f een deelverzmeling vn A B met de volgende eigenschp: voor iedere A bestt er precies één b B zodnig dt (, b) f; deze b noteren we ls f(). Nottie: f : A B, en f(). De verzmeling A heet het domein en B het codomein 11 vn f. De verzmeling vn lle geordende pren (, b) f heet de grfiek vn f. In plts vn (, b) f schrijven we vk f() = b. Als (, b) f dn noemen we b het beeld vn onder f en een origineel vn b onder f. Merk op dt volgens deze definitie een functie gegeven wordt door hr domein, hr codomein en hr grfiek. Voor twee fbeeldingen f : A B en g : C D geldt dus dt f = g precies dn ls geldt: A = C, en B = D, en voor lle A geldt f() = g(). I.3.2 Voorbeeld. De fbeeldingen f : R R, x x 2 en g : R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook l zijn ze gegeven door verschillende formules. I.3.3 Voorbeeld. Lt A de verzmeling zijn vn lle studenten vn TU Delft. Dn hebben we functies f : A N en g : A R die elk element vn A nr hun studienummer sturen. Deze functies zijn niet gelijk, wnt de codomeinen zijn verschillend. I.3.4 Opmerking. Volgens de definitie vn een functie heeft elk element vn het domein precies één beeld. Een element vn het codomein kn echter géén origineel hebben, of één of meerdere originelen hebben. Beschouw bijvoorbeeld f : R [ 1, 1] gegeven door f(x) = sin(πx). Voor elke x R is de wrde vn x onder f uniek bepld, mr het getl 0 [ 1, 1] heeft oneindig veel originelen: voor elke x Z geldt f(x) = 0. I.3.5 Definitie. Lt A en B twee verzmelingen zijn en zij f : A B. 10 Functies worden vk ook fbeeldingen genoemd. 11 Voor domein en codomein worden ook wel de nmen bron(verzmeling) en doel(verzmeling) gebruikt. 10 I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN

15 (i) f heet injectief ls voor lle 1 A en 2 A met f( 1 ) = f( 2 ) geldt dt 1 = 2. (Met ndere woorden, verschillende elementen vn A moeten verschillende beelden hebben.) (ii) f heet surjectief ls voor elke b B er een A bestt met f() = b. (Met ndere woorden, ls de verzmeling vn beelden de hele verzmeling B is.) (iii) f heet bijectief ls f injectief en surjectief is. (Met ndere woorden, ls er voor iedere b B er precies één A is met f() = b.) (iv) Het beeld vn f is de verzmeling vn b B wrvoor er een A is met b = f(). Het is een deelverzmeling vn B. Notties: f[a] of {f() : A} of {b B : er bestt een A met b = f()}. I.3.6 Opmerking. Voor A en B verzmelingen, en f : A B geldt dus dt f surjectief is precies dn ls f[a] = B. Als A en B eindig zijn dn is het mkkelijk functies vn A nr B grfisch weer te geven: zie de volgende voorbeelden. I.3.7 Voorbeeld. Zij A = {1, 2} en B = {, b, c} met, b en c verschillend. De functie f : A B, gedefinieerd door f(1) = c en f(2) = b, is injectief wnt verschillende elementen vn A hebben verschillende beelden, mr niet surjectief omdt B geen beeld is vn een element vn A (zie Figuur 1.3). 1 2 A b c B Figuur 1.3: Een injectieve, niet surjectieve functie f : A B I.3.8 Voorbeeld. Zij A = {1, 2, 3} en B = {, b} met en b verschillend. De functie f : A B, gedefinieerd door f(1) = b, f(2) = en f(3) = b, is surjectief wnt elk element vn B is een beeld vn een element vn A, mr niet injectief omdt de elementen 1 en 3 verschillend zijn en toch hetzelfde beeld hebben (zie Figuur 1.4) A b B Figuur 1.4: Een surjectieve, niet injectieve functie f : A B I.3 FUNCTIES 11

16 1 A B 2 b 3 c Figuur 1.5: Een bijectieve functie f : A B I.3.9 Voorbeeld. Zij A = {1, 2, 3} en B = {, b, c} met, b en c verschillend. De functie f : A B, gedefinieerd door f(1) = b, f(2) = c en f(3) =, is surjectief en injectief (zie Figuur 1.5). Een functie : N B noemen we soms ook een rij in B. We schrijven dn vk n in plts vn (n); een gebruikelijke nottie is ( n ) n N (merk wel op dt we dn eigenlijk het codomein niet meer noemen, er is dus l enige mte vn slordigheid). I.3.10 Voorbeeld. De functie f : N R gegeven door f(n) = 1/(n + 1) is dn de reële rij (1/(n + 1)) n N. Deze functie is injectief (ls n m dn 1/(n + 1) 1/(m + 1)), mr niet surjectief omdt (bijvoorbeeld) het getl 0 uit het codomein vn f geen origineel heeft (er is geen ntuurlijk getl n met 1/(n + 1) = 0) Figuur 1.6: De rij (1/(n + 1)) n N ls een functie f : N R Lt I R een intervl zijn, en f : I R. Om f grfisch weer te geven tekenen we meestl de grfiek ls deelverzmeling vn I R: zols uit de definitie volgt is de grfiek de verzmeling vn lle punten vn de vorm (x, f(x)) met x I. I.3.11 Voorbeeld. De functie f : R [0, ) gegeven door f(x) = x 2 is niet injectief: de punten 1 en 1 horen tot het domein vn f, er geldt 1 1 mr f( 1) = ( 1) 2 = 1 2 = f(1) (zie Figuur 1.7). Zij is wel surjectief: voor elke y [0, ) is er een x R met f(x) = y; neem bijvoorbeeld x = y. Door het domein of het codomein vn een functie te vernderen krijgen we een nieuwe functie die geheel ndere eigenschppen kn hebben. Bijvoorbeeld, g : R R gegeven door g(x) = x 2 is niet surjectief, en h: [0, ) [0, ) gegeven door h(x) = x 2 is injectief en surjectief. I.3.12 Voorbeeld. Er bestt geen functie vn {0, 1, 2, 3} nr N die surjectief is. Immers, zij f : {0, 1, 2, 3} N een fbeelding. De verzmeling N is oneindig en dus is X = N \ { f(0), f(1), f(2), f(3) } niet leeg (X is zelfs oneindig). Kies een b X, dn heeft b geen origineel onder f. 12 I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN

17 y-s f x-s Figuur 1.7: Grfiek vn de functie f(x) = x 2 Smenstelling Een vn de mooie eigenschppen vn bijectieve functies is dt ze een inverse vn functies hebben. We zullen lter zien dt ls f beplde mooie eigenschppen heeft (bijvoorbeeld continu is) deze eigenschppen door de inverse vn f geërfd worden. Het volgende begrip is essentieel voor het definiëren vn inverse functies, mr zeker nog belngrijker op zichzelf. I.3.13 Definitie. Lt f : A B en g : B C twee functies zijn. De smenstelling vn f en g is de functie g f : A C gedefinieerd door We lezen g f ls g n f. (g f)() = g ( f() ). I.3.14 Voorbeeld. De functie f : R [ 1, 1] is gegeven door f(x) = sin x, en de functie g : [ 1, 1] R door g(x) = x 2. Dn is f g : [ 1, 1] [ 1, 1] de functie gedefinieerd door (f g)(x) = sin(x 2 ), en g f : R R is gedefinieerd door (g f)(x) = (sin x) 2. Als f : A B en g : B A functies zijn die smengesteld kunnen worden tot g f en f g geldt niet ltijd dt f g = g f. Als A B dn kn f g l zeker niet gelijk zijn n g f, wnt de domeinen verschillen. I.3.15 Stelling. De smenstelling vn functies is ssocitief, dt wil zeggen, h (g f) = (h g) f voor lle f : A B, g : B C en h: C D. Bewijs. Neem n f : A B, g : B C en h: C D drie willekeurige functies zijn. De identiteit volgt uit het feit dt voor elke A geldt ( h (g f) ) () = h ( (g f)() ) = h ( g(f()) ) en ( (h g) f ) () = (h g) ( f() ) = h ( g(f()) ). I.3.16 Definitie. Voor A een verzmeling definiëren we de functie id A : A A, gegeven door. Deze functie heet de identieke functie vn A. I.3.17 Opmerking. Als A en B verzmelingen zijn, en f : A B, dn geldt f id A = f = id B f. I.3 FUNCTIES 13

18 Inverse functies Zij f : A B een bijectie. We definiëren in B A de volgende deelverzmeling g = {(b, ) B A: (, b) f}. Merk op dt g een functie is vn B nr A. Immers: omdt f surjectief is, is er voor iedere b B een A zodt (b, ) g, en omdt f injectief is, is deze uniek. I.3.18 Definitie. Zij f : A B een bijectie. g = {(b, ) B A: (, b) f}. De inverse vn f is de functie De inverse functie f : A B is de unieke functie g : B A zodt voor lle A en b B geldt g(b) = dn en slechts dn ls f() = b. Een functie kn niet meer dn één inverse hebben, zie Opgve I gebruiken ls nottie: g = f 1. We I.3.19 Lemm. Zij f : A B een bijectie. De inverse f 1 is ook een bijectie en er geldt: (f 1 ) 1 = f. Bewijs. Opgve I I.3.20 Voorbeeld. De functie f : R R gedefinieerd door f(x) = 2 3x is bijectief (g zelf n dt f injectief en surjectief is). Om hr inverse te vinden beschouw een willekeurige y R. Er geldt, voor lle x R, 2 3x = y dn en slechts dn ls x = 2 y 3. De inverse f 1 : R R is dus gegeven door het voorschrift 12 f 1 (x) = (2 x)/3. I.3.21 Definitie. Lt f : A B een fbeelding zijn, en C een deelverzmeling vn B. Dn noemen we de verzmeling { A : f() C} het inverse beeld vn C onder f. Deze deelverzmeling vn A noteren we ook ls f 1 (C). Merk op dt f 1 (C) bestt ook ls f geen inverse heeft. I.3.22 Voorbeeld. Zij f : R R gegeven door f(x) = x 2. Dn geldt f 1 ({ 1}) =, f 1 ({1}) = { 1, 1} en f 1 ([0, 1]) = [ 1, 1]. Opgven 1. Lt f : R \ { 1} R gegeven zijn door f(x) = (1 x)/(1 + x). Vind f(0) en voor lle x R \ { 1} vind f(1/x) en 1/f(x). 2. () Lt f : R R een functie zijn en neem n dt voor lle x R geldt f(x + 1) = x 2 5x + 1. Vind f(x). (b) Lt f : R \ {0} R een functie zijn en neem n dt voor lle x R \ {0} geldt f(1/x) = x x 2. Vind f(x). 14 I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN

19 3. Zij f : R R gegeven door f(x) = sin(x 2 ); vind lle originelen vn 0, 1 en π. 4. Hieronder stn vier tweetllen functievoorschriften. Geef vn elk tweetl n of beide voorschriften dezelfde functie beschrijven, of niet. () f : R R, x x 2 en g : R R 0, x x 2. (b) f : R R, x (x + 1) 2 en g : R R, x 2x( x 2 + 1) + 1. (c) f : [0, 2π] R, x sin(x) en g : R R, x sin(x). (d) f : R \ {1} R, x x + 1 en g : R \ {1} R, x x2 1 x () Lt A = {1, 2} en B = {1, 2, 3}. Hoeveel fbeeldingen A B zijn er? (b) Lt B een verzmeling zijn. Hoeveel functies f : B zijn er? (c) Lt A een verzmeling zijn. Hoeveel functies f : A zijn er? 6. Geef voorbeelden vn eindige verzmelingen A en B en een functie f : A B die () bijectief is, (b) surjectief mr niet injectief is, (c) injectief mr niet surjectief is, (d) niet surjectief en niet injectief is. Bewijs in elk vn de onderdelen dt je voorbeeld de gewenste eigenschppen heeft. 7. Geef voorbeelden vn oneindige verzmelingen A en B en een functie f : A B die () bijectief is, (b) surjectief mr niet injectief is, (c) injectief mr niet surjectief is, (d) niet surjectief en niet injectief is. Bewijs in elk vn de onderdelen dt je voorbeeld de gewenste eigenschppen heeft. 8. Zij A een eindige verzmeling. Voor het ntl elementen vn A gebruiken we de nottie #A. Neem n dt A en B eindige verzmelingen zijn en zij f : A B. () Lt zien dt ls f injectief is dn geldt #A #B. (b) Lt zien dt ls f surjectief is dn geldt #A #B. 9. Lt f : A B en g : B C twee functies zijn. Bewijs of weerleg: () Als g f injectief is dn is f injectief. (b) Als g f injectief is dn is g injectief. (c) Als g f surjectief is dn is f surjectief. (d) Als g f surjectief is dn is g surjectief. 10. Bewijs of weerleg: smenstelling vn functies is commuttief, dt wil zeggen, voor lle verzmelingen A en B, en voor lle f : A B en g : B A geldt f g = g f. Geldt deze bewering ls A = B? 12 Het mkt ntuurlijk niets uit of we de vribele x of y noemen. I.3 FUNCTIES 15

20 11. Bewijs dt elke vn de volgende functies een inverse heeft en vind zijn voorschrift. () f : {0, 1, 2} {3, 5, 15} gegeven door f(0) = 3, f(1) = 15 en f(2) = 5. (b) f : R R gegeven door f(x) = 4x + 5; (c) f : R \ {0} R \ {0} gegeven door f(x) = 1/x. 12. Beschouw f : [1, ) R gegeven door f(x) = (1 5x)/x. () Bewijs dt f injectief is. (b) Vind het beeld B vn f. Lt zien dt de fbeelding g : [1, ) B gedefinieerd door x f(x) bijectief is en bereken de inverse vn g. 13. Voor elke vn de onderstnde injectieve functies f : A R, bepl het beeld B, en bepl de fbeelding g : B A zodt voor lle A geldt g(f()) =. () A = R en f(x) = 7x 3; (b) A = (, 0] en f(x) = x 2 ; (c) A = R \ { 2} en f(x) = (1 x)/(2 + x); (d) A = [ 1, 0], f(x) = 1 x Bewijs dt een bijectieve functie precies één inverse heeft. 15. Lt A en B verzmelingen zijn, en f : A B en g : B A. () Bewijs dt f en g inversen vn elkr zijn precies dn ls g f = id A en f g = id B. (b) Geef een voorbeeld wr g f = id A en f g id B. 16. Bewijs Lemm I Zij f : A A een functie. Bewijs: ls voor elke A geldt f ( f() ) = dn is f een bijectie en f 1 = f. 18. Lt f : A B een bijectie zijn en C B. Bewijs of weerleg: f 1 (C) = f 1 [C]. (Zie Definitie I.3.5(iv) en Definitie I.3.21.) 19. Lt f : R R de fbeelding zijn gegeven door f(x) = x 2. () Beschrijf de elementen vn f 1 (Z) Q. (b) Bewijs of weerleg: f 1 (Z) Q = Z. 20. Zij f : A B een functie. Zij V 1 en V 2 deelverzmelingen vn A. Toon n () f[v 1 V 2 ] f[v 1 ] f[v 2 ]; (b) Als f injectief is, dn geldt f[v 1 V 2 ] = f[v 1 ] f[v 2 ]. 21. Formeel is een functie een deelverzmeling vn een Crtesisch product. Neem eens n dt we (, b) f niet hdden fgekort met b = f(). Lt f : A B en g : B C functies zijn. Geef een definitie vn g f in termen vn geordende pren, dt wil zeggen, vul de volgende zin n: (, c) g f dn en slechts dn ls en bewijs dt dit dezelfde fbeelding oplevert ls Definitie I Bewijs, uitgnde vn de voorgnde formulering, dt f (g h) = (f g) h. 22. Zij f : R R een bijectie. De grfieken vn f en f 1 zijn deelverzmelingen vn R 2. Wt is het verbnd tussen deze deelverzmelingen? 23. Probeer eens de interctieve opgven over inverse functies op de WIMS systeem (zoek onder inverse ): 16 I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN

21 I.4 Aftelbre en overftelbre verzmelingen Aftelbre verzmelingen Stel we hebben twee verzmelingen A en B en we willen beplen welke verzmeling meer elementen bevt. Hoe kunnen we twee verschillende verzmelingen vergelijken? Als de verzmelingen eindig zijn (dt wil zeggen, ls ze beide uit eindig veel elementen bestn) dn is het geen groot probleem: tel de elementen vn A, tel de elementen vn B en vergelijk die twee ntuurlijke getllen. Mr wt moeten we doen ls beide verzmelingen oneindig zijn? We kunnen de elementen niet meer tellen. Er is echter nog een methode om bij eindige verzmelingen te beplen welke verzmeling meer elementen bevt wrbij het tellen vn het ntl elementen niet nodig is. Neem n dt je twee dozen hebt. In de eerste doos zijn moeren en in de tweede doos bevinden zich bouten. Je wilt beplen of er meer bouten of meer moeren zijn. Het is niet noodzkelijk het ntl moeren en bouten te beplen: je kunt ook telkens een bout en een moer pkken en deze op elkr drien. Als uiteindelijk de doos met de moeren leeg is terwijl er nog bouten over zijn weet je dt er meer bouten zijn dn moeren. En omgekeerd, zijn er moeren over dn heb je meer moeren dn bouten. Dit idee kunnen we wel gebruiken om de grootte vn oneindige verzmelingen te vergelijken: we proberen een correspondentie te vinden tussen telkens één element vn de eerste en één element vn de tweede verzmeling. Nu gn we dit lles netjes wiskundig definiëren. We zullen definiëren wnneer twee verzmelingen even veel elementen hebben. I.4.1 Definitie. Twee verzmelingen A en B heten gelijkmchtig ls een bijectie f : A B bestt. I.4.2 Voorbeeld. De verzmelingen A = {, b, c, d} met, b, c, d verschillend en B = {1, 2, 3, 4} zijn gelijkmchtig: een bijectie f : A B is gedefinieerd door f() = 1, f(b) = 2, f(c) = 3 en f(d) = 4. I.4.3 Voorbeeld. (i) De intervllen [0, 1] en [0, 2] zijn gelijkmchtig: de fbeelding f : [0, 1] [0, 2] gegeven door f(x) = 2x is een bijectie. (ii) Het intervl ( π/2, π/2) en de verzmeling R zijn gelijkmchtig: de fbeelding tn: ( π/2, π/2) R is een bijectie, en bijvoorbeeld ook de fbeelding x 1/(x + π/2) 1/(x π/2). (iii) Het intervl (0, 1) en het intervl (1, ) zijn gelijkmchtig: de fbeelding x 1/x is een bijectie. Met behulp vn het begrip gelijkmchtig kunnen we een nette definitie vn eindige verzmeling geven. I.4.4 Definitie. Zij A een verzmeling. (i) A heet eindig ls een ntuurlijk getl n bestt zó dt {1, 2,..., n} en A gelijkmchtig zijn (voor n = 0 betekent dit dt A = ). (ii) A heet ftelbr oneindig ls A en N gelijkmchtig zijn. (iii) A heet ftelbr ls A eindig of ftelbr oneindig is. (iv) A heet overftelbr ls A niet ftelbr is. I.4 AFTELBARE EN OVERAFTELBARE VERZAMELINGEN 17

22 Oneindige verzmelingen zijn dus ftelbr ls ze even veel elementen ls N hebben. Het zou duidelijk moeten zijn dt N zelf ftelbr is: de identieke fbeelding id N : N N is een bijectie. Omdt N niet eindig is, is er tenminste één ftelbr oneindige verzmeling. I.4.5 Voorbeeld. Intuïtief zijn er meer gehele getllen dn ntuurlijke getllen mr toch is de verzmeling Z ftelbr: een bijectie vn N nr Z is gedefinieerd bijvoorbeeld door { n/2 ls n even is, f(n) = (n + 1)/2 ls n oneven is. Bewijs. We tonen eerst n dt f injectief is. Zij n 1, n 2 N en neem n dt f(n 1 ) = f(n 2 ). Omdt f(n) 0 dn en slechts dn ls n even is, geldt dt n 1 en n 2 ofwel beide even ofwel beide oneven zijn. In het eerste gevl hebben we n 1 /2 = n 2 /2, en dus n 1 = n 2, en in het tweede gevl (n 1 + 1)/2 = (n 2 + 1)/2 wr ook uit volgt dt n 1 = n 2. In beide gevllen concluderen we dus dt n 1 = n 2, en er geldt dt f injectief is. Nu gn we bewijzen dt f surjectief is. Zij m Z willekeurig. Als m 0 dn geldt dt 2m N en f(2m) = m, en dus ligt m in het beeld vn f. Als drentegen m < 0 dn geldt dt 1 2m N en f( 1 2m) = ( 1 2m + 1)/2 = m. In beide gevllen vinden we dt m in het beeld vn f ligt. We concluderen dus dt f surjectief is. Omdt de fbeelding f zowel injectief ls surjectief is, is hij bijectief. Ook de verzmeling N N is ftelbr. I.4.6 Stelling. De verzmeling N N is ftelbr. Bewijs. Om te lten zien dt N N ftelbr is moeten we een bijectie vinden tussen N N en N. We zullen met een pltje nnemelijk mken dt zo een bijectie bestt, zonder het bewijs in detil te geven. Beschouw de functie f : N N N wrbij f(x, y) in de volgende tbel is weergegeven. Bijvoorbeeld f(2, 1) = 7 en f(4, 0) = 10. Uit de constructie is het duidelijk dt f een bijectie is. Met een gelijkrdig rgument kn men bewijzen dt ook Q ftelbr is. Zie opgve I.4.8. Niet elke verzmeling is ftelbr. We zullen bewijzen dt de verzmeling vn lle deelverzmelingen vn N overftelbr is. I.4.7 Definitie. Zij A een verzmeling. De mchtsverzmeling vn A is de verzmeling vn lle deelverzmelingen vn A. Nottie: P(A). I.4.8 Voorbeeld. P({1, 2}) = {, {1}, {2}, {1, 2}}. I.4.9 Stelling (Cntor). Zij A een verzmeling. Er bestt geen surjectieve fbeelding f : A P(A). Met deze stelling kunnen we nu onmiddellijk een voorbeeld geven vn een overftelbre verzmeling. I.4.10 Gevolg. P(N) is overftelbr. 18 I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN

23 y f(x, y) x Figuur 1.8: Grfische weergve vn de functie f : N N N Bewijs. We bewijzen dit uit het ongerijmde. Dt wil zeggen dt we nnemen dt de uitsprk niet wr is, en dn een tegenstrijdigheid fleiden. Neem dus n dt P(N) ftelbr is. Omdt P(N) niet eindig is, betekent dit dt er een bijectie N P(N) is. Zo een bijectie is in het bijzonder surjectief, in tegensprk met de stelling vn Cntor. Bewijs vn Stelling I.4.9. Neem n dt er een surjectie f : A P(A) bestt. Beschouw nu de verzmeling B = {x A : x / f(x)}. Angezien B A geldt ook B P(A). Wegens de nnme dt f surjectief is, bestt er een x A met f(x) = B. Er zijn twee mogelijkheden: (i) x B of (ii) x / B. Als (i) geldt dn geldt x B. Dus ook x f(x), en met de definitie vn B volgt x / B. Dus (i) geeft een tegensprk. Als (ii) geldt dn weten we x / B dus ook x / f(x), en met de definitie vn B volgt dt x B. Dus (ii) geeft ook een tegensprk. Beide gevllen (i) en (ii) kunnen niet gelden, en dus vinden we een tegensprk. We zullen lter ook bewijzen dt R overftelbr is, mr drvoor moeten we uiterrd eerst een definitie vn R zien! Opgven 1. Hoeveel verschillende bijecties kun je vinden tussen A = {, b, c, d} (met, b, c, d verschillend) en B = {1, 2, 3, 4}? 2. Lt zien dt de intervllen ( 1, 1) en (2, 5) gelijkmchtig zijn. 3. Lt zien dt (0, 1) en R gelijkmchtig zijn. I.4 AFTELBARE EN OVERAFTELBARE VERZAMELINGEN 19

24 4. Zij 2N de verzmeling vn lle even ntuurlijke getllen. Bewijs dt 2N ftelbr oneindig is. 5. Lt zien dt de intervllen [0, 1) en (2, 5] gelijkmchtig zijn. 6. Beschouw A = {2 n : n N} en B = {3 n : n N}. Lt zien dt A B ftelbr is. 7. Lt zien dt de fbeelding f : N N N 1 gegeven door f(n, m) = 2 n (2m + 1) een bijectie is. 8. Bewijs dt Q ftelbr is. 9. Lt zien dt de fbeelding f : N N N gegeven door f(n, m) = 1 2 (n+m)(n+m+1)+m een bijectie is. 10. Zij A een verzmeling en P(A) zijn mchtsverzmeling. Geef een injectie f : A P(A). 11. Zij A = {, { }}. Wt is P(A)? 12. () Lt zien dt de vereniging vn twee ftelbre verzmelingen ftelbr is. (b) Lt zien dt de vereniging vn ftelbr veel ftelbre verzmelingen ftelbr is. (c) Lees de wikipedi pgin Hilbert s prdox of the Grnd Hotel. 13. Bewijs of weerleg: () de intervllen (0, 1) en [0, 1) zijn gelijkmchtig. (b) de intervllen [0, 1) en [0, 1] zijn gelijkmchtig. (c) de intervllen (0, 1) en [0, 1] zijn gelijkmchtig. 14. Bewijs dt elke deelverzmeling vn een ftelbre verzmeling ftelbr is. 20 I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN

25 II NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN Iedereen kent getllen: de ntuurlijke getllen, N = {0, 1, 2, 3,...}, gebruiken we om te tellen, om getllen vn elkr f te kunnen trekken hebben we de gehele getllen, Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}, nodig, de rtionle getllen Q zijn nodig om bijvoorbeeld delen vn een geheel te meten. Dt we bij het meten ook getllen tegenkomen die geen breuken zijn ws l n oude Grieken bekend: de lengte vn de schuine zijde vn een gelijkbenige rechthoekige driehoek met beide benen vn lengte 1 is geen breuk. We hebben een grotere verzmeling dn Q nodig, de verzmeling R vn lle reële getllen. Ook met reële getllen kunnen we niet lles: een simpele vergelijking ls x = 0 heeft geen reële oplossing. In de grotere getllenverzmeling C zijn wel oplossingen vn deze vergelijking te vinden. In dit en in het volgende hoofdstuk zullen we de bsiseigenschppen vn de getllen en hun gevolgen bestuderen. We zullen ook ndcht n de vrg besteden welke eigenschppen de getlsystemen N, Z, Q en R vn elkr onderscheiden. II.1 Ntuurlijke getllen en volledige inductie Axiom s Axiom s voor N Alhoewel we lleml weten, of misschien denken te weten, wt ntuurlijke en gehele getllen zijn, en wt de gebruikelijke operties ls optelling en vermenigvuldiging drop zijn, is het goed om een korte lijst eigenschppen, ofwel xiom s, te geven die deze getlsystemen precies krkteriseren. Het doel hiervn is dt er dn geen dubbelzinnigheid is over wt we wel en niet mogen nnemen. Een nder gevolg vn de xiomtische bendering is dt het er niet meer toe doet wt ieder onder ons denkt dt ntuurlijke getllen precies zijn, zolng ze mr n de xiom s voldoen (denk hierbij mr n de vele mnieren wrop ntuurlijke getllen geïmplementeerd kunnen worden in computers, ls die een oneindig geheugen zouden hebben). De xiom s worden dn ls uitgngspunt genomen in het bewijzen vn weer ndere beweringen over de getlsystemen N, Z en Q. We beginnen met de eigenschppen vn de ntuurlijke getllen en optelling. De gegevens zijn: () een verzmeling N; (b) elementen 0 en 1 in N; (c) een fbeelding +: N N N, de optelling; (d) een fbeelding : N N N, de vermenigvuldiging. II NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN 21

26 De optelling voldoet n de volgende eigenschppen: (N0) de optelling is commuttief : voor lle, b N geldt + b = b + ; (N1) de optelling is ssocitief : voor lle, b, c N geldt (+b)+c = +(b+c); (N2) 0 is neutrl voor de optelling, d.w.z., voor lle N geldt 0 + = en + 0 = ; (N3) de schrpwet geldt voor de optelling, d.w.z., voor lle, b, c N geldt + b = + c b = c. Bovenstnde eigenschppen gelden bijvoorbeeld ook voor de optelling vn reële getllen. De drie xiom s hieronder zijn specifiek voor N. (N4) de elementen 0 en 1 zijn verschillend; (N5) er is geen N met 1 + = 0 (m..w. 0 is het kleinst ); (N6) xiom vn inductie: ls A N voldoet n de eigenschppen 0 A en A 1 + A, dn A = N; De bovenstnde xiom s beschrijven N met 0, 1 en zijn optelling volledig. Men kn bewijzen (met behulp vn Stelling X.3.1) dt de bovenstnde lijst de gegevens (N, 0, 1, +) uniek krkteriseert, in de zin dt ls (N, 0, 1, + ) n deze eigenschppen voldoet, er een unieke bijectie f : N N is zodt f(0) = 0, f(1) = 1, en zodt voor lle, b N geldt dt f( + b) = f() + f(b). Uit (N6) volgt dt ieder element vn N een eindige som is (wrbij de som met nul termen per definitie 0 is). Dus inderdd volgt dt N = {0, 1, 2, 3, 4...}, wrbij 2 = 1 + 1, 3 = , 4 = ,... We hebben nog niets gezegd over de vermenigvuldiging in N. Deze kn men uit de optelling construeren, mr in plts drvn zullen we de vermenigvuldiging hier xiomtisch vstleggen. (N7) de vermenigvuldiging is commuttief : voor lle, b N geldt b = b; (N8) de vermenigvuldiging is ssocitief : voor lle, b, c N geldt (b)c = (bc); (N9) 1 is neutrl voor de vermenigvuldiging, d.w.z., voor lle N geldt 1 = en 1 = ; (N10) de distributieve wet geldt, d.w.z., voor lle, b, c N geldt (b+c) = b+c. Terecht kn men opmerken dt de lijst eigenschppen toch nog vrij lng is. Een veel kortere krkterisering vn de ntuurlijke getllen is gegeven door Peno s xiom s, zie Appendix X.2. Alle bekende rekenregels kn men nu in principe fleiden uit de bovenstnde xiom s. Bijvoorbeeld: II.1.1 Propositie. Voor lle n N geldt n 0 = 0. Bewijs. Zij n N. Uit (N2) volgt n = n 0. Uit (N2) volgt ook dt 0 = 0 + 0, we hebben dus n = n 0 = n (0 + 0). Axiom (N10) volgt nu n (0+0) = n 0+n 0. Smen met bovenstnde formule levert dit n = n 0 + n 0. Met de schrpwet (N3) leiden we nu f 0 = n 0, wt we moesten bewijzen. Ongelijkheden Uit de optelling op N kunnen we ook een reltie definiëren ls volgt: n 1 n 2 er is een m N met n 1 + m = n 2. De nottie n 1 < n 2 is een fkorting voor n 1 n 2 en n 1 n 2. Anloog definiëren we en >. 22 II NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN

27 Volledige inductie We beschrijven nu een belngrijke techniek om beweringen over ntuurlijke getllen te bewijzen. Deze bewijstechniek is gerechtvrdigd door het xiom vn inductie, (N6) in de lijst vn xiom s voor N. Stel je voor dt we een uitsprk vn het type Voor lle n N geldt... willen bewijzen. We kunnen ls volgt n het werk gn: we gn eerst n dt de uitsprk juist is voor 0, en drn lten we zien dt voor lle n N geldt dt ls de uitsprk wr is voor n, dn ook voor n + 1. Het xiom vn inductie (ook wel Principe vn Volledige Inductie geheten) grndeert nu dt de uitsprk juist is voor elk ntuurlijk getl, wnt de deelverzmeling A N vn lle ntuurlijke getllen wrvoor de uitsprk juist is voldoet n de twee eisen vn het xiom vn inductie, zodt A = N. Een bewijs vn zo n type heet een bewijs met volledige inductie. We illustreren de techniek n de hnd vn een pr voorbeelden. II.1.2 Voorbeeld. We gn bewijzen dt voor lle n N geldt: n 2k = n(n + 1). k=0 We gebruiken inductie nr n. Stp 1: Voor n = 0 volgt dit uit 2 0 = 0 = 0 (0 + 1). Stp 2: Lt n N. Neem n dt n k=0 2k = n(n + 1) (dit heet de inductieveronderstelling). Dn geldt: n+1 2k = k=0 n k=0 2k + 2(n + 1) (IV ) = n(n + 1) + 2(n + 1) = (n + 1)(n + 2). De tweede gelijkheid op de regel hierboven volgt op grond vn de inductieveronderstelling. Algemener kunnen we zo uitsprken vn het type Voor lle n N geldt... bewijzen. We controleren dn de bewering voor n = N en lten drn weer zien dt voor lle n N geldt dt ls de bewering voor n, dn ook voor n + 1. Het xiom vn inductie is dn vn toepssing op de verzmeling A vn lle k N zó dt de bewering juist is voor n = N + k. II.1.3 Voorbeeld. Zij x 1 een reëel getl. We bewijzen dt voor elk ntuurlijk getl n 1 geldt x n 1 x 1 = xn 1 + x n x 2 + x + 1. Stp 1: De bewering is wr voor n = 1: x 1 1 x 1 = x 1 x 1 = 1. Stp 2: Lt n 1. Neem n dt (x n 1)/(x 1) = x n 1 +x n 2 + +x 2 +x+1 (dit heet de inductieveronderstelling). Dn geldt: x n+1 1 x 1 x n+1 x n + x n 1 = x 1 x n (x 1) = + xn 1 x 1 x 1 = x n + xn 1 x 1 (IV ) = x n + x n 1 + x n x 2 + x + 1. De ltste gelijkheid geldt op grond vn de inductieveronderstelling. II.1 NATUURLIJKE GETALLEN EN VOLLEDIGE INDUCTIE 23

28 Binomium vn Newton We besluiten deze prgrf met een stelling die voor de uitdrukking ( + b) n, wrbij n N positief is, een mooie formule geeft. We spreken f dt voor lle x R geldt x 0 = 1. Voor n N definiëren we n! (spreek uit n-fculteit ) ls: n! = 1 2 n, met de fsprk dt 0! = 1. (In de ppendix wordt het gebruik vn in deze definitie gerechtvrdigd, zie X.3.3) Voor n en k in N met k n definiëren we de binomilcoëfficiënt ( n k) (spreek uit n boven k ) ls ( ) n n! = k k!(n k)! II.1.4 Stelling (Binomium vn Newton). Voor lle reële getllen en b en elke n N geldt n ( ) n ( + b) n = n k b k. k k=0 Bewijs. Lt, b R. Stp 1: De bewering is wr voor n = 0: ( ) 0 ( + b) 0 = 1 en 0 b 0 = 1. 0 Stp 2: Lt n N. Neem n dt ( + b) n = n k=0 ( n k) n k b k (dit heet de inductieveronderstelling). Dn geldt ( + b) n+1 = ( + b)( + b) n (IV ) n ( ) n = ( + b) n k b k k k=0 n ( ) n n ( ) n = n+1 k b k + n k b k+1 k k k=0 = n+1 + n k=1 k=0 ( ) n n+1 k b k + k n 1 k=0 ( ) n n k b k+1 + b n+1. k Door verschuiven vn de sommtieindex in de tweede som krijgen we n 1 ( ) n n ( ) n n k b k+1 = n (k 1) b k k k 1 k=0 k=1 n ( ) n = n+1 k b k. k 1 We gebruiken nu de identiteit uit Opgve II.1.16: n ( ) n n ( ) n ( + b) n+1 = n+1 + n+1 k b k + n+1 k b k + b n+1 k k 1 k=1 k=1 n (( ) ( )) n n = n n+1 k b k + b n+1 k k 1 k=1 n ( ) n + 1 = n+1 + n+1 k b k + b n+1 k k=1 n+1 ( ) n + 1 = n+1 k b k. k k=0 k=1 24 II NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN