1 Theoretische achtergrond voor het schakelen van weerstanden.

Transcriptie

1 Theoretische chtergrond voor het schkelen vn weerstnden.. Serieschkeling. R 2 n Rs R* *2 *n s eide schkelingen zijn equivlent ls een uitenstnder geen verschil ziet tussen eide schkelingen. ij het nleggen vn dezelfde spnning (), moet er nr eide schkelingen dezelfde stroom () vloeien. n een serieschkeling vloeit er door elke weerstnd dezelfde stroom (2 n). s R* + * * n R* + * * Rs R Rs R Merk op: Rs is steeds groter dn de grootste. ls lle weerstnden gelijk zijn dn Rs n * R en is er over elke weerstnd dezelfde spnning. Over de grootste weerstnd stt de grootste spnning. Over de kleinste weerstnd stt de kleinste spnning. ls er tussen 2 weerstnden een knooppunt is, dn stn de 2 weerstnden NET in serie. Wrom?

2 .2 Prllelschkeling R R* 2 *2 n *n p Over elke weerstnd die in prllel stt, stt dezelfde spnning ( 2 n). p n n 2 n 2 n n R + R ( ) ( R ).2. Merk op: ls er 2 weerstnden in prllel zijn (R en ) dn geldt: R R + ( + ) ( + ) ( ) R R* R* R* R* R + R* R + Deze formule is NET geldig voor 3 of meer weerstnden in prllel! Deze formule niet geruiken met het rekentoestel ( meer werk). Geruik de lgemene formule met je rekentoestel ( R dus R intypen gevolgd door de toets x ). R

3 Het resultt is steeds kleiner dn de kleinste. ls er n gelijke weerstnden R in prllel stn, dn is Door de kleinste weerstnd vloeit de grootste stroom. Door de grootste weerstnd vloeit de kleinste stroom. R. n R ( + ) ( + ) ( ) 0 R 0 R Ook hier is de vervngingsweerstnd kleiner dn de kleinste. Negtieve weerstnden estn niet. ls een weerstnd kortgesloten is, dn is de vervngingsweerstnd steeds nul.

4 .3 Ster- driehoek trnsformtie. Soms geeurt het dt er geen weerstnden in serie of prllel stn. Kijk dn ls ze niet in ster of in driehoek stn. De ster is vervngr door een equivlente driehoek en omgekeerd. Hoe?.3. Vn driehoek nr ster. Gegeven:,, c Gevrgd: α, β, γ? Dus 3 onekenden. Om dt op te lossen heen we 3 onfhnkelijke vergelijkingen nodig. Oplossing: Om die vergelijkingen te vinden eschouwen we volgende schkeling: n ster: De stroom zl enkel epld worden door de weerstnden α en γ. β speelt hierin geen invloed dr deze weerstnd los hngt. α en γ stn ijgevolg in serie. E E De stroom RC α + γ n driehoek: De stroom zl zich in C opsplitsen in een stroom door en een stroom door. en c stn in serie. Deze serieschkeling stt op zijn eurt in prllel met. E E De stroom ( + c) // ( + c)* ( + c) + eide stromen zijn slechts gelijk ls de noemers gelijk zijn. Dus ls R C ster R C driehoek

5 ( + c)* Of ls R C α + γ. ( + c) + Op dezelfde wijze vindt men de 2 ndere vergelijkingen die moeten kloppen voor onze eide schkelingen. ( + )* c R β + α (2) ( + ) + c ( c + )* R C γ + β (3) ( c + ) + ( + c)* R C α + β () ( + c) + Om de sterweerstnden te vinden, kn men de ene formule sustitueren in de ndere ( veel werk). Het is echter mogelijk om de vergelijking snel op te lossen. Dt geeurt ls volgt: We voeren dezelfde ewerking ()+(2)-(3) uit op het linker en het rechter lid. Drdoor lijven deze leden in evenwicht: Voor het linker lid: (α+γ) +(β+α)-(γ+β) 2*α Voor het rechter lid: ( + c)* ( + )* c ( c + )* + c + c + c ( c + ) 2c + ( + c) + ( + ) + c ( c + ) + 2c 2α α c + + c (4) Wie goed kijkt ontdekt een wetmtigheid in hete stelsel (), (2) en (3).,, (),, (2) C,c, (3) Men spreekt vn cyclische formules: Het resultt vn de erekeningen zl ook deze wetmtigheid volgen. Zo kn men vlug de ndere formules fleiden β c + c + c + + c (5)

6 γ + c c (6) n woorden: de gezochte sterweerstnd is het product vn de nliggende driehoeksweerstnden gedeeld door de som vn de driehoeksweerstnden. De nliggende driehoeksweerstnden zijn de 2 weerstnden die hngen n hetzelfde punt ls de gezochte sterweerstnd..3.2 Vn ster nr driehoek. Om vlug deze formules f te leiden strt men est vn de vergelijking (4), (5) en (6). c * c (4)*(5) α * β ( )² (5)*(6) (6)*(4) c * β * γ ( )² * c γ * α ( )² We tellen deze vergelijkingen op: Merk op: ook hier cyclische formules. cc + c + c c( c + + ) c αβ + βγ + γα ( )² ( )² c en c * α αβ + βγ + γα c * β αβ + βγ + γα c c * γ αβ + βγ + γα αβ + βγ + γα α αβ + βγ + γα β αβ + βγ + γα c γ Merk op: ook hier cyclische formules.

7 n woorden: men vindt de driehoeksweerstnd door de som vn lle producten vn de sterweerstnden te delen door de overstnde sterweerstnd. De overstnde sterweerstnd is de sterweerstnd die NET hngt n de punten wr de gezochte driehoeksweerstnd hngt.