Opbouw van het boek: overzicht

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Opbouw van het boek: overzicht"

Transcriptie

1 Opbouw vn het boek: overzicht Opbouw vn het boek: overzicht Deel I: intuïtief Deel II: rigoureus 8: Limieten en continuïteit omschrijving en definities limieten berekenen smptoten continuïteit onderzoeken : Afgeleiden I grfische definitie fgeleiden vn veeltermfuncties 9: Afgeleiden II limietdefinitie fleidbrheid fgeleide vn een product, quotiënt en mcht 7: Verloop I verloop vn veeltermfuncties: stijgen, dlen, etrem hol, bol, buigpunten 0: Verloop II lokl en globl verloop hol en bol verloop en buigpunten verloop vn rtionle en irrtionle functies

2 Afgeleiden vn veeltermfuncties. Afgeleide in een punt.. Gemiddelde verndering en gemiddelde helling.. Ogenblikkelijke verndering en helling in een punt - fgeleide..3 De fgeleide in een punt lgebrïsch berekenen.. Stijgen en dlen in een punt. Afgeleide functie.. Afgeleide functie en hellinggrfiek.. Afgeleide functie vn enkele bsisfuncties.3 Afgeleiden vn veeltermfuncties.3. Rekenen met functies.3. Afgeleide vn veeltermfuncties.3.3 Hogere fgeleiden. Enkele toepssingen op fgeleiden.. Hoek tussen twee snijdende krommen.. Rkende krommen..3 Snelheid en versnelling Copright

3 . Afgeleide in een punt. Afgeleide in een punt Instp.. Gemiddelde verndering en gemiddelde helling De fmilie Jnssens rijdt nr de kust. De trip duurt uur en in die tijd leggen ze 0 km f. De grfiek geeft de fstnd d (in kilometer) tot hun vertrekpunt in functie vn de tijd t (in uren). Wt is hun gemiddelde snelheid voor de hele reis? Hoe hd de grfiek eruit gezien indien ze de hele reis n die snelheid hdden gereden? 0 d(km) ,5,5 3 Leid uit de grfiek de gemiddelde snelheid f in de tijdsintervllen [0; 0,5], [0,5; ], [;,5] en [,5; ]. Hoe zie je op de grfiek, zonder berekeningen te mken, dt de gemiddelde snelheid het grootst is in het intervl [0,5; ]? 5 Bereken nu ook de gemiddelde snelheid in de intervllen [;,5] en [,5;,5]. t(h) Gemiddelde verndering en gemiddelde helling De helling vn een functiegrfiek in een bepld punt geeft n hoe sterk de functie dr toeneemt of fneemt. Een intuïtieve voorstelling vind je hieronder. sterke positieve helling helling nul sterke negtieve helling zwkke negtieve helling constnte positieve helling 0 zwkke positieve helling helling nul 8 Copright

4 Afgeleiden vn veeltermfuncties Een eerstegrdsfunctie heeft ls grfiek een rechte. De helling vn een eerstegrdsfunctie is constnt. Ze is gelijk n de richtingscoëfficiënt vn die rechte. Bij ndere functies kn de helling vn punt tot punt vernderen. De doelstelling vn dit hoofdstuk is een methode ontwikkelen om deze vribele helling uit het functievoorschrift te berekenen. Voor een willekeurige functie kunnen we de gemiddelde helling of de gemiddelde verndering over een intervl beplen. Voorbeeld Beschouw de functie met voorschrift + f() = A f 8 Over het intervl [-, -] nemen de C beeldwrden met 9 eenheden f, vn -9 f(-) = 0 tot f(-) =, terwijl de -wrden met eenheden toenemen. + De gemiddelde verndering vn de functiewrden over dit intervl is dus + gelijk n B f( -)-f(-) = (-) - + = ( )=- + + Grfisch geïnterpreteerd is 9 de gemiddelde helling vn de grfiek vn f over het intervl [-, -]. Op de grfiek zie je dt dit ook de richtingscoëfficiënt is vn de rechte AB met A(-, f(-)) en B(-, f(-)). Over [-, ] nemen de -wrden met eenheden toe en de beeldwrden met eenheden. De gemiddelde verndering vn de functiewrden over het beschouwde intervl is bijgevolg gelijk n f( ) - f( - ) = 7 -( -) + = = 3. Grfisch is 3 de gemiddelde helling vn de grfiek vn f over [-, ]. Het is ook de richtingscoëfficiënt vn de rechte BC met B(-, f(-)) en C(, f()). Copright 9

5 . Afgeleide in een punt Algemeen De toenme of fnme, of kortweg de verndering, vn de beeldwrden vn een functie f over het intervl [, b] is f(b) - f(). We noteren deze verndering ook ls D f en lezen delt f. Anloog is de verndering vn over het intervl [, b] gelijk n D = b -. Een nder woord voor verndering is differentie. We noemen D en D f bijgevolg ook de differenties vn respectievelijk en f. f(b) Q(b, f(b)) D f = f(b) - f() f() P(, f()) D = b - f b De gemiddelde verndering vn een functie f over het intervl [, b] definiëren we ls D f D = f ( b )- f ( ) b- Een ndere benming voor D f is differentiequotiënt vn f over [, b]. D Deze gemiddelde verndering komt overeen met de gemiddelde helling vn de functiegrfiek vn f over het intervl [, b]. Ze kn geïnterpreteerd worden ls de richtingscoëfficiënt vn de rechte door de punten P(, f()) en Q(b, f(b)). f(b) Q(b, f(b)) f() P(, f()) + D f D = rico PQ 0 f Copright b

6 Afgeleiden vn veeltermfuncties Verwerking Een vn de lstigste beklimmingen uit de Tour de Frnce is ongetwijfeld deze vn de Mont Ventou. In de tbel vind je een schem vn deze beklimming wnneer je vertrekt vnuit Bédoin. plts Bédoin Sint-Estève horizontle fgelegde weg (in km) hoogte (in m) Le Chlet Renrd top Ventou 0 5, Bereken de gemiddelde verndering vn de hoogte over de drie opeenvolgende trjecten in %. Welk trject is gemiddeld het meest steile? 3 Bepl de gemiddelde verndering vn de hoogte over de totle beklimming in %. Copright

7 . Afgeleide in een punt.. Ogenblikkelijke verndering en helling in een punt - fgeleide Instp 3 De doorsnede vn het hellende deel vn een skte rmp is prbolisch. In het getekende ssenstelsel is de prbool de grfiek vn de functie met voorschrift f ()= (met en f() in meter). 5 f ()= 5 3 Q P b3 5 Om de helling te vinden in het punt P, 5, onderzoeken we de gemiddelde helling vn de grfiek tussen P en Q, wrbij we Q steeds dichter bij P kiezen. Kies b = 3. Dn is de coördint vn Q gelijk n 3, 9 5. Bereken de gemiddelde helling over het intervl [, 3]. Herhl deze berekening voor de wrden vn b in de tbel. Je rekentoestel kn l het rekenwerk uitvoeren. b D f = fb ( )- f( ) D b -,5,,0,00 3 Nr welke wrde zl de gemiddelde helling volgens jou nderen, wnneer we b steeds dichter bij kiezen? Copright

8 Afgeleiden vn veeltermfuncties Ogenblikkelijke verndering en helling in een punt - fgeleide Voorbeeld Een voorwerp wordt de lucht in geschoten. De hoogte h (in m) kn benderend beschreven worden ls h(t) = -5t + 0t + met t de tijd in seconden. We willen de snelheid vn het voorwerp berekenen seconde ndt het werd fgeschoten. Een ruwe bendering hiervoor vinden we door de hoogteverndering te berekenen over het tijdsintervl [, ]. We vinden ls gemiddelde snelheid over dt intervl: Dh = h( ) h( ) = 5 Dt = 5 (m/s) Deze gemiddelde snelheid komt meetkundig overeen met de richtingscoëfficiënt vn de rechte PQ met P(, h()) en Q (, h()) h Q (,) D h = 5 P(,7) D t = h(t) = -5t + 0t + 3 t We vinden een betere bendering door de hoogteverndering te beschouwen over het tijdsintervl [;,5]. De gemiddelde snelheid over dt intervl is: Dh h (,) 5 h () 375, = = = 7,5 (m/s) Dt 5, 05, Het punt Q (,5; h(,5)) ligt dichter bij P en de rechte PQ is steiler h Q (,5;0,75) P(,7) D h = 3,75 D t = 0,5 h(t) = -5t + 0t + t 0 3 Copright 3

9 . Afgeleide in een punt Blijven we het tijdsintervl [, + Dt] steeds kleiner mken, dn zl de gemiddelde snelheid D h steeds beter de ogenblikkelijke snelheid voor t = Dt benderen. Uit de tbel hieronder blijkt die gemiddelde snelheid steeds dichter tot 0 m/s te nderen. We noemen dit de ogenblikkelijke snelheid voor t =. Dh h Q Q i D t D h Dt 0 Q Q (;) 5 5 Q (,5;0,75) 0,5 3,75 7,5 Q 3 (,;7,95) 0, 0,95 9,5 Q (,0;7,0995) 0,0 0,0995 9,95 5 h(t) = -5t + 0t ,00 0, , ,000 0, , Q Q 3 P t Meetkundig komen de opeenvolgende gemiddelde snelheden overeen met de richtingscoëfficiënt vn de opeenvolgende rechten PQ i (i =,, ) wrbij Q i steeds dichter bij P wordt gekozen. Deze rechten nderen steeds dichter tot een beplde limietstnd, die overeenkomt met de rklijn n de grfiek vn h in het punt P. De richtingscoëfficiënt vn die rklijn is 0. Ogenblikkelijke verndering Om de ogenblikkelijke verndering vn een functie f in te beplen, gn we ls volgt te werk. We kiezen op de grfiek vn f vlkbij het vste punt P(, f()) een vernderlijk tweede punt Q, dt we steeds dichter tot P lten nderen, lngs links of lngs rechts, zonder dt het ooit met P smenvlt. Omdt de -coördint vn Q vribel is, noemen we die. Q f() f() P D = - D f = f() - f() f Copright

10 Afgeleiden vn veeltermfuncties We berekenen voor elke het differentiequotiënt D f D = f() - f() en - onderzoeken tot welke wrde dit ndert wnneer steeds dichter bij komt (zonder ooit gelijk te zijn n ). Deze wrde noemen we de ogenblikkelijke verndering vn f in. Ogenblikkelijke verndering en helling in een punt Wnneer, zl D f 0 en D 0. Toch zl D f (meestl) tot een D welbepld reëel getl nderen. Hieronder tonen we n hoe je dit kunt inzien op bsis vn de meetkundige interprettie vn het differentiequotiënt. In de fbeelding zijn enkele posities vn het punt Q getekend, terwijl het steeds dichter bij P komt te liggen: Q Q Q 3... P t Q 3 Q Q f() P D D f f Drbij nderen de snijlijnen PQ, PQ, PQ 3... steeds beter een zekere limietstnd, die we de rklijn t n de grfiek vn f in P noemen: PQ PQ PQ 3... t Voor elke keuze vn het punt Q komt het differentiequotiënt D f overeen met de D richtingscoëfficiënt vn de bijbehorende snijlijn PQ. Hoe dichter Q bij P komt, hoe meer deze richtingscoëfficiënten zullen nderen tot de richtingscoëfficiënt vn de rklijn: rico PQ rico PQ rico PQ 3... rico t op voorwrde dt de rklijn niet verticl is. Met ndere woorden: D f rico t wnneer, ls t niet verticl is. Copright D 5

11 . Afgeleide in een punt De ogenblikkelijke verndering in is dus gelijk n de richtingscoëfficiënt vn de rklijn t n de grfiek vn f in P(, f()). Die richtingscoëfficiënt is tevens de helling vn de grfiek vn f in P(, f()). Opdt Q zowel lngs links ls lngs rechts tot P zou kunnen nderen, mg niet op de rnd vn het domein vn f liggen: moet een inwendig punt vn het domein zijn. Afgeleide vn een functie in een punt Definitie De fgeleide vn f in, een inwendig punt vn het domein, is de richtingscoëfficiënt vn de rklijn t n de grfiek vn f in P(, f()). We noteren de fgeleide vn f in ls f (). In smbolen: P + t f () f () = rico t Merk op dt een functie enkel een fgeleide heeft in een punt wnneer de grfiek dr een niet-verticle rklijn heeft. f Ogenblikkelijke verndering, helling en fgeleide Uit het voorgnde volgt: f'() = ogenblikkelijke verndering vn f in = helling vn de grfiek vn f in t P + f () = helling vn f in Copright f

12 Afgeleiden vn veeltermfuncties Verwerking An de grfieken vn de functies zijn een ntl rklijnen getekend. Bepl telkens de gevrgde fgeleiden. f (-) b f () 8 = f() t t 0 g () b g (3) = g() 8 t 0 t..3 De fgeleide in een punt lgebrïsch berekenen Instp 5 Beschouw de functie f: +. We willen f () 5 berekenen, m..w. de richtingscoëfficiënt vn de rklijn n de grfiek vn f in P(, 5). Beschouw drtoe een vribel punt Q(, + ) op de grfiek vn f, met π. Toon n dt 3 f, de richtingscoëfficiënt vn + Q f PQ, ltijd gelijk is n +. Wnneer Q P, zl en f f (). Copright Wt is de wrde vn f ()? 0 P 7

13 . Afgeleide in een punt De fgeleide in een punt lgebrïsch berekenen Voorbeeld Om f (-) te berekenen met f() = 3 - +, gn we ls volgt te werk. We berekenen het differentiequotiënt: f f( ) -f(-) = -- ( ) ( = ) - + rico PQ = - P Q f 3 - = + ( - )( + ) = + 0 = ( -) π = - Nu lten we nderen tot -: wnneer -, zl rico t = t - (-) - (-) =. f We vinden: f (-) =. P 0 Verwerking Bereken lgebrïsch de fgeleide vn de gegeven functies in de ngegeven -wrden: f() = in f() = 3 + in - 3 f() = in - 8 Copright

14 Afgeleiden vn veeltermfuncties 7 Een bol rolt vn een hellend vlk. Het verbnd tussen de tijd t (in s) en de fgelegde weg (in m) wordt gegeven door het voorschrift (t) = 0,t. Bereken de gemiddelde snelheid (in m/s) over het tijdsintervl [;,5]. Bereken de gemiddelde snelheid (in m/s) over het tijdsintervl [;,]. 3 Bereken de ogenblikkelijke snelheid (in m/s) voor t =... Stijgen en dlen in een punt Stijgen en dlen in een punt Vergelijking vn de rklijn Beschouw een punt P(,f()) op de grfiek vn een functie f. rico t = f () De rklijn t in P n die grfiek heeft richtingscoëfficiënt f () en bijgevolg geldt: f() P t - f() = f () ( - ) t f Voorbeeld Voor de functie f: is f (-) =. De rklijn t n de grfiek vn f in P(-, ) is t - f(-) = f (-) ( - (-)) t - = ( + ) t = + 3 P t 3 0 f Met een grfisch rekentoestel kun je de rklijn in een bepld punt lten berekenen en tekenen. De berekening is echter benderend, zols je op de schermfdruk kunt zien. 3,5 -,75,5 -,5 Copright 9

15 . Afgeleide in een punt In de vorige voorbeelden kon je zien dt een rklijn t n de grfiek vn een functie f in een punt P ngenoeg smenviel met die grfiek in de buurt vn dt punt. Ws de rklijn stijgend (dlend), dn steeg (dlde) de grfiek dr ook. Deze vststelling verntwoordt de volgende definities voor het stijgen en dlen vn een functie in een punt: f is stijgend in f () > 0 f is dlend in f () < 0 f is stijgend noch dlend in f () = 0 f ( ) = 0 f f ( ) < 0 f ( 3 ) > 0 3 Verwerking 8 Bepl een vergelijking vn de rklijn t n de grfiek vn f in de ngegeven punten. f: - 3 in P(-, f(-)) f: in P, en Q, 9 Gegeven is de grfiek vn een functie f. Duid het juiste ntwoord n (slechts één ntwoord is correct!) en motiveer. f (-) > 0 b f (-) = 0 c f (-) < 0 f (-) = 0 en f () = 0 b f (- 3) = 0 en f 3 c f () = 0 = 0 ( ) = = f() 0 Copright

16 Afgeleiden vn veeltermfuncties Studiewijzer: fgeleide in een punt We kennen de begrippen differentiequotiënt, gemiddelde en ogenblikkelijke verndering, helling de definitie vn fgeleide in een punt en het verbnd met de ogenblikkelijke verndering en helling in dt punt de definities voor stijgen en dlen vn een functie in een gegeven punt We kunnen instp e reeks e reeks 3 e reeks de gemiddelde verndering of het differentiequotiënt vn een functie over een intervl berekenen en interpreteren de ogenblikkelijke verndering of de fgeleide in een punt grfisch beplen, lgebrïsch berekenen en interpreteren een vergelijking vn de rklijn n een functiegrfiek opstellen Copright

17 . Afgeleide functie. Afgeleide functie Instp.. Afgeleide functie en hellinggrfiek 0 Beschouw de functie f: + -. Voor een ntl -wrden werd de fgeleide berekend, m..w. de richtingscoëfficiënt vn de rklijn voor die -wrde. Je vindt die wrden in de tbel onder de grfiek. De grfiek toont de rklijn voor = -. Bepl op bsis vn de eerste twee kolommen vn de tbel een lgemene formule voor f () in functie vn. Wt zl de richtingscoëfficiënt vn de rklijn in de top vn de prbool zijn? Gebruik je formule voor f () uit de vorige vrg om de bijbehorende wrde vn te vinden. Controleer vervolgens je ntwoord met de formule voor de -coördint vn de top vn een prbool die je kent uit het vierde jr. 3 Controleer je uitdrukking voor f () door de fgeleide lgebrïsch te berekenen. 3 = + - = f () 0 vergelijking rklijn in P(, f()) -3-5 = = = = - 3 = = = 7 - Afgeleide functie en hellinggrfiek In de vorige prgrf hebben we de fgeleide f () ltijd voor concrete wrden vn berekend. Het is echter efficiënter om een lgemene formule voor de fgeleide vn een gegeven functie op te stellen, voor een willekeurige wrde vn. Copright

18 Afgeleiden vn veeltermfuncties Voorbeeld Stel f() = en een willekeurig reëel getl. We berekenen eerst het differentiequotiënt: Df f( ) - f( ) = D - ( ) -( ) = ( - )-( -) = - ( - )( + + )-( - ) = - P Q = f() = π Wnneer Æ zl Æ = 3 -. Bijgevolg is f () = 3 -. Vervngen we in deze formule door, dn verkrijgen we een functie, die we de fgeleide functie vn f noemen. Voor de functie met voorschrift f() = heeft de fgeleide functie ls voorschrift f () = 3 -. Hiermee kunnen we nu gemkkelijker fgeleiden berekenen voor verschillende wrden vn : f (-) = 3 (-) - = f (0) = = - = f() f 3 3 = = 0 rico = 0 rico = - rico = 0 De grfiek vn f noemen we de hellinggrfiek vn f. Voor elke geeft die grfiek de richtingscoëfficiënt vn de rklijn n de grfiek vn f in het overeenkomstige punt. f (-) = 0 Copright f f (0) = = f () 0 = 3

19 . Afgeleide functie De Leibniz-nottie is een ndere nottie voor fgeleiden, die in de wiskunde en zeker in de wetenschppen het vkst wordt gebruikt. Het voorschrift vn de fgeleide vn f wordt in die nottie geschreven ls df d. Men noemt df een differentilquotiënt. d Vrinten Voor het verbnd = noteert men: d d = 3 -. Voor f() = noteert men zowel df d = 3 - ls d d [f()] = 3 -. Zonder functienm of fhnkelijke vribele: d d (3 - + ) = 3 -. De fgeleide in een bepld punt wordt in de Leibniz-nottie genoteerd met een verticle streep, die je kunt lezen ls wrbij. Voorbeeld Verwijzend nr de drie voorbeelden hierboven, krijg je voor de fgeleide in : d df d d d d f d d 3 = = [( )] = ( + ) =. = = = = Deze nottie vind je ook terug op sommige grfische rekentoestellen, die fgeleiden benderend kunnen berekenen. Verwerking De hellinggrfiek vn een functie f is gegeven. Welke vn de volgende besluiten kun je mken op bsis vn deze grfiek? De grfiek vn f is dlend voor =. De grfiek vn f heeft een horizontle rklijn voor = -. 3 De grfiek vn f heeft juist twee punten met een horizontle rklijn. De grfiek vn f is stijgend voor = -. 0 = f (). Gottfried Wilhelm Copright Leibniz (-7): Duits wiskundige en filosoof, een vn de grondleggers vn de nlse.

20 Afgeleiden vn veeltermfuncties De grfiek vn een functie f is gegeven. Is grfiek A of grfiek B de hellinggrfiek vn f? Verklr je ntwoord. Voor welke wrden vn is de helling vn de grfiek vn f kleiner dn? 3 Voor welke wrden vn neemt de helling vn de grfiek vn f toe? 0 = f() A = f () B = f () Afgeleide functie vn enkele bsisfuncties Instp 3 De veelterm v() = 3-3 is deelbr door -, ngezien v() = 0. Het quotiënt bepl je met een Hornerschem, dt je hiernst fgebeeld ziet. Je vindt: v() = ( - )( + + ) Toon op dezelfde mnier n dt - = ( - )( ). Mk gebruik vn een Hornerschem om q() te beplen in n - n = ( - ) q(), met n een ntuurlijk getl groter dn. Copright 5

21 . Afgeleide functie Afgeleide functie vn enkele bsisfuncties d ( d c )= 0 met c een constnte Bewijs In elk punt is de rklijn n de grfiek vn de constnte functie f: c horizontl en is de richtingscoëfficiënt ervn dus nul. f() = c 0 P D f = 0 D Q d d ( )= Bewijs Ook voor de functie f: volstt de grfiek om de formule voor de fgeleide n te tonen. In elk punt vn de grfiek vn f vlt de rklijn smen met de grfiek, die een rechte is met richtingscoëfficiënt. f() = f() = 0 P D f() = Q D f = D d ( ) d n n n- = met n Œ N \ {0, } Voor mchtsfuncties met mcht groter dn of gelijk n twee is de helling niet lnger constnt. Het is niet meer mogelijk om op de grfiek de richtingscoëfficiënt vn de rklijn voor elke f te lezen. Drom gebruiken we voor deze rekenregel een lgebrïsch bewijs. Copright

22 Afgeleiden vn veeltermfuncties Bewijs Stel f: n. We berekenen eerst het differentiequotiënt: n D f D = - - = n ( ) n- n- n-3 n ( - ) n Œ N \ {0, } (zie opdrcht 3) = n n + n n π Wnneer Æ zl n - + n n - Æ Hieruit volgt: d ( ) d n = n n- Verwerking n- n- n- ntermen = n n -. Bepl een vergelijking vn de rklijn t n de grfiek vn f: in het punt P(, f()). 5 Bepl de coördint vn de punten op de grfiek vn de functie f: 3 wr de rklijn evenwijdig is met de rechte = 0. Studiewijzer: fgeleide functie We kennen het voorschrift vn de fgeleide functie vn f: n We kunnen instp e reeks e reeks 3 e reeks de fgeleide functie vn f: n berekenen en gebruiken in toepssingen de hellinggrfiek vn een functie 0 50 beplen en interpreteren Copright 5 7

23 .3 Afgeleiden vn veeltermfuncties.3 Afgeleiden vn veeltermfuncties.3. Rekenen met functies Rekenen met functies Definities Gegeven twee functies f : f () en f : f (). De somfunctie f + f vn f en f definiëren we ls f + f : (f + f )() = f () + f () Met ndere woorden: het voorschrift vn de somfunctie is de som vn de voorschriften vn de deelfuncties. Op dezelfde mnier definiëren we de veelvoudfunctie: r f : (r f )() = r f () met r Œ R de productfunctie: f f : (f f )() = f () f () f f de quotiëntfunctie: : f f Voorbeeld Als f () = + en f () = + 3, dn is (f + f )() = ( f )() = + f + 3 f ( )= + ( ) = f ( ) f ( ) met f () π 0.3. Afgeleide vn veeltermfuncties Afgeleide vn veeltermfuncties Somregel Beschouw twee functies f en g. 8 Dn geldt: (f + g) = f + g d In de Leibniz-nottie: d f g df dg ( + ) = + d d In woorden: Copright de fgeleide vn een som is de som vn de fgeleiden

24 Afgeleiden vn veeltermfuncties Bewijs Gegeven twee functies f en g en hun fgeleiden f () en g () in een inwendig punt vn zowel het domein vn f ls het domein vn g. Dn geldt: D ( f+ g) ( f+ g)( ) ( f+ g)( ) = D f( ) + g( ) f( ) g( ) = definitie somfunctie ( f( ) f( )) + ( g( ) g( )) = f( ) f( ) g( ) g( ) = + Wnneer Æ zl f ( ) f ( ) Æ f () en g ( ) g ( ) Æ g (), zodt D ( f+ g) Æ f () + g (). D Hieruit volgt dt (f + g) () = f () + g (). Uitbreidingen Deze rekenregel kn uitgebreid worden (zie opdrcht 0) voor een som vn drie of meer termen: (f + g + h) = f + g + h (f + g + h + i) = f + g + h + i Bovendien kn gemkkelijk ngetoond worden dt (f - g) = f - g (zie opdrcht 0). Veelvoudregel Beschouw een functie f en een reëel getl r. Dn geldt: (r f) = r f d In de Leibniz-nottie: ( d r f ) = r df d In woorden: de fgeleide vn een veelvoud is het veelvoud vn de fgeleide Voor een bewijs Copright verwijzen we nr opdrcht 0. 9

25 .3 Afgeleiden vn veeltermfuncties Afgeleide vn veeltermfuncties Met de vorige twee rekenregels en de formules voor de fgeleiden vn bsisfuncties kunnen we vnf nu, zonder nog lnger gebruik te mken vn differentiequotiënten, de fgeleide vn een veeltermfunctie meteen berekenen. Voorbeeld d d d d ( ) = ( 3 ) ( 5) + ( 3) somregel d d d d d d d d d = 3 ( ) 5 ( ) + ( 3) veelvoudregel d = bsisfuncties Verwerking Bereken. = 5 d d ( 3+ 5 ) d + 5 d 3 d ( ) d d d 3 7 Gegeven is de functie met voorschrift f() = +. Bepl het punt P wr de rklijn t n de grfiek vn f evenwijdig is met de rechte met vergelijking =. Bepl een vergelijking vn t. 8 De rklijn t n de grfiek vn de functie f : gt door de oorsprong. Bepl de coördint vn het rkpunt P. 30 Copright

26 Afgeleiden vn veeltermfuncties.3.3 Hogere fgeleiden Instp 9 Gegeven is de functie met voorschrift f() = Bereken d [( d f )]. Bereken d d [( d d f )]. Hogere fgeleiden Definitie De n-de fgeleide vn een functie f is de functie die ontstt door f n keer f te leiden. We noteren deze functie ls f (n) of d n f n d. In smbolen: n d f d n = d d d df d d d d... n keer fleiden Voor de eerste en tweede fgeleide wordt ook de nottie f en f gebruikt. Voorbeelden d d 3 ( 3 + 5) = ( ) = d d Is f() = , dn zijn de voorschriften vn de opeenvolgende fgeleiden: f () = f () = - 0 f (3) () = f () () = 0 f (5) () = 0... Copright 3

27 .3 Afgeleiden vn veeltermfuncties Verwerking 0 Bereken. d 3 d d d 3 n n ( 5+ ) ( n ) Studiewijzer: fgeleiden vn veeltermfuncties We kennen de formules voor de fgeleide vn een som en vn een veelvoud de betekenis en nottie vn hogere fgeleiden We kunnen instp e reeks e reeks 3 e reeks de fgeleide vn veeltermfuncties berekenen en gebruiken in toepssingen hogere fgeleiden berekenen Copright

28 Afgeleiden vn veeltermfuncties. E nkele toepssingen op fgeleiden.. Hoek tussen twee snijdende krommen Instp Gegeven is de functie f :. Bepl de scherpe hoek, in zestigdelige grden, tussen de -s en de rklijn n de grfiek vn f in het punt P(, 0). Hoek tussen twee snijdende krommen We definiëren de hoek tussen twee krommen in een snijpunt P ls de scherpe of rechte hoek tussen de rklijnen n beide krommen in dt punt. = f() P = g() 0 In een orthonorml ssenstelsel geldt voor de hoek (positief of negtief) tussen een rechte r met richtingscoëfficiënt m en een horizontle rechte: tn = m 0 + = m + q m = tn Copright 33

29 . Enkele toepssingen op fgeleiden Voorbeeld Bepl de hoek tussen de grfieken vn de functies met voorschrift f() = en g() = - in hun snijpunten. Oplossing We zoeken eerst de snijpunten vn de grfieken. f( ) = g( ) 3 + = 0 ( ) + ( ) = 0 ( ) ( + ) = 0 = Het punt P(, ) is het enige snijpunt. De fgeleide functies zijn: f () = en g () = -. In P is f () =. Dit is de richtingscoëfficiënt vn de rklijn n de grfiek vn f in P. = g() Stel de hoek die deze rklijn mkt met een horizontle, dn geldt: tn =. Bijgevolg is = 5. Uit g () = - volgt dt de rklijn in P n 0 3 de grfiek vn g met een horizontle een hoek mkt wrvoor geldt: tn = -. = f() Druit volgt dt = -3 '''. We vinden ls hoek tussen beide rklijnen: - = 08 '''. Dit is een stompe hoek. Beide grfieken snijden elkr bijgevolg onder een scherpe hoek vn = Verwerking Bepl de hoek, in zestigdelige grden, tussen de grfieken vn f en g in hun snijpunten. f() = - en g() = + f() = 3-9 en g() = Copright

30 Afgeleiden vn veeltermfuncties 3 Toon n dt de prbool met vergelijking = en de rechte met vergelijking = + 9 elkr loodrecht snijden. Bepl k zodt de prbolen met vergelijking = - en = k + elkr loodrecht snijden... Rkende krommen Rkende krommen Definitie Twee krommen rken elkr in een punt P ls en slechts ls ze in dt punt dezelfde rklijn hebben. De grfieken vn twee functies t f en g rken elkr in P( 0, 0 ) = f() rico t = f ( ls in 0 geldt: 0 ) = g ( 0 ) f( 0) = g( 0) f( 0 ) = g( 0 ) f ( 0) = g ( 0) Merk op dt de voorwrde f ( 0 ) = g ( 0 ) enkel bruikbr is in het gevl er een nietverticle rklijn is. 0 = g() Copright 35

31 . Enkele toepssingen op fgeleiden Toepssing Bepl de prmeters b en c opdt de prbool p = + b + c zou rken n de rechte r = in P(, ). Oplossing Het punt P(, ) ligt op de rechte en moet ook op de prbool liggen: = + b + c b + c = 0 () De rechte heeft ls richtingscoëfficiënt, dus moet in P(, ) ook voor de vergelijking vn de prbool gelden dt d = : d = d ( d + b + c ) = + b = b = - () = Uit () en () volgt: b = - en c =. p 3 De prbool heeft ls vergelijking = r - +. P 0 3 Verwerking 5 Toon n dt de grfieken vn de functies f : - 5 en g : elkr rken in de oorsprong. Onderzoek of de krommen met vergelijking = 3 en = elkr rken. 3 Copright

32 Afgeleiden vn veeltermfuncties..3 Snelheid en versnelling Instp 7 Een voorwerp beweegt op een rechte lijn. De positie (in meter) in functie vn de tijd t (in seconden) wordt gegeven door de formule (t) = 3 t3 + 5 t 0 t(s) De beweging duurt vn t = 0 s tot t = 5 s. 0 Bereken de gemiddelde snelheid in het tijdsintervl [, ]. Bereken de ogenblikkelijke snelheid voor t =. 3 Op welk(e) tijdstip(pen) is de snelheid gelijk n m/s? 0 (m) 8 De snelheid v (in m/s) vn een knonskogel, die op het tijdstip t = 0 s is fgeschoten, evolueert volgens de formule v(t) = 3t - t + 8. In het begin neemt de snelheid heel snel f, n een seconde of twee gebeurt dit trger. Wt is de gemiddelde verndering vn de snelheid in het tijdsintervl [0, ]? En in het intervl [, ]? 0 0 v(m/s) t(s) 0 Bereken de ogenblikkelijke verndering vn de snelheid voor t = s. We noemen dit ook de ogenblikkelijke versnelling. De eenheid is m/s². 3 Op welk(e) tijdstip(pen) is de versnelling gelijk n - m/s²? Snelheid en versnelling Snelheid Een rechtlijnige beweging kn beschreven worden m.b.v. een pltsfunctie of positiefunctie (t). Deze geeft de positie t.o.v. een bepld referentiepunt in functie vn de tijd t. Copright 37

33 . Enkele toepssingen op fgeleiden Beschouw een willekeurig tijdstip t 0. De gemiddelde snelheid v gem over een intervl [t 0, t] is gelijk n de gemiddelde verndering vn de positiefunctie over dit tijdsintervl: v gem = D D t De ogenblikkelijke snelheid op het tijdstip t 0 is de ogenblikkelijke verndering, dus de fgeleide vn de positiefunctie op t 0 : v(t 0 ) = d dt t De ogenblikkelijke snelheid op elk tijdstip is de fgeleide functie vn de positiefunctie: v(t) = d of v(t) = (t) dt We noemen v(t) de snelheidsfunctie. = t0 38 Versnelling Heeft een voorwerp, dt een rechtlijnige beweging uitvoert, een vernderlijke snelheid, gegeven door de snelheidsfunctie v(t), dn kn hieruit de versnelling op elk ogenblik berekend worden. Beschouw een willekeurig tijdstip t 0. De gemiddelde versnelling gem over een tijdsintervl [t 0, t] is gelijk n de gemiddelde verndering vn de snelheid over dit tijdsintervl: gem = D v D t De ogenblikkelijke versnelling op het tijdstip t 0 is de ogenblikkelijke verndering vn de snelheid, m..w. de fgeleide vn de snelheidsfunctie op het tijdstip t 0 : (t 0 ) = dv dt t De versnellingsfunctie (t) is de fgeleide vn de snelheidsfunctie en geeft op elk ogenblik t de ogenblikkelijke versnelling vn het voorwerp: (t) = dv dt = t0 of (t) = v (t) Is vn een voorwerp dt een rechtlijnige beweging uitvoert de positiefunctie (t) gegeven, dn is de versnellingsfunctie de tweede fgeleide vn die positiefunctie: (t) = d of (t) = (t) Copright dt

34 Afgeleiden vn veeltermfuncties Voorbeeld De positie vn een voorwerp wordt gegeven door (t) = t 3-9t + t met in meter en t in seconden. Gevrgd: Wt is de snelheid n 3 seconden? Wnneer stt het voorwerp stil? 3 Wnneer beweegt het voorwerp vooruit? Wt is de versnelling n seconden? Oplossing We berekenen eerst de snelheidsfunctie: v(t) = d dt = 3t - 8t +. Hieruit volgt: v(3) = d = = -3. dt t = 3 De snelheid n 3 seconden is 3 m/s. Het voorwerp beweegt in de negtieve zin, m..w. chteruit. Het voorwerp stt stil wnneer v(t) = 0: v(t) = 0 3t - 8t + = 0 t - t + 8 = 0 t = of t = N en seconden stt het voorwerp stil. 3 Het voorwerp beweegt vooruit wnneer v(t) > 0. Op de grfiek zien we dt dit het gevl is voor t < of t >. De versnellingsfunctie is (t) = dv dt = d dt (3t - 8t + ) = t - 8 Hieruit berekenen we dt () = - 8 = -. De versnelling n seconden is - m/s² (t) (t) Copright 0 5 v v(t) t t t 39

35 . Enkele toepssingen op fgeleiden Verwerking 9 Een vuurwerkpijl wordt verticl fgeschoten. De hoogte h (in m) in functie vn de tijd t (in s) wordt beschreven met het voorschrift h(t) = 0t - 5t. Bepl het voorschrift vn de snelheid v in functie vn t. Bepl de snelheid bij het fschieten vn de pijl. 3 Bepl de snelheid n seconden. De vuurwerkpijl ontploft op een hoogte vn 0 meter. N hoeveel seconden is dt? b Wt is de snelheid op dt moment? Studiewijzer: enkele toepssingen op fgeleiden We kunnen instp e reeks e reeks 3 e reeks de hoek tussen twee snijdende krommen berekenen en gebruiken in toepssingen ngn of krommen elkr rken en problemen met rkende krommen oplossen 5 73 de ogenblikkelijke snelheid en versnelling vn een voorwerp berekenen, evenls de snelheids- en versnellingsfunctie. fgeleiden gebruiken in de economie Copright

36 Afgeleiden vn veeltermfuncties Smenvtting Gemiddelde verndering, differentiequotiënt en gemiddelde helling De gemiddelde verndering vn een functie f over het intervl [, b] definiëren we ls verndering vn f over [, b] verndering vn over [, b] = D f D = f ( b )- f ( ) b- Een ndere benming voor D f is differentiequotiënt vn f over [, b]. D De gemiddelde verndering of het differentiequotiënt vn f over [, b] kn grfisch geïnterpreteerd worden ls de richtingscoëfficiënt vn de rechte door de punten P(, f()) en Q(b, f(b)): D f D = f ( b )- f ( ) = rico PQ b- smenvtting f(b) Q(b, f(b)) f(b) Q(b, f(b)) f() P(, f()) D D f f() P(, f()) + D f = rico PQ D f f b b Deze richtingscoëfficiënt is de gemiddelde helling vn de grfiek vn f over [, b]. Copright

37 smenvtting Smenvtting Ogenblikkelijke verndering en helling in een punt fgeleide Om de ogenblikkelijke verndering vn een functie f in t een inwendig punt vn het domein te berekenen, wordt Q 3 Q Q vlkbij het vste punt P(, f()) een vribel punt Q(, f()) D f gekozen, dt we steeds dichter P f() tot P lten nderen zonder dt het ooit met P smenvlt. D De rechte PQ ndert drbij steeds dichter tot een limietstnd t, die we de rklijn f n de grfiek vn f in P noemen. Als Q Æ P zl D f = rico PQ Æ rico t (op voorwrde dt t niet verticl is). D De ogenblikkelijke verndering vn f in is gelijk n de richtingscoëfficiënt vn de rklijn n de grfiek vn f in P(, f()). Deze wrde is ook te beschouwen ls de helling vn de grfiek vn f in P. De fgeleide vn f in, een inwendig punt vn het domein, is de richtingscoëfficiënt vn de rklijn t n de grfiek vn f in P(, f()), op voorwrde dt deze niet verticl is. We noteren de fgeleide vn f in ls f (). f() rico t = f () P In smbolen: f () = rico t t f De rklijn t in P n de grfiek vn f heeft richtingscoëfficiënt f () en bijgevolg geldt: t - f() = f () ( - ) Copright

38 Afgeleiden vn veeltermfuncties Stijgen en dlen in een punt We definiëren het stijgen en dlen in een punt ls volgt: f is stijgend in f () > 0 f is dlend in f () < 0 f is stijgend noch dlend in f () = 0 f ( ) = 0 f ( ) < 0 f ( 3 ) > 0 f 3 smenvtting Afgeleiden vn veeltermfuncties Afgeleiden vn enkele bsisfuncties d ( d c )= 0 met c een constnte d d ( )= d ( ) d n n n- = met n Œ N \ {0, } Rekenregels Somregel: (f + g) = f + g Veelvoudregel: (r f) = r f met r Œ R Afgeleide vn een veeltermfunctie Voorbeeld d d ( ) = = Copright 3

39 smenvtting Smenvtting Toepssingen De hoek tussen twee krommen in een snijpunt is gelijk n de scherpe of rechte hoek tussen de rklijnen n beide krommen in dt punt. In een orthonorml ssenstelsel geldt voor de hoek tussen een rechte r met richtingscoëfficiënt m en een horizontle rechte: tn = m 0 = f() P = g() Twee krommen rken elkr in een punt P ls en slechts ls ze in dt punt dezelfde rklijn hebben. De grfieken vn twee functies t f en g rken elkr in P( 0, 0 ) ls in 0 geldt: = f() rico t = f ( 0 ) = g ( 0 ) f( 0) = g( 0) f( 0 ) = g( 0 ) f ( 0) = g ( 0) = g() Merk op dt de voorwrde f ( 0 ) = g ( 0 ) enkel bruikbr is in het gevl er een nietverticle 0 rklijn is. Voert een voorwerp een rechtlijnige beweging uit, dn geldt voor de plts- of positiefunctie (t), de snelheidsfunctie v(t) en de versnellingsfunctie (t): v(t) = d dt = (t) (t) = dv dt = v (t) (t) = d dt = (t) Copright

40 Afgeleiden vn veeltermfuncties Opdrchten. Afgeleide in een punt EERSTE REEKS 30 De evolutie vn de huizenprijzen (in euro) is weergegeven in de grfiek. EVOLUTIE VAN DE VASTGOEDPRIJZEN 98-0 gemiddelde prijs ( ) Gewone huizenprijs e. Vills opdrchten Bron: FOD Economie - Kerncijfers vstgoed 0 Kies het juiste ntwoord en verklr met een berekening. De gemiddelde prijsstijging vn een gewoon huis tussen 00 en 0 ws ongeveer A euro per jr C euro per jr B euro per jr D euro per jr De gemiddelde prijsstijging vn een gewoon huis tussen 98 en 0 ws ongeveer A 5000 euro per jr C 7000 euro per jr B 000 euro per jr D 8000 euro per jr 3 Gegeven zijn de functies met voorschrift f() = + en g() = - 3. Bereken voor elk vn deze functies de gemiddelde verndering over het intervl [-, 5]. Wt stel je vst? Is dit ook zo voor ndere intervllen? Verklr. Copright 5

41 opdrchten Opdrchten 3 De tbel geeft een schtting vn de bevolking in Europ tussen 00 v.c. en 500 n.c. jr bevolking in miljoenen De bevolking nm geleidelijk toe, behlve tijdens twee periodes: tussen 00 en 700: ondergng vn het Romeinse Rijk, volksverhuizingen, oorlogen ten tijde vn de Merovingers tussen 300 en 00: in de zogenmde wnzinnige de eeuw: pest, 00-jrige oorlog Toon met een berekening n dt de bevolking gemiddeld toenm met mensen per jr tussen 700 en 000. Wt is de gemiddelde bevolkingstoenme per jr tussen 00 v.c. en 500 n.c.? 3 In welke periode dlde de bevolking het snelst? 33 Gegeven de grfieken vn de functies met voorschrift f() = en g() = +. Toon n dt de differentiequotiënten vn f en g over het intervl [-, ] gelijk zijn. Geef nog een intervl wrover f en g 0 gelijke differentiequotiënten hebben. = g() 3 Bereken de helling vn de grfiek vn f 8 in het punt P(,). Bereken de helling vn de grfiek vn g in het punt P(,). = f() 0 Copright

42 Afgeleiden vn veeltermfuncties 3 An de grfieken vn de functies zijn een ntl rklijnen getekend. Bepl telkens de gevrgde fgeleiden. f (-) b f () t = f() g (-) b g () c g () 0 t = g() t opdrchten 0 t 3 t 35 De grfiek vn een functie f is getekend. Rngschik vn klein nr groot: f (-) f () f (-) f () f (0) f () 0 = f() Copright 7

43 opdrchten Opdrchten 3 De grfieken vn de functies f en g zijn gegeven. Kies telkens het juiste ntwoord. = g() = f() f (-) < g (-) f (-) = g (-) f (-) > g (-) f (0) < g (0) f (0) = g (0) f (0) > g (0) 3 f () < g () f () = g () f () > g () f (8) < g (8) f (8) = g (8) f (8) > g (8) 37 Is de functie met voorschrift f() = stijgend, dlend of stijgend noch dlend in het punt P(-, )? Verklr met een berekening. 38 De grfiek toont de vlweg (in meter) vn een prchutist ls functie vn de tijd t (in seconden). De prchutist is uit de helikopter gesprongen op een hoogte vn 300 meter. Gedurende 0 seconden is de beweging versneld, mr dn wordt de snelheid constnt omwille vn de luchtweerstnd. Bij het openen vn de prchute neemt de luchtweerstnd plots toe, zodt de snelheid ineens fneemt. De prchutist vlt nu terug met een constnte snelheid, wrmee hij ook zl lnden. 8 Copright

44 Afgeleiden vn veeltermfuncties 3000 (m) t (s) opdrchten N hoeveel tijd opent de prchutist zijn vlscherm? Op welke hoogte bevindt de prchutist zich ls hij zijn vlscherm opent? 3 Welke constnte snelheid (in m/s en in km/h) heeft de prchutist tijdens de vrije vl? Met welke snelheid (in km/h) komt de prchutist op de grond terecht? TWEEDE REEKS 39 Als f() =, bepl dn lgebrïsch + b f (0) f (-) Als f() =, bepl dn lgebrïsch b f () f () Copright 9

45 opdrchten Opdrchten. Afgeleide functie EERSTE REEKS 0 Hiernst zie je de grfiek vn een functie f en dronder de grfiek vn hr fgeleide functie f. Bepl f (-) b f (0) c f () In het intervl ]-, [ is de fgeleide functie f strikt positief. Wt betekent dit voor de grfiek vn f? 3 In welk punt vn de grfiek vn f is de helling gelijk n? b In welk punt vn de grfiek vn f is de helling gelijk n -? = f() 0 0 = f () Welke grfieken horen bij welke hellingfuncties? 0 = f() = f() 0 50 Copright

46 Afgeleiden vn veeltermfuncties 3 = f() A 0 = f () 0 D 0 = f () = f() 0 opdrchten B = f () E = f () 0 0 C F = f () 0 = f () 0 Copright 5

47 opdrchten Opdrchten Is t de rklijn n de grfiek vn de functie met voorschrift f() = in het punt P(-,)? Is t de rklijn n de grfiek vn de functie met voorschrift f() = in het punt Q(,)? Verklr telkens met een berekening. f() = P 0 3 Q t t 3 Bepl d d ( 0 ) d d 5 ( ) d dt ( t 7 ) 5 d dr r ( ) r 3 d 5 ( ) d n = = 8 d ( d b ) =0 Welke grfiek hoort bij de gegeven voorwrden voor de fgeleide functie? f (0) = 0, f () < 0 en f (-) > 0 A f (0) = 0, f () < 0 en f (-) < 0 3 f (0) > 0, f () > 0 en f (-) = B = f() C 0 Copright 0 = f() D 0 = f() = f()

48 Afgeleiden vn veeltermfuncties 5 De hellinggrfiek vn een functie f is gegeven. Welke vn de onderstnde grfieken kn die vn f zijn? = f () 0 A = f() 0 C = f() 0 opdrchten B = f() D = f() 0 0 In welke punten heeft de grfiek vn de functie f : 3 ls helling? 3 ls helling -? ls helling? ls helling? 3 7 Bepl de coördint vn het punt P op de grfiek vn de functie f : wr de rklijn evenwijdig is met de rechte die de grfiek vn f snijdt in de punten met -coördint -3 en. TWEEDE REEKS 8 De rechte met vergelijking = + b is een rklijn n de grfiek vn de functie f :. Bepl b. Copright 53

49 opdrchten Opdrchten 9 De rechte t = - is een rklijn n de grfiek vn de functie met voorschrift f() =. Bepl. 50 De grfiek vn een functie f is gegeven. Welk is de grfiek vn hr hellingfunctie? = f() 0 8 A C = f () = f () 0 0 B D = f () 0 0 = f () 5 Bepl een vergelijking vn de rklijn t n de grfiek vn de functie met voorschrift f() = in het punt P(, ). Bepl de coördint vn het snijpunt S vn t met de -s. 3 Bepl de coördint vn het snijpunt T vn t met de -s. 5 Leid uit de vorige resultten een constructie f vn de rklijn n de prbool met vergelijking = in een willekeurig punt. Copright

50 Afgeleiden vn veeltermfuncties.3 Afgeleiden vn veeltermfuncties EERSTE REEKS 5 Bereken d + d d + d d 3 + d ( ) 8 d d 5 d 3 + d d b c d ( + + ) d ( b) d d 3 + d 3 d ( ) d d t 3 u + + d 3 opdrchten 53 Gegeven de functie met voorschrift f() = Bereken f () f (-) 3 f (0) 5 Gegeven de functie met voorschrift f() = Bepl ls f () = -5 f () = 7 3 f () = 0 Copright 55

51 opdrchten Opdrchten 55 De grfieken vn de functie met voorschrift f() = en hr fgeleide functie f zijn getekend. Bepl het voorschrift vn f. Voor welke wrden vn heeft de grfiek vn f een horizontle rklijn? 3 Voor welke wrden vn heeft de grfiek vn f een strikt positieve helling? Voor welke wrde vn heeft de grfiek vn f de grootste helling? f() = = f () 0 5 Bepl een vergelijking vn de rklijn t n de grfiek vn f in het punt P. f : in P(, f()) f : 5 in P(-, f(-)) 57 Gegeven de functie met voorschrift f() = -. In welk punt vn de grfiek vn f is de rklijn evenwijdig met de -s? In welk punt vn de grfiek vn f is de rklijn evenwijdig met de rechte =? 3 In welk punt vn de grfiek vn f is de rklijn evenwijdig met de rechte = - + 3? 58 Vn de functie met voorschrift f() = + b + is gegeven dt f() = en f () = -3. Bepl en b. 5 Copright

52 Afgeleiden vn veeltermfuncties 59 t en t zijn de rklijnen n de grfiek vn de functie met voorschrift 3 f() = + + in de punten 3 P(, f()) en Q(b, f(b)). Bepl en b ls je weet dt t en t evenwijdig zijn met de rechte met vergelijking = -5. P(, f()) t t = f() b Q(b, f(b)) = -5 opdrchten 0 Toon n dt ( f+ g+ h+...) = f + g + h +... n termen (f - g) = f - g 3 (r f) = r f n termen TWEEDE REEKS De rechte met vergelijking = + b is een rklijn n de grfiek vn de functie met voorschrift f() = - 3. Bepl b. De rechte met vergelijking = - is een rklijn n de grfiek vn de functie f : +. Bepl. 3 Gegeven is de prbool p = + b + c. Toon n dt de rechte AB, met A(m, f(m)) en B(n, f(n)), evenwijdig is met de rklijn t in het punt C m + n m+ n f, vn p. Wt is de kleinste helling vn de grfiek vn de functie met voorschrift f() = ? Copright 57

53 opdrchten Opdrchten. E nkele toepssingen op fgeleiden EERSTE REEKS 5 Bepl de hoek tussen de grfieken vn f en g in hun snijpunten. f : - g : 3 + f : g : De rechte met vergelijking = en de prbool met vergelijking = - + k rken elkr. Bepl k. 7 Pllieter stt boven op de IJzertoren, die 8 m hoog is, en gooit een steen net over de rnd vn de muur verticl nr boven, zodt deze rkelings lngs die muur tot heleml beneden vlt, zols op de figuur ngegeven. Stellen we t = 0 op het ogenblik dt hij de steen loslt, dn kn de hoogte h (in m) goed benderd worden door h(t) = 8 + 3t - 5t met t in seconden. Bereken de snelheid vn de steen n seconden. Met welke snelheid rkt de steen de grond? 8 Je lt een steen vn een toren vllen. De hoogte h vn de steen (in m) n t seconden wordt beschreven door het voorschrift h(t) = -,9t Hoe hoog is de toren? Bepl de snelheid n seconden. 3 Met welke snelheid komt de steen op de grond terecht? Verklr met een berekening wrom de versnelling op elk moment dezelfde is. 58 Copright

54 Afgeleiden vn veeltermfuncties TWEEDE REEKS 9 De norml in een punt vn een kromme is de rechte die loodrecht stt op de rklijn in dt punt n de kromme. Bepl een vergelijking vn de norml n in het punt P(-, f(-)) vn de grfiek 70 vn f : +. Gegeven de rechte r = en de functie f : 3 -. Toon n dt r een rklijn is n de grfiek vn f en bepl de coördint vn het rkpunt T. Bepl een vergelijking vn de norml n in T. opdrchten 7 Omdt de mn een kleinere mss heeft dn de rde, vl je op de mn zchter dn op rde. De functie met voorschrift = 0,85t geeft bij bendering het verbnd tussen de vlweg (in m) en de vltijd t (in s) op de mn. Op rde is dt verbnd bij bendering =,9t. Een ruimtevrder lt vn 00 meter hoogte een mnsteen vllen. N hoeveel seconden ploft die neer op de mn? b Met welke snelheid gebeurt dit? Met welke snelheid vlt een steen, die vn een 0 meter hoge toren op rde vlt, op de grond? 3 Hoe hoog moet een toren op de mn zijn opdt een steen, die vn deze toren vlt, met dezelfde snelheid zou neerkomen ls die steen die vn de 0 meter hoge toren op rde neervlt? 7 Bepl k zodt de grfiek vn de functie met voorschrift f() = + k de -s onder een hoek vn 5 snijdt. 73 De grfieken vn de functies f en g rken elkr. Bepl m. f : + m + en g : m f : m en g : Copright 59

55 opdrchten Opdrchten 7 Bepl k zodnig dt de grfieken vn de functies f : k - 3 en g : 8 + elkr loodrecht snijden. 75 Een firm produceert potloden. De totle kosten (in ) om keer 000 potloden te produceren, zijn gelijk n K() = De potloden worden verkocht n 5 per 000 stuks zodt O() = 5 de omzetfunctie is. In deze opdrcht vergelijken we de verndering vn de kosten, vn de = K() 500 omzet en vn de winst bij een productie vn 000 en vn 7000 eenheden. De verndering vn de kosten bij een beplde productie is gelijk 000 n de fgeleide vn de = O() kostenfunctie. We noemen deze verndering de mrginle kosten. Bepl de mrginle 500 kostenfunctie K (). Bereken K () en K (7). Wt betekent dit voor de toenme vn de kosten bij een productie vn 000 t.o.v. die bij een productie vn 7000 eenheden? = W() De verndering vn de omzet bij een beplde productie is gelijk n de fgeleide vn de omzetfunctie. We noemen deze verndering de mrginle omzet. Bepl de mrginle omzetfunctie O (). De verndering vn de winst bij een beplde productie is gelijk n de fgeleide vn de winstfunctie. We noemen deze verndering de mrginle winst. Bepl de winstfunctie W() en de mrginle winstfunctie W (). 5 Bereken W() en W (). Hoe kun je deze flezen op de grfiek? Bereken W(7) en W (7). Hoe kun je deze flezen op de grfiek? 0 Copright

56 Afgeleiden vn veeltermfuncties Herhlingsopdrchten Studiewijzer e reeks e reeks 3 e reeks De hellinggrfiek vn een functie f is gegeven. Kies het juiste ntwoord. De grfiek vn f heeft een horizontle rklijn A voor = - B voor = 0 C voor = Voor = 3 is de grfiek vn f A stijgend 0 = f () herhlingsopdrchten B dlend C stijgend noch dlend 3 Voor = 5 is de grfiek vn f A stijgend B dlend C stijgend noch dlend 77 Het volume wter V (in l) in een tnk, t minuten vnf het moment dt het leeglopen strt, wordt beschreven door de formule V(t) = t + 00t. Bepl de gemiddelde snelheid wrmee het wter uit de tnk stroomt tijdens de eerste 0 minuten. Wt is de ogenblikkelijke snelheid wrmee het wter uit de tnk stroomt n 0 minuten? 3 N hoeveel minuten is de tnk leeg? 78 Bepl de hoek tussen de grfieken vn f : 3 - en g : 3 in hun snijpunten. Copright

57 herhlingsopdrchten Herhlingsopdrchten 79 Welke grfieken horen bij welke hellingfuncties? 3 = f() 0 = f() 0 = f() 0 A C E = f () 0 0 = f () = f () 0 B D F = f () 0 0 = f () = f () 0 80 Bepl de -coördinten vn de punten vn de grfiek vn de functie met voorschrift f() = wr de helling gelijk is n. 8 Voor welke wrde(n) vn heeft de functie met voorschrift f() = c een horizontle rklijn? Bepl c ls de -s een rklijn is vn de grfiek vn f. 8 Bepl vergelijkingen vn de rklijnen t en t n de grfiek vn de functie met voorschrift f() = - + die door het punt P(3, -) gn. 83 De grfieken vn de functies f : + + b en g : 3 + c rken elkr in het punt P(-, ). Bepl, b en c. Copright

58 Afgeleiden vn veeltermfuncties 8 De fgelegde weg (in km) vn een uto op de snelweg kn beschreven worden door het voorschrift (t) = -0t 3 + 0t. Hierbij is de tijd t uitgedrukt in uur. De rit duurt uur zodt 0 t. Wt is de gemiddelde snelheid vn de uto gedurende deze rit? Bepl het voorschrift vn de snelheid v in functie vn de tijd (in km/h). 3 Hoe groot is de ogenblikkelijke snelheid n uur? Toon n dt de uto de mimumsnelheid vn 0 km/h nooit overschrijdt. 85 Een niet horizontle rechte gt door het punt P(, ) en heeft een rkpunt met de prbool met vergelijking = Hoeveel bedrgt de helling vn deze rklijn? A 0 B C 8 D (bron toeltingsproef geneeskunde) herhlingsopdrchten Copright 3

59 hersenbrekers Hersenbrekers Hersenbrekers Drie kubussen worden gevormd op bsis vn de ontvouwing hiernst. Vervolgens worden ze op een tfel de ene bovenop de ndere geschikt, zodnig dt de 3 zichtbre getllen de grootst mogelijke som hebben. Wt is deze som? 3 8 A 59 B C D 7 E 89 Meneer Jnsen vertrekt elke ochtend om 8u stipt nr zijn werk met de uto. Als hij (constnt) 0 km/h rijdt, is hij drie minuten te lt op zijn werk. Als hij 0 km/h rijdt, is hij drie minuten te vroeg op zijn werk. Hoe snel moet hij rijden om precies op tijd te komen? (bron Nederlndse Wiskunde Olmpide 009) 3 De grfiek vn de functie f zie je hieronder. (, ) (, ) O(0, 0) 0 ( 7, ) (5, ) Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking f(f()) =? A B C 5 D E 7 Copright

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax.

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax. Onfhnkelijk vn Voor elke positieve wrde vn is een functie f gegeven door f ( x) = (1 x) e x en een functie F gegeven door F ( x) = x e x. De functie 3p 1 Toon dit n. F is een primitieve functie vn f. De

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VW 20 tijdvk woensdg 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. chter het correctievoorschrift is een nvulling opgenomen. Dit emen bestt uit 8 vrgen. Voor dit emen zijn miml

Nadere informatie

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2015-I

wiskunde B pilot vwo 2015-I wiskunde B pilot vwo 05-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t sin t

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1:

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: 4 2 4 2 8 5 3 5 3 15 Als je twee breuken met elkr vermenigvuldigd moet je de tellers en de noemers vn beide breuken met elkr vermenigvuldigen. Voorbeeld 2: 3 3 1 5 4 8 3 5 4

Nadere informatie

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen

Nadere informatie

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo

Nadere informatie

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden

Nadere informatie

Boek 2, hoofdstuk 7, allerlei formules..

Boek 2, hoofdstuk 7, allerlei formules.. Boek, hoofdstuk 7, llerlei formules.. 5.1 Evenredig en omgekeerd evenredig. 1. y wordt in beide gevllen 4 keer zo klein, je noemt dt omgekeerd evenredig. b. bv Er zijn schoonmkers met een vst uurloon.

Nadere informatie

Rekenregels van machten

Rekenregels van machten 4 Rekenregels vn mchten Dit kun je l 1 mchten met een ntuurlijke exponent berekenen mchten met een gehele exponent berekenen 3 terminologie in verbnd met de mchtsverheffing correct gebruiken Test jezelf

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt

Nadere informatie

Getallenverzamelingen

Getallenverzamelingen Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg 3 Snijpunten Verkennen Meetkunde Snijpunten Inleiding Verkennen Bentwoord de vrgen bij Verkennen. Mk ook de constructie in GeoGebr. Gebruik eventueel het progrmm om de snijpunten voor je te berekenen ls

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES

4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I Tussen twee grfieken De functie f is gegeven door f ( ) =. In figuur zijn op het intervl [0, ] de grfiek vn f en de lijn = getekend. De grfiek vn f en de lijn = snijden elkr in het punt T. p de lijn =

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1:

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: 4 2 42 8 5 3 53 15 Als je twee breuken met elkr vermenigvuldigd moet je de tellers en de noemers vn beide breuken met elkr vermenigvuldigen. Voorbeeld 2: 3 3 1 5 4 8 3 5 4 24

Nadere informatie

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exmen VWO 2012 tijdvk 1 woensdg 16 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit exmen hoort een uitwerkbijlge. Dit exmen bestt uit 17 vrgen. Voor dit exmen zijn mximl 78 punten te behlen. Voor elk vrgnummer

Nadere informatie

Analyse. Lieve Houwaer Dany Vanbeveren

Analyse. Lieve Houwaer Dany Vanbeveren Anlyse Lieve Houwer Dny Vnbeveren . Relties, functies, fbeeldingen, bijecties Voor niet-ledige verzmelingen A en B noemen we elke deelverzmeling vn de productverzmeling A x B een reltie vn A nr B. We noemen

Nadere informatie

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c.

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c. Wiskunde voor bchelor en mster Deel Bsiskennis en bsisvrdigheden c 05, Syntx Medi, Utrecht www.syntxmedi.nl Uitwerkingen hoofdstuk 0 0... Voor scherpe hoek α geldt:. sin α = 0,8 α = sin 0,8 = 5, d. cos

Nadere informatie

MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN

MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN III - 1 HOODSTUK 3 MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN De kennis vn het moment vn een krcht is nodig voor het herleiden vn een krcht en een krchtenstelsel, voor het (nlytisch) smenstellen vn niet-snijdende

Nadere informatie

5.1 Rekenen met differentialen

5.1 Rekenen met differentialen Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Les 5 Substitutie We hebben gezien dt de productregel voor de fgeleide een mnier geeft, om voor zeker functies een primitieve te vinden,

Nadere informatie

Antwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck

Antwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck Antwoorden Doeboek 1 Kijk op kegelsneden Rob vn der Wll en Liesbeth de Clerk 1 De 3 4 ) 5 Een 6 Als 7 8 ) 9 De Nee, lle punten die 1 entimeter vn het midden liggen, liggen op de irkel. gevrgde figuur bestt

Nadere informatie

3 Exponentiële functies en logaritmische functies

3 Exponentiële functies en logaritmische functies Eponentiële functies en logritmische functies Bij wiskunde B heb je l eerder te mken gehd met eponentiële en logritmische functies. In dit hoofdstuk gn we er wt dieper op in en lten we een ntl toepssingen

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord

Nadere informatie

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)² Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven

Nadere informatie

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h Een regenton Op het domein [0, ] is de functie r gegeven door r ( ) 5 5 5. W is het vlkdeel dt wordt ingesloten door de -s, de y-s, de grfiek vn r en de lijn h, met 0 h. Zie de onderstnde figuur. figuur

Nadere informatie

Het bepalen van een evenwichtstoedeling met behulp van het 1 e principe van Wardrop is equivalent aan het oplossen van een minimaliserings-probleem.

Het bepalen van een evenwichtstoedeling met behulp van het 1 e principe van Wardrop is equivalent aan het oplossen van een minimaliserings-probleem. Exmen Verkeerskunde (H1I6A) Ktholieke Universiteit Leuven Afdeling Industrieel Beleid / Verkeer & Infrstructuur Dtum: dinsdg 2 september 28 Tijd: Instructies: 8.3 12.3 uur Er zijn 4 vrgen over het gedeelte

Nadere informatie

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html

Nadere informatie

5.1 Hogeremachtswortels [1]

5.1 Hogeremachtswortels [1] 5. Hogeremchtswortels [] De functie x 2 = p heeft twee oplossingen ls p > 0; De functie x 2 = p heeft één oplossing ls p = 0; De functie x 2 = p heeft geen oplossingen ls p < 0; Het bovenstnde geldt bij

Nadere informatie

Primitieve en integraal

Primitieve en integraal Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Les 4 Primitieve en integrl Een motivtie om nr de fgeleide vn een functie f te kijken is het beplen vn de richtingscoëfficiënt vn de rklijn

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde. 1 Vlmse Wiskunde Olymide 1985-1986: Tweede Ronde De tweede ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 unten Per goed ntwoord krijgt hij of zij 4

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 987-988 : Eerste Ronde De eerste ronde estt steeds uit 0 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt: een deelnemer strt met 0 punten, per goed

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Algerïshe ewerkingen ldzijde 9 V- d e 9 V- 9 V- + + + V- + + 9 d + + + + e + + + + f + g Hoofdstuk - Funties en lger + + + + + + + ldzijde 9 V- + ( + ) + ( )( ) of + of of of ( ) d p p ( p

Nadere informatie

WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK. A.F. Bloemsma M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot

WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK. A.F. Bloemsma M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK A.F. Bloemsm M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot INHOUD: H. : Hkjes wegwerken, ontbinden in fctoren H. : Mchten 0 H. : Het rekenen met breuken (deel

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de Werkoek Alger (ursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen vn de e grd met één onekende Nm:. Hoofdstuk 5: Vergelijkingen vn de - 45 - e grd met één onekende. Instp (oek pg 7). Vn een rehthoek

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN

OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN Welke wiskunde moet ik kiezen? Dit jr moet je gn kiezen welke wiskunde je wilt gn volgen in de bovenbouw. Hieronder kun je lezen wt wiskunde A, en D inhouden. Wiskunde

Nadere informatie

Rekenen in Ê. Module De optelling. Definitie

Rekenen in Ê. Module De optelling. Definitie Module 1 Rekenen in Ê 1.1 De optelling Definitie Het resultt vn de optelling vn reële getllen en b noemen we de som vn en b en noteren we met +b. De getllen en b zelf noemen we de termen vn de som. Voorbeelden

Nadere informatie

Oefeningen. 1 Ga na of de gegeven functie een oplossing is van de gegeven differentiaalvergelijking. (g) y = y x 2. (a) xy = 2y ; y = 5x 2

Oefeningen. 1 Ga na of de gegeven functie een oplossing is van de gegeven differentiaalvergelijking. (g) y = y x 2. (a) xy = 2y ; y = 5x 2 Oefeningen 1 G n of de gegeven functie een oplossing is vn de gegeven differentilvergelijking. () xy = 2y ; y = 5x 2 (b) (x + y) dx + y dy = 0 ; y = 1 x2 2x (c) y + y = 0 ; y = 3 sin x 4 cos x 2 Zoek een

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl) Wiskunde B (nieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs 0 0 Tijdvk Inzenden scores Vul de scores vn de lfbetisch eerste vijf kndidten per school in op de optisch leesbre

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Examencursus

Voorbereidende opgaven Examencursus Voorbereidende opgven Exmencursus Tips: Mk de voorbereidende opgven voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een opdrcht niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en

Nadere informatie

Vraag 2. a) Geef in een schema weer uit welke onderdelen CCS bestaat. b) Met welke term wordt onderstaande processchema aangeduid.

Vraag 2. a) Geef in een schema weer uit welke onderdelen CCS bestaat. b) Met welke term wordt onderstaande processchema aangeduid. Tentmen Duurzme Ontwikkeling & Kringlopen, 1 juli 2009 9:00-12:00 Voordt je begint: schrijf je nm en studentnummer bovenn ieder vel begin iedere vrg op een nieuwe bldzijde ls je een vkterm wel kent in

Nadere informatie

Differentiatie van functies

Differentiatie van functies Deel II Clculus Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 Les 6 Differentitie vn functies Wrscijnlijk eeft iedereen wel een idee ervn wt een functie is, mr voor de duidelijkeid erlen we voor de meest

Nadere informatie

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven Prktische opdrcht Optimliseren vn verpkkingen Inleidende opgven V, WB Opgve 1 2 Gegeven is de functie f ( x) = 9 x. Op de grfiek vn f ligt een punt P ( p; f ( p)) met 3 < p < 0. De projectie vn P op de

Nadere informatie

Bijlage 2 Gelijkvormigheid

Bijlage 2 Gelijkvormigheid ijlge Gelijkvormigheid eze bijlge hoort bij het hoofdstuk e krcht vn vectoren juli 0 Opgven gemrkeerd met kunnen worden overgeslgen. Uitgve juli 0 olofon 0 ctwo uteurs d Goddijn, Leon vn den roek, olf

Nadere informatie

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM REKENEN MET MACHTEN Np EEBII 0 GGHM Inhoud Herhlin: Eponentiele roei... Netieve Mchten... Geroken mchten... Etr Oefeninen... 9 Hoere-mchts functies... 0 Overzicht vn de reels... Herhlin: Eponentiële roei

Nadere informatie

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2 Lijnen en vlkken in Kls N en N Wiskunde perioden Kees Temme Versie . Coördinten in R³.... De vergelijking vn een vlk ().... De vectorvoorstelling vn een lijn.... De vectorvoorstelling vn een vlk... 8.

Nadere informatie

Wiskundige Analyse 1

Wiskundige Analyse 1 Wiskundige Anlyse 1 Belngrijkste stellingen 1 Getllen Driehoeksongelijkheid : b ± b + b Supremumprincipe : Elke nietlege verzmeling reële getllen die nr boven begrensd is, heeft een supremum Infimumprincipe

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 : Ongelijkheden

Hoofdstuk 4 : Ongelijkheden Werkoek Alger (cursus voor u wiskunde) hoofdstuk : Oplossen ongelijkheden vn e gr met on in Nm:. Hoofdstuk : Ongelijkheden - -. Ongelijkheden Vul in met of : 0,... 0,07 we zeggen dt 0,... is dn 0,07 -,...

Nadere informatie

13.1 De tweede afgeleide [1]

13.1 De tweede afgeleide [1] 13.1 De tweede afgeleide [1] De functie is afnemend dalend tot het lokale minimum; Vanaf het lokale minimum tot punt A is de functie toenemend stijgend; Vanaf punt A tot het lokale maimum is de functie

Nadere informatie

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - JULI 2 BLZ /8. De functie fx) = e kx + x + met, en k R en k < heeft een schuine symptoot y = x voor x + en voldoet n de vergelijking Bepl, en k. D fx))) 2 + D fx)) 2) +

Nadere informatie

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten. 9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende

Nadere informatie

Routeplanning middels stochastische koeling

Routeplanning middels stochastische koeling Routeplnning middels stochstische koeling Modellenprcticum 2008 Stochstische koeling of Simulted nneling is een combintorisch optimlistielgoritme dt redelijke resultten geeft in ingewikkelde situties.

Nadere informatie

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5 INHOUDSTABEL 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3 2. TEKENREGELS (fiche 2)... 5 2b. TEGENGESTELDE GETAL - TEGENGESTELDE SOM (verschil) - TEGENSTELDE PRODUCT (fiche 2b)... 6 2c. OMGEKEERDE

Nadere informatie

C 1 C 2. 42 blok 6. Er zijn 1440 tegels nodig.

C 1 C 2. 42 blok 6. Er zijn 1440 tegels nodig. 42 blok 6 C De zomervkntie komt ern! Voor de zomervkntie moet het zwembd in de gemeente Dorpstein gebruiksklr worden gemkt. Het 4 meter brede tegelpd rondom het zwembd moet vn nieuwe tegels vn 50 bij 50

Nadere informatie

Over de lengte van OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek

Over de lengte van OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek Over de lengte vn OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek DICK KLINGENS (e-mil: dklingens@pndd.nl Krimpenerwrd College, Krimpen n den IJssel (Nederlnd pril 2007 1. De lengte vn OH en OZ De punten O,

Nadere informatie

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2...

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2... 113 6.0 INTRO 1 Bekijk de sommen hiernst en g n of ze kloppen. Schrijf de twee volgende sommen uit de rij op en controleer of deze ook ls uitkomst 2 heen. c Schrijf twee sommen op die veel verder in de

Nadere informatie

15 5 omhoog. Hoofdstuk 26 RECHTE LIJNEN. 6 ad 26.0 INTRO

15 5 omhoog. Hoofdstuk 26 RECHTE LIJNEN. 6 ad 26.0 INTRO Hoofdstuk 6 RECHTE LIJNEN 6.0 INTRO 6 d km kost,0: =,9 drnkje kost : =,0, dus de entree is,0,0 = 0,-. Nee, ls je ij de onderste lijn nr rechts gt g je omhoog, dus ls je nr rechts zou gn, zou je omhoog

Nadere informatie

11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage

11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage Wiskundige denkctiviteiten: digitle ijlge Suggesties voor opdrchten wrij de leerlingen uitgedgd worden wiskundige denkctiviteiten te ontplooien. De opdrchten heen de volgende structuur. In de kop stn chtereenvolgend:

Nadere informatie

a b x-as g(x) is stijgend op [a,b]

a b x-as g(x) is stijgend op [a,b] Functieonderzoek In dit hoofdstuk wordt de grfiek vn functies besproken. Voordt we het pltje kunnen tekenen moeten we ntl zken uitzoeken. Te denken vlt n domein, nulpunten, mim, minim, symptoten en buigpunten.

Nadere informatie

Cirkels en cilinders

Cirkels en cilinders 5 irkels en cilinders it kun je l 1 middelpunt en strl in een cirkel nduiden 2 de oppervlkte vn vlkke figuren berekenen 3 het volume vn een prism berekenen Test jezelf Elke vrg heeft mr één juist ntwoord.

Nadere informatie

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen):

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Deel A Clculus Anbevolen ctergrondlitertuur met veel opgven (en oplossingen): Frnk Ayres: (Scum s Outline of Teory nd Problems of) Clculus. McGrw-Hill Compnies, 999, 578 p., ISBN: 749736. Micel Spivk:

Nadere informatie

DOEL: Weten wat de gevolgen en risico s kunnen zijn van het plaatsen van (persoonlijke) informatie op internet.

DOEL: Weten wat de gevolgen en risico s kunnen zijn van het plaatsen van (persoonlijke) informatie op internet. kennismking met i-respect.nl INTRODUCTIE GEMAAKT DOOR: Annèt Lmmers ONDERWERP: Een eerste kennismking met i-respect.nl en het onderwerp publiceren. DOEL: Weten wt de gevolgen en risico s kunnen zijn vn

Nadere informatie

Integralen. DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f(x) wordt genoteerd met f(x)dx, en is de meest algemene zogenaamde primitieve van f(x) dat is:

Integralen. DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f(x) wordt genoteerd met f(x)dx, en is de meest algemene zogenaamde primitieve van f(x) dat is: Integrlen DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f() wordt genoteerd met f()d, en is de meest lgemene zogenmde primitieve vn f() dt is: f()d = F() + C wrij F() elke functie is zodnig dt F'() = f() en C een willekeurige

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 Introductie Analytische Meetkunde

Hoofdstuk 1 Introductie Analytische Meetkunde Hoofdstuk 1 Introductie Anlytische Meetkunde 1.1 Wr ligt de scht? Op een zolder heb je een oude krt gevonden. Op een onbewoond Crïbisch eilnd is een scht begrven. De beschrijving is heel duidelijk: Loop

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 99 993 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

Deze les krijgen de leerlingen een introductie over ongelijke breuken. Dit met name gericht op het vergelijken met een bemiddelende grootheid.

Deze les krijgen de leerlingen een introductie over ongelijke breuken. Dit met name gericht op het vergelijken met een bemiddelende grootheid. Lesopzet De door ons gemkte lessencyclus wordt in drie opeenvolgende rekenlessen gegeven. Les is iets korter dn les en, wrdoor er eventueel extr herhling vnuit les ingepst kn worden.. Les Deze les krijgen

Nadere informatie

Tentamen: Kansrekening en Statistiek P0099

Tentamen: Kansrekening en Statistiek P0099 Fculteit Economie en Bedrijfskunde Tentmen: Knsrekening en Sttistiek 1 6011P0099 Tentmendtum & -tijd: 15 december 015, 1:00 17:00 Studiejr 015-016 Duur vn het tentmen: 3 uur Legitimtie: U dient zich te

Nadere informatie

Examen Klassieke Mechanica

Examen Klassieke Mechanica Exmen Klssieke Mechnic Herbert De Gersem, Eef Temmermn 25 jnuri 2012, 8u30, cdemiejr 11-12 IW2 NAAM: RICHTING: vrg 1 (/4) vrg 2 (/4) vrg 3 (/5) vrg 4 (/4) vrg 5 (/3) TOTAAL (/20) Verloop vn het exmen Het

Nadere informatie

Integralen en de Stelling van Green

Integralen en de Stelling van Green Integrlen en de Stelling vn Green Les Functies vn twee vernderlijken Les ubbelintegrl Les 3 Lijnintegrl Les 4 Stelling vn Green en toepssingen Rob e Stelen sptie Een ster genereert mgnetische velden door

Nadere informatie

is het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b

is het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b 1 Tweedimensionle Euclidische ruimte 11 Optelling, verschil en sclire vermenigvuldiging = ( b, ) b, is de verzmeling vn lle koppels reële getllen { } Zols we ons de reële getllen kunnen voorstellen ls

Nadere informatie

Hertentamen. Elektriciteit en Magnetisme 1. Woensdag 14 juli :00-12:00. Schrijf op elk vel uw naam en studentnummer. Schrijf leesbaar.

Hertentamen. Elektriciteit en Magnetisme 1. Woensdag 14 juli :00-12:00. Schrijf op elk vel uw naam en studentnummer. Schrijf leesbaar. Hertentmen Elektriciteit en Mgnetisme 1 Woensdg 14 juli 2011 09:00-12:00 Schrijf op elk vel uw nm en studentnummer. Schrijf leesbr. Mk elke opgve op een prt vel. Dit tentmen bestt uit 4 vrgen. Alle vier

Nadere informatie

K4 Relativiteitstheorie

K4 Relativiteitstheorie K4 Reltiviteitstheorie Ruimtetijd vwo Uitwerkingen bsisboek K4. INTRODUCTIE 2 3 De golflengte vn rdiostrling is groter dn die vn liht. b Uit λ f volgt dt de frequentie vn de fotonen vn rdiostrling lger

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren

Eigenwaarden en eigenvectoren Hoofdstuk I. Lineire Algebr Les 4 Eigenwrden en eigenvectoren In het voorbeeld vn de verspreiding vn de Euro-munten hebben we gezien hoe we de mix vn munten n floop vn n jr uit de n-de mcht A n vn de overgngsmtrix

Nadere informatie

Kansrekening en dynamica als basis voor breed wiskundeonderwijs 2

Kansrekening en dynamica als basis voor breed wiskundeonderwijs 2 Knsrekening en dynmic ls bsis voor breed wiskundeonderwijs Joost Hulshof en Ronld Meester c Reproductie lleen in overleg met de uteurs. Alle rechten voorbehouden. 1 Voorwoord In de eerste cursus hebben

Nadere informatie

In samenwerking met. Selexyz.nl

In samenwerking met. Selexyz.nl In smenwerking met Seleyz.nl Frns vn Liempt Ntuurkundeboek B Studentensupport Studentensupport.nl 007 Frns vn Liempt & Studentensupport Downlod grtis op ISBN 978-87-768-5- Studentensupport Studentensupport.nl

Nadere informatie

Gehele getallen: vermenigvuldiging en deling

Gehele getallen: vermenigvuldiging en deling 3 Gehele getllen: vermenigvuldiging en deling Dit kun je l 1 ntuurlijke getllen vermenigvuldigen 2 ntuurlijke getllen delen 3 de commuttieve en de ssocitieve eigenschp herkennen 4 de rekenmchine gebruiken

Nadere informatie

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe?

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe? Oefenopgven over Stoffen en Mterilen Uitwerking en ntwoord op elke opgve stt n de ltste opgve. Gegevens kunnen worden opgezoht in de tellen hterin. Als de zwrteftor niet vermeld is mg je 9,81 N/kg nemen.

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2012

Correctievoorschrift VWO 2012 Correctievoorschrift VWO 0 tijdvk wiskunde B Het correctievoorschrift bestt uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vkspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

HANDLEIDING FOKWAARDEN 2014. Informatie & Inspiratie document Met uitleg over het hoe en waarom van de fokwaarden

HANDLEIDING FOKWAARDEN 2014. Informatie & Inspiratie document Met uitleg over het hoe en waarom van de fokwaarden HANDLEIDING FOKWAARDEN 2014 Informtie & Inspirtie document Met uitleg over het hoe en wrom vn de fokwrden Missie Al ruim 25 jr ondersteunt ELDA bedrijven in de grrische sector, en het is voor ons een belngrijke

Nadere informatie

opgaven formele structuren procesalgebra

opgaven formele structuren procesalgebra opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve 3.3.7 op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve

Nadere informatie

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken. Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:

Nadere informatie

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2 Formulekrt VWO wiskunde B en B2 De Formulekrt Wiskunde hvo/vwo is gepubliceerd in Uitleg, Gele Ktern nr. 2, CEVO- 98/257. Deze versie vn de Formulekrt is die officiële versie. Vierkntsvergelijking Als

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VWO 202 tijdvk 2 woensdg 20 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. Dit emen bestt uit 7 vrgen. Voor dit emen zijn miml 8 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv ICT - Grfieken met VU-grfiek ldzijde 64 1 De snijpunten met de x-s zijn ( 3, ), (4, ) en (5, ). f( 3) =, 5 ( 3) 3 ( 3) 35, 3+ 3= f( 4) =, 5 ( 4) 3 ( 4) 35, 4+ 3= f( 5) =, 5 ( 5) 3 ( 5) 35, 5+ 3= Met de

Nadere informatie

Route F - Desert. kangoeroerat

Route F - Desert. kangoeroerat Route F - Desert Voor deze route, moet je eerst nr de Bush. Dr moet je even zoeken nr de tunnel die nr de Desert leidt. Geruik onderstnd krtje voor de Desert. Begin ij nummer 1. 1 Kngoeroertten Kngoeroertten

Nadere informatie

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken MTKUN 2 Lengte - fstnd - hoeken M7 Lengtemten en meetinstrumenten 186 M8 Lengte en fstnd 187 M9 Gelijke fstnden 194 M10 Hoeken meten en tekenen 198 185 M7 1 Titel Lengtemten en meetinstrumenten 579 Vul

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. Hoofdstuk : Bewerkingen in R - 7 Kls:... 1. Optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen in R (oek pg 15): Som: 1. vn twee getllen

Nadere informatie

Over de tritangent stralen van een driehoek

Over de tritangent stralen van een driehoek Over de tritngent strlen vn een driehoek Dick Klingens mrt 004 Inleiding. Het bijvoeglijk nmwoord 'tritngent' gebruiken we ls we spreken over de incirkel (ingeschreven cirkel) en de uitcirkels (ngeschreven

Nadere informatie

6.4 Rekenen met evenwichtsreacties

6.4 Rekenen met evenwichtsreacties 6.4 Rekenen met evenwihtsreties An de hnd vn een reeks vooreelden zullen we het rekenwerk ehndelen n evenwihtsreties. Vooreeld 6.2 We estuderen het gsevenwiht: A(g) + B(g) C(g) + D(g) In een ruimte vn

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B I

Eindexamen vwo wiskunde B I Formules Vlkke meetkunde Verwijzingen nr definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder ndere toelichting. Hoeken, lijnen en fstnden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstnde hoeken,

Nadere informatie

naam blad : 37 = 299 : 23 = 882 : 63 = 364 : 26 = : 47 = : 43 = 47 kan keer van af kan keer van af 47 = =

naam blad : 37 = 299 : 23 = 882 : 63 = 364 : 26 = : 47 = : 43 = 47 kan keer van af kan keer van af 47 = = 7b Hulp bld 1 nm 1 Reken uit met de rekenmchine 444 : 37 = 299 : 23 = 882 : 63 = 364 : 26 = 2 Reken uit met rest Voorbeeld: 469 : 37 = ntwoord op de rekenmchine: 12,675675 37 kn 12 keer vn 469 f 12 37

Nadere informatie

Vraag 1. Vraag 2. Vraag 3. Zij gegeven de volgende declaratie in Eiffel. Guido : STUDENT

Vraag 1. Vraag 2. Vraag 3. Zij gegeven de volgende declaratie in Eiffel. Guido : STUDENT Vrg 1 Zij gegeven de volgende declrtie in Eiffel Gui : STUDENT in de veronderstelling dt er een klssentekst bestt voor de klsse STUDENT. Welke vn de volgende uitsprken is wr: A. N uitvoering vn de instructie

Nadere informatie

Proeftentamen LAI (tweede deel), voorjaar 2006 Uitwerkingen

Proeftentamen LAI (tweede deel), voorjaar 2006 Uitwerkingen Proeftentmen LAI (tweede deel), voorjr 2006 Uitwerkingen 1. Lt zien: ls R een trnsitieve reltie op A is, dn is R 2 (dt wil zeggen R R) ook trnsitief. Lt vervolgens zien dt heel lgemeen geldt: ls R trnsitief

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2012

Correctievoorschrift VWO 2012 Correctievoorschrift VWO 0 tijdvk wiskunde B Het correctievoorschrift bestt uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vkspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

H26 RECHTE LIJNEN VWO. 6 ad 26.0 INTRO

H26 RECHTE LIJNEN VWO. 6 ad 26.0 INTRO H6 RECHTE LIJNEN VWO 6.0 INTRO 6 d km kost,0: =,0 (oude druk) km kost,0: =,9 (nieuwe druk) drnkje kost : =,0, dus de entree is,0,0 = 0,-. Nee, ls je ij de onderste lijn nr rechts gt g je omhoog, dus ls

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS Hoofdstuk DE STELLING VAN PYTHAGORAS INHOUD. De stelling vn Pythgors formuleren 98. Meetkundige voorstellingen 06. De stelling vn Pythgors ewijzen 09. Rekenen met Pythgors. Construties.6 Pythgors in de

Nadere informatie