Opgaven met dit merkteken kun je zonder de opbouw aan te tasten, overslaan.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Opgaven met dit merkteken kun je zonder de opbouw aan te tasten, overslaan."

Transcriptie

1 2 Verschuiven

2 Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten Blok Punten met gewicht vn Ad Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (2014) wiskunde B vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw n te tsten, oversln. * Bij opgven met dit merkteken hoort een werkld. Inhoudsopgve 1 Vectoren 1 2 Toepssingen 7 3 Rechthoekscoördinten 13 4 Op zoek nr evenwicht 21 5 De stelling vn Cev 29 6 Antwoorden 34 Eerste uitgve, feruri 2010 Colofon 2010 ctwo Auteurs Ad Goddijn, Leon vn den Broek, Dolf vn den Homergh, Met medewerking vn Josephine Buskes, Richrd Berends, Sie Kemme, Dick Klingens Illustrties Wilson Design, Uden Op dit werk zijn de eplingen vn Cretive Commons vn toepssing. Iedere geruiker is vrij het mterilen voor eigen, niet-commerciële doeleinden n te pssen. De rechten lijven n ctwo.

3 1 Vectoren We werken in het pltte vlk. positie 1 * 1 Joeri verpltst een kist vn positie 0 nr positie 1. positie 0 Een verpltsing gt in een eplde richting over een eplde fstnd. Een pijl is het geschikte middel om zo'n verpltsing weer te geven. Hierij is de lengte vn de pijl de fstnd wrover verpltst wordt. Wr die pijl gepltst wordt, is niet vn elng. In het vervolg noemen we een verpltsing een vector. Ltijn: vector is drger, iemnd die iets vn de ene nr de ndere plts drgt. Om vectoren vn getllen te onderscheiden, noteren we ze ls een letter met een pijl eroven, ijvooreeld v r. positie 1 v r w positie 0 positie 2 Anne verpltst de kist vn positie 1 nr positie 2. De vector ij Joeri's verpltsing noemen we v r, die ij Anne noemen we w. Met 2 v r edoelen we de verpltsing over een twee keer zo grote fstnd ls v r, in dezelfde richting. Met v + w edoelen we de verpltsing die je krijgt door eerst over v r te verpltsen, gevolgd door de verpltsing over w (of ndersom).. Teken op het werkld een pijl die hoort ij de vector v + w en een pijl die hoort ij de vector 2 v r. Met -v r edoelen we de verpltsing over dezelfde fstnd ls v r, mr dn in tegengestelde richting. De vectoren -v r en v r zijn tegengestelde vectoren.. Teken de vector -v r en -( v + w ). Als twee vectoren in elkrs verlengde liggen (ls we ze in hetzelfde punt lten eginnen), dn is de een veelvoud vn de nder. 1 Vectoren 1

4 v r w x Zo zijn in het pltje hiernst, de vectoren w en x veelvouden vn v r, dt wil zeggen er zijn getllen k en m zó, dt w =k v r en x =m v r. c. Bepl de getllen k en m (meten). Bij twee vectoren en, die niet in elkrs verlengde liggen, kun je een rooster mken; zie hieronder. d. Teken in het rooster op het werkld pijlen die de vectoren +2, +- en - +2 voorstellen. Meestl schrijven we, in plts vn +. z x y 2 We gn verder met de vectoren en vn opgve 1. Elke vector die roosterpunten nr roosterpunten verpltst, kun je schrijven ls k +m, voor zekere gehele getllen k en m. Zoek die getllen voor de vectoren x, y en z in het pltje hiernst. A y r D r r x + y x r B r r x + y x r y r C Er zijn twee mnieren om ij twee vectoren x r en y r de r r somvector x + y te tekenen. Als je x r en y r in hetzelfde punt lt eginnen, dn krijg r r je x + y ls digonl vn het prllellogrm ABDC zols hiernst. Deze mnier noemen we de prllellogrmmethode. Het kn ook zo. Je lt de strt vn y r eginnen ij de kop vn x r. De pijl die wijst vn de strt vn x r nr de kop vn y r stelt r r de verpltsing x + y voor. Deze mnier noemen we kop-strtmethode. 2 Vectoren en zwrtepunten

5 y r x r 3 Teken twee vectoren x r en y r zols hiernst. r r. Teken met de kop-strtmethode de vectoren x + y, x r r r r y en x + 2 y.. Teken met de prllellogrmmethode de vectoren r r r r 2 x + y en x 2 y. A AB B De vector die het punt A nr het punt B verpltst, noteren we met AB. P S y r x r B AB A R Q 4 Zie het pltje hiernst en g n: AB = y r x r. * 5 De vectoren PR en PQ hiernst stn ook op het werkld.. Teken de vector 2 PQ +11 PR. (Hoewel we niet fgesproken heen wt k PR etekent ls k niet geheel is, zl wel duidelijk zijn wt er mee edoeld wordt.). Teken de vector 2 PQ 11 PR. P Q R * 6 Het pltje hiernst stt ook op het werkld. Er zijn gehele getllen k en m zó, dt PS = k PQ + m PR. Zoek uit welke (gehele) getllen k en m zijn. Tip. Teken lijnen door S evenwijdig n lijn PQ en lijn PR. In opgve 6 heen we de vector PS ontonden ten opzichte vn de vectoren PQ en PR. * 7 v r 1 Vectoren 3

6 Teken twee vectoren, één op lijn en één op lijn, zó dt de som vn de vectoren die je getekend het de vector v r in het pltje oplevert. De twee vectoren die je getekend het in opgve 7, heten de componenten vn v r ten opzichte vn en. Zo he je in opgve 6 de componenten vn de vector PS ten opzichte vn de lijnen PQ en PR epld.) P 8 Teken drie vectoren en een punt P zols hiernst. Je kunt het punt P in zes verschillende volgordes over de drie vectoren verpltsen. Hieronder is er één getekend volgens de kop-strtmethode. Teken de ndere vijf. P Dt je in opgve 8 in lle zes de gevllen hetzelfde resultt krijgt, is een gevolg vn de volgende regels die voor het optellen vn vectoren gelden. Associtiewet Commuttiewet r r r r r r + ( + c) = ( + ) + c r r r r + = + Als je twee vectoren optelt, krijg je weer een vector. De vector die je krijgt door twee tegengestelde vectoren op te tellen, noemen we de nulvector. De vector met lengte 0 geven we n met 0 r. We noemen dit de nulvector. r r r Er geldt: v + 0 = v voor elke vector v r. 4 Vectoren en zwrtepunten

7 * 9 c Vier touwen zijn n elkr geknoopt. An elk vn de touwen trekt een krchtptser. De trekkrchten worden voorgesteld door de vectoren,, c en d. Hiervn zijn, en c l getekend.. Welke vn de drie trekkrchten is het grootst? De vier krchtptsers houden elkr precies in evenwicht.. Teken de vector d. Er geldt: + + c+ d = Teken twee vectoren r en r zols hieronder. r r Teken de vector x r r r r zó, dt + x =. r r r. G met een tekening n: x =. 11 Hieronder zijn vier vectoren getekend. Wt kun je over de som vn deze vier vectoren zeggen? 1 Vectoren 5

8 P x r y r * 12. Teken op het werkld het punt wrnr P verpltst wordt over x r en zet er P 0 ij.. r Teken r het punt wrnr P verpltst wordt over x + y en zet er P1 ij. Teken r ook r de punten r r die je krijgt door P te verpltsen over x + 2y en x y zet er P2 en P -1 ij. c. Het punt P wordt r verpltst r over lle mogelijke vectoren vn de vorm x + k y wrij k een willekeurig (niet noodzkelijk geheel) getl is. Kleur de punten wrnr P verschoven kn zijn r 3 r 2 De ene figuur hieroven is met fctor 2 uitvergroot tot de ndere. Dus: vector 1 is 2 r en vector 2 is 2 r. Vector 3 kun je op twee mnieren schrijven, één keer met en één keer zonder hkjes. Doe dt. Voor lle getllen k en m en vectoren en geldt: r r r r k ( + ) = k + k ; k ( m ) = ( k m) 14 De eerste regel regel volgt uit gelijkvormigheid; zie opgve 13. Lt in een pltje zien dt de tweede regel klopt voor k=2 en m= Vectoren en zwrtepunten

9 2 Toepssingen 1 Ollie en Stn duwen een zwre kst. Ollie duwt drie keer zo hrd ls Stn. Ollie duwt tegen de linkerzijknt en Stn duwt tegen de voorknt vn de kst. De krchten vn Ollie en Stn kun je voorstellen door vectoren. De vector die ij het duwen vn Ollie hoort, is lnger dn de vector die ij het duwen vn Stn hoort.. Hoeveel keer zo lng?. Teken in een ovennzicht heel precies de richting wrin de kst verschoven wordt. De vector die je in getekend het, is de resultnte vn de vectoren ij de krchten vn Ollie en Stn. 2 Jp doert in een roeiootje op de Ms. De Ms heeft dr een stroomsnelheid vn 3 km/u.. Teken een pijl vn 3 cm lengte. Die stelt de stroomvector vn de Ms voor. Zo wordt het ootje verpltst ls Jp niet roeit. Gezicht op Venlo en de Ms vnuit het noorden (noniem ongeveer 1840) Jp gt met een snelheid vn 4 km/u roeien (dt wil zeggen: in stilstnd wter zou de oot een snelheid vn 4 km/u heen).. Teken de netto -verpltsingsvector vn het ootje ls Jp met de stroom mee roeit. De verpltsingsvector die je getekend het, is de resultnte vn de vector ij de stroomsnelheid en de vector ij het roeien. c. Hoe lng he je de vector gemkt? d. Teken de verpltsingsvector ls Jp tegen de stroom in roeit. Hoe lng is de vector nu? snelheid door het roeien stroomsnelheid Hiernst zijn (verkleind) de vectoren getekend die de stroomsnelheid en de roeisnelheid weergeven ls Jp loodrecht op de richting vn de stroom roeit. e. Teken de resultnte vn de twee vectoren, de snelheidsvector vn het ootje. f. Bereken de snelheid vn het ootje. g. Bereken de hoek tussen de richting die het ootje opgt en de richting wrin de rivier stroomt in grden nuwkeurig. Als je niet weet hoe dt moet, lees dn eerst het volgende.. 2 Toepssingen 7

10 C B c α A Intermezzo In de rechthoekige driehoek ABC geldt: sinα= cosα= c tnα= c α Vooreeld In de rechthoekige driehoek hiernst is tnα= 14 31, met het rekenmchientje vind je dn: α 24,3. u r s r 3 Veeroot op de Ms Een veeroot vrt loodrecht de rivier over, doordt de veermn de oot schuin tegen de stroom in stuurt. De stroomsnelheid vn de rivier is weer 3 km/u en wordt weergegeven met een pijl s r vn 3 cm. De pijl u r dr loodrecht op is 3,75 cm lng.. Neem de figuur over en teken de vector v r r r r zó, dt s + v = u. Bereken de lengte vn v r in één deciml en de hoek die v r met s r mkt in grden nuwkeurig. Welke snelheid moet de veeroot uit zichzelf mken? De lengte vn een vector v r noteren we met v r. In opgve 3 geldt: s r = 3. Uit: Nollet, Leçons de Physique Experimentle, M.DCC.LIII Een jgpd of trekpd is een pd lngs een knl of rivier dt vroeger werd geruikt om schepen, gewoonlijk vrchtschepen, ls de wind niet gunstig ws, vooruit te trekken. Dit voorttrekken werd jgen genoemd, vndr de nm. Gewoonlijk geeurde dit door de schipper, zijn vrouw of smen met hun kinderen. Trekschuiten werden ltijd gejgd. Als er geld voor ws, kon voor het jgen een prd met egeleider ingehuurd worden. Uit: Wikipedi α α 4 Jgpd 1 Hieroven zie je een oot voortgetrokken door twee mensen, elk n een zijde vn het wter. We gn er vnuit dt eiden even hrd trekken. We stellen hun trekkrcht voor door vectoren en vn lengte 2. De 8 Vectoren en zwrtepunten

11 α α hoek tussen de richting wrin getrokken wordt en de richting wrin de oot eweegt, noemen we α. We nemen α=60. r r. Neem de tekening hiernst over en teken +, dt is de resultnte vn de trekkrchten en. r r Wt is + (exct)? r r. Teken. r r c. Wt is exct? 5 Jgpd 2 Trekschuit Reinier Nooms rond 1650 vrrichting v r De krcht wrmee het prd op het jgpd de schuit hieroven voorttrekt, loopt niet in de richting wrin de schuit zich verpltst. De trekkrcht vn het prd geven we weer met de vector v r. Neem n dt deze een hoek mkt vn 30 met de richting wrin de schuit zich verpltst.. Ontind v r in een vector u r in de vrrichting en een vector w r in de richting dr loodrecht op. De component w r vn v r drgt niet ij n de snelheid wrmee de schuit eweegt. Hij wordt 'opgevngen'. De component u r eplt de snelheid vn de schuit.. Bepl u r en w r ls v r = 3. 6 Mieke lt hr eide hondjes uit, ieder hondje netjes n de lijn. De hondjes trekken even hrd. De richtingen wrin ze trekken, stn loodrecht op elkr. Mieke trekt even hrd terug.. Neem het pltje over en geef de krcht wrmee Mieke trekt n met een pijl.. Hoeveel keer zo groot is de krcht wrmee Mieke trekt ls die wrmee elk vn de honden trekt? 2 Toepssingen 9

12 * 7 Vlootschouw Tijdens een onderdeel vn de vlootschouw zijn drie schepen in ctie. Schip A vrt met een constnte snelheid vn 5 mijl per uur, schip B vrt met een constnte snelheid vn 10 mijl per uur. Schip C heeft vn de leiding de opdrcht gekregen op elk moment precies midden tussen de schepen A en B in te vren (om esthetische redenen). A 0 en B 0 zijn de strtposities vn A en B; A 1 en B 1 de posities vn A en B n 1 minuut, enzovoort.. Zoek uit wr schip C zich n 1, 2, 3,... minuten evindt. Geef die pltsen op het werkld n met C 1, C 2, C 3,.... De plts C 0 is l ngegeven. Het ziet er nr uit dt schip C zich over een rechte lijn eweegt. We kunnen dit inzien door geruik te mken vn vectoren. 8 r r r + r r x In de figuur linksoven zijn de vectoren r en r volgens de prllellogrmmethode opgeteld. De vector x r rechtsoven heeft hetzelfde strtpunt ls r en r, en wijst nr het midden vn het prllellogrm. 10 Vectoren en zwrtepunten

13 C Zols ekend, delen de digonlen vn een prllellogrm elkr middendoor. Welke uitdrukking voor x r in r en r volgt hieruit? M In driehoek ABC is M het midden vn BC. Dn: AM = 1( AB + AC ). A B 9 Terug nr de vlootschouw. De verpltsing vn schip A in één minuut noteren we met x r en de verpltsing vn schip B in één minuut met de vector y r. We schrijven kort r voor C 0 A 0 ; dn is C 0 B 0 = - r.. G n dt C 0 A 1 = r x r + en C 0 B1 = - r y r +.. Druk C 0 C 1 uit in xr, y r en r. c. Druk vervolgens C 0 C 2, C 0 C 3..., enzovoort in xr en y r uit. d. Hoe kun je n de uitdrukkingen in c zien dt C over een rechte lijn eweegt? e. Neem n dt de hoek tussen de routes vn de schepen A en B 90 is. Met welke snelheid (exct) moet C dn vren? (A voer met 5 mijl per uur en B met 10 mijl per uur.) * 10 Een rollende knikker Een knikker die op een hellend vlk ligt, rolt nr eneden door werking vn de zwrtekrcht. Hoe groter de helling vn het vlk, hoe sneller de knikker rolt. De zwrtekrcht werkt verticl. Hiernst zie je dezelfde knikker op twee verschillende hellingen. (De pltjes stn ook op het werkld.) De zwrtekrcht is weergegeven door een vector.. Ontind de zwrtekrchtvector in eide gevllen lngs de lijnen en. Lijn stt loodrecht op het vlk V wrlngs de knikker rolt. We noemen lijn een norml vn V. Een vector die loodrecht op een vlk stt noemen we normlvector vn dt vlk. De component lngs die je in getekend het is een normlvector vn V. 2 Toepssingen 11

14 De component in de richting vn drukt op het vlk. We nemen n dt deze component geen invloed op de eweging vn de knikker heeft. (In de ntuurkunde zegt men: de rolweerstnd wordt verwrloosd). De component in de richting vn zorgt voor de eweging vn de knikker. Deze component is groter nrmte de helling vn het vlk groter is. Hiernst is de helling vn het vlk wrop de knikker ligt 37. De lengte vn de zwrtekrchtvector is Leg uit dt de hoek tussen de zwrtekrchtvector en lijn ook 37 is en ender de component vn de zwrtekrchtvector lngs in twee decimlen. y r v r α r x De vector v r in het pltje hiernst is ontonden in twee onderling loodrechte componenten x r en y r. Er geldt: x r = v r cosα en y r = v r sinα. * 11 Een uto wordt een helling op getrokken. De trekkrcht en de zwrtekrcht die op de uto uitgeoefend worden, zijn weergegeven door pijlen.. Ontind de zwrtekrchtvector in een component in de richting vn het hellend vlk en in de richting vn de normlvector vn het vlk.. Vergelijk de lengte vn de pijlen. Krijgt hij de uto de helling op? (De rolweerstnd wordt verwrloosd.) 12 Vectoren en zwrtepunten

15 y-s x-s 3 Rechthoekscoördinten In deze prgrf werken we in een rooster vn vierknten vn 1 ij 1. N keuze vn een oorsprong en een ssenstelsel, kunnen we elk punt in het vlk ngeven door een tweetl getllen (een getllenpr). We werken dn zogezegd met rechthoekscoördinten. Het getekende punt in het rooster heeft eerste coördint -2 en tweede coördint 1; we noteren het ls (-2,1). Een verpltsing in het rooster geven we ook met een getllenpr. Zo geven we de getekende vector n met (3,-1). We noemen het pr (3,-1) de kentllen vn de vector. Dit is verwrrend, mr uit de context zl steeds lijken wt edoeld wordt. r y-s 2 r w r v r x-s * 1 In het rooster hiernst is een ntl vectoren getekend. Verder is een roosterhokje grijs gemkt.. Geef de kentllen vn de vier vectoren en ereken hun excte lengte. Het grijze r hokje r wordt verpltst over vectoren vn de vorm k v + m w, wrij k en m gehele getllen zijn.. Geef op het werkld met grijs n welke hokjes ereikt worden. c. Ontind de vectoren r en r in componenten in de richtingen vn v r en w r en geef de getllen k en m zó dt r r r r r r = k v + m w, respectievelijk = k v + m w. 2 v r = (2,3) en w r = (-1,-2). Teken in een rechthoekig rooster de vectoren v r,w r en r r v + w. r r Wt zijn de kentllen vn v + w?. Teken 2 v r. Wt zijn de kentllen vn 2 v r? Als je een vector met een getl vermenigvuldigt, moet je eide kentllen met dt getl vermenigvuldigen. Als je twee vectoren optelt, moet je de kentllen pltsgewijs optellen. In formules: Als v r = (,) en w r = (c,d), dn v r r r + w = (+c,+d) en k v = (k,k) 3 Rechthoekscoördinten 13

16 Vooreeld 1 Als =(2,3) en =(-1,2) dn 2 3 =(2 2,2 3)+(-3-1,-3 2) =(4,6)+(3,-6)=(4+3,6 6)=(7,0) 3 Vnuit het punt P(0,1) wordt een kogel fgeschoten in de in de richting v =(5,2). We nemen n dt de kogel in een rechte lijn eweegt en elke seconde 5 eenheden in de x-richting en 2 eenheden in de y-richting eweegt.. Neem de figuur hieronder over en teken drin ook de punten wr de kogel zich evindt op de tijdstippen 2, 21 en 3. Ergens tussen t=2 en t=3 komt de kogel tegen de wnd (de lijn x=14).. N hoeveel seconden precies? In welk punt? Het ntwoord op kun je ook vinden door met vectoren te rekenen. De coördinten vn het punt wr de steen zich op t=21 evindt, krijg je door het punt (0,1) over de vector 21 (5,2)te verschuiven. Je komt dn in het punt: (0,1)+21 (5,2)=(0+21 5,1+21 2)=(121,6). In het lgemeen: op tijdstip t evindt de kogel zich in het punt: (0,1)+t (5,2)=(5t,1+2t). De kogel komt op de wnd ls zijn eerste coördint 14 is, dus 5t=14, dus t=2k. Het punt wr de kogel zich dn evindt, vind je door t=2k in te vullen in (5t,1+2t). Je vindt het punt (14,6 5 3 ). We noemen (x,y)= (0,1)+t (5,2) of (x,y)=(5t,1+2t) een prmetervoorstelling (pv) vn de lijn wrlngs de kogel eweegt. De prmeter is t. 14 Vectoren en zwrtepunten

17 4. Teken in een rooster de punten A(-2,1) en B(1,2). Teken ook de vector AB. We gn het punt A verpltsen over lle mogelijke veelvouden vn de vector AB. Je krijgt dn de lijn met pv: (x,y)=(-2,1)+t(3,1)=(-2+3t,1+t).. Teken de punten met coördinten (-2+3t,1+t) die je krijgt door voor t=0, 1, -1 en 2 te nemen. Voor t=0 krijg je ntuurlijk A en voor t=1 krijg je B. Voor lle ndere wrden vn t krijg je ook punten vn lijn AB: je eweegt vnuit A immers steeds in dezelfde richting, nmelijk in de richting vn vector AB ls t>0 en in de tegengestelde richting ls t<0. Het punt (-17,-4) ligt op lijn AB. c. Welke wrde vn t moet je nemen om dt punt te krijgen? d. Voor welke wrde vn t is (-2+3t,1+t) een punt vn de x-s? En voor welke wrde vn t een punt vn de y- s? Wt zijn dus de coördinten vn de snijpunten vn lijn AB met de x-s en de y-s? 5 k is de lijn met pv (x,y)=(2,1)+t(1,-2)=(2+t,1 2t) en m de lijn met pv (x,y)=(2,0)+t(-2,4)=(2 2t,4t).. Teken de lijnen k en m in een rooster, door eerst wt punten vn die lijnen te erekenen.. De lijnen k en m zijn evenwijdig. Dit kun je n de pv vn die lijnen zien. Hoe? c. Geef een pv vn de lijn door (2,3) evenwijdig n k en m. d. Teken de lijn met pv (x,y)=(0,4)+t(-1,2). De lijn die je in d getekend het is m. Verschillende pv's kunnen dus dezelfde lijn voorstellen. We zeggen dt twee vectoren ( 0 ) fhnkelijk zijn ls ze dezelfde of tegengestelde richting heen. In het pltje zijn v en w fhnkelijk, u en w niet. 3 Rechthoekscoördinten 15

18 6. Bepl het getl zodt de vectoren (,2) en (2,4) fhnkelijk zijn. Bepl het getl zodt de vectoren (,-8) en (2,4) fhnkelijk zijn.. Bepl het getl zodt de vectoren (,-2) en (2,5) fhnkelijk zijn. Bepl het getl zodt de vectoren (,7) en (2,5) fhnkelijk zijn. Twee vectoren ( 0 ) zijn fhnkelijk ls de ene een veelvoud vn de ndere is. In formule: v en w ( 0 ) zijn fhnkelijk ls er een getl k is zó, dt v =k w. In opgve 5 heen we de lijnen k en m ekeken. De richting vn de lijn k met pv (x,y)=(2,1)+t(1,-2) wordt epld door de vector (1,-2). De lijn m met pv (x,y)=(2,0)+t(-2,4)is evenwijdig met k omdt de vectoren (1,-2) en (-2,4) fhnkelijk zijn. In de pv vn k: (x,y)=(2,1)+t(1,-2) noemen we de vector (1,-2) richtingsvector. Vooreeld 2 Een pv vn de lijn door A(3,3) en B(2,0) vind je zo. Een richtingsvector is AB =(3 2,3 0)=(1,3). Een pv is dn: (x,y)=(2,0)+t(1,3). Een pv vn de lijn n door A(3,3) evenwijdig met p: (x,y)=(0,2)+t(3,1) vind je zo. Een richtingsvector vn p is (3,1); die kun je ook ls richtingsvector vn n nemen. Een pv vn n is dn: (x,y)=(3,3)+t(3,1). 7 Lijn k snijdt de x-s in (3,0) en de y-s in (0,2).. Geef een pv vn k. A m gt door door A(2,2) en is evenwijdig met k.. Geef een pv vn m. c. Bereken de coördinten vn de snijpunten vn m met de x-s en de y-s. r r r 1 ( + ) 2 B M 8 In prgrf 2, opgve 8 he je gezien: Als je de vectoren =, ), =, ) en 1 ( + ) in ( 1 2 ( ( + 2 hetzelfde punt lt eginnnen, dn wijst ) nr het midden vn lijnstuk AB. Geruik dit om de coördinten vn het midden vn lijnstuk AB uit te drukken in de coördinten vn A, ) en B, ) ( 1 2 ( Vectoren en zwrtepunten

19 Het midden vn lijnstuk AB met A, ) en B, ) is het punt , + ). ( ( 1 2 ( 1 2 y-s x-s 9. Geef de twee vectoren die loodrecht op de vector (3,-1) stn en even lng zijn ls (3,-1).. Geef de twee vectoren die loodrecht op de vector (1,2) stn en even lng zijn ls (1,2). c. Geef de twee vectoren die loodrecht op de vector (87,100) stn en even lng zijn ls (87,100). -2 De vectoren v L =(-,) en v R =(,-) stn loodrecht op v =(,). v L krijg je door v 90 linksom te drien en v R door v 90 rechtsom te drien v v v R v L A 10 en zijn twee (willekeurig gekozen) vectoren. Geldt + = ( + )? R R Geldt ( t ) = t? R Wt kun je zeggen vn ( )? R R R R B D In de volgende drie opgven ekijken we vierknten ABCD. De letters A, B, C en D stn steeds linksom in volgorde ij de hoekpunten. C 3 Rechthoekscoördinten 17

20 11 Bepl de coördinten vn C en D in de volgende gevllen. Mk eventueel een tekening op roosterppier.. A=(1,2) en B=(4,3);. A=(1,2) en B=(4,0); c. A=(11,20) en B=(72,83). In c kun je ls volgt te werk gn: AB = (61,63), dus C krijg je door B te verschuiven over (-63,61), dus C=(72+-63,83+61)=(9,144). d. Mk een soortgelijke erekening voor de coördinten vn D, ls A=(11,20) en B=(72,83). Schrijf je erekening op. e. Bereken de coördinten vn C en D ls A=(-11,20) en B=(50,10). Schrijf je erekening op. 12 Als A=( 1, 2 ) en B=( 1, 2 ), krijg je: AB = ( 1 1,2 2 ), dusc= ( 1 ( 2 2 ),2 + ( 1 1) ). Schrijf de coördinten vn C zonder hkjes, zo eenvoudig mogelijk.. Schrijf een erekening op voor de coördinten vn D. Schrijf die coördinten zonder hkjes, zo eenvoudig mogelijk. 13 Bepl de coördinten vn B en D in de volgende gevllen.. A=(-1,-2) en C=(3,6).. A=(-110,115) en C=(4,-1). Tip. Bepl eerst het midden M vn lijnstuk AC. De coördinten vn de punten B en C kun je dn vinden door M over AM R respectievelijk AML te verschuiven. 14 Twee stven vn lengte 2 vormen een Grieks kruis (dt wil zeggen dt de stven elkr loodrecht middendoor delen). Vn één vn de stven ewegen de eindpunten over de x-s en de y-s. Noem die eindpunten (,0) en (0,).. Wt kun je zeggen over 2 + 2?. Druk de coördinten vn het centrum vn het kruis uit in en. c. Beschrijf de n vn het centrum. d. Druk de coördinten vn de eindpunten vn de ndere stf uit in en. e. Bepl de n vn de eindpunten vn de ndere stf. Tip. Vergelijk de x- en de y-coördint vn die eindpunten. 18 Vectoren en zwrtepunten

21 45 45 v 15 Gegeven is de vector v =(1,2). Met ehulp vn v L en v R kun je ook wel vectoren en vinden die een hoek vn 45 met (1,2) mken, zie pltje.. Doe dt. Hoe lng zijn de vectoren die je gevonden het?. Geef de kentllen vn de vectoren die je krijgt door v 45 met de wijzers vn de klok mee te drien. 3 Rechthoekscoördinten 19

22 16 Schtgrven op Teleurstellingseilnd Op een onooglijk stukje vergeeld ppier dt Anne in een oude kist vindt, stt het volgende. Ze trekt zich niets n vn de gruwelverhlen op Het eilnd ligt op ZB, OL.: Disppointment Islnd; een vn de onewoonde Aucklnd Islnds ten zuiden vn Nieuw Zeelnd. Onewoond? Op visverwerkende witkopltrossen n! Anne heeft vst een pln gemkt, voor ls ze de stenen en de stronk eenml heeft gevonden. hier ligt de scht stronk vn de oude eik steen 1 steen 2 Op Teleurstellingseilnd ngekomen, vindt ze wel de twee stenen, mr de stronk vn de oude eik is vergn.. Neem een stuk ppier en teken drop twee punten. Dr liggen de stenen. Kies nu een willekeurig derde punt voor de positie vn de stronk en voer de zoekctie uit met je geodriehoek. Kies nog een nder punt voor de stronk en voer de zoekctie nog eens uit. Het lijkt wel of de plts vn de scht niet vn de plts vn de stronk fhngt! P(,) A(-2,0) Q B(2,0) R Dt dit inderdd zo is, kun je ls volgt inzien. Neem een ssenstelsel zo dt de stenen in de punten A(-2,0) en B(2,0) liggen. Zeg dt de eik in P(,) stond.. Druk de coördinten vn de punten Q en R (zie pltje) in en uit. c. Lt zien dt het midden M vn PR niet fhngt vn en. 20 Vectoren en zwrtepunten

23 4 Op zoek nr evenwicht Iemnd heeft zeven lokken op elkr gestpeld. De stpel helt gevrlijk nr rechts over. Mr hij vlt niet om! Hoe dt te egrijpen is, dr gt deze prgrf over. 1 Het moiel hieronder is in evenwicht. De zeven mss s zijn lleml even groot. De tweede situtie krijg je door twee vn de mss s in tegengestelde richting te verpltsen. De derde situtie krijg je door drn twee mss s tegengesteld n elkr te verpltsen over dezelfde fstnd en dt drn nog eens te doen. In de derde situtie zie je goed dt het moiel inderdd in evenwicht is. G deze twee verpltsingen n. Schuifprincipe Het evenwicht wordt niet verstoord ls je twee mss s tegengesteld n elkr verpltst: of 4 Op zoek nr evenwicht 21

24 Het schuifprincipe is ons uitgngspunt. Als je een lns tot je eschikking het, kun je experimenteel vststellen dt dit juist is. Uitgnde vn dit ntuurkundige principe, gn we wiskundig redeneren. De lengte vn de ophngtouwtjes is niet vn elng. * 2 Zoek uit wr je de moielen moet ophngen opdt zij in evenwicht zijn. De moielen stn ook op het werkld. In plts vn één mss 2 eenheden te verpltsen, kun je ook twee mss s 1 eenheid verpltsen (in dezelfde richting). In het ltste moiel vn de vorige opgve ws de fstnd tussen de linker en de rechter mss s 10. We verpltsen elk vn de linker mss s 3 pltsen nr rechts en elk vn de drie rechter mss s 2 pltsen nr links. Dn houden we evenwicht. Doen we dt nog een keer dn hngen lle vijf de mss s op dezelfde plts. Die plts verdeelt de oorspronkelijke fstnd in stukken die zich verhouden ls 6:4. 22 Vectoren en zwrtepunten

25 Het punt wr de stf met mss s moet worden opgehngen om de stf in evenwicht te krijgen, noemen we het zwrtepunt of mssmiddelpunt vn de stf met mss s An een mssloze stf hngen twee mss s vn grootte 2 en 6. Wr moet de stf worden opgehngen opdt hij in evenwicht is?. An een mssloze stf hngen twee mss s vn grootte en. Wr moet de stf moet worden opgehngen opdt hij in evenwicht is? In A en B evinden zich twee mss's vn grootte en. Het zwrtepunt Z vn de twee mss s ligt op lijnstuk AB, zodt AZ:BZ = : An een mssloze stf hngen twee mss's vn grootte 3 en 7. Bepl de plts vn het zwrtepunt Z op twee mnieren:. door te schuiven. door ovenstnde stelling toe te pssen. Nu we weten hoe we het zwrtepunt vn twee mss s kunnen eplen, gn we een systeem vn drie mss s op één lijn npkken An een mssloze stf hngen drie mss s vn grootte 1, 2 en 3 op onderling gelijke fstnden, en in deze volgorde.. Wr ligt het zwrtepunt?. En wr ls je de mss s 2 en 3 vn plts verwisselt? Bij drie mss s kun je er eerst twee smennemen, en vervolgens het resultt vn die twee comineren met het derde mss. Bijvooreeld: Op zoek nr evenwicht 23

26 Het zwrtepunt vn 5 en 7 ligt op fstnd 25 vn 7. Dus vervngen we de situtie door: Vervolgens eplen we het zwrtepunt vn 12 en 3, die een onderlinge fstnd 45 heen: We vinden het zwrtepunt vn de oorspronkelijke drie mss s op fstnd 36 vn het rechter mss. 6. G n dt je dezelfde plek vindt ls je egint met de mss s 3 en 5 smen te nemen.. Ook ls je egint met de mss s 7 en 3 smen te nemen. Het kn nog nders. Splits de mss vn 7 in twee mss s vn 5 en 2: c. Neem nu de twee mss s vn 5 smen en de mss s vn 2 en 3. Vind je weer hetzelfde zwrtepunt? Bij elk ntl mss s op een lijn vind je ltijd hetzelfde eindpunt, hoe je ook de tweetllen kiest die je chtereenvolgens smenneemt. Dt etekent dt je terecht kunt spreken vn het zwrtepunt. Verderop zul je met ehulp vn vectoren - egrijpen wrom je ltijd hetzelfde eindpunt vindt. 7 Bepl het zwrtepunt vn: Hoe gt het ls de mss s niet op één lijn liggen? Ook dn verschuiven we mss s nr elkr toe, tot dt lles in een centrum smenklontert: ls dt punt weer ltijd hetzelfde is, mg dt het zwrtepunt heten. 24 Vectoren en zwrtepunten

27 * 8 We ekijken een vooreeld met drie mss s: 1, 2 en Voor het gemk heen we een driehoekjesrooster ngercht, wrij de fstnden tussen een tweetl mss s verdeeld is in 15 en.. Bepl op het werkld het zwrtepunt door eerst de mss s 2 en 3 smen te nemen.. Ook door eerst 1 en 2 smen te nemen. c. En door eerst 1 en 3 smen te nemen. A AB B Wrom vind je ltijd hetzelfde eindpunt ls je mss s twee n twee smenneemt? De volgorde wrin je drij te werk gt, doet niet ter zke. Dit kun je egrijpen door met vectoren te werken. O We kiezen een oorsprong O in het vlk. In het vervolg schrijven we voor OA, OB enzovoort:,, enzovoort ; dt is gemkkelijker. A A AB C c B O B O * 9. Druk AB uit in en. AB = Het punt C verdeelt het lijnstuk AB zó, dt AC:BC=3:2.. Ontind c in de richtingen en en toon n dt 3 c = Tip. Teken lijnen door C evenwijdig n OA en OB en geruik gelijkvormigheid. 4 Op zoek nr evenwicht 25

28 A Het punt D verdeelt lijnstuk AB zó dt AD:BD=3:5. d. Ontind d in de richtingen en en ereken de getllen k en m wrvoor geldt dt c = k + m. Z B Stelling In A en B evinden zich de mss's en. We kiezen een willekeurig punt O ls oorsprong. Het zwrtepunt Z is het eindpunt vn de vector OZ = + OA + + OB O Bewijs OZ = OA + AB = OA + + (1 + )OA + OB = + (OB OA ) = + OA + + OB + A * 10 In de punten A en B evinden zich de mss's en. Geef op het werkld de plts vn het zwrtepunt n in de volgende gevllen.. = 0 en = 6. = 1 en = 5 B c. = 2 en = 4 d. = 3 en = 3 e. = 4 en = 2 f. = 5 en = 1 g. = 6 en = 0 O Merk op dt de keuze vn de oorsprong O er niet toe doet. 11. Hoe luidt de stelling ls we voor O het punt A kiezen?. Hoe luidt de stelling ls we voor O het punt Z kiezen? 12 Gegeven zijn vijf mss s in een vlk (of in de ruimte, of op een lijn): 2, 3, 5, 7 en 10, op de pltsen A 1, A 2, A 3, A 4 en A 5. Kies een oorsprong O. Om het zwrtepunt te vinden kunnen we (ijvooreeld) ls volgt te werk gn: - epl het zwrtepunt Z 12 vn de mss s 2 en 3, - epl het zwrtepunt Z 34 vn de mss s 5 en 7, - epl het zwrtepunt Z 345 vn het systeem met mss 12 in Z 34 en mss 10 in A 5, - epl het zwrtepunt Z vn het systeem vn mss 5 in Z 12 en mss 22 in Z Vectoren en zwrtepunten

29 Welke vector OZ vind je op deze mnier, uitgedrukt in OA 1, OA 2, OA 3, OA 4 en OA 5? OZ is een soort gemiddelde vector vn OA 1, OA 2, OA 3, OA 4 en OA 5. Hoe "zwr" elk vn die vectoren in het gemiddelde meetelt, hngt f vn de grootte vn mss op de etreffende plts. We gn nu het lgemene gevl ekijken. Voor drie mss s Gegeven zijn drie mss s 1, 2, 3 op de pltsen A 1, A 2, A 3. We kiezen een willekeurig punt O ls oorsprong en erekenen de som vn de mss s: = Dn vinden we het zwrtepunt Z ls volgt: OZ = 1 OA OA OA 3. A 1 Z 12 A 2 Z O A3 Bewijs Stel dt we eerst de mss s 1 en 2 smennemen. Die twee kunnen we vervngen door het mss = in hun zwrtepunt Z 12 met OZ 12 = 1 OA OA 2. Dit gecomineerd met mss 3 geeft het punt Z met OZ = 3 OZ OA + 3 = ( 1 OA OA 2 ) OA + 3 = 1 OA OA OA 3. Omdt in het eindntwoord de drie mss s en de drie pltsen volkomen symmetrisch voorkomen, is de volgorde wrin de mss s zijn smengenomen kennelijk niet vn elng! 3 Voor vier mss s Gegeven zijn vier mss s 1, 2, 3, 4 op de pltsen A 1, A 2, A 3, A 4. We kiezen een willekeurig punt O ls oorsprong en erekenen de som vn de mss s: = Dn vinden we het zwrtepunt Z ls volgt: OZ = 1 OA OA OA OA 4. Bewijs Eerst nemen we de mss s in A 1, A 2 en A 3 smen. Die kunnen we vervngen door mss = in plts Z 123, wrij 4 Op zoek nr evenwicht 27

30 OZ 123 = 1 OA OA OA 3. Dit nemen we smen met mss 4 in A 4. Dt geeft ons het zwrtepunt Z, wrvoor: OZ = 4 OZ OA = ( 1 OA OA OA 3 ) + OA = 1 OA OA OA OA 4. Weer is het ntwoord volkomen symmetrisch in de vier mss s en pltsen. Kennelijk is de volgorde vn smennemen niet vn elng. En zo gt dt door voor vijf, zes, mss s. Algemeen vinden we voor elk ntl mss s 1, 2,, n. op de pltsen A 1, A 2, A n het zwrtepunt Z ls volgt: Stelling De mss s 1, 2,, n evinden zich op de pltsen A 1, A 2, A n. Het zwrtepunt noemen we Z. Dn: OZ = 1 OA OA n OA n. Hierij is = n. We zien dt OZ een soort gemiddelde vector is vn OA 1, OA 2,, OA n. Hierij eplt een mss op een plts hoe zwr die plts meetelt. Het doet er niet toe in hoeveel dimensies we werken. De punten mogen est op een rechte lijn liggen, mr dt hoeft niet. En ls drie punten een driehoek in de ruimte vormen, hoeft de gekozen oorsprong niet in het vlk vn de driehoek te liggen. De werkwijze met vectoren is dus lgemeen geldig Anneke heeft chtereenvolgens de volgende cijfers voor wiskunde gehld: 7, 6, 5, 9, 9, 10, 6, 7, 7. Ze heeft de cijfers uitgezet op de getllenlijn. Bepl hr gemiddelde wiskundecijfer. Merk de nlogie op tussen het gemiddelde cijfer en het zwrtepunt. 28 Vectoren en zwrtepunten

31 5 De stelling vn Cev 1 C E D B X A De zijden AC en BC vn driehoek ABC zijn in vier gelijke stukken verdeeld; zie pltje. Twee vn de verdeelpunten zijn D en E. De lijn door C en het snijpunt vn AE en BD snijdt AB in X. Het lijkt erop dt X het midden vn AB is. In het volgende ewijzen we dt dit inderdd zo is. In het pltje hieronder is een lijn door C evenwijdig n lijn AB getekend.. Bewijs dt FC en GC even lng zijn. Tip. Lt zien dt eide 2 vn AB zijn.. Lt nu met gelijkvormigheid zien dt AX=BX. C G F E D S B X A Wt we hieroven heen gezien is een specil gevl vn de stelling vn Cev. 5 De stelling vn Cev 29

32 E C D B Stelling vn Cev In driehoek ABC liggen punten D, E en F op de zijden BC, CA en AB. Dn komen de volgende twee dingen op hetzelfde neer. AF BD CE =1 FB DC EA De lijnen AD, BE en CF gn door één punt. A F Interieur vn de Snt Teres Mntov Giovnni Cev (georen 7 decemer 1647 in Miln, gestorven 15 Juni 1734 in Mntu) ws een Itlinse wiskundige. Hij studeerde n de jezuïtische hogeschool in Miln en volgde een wiskundestudie n de universiteit vn Pis. Vnf 1686 werkte hij in Mntu ls "Mtemtico Cesreo e Commessrio Generle dell' Acque di tutto lo Stto". Hij werd egrven in de Snt-Tereskerk vn de Crmelitni Sclzi in Mntu. Cev hield zich voorl met meetkunde ezig. In 1678 puliceerde hij het oek De lineis rectis se invicem secntius, sttic constructio wrin ook ovenstnde stelling te vinden is. Hij puliceerde ook economisch getint werk De Re Nummerri (met Mntu ls vooreeld) en Opus hydrostticum over hydrulic. 2 Lt zien dt je opgve 1 met de stelling vn Cev kunt ewijzen. 3 Bewijs vn de stelling vn Cev In de punten A, B en C evinden zich mss s, en c. C D E B A F Het zwrtepunt vn de mss s en noemen we F, dt vn en c noemen we D en dt vn c en noemen we E. Het zwrtepunt vn de drie mss s, en c noemen we Z. 30 Vectoren en zwrtepunten

33 . Leg uit dt Z op lijnstuk CF ligt. Evenzo ligt Z op de lijnstukken BE en AD, dus gn de lijnen AD, BE en CF door één punt.. Druk de volgende verhoudingen in, en c uit: AF BD CE, en. FB DC EA AF BD CE c. Schrijf zo eenvoudig mogelijk. FB DC EA Als de lijnen AD, BE en CF door één punt gn, kun je er gewichten, en c ij verzinnen, en dn is AF BD CE =1. FB DC EA Het omgekeerde moet dn ook wr zijn omdt er mr AX BD CE één punt X op lijn AB is met =1. XB DC EA C y-s 2 D A -2 O 2-2 B x-s 4 In A(-2,0), B(4,0) en C(-1,3) evinden zich de mss s 4, en c. Het zwrtepunt vn de mss s in A en B is O. Het zwrtepunt vn de mss s in B en C is D. D ligt op de lijn x=1.. Bereken CD:DB en vervolgens en c. Het snijpunt vn de lijnen OC en AD is noemen we Z. Lijn BZ snijdt lijn AC in X.. Bereken AX:XC. c. Bereken XZ:ZB. 5 Hieronder zijn getekend A(0,15), B(36,0), D(9,0), E(0,6) en O(0,0). De lijnen OF, AD en BE gn door één punt.. Bereken de coördinten vn F. A F E O D. Bereken de coördinten vn het snijpunt vn de lijnen OF, AD en BE. B 5 De stelling vn Cev 31

34 6 In het pltje hieronder stn de punten A(-9,-6), B(9,0), C(-3,12), D(6,3) en E(-6,3). De lijnen CF, AD en BE gn door één punt X. C y-s E X F D B x-s A Bereken de coördinten vn F en vn X. 7 Op de zijden AC en BC vn driehoek ABC liggen de punten E en D. Het snijpunt vn BE en AD is X. C D E X B Lt zien: A lijn CX gt door het midden vn AB AE BD =. EC DC 8 32 Vectoren en zwrtepunten

35 In de linker driehoek zijn de zijden in zes gelijke delen verdeeld en de verindingslijnen vn de hoekpunten nr de verdeelpunten getekend. Het lijkt erop dt er punten zijn die op drie verindingslijnen liggen. Om zeker te weten dt dt inderdd het gevl is, is een erekening nodig.. Lt met de stelling vn Cev zien dt het ngegeven punt op drie verindingslijnen ligt. In de rechter figuur is een indeling in zeven delen op de zijden gemkt.. Zijn er ook hier weer punten die op drie verindingslijnen vn hoekpunten met verdeelpunten liggen? Zoek dt uit. Motiveer je ntwoord. 9 Het meetkundige zwrtepunt vn een driehoek In de onderouw he je de volgende definitie gezien. Een zwrtelijn vn een driehoek gt door een hoekpunt en het midden vn de tegenoverliggende zijde. zwrtelijn Stelling De zwrtelijnen vn een driehoek ABC gn door één punt, het zwrtepunt Z vn de driehoek. Het zwrtepunt verdeelt de zwrtelijnen in de verhouding 1:2. Er geldt: z = + c. Bewijs de stelling. 5 De stelling vn Cev 33

36 6 Antwoorden Prgrf 1 Vectoren 1. v r w v + w v r 2 v r. v r - v r v + w -( v + w ) c. k=3 en m=-2 d x = 3, y = 2, z = y r x r r x + y r x y r x + 2y. r 2x + y r x 2y 34 Vectoren en zwrtepunten x r

37 5.. 6 k=-5 en m=3 S R P Q 7 v r Antwoorden

38 9 c d 10. r r x. x r - r 11 Die is P 0 y r P 1 P 2 P -1 x r c. P P x r y r 13 2( + ) en r m r k r ( m ) r r ( k m) 36 Vectoren en zwrtepunten

39 Prgrf 2 Toepssingen 1. 3 keer. Stn resultnte Ollie 2.. c. 7 cm d. 1 cm e. 7 cm α f = 5 km / h g. tn(α) = 12, α u r α vr s r. v r = ,75 4,8 3 r r tn(α) =, dus α 39 en de hoek tussen v en s is 3,75 dus = 129. De veeroot moet zelf 4,8 km/h vren c. 2 α α + 5. vrrichting u w v r 37 6 Antwoorden

40 . u r 1,73, w r = 1 6. Mieke. 2 1,41 keer zo groot 7. B 0 B 1 C 0 A 3 C 1 C 2 A 2 C 3 A 1 B 3 A 0 8 x = 1 ( + ) 9. 1 x + y 10. c. x + y ; 11 ( x + y ) ; enzovoort. d. Omdt je in c steeds veelvouden vn dezelfde vector vindt. e Vectoren en zwrtepunten

41 . α + β = 90 β γ β + γ = 90 α = γ α De component lngs heeft lengte 12 cos(37 ) 9, j Prgrf 3 Rechthoekscoördinten 1. =(-2,5), lengte 29 ; =(1,6), lengte 37, v =(1,0), lengte 1 ; w =(-3,3), lengte 18 = 3 2. y-s w r -2 v r x-s r r r r r r c. = 3 v + 1 w 3 2, = 7 v + 2 w 2. (1,1). (4,6) w r r r v + w 2 v r v r 39 6 Antwoorden

42 3. 6 y-s t=2 t=21 wnd t=3 4 t=1 2 P t= x-s. Vnf t=0 moet hij horizontl 14 eenheden fleggen, dr zijn 14/5=2,8 seconden nodig. In verticle richting heeft hij dn fgelegd : 2,8 2=5,6 eenheden. De hoogte is dn 5,6+1=6, t=1 t=2 t=-1 t=0 5. c. t=-5 d. t=-1, t=b. Met de x-s : (-5,0), met de y-s : (0,1B). m k. De vectoren (1,-2) en (-2,4) zijn tegengesteld gericht. c. (x,y)=(2,3)+t (1,-2) of (x,y)=(2,3)+t (-1,2) of d. Dezelfde lijn ls m. 6. =1, =-4. =-K, =2K 7. (x,y)=(3,0)+t(3,-2) of (x,y)=(0,2)+t(3,-2) of. (x,y)=(2,2)+t(3,-2) of c. (x,y)=(2,2)+t(3,-2)= (2+3t, 2 2t)is pv vn m. Snijpunt met de x-s: dn y=0 2 2t=0 t=1. Dit geeft het punt (5,0) Snijpunt met de y-s: dn x=0 2+3t =0 t=-b. Dit geeft het punt (0,32). 40 Vectoren en zwrtepunten

43 9. (1,3) en (-1,-3). (2,-1) en (-2,1) c. (100,-87) en (-100,87) 10 j, j, ( ) = R R - 11 Schetsjes ij, en c: D A(1,2) v C B(4,3). v =(3,1),C=(4 1,1+3)=(3,4);D=(3 3,4 1)=(0,3). v =(3,-2),C=(4+2,0+3)=(6,3); D=(6 3,3+2)=(3,5) c. v =(61,63),C=(72 63,83+61)=(9,144); D=(9 61,144 63)=(-52,81) d. Zie c. e. AB = (61,-10), dus C=(50+10,10+61)=(60,71) en D=(60 61,71+10)=(-1,81). 12. ( , ). ( ( 1 1 ), ( 2 2 ))= ( , ) 13 M is het midden vn AC.. M=(1,2), AM =(2,4), dus B=(1+4,2 2)=(5,0); D=(1 4,2+2)=(-3,4).. M=(-53,57), AM =(57,-58), dus B=(-53 58,57 57)=(-111,0); D=(-53+58,57+57)=(5,114) D A(1,2) v B(4,0) =4. (1,1) c. (1) 2 +(1) 2 =3 4=1, dus het centrum eweegt over een cirkel met strl 1 en middelpunt (0,0). d. Zeg A=(,0), B=(0,). Het midden M vn AB is dn (1,1). AM =(-1,1). Noem de eindpunten vn de ndere stf C en D, dn C=(1 1,1 1) en D=(1+1,1+1). De y-coördint vn Cistegengesteld n de x-coördint vn C; De y-coördint vn Dis gelijk nde x- coördint vn C. Dus C loopt over de lijn y=-x en D over de lijn y=x. C D A(11,20) C v B(72,83 ) 41 6 Antwoorden

44 Je kunt het ook zo zien: C krijg je door B 45 tegen de wijzers vn de klok in te drien, C komt dus te liggen op de lijn y=-x. D krijg je door B 45 met de wijzers vn de klok mee te drien, D komt dus te liggen op de lijn y=x. 15. v L =(-2,1) en v R=(2,-1). Vectoren die een hoek vn 45 met v mken zijn v + v L Deze zijn 2 keer zo lng ls v. =(-1,3) en v + v R=(3,1).. Dus =(-1 2, 11 2 ) en =(-11 2,1 2 ). 16. PA=(- 2,-), dus Q=(-2+,0 2)= (-2+,- 2). Dn QB=(4,+2) en R=(-2+,0+4 )=(-2,4 ) en het midden vn PR is dn (-1,2), hngt dus niet f vn en. Prgrf 3 Op zoek nr evenwicht 1 Zelf doen. 2 Eerste: 61 vnf de linkse Tweede: 8 vnf de linkse Derde: 8 vnf de linkse Vierde: 6vnf de linkse 3. H vn de fstnd vnf links. vn de fstnd vnf links vnf vnf 1 6 Zelf doen vn de fstnd vnf links. 7 De fstnd tussen mss 7 en mss 1 noemen we 8. Dn komt het zwrtepunt op 10 rechts vn Vectoren en zwrtepunten

45 8,, c A P C c O B Q 9. Zie pltje. De driehoeken APC en AOB zijn OP 2 gelijkvormig. =, dus OP = 2 OA OA 5 5. OQ 3 3 Evenzo: =, dus OQ = OB OB 5 5. Dus: OC = c. OD = g. A f. e. d. c... B O 11. AZ = + AB. 0 = + ZA + + ZB 12 OZ = OA OA OA OA OA = Het gemiddelde is 7,3, Antwoorden

46 Prgrf 5 De stelling vn Cev 1. De driehoeken FDC en BDA zijn gelijkvormig, dus FC CD 1 GC CE 1 = =. Net zo is = =. AB AD 3 AB EB 3. De driehoeken FSC en BSX zijn gelijkvormig, dus FC CS GC CS FC GC =. Net zo is =. Dus =. BX SX AX SX BX AX Uit volgt dn dt AX=BX. 2 AX BD CE BD CE AX =1, verder =1, dus =1 XB DC EA DC EA XB 3. Je kunt het zwrtepunt Z eplen door eerst de mss's in A en B smen te nemen. Het zwrtepunt vn die twee ligt in F. Vervolgens moet je de mss's in C en F smennemen. Dus Z ligt op lijnstuk CF. AF BD c CE. =, = en =, dus: FB DC EA c AF BD CE c = = 1. FB DC EA c AO 4. 1 CD 2 2 = =, dus =2. = = =, dus c=3. OB 2 4 DB 3 c c. X is het zwrtepunt vn de mss's in A en C, dus AX 3 =. XC 4 c. Z is het zwrtepunt vn de mss's 7 in X en 2 in B. XZ 2 Dus =. ZB 7 AE OD FB 9 9 FB 5. = = 1, dus EO DB AF 6 27 AF AF 3 1 FB AF 2 = 1 = AB=(12,-5), dus F=(0+12,15 5)=(12,10).. Noem het snijpunt Z. We leggen in O, A en B geschikte mss's, ijvooreeld 1 in B, 2 in A en 3 in O. Dn is Z het zwrtepunt vn de drie mss's. Neem de mss's in A en B smen. Dt geeft mss 3 in F. Z is dn het zwrtepunt vn de mss's 3 en 3 in O en F, dus het midden vn OF. Dus Z=(6,5).. 6 BD 1 = en DC 3 AF 3 = FB 1 CE EA 1 = 1 AF, FB DC BD CE = 1, dus EA, dus BF = 1 4 BA=(-41,-11), dus F=(9 41,0 11)=(41,-11). 44 Vectoren en zwrtepunten

47 Om de coördinten vn X te vinden, leg je weer geschikte mss's in A, B en C, resp. 1, 3 en 1. Breng ijvooreeld eerst de mss's in B en C ij elkr in D. X is dn het zwrtepunt vn een mss 1 in A en een mss 4 in D, dus DX = 1 5 DA = (-3, ), dus X=(3, 1 ). 7 Het snijpunt vn CX met AB noemen we F. Dn CX gt AF door het midden vn AB =1. FB AF BD CE BD CE Verder: = 1, dus = 1, dus FB DC EA DC EA BD EA =. DC CE C 8. E 1 5 A D F B Noem de hoekpunten vn de driehoek A, B en C en de specile verdeelpunten (zie pltje), D, E en F. AF BD CE Dn geldt: = = 1, dus gn de FB DC EA lijnen AD, BE en CF door één punt.. G zo te werk ls in. Je moet dn positieve gehele x y z getllen x, y en z zoeken zó, dt = 1. 7 x 7 y 7 z N wt proeren, zie je dt dt niet gt. Je kunt ook wel ewijzen dt die x, y en z te vinden zijn ls volgt: Dn moet xyz = xy + 7xz + 7yz 47x 49y 49z xyz oftewel: 2xyz = xy + 7xz + 7yz 47x 49y 49z De rechterknt vn de ltste vergelijking is deelr door 7. De linkerknt moet dn ook deelr zijn door 7. Dit kn lleen ls x, y of z=7. 9 Leg mss's 1 in de hoekpunten! 45 6 Antwoorden

2 De kracht van vectoren

2 De kracht van vectoren De krcht vn vectoren Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten lok Punten met gewicht vn d Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (015) wiskunde vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw

Nadere informatie

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo

Nadere informatie

Bijlage 2 Gelijkvormigheid

Bijlage 2 Gelijkvormigheid ijlge Gelijkvormigheid eze bijlge hoort bij het hoofdstuk e krcht vn vectoren juli 0 Opgven gemrkeerd met kunnen worden overgeslgen. Uitgve juli 0 olofon 0 ctwo uteurs d Goddijn, Leon vn den roek, olf

Nadere informatie

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5

Nadere informatie

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax.

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax. Onfhnkelijk vn Voor elke positieve wrde vn is een functie f gegeven door f ( x) = (1 x) e x en een functie F gegeven door F ( x) = x e x. De functie 3p 1 Toon dit n. F is een primitieve functie vn f. De

Nadere informatie

2 De kracht van vectoren

2 De kracht van vectoren De krcht vn vectoren Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten lok Punten met gewicht vn d Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (015) wiskunde vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld

Nadere informatie

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2...

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2... 113 6.0 INTRO 1 Bekijk de sommen hiernst en g n of ze kloppen. Schrijf de twee volgende sommen uit de rij op en controleer of deze ook ls uitkomst 2 heen. c Schrijf twee sommen op die veel verder in de

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt

Nadere informatie

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2 Lijnen en vlkken in Kls N en N Wiskunde perioden Kees Temme Versie . Coördinten in R³.... De vergelijking vn een vlk ().... De vectorvoorstelling vn een lijn.... De vectorvoorstelling vn een vlk... 8.

Nadere informatie

Getallenverzamelingen

Getallenverzamelingen Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.

Nadere informatie

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h Een regenton Op het domein [0, ] is de functie r gegeven door r ( ) 5 5 5. W is het vlkdeel dt wordt ingesloten door de -s, de y-s, de grfiek vn r en de lijn h, met 0 h. Zie de onderstnde figuur. figuur

Nadere informatie

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen

Nadere informatie

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exmen VWO 2012 tijdvk 1 woensdg 16 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit exmen hoort een uitwerkbijlge. Dit exmen bestt uit 17 vrgen. Voor dit exmen zijn mximl 78 punten te behlen. Voor elk vrgnummer

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)² Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven

Nadere informatie

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten. 9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2015-I

wiskunde B pilot vwo 2015-I wiskunde B pilot vwo 05-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t sin t

Nadere informatie

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1 Lijn, lijnstuk, punt Verkennen Opgve 1 Je ziet hier een pltje vn spoorrils vn een modelspoorn. De rils zijn evestigd op dwrsliggers. Hoe liggen de rils ten opziht vn elkr? Hoe liggen de dwrsliggers ten

Nadere informatie

MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN

MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN III - 1 HOODSTUK 3 MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN De kennis vn het moment vn een krcht is nodig voor het herleiden vn een krcht en een krchtenstelsel, voor het (nlytisch) smenstellen vn niet-snijdende

Nadere informatie

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html

Nadere informatie

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg 3 Snijpunten Verkennen Meetkunde Snijpunten Inleiding Verkennen Bentwoord de vrgen bij Verkennen. Mk ook de constructie in GeoGebr. Gebruik eventueel het progrmm om de snijpunten voor je te berekenen ls

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VW 20 tijdvk woensdg 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. chter het correctievoorschrift is een nvulling opgenomen. Dit emen bestt uit 8 vrgen. Voor dit emen zijn miml

Nadere informatie

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm.

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm. Psser en irkel Verkennen Opgve 1 Op de foto hiernst wordt met ehulp vn een psser een irkel getekend. Pk jouw psser en mk de fstnd tussen de psserpunten 3 m. Teken een punt M en zet drin de stlen punt vn

Nadere informatie

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten?

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten? Opgve 1 Hier zie je een windroos met de windrihtingen er in getekend. Hij is verder verdeeld in 360 hoekjes, elk vn die hoekjes heet 1 grd. Bij het Noorden (N) hoort 0 grden (en dus ook 360 grden). file:

Nadere informatie

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c.

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c. Wiskunde voor bchelor en mster Deel Bsiskennis en bsisvrdigheden c 05, Syntx Medi, Utrecht www.syntxmedi.nl Uitwerkingen hoofdstuk 0 0... Voor scherpe hoek α geldt:. sin α = 0,8 α = sin 0,8 = 5, d. cos

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. Hoofdstuk : Bewerkingen in R - 7 Kls:... 1. Optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen in R (oek pg 15): Som: 1. vn twee getllen

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden

Nadere informatie

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe?

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe? Oefenopgven over Stoffen en Mterilen Uitwerking en ntwoord op elke opgve stt n de ltste opgve. Gegevens kunnen worden opgezoht in de tellen hterin. Als de zwrteftor niet vermeld is mg je 9,81 N/kg nemen.

Nadere informatie

Over de lengte van OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek

Over de lengte van OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek Over de lengte vn OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek DICK KLINGENS (e-mil: dklingens@pndd.nl Krimpenerwrd College, Krimpen n den IJssel (Nederlnd pril 2007 1. De lengte vn OH en OZ De punten O,

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv I- I- 38 lok 3 IT - eetkundige pltsen met Geoger ldzijde 8 H Het spoor vn lijkt een irkel te zijn. De irkel is de meetkundige plts vn een onstnte hoek. Het ewijs komt voor ij de stelling vn Thles. Gegeven:

Nadere informatie

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken MTKUN 2 Lengte - fstnd - hoeken M7 Lengtemten en meetinstrumenten 186 M8 Lengte en fstnd 187 M9 Gelijke fstnden 194 M10 Hoeken meten en tekenen 198 185 M7 1 Titel Lengtemten en meetinstrumenten 579 Vul

Nadere informatie

opgaven formele structuren procesalgebra

opgaven formele structuren procesalgebra opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve 3.3.7 op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve

Nadere informatie

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven Prktische opdrcht Optimliseren vn verpkkingen Inleidende opgven V, WB Opgve 1 2 Gegeven is de functie f ( x) = 9 x. Op de grfiek vn f ligt een punt P ( p; f ( p)) met 3 < p < 0. De projectie vn P op de

Nadere informatie

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Stoomursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en g verder

Nadere informatie

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel Turf het ntl fouten en zet de resultten in een tel. Vlmingen Nederlnders resultt ntl resultt ntl 9 9 en nder tlstelsel U Ontijfer de volgende hiërogliefen met ehulp vn het overziht op p. in het leerwerkoek.........................

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde. 1 Vlmse Wiskunde Olymide 1985-1986: Tweede Ronde De tweede ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 unten Per goed ntwoord krijgt hij of zij 4

Nadere informatie

Platte en bolle meetkunde

Platte en bolle meetkunde Hoofdstuk I Pltte en olle meetkunde F. vn der lij Dit hoofdstuk evt een door de redctie gemkte ewerking vn een in Utrecht op 6 oktoer 1993 gegeven Kleidoscoop college vn F. vn der lij. Grg willen we professor

Nadere informatie

Toetsopgaven vwo B deel 3 hoofdstuk 10

Toetsopgaven vwo B deel 3 hoofdstuk 10 Toetsopgven vwo deel 3 hoofdstuk 10 Opgve 1 In de figuur hiernst zie je 15 kubusjes met ribbe. e punten,, en zijn hoekpunten vn een kubusje, punt is het midden vn een ribbe en de punten en delen een ribbe

Nadere informatie

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren 6 Merkwrdige producten en ontinden in fctoren Dit kun je l 1 een mcht tot een mcht verheffen eentermen vermenigvuldigen 3 eentermen delen 4 veeltermen vermenigvuldigen 5 een veelterm delen door een eenterm

Nadere informatie

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken. Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:

Nadere informatie

wiskunde D Zwaartepunten

wiskunde D Zwaartepunten wiskunde D Zwrtepunten Inhoudsopgve Zwrtepunten Op zoek nr evenwicht Het elng vn het zwrtepunt 9 3 Met ehulp vn vectoren 3 4 Appendix 9 Antwoorden 39 experimentele uitgve, jn 009 Colofon 008 Stichting

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Antwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck

Antwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck Antwoorden Doeboek 1 Kijk op kegelsneden Rob vn der Wll en Liesbeth de Clerk 1 De 3 4 ) 5 Een 6 Als 7 8 ) 9 De Nee, lle punten die 1 entimeter vn het midden liggen, liggen op de irkel. gevrgde figuur bestt

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 987-988 : Eerste Ronde De eerste ronde estt steeds uit 0 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt: een deelnemer strt met 0 punten, per goed

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt geruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het eknopt overzicht

Nadere informatie

Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak

Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak 2 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk it kun je l 1 de iddelloodlijn vn een lijnstuk herkennen en tekenen 2 een hoek eten en tekenen 3 de issetrie vn een hoek herkennen en tekenen 4 de oördint vn

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS Hoofdstuk DE STELLING VAN PYTHAGORAS INHOUD. De stelling vn Pythgors formuleren 98. Meetkundige voorstellingen 06. De stelling vn Pythgors ewijzen 09. Rekenen met Pythgors. Construties.6 Pythgors in de

Nadere informatie

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM REKENEN MET MACHTEN Np EEBII 0 GGHM Inhoud Herhlin: Eponentiele roei... Netieve Mchten... Geroken mchten... Etr Oefeninen... 9 Hoere-mchts functies... 0 Overzicht vn de reels... Herhlin: Eponentiële roei

Nadere informatie

wedstrijden, dus totaal 1 n ( n 1)

wedstrijden, dus totaal 1 n ( n 1) Hoofdstuk : Comintoriek.. Telprolemen visuliseren Opgve :. ;. voordeel: een wegendigrm is compcter ndeel: ij een wegendigrm moet je weten dt je moet vermenigvuldigen terwijl je ij een oomdigrm het ntl

Nadere informatie

Opdrachten bij hoofdstuk 2

Opdrachten bij hoofdstuk 2 Opdrchten ij hoofdstuk 2 2.1 Het vullen vn je portfolio In hoofdstuk 2 he je gezien op welke mnier je de informtie kunt verzmelen. An de hnd vn die informtie kun je de producten mken wrmee jij je portfolio

Nadere informatie

De noodzakelijke voorwaarden voor een evenwicht kunnen derhalve samengevat worden als: F = 0 geen resulterende kracht in x richting.

De noodzakelijke voorwaarden voor een evenwicht kunnen derhalve samengevat worden als: F = 0 geen resulterende kracht in x richting. 1. EVENWICHT Zols in het eerste gedeelte over krchten en momenten reeds n de orde is gesteld werken op een lichm meestl meerdere krchten tegelijkertijd. We zeggen dt het lichm onderhevig is n een stelsel

Nadere informatie

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10 H. 10 Goniometrie 10.1 Bsisegrippen Regelmtig voeren we erekeningen uit, wrin één of meerdere hoeken voorkomen. Voor een sherpe hoek kunnen we 3 goniometrishe verhoudingen definiëren. Deze lten zih het

Nadere informatie

Rekenregels van machten

Rekenregels van machten 4 Rekenregels vn mchten Dit kun je l 1 mchten met een ntuurlijke exponent berekenen mchten met een gehele exponent berekenen 3 terminologie in verbnd met de mchtsverheffing correct gebruiken Test jezelf

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Dit document estt uit twee delen: de voorereidende opgven en een overzicht met lgerïsche vrdigheden. Mk de volgende opgven het liefst voorin

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I Tussen twee grfieken De functie f is gegeven door f ( ) =. In figuur zijn op het intervl [0, ] de grfiek vn f en de lijn = getekend. De grfiek vn f en de lijn = snijden elkr in het punt T. p de lijn =

Nadere informatie

CIRKELS EN BOLLEN. Klas 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme

CIRKELS EN BOLLEN. Klas 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme CIRKELS EN BOLLEN Kls 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme INHOUDSOPGAVE. DE VERGELIJKING VAN EEN BOL.... DE SNIJCIRKEL VAN EEN BOL EN EEN VLAK... 5. DE CIRKEL DOOR PUNTEN... 7. DE BOL DOOR GEGEVEN PUNTEN...

Nadere informatie

Breuken en verhoudingen

Breuken en verhoudingen WISKUNDE IN DE BOUW Breuken en verhoudingen Leerdoelen N het estuderen vn dit hoofdstuk moet je in stt zijn om: te rekenen met reuken en verhoudingen; reuken toe te pssen in erekeningen vn onder ndere

Nadere informatie

2 Formules herschrijven

2 Formules herschrijven Formules herschrijven Verkennen www.mth4ll.nl MAThADORE-bsic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-b Werken met formules Formules herschrijven Inleiding Verkennen Probeer de vrgen bij Verkennen zo goed mogelijk te bentwoorden.

Nadere informatie

OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN

OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN Welke wiskunde moet ik kiezen? Dit jr moet je gn kiezen welke wiskunde je wilt gn volgen in de bovenbouw. Hieronder kun je lezen wt wiskunde A, en D inhouden. Wiskunde

Nadere informatie

Wiskunde voor 1 havo/vwo

Wiskunde voor 1 havo/vwo Wiskunde voor 1 hvo/vwo Deel 2 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de Werkoek Alger (ursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen vn de e grd met één onekende Nm:. Hoofdstuk 5: Vergelijkingen vn de - 45 - e grd met één onekende. Instp (oek pg 7). Vn een rehthoek

Nadere informatie

de Wageningse Methode Antwoorden H24 GONIOMETRIE VWO 1

de Wageningse Methode Antwoorden H24 GONIOMETRIE VWO 1 H GONIOMETRIE VWO.0 INTRO 6 km : 0.000 = cm b b Driehoek PQB is gelijkvormig met driehoek VHB, de 00 vergrotingsfctor is 0 = 7. Dus PQ = 680 = 0, dus zeilt ze 0 meter 7 in minuten. Dt is,8 km/u.. HOOGTE

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Algerïshe ewerkingen ldzijde 9 V- d e 9 V- 9 V- + + + V- + + 9 d + + + + e + + + + f + g Hoofdstuk - Funties en lger + + + + + + + ldzijde 9 V- + ( + ) + ( )( ) of + of of of ( ) d p p ( p

Nadere informatie

Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde

Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde Oppervlkte vn riehoeken Verkennen Opgve 1 Je ziet hier twee riehoeken op een m-rooster. Beie riehoeken zijn omgeven oor eenzelfe rehthoek. nme: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg file: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg Hoeveel

Nadere informatie

4 Vectoren en zwaartepunten

4 Vectoren en zwaartepunten 4 Vectoren en zwrtepunten I Vectoren Uit: M.C.Escher Cleidocycli door Doris Schttschneider en Wllce Wlker * 1 De Nederlndse grficus en kunstenr M.C.Escher (1898-1972) is bekend om zijn vlkvullende tekeningen.

Nadere informatie

Parate kennis wiskunde

Parate kennis wiskunde Heilige Mgdcollege Dendermonde Prte kennis wiskunde 4 Lt A Lt B Wet A Wet B Ec C Vkgroep wiskunde Hemco Dit document is edoeld ls smenvtting vn wt ls prte kennis wordt ngenomen ij nvng vn het tweede jr

Nadere informatie

Bewerkingen met eentermen en veeltermen

Bewerkingen met eentermen en veeltermen 5 Bewerkingen met eentermen en veeltermen Dit kun je l 1 werken met letters ls onekenden, ls vernderlijken en om te verlgemenen 2 een tel mken ij een situtie 3 de fsprken over lettervormen toepssen 4 oppervlkteformules

Nadere informatie

Zelfstudie practicum 1

Zelfstudie practicum 1 Zelfstudie prtium 1 1.8 Gegeven is de volgende expressie:. () Geef de wrheidstel vn deze expressie. () Minimliseer de gegeven expressie. () Geef een poort implementtie vn de expressie vn onderdeel ().

Nadere informatie

15 5 omhoog. Hoofdstuk 26 RECHTE LIJNEN. 6 ad 26.0 INTRO

15 5 omhoog. Hoofdstuk 26 RECHTE LIJNEN. 6 ad 26.0 INTRO Hoofdstuk 6 RECHTE LIJNEN 6.0 INTRO 6 d km kost,0: =,9 drnkje kost : =,0, dus de entree is,0,0 = 0,-. Nee, ls je ij de onderste lijn nr rechts gt g je omhoog, dus ls je nr rechts zou gn, zou je omhoog

Nadere informatie

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents Formeel Denken Hermn Geuvers Deels geseerd op het herfst 2002 dictt vn Henk Brendregt en Bs Spitters, met dnk n het Discrete Wiskunde dictt vn Wim Gielen Herfst 2004 Contents 1 Automten 1 1.1 Automten

Nadere informatie

Over de tritangent stralen van een driehoek

Over de tritangent stralen van een driehoek Over de tritngent strlen vn een driehoek Dick Klingens mrt 004 Inleiding. Het bijvoeglijk nmwoord 'tritngent' gebruiken we ls we spreken over de incirkel (ingeschreven cirkel) en de uitcirkels (ngeschreven

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde 1 Vlmse Wiskunde Olympide 000-001: Tweede ronde De eerste ronde estt uit 0 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt: per goed ntwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een lnco ntwoord ezorgt hem

Nadere informatie

Nakomelingen van rendieren kunnen een paar uur na de geboorte al met de kudde meerennen. Zijn rendieren nestvlieders of nestblijvers?

Nakomelingen van rendieren kunnen een paar uur na de geboorte al met de kudde meerennen. Zijn rendieren nestvlieders of nestblijvers? Route A 1 Bosrendieren en korstmossen Rendieren zijn de enige herten wrvn zowel mnnetjes ls vrouwtjes een gewei drgen. Vroeger dcht men dt het gewei geruikt werd om sneeuw weg te schuiven zodt ze ij het

Nadere informatie

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I Toets jezelf: herhlingsoefeningen voor emen I - - Overzicht vn wt je moet kennen voor dit emen:. Alger:. Hoofdstuk : Reële getllen. Hoofdstuk : Eigenschppen vn de ewerkingen in R o Optellen, ftrekken,

Nadere informatie

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - JULI 2 BLZ /8. De functie fx) = e kx + x + met, en k R en k < heeft een schuine symptoot y = x voor x + en voldoet n de vergelijking Bepl, en k. D fx))) 2 + D fx)) 2) +

Nadere informatie

Bekijk onderstaand algoritme recalg. Bepaal recalg(5) en laat zien hoe u het antwoord hebt verkregen.

Bekijk onderstaand algoritme recalg. Bepaal recalg(5) en laat zien hoe u het antwoord hebt verkregen. Vooreeldtentmen 1 Tentmen Dtstructuren en lgoritmen (T641 en T6741) OPGAVE 1 c d Bekijk onderstnd lgoritme recalg. Bepl recalg() en lt zien hoe u het ntwoord het verkregen. Wt erekent recalg in het lgemeen?

Nadere informatie

Reguliere Expressies en Automaten: Overzicht

Reguliere Expressies en Automaten: Overzicht Reguliere Expressies en Automten: Overzicht Alfetten Tekenrijtjes over een lfet Tlen over een lfet Reguliere Uitdrukkingen Reguliere Operties Herkenners voor Reguliere Ptronen Deterministische utomten

Nadere informatie

Opgave 1 Stel je eens een getal voor, bijvoorbeeld: 504,76. a b c

Opgave 1 Stel je eens een getal voor, bijvoorbeeld: 504,76. a b c Opgve 1 Stel je eens een getl voor, ijvooreeld: 504,76. Wt zijn de ijfers vn dit getl? Hoeveel is elk vn die ijfers wrd? Wt etekent de komm? Opgve 2 Bekijk het getl 6102,543. d e Hoeveel ijfers hter de

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VWO 202 tijdvk 2 woensdg 20 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. Dit emen bestt uit 7 vrgen. Voor dit emen zijn miml 8 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel

Nadere informatie

11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage

11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage Wiskundige denkctiviteiten: digitle ijlge Suggesties voor opdrchten wrij de leerlingen uitgedgd worden wiskundige denkctiviteiten te ontplooien. De opdrchten heen de volgende structuur. In de kop stn chtereenvolgend:

Nadere informatie

Havo B deel 1 Uitwerkingen blok 1 Moderne wiskunde

Havo B deel 1 Uitwerkingen blok 1 Moderne wiskunde Hvo B deel Uitwerkingen lok Moderne wiskunde Blok Vrdigheden ldzijde 0 l gt door (0, ) dus strtgetl l gt door (0, ) en (, ), dus nr rehts en omlg ofwel nr rehts en 0, omlg. Het hellingsgetl is dn 0, y

Nadere informatie

Bijlage 1 Rekenen met wortels

Bijlage 1 Rekenen met wortels Bijlage Rekenen met wortels Deze bijlage hoort bij het hoofdstuk Meetkunde en Algebra juli 0 Opgaven gemarkeerd met kunnen worden overgeslagen. Uitgave juli 0 Colofon 0 ctwo Auteurs Aad Goddijn, Leon van

Nadere informatie

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af.

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af. Opgve 1 Vn twee korte en twee lnge luifers is een rehthoek geleg. Omt je geen fmetingen weet hngt e omtrek vn eze rehthoek f vn twee vrielen, nmelijk lengtekorteluif er en lengtelngeluif er. Welke formule

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150 Inhoud leereenheid 3 Integreren Introductie 5 Leerkern 6 Integrl ls oppervlkte 6 De functie ls fgeleide vn zijn oppervlktefunctie 3 3 Primitieven 33 4 Beplde en oneplde integrl 35 5 Oneigenlijke integrlen

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1:

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: 4 2 4 2 8 5 3 5 3 15 Als je twee breuken met elkr vermenigvuldigd moet je de tellers en de noemers vn beide breuken met elkr vermenigvuldigen. Voorbeeld 2: 3 3 1 5 4 8 3 5 4

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv ICT - Grfieken met VU-grfiek ldzijde 64 1 De snijpunten met de x-s zijn ( 3, ), (4, ) en (5, ). f( 3) =, 5 ( 3) 3 ( 3) 35, 3+ 3= f( 4) =, 5 ( 4) 3 ( 4) 35, 4+ 3= f( 5) =, 5 ( 5) 3 ( 5) 35, 5+ 3= Met de

Nadere informatie

Boek 2, hoofdstuk 7, allerlei formules..

Boek 2, hoofdstuk 7, allerlei formules.. Boek, hoofdstuk 7, llerlei formules.. 5.1 Evenredig en omgekeerd evenredig. 1. y wordt in beide gevllen 4 keer zo klein, je noemt dt omgekeerd evenredig. b. bv Er zijn schoonmkers met een vst uurloon.

Nadere informatie

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set Werkkrten GIGO 1184 Elektriiteit Set PMOT 2006 1 Informtie voor de leerkrht Elektriiteit is één vn de ndhtsgeieden ij de nieuwe kerndoelen voor ntuur en tehniek: 42 De leerlingen leren onderzoek doen n

Nadere informatie

Werken met. vectoren. Hoofdstuk 1 Werken met vectoren 9

Werken met. vectoren. Hoofdstuk 1 Werken met vectoren 9 Hoofdstuk Werken met vectoren 9 Werken met vectoren In Lthen in Duitslnd evindt zich de testn vn de Trnsrpid, een mgneettrein die over een specile n zweeft Stukken mgnetisch weekijzer in de n en elektromgneten

Nadere informatie

Cirkels en cilinders

Cirkels en cilinders 5 irkels en cilinders it kun je l 1 middelpunt en strl in een cirkel nduiden 2 de oppervlkte vn vlkke figuren berekenen 3 het volume vn een prism berekenen Test jezelf Elke vrg heeft mr één juist ntwoord.

Nadere informatie

Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller

Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller Wiskunde voor 2 hvo Deel 1 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons lientie.

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 Introductie Analytische Meetkunde

Hoofdstuk 1 Introductie Analytische Meetkunde Hoofdstuk 1 Introductie Anlytische Meetkunde 1.1 Wr ligt de scht? Op een zolder heb je een oude krt gevonden. Op een onbewoond Crïbisch eilnd is een scht begrven. De beschrijving is heel duidelijk: Loop

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2012

Correctievoorschrift VWO 2012 Correctievoorschrift VWO 0 tijdvk wiskunde B Het correctievoorschrift bestt uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vkspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2012

Correctievoorschrift VWO 2012 Correctievoorschrift VWO 0 tijdvk wiskunde B Het correctievoorschrift bestt uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vkspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

1.3 Wortels. = a b c. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. = a b c. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Kerstvkntieursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem

Nadere informatie

De standaard oppervlaktemaat is de vierkante meter. Die is afgeleid van de standaard lengtemaat, de meter.

De standaard oppervlaktemaat is de vierkante meter. Die is afgeleid van de standaard lengtemaat, de meter. Opgve 1 Dit is een roosterord. Elk roosterhokje is 5 m ij 5 m. Hoeveel edrgt de oppervlkte vn dit ord? Opgve 2 Welke oppervlktemten ken je l? Noem er zoveel mogelijk. De oppervlkte-eenheid is de vierknte

Nadere informatie