Opbouw van het boek: overzicht

Transcriptie

1 Opbouw vn het boek: overzicht Opbouw vn het boek: overzicht Deel I: intuïtief Deel II: rigoureus 8: Limieten en continuïteit omschrijving en definities limieten berekenen smptoten continuïteit onderzoeken : Afgeleiden I grfische definitie fgeleiden vn veeltermfuncties 9: Afgeleiden II limietdefinitie fleidbrheid fgeleide vn een product, quotiënt en mcht 7: Verloop I verloop vn veeltermfuncties: stijgen, dlen, etrem hol, bol, buigpunten 0: Verloop II lokl en globl verloop hol en bol verloop en buigpunten verloop vn rtionle en irrtionle functies

2 Afgeleiden vn veeltermfuncties. Afgeleide in een punt.. Gemiddelde verndering en gemiddelde helling.. Ogenblikkelijke verndering en helling in een punt - fgeleide..3 De fgeleide in een punt lgebrïsch berekenen.. Stijgen en dlen in een punt. Afgeleide functie.. Afgeleide functie en hellinggrfiek.. Afgeleide functie vn enkele bsisfuncties.3 Afgeleiden vn veeltermfuncties.3. Rekenen met functies.3. Afgeleide vn veeltermfuncties.3.3 Hogere fgeleiden. Enkele toepssingen op fgeleiden.. Hoek tussen twee snijdende krommen.. Rkende krommen..3 Snelheid en versnelling Copright

3 . Afgeleide in een punt. Afgeleide in een punt Instp.. Gemiddelde verndering en gemiddelde helling De fmilie Jnssens rijdt nr de kust. De trip duurt uur en in die tijd leggen ze 0 km f. De grfiek geeft de fstnd d (in kilometer) tot hun vertrekpunt in functie vn de tijd t (in uren). Wt is hun gemiddelde snelheid voor de hele reis? Hoe hd de grfiek eruit gezien indien ze de hele reis n die snelheid hdden gereden? 0 d(km) ,5,5 3 Leid uit de grfiek de gemiddelde snelheid f in de tijdsintervllen [0; 0,5], [0,5; ], [;,5] en [,5; ]. Hoe zie je op de grfiek, zonder berekeningen te mken, dt de gemiddelde snelheid het grootst is in het intervl [0,5; ]? 5 Bereken nu ook de gemiddelde snelheid in de intervllen [;,5] en [,5;,5]. t(h) Gemiddelde verndering en gemiddelde helling De helling vn een functiegrfiek in een bepld punt geeft n hoe sterk de functie dr toeneemt of fneemt. Een intuïtieve voorstelling vind je hieronder. sterke positieve helling helling nul sterke negtieve helling zwkke negtieve helling constnte positieve helling 0 zwkke positieve helling helling nul 8 Copright

4 Afgeleiden vn veeltermfuncties Een eerstegrdsfunctie heeft ls grfiek een rechte. De helling vn een eerstegrdsfunctie is constnt. Ze is gelijk n de richtingscoëfficiënt vn die rechte. Bij ndere functies kn de helling vn punt tot punt vernderen. De doelstelling vn dit hoofdstuk is een methode ontwikkelen om deze vribele helling uit het functievoorschrift te berekenen. Voor een willekeurige functie kunnen we de gemiddelde helling of de gemiddelde verndering over een intervl beplen. Voorbeeld Beschouw de functie met voorschrift + f() = A f 8 Over het intervl [-, -] nemen de C beeldwrden met 9 eenheden f, vn -9 f(-) = 0 tot f(-) =, terwijl de -wrden met eenheden toenemen. + De gemiddelde verndering vn de functiewrden over dit intervl is dus + gelijk n B f( -)-f(-) = (-) - + = ( )=- + + Grfisch geïnterpreteerd is 9 de gemiddelde helling vn de grfiek vn f over het intervl [-, -]. Op de grfiek zie je dt dit ook de richtingscoëfficiënt is vn de rechte AB met A(-, f(-)) en B(-, f(-)). Over [-, ] nemen de -wrden met eenheden toe en de beeldwrden met eenheden. De gemiddelde verndering vn de functiewrden over het beschouwde intervl is bijgevolg gelijk n f( ) - f( - ) = 7 -( -) + = = 3. Grfisch is 3 de gemiddelde helling vn de grfiek vn f over [-, ]. Het is ook de richtingscoëfficiënt vn de rechte BC met B(-, f(-)) en C(, f()). Copright 9

5 . Afgeleide in een punt Algemeen De toenme of fnme, of kortweg de verndering, vn de beeldwrden vn een functie f over het intervl [, b] is f(b) - f(). We noteren deze verndering ook ls D f en lezen delt f. Anloog is de verndering vn over het intervl [, b] gelijk n D = b -. Een nder woord voor verndering is differentie. We noemen D en D f bijgevolg ook de differenties vn respectievelijk en f. f(b) Q(b, f(b)) D f = f(b) - f() f() P(, f()) D = b - f b De gemiddelde verndering vn een functie f over het intervl [, b] definiëren we ls D f D = f ( b )- f ( ) b- Een ndere benming voor D f is differentiequotiënt vn f over [, b]. D Deze gemiddelde verndering komt overeen met de gemiddelde helling vn de functiegrfiek vn f over het intervl [, b]. Ze kn geïnterpreteerd worden ls de richtingscoëfficiënt vn de rechte door de punten P(, f()) en Q(b, f(b)). f(b) Q(b, f(b)) f() P(, f()) + D f D = rico PQ 0 f Copright b

6 Afgeleiden vn veeltermfuncties Verwerking Een vn de lstigste beklimmingen uit de Tour de Frnce is ongetwijfeld deze vn de Mont Ventou. In de tbel vind je een schem vn deze beklimming wnneer je vertrekt vnuit Bédoin. plts Bédoin Sint-Estève horizontle fgelegde weg (in km) hoogte (in m) Le Chlet Renrd top Ventou 0 5, Bereken de gemiddelde verndering vn de hoogte over de drie opeenvolgende trjecten in %. Welk trject is gemiddeld het meest steile? 3 Bepl de gemiddelde verndering vn de hoogte over de totle beklimming in %. Copright

7 . Afgeleide in een punt.. Ogenblikkelijke verndering en helling in een punt - fgeleide Instp 3 De doorsnede vn het hellende deel vn een skte rmp is prbolisch. In het getekende ssenstelsel is de prbool de grfiek vn de functie met voorschrift f ()= (met en f() in meter). 5 f ()= 5 3 Q P b3 5 Om de helling te vinden in het punt P, 5, onderzoeken we de gemiddelde helling vn de grfiek tussen P en Q, wrbij we Q steeds dichter bij P kiezen. Kies b = 3. Dn is de coördint vn Q gelijk n 3, 9 5. Bereken de gemiddelde helling over het intervl [, 3]. Herhl deze berekening voor de wrden vn b in de tbel. Je rekentoestel kn l het rekenwerk uitvoeren. b D f = fb ( )- f( ) D b -,5,,0,00 3 Nr welke wrde zl de gemiddelde helling volgens jou nderen, wnneer we b steeds dichter bij kiezen? Copright

8 Afgeleiden vn veeltermfuncties Ogenblikkelijke verndering en helling in een punt - fgeleide Voorbeeld Een voorwerp wordt de lucht in geschoten. De hoogte h (in m) kn benderend beschreven worden ls h(t) = -5t + 0t + met t de tijd in seconden. We willen de snelheid vn het voorwerp berekenen seconde ndt het werd fgeschoten. Een ruwe bendering hiervoor vinden we door de hoogteverndering te berekenen over het tijdsintervl [, ]. We vinden ls gemiddelde snelheid over dt intervl: Dh = h( ) h( ) = 5 Dt = 5 (m/s) Deze gemiddelde snelheid komt meetkundig overeen met de richtingscoëfficiënt vn de rechte PQ met P(, h()) en Q (, h()) h Q (,) D h = 5 P(,7) D t = h(t) = -5t + 0t + 3 t We vinden een betere bendering door de hoogteverndering te beschouwen over het tijdsintervl [;,5]. De gemiddelde snelheid over dt intervl is: Dh h (,) 5 h () 375, = = = 7,5 (m/s) Dt 5, 05, Het punt Q (,5; h(,5)) ligt dichter bij P en de rechte PQ is steiler h Q (,5;0,75) P(,7) D h = 3,75 D t = 0,5 h(t) = -5t + 0t + t 0 3 Copright 3

9 . Afgeleide in een punt Blijven we het tijdsintervl [, + Dt] steeds kleiner mken, dn zl de gemiddelde snelheid D h steeds beter de ogenblikkelijke snelheid voor t = Dt benderen. Uit de tbel hieronder blijkt die gemiddelde snelheid steeds dichter tot 0 m/s te nderen. We noemen dit de ogenblikkelijke snelheid voor t =. Dh h Q Q i D t D h Dt 0 Q Q (;) 5 5 Q (,5;0,75) 0,5 3,75 7,5 Q 3 (,;7,95) 0, 0,95 9,5 Q (,0;7,0995) 0,0 0,0995 9,95 5 h(t) = -5t + 0t ,00 0, , ,000 0, , Q Q 3 P t Meetkundig komen de opeenvolgende gemiddelde snelheden overeen met de richtingscoëfficiënt vn de opeenvolgende rechten PQ i (i =,, ) wrbij Q i steeds dichter bij P wordt gekozen. Deze rechten nderen steeds dichter tot een beplde limietstnd, die overeenkomt met de rklijn n de grfiek vn h in het punt P. De richtingscoëfficiënt vn die rklijn is 0. Ogenblikkelijke verndering Om de ogenblikkelijke verndering vn een functie f in te beplen, gn we ls volgt te werk. We kiezen op de grfiek vn f vlkbij het vste punt P(, f()) een vernderlijk tweede punt Q, dt we steeds dichter tot P lten nderen, lngs links of lngs rechts, zonder dt het ooit met P smenvlt. Omdt de -coördint vn Q vribel is, noemen we die. Q f() f() P D = - D f = f() - f() f Copright

10 Afgeleiden vn veeltermfuncties We berekenen voor elke het differentiequotiënt D f D = f() - f() en - onderzoeken tot welke wrde dit ndert wnneer steeds dichter bij komt (zonder ooit gelijk te zijn n ). Deze wrde noemen we de ogenblikkelijke verndering vn f in. Ogenblikkelijke verndering en helling in een punt Wnneer, zl D f 0 en D 0. Toch zl D f (meestl) tot een D welbepld reëel getl nderen. Hieronder tonen we n hoe je dit kunt inzien op bsis vn de meetkundige interprettie vn het differentiequotiënt. In de fbeelding zijn enkele posities vn het punt Q getekend, terwijl het steeds dichter bij P komt te liggen: Q Q Q 3... P t Q 3 Q Q f() P D D f f Drbij nderen de snijlijnen PQ, PQ, PQ 3... steeds beter een zekere limietstnd, die we de rklijn t n de grfiek vn f in P noemen: PQ PQ PQ 3... t Voor elke keuze vn het punt Q komt het differentiequotiënt D f overeen met de D richtingscoëfficiënt vn de bijbehorende snijlijn PQ. Hoe dichter Q bij P komt, hoe meer deze richtingscoëfficiënten zullen nderen tot de richtingscoëfficiënt vn de rklijn: rico PQ rico PQ rico PQ 3... rico t op voorwrde dt de rklijn niet verticl is. Met ndere woorden: D f rico t wnneer, ls t niet verticl is. Copright D 5

11 . Afgeleide in een punt De ogenblikkelijke verndering in is dus gelijk n de richtingscoëfficiënt vn de rklijn t n de grfiek vn f in P(, f()). Die richtingscoëfficiënt is tevens de helling vn de grfiek vn f in P(, f()). Opdt Q zowel lngs links ls lngs rechts tot P zou kunnen nderen, mg niet op de rnd vn het domein vn f liggen: moet een inwendig punt vn het domein zijn. Afgeleide vn een functie in een punt Definitie De fgeleide vn f in, een inwendig punt vn het domein, is de richtingscoëfficiënt vn de rklijn t n de grfiek vn f in P(, f()). We noteren de fgeleide vn f in ls f (). In smbolen: P + t f () f () = rico t Merk op dt een functie enkel een fgeleide heeft in een punt wnneer de grfiek dr een niet-verticle rklijn heeft. f Ogenblikkelijke verndering, helling en fgeleide Uit het voorgnde volgt: f'() = ogenblikkelijke verndering vn f in = helling vn de grfiek vn f in t P + f () = helling vn f in Copright f

12 Afgeleiden vn veeltermfuncties Verwerking An de grfieken vn de functies zijn een ntl rklijnen getekend. Bepl telkens de gevrgde fgeleiden. f (-) b f () 8 = f() t t 0 g () b g (3) = g() 8 t 0 t..3 De fgeleide in een punt lgebrïsch berekenen Instp 5 Beschouw de functie f: +. We willen f () 5 berekenen, m..w. de richtingscoëfficiënt vn de rklijn n de grfiek vn f in P(, 5). Beschouw drtoe een vribel punt Q(, + ) op de grfiek vn f, met π. Toon n dt 3 f, de richtingscoëfficiënt vn + Q f PQ, ltijd gelijk is n +. Wnneer Q P, zl en f f (). Copright Wt is de wrde vn f ()? 0 P 7

13 . Afgeleide in een punt De fgeleide in een punt lgebrïsch berekenen Voorbeeld Om f (-) te berekenen met f() = 3 - +, gn we ls volgt te werk. We berekenen het differentiequotiënt: f f( ) -f(-) = -- ( ) ( = ) - + rico PQ = - P Q f 3 - = + ( - )( + ) = + 0 = ( -) π = - Nu lten we nderen tot -: wnneer -, zl rico t = t - (-) - (-) =. f We vinden: f (-) =. P 0 Verwerking Bereken lgebrïsch de fgeleide vn de gegeven functies in de ngegeven -wrden: f() = in f() = 3 + in - 3 f() = in - 8 Copright

14 Afgeleiden vn veeltermfuncties 7 Een bol rolt vn een hellend vlk. Het verbnd tussen de tijd t (in s) en de fgelegde weg (in m) wordt gegeven door het voorschrift (t) = 0,t. Bereken de gemiddelde snelheid (in m/s) over het tijdsintervl [;,5]. Bereken de gemiddelde snelheid (in m/s) over het tijdsintervl [;,]. 3 Bereken de ogenblikkelijke snelheid (in m/s) voor t =... Stijgen en dlen in een punt Stijgen en dlen in een punt Vergelijking vn de rklijn Beschouw een punt P(,f()) op de grfiek vn een functie f. rico t = f () De rklijn t in P n die grfiek heeft richtingscoëfficiënt f () en bijgevolg geldt: f() P t - f() = f () ( - ) t f Voorbeeld Voor de functie f: is f (-) =. De rklijn t n de grfiek vn f in P(-, ) is t - f(-) = f (-) ( - (-)) t - = ( + ) t = + 3 P t 3 0 f Met een grfisch rekentoestel kun je de rklijn in een bepld punt lten berekenen en tekenen. De berekening is echter benderend, zols je op de schermfdruk kunt zien. 3,5 -,75,5 -,5 Copright 9

15 . Afgeleide in een punt In de vorige voorbeelden kon je zien dt een rklijn t n de grfiek vn een functie f in een punt P ngenoeg smenviel met die grfiek in de buurt vn dt punt. Ws de rklijn stijgend (dlend), dn steeg (dlde) de grfiek dr ook. Deze vststelling verntwoordt de volgende definities voor het stijgen en dlen vn een functie in een punt: f is stijgend in f () > 0 f is dlend in f () < 0 f is stijgend noch dlend in f () = 0 f ( ) = 0 f f ( ) < 0 f ( 3 ) > 0 3 Verwerking 8 Bepl een vergelijking vn de rklijn t n de grfiek vn f in de ngegeven punten. f: - 3 in P(-, f(-)) f: in P, en Q, 9 Gegeven is de grfiek vn een functie f. Duid het juiste ntwoord n (slechts één ntwoord is correct!) en motiveer. f (-) > 0 b f (-) = 0 c f (-) < 0 f (-) = 0 en f () = 0 b f (- 3) = 0 en f 3 c f () = 0 = 0 ( ) = = f() 0 Copright

16 Afgeleiden vn veeltermfuncties Studiewijzer: fgeleide in een punt We kennen de begrippen differentiequotiënt, gemiddelde en ogenblikkelijke verndering, helling de definitie vn fgeleide in een punt en het verbnd met de ogenblikkelijke verndering en helling in dt punt de definities voor stijgen en dlen vn een functie in een gegeven punt We kunnen instp e reeks e reeks 3 e reeks de gemiddelde verndering of het differentiequotiënt vn een functie over een intervl berekenen en interpreteren de ogenblikkelijke verndering of de fgeleide in een punt grfisch beplen, lgebrïsch berekenen en interpreteren een vergelijking vn de rklijn n een functiegrfiek opstellen Copright

17 . Afgeleide functie. Afgeleide functie Instp.. Afgeleide functie en hellinggrfiek 0 Beschouw de functie f: + -. Voor een ntl -wrden werd de fgeleide berekend, m..w. de richtingscoëfficiënt vn de rklijn voor die -wrde. Je vindt die wrden in de tbel onder de grfiek. De grfiek toont de rklijn voor = -. Bepl op bsis vn de eerste twee kolommen vn de tbel een lgemene formule voor f () in functie vn. Wt zl de richtingscoëfficiënt vn de rklijn in de top vn de prbool zijn? Gebruik je formule voor f () uit de vorige vrg om de bijbehorende wrde vn te vinden. Controleer vervolgens je ntwoord met de formule voor de -coördint vn de top vn een prbool die je kent uit het vierde jr. 3 Controleer je uitdrukking voor f () door de fgeleide lgebrïsch te berekenen. 3 = + - = f () 0 vergelijking rklijn in P(, f()) -3-5 = = = = - 3 = = = 7 - Afgeleide functie en hellinggrfiek In de vorige prgrf hebben we de fgeleide f () ltijd voor concrete wrden vn berekend. Het is echter efficiënter om een lgemene formule voor de fgeleide vn een gegeven functie op te stellen, voor een willekeurige wrde vn. Copright

18 Afgeleiden vn veeltermfuncties Voorbeeld Stel f() = en een willekeurig reëel getl. We berekenen eerst het differentiequotiënt: Df f( ) - f( ) = D - ( ) -( ) = ( - )-( -) = - ( - )( + + )-( - ) = - P Q = f() = π Wnneer Æ zl Æ = 3 -. Bijgevolg is f () = 3 -. Vervngen we in deze formule door, dn verkrijgen we een functie, die we de fgeleide functie vn f noemen. Voor de functie met voorschrift f() = heeft de fgeleide functie ls voorschrift f () = 3 -. Hiermee kunnen we nu gemkkelijker fgeleiden berekenen voor verschillende wrden vn : f (-) = 3 (-) - = f (0) = = - = f() f 3 3 = = 0 rico = 0 rico = - rico = 0 De grfiek vn f noemen we de hellinggrfiek vn f. Voor elke geeft die grfiek de richtingscoëfficiënt vn de rklijn n de grfiek vn f in het overeenkomstige punt. f (-) = 0 Copright f f (0) = = f () 0 = 3

19 . Afgeleide functie De Leibniz-nottie is een ndere nottie voor fgeleiden, die in de wiskunde en zeker in de wetenschppen het vkst wordt gebruikt. Het voorschrift vn de fgeleide vn f wordt in die nottie geschreven ls df d. Men noemt df een differentilquotiënt. d Vrinten Voor het verbnd = noteert men: d d = 3 -. Voor f() = noteert men zowel df d = 3 - ls d d [f()] = 3 -. Zonder functienm of fhnkelijke vribele: d d (3 - + ) = 3 -. De fgeleide in een bepld punt wordt in de Leibniz-nottie genoteerd met een verticle streep, die je kunt lezen ls wrbij. Voorbeeld Verwijzend nr de drie voorbeelden hierboven, krijg je voor de fgeleide in : d df d d d d f d d 3 = = [( )] = ( + ) =. = = = = Deze nottie vind je ook terug op sommige grfische rekentoestellen, die fgeleiden benderend kunnen berekenen. Verwerking De hellinggrfiek vn een functie f is gegeven. Welke vn de volgende besluiten kun je mken op bsis vn deze grfiek? De grfiek vn f is dlend voor =. De grfiek vn f heeft een horizontle rklijn voor = -. 3 De grfiek vn f heeft juist twee punten met een horizontle rklijn. De grfiek vn f is stijgend voor = -. 0 = f (). Gottfried Wilhelm Copright Leibniz (-7): Duits wiskundige en filosoof, een vn de grondleggers vn de nlse.

20 Afgeleiden vn veeltermfuncties De grfiek vn een functie f is gegeven. Is grfiek A of grfiek B de hellinggrfiek vn f? Verklr je ntwoord. Voor welke wrden vn is de helling vn de grfiek vn f kleiner dn? 3 Voor welke wrden vn neemt de helling vn de grfiek vn f toe? 0 = f() A = f () B = f () Afgeleide functie vn enkele bsisfuncties Instp 3 De veelterm v() = 3-3 is deelbr door -, ngezien v() = 0. Het quotiënt bepl je met een Hornerschem, dt je hiernst fgebeeld ziet. Je vindt: v() = ( - )( + + ) Toon op dezelfde mnier n dt - = ( - )( ). Mk gebruik vn een Hornerschem om q() te beplen in n - n = ( - ) q(), met n een ntuurlijk getl groter dn. Copright 5

21 . Afgeleide functie Afgeleide functie vn enkele bsisfuncties d ( d c )= 0 met c een constnte Bewijs In elk punt is de rklijn n de grfiek vn de constnte functie f: c horizontl en is de richtingscoëfficiënt ervn dus nul. f() = c 0 P D f = 0 D Q d d ( )= Bewijs Ook voor de functie f: volstt de grfiek om de formule voor de fgeleide n te tonen. In elk punt vn de grfiek vn f vlt de rklijn smen met de grfiek, die een rechte is met richtingscoëfficiënt. f() = f() = 0 P D f() = Q D f = D d ( ) d n n n- = met n Œ N \ {0, } Voor mchtsfuncties met mcht groter dn of gelijk n twee is de helling niet lnger constnt. Het is niet meer mogelijk om op de grfiek de richtingscoëfficiënt vn de rklijn voor elke f te lezen. Drom gebruiken we voor deze rekenregel een lgebrïsch bewijs. Copright

22 Afgeleiden vn veeltermfuncties Bewijs Stel f: n. We berekenen eerst het differentiequotiënt: n D f D = - - = n ( ) n- n- n-3 n ( - ) n Œ N \ {0, } (zie opdrcht 3) = n n + n n π Wnneer Æ zl n - + n n - Æ Hieruit volgt: d ( ) d n = n n- Verwerking n- n- n- ntermen = n n -. Bepl een vergelijking vn de rklijn t n de grfiek vn f: in het punt P(, f()). 5 Bepl de coördint vn de punten op de grfiek vn de functie f: 3 wr de rklijn evenwijdig is met de rechte = 0. Studiewijzer: fgeleide functie We kennen het voorschrift vn de fgeleide functie vn f: n We kunnen instp e reeks e reeks 3 e reeks de fgeleide functie vn f: n berekenen en gebruiken in toepssingen de hellinggrfiek vn een functie 0 50 beplen en interpreteren Copright 5 7

23 .3 Afgeleiden vn veeltermfuncties.3 Afgeleiden vn veeltermfuncties.3. Rekenen met functies Rekenen met functies Definities Gegeven twee functies f : f () en f : f (). De somfunctie f + f vn f en f definiëren we ls f + f : (f + f )() = f () + f () Met ndere woorden: het voorschrift vn de somfunctie is de som vn de voorschriften vn de deelfuncties. Op dezelfde mnier definiëren we de veelvoudfunctie: r f : (r f )() = r f () met r Œ R de productfunctie: f f : (f f )() = f () f () f f de quotiëntfunctie: : f f Voorbeeld Als f () = + en f () = + 3, dn is (f + f )() = ( f )() = + f + 3 f ( )= + ( ) = f ( ) f ( ) met f () π 0.3. Afgeleide vn veeltermfuncties Afgeleide vn veeltermfuncties Somregel Beschouw twee functies f en g. 8 Dn geldt: (f + g) = f + g d In de Leibniz-nottie: d f g df dg ( + ) = + d d In woorden: Copright de fgeleide vn een som is de som vn de fgeleiden

24 Afgeleiden vn veeltermfuncties Bewijs Gegeven twee functies f en g en hun fgeleiden f () en g () in een inwendig punt vn zowel het domein vn f ls het domein vn g. Dn geldt: D ( f+ g) ( f+ g)( ) ( f+ g)( ) = D f( ) + g( ) f( ) g( ) = definitie somfunctie ( f( ) f( )) + ( g( ) g( )) = f( ) f( ) g( ) g( ) = + Wnneer Æ zl f ( ) f ( ) Æ f () en g ( ) g ( ) Æ g (), zodt D ( f+ g) Æ f () + g (). D Hieruit volgt dt (f + g) () = f () + g (). Uitbreidingen Deze rekenregel kn uitgebreid worden (zie opdrcht 0) voor een som vn drie of meer termen: (f + g + h) = f + g + h (f + g + h + i) = f + g + h + i Bovendien kn gemkkelijk ngetoond worden dt (f - g) = f - g (zie opdrcht 0). Veelvoudregel Beschouw een functie f en een reëel getl r. Dn geldt: (r f) = r f d In de Leibniz-nottie: ( d r f ) = r df d In woorden: de fgeleide vn een veelvoud is het veelvoud vn de fgeleide Voor een bewijs Copright verwijzen we nr opdrcht 0. 9

25 .3 Afgeleiden vn veeltermfuncties Afgeleide vn veeltermfuncties Met de vorige twee rekenregels en de formules voor de fgeleiden vn bsisfuncties kunnen we vnf nu, zonder nog lnger gebruik te mken vn differentiequotiënten, de fgeleide vn een veeltermfunctie meteen berekenen. Voorbeeld d d d d ( ) = ( 3 ) ( 5) + ( 3) somregel d d d d d d d d d = 3 ( ) 5 ( ) + ( 3) veelvoudregel d = bsisfuncties Verwerking Bereken. = 5 d d ( 3+ 5 ) d + 5 d 3 d ( ) d d d 3 7 Gegeven is de functie met voorschrift f() = +. Bepl het punt P wr de rklijn t n de grfiek vn f evenwijdig is met de rechte met vergelijking =. Bepl een vergelijking vn t. 8 De rklijn t n de grfiek vn de functie f : gt door de oorsprong. Bepl de coördint vn het rkpunt P. 30 Copright

26 Afgeleiden vn veeltermfuncties.3.3 Hogere fgeleiden Instp 9 Gegeven is de functie met voorschrift f() = Bereken d [( d f )]. Bereken d d [( d d f )]. Hogere fgeleiden Definitie De n-de fgeleide vn een functie f is de functie die ontstt door f n keer f te leiden. We noteren deze functie ls f (n) of d n f n d. In smbolen: n d f d n = d d d df d d d d... n keer fleiden Voor de eerste en tweede fgeleide wordt ook de nottie f en f gebruikt. Voorbeelden d d 3 ( 3 + 5) = ( ) = d d Is f() = , dn zijn de voorschriften vn de opeenvolgende fgeleiden: f () = f () = - 0 f (3) () = f () () = 0 f (5) () = 0... Copright 3

27 .3 Afgeleiden vn veeltermfuncties Verwerking 0 Bereken. d 3 d d d 3 n n ( 5+ ) ( n ) Studiewijzer: fgeleiden vn veeltermfuncties We kennen de formules voor de fgeleide vn een som en vn een veelvoud de betekenis en nottie vn hogere fgeleiden We kunnen instp e reeks e reeks 3 e reeks de fgeleide vn veeltermfuncties berekenen en gebruiken in toepssingen hogere fgeleiden berekenen Copright

28 Afgeleiden vn veeltermfuncties. E nkele toepssingen op fgeleiden.. Hoek tussen twee snijdende krommen Instp Gegeven is de functie f :. Bepl de scherpe hoek, in zestigdelige grden, tussen de -s en de rklijn n de grfiek vn f in het punt P(, 0). Hoek tussen twee snijdende krommen We definiëren de hoek tussen twee krommen in een snijpunt P ls de scherpe of rechte hoek tussen de rklijnen n beide krommen in dt punt. = f() P = g() 0 In een orthonorml ssenstelsel geldt voor de hoek (positief of negtief) tussen een rechte r met richtingscoëfficiënt m en een horizontle rechte: tn = m 0 + = m + q m = tn Copright 33

29 . Enkele toepssingen op fgeleiden Voorbeeld Bepl de hoek tussen de grfieken vn de functies met voorschrift f() = en g() = - in hun snijpunten. Oplossing We zoeken eerst de snijpunten vn de grfieken. f( ) = g( ) 3 + = 0 ( ) + ( ) = 0 ( ) ( + ) = 0 = Het punt P(, ) is het enige snijpunt. De fgeleide functies zijn: f () = en g () = -. In P is f () =. Dit is de richtingscoëfficiënt vn de rklijn n de grfiek vn f in P. = g() Stel de hoek die deze rklijn mkt met een horizontle, dn geldt: tn =. Bijgevolg is = 5. Uit g () = - volgt dt de rklijn in P n 0 3 de grfiek vn g met een horizontle een hoek mkt wrvoor geldt: tn = -. = f() Druit volgt dt = -3 '''. We vinden ls hoek tussen beide rklijnen: - = 08 '''. Dit is een stompe hoek. Beide grfieken snijden elkr bijgevolg onder een scherpe hoek vn = Verwerking Bepl de hoek, in zestigdelige grden, tussen de grfieken vn f en g in hun snijpunten. f() = - en g() = + f() = 3-9 en g() = Copright

30 Afgeleiden vn veeltermfuncties 3 Toon n dt de prbool met vergelijking = en de rechte met vergelijking = + 9 elkr loodrecht snijden. Bepl k zodt de prbolen met vergelijking = - en = k + elkr loodrecht snijden... Rkende krommen Rkende krommen Definitie Twee krommen rken elkr in een punt P ls en slechts ls ze in dt punt dezelfde rklijn hebben. De grfieken vn twee functies t f en g rken elkr in P( 0, 0 ) = f() rico t = f ( ls in 0 geldt: 0 ) = g ( 0 ) f( 0) = g( 0) f( 0 ) = g( 0 ) f ( 0) = g ( 0) Merk op dt de voorwrde f ( 0 ) = g ( 0 ) enkel bruikbr is in het gevl er een nietverticle rklijn is. 0 = g() Copright 35

31 . Enkele toepssingen op fgeleiden Toepssing Bepl de prmeters b en c opdt de prbool p = + b + c zou rken n de rechte r = in P(, ). Oplossing Het punt P(, ) ligt op de rechte en moet ook op de prbool liggen: = + b + c b + c = 0 () De rechte heeft ls richtingscoëfficiënt, dus moet in P(, ) ook voor de vergelijking vn de prbool gelden dt d = : d = d ( d + b + c ) = + b = b = - () = Uit () en () volgt: b = - en c =. p 3 De prbool heeft ls vergelijking = r - +. P 0 3 Verwerking 5 Toon n dt de grfieken vn de functies f : - 5 en g : elkr rken in de oorsprong. Onderzoek of de krommen met vergelijking = 3 en = elkr rken. 3 Copright

32 Afgeleiden vn veeltermfuncties..3 Snelheid en versnelling Instp 7 Een voorwerp beweegt op een rechte lijn. De positie (in meter) in functie vn de tijd t (in seconden) wordt gegeven door de formule (t) = 3 t3 + 5 t 0 t(s) De beweging duurt vn t = 0 s tot t = 5 s. 0 Bereken de gemiddelde snelheid in het tijdsintervl [, ]. Bereken de ogenblikkelijke snelheid voor t =. 3 Op welk(e) tijdstip(pen) is de snelheid gelijk n m/s? 0 (m) 8 De snelheid v (in m/s) vn een knonskogel, die op het tijdstip t = 0 s is fgeschoten, evolueert volgens de formule v(t) = 3t - t + 8. In het begin neemt de snelheid heel snel f, n een seconde of twee gebeurt dit trger. Wt is de gemiddelde verndering vn de snelheid in het tijdsintervl [0, ]? En in het intervl [, ]? 0 0 v(m/s) t(s) 0 Bereken de ogenblikkelijke verndering vn de snelheid voor t = s. We noemen dit ook de ogenblikkelijke versnelling. De eenheid is m/s². 3 Op welk(e) tijdstip(pen) is de versnelling gelijk n - m/s²? Snelheid en versnelling Snelheid Een rechtlijnige beweging kn beschreven worden m.b.v. een pltsfunctie of positiefunctie (t). Deze geeft de positie t.o.v. een bepld referentiepunt in functie vn de tijd t. Copright 37

33 . Enkele toepssingen op fgeleiden Beschouw een willekeurig tijdstip t 0. De gemiddelde snelheid v gem over een intervl [t 0, t] is gelijk n de gemiddelde verndering vn de positiefunctie over dit tijdsintervl: v gem = D D t De ogenblikkelijke snelheid op het tijdstip t 0 is de ogenblikkelijke verndering, dus de fgeleide vn de positiefunctie op t 0 : v(t 0 ) = d dt t De ogenblikkelijke snelheid op elk tijdstip is de fgeleide functie vn de positiefunctie: v(t) = d of v(t) = (t) dt We noemen v(t) de snelheidsfunctie. = t0 38 Versnelling Heeft een voorwerp, dt een rechtlijnige beweging uitvoert, een vernderlijke snelheid, gegeven door de snelheidsfunctie v(t), dn kn hieruit de versnelling op elk ogenblik berekend worden. Beschouw een willekeurig tijdstip t 0. De gemiddelde versnelling gem over een tijdsintervl [t 0, t] is gelijk n de gemiddelde verndering vn de snelheid over dit tijdsintervl: gem = D v D t De ogenblikkelijke versnelling op het tijdstip t 0 is de ogenblikkelijke verndering vn de snelheid, m..w. de fgeleide vn de snelheidsfunctie op het tijdstip t 0 : (t 0 ) = dv dt t De versnellingsfunctie (t) is de fgeleide vn de snelheidsfunctie en geeft op elk ogenblik t de ogenblikkelijke versnelling vn het voorwerp: (t) = dv dt = t0 of (t) = v (t) Is vn een voorwerp dt een rechtlijnige beweging uitvoert de positiefunctie (t) gegeven, dn is de versnellingsfunctie de tweede fgeleide vn die positiefunctie: (t) = d of (t) = (t) Copright dt

34 Afgeleiden vn veeltermfuncties Voorbeeld De positie vn een voorwerp wordt gegeven door (t) = t 3-9t + t met in meter en t in seconden. Gevrgd: Wt is de snelheid n 3 seconden? Wnneer stt het voorwerp stil? 3 Wnneer beweegt het voorwerp vooruit? Wt is de versnelling n seconden? Oplossing We berekenen eerst de snelheidsfunctie: v(t) = d dt = 3t - 8t +. Hieruit volgt: v(3) = d = = -3. dt t = 3 De snelheid n 3 seconden is 3 m/s. Het voorwerp beweegt in de negtieve zin, m..w. chteruit. Het voorwerp stt stil wnneer v(t) = 0: v(t) = 0 3t - 8t + = 0 t - t + 8 = 0 t = of t = N en seconden stt het voorwerp stil. 3 Het voorwerp beweegt vooruit wnneer v(t) > 0. Op de grfiek zien we dt dit het gevl is voor t < of t >. De versnellingsfunctie is (t) = dv dt = d dt (3t - 8t + ) = t - 8 Hieruit berekenen we dt () = - 8 = -. De versnelling n seconden is - m/s² (t) (t) Copright 0 5 v v(t) t t t 39

35 . Enkele toepssingen op fgeleiden Verwerking 9 Een vuurwerkpijl wordt verticl fgeschoten. De hoogte h (in m) in functie vn de tijd t (in s) wordt beschreven met het voorschrift h(t) = 0t - 5t. Bepl het voorschrift vn de snelheid v in functie vn t. Bepl de snelheid bij het fschieten vn de pijl. 3 Bepl de snelheid n seconden. De vuurwerkpijl ontploft op een hoogte vn 0 meter. N hoeveel seconden is dt? b Wt is de snelheid op dt moment? Studiewijzer: enkele toepssingen op fgeleiden We kunnen instp e reeks e reeks 3 e reeks de hoek tussen twee snijdende krommen berekenen en gebruiken in toepssingen ngn of krommen elkr rken en problemen met rkende krommen oplossen 5 73 de ogenblikkelijke snelheid en versnelling vn een voorwerp berekenen, evenls de snelheids- en versnellingsfunctie. fgeleiden gebruiken in de economie Copright

36 Afgeleiden vn veeltermfuncties Smenvtting Gemiddelde verndering, differentiequotiënt en gemiddelde helling De gemiddelde verndering vn een functie f over het intervl [, b] definiëren we ls verndering vn f over [, b] verndering vn over [, b] = D f D = f ( b )- f ( ) b- Een ndere benming voor D f is differentiequotiënt vn f over [, b]. D De gemiddelde verndering of het differentiequotiënt vn f over [, b] kn grfisch geïnterpreteerd worden ls de richtingscoëfficiënt vn de rechte door de punten P(, f()) en Q(b, f(b)): D f D = f ( b )- f ( ) = rico PQ b- smenvtting f(b) Q(b, f(b)) f(b) Q(b, f(b)) f() P(, f()) D D f f() P(, f()) + D f = rico PQ D f f b b Deze richtingscoëfficiënt is de gemiddelde helling vn de grfiek vn f over [, b]. Copright

37 smenvtting Smenvtting Ogenblikkelijke verndering en helling in een punt fgeleide Om de ogenblikkelijke verndering vn een functie f in t een inwendig punt vn het domein te berekenen, wordt Q 3 Q Q vlkbij het vste punt P(, f()) een vribel punt Q(, f()) D f gekozen, dt we steeds dichter P f() tot P lten nderen zonder dt het ooit met P smenvlt. D De rechte PQ ndert drbij steeds dichter tot een limietstnd t, die we de rklijn f n de grfiek vn f in P noemen. Als Q Æ P zl D f = rico PQ Æ rico t (op voorwrde dt t niet verticl is). D De ogenblikkelijke verndering vn f in is gelijk n de richtingscoëfficiënt vn de rklijn n de grfiek vn f in P(, f()). Deze wrde is ook te beschouwen ls de helling vn de grfiek vn f in P. De fgeleide vn f in, een inwendig punt vn het domein, is de richtingscoëfficiënt vn de rklijn t n de grfiek vn f in P(, f()), op voorwrde dt deze niet verticl is. We noteren de fgeleide vn f in ls f (). f() rico t = f () P In smbolen: f () = rico t t f De rklijn t in P n de grfiek vn f heeft richtingscoëfficiënt f () en bijgevolg geldt: t - f() = f () ( - ) Copright

38 Afgeleiden vn veeltermfuncties Stijgen en dlen in een punt We definiëren het stijgen en dlen in een punt ls volgt: f is stijgend in f () > 0 f is dlend in f () < 0 f is stijgend noch dlend in f () = 0 f ( ) = 0 f ( ) < 0 f ( 3 ) > 0 f 3 smenvtting Afgeleiden vn veeltermfuncties Afgeleiden vn enkele bsisfuncties d ( d c )= 0 met c een constnte d d ( )= d ( ) d n n n- = met n Œ N \ {0, } Rekenregels Somregel: (f + g) = f + g Veelvoudregel: (r f) = r f met r Œ R Afgeleide vn een veeltermfunctie Voorbeeld d d ( ) = = Copright 3

39 smenvtting Smenvtting Toepssingen De hoek tussen twee krommen in een snijpunt is gelijk n de scherpe of rechte hoek tussen de rklijnen n beide krommen in dt punt. In een orthonorml ssenstelsel geldt voor de hoek tussen een rechte r met richtingscoëfficiënt m en een horizontle rechte: tn = m 0 = f() P = g() Twee krommen rken elkr in een punt P ls en slechts ls ze in dt punt dezelfde rklijn hebben. De grfieken vn twee functies t f en g rken elkr in P( 0, 0 ) ls in 0 geldt: = f() rico t = f ( 0 ) = g ( 0 ) f( 0) = g( 0) f( 0 ) = g( 0 ) f ( 0) = g ( 0) = g() Merk op dt de voorwrde f ( 0 ) = g ( 0 ) enkel bruikbr is in het gevl er een nietverticle 0 rklijn is. Voert een voorwerp een rechtlijnige beweging uit, dn geldt voor de plts- of positiefunctie (t), de snelheidsfunctie v(t) en de versnellingsfunctie (t): v(t) = d dt = (t) (t) = dv dt = v (t) (t) = d dt = (t) Copright

40 Afgeleiden vn veeltermfuncties Opdrchten. Afgeleide in een punt EERSTE REEKS 30 De evolutie vn de huizenprijzen (in euro) is weergegeven in de grfiek. EVOLUTIE VAN DE VASTGOEDPRIJZEN 98-0 gemiddelde prijs ( ) Gewone huizenprijs e. Vills opdrchten Bron: FOD Economie - Kerncijfers vstgoed 0 Kies het juiste ntwoord en verklr met een berekening. De gemiddelde prijsstijging vn een gewoon huis tussen 00 en 0 ws ongeveer A euro per jr C euro per jr B euro per jr D euro per jr De gemiddelde prijsstijging vn een gewoon huis tussen 98 en 0 ws ongeveer A 5000 euro per jr C 7000 euro per jr B 000 euro per jr D 8000 euro per jr 3 Gegeven zijn de functies met voorschrift f() = + en g() = - 3. Bereken voor elk vn deze functies de gemiddelde verndering over het intervl [-, 5]. Wt stel je vst? Is dit ook zo voor ndere intervllen? Verklr. Copright 5

41 opdrchten Opdrchten 3 De tbel geeft een schtting vn de bevolking in Europ tussen 00 v.c. en 500 n.c. jr bevolking in miljoenen De bevolking nm geleidelijk toe, behlve tijdens twee periodes: tussen 00 en 700: ondergng vn het Romeinse Rijk, volksverhuizingen, oorlogen ten tijde vn de Merovingers tussen 300 en 00: in de zogenmde wnzinnige de eeuw: pest, 00-jrige oorlog Toon met een berekening n dt de bevolking gemiddeld toenm met mensen per jr tussen 700 en 000. Wt is de gemiddelde bevolkingstoenme per jr tussen 00 v.c. en 500 n.c.? 3 In welke periode dlde de bevolking het snelst? 33 Gegeven de grfieken vn de functies met voorschrift f() = en g() = +. Toon n dt de differentiequotiënten vn f en g over het intervl [-, ] gelijk zijn. Geef nog een intervl wrover f en g 0 gelijke differentiequotiënten hebben. = g() 3 Bereken de helling vn de grfiek vn f 8 in het punt P(,). Bereken de helling vn de grfiek vn g in het punt P(,). = f() 0 Copright

42 Afgeleiden vn veeltermfuncties 3 An de grfieken vn de functies zijn een ntl rklijnen getekend. Bepl telkens de gevrgde fgeleiden. f (-) b f () t = f() g (-) b g () c g () 0 t = g() t opdrchten 0 t 3 t 35 De grfiek vn een functie f is getekend. Rngschik vn klein nr groot: f (-) f () f (-) f () f (0) f () 0 = f() Copright 7

43 opdrchten Opdrchten 3 De grfieken vn de functies f en g zijn gegeven. Kies telkens het juiste ntwoord. = g() = f() f (-) < g (-) f (-) = g (-) f (-) > g (-) f (0) < g (0) f (0) = g (0) f (0) > g (0) 3 f () < g () f () = g () f () > g () f (8) < g (8) f (8) = g (8) f (8) > g (8) 37 Is de functie met voorschrift f() = stijgend, dlend of stijgend noch dlend in het punt P(-, )? Verklr met een berekening. 38 De grfiek toont de vlweg (in meter) vn een prchutist ls functie vn de tijd t (in seconden). De prchutist is uit de helikopter gesprongen op een hoogte vn 300 meter. Gedurende 0 seconden is de beweging versneld, mr dn wordt de snelheid constnt omwille vn de luchtweerstnd. Bij het openen vn de prchute neemt de luchtweerstnd plots toe, zodt de snelheid ineens fneemt. De prchutist vlt nu terug met een constnte snelheid, wrmee hij ook zl lnden. 8 Copright

44 Afgeleiden vn veeltermfuncties 3000 (m) t (s) opdrchten N hoeveel tijd opent de prchutist zijn vlscherm? Op welke hoogte bevindt de prchutist zich ls hij zijn vlscherm opent? 3 Welke constnte snelheid (in m/s en in km/h) heeft de prchutist tijdens de vrije vl? Met welke snelheid (in km/h) komt de prchutist op de grond terecht? TWEEDE REEKS 39 Als f() =, bepl dn lgebrïsch + b f (0) f (-) Als f() =, bepl dn lgebrïsch b f () f () Copright 9

45 opdrchten Opdrchten. Afgeleide functie EERSTE REEKS 0 Hiernst zie je de grfiek vn een functie f en dronder de grfiek vn hr fgeleide functie f. Bepl f (-) b f (0) c f () In het intervl ]-, [ is de fgeleide functie f strikt positief. Wt betekent dit voor de grfiek vn f? 3 In welk punt vn de grfiek vn f is de helling gelijk n? b In welk punt vn de grfiek vn f is de helling gelijk n -? = f() 0 0 = f () Welke grfieken horen bij welke hellingfuncties? 0 = f() = f() 0 50 Copright

46 Afgeleiden vn veeltermfuncties 3 = f() A 0 = f () 0 D 0 = f () = f() 0 opdrchten B = f () E = f () 0 0 C F = f () 0 = f () 0 Copright 5

47 opdrchten Opdrchten Is t de rklijn n de grfiek vn de functie met voorschrift f() = in het punt P(-,)? Is t de rklijn n de grfiek vn de functie met voorschrift f() = in het punt Q(,)? Verklr telkens met een berekening. f() = P 0 3 Q t t 3 Bepl d d ( 0 ) d d 5 ( ) d dt ( t 7 ) 5 d dr r ( ) r 3 d 5 ( ) d n = = 8 d ( d b ) =0 Welke grfiek hoort bij de gegeven voorwrden voor de fgeleide functie? f (0) = 0, f () < 0 en f (-) > 0 A f (0) = 0, f () < 0 en f (-) < 0 3 f (0) > 0, f () > 0 en f (-) = B = f() C 0 Copright 0 = f() D 0 = f() = f()

48 Afgeleiden vn veeltermfuncties 5 De hellinggrfiek vn een functie f is gegeven. Welke vn de onderstnde grfieken kn die vn f zijn? = f () 0 A = f() 0 C = f() 0 opdrchten B = f() D = f() 0 0 In welke punten heeft de grfiek vn de functie f : 3 ls helling? 3 ls helling -? ls helling? ls helling? 3 7 Bepl de coördint vn het punt P op de grfiek vn de functie f : wr de rklijn evenwijdig is met de rechte die de grfiek vn f snijdt in de punten met -coördint -3 en. TWEEDE REEKS 8 De rechte met vergelijking = + b is een rklijn n de grfiek vn de functie f :. Bepl b. Copright 53

49 opdrchten Opdrchten 9 De rechte t = - is een rklijn n de grfiek vn de functie met voorschrift f() =. Bepl. 50 De grfiek vn een functie f is gegeven. Welk is de grfiek vn hr hellingfunctie? = f() 0 8 A C = f () = f () 0 0 B D = f () 0 0 = f () 5 Bepl een vergelijking vn de rklijn t n de grfiek vn de functie met voorschrift f() = in het punt P(, ). Bepl de coördint vn het snijpunt S vn t met de -s. 3 Bepl de coördint vn het snijpunt T vn t met de -s. 5 Leid uit de vorige resultten een constructie f vn de rklijn n de prbool met vergelijking = in een willekeurig punt. Copright

50 Afgeleiden vn veeltermfuncties.3 Afgeleiden vn veeltermfuncties EERSTE REEKS 5 Bereken d + d d + d d 3 + d ( ) 8 d d 5 d 3 + d d b c d ( + + ) d ( b) d d 3 + d 3 d ( ) d d t 3 u + + d 3 opdrchten 53 Gegeven de functie met voorschrift f() = Bereken f () f (-) 3 f (0) 5 Gegeven de functie met voorschrift f() = Bepl ls f () = -5 f () = 7 3 f () = 0 Copright 55

51 opdrchten Opdrchten 55 De grfieken vn de functie met voorschrift f() = en hr fgeleide functie f zijn getekend. Bepl het voorschrift vn f. Voor welke wrden vn heeft de grfiek vn f een horizontle rklijn? 3 Voor welke wrden vn heeft de grfiek vn f een strikt positieve helling? Voor welke wrde vn heeft de grfiek vn f de grootste helling? f() = = f () 0 5 Bepl een vergelijking vn de rklijn t n de grfiek vn f in het punt P. f : in P(, f()) f : 5 in P(-, f(-)) 57 Gegeven de functie met voorschrift f() = -. In welk punt vn de grfiek vn f is de rklijn evenwijdig met de -s? In welk punt vn de grfiek vn f is de rklijn evenwijdig met de rechte =? 3 In welk punt vn de grfiek vn f is de rklijn evenwijdig met de rechte = - + 3? 58 Vn de functie met voorschrift f() = + b + is gegeven dt f() = en f () = -3. Bepl en b. 5 Copright

52 Afgeleiden vn veeltermfuncties 59 t en t zijn de rklijnen n de grfiek vn de functie met voorschrift 3 f() = + + in de punten 3 P(, f()) en Q(b, f(b)). Bepl en b ls je weet dt t en t evenwijdig zijn met de rechte met vergelijking = -5. P(, f()) t t = f() b Q(b, f(b)) = -5 opdrchten 0 Toon n dt ( f+ g+ h+...) = f + g + h +... n termen (f - g) = f - g 3 (r f) = r f n termen TWEEDE REEKS De rechte met vergelijking = + b is een rklijn n de grfiek vn de functie met voorschrift f() = - 3. Bepl b. De rechte met vergelijking = - is een rklijn n de grfiek vn de functie f : +. Bepl. 3 Gegeven is de prbool p = + b + c. Toon n dt de rechte AB, met A(m, f(m)) en B(n, f(n)), evenwijdig is met de rklijn t in het punt C m + n m+ n f, vn p. Wt is de kleinste helling vn de grfiek vn de functie met voorschrift f() = ? Copright 57

53 opdrchten Opdrchten. E nkele toepssingen op fgeleiden EERSTE REEKS 5 Bepl de hoek tussen de grfieken vn f en g in hun snijpunten. f : - g : 3 + f : g : De rechte met vergelijking = en de prbool met vergelijking = - + k rken elkr. Bepl k. 7 Pllieter stt boven op de IJzertoren, die 8 m hoog is, en gooit een steen net over de rnd vn de muur verticl nr boven, zodt deze rkelings lngs die muur tot heleml beneden vlt, zols op de figuur ngegeven. Stellen we t = 0 op het ogenblik dt hij de steen loslt, dn kn de hoogte h (in m) goed benderd worden door h(t) = 8 + 3t - 5t met t in seconden. Bereken de snelheid vn de steen n seconden. Met welke snelheid rkt de steen de grond? 8 Je lt een steen vn een toren vllen. De hoogte h vn de steen (in m) n t seconden wordt beschreven door het voorschrift h(t) = -,9t Hoe hoog is de toren? Bepl de snelheid n seconden. 3 Met welke snelheid komt de steen op de grond terecht? Verklr met een berekening wrom de versnelling op elk moment dezelfde is. 58 Copright

54 Afgeleiden vn veeltermfuncties TWEEDE REEKS 9 De norml in een punt vn een kromme is de rechte die loodrecht stt op de rklijn in dt punt n de kromme. Bepl een vergelijking vn de norml n in het punt P(-, f(-)) vn de grfiek 70 vn f : +. Gegeven de rechte r = en de functie f : 3 -. Toon n dt r een rklijn is n de grfiek vn f en bepl de coördint vn het rkpunt T. Bepl een vergelijking vn de norml n in T. opdrchten 7 Omdt de mn een kleinere mss heeft dn de rde, vl je op de mn zchter dn op rde. De functie met voorschrift = 0,85t geeft bij bendering het verbnd tussen de vlweg (in m) en de vltijd t (in s) op de mn. Op rde is dt verbnd bij bendering =,9t. Een ruimtevrder lt vn 00 meter hoogte een mnsteen vllen. N hoeveel seconden ploft die neer op de mn? b Met welke snelheid gebeurt dit? Met welke snelheid vlt een steen, die vn een 0 meter hoge toren op rde vlt, op de grond? 3 Hoe hoog moet een toren op de mn zijn opdt een steen, die vn deze toren vlt, met dezelfde snelheid zou neerkomen ls die steen die vn de 0 meter hoge toren op rde neervlt? 7 Bepl k zodt de grfiek vn de functie met voorschrift f() = + k de -s onder een hoek vn 5 snijdt. 73 De grfieken vn de functies f en g rken elkr. Bepl m. f : + m + en g : m f : m en g : Copright 59

55 opdrchten Opdrchten 7 Bepl k zodnig dt de grfieken vn de functies f : k - 3 en g : 8 + elkr loodrecht snijden. 75 Een firm produceert potloden. De totle kosten (in ) om keer 000 potloden te produceren, zijn gelijk n K() = De potloden worden verkocht n 5 per 000 stuks zodt O() = 5 de omzetfunctie is. In deze opdrcht vergelijken we de verndering vn de kosten, vn de = K() 500 omzet en vn de winst bij een productie vn 000 en vn 7000 eenheden. De verndering vn de kosten bij een beplde productie is gelijk 000 n de fgeleide vn de = O() kostenfunctie. We noemen deze verndering de mrginle kosten. Bepl de mrginle 500 kostenfunctie K (). Bereken K () en K (7). Wt betekent dit voor de toenme vn de kosten bij een productie vn 000 t.o.v. die bij een productie vn 7000 eenheden? = W() De verndering vn de omzet bij een beplde productie is gelijk n de fgeleide vn de omzetfunctie. We noemen deze verndering de mrginle omzet. Bepl de mrginle omzetfunctie O (). De verndering vn de winst bij een beplde productie is gelijk n de fgeleide vn de winstfunctie. We noemen deze verndering de mrginle winst. Bepl de winstfunctie W() en de mrginle winstfunctie W (). 5 Bereken W() en W (). Hoe kun je deze flezen op de grfiek? Bereken W(7) en W (7). Hoe kun je deze flezen op de grfiek? 0 Copright

56 Afgeleiden vn veeltermfuncties Herhlingsopdrchten Studiewijzer e reeks e reeks 3 e reeks De hellinggrfiek vn een functie f is gegeven. Kies het juiste ntwoord. De grfiek vn f heeft een horizontle rklijn A voor = - B voor = 0 C voor = Voor = 3 is de grfiek vn f A stijgend 0 = f () herhlingsopdrchten B dlend C stijgend noch dlend 3 Voor = 5 is de grfiek vn f A stijgend B dlend C stijgend noch dlend 77 Het volume wter V (in l) in een tnk, t minuten vnf het moment dt het leeglopen strt, wordt beschreven door de formule V(t) = t + 00t. Bepl de gemiddelde snelheid wrmee het wter uit de tnk stroomt tijdens de eerste 0 minuten. Wt is de ogenblikkelijke snelheid wrmee het wter uit de tnk stroomt n 0 minuten? 3 N hoeveel minuten is de tnk leeg? 78 Bepl de hoek tussen de grfieken vn f : 3 - en g : 3 in hun snijpunten. Copright

57 herhlingsopdrchten Herhlingsopdrchten 79 Welke grfieken horen bij welke hellingfuncties? 3 = f() 0 = f() 0 = f() 0 A C E = f () 0 0 = f () = f () 0 B D F = f () 0 0 = f () = f () 0 80 Bepl de -coördinten vn de punten vn de grfiek vn de functie met voorschrift f() = wr de helling gelijk is n. 8 Voor welke wrde(n) vn heeft de functie met voorschrift f() = c een horizontle rklijn? Bepl c ls de -s een rklijn is vn de grfiek vn f. 8 Bepl vergelijkingen vn de rklijnen t en t n de grfiek vn de functie met voorschrift f() = - + die door het punt P(3, -) gn. 83 De grfieken vn de functies f : + + b en g : 3 + c rken elkr in het punt P(-, ). Bepl, b en c. Copright

58 Afgeleiden vn veeltermfuncties 8 De fgelegde weg (in km) vn een uto op de snelweg kn beschreven worden door het voorschrift (t) = -0t 3 + 0t. Hierbij is de tijd t uitgedrukt in uur. De rit duurt uur zodt 0 t. Wt is de gemiddelde snelheid vn de uto gedurende deze rit? Bepl het voorschrift vn de snelheid v in functie vn de tijd (in km/h). 3 Hoe groot is de ogenblikkelijke snelheid n uur? Toon n dt de uto de mimumsnelheid vn 0 km/h nooit overschrijdt. 85 Een niet horizontle rechte gt door het punt P(, ) en heeft een rkpunt met de prbool met vergelijking = Hoeveel bedrgt de helling vn deze rklijn? A 0 B C 8 D (bron toeltingsproef geneeskunde) herhlingsopdrchten Copright 3

59 hersenbrekers Hersenbrekers Hersenbrekers Drie kubussen worden gevormd op bsis vn de ontvouwing hiernst. Vervolgens worden ze op een tfel de ene bovenop de ndere geschikt, zodnig dt de 3 zichtbre getllen de grootst mogelijke som hebben. Wt is deze som? 3 8 A 59 B C D 7 E 89 Meneer Jnsen vertrekt elke ochtend om 8u stipt nr zijn werk met de uto. Als hij (constnt) 0 km/h rijdt, is hij drie minuten te lt op zijn werk. Als hij 0 km/h rijdt, is hij drie minuten te vroeg op zijn werk. Hoe snel moet hij rijden om precies op tijd te komen? (bron Nederlndse Wiskunde Olmpide 009) 3 De grfiek vn de functie f zie je hieronder. (, ) (, ) O(0, 0) 0 ( 7, ) (5, ) Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking f(f()) =? A B C 5 D E 7 Copright