Antwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Antwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck"

Transcriptie

1 Antwoorden Doeboek 1 Kijk op kegelsneden Rob vn der Wll en Liesbeth de Clerk 1 De 3 4 ) 5 Een 6 Als 7 8 ) 9 De Nee, lle punten die 1 entimeter vn het midden liggen, liggen op de irkel. gevrgde figuur bestt uit de lijn L die zih oneindig lng vn links nr rehts uitstrekt, zodnig dt AB loodreht op L stt, terwijl het midden S vn AB op L ligt. Hier zijn en b twee lijnstukken, elk evenlng ls AB en ieder liggend op fstnd vn AB, met drbij de hlve irkels e en f htereenvolgens met middelpunten A en B, elk met strl. De fstnd tot O vn elk punt binnen een irkel met strl r, is kleiner dn r. b) Elk punt buiten zo n irkel heeft tot O een fstnd groter dn r. rehte lijn snijdt een irkel in nul, in één of in twee punten. de punises steeds dihter bij elkr stn,zl de bijbehorende ellips steeds meer gn lijken op een irkel. Als ze uiteindelijk smenvllen is zo n ellips een irkel geworden. In het lgemeen zie je een ellips. Er zijn twee bizondere gevllen. Als je loodreht vn boven in de fles kijkt die op tfel stt, dn zie je een irkel. Als je tegen de zijknt vn de fles kijkt,met je oog in hetzelfde vlk ls het wteroppervlk, dn zie je een lijnstuk. Als de fles of mok vn boven diht is, terwijl lles doorzihtig is, en je de fles sheef houdt, g dn zelf n wt je ziet! De punten en blijven op hun plts, het punt loopt nr boven en het punt B 1 loopt nr beneden tot het moment wrop B 1 evenlng is ls. Het midden vn B 1 is steeds het punt O. Uiteindelijk gt de ellips over in een irkel met strl.,, B 1 en liggen dn op die irkel. b) De ellips plt vn boven en vn onderen steeds verder f totdt de ellips uiteindelijk smenvlt met ; dit ltste is het gevl voor =. punten en liggen op de ellips. Er geldt: + = ( + ) + ( - ) = = ( - ) + ( + ) = +. Hierbij is de fstnd vn O tot ( is ook de fstnd vn O tot ). De onstnte wrvn sprke is in de tekst voor Afbeelding 5, is dus gelijk n. Als we de punten wrin de twee irkels elkr snijden B 1 en noemen, dn geldt B 1 + B 1 = + = +. Hieruit blijkt dt B 1 en op de ellips liggen, omdt ze elk zo n P zijn zols in de tekst voor Afbeelding 5. e A S A B b B L f 10 Zet de psserpunt in en onstrueer de irkel die ls strl X heeft. Doe hetzelfde ten opzihte vn met X. De irkels snijden elkr in twee punten; noem ze C en D. Om n te tonen dt C op de ellips ligt, moeten we lten zien dt C + C = = + = + geldt. (Zie ook de oplossing vn opgve 9.) Welnu, C = X en C = X is gegeven. Dus, ls we met x de lengte vn OX ngeven, vinden we: C + C = A1X + XA = ( + x) + ( - x) =, wruit volgt dt C op de ellips ligt. Hetzelfde geldt voor D; merk op dt D = C en dt D = C. Om de punten E en G te vinden herhlen we de onstrutie met ditml ls middelpunt vn de irkel met strt X en drn met ls middelpunt vn de irkel met strt X. Noem de gevonden snijpunten E en G. Omdt E + E = X + X = G + G = ( - x) + ( + x) =, volgt dt E en G op de ellips liggen. 1

2 11 We geven de onstrutie shetsmtig n. Construeer een lijn. Mrkeer drop een punt K. Construeer de punten L en M op die lijn zó, dt KL = P en LM = P. Construeer het midden X vn KM en het midden O vn. Construeer het punt op het verlengde vn O en het punt op het verlengde vn O zó, dt O = XM = O. De lijn door de gevrgde punten B 1 en stt loodreht op ; die lijnen snijden elkr in O. Bedenk nu dt vnwege de definitie vn ellips + = + = + = geldt en dt = = B 1 = B 1 = geldt; verder is gelijk n XM. Cirkel nu dus twee irkels om met ls middelpunten en en ieder met strl XM (= ). De snijpunten zijn B 1 en. 1 A A = F P + PF = 8; B B is twee keer zolng ls OB. Merk op dt F B = B F = = OA = OA = 14 (in de terminologie vn Afbeelding 5). Ps de stelling vn Pythgors toe op de driehoek O. Er volgt dt O = (14-7 ), wt hetzelfde is ls 7( 3). Dus B 1 is 14( 3). 13 F P + PF = (F P + P P) + PF = F P + (P P + PF ), hetgeen groter is dn F P + P F P + P = ( P + PP ) +P = P + (PP + P ), hetgeen groter is dn P + P. 14 Opgepst! We moeten nmelijk nnemen dt de boer het knl niet kn oversteken (vergelijk deze opmerking met de oplossing m vn opgve 15). De boer moet wt voorbereidende werkzmheden doen. Met een lint dt hij strk trekt vn punt P lngs het punt B C l α boer de lijn m door B loodreht op l. Het snijpunt vn l en m heet αα S. Hij pst dn de fstnd vn BS f op m n de ndere knt vn R C de lijn l. Het gevonden punt heet B. De boer verbindt B met P B beplt de boer het punt R. Met behulp vn psser en linil plt hij de hoek f bij R die evengroot is ls de hoek BRU (U is het punt S B rehts n het knl), en trekt ldus de lijn l. Nu onstrueert de P U knl (bv. door middel vn een strkgetrokken lint). Het snijpunt vn B P met l heet C. Merk nu op dt hoek B RS = hoek SRB = hoek BRU. Hij onstrueert nu door C een (kort) lijnstuk loodreht op RP en verlengt dt lijnstuk tot het bij het knl komt, lwr hij punt C mrkeert. Hiermee zijn de voorbereidingen voltooid. De trjekt vn de weg vn B nr C smen met die vn C nr P geeft je de gevrgde kortste weg. In de figuur bij de oplossing vn opgve 15 zie je, wrom bovenstnde onstrutie werkt. 15 Construeer de lijn door F die loodreht op de lijn L stt. Het snijpunt vn L met die lijn heet T. Op het verlengde vn T wordt n de ndere knt vn L het punt U geonstrueerd zo, dt TU = T. Trek de lijn die door U en gt. Het snijpunt vn die lijn met L is het gevrgde punt P. Immers, voor elk nder punt op L geldt, dt + = + U groter is dn U = P + PU = P + P ; hierbij is gebruik gemkt vn de driehoeksongelijkheid voor de driehoek U. De onstrutie in de oplossing vn opgve 14 is nu niet lstig meer te begrijpen; zie de FIGUREN Een rehte lijn heeft met een ellips nul, één of twee punten gemeenshppelijk. Gebruik de resultten vn de opgven 13 en 15. Er werd ngetoond dt het (rk)punt R wr de lijn L n de ellips rkt, de eigenshp R + R U + U heeft voor elk nder punt U op de lijn L. Het punt R is dn niets nders dn het punt P uit opgve 15. En dus geldt P + P = in de terminologie uit het begin vn het tweede hoofstuk, zols we inmiddels elders ook l eerder zgen. Zie de onstrutie uitgevoerd in opgve 15; gebruik de oplossing vn opgve 17. P U L

3 19 Met behulp vn psser en linil delen we de hoek P middendoor en trekken we de deellijn PV, (deellijn is hetzelfde ls bissetrie) met punt V op (dus hoek PV = hoek PV ). Construeer de lijn L door P die loodreht op PV stt. De lijn L rkt in P n de ellips zols ls volgt vlt in te zien: Construeer de lijn M door die loodreht op L stt. Het snijpunt vn L en m heet D. Met E geven we het snijpunt vn m en de lijn door en P n. Er geldt hoek EPB = (90 grden - hoek PV) = (90 grden - hoek VP ) = hoek PB. En dn volgt, hoek PED = (90 grden - hoek EPD) = (90 grden - hoek PB) = hoek P B. Dus de driehoeken EPD en PD zijn ongruent (populir gezegd: gelijk bij uitknippen). Dus, D = DE. We bevinden ons nu in de oplossingen vn de opgven 15, 17 en 18. En drom is L de rklijn in P n de ellips. 0 Construeer het spiegelpunt S vn het punt ten opzihte vn de gegeven rklijn. Het snijpunt vn die rklijn met de lijn door S en heet P. In de vorige opgven zgen we l dt P het rkpunt vn de gegeven lijn n de ellips is. Ook weten we l dt dn P + P = = (twee keer de lengte vn O ) = (twee keer de lengte vn O ). Zo ligt de positie vn (en die vn ) vst. Het midden vn heet O en is te onstrueren. Construeer nu de lijn door O die loodreht op de lnge s stt. Construeer een punt op die lijn zodnig, dt de fstnd vn tot dt punt gelijk is n de helft vn de som der fstnden P en P. Er zijn twee vn dergelijke punten; het zijn de gezohte punten B 1 en. F1P + (PP + PF), hetgeen groter is dn F1P + PF. 1 Construeer de lijn die door F gt en tevens loodreht stt op de gegeven lijn. Construeer de irkel met middelpunt en met strl. Die irkel snijdt de geonstrueerde lijn in twee punten C 1 en C. Beshouw het midden M vn C 1. Construeer de lijn die door M gt en tevens loodreht stt op C 1. Die lijn is één vn de twee gevrgde rklijnen evenwijdig n de gegeven lijn in Afbeelding 15. Evenzo levert zo n onstrutie vi C de ndere gevrgde rklijn. Dt één en nder zo werkt, volgt uit de oplossingen vn de opgven 15 t/m 0. Bedoeld is hier eerst een lijnstuk te mken dt net zo lng is ls O, om vervolgens een psser-linilonstrutie te doen voor een punt P op de ellips (met P + P = ). We dienen drtoe eerst een lijnstukje met lengte 1 f te spreken. Uit gelijkvormigheidseigenshppen voor driehoeken volgt dn de onstrutie vn een lijnstuk met lengte O. In de figuur is met de lengte vn O bedoeld. Doe de onstrutie vn zelf. Vervolgens is de onstrutie vn zo n punt P op de ellips gemkkelijk te doen Er zijn posities vn het vlk wrbij de doorsnede telkens een tweetl evenwijdige lijnen is, er zijn posities vn het vlk wrbij dt vlk de ilinder rkt (de doorsnede is dn een lijn), er zijn posities vn het vlk wrbij de doorsnede telkens een irkel is, mr meestl zien we een niet-irkelvormige ellips. Zie Afbeelding 16 en rdpleeg opgve 7. De fstnd vn O tot het rkpunt n de bol dt ligt op de beshrijvende lijn door O, hngt niet f vn de keuze vn zo n beshrijvende lijn. Leg in Afbeelding 17 de kegel op zijn knt en je ziet meteen door te rollen dt elke rehte lijn op die kegelwnd door de top gt. Een mehnishe verklring is voldoende. Beshouw de ilinder ls een holle pijp met shuin erdoorheen het vlk V. Shuif vn boven een bol door de pijp wrbij de gekozen bol de pijpwnd overl rondom rkt. Op zeker moment rkt die bol het vlk V, en wel preies in één punt. Idem voor zo n bol vn onderen. 7 D 1 D = D 1 P + PD ; met D P = P en D 1 P = P volgt dus dt D 1 D = P + P. Lt nu het lijnstuk D 1 D telkens evenwijdig rond de ilinder lopen wrbij D lngs de in Afbeelding 0 getekende irkel loopt. We zien dt P + P kennelijk niet fhngt vn de positie vn D op de bovenste irkel (en drn gekoppeld de positie vn D 1 op de onderste irkel. Dus de doorsnijdingsfiguur vn het vlk met de ilinder voldoet n de definitie vn het begrip ellips die in het begin vn het tweede hoofdstuk stt. Om de nwijzing te kunnen verklren vlt eerst op te merken dt en M 1 M elkr snijden. De rest vn de verklring vn de nwijzing wordt verder n de lezer overgelten. 8 In Afbeelding 1 zien we htereenvolgens een ellips, een prbool, een hyperbool. Als het vlk V door de top vn de kegel gt, dn is de doorsnede een punt, een beshrijvende lijn, of een tweetl elkr in de top snijdende (beshrijvende) lijnen. 1 x x 3

4 9 Voor de oplossing vn deze opgve wordt verwezen nr de opgven 3 en 7. Voor een gedetilleerd bewijs, zie in het bijzonder bldzijde 50 vn het boek vn Vn Thijn en Kobus: Inleiding tot de meetkunde der kegelsneden ; dt is in Doeboek 1 verwijzing nummer 15. Dit volgt door toepssing vn de stelling vn Pythgors: 3 O Beide breuken zijn positief. 34 Vergelijking X-s is Y = 0; Vergelijking Y-s is X = Als eerder, de punten A en A zijn de uiteinden vn de lnge s vn de ellips 1 en beide liggen erop. Hieronder stt een nshouwelijke verklring vn de bewering + = = + F. Ps de stelling vn Pythgors toe op een pltje ls dit: 37 ( s, t) g h g h d h O Het kwdrt vn de fstnd vn het punt (-, 0) tot het punt (s,t) bedrgt (s - (-)) + (t - 0) ; dt vn (s, t) tot (, 0) bedrgt ( - s) + (0 - ) ; zie opgve 3. Dit verklrt de linkerknt vn formule (). De som vn die fstnden is, omdt (s, t) op de ellips ligt terwijl de lnge s tot lengte heeft. 38 Ook dit is eerder in de opgven ter sprke geweest. De fstnd vn het punt (0, b) tot is gelijk n de fstnd vn (0, b) tot ; de som vn die fstnden bedrgt, zie de vorige opgve. Hieruit volgt meteen het gestelde door de stelling vn Pythgors toe te pssen. Controleer zelf wt hier n de hnd is. (Bij de overgng vn stp 4 nr stp 3 wordt gebruik gemkt vn het feit dt we hier met een rehthoekig ssenstelsel werken. Ook het worteltrekken levert geen problemen op. G n wrom niet). In de eerste regel vn opgve 43 stt een som vn twee kwdrten. Uit de ltste regel vn die opgve blijkt dt de uitkomst gelijk is n nul. Welnu, een kwdrt is nooit een negtief getl ; voorts geldt dt ongelijk n nul is en dt b ongelijk n nul is. Kennelijk is dus elk vn die twee kwdrten gelijk n nul. Dus α - γ = 0 = β - δ. Het punt (u, v) ligt op de gegeven ellips. In de opgven 40 t/m 44 is ngetoond dt de lijn met vergelijking ux / + vy / b = 1 n de ellips rkt in (u, v). Dit gt net zo ls in opgve Het punt (s,t) is het snijpunt vn de lijnen L en L 1 opgve 45 ls n die in opgve (, 0) O (, 0) en dus voldoen de oordinten ervn zowel n de vergelijking in Omdt de vergelijking in deze opgve een rehte lijn voorstelt wrbij op grond vn de vorige opgven de oördinten vn elk vn de punten (u, v) en (e, f) n die vergelijking voldoen, is de onlusie nu duidelijk geworden. We moeten ntonen dt een punt (u, v) dt op de gegeven lijn ligt, lleen mr dn op de gegeven prbool kn liggen ls u = s en v = t vervuld is. Welnu, stel dt (u, v) op die lijn en op die prbool ligt. Dn geldt -pu + tv = ps en ook pu - v = 0. Gegeven is dt (s, t) op de prbool ligt, dus t = ps geldt ook; nders gezegd, -ps + t t = ps geldt. Dus (s, t) ligt op de gegeven lijn. We ombineren nu de drie gelijkheden -pu + tv = ps, pu - v = 0 en -ps + t = 0. En dus geldt t = ps = -pu + tv = -v + tv. Druit volgt 0 = t - tv + v = (t - v). Dus inderdd, v en t zijn hetzelfde. En druit volgt 0 = -ps + t = -pu + v = -pu + t. Dus geldt ps = pu, oftewel 0 = p(s - u). Vndr dt s gelijk is n u; immers, p is ongelijk n nul in de vergelijking Y = px vn die ehte prbool. 4

5 50 * Ook hier gn we ervn uit dt er een punt (u, v) is dt zowel op de gegeven lijn ls op de gegeven hyperbool ligt. We zullen lten zien dt u = s en v = t geldt, dus dt die lijn n de hyperbool rkt. Drtoe beshouwen we de drie gelijkheden u / - v / b = 1, su / - tv/b = 1 en s / - t / b = 1. We tellen het linker lid vn de eerste gelijkheid, het linker lid vn de derde gelijkheid en tweeml het linker lid vn de tweede gelijkheid bij elkr op; de uitkomst rehts bedrgt dn 4. Anders gezegd, (u + s) / - (v - t) / b = 4, of weer nders gezegd, ((u + s) / ) / - ((v + t) / ) / b = 1. Dus het punt ((u + s) /, (v + t) / ) ligt op de hyperbool. Stel eens dt het punt (u, v) niet hetzelfde punt is ls (s, t). Dn ligt het punt ((u + s) /, (v + t) / ) op de lijn die door de punten (u, v) en (s, t) gt; het is nmelijk het midden vn het lijnstuk dt begint in (u, v) en eindigt in (s, t). Let nu eens op het volgende: Minstens één der getllen s en t is niet gelijk n nul, wnt (s, t) ligt op de hyperbool. Stel bijvoorbeeld dt t ongelijk is n nul. Dn geldt sx / - 1 = ty / b, ofwel Y = b sx / t - b / t. Hierbij is door t gedeeld, hetgeen toegestn is omdt we t ongelijk n nul hdden verondersteld. De gegeven lijn heeft tenminste één snijpunt met de hyperbool gemeenshppelijk; stel, zo n snijpunt is (x, y) met x en y nder te beplen. De x-oordint vn zo n snijpunt voldoet dn blijkbr n de vergelijking X / - ((b sx / t - b / t) ) / b = 1; geef deze vergelijking ls verwijzingssymbool (A). Nu voldoet s n vergelijking (A) omdt (s, t) op de hyperbool en op de gegeven lijn ligt; ook u voldoet n vergelijking (A), immers (u, v) ligt op de hyperbool en op de gegeven lijn. We hebben hierboven gezien dt ook ((u + s) /, (v + t) / ) op de gegeven lijn op de hyperbool ligt. Ehter, vergelijking (A) stelt een tweedegrdsvergelijking (ook wel genmd vierkntsvergelijking) in de vernderlijke X voor, en die heeft hooguit twee oplossingen! (Denk n de b-formule.) En zo volgt nu, dt (u + s) / = u of dt (u + s) / = s; in elk vn beide mogelijkheden volgt u = s en vervolgens zien we dt uit s / - t / b = 1 = su / - tv / b = s / - tv / b volgt dt v gelijk is n t. Dit weerspreekt de nnme dt de punten (s, t) en (u, v) vershillend zouden zijn. Eenzelfde redenering met s ongelijk n nul (in plts vn t zijnde niet nul) leidt tot v = t, mitsgders u = s. Dus geldt blijkbr zonder meer dt (s, t) hetzelfde punt is ls (u, v), hetgeen wil zeggen dt de gegeven lijn in deze opgve n de hyperbool rkt. In de nu volgende oplossingen vn de opgven 51 t/m 61 wordt stilzwijgend gebruikt, dt er door vijf gegeven punten vn het pltte vlk hooguit één ellips gt. Voor een bewijs hiervn, zie prgrf 103 vn Shrek s boek Beginselen der nlytishe meetkunde ; zie referentie 1 op de bldzijde Verder Lezen in Doeboek 1. Beshouw Afbeelding 3 wrin we punt E lten smenvllen met punt A. De rklijn in A n de ellips wordt dr dn door toepssing vn de stelling vn Psl verkregen. Dus, β is het snijpunt vn AD en CF, γ het snijpunt vn BD en EC (= AC). Het punt α is het snijpunt vn de lijn door β en γ en de lijn door B en F. Trek de lijn door α en A ( = E). Die lijn is de gevrgde rklijn in A n de ellips. Lten A, B, C, D en E de vijf gegeven punten vn de ellips zijn. Trek een lijn m door B die door géén der punten A, C, D, en E gt en die niet n de ellips rkt; zoiets is ltijd te doen (g dit zelf n). Het snijpunt vn m met AE noemen we α. Het snijpunt vn BD en EC heet γ. Het snijpunt vn de lijn door α en γ met AD heet β. Het snijpunt vn de lijn door β en C met m is zo n gevrgd zesde punt, noem het F, dt op de ellips ligt. Immers, neem eens het snijpunt vn m met de ellips in gedhte, vershillend vn B. Noem het F. Dn liggen volgens de stelling vn Psl, het snijpunt vn BF en AE (dt is α!), het punt gmm en het snijpunt vn AD met CF op één lijn. Dt ltst genoemde (snij)punt is dus niets nders dn het vn de lijn door α en γ met AD ; het is drom gelijk n β. Hieruit volgt dt enerzijds het gevonden punt F zowel op m ls op de lijn door β en C ligt, en dt nderzijds F op m en de lijn door β en C ligt. Dus onderdd F = F, wrmee ngetoond is dt het punt F op de ellips ligt. Gebruik Afbeelding 33. De gegeven rklijnen zijn bv., b,, d en e. De snijpunten vn met b, vn b met, vn met d, en vn d met e, zijn htereenvolgens P, Q, R en S. Trek een willekeurige lijn m door R die PS snijdt; noem het snijpunt α. Noem het snijpunt vn m met U. Het snijpunt vn de lijn e met de door Q en α getrokken lijn heet T. De lijn door U en T is dn zo n gevrgde zesde rklijn. Vergelijk deze onlusie met de redenering zols in de oplossing vn opgve 5 is uiteengezet. Gegeven zijn de punten P, Q, R, S en T opgevt ls snijpunten vn de gegeven lijnen en b, b en, en d, d en e, e en f, wrbij in Afbeelding 33 f smenvlt met. Trek door het snijpunt vn TQ met PS de lijn die door R gt. Dr, wr die lijn de lijn door P en T snijdt, bevindt zih het punt wr TP n de ellips rkt. Vergelijk ook deze onlusie met de redenering zols in de oplossingen vn de opgven 5 en 53 is uiteengezet. Gebruik Afbeelding 3, wrbij we punt E lten smenvllen met punt A. De lijn door A (= E) en C en de lijn door B en D snijden elkr in een punt γ. Kies een punt β op AD. Trek de lijn door β en γ. Dr. wr die lijn de gegeven rklijn (wr A op ligt) snijdt, vinden we hun snijpunt, te noemen α. Trek de lijn door α en B. Dr, wr die lijn en de lijn door β en C elkr snijden, vinden we hun snijpunt, te noemen F. Dt punt F is zo n gevrgd vijfde punt op de ellips. Vergelijk deze oplossingsmethode met die vn de oplossing vn opgve 5. Gebruik Afbeelding 3, wrbij punt E smenvlt met punt A en wrbij punt F smenvlt met punt B. Het snijpunt vn de lijn door B (= F) en D met de lijn door E (= A) en C heet γ. Het snijpunt vn de lijn door C en F (= B) met de lijn door A en D heet β. De lijn door β en γ en de rklijn in A n de ellips snijden elkr in een punt, te noemen α. De lijn door α en B (= F) is de gevrgde rklijn in B n de ellips, zols nu duidelijk is. 5

6 Gebruik Afbeelding 33, wrbij de lijn en de lijn f smenvllen. Het punt U is dn het gegeven rkpunt A n de ellips. Kies een punt T op de lijn. Het snijpunt vn de lijn door A en R met de lijn door T en Q heet α. Trek de lijn door P en α. Het snijpunt vn die lijn met de lijn d heet S. De lijn door S en T is zo n gevrgde vijfde rklijn n de ellips. Om het rkpunt B vn b n die ellips te vinden, mken we gebruik vn opgve 54; immers vijf rklijnen n de ellips zijn nu bekend. Gebruik Afbeelding 33. De lijnen en f lten we smenvllen, evenls de lijnen b en. De rkpunten A en B n de ellips zijn dn niets nders dn de punten U en Q uit Afbeelding 33. Trek de lijn door A en R. Kies een punt S op de lijn d. Het snijpunt vn de lijn door P en S met de lijn door A en R heet α. Trek de lijn door B en α. Het snijpunt vn die lijn met de lijn heet T. De lijn door T en S is zo n gevrgde vierde rklijn n de ellips. Het snijpunt vn de lijnen met b noemen we K; dt vn de lijnen b met U, dt vn de lijnen met M. We trekken de lijn door A en U en de lijn door B en M; het snijpunt heet lf. Het snijpunt vn de lijn door K en lf met de lijn heet C. De lijn rkt n de ellips in het punt C; vergelijk met Afbeelding 33. Bekijk in Afbeelding 33 de rklijnen, b,, d en e n de ellips. Zij T zo n gegeven punt op rklijn e. We gn de ndere rklijn door T n de ellips onstrueren. Trek de lijn door T en Q en de lijn door P en S. Het snijpunt vn die twee lijnen heet lf. Trek de lijn door lf en R. Het snijpunt vn de lijn met de lijn door lf en R heet U. De lijn door T en U is de gevrgde ndere rklijn door T n de ellips. Deze opgve is zonder meer de lstigste vn Doeboek 1. De oplossing verloopt in twee stppen: Eerst wordt beshreven hoe met behulp vn de linil lleen,drie lijnen door het geven punt buiten de ellips geonstrueerd kunnen worden, zodnig, dt elk vn die lijnen de ellips in twee punten snijdt; die onstrutie wordt tevens zo uitgevoerd dt ook de zes bijbehorende snijpunten door deze onstrutie worden vstgelegd. Rdpleeg vervolgens Afbeelding 34 in Doeboek 1. Aldr is de lijn door δ en ε fgedrukt, wrbij δ het snijpunt is vn SV met UT en ε het snijpunt vn VW met UX. Op de ltste twee bldzijden vn het vierde hoofdstuk stt het bewijs fgedrukt dt die lijn de gevrgde poollijn vn het punt P ten opzihte vn de ellips is. Nu volgt de uitwerking vn de eerste stp. Lt vijf punten vn de ellips gegeven zijn. Met P geven we het gegeven punt buiten de ellips n. Voor twee vn de vijf gegeven punten (noem ze B en C) geldt met zekerheid dt de lijn door P en B en de lijn door P en C ieder niet rken n de ellips, terwijl ze bovendien vershillend vn elkr zijn. Met behulp vn een vrint op opgve 5 is het snijpunt vn de lijn door P en B met de ellips te onstrueren dt vn B vershilt; noem dt punt D. [Die vrint op opgve 5 luidt ls volgt: Gegeven vijf punten vn een ellips en een lijn door één vn die punten, niet rkende n die ellips en niet gnde door elk vn de overige vier gegeven punten. Construeer het tweede snijpunt vn die lijn met de ellips (voer die onstrutie zelf uit)]. En evenzo is op de lijn door P en C het punt E te onstrueren liggend op de ellips en vershillend vn C. Met het oog op een geshikt meetkundig pltje spreken we nu f dt D tussen P en B ligt en dt E tussen P en C ligt; zoiets kn zonder de lgemeenheid te shden ltijd worden bewerkstelligd door eventueel D en B vn rol te lten wisselen en evenzo E en C. Vn de oorspronkelijke gegeven vijf punten is er zeker één, noem het A, dt niet op de lijn door P en C ligt en ook niet op de lijn door P en B. Stel nu eens dt C en B niet n dezelfde knt vn de lijn door P en A liggen. Dn kn men weer onder het nroepen vn de vrint op opgve 5 het punt onstrueren dt zowel op de ellips ligt ls ook op de lijn door P en A, vershillend vn A; immers, in dit gevl rkt de lijn door P en A de ellips niet. Zo is hier dus de eerste stp vn de oplossing voltooid; drie lijnen gnde door P mitsgders de bijbehorende zes snijpunten met de ellips, zijn geonstrueerd met behulp vn de linil lleen. Dus stel vervolgens dt C en B wel n dezelfde knt vn de lijn door P en A liggen. Beshouw nu de vierhoek BDEC en denk n de gemkte fsprk over de ligging vn D en B en vn E en C. Omdt de punten B, D, E en C op de ellips liggen, moet A n dezelfde knt vn de lijn door D en E liggen ls wr de punten B en C zih bevinden; ook moet A n dezelfde knt vn de lijn door B en C liggen ls wr de punten E en D zih bevinden. Deze positiebepling vn A blijkt vn belng te zijn voor de positie vn een zeker punt F dt zo ddelijk zl worden bepld. C E F β α h P = γ D B A 6

7 Vernoem P tot γ. Trek een willekeurige hlflijn h vnuit P tussen de benen PC en PB. Trek de lijn door A en D; noem het snijpunt vn die lijn met h β. Het snijpunt vn de lijn door A en E met h heet α. Trek de lijn door α en B. Dr, wr die lijn de lijn door β en C snijdt, bevindt zih het betreffende punt F wr we onze ndht op rihten. Dt punt F ligt op de ellips, zols duidelijk is uit een onstrutiebeshrijving die sterk lijkt op die vn opgve 5. Uit de gemkte opmerking over de positie vn A volgt nu dt B en C niet n dezelfde knt vn de lijn door P en F liggen, vndr dt de lijn door P en F de ellips niet rkt. Bij deze beshouwing over de positie vn F doet het er ook niet toe of A wel of niet n dezelfde knt knt vn de lijn door P en B ligt ls wr de punten C en E zih bevinden (dit is hetzelfde ls te zeggen dt het er niet toe doet of A wel of niet n dezelfde knt vn de lijn door P en C ligt ls wr de punten B en D zih bevinden). Dus ook hier zijn nu drie lijnen gnde door P geonstrueerd, terwijl de bijbehorende zes snijpunten met de ellips lle geonstrueerd zijn met behulp vn de linil lleen. Het gt immers om de lijnen door P en B, door P en C, en door P en F ; het ndere snijpunt vn de lijn door P en F met de ellips kn nmelijk weer worden geonstrueerd met behulp vn de onstrutie zols beshreven in de oplossing vn opgve 5. Hiermee is de eerste stp geheel uitgevoerd; voor het vervolg zij dus verwezen nr het eind vn het vierde hoofdstuk in Doeboek 1; hierbij is Afbeelding 34 verkregen door de onstrutie zls beshreven in de eerste stp, te volgen. De benming der optredende punten in Afbeelding 34 is ngepst. 7

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld

Nadere informatie

opgaven formele structuren procesalgebra

opgaven formele structuren procesalgebra opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve 3.3.7 op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax.

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax. Onfhnkelijk vn Voor elke positieve wrde vn is een functie f gegeven door f ( x) = (1 x) e x en een functie F gegeven door F ( x) = x e x. De functie 3p 1 Toon dit n. F is een primitieve functie vn f. De

Nadere informatie

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exmen VWO 2012 tijdvk 1 woensdg 16 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit exmen hoort een uitwerkbijlge. Dit exmen bestt uit 17 vrgen. Voor dit exmen zijn mximl 78 punten te behlen. Voor elk vrgnummer

Nadere informatie

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm.

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm. Psser en irkel Verkennen Opgve 1 Op de foto hiernst wordt met ehulp vn een psser een irkel getekend. Pk jouw psser en mk de fstnd tussen de psserpunten 3 m. Teken een punt M en zet drin de stlen punt vn

Nadere informatie

Krommen en oppervlakken in de ruimte

Krommen en oppervlakken in de ruimte (HOOFDSTUK 60, uit College Mthemtis, door Frnk Ares, Jr. nd Philip A. Shmidt, Shum s Series, MGrw-Hill, New York; dit is de voorereiding voor een uit te geven Nederlndse vertling). Krommen en oppervlkken

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

Bijlage 2 Gelijkvormigheid

Bijlage 2 Gelijkvormigheid ijlge Gelijkvormigheid eze bijlge hoort bij het hoofdstuk e krcht vn vectoren juli 0 Opgven gemrkeerd met kunnen worden overgeslgen. Uitgve juli 0 olofon 0 ctwo uteurs d Goddijn, Leon vn den roek, olf

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VW 20 tijdvk woensdg 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. chter het correctievoorschrift is een nvulling opgenomen. Dit emen bestt uit 8 vrgen. Voor dit emen zijn miml

Nadere informatie

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten. 9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende

Nadere informatie

Routeplanning middels stochastische koeling

Routeplanning middels stochastische koeling Routeplnning middels stochstische koeling Modellenprcticum 2008 Stochstische koeling of Simulted nneling is een combintorisch optimlistielgoritme dt redelijke resultten geeft in ingewikkelde situties.

Nadere informatie

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven Prktische opdrcht Optimliseren vn verpkkingen Inleidende opgven V, WB Opgve 1 2 Gegeven is de functie f ( x) = 9 x. Op de grfiek vn f ligt een punt P ( p; f ( p)) met 3 < p < 0. De projectie vn P op de

Nadere informatie

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS Hoofdstuk DE STELLING VAN PYTHAGORAS INHOUD. De stelling vn Pythgors formuleren 98. Meetkundige voorstellingen 06. De stelling vn Pythgors ewijzen 09. Rekenen met Pythgors. Construties.6 Pythgors in de

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 987-988 : Eerste Ronde De eerste ronde estt steeds uit 0 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt: een deelnemer strt met 0 punten, per goed

Nadere informatie

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2 Formulekrt VWO wiskunde B en B2 De Formulekrt Wiskunde hvo/vwo is gepubliceerd in Uitleg, Gele Ktern nr. 2, CEVO- 98/257. Deze versie vn de Formulekrt is die officiële versie. Vierkntsvergelijking Als

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2015-I

wiskunde B pilot vwo 2015-I wiskunde B pilot vwo 05-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t sin t

Nadere informatie

Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak

Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak 2 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk it kun je l 1 de iddelloodlijn vn een lijnstuk herkennen en tekenen 2 een hoek eten en tekenen 3 de issetrie vn een hoek herkennen en tekenen 4 de oördint vn

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord

Nadere informatie

Getallenverzamelingen

Getallenverzamelingen Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.

Nadere informatie

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo

Nadere informatie

K4 Relativiteitstheorie

K4 Relativiteitstheorie K4 Reltiviteitstheorie Ruimtetijd vwo Uitwerkingen bsisboek K4. INTRODUCTIE 2 3 De golflengte vn rdiostrling is groter dn die vn liht. b Uit λ f volgt dt de frequentie vn de fotonen vn rdiostrling lger

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde. 1 Vlmse Wiskunde Olymide 1985-1986: Tweede Ronde De tweede ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 unten Per goed ntwoord krijgt hij of zij 4

Nadere informatie

Opbouw van het boek: overzicht

Opbouw van het boek: overzicht Opbouw vn het boek: overzicht Opbouw vn het boek: overzicht Deel I: intuïtief Deel II: rigoureus 8: Limieten en continuïteit omschrijving en definities limieten berekenen smptoten continuïteit onderzoeken

Nadere informatie

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2...

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2... 113 6.0 INTRO 1 Bekijk de sommen hiernst en g n of ze kloppen. Schrijf de twee volgende sommen uit de rij op en controleer of deze ook ls uitkomst 2 heen. c Schrijf twee sommen op die veel verder in de

Nadere informatie

Het bepalen van een evenwichtstoedeling met behulp van het 1 e principe van Wardrop is equivalent aan het oplossen van een minimaliserings-probleem.

Het bepalen van een evenwichtstoedeling met behulp van het 1 e principe van Wardrop is equivalent aan het oplossen van een minimaliserings-probleem. Exmen Verkeerskunde (H1I6A) Ktholieke Universiteit Leuven Afdeling Industrieel Beleid / Verkeer & Infrstructuur Dtum: dinsdg 2 september 28 Tijd: Instructies: 8.3 12.3 uur Er zijn 4 vrgen over het gedeelte

Nadere informatie

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe?

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe? Oefenopgven over Stoffen en Mterilen Uitwerking en ntwoord op elke opgve stt n de ltste opgve. Gegevens kunnen worden opgezoht in de tellen hterin. Als de zwrteftor niet vermeld is mg je 9,81 N/kg nemen.

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I Tussen twee grfieken De functie f is gegeven door f ( ) =. In figuur zijn op het intervl [0, ] de grfiek vn f en de lijn = getekend. De grfiek vn f en de lijn = snijden elkr in het punt T. p de lijn =

Nadere informatie

MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN

MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN III - 1 HOODSTUK 3 MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN De kennis vn het moment vn een krcht is nodig voor het herleiden vn een krcht en een krchtenstelsel, voor het (nlytisch) smenstellen vn niet-snijdende

Nadere informatie

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken. Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:

Nadere informatie

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen

Nadere informatie

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)² Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2012

Correctievoorschrift VWO 2012 Correctievoorschrift VWO 0 tijdvk wiskunde B Het correctievoorschrift bestt uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vkspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde

Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde Oppervlkte vn riehoeken Verkennen Opgve 1 Je ziet hier twee riehoeken op een m-rooster. Beie riehoeken zijn omgeven oor eenzelfe rehthoek. nme: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg file: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg Hoeveel

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2012

Correctievoorschrift VWO 2012 Correctievoorschrift VWO 0 tijdvk wiskunde B Het correctievoorschrift bestt uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vkspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden

Nadere informatie

Bewerkingen met eentermen en veeltermen

Bewerkingen met eentermen en veeltermen 5 Bewerkingen met eentermen en veeltermen Dit kun je l 1 werken met letters ls onekenden, ls vernderlijken en om te verlgemenen 2 een tel mken ij een situtie 3 de fsprken over lettervormen toepssen 4 oppervlkteformules

Nadere informatie

Kansrekening en dynamica als basis voor breed wiskundeonderwijs 2

Kansrekening en dynamica als basis voor breed wiskundeonderwijs 2 Knsrekening en dynmic ls bsis voor breed wiskundeonderwijs Joost Hulshof en Ronld Meester c Reproductie lleen in overleg met de uteurs. Alle rechten voorbehouden. 1 Voorwoord In de eerste cursus hebben

Nadere informatie

Inproduct, projectie, terugblik

Inproduct, projectie, terugblik Met de vernieuwde wiskundecurricul vn HAVO en VWO verndert in 2015 ook het meetkundeprogrmm voor VWO-wiskunde B: nlytische meetkunde met coördinten krijgt een prominentere plts. Dit is nleiding om in de

Nadere informatie

Rapportage Enquête ondergrondse afvalinzameling Zaltbommel

Rapportage Enquête ondergrondse afvalinzameling Zaltbommel Rpportge Enquête ondergrondse fvlinzmeling Zltommel Enquête ondergrondse fvlinzmeling Zltommel VERSIEBEHEER Versie Sttus Dtum Opsteller Wijzigingen Goedkeuring Door Dtum 0.1 onept 4-11-09 VERSPREIDING

Nadere informatie

Wiskunde voor 1 havo/vwo

Wiskunde voor 1 havo/vwo Wiskunde voor 1 hvo/vwo Deel 2 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons

Nadere informatie

Opgaven met dit merkteken kun je zonder de opbouw aan te tasten, overslaan.

Opgaven met dit merkteken kun je zonder de opbouw aan te tasten, overslaan. 2 Verschuiven Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten Blok Punten met gewicht vn Ad Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (2014) wiskunde B vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw

Nadere informatie

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af.

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af. Opgve 1 Vn twee korte en twee lnge luifers is een rehthoek geleg. Omt je geen fmetingen weet hngt e omtrek vn eze rehthoek f vn twee vrielen, nmelijk lengtekorteluif er en lengtelngeluif er. Welke formule

Nadere informatie

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Stoomursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en g verder

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de Werkoek Alger (ursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen vn de e grd met één onekende Nm:. Hoofdstuk 5: Vergelijkingen vn de - 45 - e grd met één onekende. Instp (oek pg 7). Vn een rehthoek

Nadere informatie

Een feestmaal. Naam: -Ken jij nog een ander speciaal feest? Typ of schrijf het hier. a

Een feestmaal. Naam: -Ken jij nog een ander speciaal feest? Typ of schrijf het hier. a Werkbld Een feestml Nm: Ieder lnd en iedere cultuur kent specile dgen. Dn gn fmilies bij elkr op bezoek. Op die specile dgen is er meestl extr ndcht voor het eten. Hier zie je wt voorbeelden vn feesten

Nadere informatie

Route J. Een gier heeft naar verhouding een lange nek. Wat is het voordeel hiervan? vale gier

Route J. Een gier heeft naar verhouding een lange nek. Wat is het voordeel hiervan? vale gier Route J 1 Vle gieren Over het lgemeen zijn gieren niet bepld de meest geliefde dieren. Hun kle kop en hls en hun gedrg zijn dr vk de oorzk vn. Welke reden kun je bedenken voor het feit dt op de kop en

Nadere informatie

ja, studentaccount is groter dan standaard account en nog steeds gratis. Wel moet je mail adres van school en website van school invoeren ter controle

ja, studentaccount is groter dan standaard account en nog steeds gratis. Wel moet je mail adres van school en website van school invoeren ter controle Werken met Prezi Infolok Prezi: www.prezi.om prijs ipd pp geshikt voor leerling voordeel Stp 1: het nmken vn een ount. - G nr de wesite. - Kies voor 'Sign Up. grtis j presentties en mindmppen j, studentount

Nadere informatie

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents Formeel Denken Hermn Geuvers Deels geseerd op het herfst 2002 dictt vn Henk Brendregt en Bs Spitters, met dnk n het Discrete Wiskunde dictt vn Wim Gielen Herfst 2004 Contents 1 Automten 1 1.1 Automten

Nadere informatie

Hoe zichtbaar ben jij mobiel? MOBIELpakket. Oplossingen voor ondernemende kappers die kiezen. 2012 www.wiewathaar.nl

Hoe zichtbaar ben jij mobiel? MOBIELpakket. Oplossingen voor ondernemende kappers die kiezen. 2012 www.wiewathaar.nl Hoe zichtbr ben jij mobiel? MOBIELpkket Oplossingen voor ondernemende kppers die kiezen 2012 www.wiewthr.nl Reviews? Voordelen 27% Nederlnders vindt reviewsites ls WieWtHr.nl erg nuttig* Wiewthr.nl is

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl) Wiskunde B (nieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs 0 0 Tijdvk Inzenden scores Vul de scores vn de lfbetisch eerste vijf kndidten per school in op de optisch leesbre

Nadere informatie

Bekijk onderstaand algoritme recalg. Bepaal recalg(5) en laat zien hoe u het antwoord hebt verkregen.

Bekijk onderstaand algoritme recalg. Bepaal recalg(5) en laat zien hoe u het antwoord hebt verkregen. Vooreeldtentmen 1 Tentmen Dtstructuren en lgoritmen (T641 en T6741) OPGAVE 1 c d Bekijk onderstnd lgoritme recalg. Bepl recalg() en lt zien hoe u het ntwoord het verkregen. Wt erekent recalg in het lgemeen?

Nadere informatie

2 De kracht van vectoren

2 De kracht van vectoren De krcht vn vectoren Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten lok Punten met gewicht vn d Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (015) wiskunde vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw

Nadere informatie

edatenq is een toepassing die de ondernemingen de mogelijkheid biedt om hun statistische aangiften in te vullen en door te sturen via internet.

edatenq is een toepassing die de ondernemingen de mogelijkheid biedt om hun statistische aangiften in te vullen en door te sturen via internet. Inleiding edatenq is een toepssing die de ondernemingen de mogelijkheid iedt om hun sttistishe ngiften in te vullen en door te sturen vi internet. Het etreft een door de FOD Eonomie volledig eveiligde

Nadere informatie

Assertiviteit. Agressiviteit

Assertiviteit. Agressiviteit ASSERTIVITEIT drs. M.F. Serrurier Shepper 1 SITUATIE Assertiviteit is een zelfewuste, psyhishe weerrheid wrdoor u in stt ent op te komen voor uw eigen elngen en uiting te geven n uw gevoelens, wensen en

Nadere informatie

fonts: achtergrond PostScript Fonts op computers?

fonts: achtergrond PostScript Fonts op computers? fonts: chtergrond PostScript Fonts op computers? Tco Hoekwter tco.hoekwter@wkp.nl bstrct Dit rtikel geeft een korte inleiding in de interne werking vn PostScript computerfonts en hun coderingen. Dit rtikel

Nadere informatie

Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller

Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller Wiskunde voor 2 hvo Deel 1 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons lientie.

Nadere informatie

Parate kennis wiskunde

Parate kennis wiskunde Heilige Mgdcollege Dendermonde Prte kennis wiskunde 4 Lt A Lt B Wet A Wet B Ec C Vkgroep wiskunde Hemco Dit document is edoeld ls smenvtting vn wt ls prte kennis wordt ngenomen ij nvng vn het tweede jr

Nadere informatie

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2 Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. De cirkel. 1.1 Middellijn, koorde en apothema. 1.2 Middelpuntshoek en omtrekshoek

Hoofdstuk 1. De cirkel. 1.1 Middellijn, koorde en apothema. 1.2 Middelpuntshoek en omtrekshoek e irkel. iddellijn, koorde en apothema. iddelpuntshoek en omtrekshoek.3 Raaklijn aan een irkel.3. Raaklijn in een punt van een irkel.3. Raaklijnen uit een punt aan een irkel.4 Onderlinge ligging van twee

Nadere informatie

Upgrade KIT I Bedieningshandleiding

Upgrade KIT I Bedieningshandleiding Upgrde KIT I Bedieningshndleiding INHOUDSOPGAVE VOORDAT U BEGINT... 2 NIEUWE FUNCTIES... 2 BORDUREN MET HET RANDBORDUURRAAM (30 cm 10 cm (c. 11-3/4 inch 4 inch))... 3 Info over het rndborduurrm... 3 Voorbeeldprojecten

Nadere informatie

1 Uw secretaresse vraagt u wie u voor deze sessie wilt uitnodigen. Aan welke mensen denkt u?

1 Uw secretaresse vraagt u wie u voor deze sessie wilt uitnodigen. Aan welke mensen denkt u? CREATIVITEIT drs. R.B.E. vn Wijngrden 1 SITUATIE Elke dg zijn er momenten die om retiviteit vrgen. Een proleem oplossen, een nieuw idee ontwikkelen, ties edenken, vereterpunten zoeken zken wrvoor het nuttig

Nadere informatie

Platte en bolle meetkunde

Platte en bolle meetkunde Hoofdstuk I Pltte en olle meetkunde F. vn der lij Dit hoofdstuk evt een door de redctie gemkte ewerking vn een in Utrecht op 6 oktoer 1993 gegeven Kleidoscoop college vn F. vn der lij. Grg willen we professor

Nadere informatie

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand

Nadere informatie

Differentiatie van functies

Differentiatie van functies Deel II Clculus Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 Les 6 Differentitie vn functies Wrscijnlijk eeft iedereen wel een idee ervn wt een functie is, mr voor de duidelijkeid erlen we voor de meest

Nadere informatie

Rekenregels van machten

Rekenregels van machten 4 Rekenregels vn mchten Dit kun je l 1 mchten met een ntuurlijke exponent berekenen mchten met een gehele exponent berekenen 3 terminologie in verbnd met de mchtsverheffing correct gebruiken Test jezelf

Nadere informatie

Route F - Desert. kangoeroerat

Route F - Desert. kangoeroerat Route F - Desert Voor deze route, moet je eerst nr de Bush. Dr moet je even zoeken nr de tunnel die nr de Desert leidt. Geruik onderstnd krtje voor de Desert. Begin ij nummer 1. 1 Kngoeroertten Kngoeroertten

Nadere informatie

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set Werkkrten GIGO 1184 Elektriiteit Set PMOT 2006 1 Informtie voor de leerkrht Elektriiteit is één vn de ndhtsgeieden ij de nieuwe kerndoelen voor ntuur en tehniek: 42 De leerlingen leren onderzoek doen n

Nadere informatie

Handleiding voor het maken van Papierarchitectuur, PA.

Handleiding voor het maken van Papierarchitectuur, PA. Hnleiing voor het mken vn Ppierrhitetuur, PA. Inleiing PA is het mken vn 3D ojeten uit een plt stuk ppier of krton. Eerst wort een ontwerp gemkt op ppier of krton. Door het snijen en vouwen vn het ontwerp

Nadere informatie

6.4 Rekenen met evenwichtsreacties

6.4 Rekenen met evenwichtsreacties 6.4 Rekenen met evenwihtsreties An de hnd vn een reeks vooreelden zullen we het rekenwerk ehndelen n evenwihtsreties. Vooreeld 6.2 We estuderen het gsevenwiht: A(g) + B(g) C(g) + D(g) In een ruimte vn

Nadere informatie

3 Exponentiële functies en logaritmische functies

3 Exponentiële functies en logaritmische functies Eponentiële functies en logritmische functies Bij wiskunde B heb je l eerder te mken gehd met eponentiële en logritmische functies. In dit hoofdstuk gn we er wt dieper op in en lten we een ntl toepssingen

Nadere informatie

Beste leerling. De auteurs

Beste leerling. De auteurs Voor wie kopiëren wil: U vindt dit oek goed en wenst er kopieën vn te mken. edenk dn ook eens: dt zowel uitgever ls uteurs met de oprengst ervn hun kosten moeten dekken; dt kopiëren zonder toestemming

Nadere informatie

Economische Topper 4 Evaluatievragen thema 3

Economische Topper 4 Evaluatievragen thema 3 Eonomishe Topper 4 Evlutievrgen them 3 1 Vn een lnd zijn volgende gegevens bekend: bbp in 2002 800 miljrd EUR bbp in 2003 833 miljrd EUR Prijspeil 2002 t.o.v. 2003 + 1,5 % Bevolking 2002 t.o.v. 2003 +

Nadere informatie

Ontleden? Leuk! Inleiding. Opzet van deze lesbrief. Door Henk Jongsma, hoofdauteur Op Niveau tweede fase

Ontleden? Leuk! Inleiding. Opzet van deze lesbrief. Door Henk Jongsma, hoofdauteur Op Niveau tweede fase Door Henk Jongsm, hoofduteur Op Niveu tweede fse Ontleden? Leuk! Inleiding Lstig soms, dt ontleden. Denk je net een regel te egrijpen, kom je weer een uitzondering tegen. En ls je denkt die uitzondering

Nadere informatie

DOEL: Weten wat de gevolgen en risico s kunnen zijn van het plaatsen van (persoonlijke) informatie op internet.

DOEL: Weten wat de gevolgen en risico s kunnen zijn van het plaatsen van (persoonlijke) informatie op internet. kennismking met i-respect.nl INTRODUCTIE GEMAAKT DOOR: Annèt Lmmers ONDERWERP: Een eerste kennismking met i-respect.nl en het onderwerp publiceren. DOEL: Weten wt de gevolgen en risico s kunnen zijn vn

Nadere informatie

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel Turf het ntl fouten en zet de resultten in een tel. Vlmingen Nederlnders resultt ntl resultt ntl 9 9 en nder tlstelsel U Ontijfer de volgende hiërogliefen met ehulp vn het overziht op p. in het leerwerkoek.........................

Nadere informatie

Handreiking voor zij-instroom in de zuivelindustrie

Handreiking voor zij-instroom in de zuivelindustrie Hndreiking voor zij-instroom in de zuivelindustrie Inleiding In het projet zij-instroom, onderdeel vn het progrmm Areidsmrkt & Opleiding Zuivelindustrie, is in de periode 2011-2012 onderzoek gedn nr mogelijkheden

Nadere informatie

Z- ß- ßr!2f int tçotg

Z- ß- ßr!2f int tçotg Z- ß- ßr!2f int tçotg A n s I u iti n g sco nve n nt "De Bouw Werkt ln Noordoost Brbnt" Er is een convennt gesloten De Bouw Werkt in Noordoost Brbnt. Eén vn de doelstellingen vn het convennt is het uitbreiden

Nadere informatie

Mytylschool De Trappenberg Peter van Sparrentak

Mytylschool De Trappenberg Peter van Sparrentak Mytylshool De Trppenberg Peter vn Sprrentk www.m3v.nl Nieuwbouwonept en revlidtieentrum geriht op de toekomst Mytylshool De Trppenberg en het ngrenzende revlidtieentrum in Huizen willen in de toekomst

Nadere informatie

Een gedicht bespreken

Een gedicht bespreken 1 Een gediht bespreken Het hulpshem hiern bevt een reeks vrgen die je kunnen helpen bij de bespreking vn een gediht. Let wel: Het is niet de bedoeling dt je lle vrgen bentwoordt. Seleteer die welke bruikbr

Nadere informatie

Keuze van het lagertype

Keuze van het lagertype Keuze vn het lgertype Beschikbre ruimte... 35 Belstingen... 37 Grootte vn de belsting... 37 Richting vn de belsting... 37 Scheefstelling... 40 Precisie... 40 Toerentl... 42 Lgergeruis... 42 Stijfheid...

Nadere informatie

schets 10 Bergrede: tweeërlei fundament (7:24-29)

schets 10 Bergrede: tweeërlei fundament (7:24-29) shets 10 Bergrede: tweeërlei fundment (7:24-29) A Kernpunten * An het einde vn de Bergrede vergelijkt Jezus de mens met de ouwer vn een huis. Het is een eeld voor wt wij vn ons leven mken en vioor de hele

Nadere informatie

Om welke reden heeft een kwak relatief grote ogen?

Om welke reden heeft een kwak relatief grote ogen? Route K - Volière en fznterie Strt ij de volière; de vrgen 1 t/m 6 gn over een ntl grote Europese vogels. De vrgen over de ndere dieren vn deze route hoeven niet in de juiste volgorde te stn. Dt komt omdt

Nadere informatie

PROCEDURE SCHADEMELDING - VASTGOED -

PROCEDURE SCHADEMELDING - VASTGOED - PROCEDURE SCHADEMELDING - VASTGOED - Afdeling Finnciën Gemeente Molenwrd Procedure Schdemelding Vstgoed versie 1.0 - pg. 1 Gemeente Molenwrd Inhoud Inleiding 1. Algemene beplingen 1.1 Schde melding 1.2.Schde

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2014

Correctievoorschrift VWO 2014 Correctievoorschrift VWO 04 tijdvk wiskunde B Het correctievoorschrift bestt uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vksecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt geruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het eknopt overzicht

Nadere informatie

Permanente kennis 3de trimester 4de jaar Grootheden en eenheden BASISGROOTHEDEN

Permanente kennis 3de trimester 4de jaar Grootheden en eenheden BASISGROOTHEDEN Permnente kennis 3de trimester 4de jr Grooteden en eeneden BASISGROOTHEDEN Bsisgrooteid Symool Eeneid lengte l meter m mss m kilogrm kg tijd t seonde s elektrise stroom I mpère A AFGELEIDE GROOTHEDEN EN

Nadere informatie

Gehele getallen: vermenigvuldiging en deling

Gehele getallen: vermenigvuldiging en deling 3 Gehele getllen: vermenigvuldiging en deling Dit kun je l 1 ntuurlijke getllen vermenigvuldigen 2 ntuurlijke getllen delen 3 de commuttieve en de ssocitieve eigenschp herkennen 4 de rekenmchine gebruiken

Nadere informatie

De Stelling van Pascal Inhoud

De Stelling van Pascal Inhoud De Stelling van Pascal Inhoud 1 Inleiding De stelling van Pascal voor een cirkel en ellips 3 De stelling van Pascal voor hyperbolen en parabolen 4 De stelling van Pappus 5 Een bewijs van Jan van IJzeren

Nadere informatie

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5 INHOUDSTABEL 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3 2. TEKENREGELS (fiche 2)... 5 2b. TEGENGESTELDE GETAL - TEGENGESTELDE SOM (verschil) - TEGENSTELDE PRODUCT (fiche 2b)... 6 2c. OMGEKEERDE

Nadere informatie

les 1 1 Welke breuk is het grootst? 2 Hoe kun je een meter veterdrop in zes gelijke stukken verdelen? Hoe vergelijk je de breuken?

les 1 1 Welke breuk is het grootst? 2 Hoe kun je een meter veterdrop in zes gelijke stukken verdelen? Hoe vergelijk je de breuken? 0 vergelijken en op volgorde zetten vn eenvoudige reuken en kommgetllen reuken omzetten in kommgetllen en omgekeerd Welke reuk is het grootst? 5 6 2 7 9 5 5 9 2 5 7 2 7 8 8 9 8 5 00 5 6 7 20 5 7 27 70

Nadere informatie

Functiebeschrijving en -waardering Stichting Promes, Meppel

Functiebeschrijving en -waardering Stichting Promes, Meppel Functie-informtie Functienm Orgnistie Stichting Promes, onderdeel Onderwijsondersteuning Slrisschl 5 Indelingsniveu FUWASYS-dvies IIc Werkterrein Onderwijsproces -> onderwijsbegeleiding Activiteiten Bewerken

Nadere informatie

INTERVIEWEN 1 SITUATIE

INTERVIEWEN 1 SITUATIE INTERVIEWEN drs. W. Bontenl 1 SITUATIE Een interview vlt te omshrijven ls een gesprek tussen één of meerdere personen - de interviewers - en een ndere persoon (of diverse nderen) - de geïnterviewden -

Nadere informatie

Uitvoeringsregeling Dienstreizen Wageningen UR

Uitvoeringsregeling Dienstreizen Wageningen UR Uitvoeringsregeling Dienstreizen Wgeningen UR Vstgesteld door het College vn Bestuur d.d. 11 ugustus 2003* Gelet op rtikel 3.21 lid 1 su vn de CAO Nederlndse Universiteiten en rtikel 8.5 vn de CAO Stichting

Nadere informatie

Een CVA (beroerte) kan uw leven drastisch veranderen! 2009 Een uitgave van de Nederlandse CVA-vereniging

Een CVA (beroerte) kan uw leven drastisch veranderen! 2009 Een uitgave van de Nederlandse CVA-vereniging N een CVA (beroerte)... hoe verder?. Een CVA (beroerte) kn uw leven drstisch vernderen! 2009 Een uitgve vn de Nederlndse CVA-vereniging Wt is een CVA? In Nederlnd leven meer dn een hlf miljoen mensen met

Nadere informatie

1 e Bachelor Informatica dinsdag 17-08-2010, 8:30 prof. dr. Peter Dawyndt academiejaar 2009-2010

1 e Bachelor Informatica dinsdag 17-08-2010, 8:30 prof. dr. Peter Dawyndt academiejaar 2009-2010 Exmen: Computergebruik 1 e Bchelor Informtic dinsdg 17-08-010, 8:30 prof. dr. Peter Dwyndt cdemiejr 009-010 groep 1 tweede zittijd Opgve 1 Gegeven is een tekstbestnd tour010.txt wrin de einduitslg vn de

Nadere informatie

Zelfstudie practicum 1

Zelfstudie practicum 1 Zelfstudie prtium 1 1.8 Gegeven is de volgende expressie:. () Geef de wrheidstel vn deze expressie. () Minimliseer de gegeven expressie. () Geef een poort implementtie vn de expressie vn onderdeel ().

Nadere informatie