Antwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck

Transcriptie

1 Antwoorden Doeboek 1 Kijk op kegelsneden Rob vn der Wll en Liesbeth de Clerk 1 De 3 4 ) 5 Een 6 Als 7 8 ) 9 De Nee, lle punten die 1 entimeter vn het midden liggen, liggen op de irkel. gevrgde figuur bestt uit de lijn L die zih oneindig lng vn links nr rehts uitstrekt, zodnig dt AB loodreht op L stt, terwijl het midden S vn AB op L ligt. Hier zijn en b twee lijnstukken, elk evenlng ls AB en ieder liggend op fstnd vn AB, met drbij de hlve irkels e en f htereenvolgens met middelpunten A en B, elk met strl. De fstnd tot O vn elk punt binnen een irkel met strl r, is kleiner dn r. b) Elk punt buiten zo n irkel heeft tot O een fstnd groter dn r. rehte lijn snijdt een irkel in nul, in één of in twee punten. de punises steeds dihter bij elkr stn,zl de bijbehorende ellips steeds meer gn lijken op een irkel. Als ze uiteindelijk smenvllen is zo n ellips een irkel geworden. In het lgemeen zie je een ellips. Er zijn twee bizondere gevllen. Als je loodreht vn boven in de fles kijkt die op tfel stt, dn zie je een irkel. Als je tegen de zijknt vn de fles kijkt,met je oog in hetzelfde vlk ls het wteroppervlk, dn zie je een lijnstuk. Als de fles of mok vn boven diht is, terwijl lles doorzihtig is, en je de fles sheef houdt, g dn zelf n wt je ziet! De punten en blijven op hun plts, het punt loopt nr boven en het punt B 1 loopt nr beneden tot het moment wrop B 1 evenlng is ls. Het midden vn B 1 is steeds het punt O. Uiteindelijk gt de ellips over in een irkel met strl.,, B 1 en liggen dn op die irkel. b) De ellips plt vn boven en vn onderen steeds verder f totdt de ellips uiteindelijk smenvlt met ; dit ltste is het gevl voor =. punten en liggen op de ellips. Er geldt: + = ( + ) + ( - ) = = ( - ) + ( + ) = +. Hierbij is de fstnd vn O tot ( is ook de fstnd vn O tot ). De onstnte wrvn sprke is in de tekst voor Afbeelding 5, is dus gelijk n. Als we de punten wrin de twee irkels elkr snijden B 1 en noemen, dn geldt B 1 + B 1 = + = +. Hieruit blijkt dt B 1 en op de ellips liggen, omdt ze elk zo n P zijn zols in de tekst voor Afbeelding 5. e A S A B b B L f 10 Zet de psserpunt in en onstrueer de irkel die ls strl X heeft. Doe hetzelfde ten opzihte vn met X. De irkels snijden elkr in twee punten; noem ze C en D. Om n te tonen dt C op de ellips ligt, moeten we lten zien dt C + C = = + = + geldt. (Zie ook de oplossing vn opgve 9.) Welnu, C = X en C = X is gegeven. Dus, ls we met x de lengte vn OX ngeven, vinden we: C + C = A1X + XA = ( + x) + ( - x) =, wruit volgt dt C op de ellips ligt. Hetzelfde geldt voor D; merk op dt D = C en dt D = C. Om de punten E en G te vinden herhlen we de onstrutie met ditml ls middelpunt vn de irkel met strt X en drn met ls middelpunt vn de irkel met strt X. Noem de gevonden snijpunten E en G. Omdt E + E = X + X = G + G = ( - x) + ( + x) =, volgt dt E en G op de ellips liggen. 1

2 11 We geven de onstrutie shetsmtig n. Construeer een lijn. Mrkeer drop een punt K. Construeer de punten L en M op die lijn zó, dt KL = P en LM = P. Construeer het midden X vn KM en het midden O vn. Construeer het punt op het verlengde vn O en het punt op het verlengde vn O zó, dt O = XM = O. De lijn door de gevrgde punten B 1 en stt loodreht op ; die lijnen snijden elkr in O. Bedenk nu dt vnwege de definitie vn ellips + = + = + = geldt en dt = = B 1 = B 1 = geldt; verder is gelijk n XM. Cirkel nu dus twee irkels om met ls middelpunten en en ieder met strl XM (= ). De snijpunten zijn B 1 en. 1 A A = F P + PF = 8; B B is twee keer zolng ls OB. Merk op dt F B = B F = = OA = OA = 14 (in de terminologie vn Afbeelding 5). Ps de stelling vn Pythgors toe op de driehoek O. Er volgt dt O = (14-7 ), wt hetzelfde is ls 7( 3). Dus B 1 is 14( 3). 13 F P + PF = (F P + P P) + PF = F P + (P P + PF ), hetgeen groter is dn F P + P F P + P = ( P + PP ) +P = P + (PP + P ), hetgeen groter is dn P + P. 14 Opgepst! We moeten nmelijk nnemen dt de boer het knl niet kn oversteken (vergelijk deze opmerking met de oplossing m vn opgve 15). De boer moet wt voorbereidende werkzmheden doen. Met een lint dt hij strk trekt vn punt P lngs het punt B C l α boer de lijn m door B loodreht op l. Het snijpunt vn l en m heet αα S. Hij pst dn de fstnd vn BS f op m n de ndere knt vn R C de lijn l. Het gevonden punt heet B. De boer verbindt B met P B beplt de boer het punt R. Met behulp vn psser en linil plt hij de hoek f bij R die evengroot is ls de hoek BRU (U is het punt S B rehts n het knl), en trekt ldus de lijn l. Nu onstrueert de P U knl (bv. door middel vn een strkgetrokken lint). Het snijpunt vn B P met l heet C. Merk nu op dt hoek B RS = hoek SRB = hoek BRU. Hij onstrueert nu door C een (kort) lijnstuk loodreht op RP en verlengt dt lijnstuk tot het bij het knl komt, lwr hij punt C mrkeert. Hiermee zijn de voorbereidingen voltooid. De trjekt vn de weg vn B nr C smen met die vn C nr P geeft je de gevrgde kortste weg. In de figuur bij de oplossing vn opgve 15 zie je, wrom bovenstnde onstrutie werkt. 15 Construeer de lijn door F die loodreht op de lijn L stt. Het snijpunt vn L met die lijn heet T. Op het verlengde vn T wordt n de ndere knt vn L het punt U geonstrueerd zo, dt TU = T. Trek de lijn die door U en gt. Het snijpunt vn die lijn met L is het gevrgde punt P. Immers, voor elk nder punt op L geldt, dt + = + U groter is dn U = P + PU = P + P ; hierbij is gebruik gemkt vn de driehoeksongelijkheid voor de driehoek U. De onstrutie in de oplossing vn opgve 14 is nu niet lstig meer te begrijpen; zie de FIGUREN Een rehte lijn heeft met een ellips nul, één of twee punten gemeenshppelijk. Gebruik de resultten vn de opgven 13 en 15. Er werd ngetoond dt het (rk)punt R wr de lijn L n de ellips rkt, de eigenshp R + R U + U heeft voor elk nder punt U op de lijn L. Het punt R is dn niets nders dn het punt P uit opgve 15. En dus geldt P + P = in de terminologie uit het begin vn het tweede hoofstuk, zols we inmiddels elders ook l eerder zgen. Zie de onstrutie uitgevoerd in opgve 15; gebruik de oplossing vn opgve 17. P U L

3 19 Met behulp vn psser en linil delen we de hoek P middendoor en trekken we de deellijn PV, (deellijn is hetzelfde ls bissetrie) met punt V op (dus hoek PV = hoek PV ). Construeer de lijn L door P die loodreht op PV stt. De lijn L rkt in P n de ellips zols ls volgt vlt in te zien: Construeer de lijn M door die loodreht op L stt. Het snijpunt vn L en m heet D. Met E geven we het snijpunt vn m en de lijn door en P n. Er geldt hoek EPB = (90 grden - hoek PV) = (90 grden - hoek VP ) = hoek PB. En dn volgt, hoek PED = (90 grden - hoek EPD) = (90 grden - hoek PB) = hoek P B. Dus de driehoeken EPD en PD zijn ongruent (populir gezegd: gelijk bij uitknippen). Dus, D = DE. We bevinden ons nu in de oplossingen vn de opgven 15, 17 en 18. En drom is L de rklijn in P n de ellips. 0 Construeer het spiegelpunt S vn het punt ten opzihte vn de gegeven rklijn. Het snijpunt vn die rklijn met de lijn door S en heet P. In de vorige opgven zgen we l dt P het rkpunt vn de gegeven lijn n de ellips is. Ook weten we l dt dn P + P = = (twee keer de lengte vn O ) = (twee keer de lengte vn O ). Zo ligt de positie vn (en die vn ) vst. Het midden vn heet O en is te onstrueren. Construeer nu de lijn door O die loodreht op de lnge s stt. Construeer een punt op die lijn zodnig, dt de fstnd vn tot dt punt gelijk is n de helft vn de som der fstnden P en P. Er zijn twee vn dergelijke punten; het zijn de gezohte punten B 1 en. F1P + (PP + PF), hetgeen groter is dn F1P + PF. 1 Construeer de lijn die door F gt en tevens loodreht stt op de gegeven lijn. Construeer de irkel met middelpunt en met strl. Die irkel snijdt de geonstrueerde lijn in twee punten C 1 en C. Beshouw het midden M vn C 1. Construeer de lijn die door M gt en tevens loodreht stt op C 1. Die lijn is één vn de twee gevrgde rklijnen evenwijdig n de gegeven lijn in Afbeelding 15. Evenzo levert zo n onstrutie vi C de ndere gevrgde rklijn. Dt één en nder zo werkt, volgt uit de oplossingen vn de opgven 15 t/m 0. Bedoeld is hier eerst een lijnstuk te mken dt net zo lng is ls O, om vervolgens een psser-linilonstrutie te doen voor een punt P op de ellips (met P + P = ). We dienen drtoe eerst een lijnstukje met lengte 1 f te spreken. Uit gelijkvormigheidseigenshppen voor driehoeken volgt dn de onstrutie vn een lijnstuk met lengte O. In de figuur is met de lengte vn O bedoeld. Doe de onstrutie vn zelf. Vervolgens is de onstrutie vn zo n punt P op de ellips gemkkelijk te doen Er zijn posities vn het vlk wrbij de doorsnede telkens een tweetl evenwijdige lijnen is, er zijn posities vn het vlk wrbij dt vlk de ilinder rkt (de doorsnede is dn een lijn), er zijn posities vn het vlk wrbij de doorsnede telkens een irkel is, mr meestl zien we een niet-irkelvormige ellips. Zie Afbeelding 16 en rdpleeg opgve 7. De fstnd vn O tot het rkpunt n de bol dt ligt op de beshrijvende lijn door O, hngt niet f vn de keuze vn zo n beshrijvende lijn. Leg in Afbeelding 17 de kegel op zijn knt en je ziet meteen door te rollen dt elke rehte lijn op die kegelwnd door de top gt. Een mehnishe verklring is voldoende. Beshouw de ilinder ls een holle pijp met shuin erdoorheen het vlk V. Shuif vn boven een bol door de pijp wrbij de gekozen bol de pijpwnd overl rondom rkt. Op zeker moment rkt die bol het vlk V, en wel preies in één punt. Idem voor zo n bol vn onderen. 7 D 1 D = D 1 P + PD ; met D P = P en D 1 P = P volgt dus dt D 1 D = P + P. Lt nu het lijnstuk D 1 D telkens evenwijdig rond de ilinder lopen wrbij D lngs de in Afbeelding 0 getekende irkel loopt. We zien dt P + P kennelijk niet fhngt vn de positie vn D op de bovenste irkel (en drn gekoppeld de positie vn D 1 op de onderste irkel. Dus de doorsnijdingsfiguur vn het vlk met de ilinder voldoet n de definitie vn het begrip ellips die in het begin vn het tweede hoofdstuk stt. Om de nwijzing te kunnen verklren vlt eerst op te merken dt en M 1 M elkr snijden. De rest vn de verklring vn de nwijzing wordt verder n de lezer overgelten. 8 In Afbeelding 1 zien we htereenvolgens een ellips, een prbool, een hyperbool. Als het vlk V door de top vn de kegel gt, dn is de doorsnede een punt, een beshrijvende lijn, of een tweetl elkr in de top snijdende (beshrijvende) lijnen. 1 x x 3

4 9 Voor de oplossing vn deze opgve wordt verwezen nr de opgven 3 en 7. Voor een gedetilleerd bewijs, zie in het bijzonder bldzijde 50 vn het boek vn Vn Thijn en Kobus: Inleiding tot de meetkunde der kegelsneden ; dt is in Doeboek 1 verwijzing nummer 15. Dit volgt door toepssing vn de stelling vn Pythgors: 3 O Beide breuken zijn positief. 34 Vergelijking X-s is Y = 0; Vergelijking Y-s is X = Als eerder, de punten A en A zijn de uiteinden vn de lnge s vn de ellips 1 en beide liggen erop. Hieronder stt een nshouwelijke verklring vn de bewering + = = + F. Ps de stelling vn Pythgors toe op een pltje ls dit: 37 ( s, t) g h g h d h O Het kwdrt vn de fstnd vn het punt (-, 0) tot het punt (s,t) bedrgt (s - (-)) + (t - 0) ; dt vn (s, t) tot (, 0) bedrgt ( - s) + (0 - ) ; zie opgve 3. Dit verklrt de linkerknt vn formule (). De som vn die fstnden is, omdt (s, t) op de ellips ligt terwijl de lnge s tot lengte heeft. 38 Ook dit is eerder in de opgven ter sprke geweest. De fstnd vn het punt (0, b) tot is gelijk n de fstnd vn (0, b) tot ; de som vn die fstnden bedrgt, zie de vorige opgve. Hieruit volgt meteen het gestelde door de stelling vn Pythgors toe te pssen. Controleer zelf wt hier n de hnd is. (Bij de overgng vn stp 4 nr stp 3 wordt gebruik gemkt vn het feit dt we hier met een rehthoekig ssenstelsel werken. Ook het worteltrekken levert geen problemen op. G n wrom niet). In de eerste regel vn opgve 43 stt een som vn twee kwdrten. Uit de ltste regel vn die opgve blijkt dt de uitkomst gelijk is n nul. Welnu, een kwdrt is nooit een negtief getl ; voorts geldt dt ongelijk n nul is en dt b ongelijk n nul is. Kennelijk is dus elk vn die twee kwdrten gelijk n nul. Dus α - γ = 0 = β - δ. Het punt (u, v) ligt op de gegeven ellips. In de opgven 40 t/m 44 is ngetoond dt de lijn met vergelijking ux / + vy / b = 1 n de ellips rkt in (u, v). Dit gt net zo ls in opgve Het punt (s,t) is het snijpunt vn de lijnen L en L 1 opgve 45 ls n die in opgve (, 0) O (, 0) en dus voldoen de oordinten ervn zowel n de vergelijking in Omdt de vergelijking in deze opgve een rehte lijn voorstelt wrbij op grond vn de vorige opgven de oördinten vn elk vn de punten (u, v) en (e, f) n die vergelijking voldoen, is de onlusie nu duidelijk geworden. We moeten ntonen dt een punt (u, v) dt op de gegeven lijn ligt, lleen mr dn op de gegeven prbool kn liggen ls u = s en v = t vervuld is. Welnu, stel dt (u, v) op die lijn en op die prbool ligt. Dn geldt -pu + tv = ps en ook pu - v = 0. Gegeven is dt (s, t) op de prbool ligt, dus t = ps geldt ook; nders gezegd, -ps + t t = ps geldt. Dus (s, t) ligt op de gegeven lijn. We ombineren nu de drie gelijkheden -pu + tv = ps, pu - v = 0 en -ps + t = 0. En dus geldt t = ps = -pu + tv = -v + tv. Druit volgt 0 = t - tv + v = (t - v). Dus inderdd, v en t zijn hetzelfde. En druit volgt 0 = -ps + t = -pu + v = -pu + t. Dus geldt ps = pu, oftewel 0 = p(s - u). Vndr dt s gelijk is n u; immers, p is ongelijk n nul in de vergelijking Y = px vn die ehte prbool. 4

5 50 * Ook hier gn we ervn uit dt er een punt (u, v) is dt zowel op de gegeven lijn ls op de gegeven hyperbool ligt. We zullen lten zien dt u = s en v = t geldt, dus dt die lijn n de hyperbool rkt. Drtoe beshouwen we de drie gelijkheden u / - v / b = 1, su / - tv/b = 1 en s / - t / b = 1. We tellen het linker lid vn de eerste gelijkheid, het linker lid vn de derde gelijkheid en tweeml het linker lid vn de tweede gelijkheid bij elkr op; de uitkomst rehts bedrgt dn 4. Anders gezegd, (u + s) / - (v - t) / b = 4, of weer nders gezegd, ((u + s) / ) / - ((v + t) / ) / b = 1. Dus het punt ((u + s) /, (v + t) / ) ligt op de hyperbool. Stel eens dt het punt (u, v) niet hetzelfde punt is ls (s, t). Dn ligt het punt ((u + s) /, (v + t) / ) op de lijn die door de punten (u, v) en (s, t) gt; het is nmelijk het midden vn het lijnstuk dt begint in (u, v) en eindigt in (s, t). Let nu eens op het volgende: Minstens één der getllen s en t is niet gelijk n nul, wnt (s, t) ligt op de hyperbool. Stel bijvoorbeeld dt t ongelijk is n nul. Dn geldt sx / - 1 = ty / b, ofwel Y = b sx / t - b / t. Hierbij is door t gedeeld, hetgeen toegestn is omdt we t ongelijk n nul hdden verondersteld. De gegeven lijn heeft tenminste één snijpunt met de hyperbool gemeenshppelijk; stel, zo n snijpunt is (x, y) met x en y nder te beplen. De x-oordint vn zo n snijpunt voldoet dn blijkbr n de vergelijking X / - ((b sx / t - b / t) ) / b = 1; geef deze vergelijking ls verwijzingssymbool (A). Nu voldoet s n vergelijking (A) omdt (s, t) op de hyperbool en op de gegeven lijn ligt; ook u voldoet n vergelijking (A), immers (u, v) ligt op de hyperbool en op de gegeven lijn. We hebben hierboven gezien dt ook ((u + s) /, (v + t) / ) op de gegeven lijn op de hyperbool ligt. Ehter, vergelijking (A) stelt een tweedegrdsvergelijking (ook wel genmd vierkntsvergelijking) in de vernderlijke X voor, en die heeft hooguit twee oplossingen! (Denk n de b-formule.) En zo volgt nu, dt (u + s) / = u of dt (u + s) / = s; in elk vn beide mogelijkheden volgt u = s en vervolgens zien we dt uit s / - t / b = 1 = su / - tv / b = s / - tv / b volgt dt v gelijk is n t. Dit weerspreekt de nnme dt de punten (s, t) en (u, v) vershillend zouden zijn. Eenzelfde redenering met s ongelijk n nul (in plts vn t zijnde niet nul) leidt tot v = t, mitsgders u = s. Dus geldt blijkbr zonder meer dt (s, t) hetzelfde punt is ls (u, v), hetgeen wil zeggen dt de gegeven lijn in deze opgve n de hyperbool rkt. In de nu volgende oplossingen vn de opgven 51 t/m 61 wordt stilzwijgend gebruikt, dt er door vijf gegeven punten vn het pltte vlk hooguit één ellips gt. Voor een bewijs hiervn, zie prgrf 103 vn Shrek s boek Beginselen der nlytishe meetkunde ; zie referentie 1 op de bldzijde Verder Lezen in Doeboek 1. Beshouw Afbeelding 3 wrin we punt E lten smenvllen met punt A. De rklijn in A n de ellips wordt dr dn door toepssing vn de stelling vn Psl verkregen. Dus, β is het snijpunt vn AD en CF, γ het snijpunt vn BD en EC (= AC). Het punt α is het snijpunt vn de lijn door β en γ en de lijn door B en F. Trek de lijn door α en A ( = E). Die lijn is de gevrgde rklijn in A n de ellips. Lten A, B, C, D en E de vijf gegeven punten vn de ellips zijn. Trek een lijn m door B die door géén der punten A, C, D, en E gt en die niet n de ellips rkt; zoiets is ltijd te doen (g dit zelf n). Het snijpunt vn m met AE noemen we α. Het snijpunt vn BD en EC heet γ. Het snijpunt vn de lijn door α en γ met AD heet β. Het snijpunt vn de lijn door β en C met m is zo n gevrgd zesde punt, noem het F, dt op de ellips ligt. Immers, neem eens het snijpunt vn m met de ellips in gedhte, vershillend vn B. Noem het F. Dn liggen volgens de stelling vn Psl, het snijpunt vn BF en AE (dt is α!), het punt gmm en het snijpunt vn AD met CF op één lijn. Dt ltst genoemde (snij)punt is dus niets nders dn het vn de lijn door α en γ met AD ; het is drom gelijk n β. Hieruit volgt dt enerzijds het gevonden punt F zowel op m ls op de lijn door β en C ligt, en dt nderzijds F op m en de lijn door β en C ligt. Dus onderdd F = F, wrmee ngetoond is dt het punt F op de ellips ligt. Gebruik Afbeelding 33. De gegeven rklijnen zijn bv., b,, d en e. De snijpunten vn met b, vn b met, vn met d, en vn d met e, zijn htereenvolgens P, Q, R en S. Trek een willekeurige lijn m door R die PS snijdt; noem het snijpunt α. Noem het snijpunt vn m met U. Het snijpunt vn de lijn e met de door Q en α getrokken lijn heet T. De lijn door U en T is dn zo n gevrgde zesde rklijn. Vergelijk deze onlusie met de redenering zols in de oplossing vn opgve 5 is uiteengezet. Gegeven zijn de punten P, Q, R, S en T opgevt ls snijpunten vn de gegeven lijnen en b, b en, en d, d en e, e en f, wrbij in Afbeelding 33 f smenvlt met. Trek door het snijpunt vn TQ met PS de lijn die door R gt. Dr, wr die lijn de lijn door P en T snijdt, bevindt zih het punt wr TP n de ellips rkt. Vergelijk ook deze onlusie met de redenering zols in de oplossingen vn de opgven 5 en 53 is uiteengezet. Gebruik Afbeelding 3, wrbij we punt E lten smenvllen met punt A. De lijn door A (= E) en C en de lijn door B en D snijden elkr in een punt γ. Kies een punt β op AD. Trek de lijn door β en γ. Dr. wr die lijn de gegeven rklijn (wr A op ligt) snijdt, vinden we hun snijpunt, te noemen α. Trek de lijn door α en B. Dr, wr die lijn en de lijn door β en C elkr snijden, vinden we hun snijpunt, te noemen F. Dt punt F is zo n gevrgd vijfde punt op de ellips. Vergelijk deze oplossingsmethode met die vn de oplossing vn opgve 5. Gebruik Afbeelding 3, wrbij punt E smenvlt met punt A en wrbij punt F smenvlt met punt B. Het snijpunt vn de lijn door B (= F) en D met de lijn door E (= A) en C heet γ. Het snijpunt vn de lijn door C en F (= B) met de lijn door A en D heet β. De lijn door β en γ en de rklijn in A n de ellips snijden elkr in een punt, te noemen α. De lijn door α en B (= F) is de gevrgde rklijn in B n de ellips, zols nu duidelijk is. 5

6 Gebruik Afbeelding 33, wrbij de lijn en de lijn f smenvllen. Het punt U is dn het gegeven rkpunt A n de ellips. Kies een punt T op de lijn. Het snijpunt vn de lijn door A en R met de lijn door T en Q heet α. Trek de lijn door P en α. Het snijpunt vn die lijn met de lijn d heet S. De lijn door S en T is zo n gevrgde vijfde rklijn n de ellips. Om het rkpunt B vn b n die ellips te vinden, mken we gebruik vn opgve 54; immers vijf rklijnen n de ellips zijn nu bekend. Gebruik Afbeelding 33. De lijnen en f lten we smenvllen, evenls de lijnen b en. De rkpunten A en B n de ellips zijn dn niets nders dn de punten U en Q uit Afbeelding 33. Trek de lijn door A en R. Kies een punt S op de lijn d. Het snijpunt vn de lijn door P en S met de lijn door A en R heet α. Trek de lijn door B en α. Het snijpunt vn die lijn met de lijn heet T. De lijn door T en S is zo n gevrgde vierde rklijn n de ellips. Het snijpunt vn de lijnen met b noemen we K; dt vn de lijnen b met U, dt vn de lijnen met M. We trekken de lijn door A en U en de lijn door B en M; het snijpunt heet lf. Het snijpunt vn de lijn door K en lf met de lijn heet C. De lijn rkt n de ellips in het punt C; vergelijk met Afbeelding 33. Bekijk in Afbeelding 33 de rklijnen, b,, d en e n de ellips. Zij T zo n gegeven punt op rklijn e. We gn de ndere rklijn door T n de ellips onstrueren. Trek de lijn door T en Q en de lijn door P en S. Het snijpunt vn die twee lijnen heet lf. Trek de lijn door lf en R. Het snijpunt vn de lijn met de lijn door lf en R heet U. De lijn door T en U is de gevrgde ndere rklijn door T n de ellips. Deze opgve is zonder meer de lstigste vn Doeboek 1. De oplossing verloopt in twee stppen: Eerst wordt beshreven hoe met behulp vn de linil lleen,drie lijnen door het geven punt buiten de ellips geonstrueerd kunnen worden, zodnig, dt elk vn die lijnen de ellips in twee punten snijdt; die onstrutie wordt tevens zo uitgevoerd dt ook de zes bijbehorende snijpunten door deze onstrutie worden vstgelegd. Rdpleeg vervolgens Afbeelding 34 in Doeboek 1. Aldr is de lijn door δ en ε fgedrukt, wrbij δ het snijpunt is vn SV met UT en ε het snijpunt vn VW met UX. Op de ltste twee bldzijden vn het vierde hoofdstuk stt het bewijs fgedrukt dt die lijn de gevrgde poollijn vn het punt P ten opzihte vn de ellips is. Nu volgt de uitwerking vn de eerste stp. Lt vijf punten vn de ellips gegeven zijn. Met P geven we het gegeven punt buiten de ellips n. Voor twee vn de vijf gegeven punten (noem ze B en C) geldt met zekerheid dt de lijn door P en B en de lijn door P en C ieder niet rken n de ellips, terwijl ze bovendien vershillend vn elkr zijn. Met behulp vn een vrint op opgve 5 is het snijpunt vn de lijn door P en B met de ellips te onstrueren dt vn B vershilt; noem dt punt D. [Die vrint op opgve 5 luidt ls volgt: Gegeven vijf punten vn een ellips en een lijn door één vn die punten, niet rkende n die ellips en niet gnde door elk vn de overige vier gegeven punten. Construeer het tweede snijpunt vn die lijn met de ellips (voer die onstrutie zelf uit)]. En evenzo is op de lijn door P en C het punt E te onstrueren liggend op de ellips en vershillend vn C. Met het oog op een geshikt meetkundig pltje spreken we nu f dt D tussen P en B ligt en dt E tussen P en C ligt; zoiets kn zonder de lgemeenheid te shden ltijd worden bewerkstelligd door eventueel D en B vn rol te lten wisselen en evenzo E en C. Vn de oorspronkelijke gegeven vijf punten is er zeker één, noem het A, dt niet op de lijn door P en C ligt en ook niet op de lijn door P en B. Stel nu eens dt C en B niet n dezelfde knt vn de lijn door P en A liggen. Dn kn men weer onder het nroepen vn de vrint op opgve 5 het punt onstrueren dt zowel op de ellips ligt ls ook op de lijn door P en A, vershillend vn A; immers, in dit gevl rkt de lijn door P en A de ellips niet. Zo is hier dus de eerste stp vn de oplossing voltooid; drie lijnen gnde door P mitsgders de bijbehorende zes snijpunten met de ellips, zijn geonstrueerd met behulp vn de linil lleen. Dus stel vervolgens dt C en B wel n dezelfde knt vn de lijn door P en A liggen. Beshouw nu de vierhoek BDEC en denk n de gemkte fsprk over de ligging vn D en B en vn E en C. Omdt de punten B, D, E en C op de ellips liggen, moet A n dezelfde knt vn de lijn door D en E liggen ls wr de punten B en C zih bevinden; ook moet A n dezelfde knt vn de lijn door B en C liggen ls wr de punten E en D zih bevinden. Deze positiebepling vn A blijkt vn belng te zijn voor de positie vn een zeker punt F dt zo ddelijk zl worden bepld. C E F β α h P = γ D B A 6

7 Vernoem P tot γ. Trek een willekeurige hlflijn h vnuit P tussen de benen PC en PB. Trek de lijn door A en D; noem het snijpunt vn die lijn met h β. Het snijpunt vn de lijn door A en E met h heet α. Trek de lijn door α en B. Dr, wr die lijn de lijn door β en C snijdt, bevindt zih het betreffende punt F wr we onze ndht op rihten. Dt punt F ligt op de ellips, zols duidelijk is uit een onstrutiebeshrijving die sterk lijkt op die vn opgve 5. Uit de gemkte opmerking over de positie vn A volgt nu dt B en C niet n dezelfde knt vn de lijn door P en F liggen, vndr dt de lijn door P en F de ellips niet rkt. Bij deze beshouwing over de positie vn F doet het er ook niet toe of A wel of niet n dezelfde knt knt vn de lijn door P en B ligt ls wr de punten C en E zih bevinden (dit is hetzelfde ls te zeggen dt het er niet toe doet of A wel of niet n dezelfde knt vn de lijn door P en C ligt ls wr de punten B en D zih bevinden). Dus ook hier zijn nu drie lijnen gnde door P geonstrueerd, terwijl de bijbehorende zes snijpunten met de ellips lle geonstrueerd zijn met behulp vn de linil lleen. Het gt immers om de lijnen door P en B, door P en C, en door P en F ; het ndere snijpunt vn de lijn door P en F met de ellips kn nmelijk weer worden geonstrueerd met behulp vn de onstrutie zols beshreven in de oplossing vn opgve 5. Hiermee is de eerste stp geheel uitgevoerd; voor het vervolg zij dus verwezen nr het eind vn het vierde hoofdstuk in Doeboek 1; hierbij is Afbeelding 34 verkregen door de onstrutie zls beshreven in de eerste stp, te volgen. De benming der optredende punten in Afbeelding 34 is ngepst. 7