PR en QR snijden de grote as van E in respectievelijk U en V. Bewijs dat de vector UV. x 2y. a 4b. sin sin cos cos. a b 2 2. cos cos, sin sin.

Transcriptie

1 Oplossing Op e ellips E neem je twee vste punt P Q e vernderlijk punt R De middelloodlijn vn e constnte PR QR snijd de grote s vn E in respectievelijk U V Bewijs dt de vector UV vector is (dus onfhnkelijk vn de keuze vn R ) Noem E, Pcos, sin, Qcos, sin Rcos, sin De rico vn PR is m PR De middelloodlijn vn PR is sin sin coscos Voor het snijpunt met de grote s y 0 geldt dn: sinsinsin sin het midd vn PR is M coscos, sinsin cos cos l y sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos coscos cos cos cos cos cos cos coscos coscos cos cos coscos cos cos cos cos,0 Dus is U UV V U wnt sin sin cos cos cos cos cos cos cos cos nloog is V cos cos,0, zodt we vind dt: coscos,0, dit is onfhnkelijk vn ( dus vn de keuze vn R ) Welke ellips (etrokk op hr ss) rkt de recht t 5y9 0 t y3 0? Noem E vergelijking, of dus nog 59 y E Als mr één oplossing heeft Verevoudig geeft: t e rklijn is dn wil dt zegg dt de Deze vgl heeft mr één oplossing ls slechts ls (reking houdd met 0 0 ): Anloog zl t de ellips rk ls y 3 y 4 y y9 0 mr één oplossing heeft, dus ls slechts ls We he dus dt , zodt E

2 P ligt op de ellips E, met rndpunt c c Bewijs dt P P (of omgekeerd) 3 Het punt, Omdt, P E geldt dt y P c y c c y c c, omdt: c c erzijds : c c c, 0 nderzijds : c c c c 0 4 Op e ellips E ligg twee (verschillde) punt P P wrin de rklijn n E elkr snijd in T Bewijs dt T collineir is met het midd M vn PP het middelpunt vn E Noem P P cos, sin cos, sin dn vind we voor het snijpunt vn de rklijn: cos ysin T: cos ysin y cossin coss cos ysin sinsin coscos T: T, sin sin cossin cossin sin sin in cos cos Het midd M heeft ls coördint coscos, sinsin We rek met de determinnt n dt de punt O, M T collineir zijn: 0 0 cos cos sin sin coscos sinsin 0 sin sin coscos sin sin

3 5 Gegev is e ellips E met rndpunt twee willekeurig rklijn t t in de punt P, P E die elkr snijd in S ) Noem het spiegeleeld vn om de rklijn t Bewijs dt, P collineir zijn, dt (= de lgte vn de grote s vn de ellips) Noem N het snijpunt vn met de rklijn t, dn geldt erzijds dt PN PN (omdt het spiegeleeld is vn om t ), nderzijds impliceert de hoofdstelling dt SP PN dt PN SP wt inderdd wil zegg dt, P Hieruit volgt dus collineir zijn (overstnde hoek zijn gelijk) Verder is uiterrd P P P P (per definitie vn de ellips) ) Bewijs dt PS PS Uit het voorgnde volgt nloog dt Omdt S S S S de spiegeleeld zijn vn om respectievelijk, dt SP PS SP PS t t geldt uiterrd ook dt Wegs het congrutiekmerk ZZZ geldt dus S S, wruit het gestelde volgt: : S S S S S S S S PS PS 6 Gegev is de hyperool H Bepl, indi mogelijk, op H vier punt die de hoekpunt zijn vn e vierknt met zijd die evwijdig zijn met de ss vn H Is dit ltijd mogelijk? Het vierknt moet sowieso symmetrisch zijn om de oorsprong De hoekpunt moet dus ls coördint he Pp, p, Qp, p, R p, p S p, p Opdt deze punt op de hyperool zoud ligg moet indi in dt gevl zl p p p p Het is dus kel mogelijk

4 7 Gegev is de hyperool H Neem de punt,0 A, B0, e willekeurig punt PH Bewijs dt het verschil vn de kwdrt vn de oppervlktes vn Noem Psec, tn S OAP OAP OBP e constnte is OAyP tn, dn geldt voor de driehoek: S OBP OBP sec, sec tn Zodt SOBP SOAP sec tn 8 Op e hyperool H neem je e vernderlijk punt P De recht door P evwijdig met de symptot vorm sm met de symptot e prllellogrm Bewijs dt de oppervlkte vn dit prllellogrm gelijk is n e chtste vn de oppervlkte vn de ssrechthoek Neem H stel Psec, tn s y 0 Neem S s zodt PS// s S s zodt PS// s H De symptot vn H zijn s y 0 Dn geldt PS y, of nog: PS y sec tn 0 Het snijpunt S vn PS s is r y S: s y0 De oppervlkte vn OSPS is dus gelijk n: sec tn sec tn sec tn y sec tn 0 0 S sec tn sec tn sec tn sec sec tn tn sec tn sec tn S 8 9 Op e gelijkzijdige hyperool H met topp T T neem je e willekeurig punt P Noem T het hoogtepunt is vn de driehoek Neem H, dn is,0 dn is P sec, tn P het spiegeleeld vn P om de s PT P TT Bewijs dt T T,0 Stel Psec, tn Dt in driehoek PT P de hoogtelijn uit PP door T gt is evidt (dit is e -s) We controler nu dt ook de hoogtelijn uit door T gt Drvoor volstt het te controler dt PT PT : P

5 PTPT TP T P sec sec 0tn 0tn PTP T sec tn sec tn 0 0 De punt S S zijn de snijpunt vn de rklijn t n e hyperool H in e willekeurig punt P met de symptot vn H ) Bewijs dt P het midd is vn SS Neem H stel Psec, tn H zijn s y 0 s y 0 De symptot vn De rklijn in P is sec ytn t, het snijpunt S wordt gegev door: cos sec ytn sec tn sectn sin y0 y cos y sectn sin Dus S cos cos, nloog vind je S sin sin Voor het midd M geldt: M y M cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos, sin sin cos sin sin cos sec sin sin cos cos sin sin cossin tn sin sin cos ) Bewijs dt de punt S S concyclisch zijn met de rndpunt vn H Noem N het snijpunt vn de middelloodlijn vn (de y -s) SS (de norml in P nh), dn geldt utomtisch l dt N N NS NS Als we dn nog kunn ewijz dt ook N NS dn is het gestelde ewez De norml n in P heeft ls vergelijking: y Voor het snijpunt N met de y-s geldt dus: tn sec sec tn 0 sectn sectn c tn tnsecsecytn0y, sec zodt tn N 0, c

6 Dn is c tn N c NS cos cos c tn sin sin We herleid de te ewijz gelijkheid N NS : c tn cos cos c tn c c c sin sin c tn cos cos cos c sin sin sin c cos c sin sin sin sin cos sin sin tn c tn sin sin sin sin sinsin sinsin sin