Primitieve en integraal

Transcriptie

1 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Les 4 Primitieve en integrl Een motivtie om nr de fgeleide vn een functie f te kijken is het beplen vn de richtingscoëfficiënt vn de rklijn n de grfiek vn f. Uiteindelijk hebben we de fgeleide gedefinieerd ls de limiet f (x) := lim h 0 f(x + h) f(x) h ls deze bestt. De fgeleide f (x) geeft informtie over het stijgen en dlen vn f(x) en is drom ook een belngrijk hulpmiddel bij het opsporen vn minim en mxim vn de functie f(x). Het is nu een (min of meer) voor de hnd liggende vrg, of we ook n de overgng vn f (x) nr f(x) iets hebben. Met ndere woorden: Stel, F (x) is een functie zo dt F (x) = f(x), wt voor informtie geeft dn de functie F (x)? Er geldt in dit gevl f(x) = F (x) = lim h 0 F (x + h) F (x) h en dus f(x) h F (x + h) F (x) en dus bendert het verschil F (x + h) F (x) de oppervlkte vn het rechthoek met hoogte f(x) en breedte h. We kunnen dus verwchten, dt de functie F (x) iets met de oppervlkte onder de grfiek vn f(x) de mken heeft: Om de oppervlkte onder de grfiek vn f(x) tussen en b te beplen, delen we het intervl [, b] in N even grote delen, deze hebben dus breedte h = b N. De oppervlkte O onder de grfiek wordt dn benderd door de som vn de oppervlkten vn de N rechthoeken vn hoogte f( + ih) en breedte h voor 0 =,..., N x Figuur II.20: Bendering vn de oppervlkte onder een grfiek door rechthoeken We hebben dus O = f() h + f( + h) h f( + (N )h) h. Mr zo ls boven gezien is f(x) h F (x + h) F (x), en hieruit volgt dt 76

2 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus O = (F (+h) F ())+(F (+2h) F (+h))+...+(f (b) F (+(N )h)) = F (b) F (). Het lijkt dus, dt we een functie F (x) met F (x) = f(x) kunnen gebruiken om de oppervlkte onder de grfiek vn f(x) te beplen. 4. De oppervlkte onder een grfiek Boven hebben we gezien dt een functie F (x) met F (x) = f(x) betekenis heeft ls we de oppervlkte onder de grfiek vn f(x) willen beplen. We gn nu omgekeerd ntonen dt uit twee voor de hnd liggende eisen n een functie, die de oppervlkte onder de grfiek vn f(x) ngeeft, volgt dt de fgeleide vn deze functie f(x) is. Voor een functie f(x) zij O f (, b) de oppervlkte onder de grfiek vn f(x) in het intervl [, b]. Onze twee eisen zijn ls volgt: (i) O f (, b) + O f (b, c) = O f (, c), dus het opsplitsen vn een intervl in twee deelintervllen verndert de oppervlkte niet. (ii) Als m f(x) M voor lle x [, b] dn is m(b ) O f (, b) M(b ), dus de oppervlkte ligt tussen de oppervlkten vn de rechthoeken met hoogte kleiner of groter dn lle functiewrden. Uit het feit dt O f (x, x) = 0 omdt een lijn geen oppervlkte heeft en eis (i) volgt dt O f (, b) = O f (b, ). Als we een oppervlkte vn rechts nr links ngeven heeft hij dus de negtieve wrde vn de gewone oriënttie. Ook ls f(x) < 0 en dus de grfiek onder de x-s ligt krijgen we een negtieve oppervlkte. Het is fhnkelijk vn de toepssing of we inderdd de oppervlkten onder de x-s negtief of positief willen tellen, in het ltste gevl kijken dn nr de functie g(x) := f(x) in plts vn f(x). Als we het intervl [, b] onderverdelen in N deelintervllen [x, x 2 ], [x 2, x 3 ],..., [x N, x N+ ] met x = en x N+ = b, dn geldt volgens eis (i): O f (, b) = O f (x, x 2 ) + O f (x 2, x 3 ) O f (x N, x N+ ). Als we nu nnemen dt f(x) op [, b] continu is, weten we dt in een intervl (x i δ, x i +δ) om x i de functiewrden f(x) in het intervl (f(x i ) ε, f(x i )+ε) liggen. Als we een ε > 0 kiezen kunnen we een onderverdeling nnemen zo dt f(x) f(x i ) < ε voor lle x [x i, x i+ ]. Dn geldt volgens eis (ii) dt (f(x i ) ε)(x i+ x i ) O f (x i, x i+ ) (f(x i ) + ε)(x i+ x i ) en dus (f(x i ) ε) O f (x i, x i+ ) x i+ x i Door de limiet ε 0 te nemen zien we dt de limiet O f (x i, x i + h) lim h 0 h (f(x i ) + ε). bestt en de wrde f(x i ) heeft. In het bijzonder kunnen we nu voor een vst gekozen punt x 0 een functie F : [, b] R, F (x) := O f (x 0, x) 77

3 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus definiëren. Dn geldt F (x+h) F (x) = O f (x 0, x+h) O f (x 0, x) = O f (x, x+h) en dus is F (x) een differentieerbre functie met fgeleide f(x). De oppervlkte O f (, b) is dus F (b) F () voor een functie F (x) met F (x) = f(x). Als we een tweede functie G(x) hebben met G (x) = f(x) dn is (F G) (x) = F (x) G (x) = f(x) f(x) = 0, dus is (F G)(x) een constnte functie en dus G(x) = F (x) + C voor een constnte C R. Mr dn is G(b) G() = F (b) + C F () C = F (b) F () en dus kunnen we de oppervlkte O f (, b) ook met behulp vn de functie G(x) ngeven. We hebben dus ngetoond: II.6 Stelling De oppervlkte onder de grfiek vn een continue functie f(x) in het intervl [, b] is F (b) F () voor een functie F (x) met F (x) = f(x). Dit is onfhnkelijk vn de keuze vn de functie F (x). 4.2 De primitieve en de integrl We noemen een functie F (x) met F (x) = f(x) een primitieve vn f(x). Als F (x) een primitieve vn f(x) dn is ook F (x)+c voor een constnte C R een primitieve vn f(x), dus is de primitieve niet eenduidig bepld. An de ndere knt verschillen twee primitieve functies vn f(x) lleen mr om een constnte, drom wordt de primitieve vn een functie vk met F (x) + C ngegeven, wrbij C een niet verder beplde constnte is. We hebben boven gezien dt een continue functie ltijd een primitieve heeft en dt deze een differentieerbre functie is. Als een functie f : [, b] R continu is behlve in een punt c [, b] kunnen we een differentieerbre primitieve F (x) op het intervl [, c] en een differentieerbre { primitieve F 2 (x) op het intervl [c, b] F (x) ls x vinden. Dn is de functie F (x) := een F 2 (x) F 2 (c) + F (c) ls x > c continue functie op [, b] die voor x c differentieerbr is met F (x) = f(x). Op deze mnier kunnen we continue primitieven voor functies vinden, die lleen mr in geïsoleerde punten niet continu zijn. Voor functies f(x) die in willekeurig kleine intervllen in oneindig veel punten niet continu zijn is een iets ingewikkeldere definitie vn een primitieve nodig, mr dit soort exotische functies gn we hier niet verder bekijken. De gebruikelijke nottie voor de primitieve functie F (x) vn f(x) is de integrl x F (x) = f(t)dt of F (x) = f(x)dx. x 0 De eerste vorm (met grenzen) noemen we ook de beplde integrl de tweede (zonder grenzen) de onbeplde integrl. Bij de onbeplde integrl identificeren we primitieven die om een constnte verschillen. De nottie vn de integrl is ingevoerd door Gottfried Wilhelm Leibniz die prllel met Isc Newton de crucile principes vn de clculus ontwikkeld heeft. De nottie is fgeleid vn de betekenis vn de primitieve voor de oppervlkte 78

4 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus onder de grfiek vn een functie: b f(t)dt = O f (, b) = N n O f (x i, x i+ ) f(x i )(x i+ x i ) = i= i= n f(x i ) x i. i= Het Σ is de Griekse letter S en stt voor som (of Summe), het teken voor de integrl lijkt op een uitgerekt S. Om n te duiden dt er een limiet voor x i 0 plts vindt, wordt het symbool dx geschreven. Dit is even ls x i in de prtiële fgeleide een formeel symbool dt ngeeft welke vribel gevrieerd wordt. Uit de definitie vn de integrl en de eigenschppen vn de fgeleide volgen meteen een pr belngrijke eigenschppen: b c f(x)dx + b b f(x)dx = g(x)dx = b b (f + g)(x)dx (cf)(x)dx voor c R We zien dus dt de integrl een lineire fbeelding op de vectorruimte vn continue functies is. Een woord vn wrschuwing: Bij het fleiden vn functies hebben we gezien dt er regels bestn zo dt we de fgeleide f (x) vn een functie f(x) die uit elementire functies (veelterm-functies, exponentiële functie, logritme, trigonometrische functies en hun inverse functies) opgebouwd is, weer ls combintie vn elementire functies kunnen schrijven. Voor de integrl geldt dit niet! Er zijn functies f(x) zo dt we de integrl f(x)dx niet ls combintie vn elementire functies kunnen schrijven. Dit ligt niet ern dt we te stom zijn om zo n functie te vinden mr het is mogelijk te bewijzen dt zo n functie niet bestt. Een voorbeeld hiervoor is de functie f(x) := exp( x 2 ). Deze functie is continu (zelfs differentieerbr), mr de enige mnier om de primitieve F (x) vn deze functie te schrijven is de integrl F (x) = exp( x 2 )dx. Een ingewikkelder voorbeeld is de Γ-functie Γ(x) := 0 exp( t)t x dt. Ook deze functie is niet zonder integrl te schrijven. Er lt zich wel ntonen dt Γ(n) = n! voor n N, dus is de Γ-functie een soort interpoltie voor de fculteit. Een ntl integrlen kunnen we l berekenen, omdt we bij het differentiëren gezien hebben, dt zeker functies eenvoudige fgeleiden hebben. Een pr voorbeelden zijn: (i) x dx = + x+ voor, (ii) exp(x)dx = exp(x), (iii) sin(x)dx = cos(x) en cos(x)dx = sin(x), 79

5 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus (iv) dx = rctn(x) en +x 2 x dx = rcsin(x). 2 We kunnen met behulp vn de integrl nu bijvoorbeeld de oppervlkte vn een cirkel met strl beplen. De punten (x, y) op de cirkel voldoen n x 2 + y 2 =, dus is de bovenhelft vn de cirkel de grfiek vn f(x) := x 2. De oppervlkte vn de cirkel vinden we dus ls 4 0 x 2 dx. We zullen lter nog een ndere mnier zien hoe we deze integrl kunnen berekenen, mr door een goede gok te doen kunnen we hem ook meteen oplossen. Er geldt (x x 2 ) = x 2 + x 2x 2 = x 2 + x2 = x 2 x 2 x 2 2 x 2. Hieruit volgt x x 2 dx = 2 2 (x x 2 + dx) = x 2 2 (x x 2 + rcsin(x)) =: F (x). Dus is 0 x 2 dx = F () F (0) = 2 (rcsin() rcsin(0)) = π/4 en we vinden inderdd π ls oppervlkte vn een cirkel met strl. Een hndige nottie om integrlen kort door hun primitieven te beschrijven is de volgende: Als F (x) een primitieve vn f(x) is, dn schrijven we b 4.3 Prtieel integreren f(x)dx = F (b) F () = F (x) b. Omdt de integrl de omkering vn de fgeleide is, kunnen we verwchten dt ook uit de productregel iets nuttigs voor het primitiveren volgt. De productregel zegt dt (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x), dus is f(x)g(x) b = b f (x)g(x)dx + b f(x)g (x)dx. Hieruit volgt de regel voor de prtiële integrtie: b f (x)g(x)dx = f(x)g(x) b b f(x)g (x)dx, f (x)g(x)dx = f(x)g(x) f(x)g (x)dx. De grp bij deze formule is dt we sommige functies eenvoudig kunnen primitiveren en dt een integrl misschien eenvoudiger wordt ls we een deel primitiveren en de rest fleiden. Hels zijn er geen regels hoe we een functie ls product vn twee functies moeten schrijven en welke vn de twee delen we ls f (x) en welke we ls g(x) moeten kiezen. Dit is een kwestie vn oefening en ervring en soms is het verstndig de verschillende mogelijkheden te proberen. Meestl zijn er niet zo veel mogelijkheden om een functie ls product vn twee functies te schrijven, en dn kunnen we een fctor ls f (x) of ls g(x) kiezen. Een pr typische toepssingen zijn de beste mnier om te zien hoe de prtiële integrtie werkt: () x }{{} g(x) exp(x) dx = x exp(x) exp(x)dx = ( x) exp(x), }{{} f (x) (2) log(x)dx = }{{} log(x) dx = x log(x) x }{{} xdx = x log(x) x. f (x) g(x) 80

6 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Soms lukt het bij de prtiële integrtie de oorspronkelijke integrl op de rechte zijde terug te vinden, mr met een ndere coëfficiënt. Dit is in het bijzonder bij functies met sin(x) of cos(x) vk het gevl, ook l is het hier soms nodig meer dn een keer prtieel te integreren omdt sin (x) = sin(x). Voorbeelden hiervoor zijn: (3) sin 2 (x)dx = sin(x) sin(x) dx = cos(x) sin(x) cos(x) cos(x)dx = }{{}}{{} f (x) g(x) cos(x) sin(x) + ( sin 2 (x))dx = 2 ( cos(x) sin(x) + x), (4) exp(x) sin(x)dx = -exp(x) cos(x)+ exp(x) cos(x)dx = -exp(x) cos(x)+ exp(x) sin(x) exp(x) sin(x)dx = 2 (exp(x)(sin(x) cos(x)). Belngrijke begrippen in deze les oppervlkte onder een grfiek primitieve functie integrl vn een functie prtieel integreren Opgven 46. Bepl primitieven voor de volgende functies: (i) f (x) := x met > 0,, (ii) f 2 (x) := + x, (iii) f 3(x) := x + x, (iv) f 4 (x) := 47. Bereken de integrl 2 + x 2 met 0, (v) f 5(x) :=. x + x + 0 ( x) n dx voor n N. 48. Bepl de oppervlkte vn het gebied dt door de grfieken vn f(x) := x 2 en g(x) := x wordt ingesloten (dus het gebied tussen de grfieken op het intervl tussen de snijpunten). 49. Bepl de volgende integrlen door prtiële integrtie: x (i) x sin(x)dx, (ii) x 2 exp(x)dx, (iii) log(x)dx, (iv) log 2 (x)dx, (v) log 3 (x)dx, (vi) cos(log(x))dx, (vii) x rctn(x)dx. 8