III. Integraalvergelijkingen.

Transcriptie

1 III. Inegrlvergelijkingen. In di hoofdsuk pssen we de specrlheorie vn operoren op Hilberruimen oe op een nl lineire inegrlvergelijkingen. In een volgende hoofdsuk zullen we zien hoe beplde ypen differenilvergelijkingen o inegrlvergelijkingen kunnen worden gernsformeerd. Een nl veel voorkomende ypen inegrlvergelijkingen zijn: g(x) = f()k(x, )d (3.1) Di is een Fredholm-inegrlvergelijking vn de 1e soor. Hierbij zijn g en K(x, ) gegeven funcies. De funcie K die gedefinieerd is op [, b] [, b] hee een inegrlkern. Eenzelfde ype me vribele bovengrens: g(x) = f()k(x, )d hee een Volerr-inegrlvergelijking vn de 1e soor. Een nder ype is he volgende: f(x) = g(x) + λ f()k(x, )d. (3.1b) (3.2) Hierbij zijn opnieuw g en K gegeven funcies. Als g = dn noemen we de vergelijking homogeen. De prmeer λ word vk oegevoegd, zod he homogene ype een eigenwrdenvergelijking word. Een inegrlvergelijking vn deze vorm hee een Fredholm-inegrlvergelijking vn de 2e soor. Anloog hee he ype me vribele bovengrens f(x) = g(x) + λ f()k(x, )d. (3.2b) een Volerr-inegrlvergelijking vn de 2e soor. Door K(x, ) = e nemen voor > x, kunnen we de Volerr-vergelijkingen ls een specil gevl vn de Fredholm-vergelijkingen beschouwen. We besuderen in di hoofdsuk inegrlvergelijkingen vn ype (3.2) en (3.2b) wrvn de behndeling nslui bij de heorie ui he vorige hoofdsuk. We nemen n d lle funcies in de Hilberruime L 2 (, b) liggen en K : [, b] [, b] C is coninu. De inegrl me kern K definieer een begrensde operor K B(L 2 (, b)): me Kf(x) = K 2 = K(x, )f()d (3.3) K(x, ) 2 dxd. (3.4) De inegrlvergelijkingen (3.2) en (3.2b) kunnen we schrijven ls (id H λk)f = g, me id H de idenieke operor op H = L 2 (, b). De operor id H λk is invereerbr op H ls λ 1 geen eigenwrde is vn K Volerr-inegrlvergelijkingen vn de weede soor. L, b R, < b en H = L 2 (, b). We onen n d in he gevl d K(x, ) = voor x < en K(x, ) begrensd is, de operor id H λk voor lle λ invereerbr is, m..w. σ(k) = {}. 1

2 Hieroe onen we n d de inverse vn id H λk word gegeven door de begrensde operor λ n K n. Merk op d voor n = 1, 2,... de operor K n word gegeven door K n f(x) = wrbij K 1 (x, ) = K(x, ) en K n recursief word gegeven door K n (x, ) = K n (x, )f()d (3.5) K n 1 (x, u)k(u, )du. We geven een fsching voor K n ; l M een bovengrens zijn voor K(x, ): K n (x, ) = 1 n 2... K(x, 1 )K( 1, 2 )... K( n 1, )d n 1... d 2 d 1 en dus M n 1 n 2... d n 1... d 2 d 1 = M n (x ) n 1 /(n 1)!, Mr dn is en de reeks K n 2 = K n (x, ) 2 ddx M 2n (n 1)! 2 (x ) 2n 2 ddx = M 2n (b ) 2n ( M n = 2n(2n 1)(n 1)! 2 (b ) n ) 2. n! λ n K n e λm(b ) λ n K n convergeer voor elke λ C en is dus een begrensde operor. Tensloe is (id H λk) N λ n K n = N λ n K n (id H λk) = (id H λ N+1 K N+1 ) en he recherlid convergeer nr id H ls N. Dus is vn (3.2) word dus gegeven door de Neumnn-reeks f(x) = Voorbeeld: Beschouw de inegrlvergelijking λ n K n = (id H λk) 1. De oplossing λ n (K n g)(x). (3.6) y(x) = 1 + λ 2 y()d.

3 Hier is K(x, ) = 1 voor x > en = voor x <. Verder is g(x) = 1 en voor lle n 1 dus K n g(x) = x n /n! en de oplossing is y(x) = K n g(x) = λ n K n g(x) = (K n 1 g)()d (λx) n /n! = e λx. Merk op d de inegrlvergelijking ook kn worden opgelos door deze e differeniëren en de onsne differenilvergelijking op e lossen Fredholm-inegrlvergelijkingen vn de weede soor. L, b, H ls boven zijn. In egenselling o he gevl vn Volerr-inegrlvergelijking vn de 2e soor, kunnen er λ C zijn, zodnig d id H λk nie-invereerbr is. Deregelijke wrden noemen we krkerisieke wrden vn de inegrlvergelijking. Wel geld volgens Lemm 2.12 d id H λk invereerbr is indien λ < K 1. De inverse operor word dn, ls in he gevl vn de Volerr-vergelijking, gegeven door (id H λk) 1 = λ n K n, en de oplossing vn (3.2) word weer gegeven door de Neumnn-reeks (3.6). Indien K een compce operor is, geld verder volgens de specrlselling 2.18 voor compce operoren d er eindig veel krkerisieke wrden zijn of d de krkerisieke wrden een rij {λ n } n=1 vormen zodnig d lim n λ n =. L f, g H. Dn is wrbij f, Kg = f(x)k(x, )g()ddx = K f(x) = K (x, )f()d f(x)k (, x)g()ddx = K f, g en de gedjungeerde kern word gegeven door K (x, ) = K(, x). Als dus K(x, ) = K (x, ) voor x, [, b], dn is K = K. Ui de specrlselling 2.21 voor zelfgedjungeerde operoren volg nu Selling 3.1 (Fredholm-lernief): Beschouw voor, b R, < b, de inegrlvergelijking (3.2) me zelfgedjungeerde kern: K(x, ) = K(, x). Dn doe zich een vn de volgende wee mogelijkheden voor: i. Als λ geen krkerisieke wrde is vn de inegrlvergelijking, dn heef de vergelijking voor elke funcie g L 2 (, b) precies één oplossing f L 2 (, b). ii. Als λ een krkerisieke wrde is vn de vergelijking dn heef de vergelijking (3.2) voor g L 2 (, b) een oplossing f L 2 (, b) dn en slechs dn ls h, g = voor lle h L 2 (, b) wrvoor geld d Kh(x) = K(x, )h()d = λh(x). Verder zijn lle krkerisieke wrden reëel. 3

4 Bewijs: He enige w nog moe worden ngeoond, is de eerse bewering vn (ii). Deze volg ui he fei d indien K een compce zelfgedjungeerde operor is, dn is voor lle µ R, im(k µ id H ) een gesloen lineire deelruime (immers in selling 2.2 is q = r = 1) en dus is volgens Proposiie 2.15 im(k µ id H ) = (ker(k µ id)) = (ker(k µ id)). Als K zelfgedjungeerd is, dn is volgens Selling 2.21 H de direce som vn de eigenruimen vn K: H = H W wrbij W = λ H 1/λ me H = Ker(K) en H 1/λ = Ker(K λ 1 id). W heef een felbre orhonormle bsis {e 1, e 2,...} vn eigenvecoren (Ke j = λ j e j ). Dn kunnen we schrijven: f = f + e j, f e j, g = g + e j, g e j, Kf = λ 1 j e j, f e j. Als we deze uidrukkingen invullen in de vergelijking f = g + λkf vinden we, door inproducen e nemen me e j : λ j f = g, e j, f = e j, g λ j λ. Als λ geen krkerisieke wrde is, dn lig g hierdoor uniek vs. Als λ = λ n voor zekere n, dn is noodzkelijk e n, g = (di is precies he Fredholm-lernief). De oplossing lig dn vs op een lineire combinie vn de eigenvecoren bij eigenwrde λ 1 n n. He beplen vn de krkerisieke wrden vn een inegrlvergelijking is i.h.. nie exc mogelijk. Alleen voor specile kernen K(x, ) bes er een exce oplossing vn he eigenwrdenprobleem. In de volgende prgrf besuderen we een specil gevl. Voorbeeld: Beschouw de inegrlvergelijking y(x) = x + λ xy()d. De kern is hier K(x, ) = x en dus zelfgedjungeerd. Verder is Ui en K n (x, ) = K =... ( K n x = ) 1/2 (x) 2 dxd = 1 3 (b3 3 ). (K n (x, ))d K(x, u 1 )K(u 1, u 2 )... K(u n 1, )du 1 du 2... du n 1 volg d K n x = x K n voor n =, 1,.... Nu is voor λ < K 1 de oplossing gegeven door de Neumnn-reeks y(x) = λ n K n x = (λ K ) n x x = 1 λ K. 4

5 Invullen oon n d deze oplossing voldoe voor lle λ K 1. λ = K 1 is een krkerisieke wrde: de funcie x is een oplossing vn de homogene vergelijking: x = K 1 x2 d. Beschouw nu de inhomogene vergelijking (3.2b) me K(x, ) = x en λ = K 1. Vermenigvuldigen me de eigenfuncie x en inegreren over x geef en dus is xf(x)dx = xg(x)dx + K 1 x 2 dx f()d xg(x)dx =. Di is een voorbeeld vn he Fredholm-lernief. Inegrlvergelijkingen me seprbele kern. Beschouw de Fredholmse inegrlvergelijking (3.2) me een kern vn de vorm K(x, ) = φ i ()ψ i (x). (3.7) en φ i, ψ i funcies in H = L 2 (, b). We kunnen zonder beperking der lgemeenheid nnemen d {ψ 1,..., ψ n } een lineir onfhnkelijk selsel is. De operor K is een operor vn eindige rng en dus compc. De eigenwrden en eigenfuncies vn K zijn exc e beplen: voor f H is Kf(x) = K(x, )f()d = φ i, f ψ i (x). De operor K is dus vn eindige rng (en i.h.b. compc) en he beeld im(k) word opgespnnen door ψ 1,..., ψ n. I.h.b. zijn lle eigenfuncies vn K lineire combinies vn ψ 1,..., ψ n : voor f een eigenfuncie geld f = n iψ i voor zekere i C en ui Kf = λf volg d φ i, f ψ i = λ i ψ i en wegens lineire onfhnkelijkheid volg dn λ i = φ i, f voor i = 1,..., n. Di impliceer op zijn beur d j φ i, ψ j = λ i. (3.8) (3.8) is een gewone eigenwrdenvergelijking in C n en kn me bekende mehoden ui de lineire lgebr worden opgelos. Voorbeeld: L K(x, ) = 1 + sin(x + ) en [, b] = [ π, π]. We kunnen K(x, ) = 1 + sin x cos + cos x sin schrijven. Dn is φ 1 (x) = ψ 1 (x) = 1, φ 2 (x) = ψ 3 (x) = cos x, φ 3 (x) = ψ 2 (x) = sin x. ψ 1, ψ 2, ψ 3 zijn lineir onfhnkelijke funcies op L 2 ( π, π) (di is bijvoorbeeld in e zien m.b.v. de Wronskin). Merk op d K hermies is. L A de mrix zijn me mrixelemenen 5

6 π A ij = φ i, ψ j = φ i ()ψ j ()d voor i, j = 1, 2, 3. Dn is A = π 2 1. Eigenfuncies π 1 bij krkerisieke wrde λ 1 zijn vn de vorm f = 3 iψ i, wrbij = ( ) T voldoe n A = λ (vergelijk (3.8)). De eigenwrden vn de mrix A zijn 2π, π, π me eigenvecoren 1, 1 1, resp. 1 en de bijbehorende eigenfuncies zijn dus 1 f 1 (x) = 1, f 2 (x) = sin x + cos x, f 3 (x) = sin x cos x bij krkerisieke wrden λ 1 1 = 1/2π, λ 1 2 = 1/π, resp. λ 1 3 = 1/π. He specrum vn K is gelijk n {, π, π, 2π}. De eigenruime bij eigenwrde is oneindig-dimensionl: de funcies f(x) = sin nx en cos nx voldoen n voor n = 2, 3,.... Kf(x) = π π f()(1 + sin x cos + cos x sin )d = Opmerking: Differenilvergelijkingen kunnen in inegrlvergelijkingen worden gernsformeerd. Beschouw ls voorbeeld de lineire weede-orde d.v. y (x) p(x)y(x) =, y() =, y () = b. Eenml inegeren geef en nogmls inegreren geef y (x) = y () + p()y()d y(x) = y() + xy () + u p()y()ddu = + bx + (x )p()y()d. In hoofdsuk 4 zullen we zien hoe we een 2e orde differenilvergelijking me wee rndvoorwrden zols y() =, y (b) =, in een inegrlvergelijking kunnen omzeen Oplossing vn een inegrlvergelijking m.b.v. een inegrlrnsformie. Beschouw de Fredholmse inegrlvergelijking vn de weede soor: f(x) = g(x) + f()k(x, )d (3.9) wrbij de kern vn convoluie-ype is, d.w.z. K(x, ) = K(x ) (in he Engels spreeek men wel vn een displcemen kernel). Om deze vergelijking op e lossen pssen we Fourierrnsformie oe (we nemen n d K, f en g een Fouriergernsformeerde ˆK, ˆf resp. ĝ hebben). Di lever ˆf(y) = ĝ(y) + λ f()k(x )e iyx ddx = 6

7 ( ) = ĝ(y) + λ f()e iy K(x )e iy(x ) dx d = ĝ(y) + λ ˆf(y) ˆK(y). (3.1) We nemen n d he verwisselen vn inegrlen is oegesn (w he gevl is ls f en K bsoluu inegreerbr zijn op (, )). Vergelijking (3.1) zeg in feie d de Fouriergernsformeerde vn he convoluieproduc vn wee funcies gelijk is n he produc vn de Fouriergernsformeerden. Nu volg d ĝ(y) ˆf(y) = 1 λ ˆK(y) en ui de omkeerselling volg d f(x+) + f(x ) 2 = p.v. 1 2π ˆf(y)e ixy 1 N dy := lim N 2π N ˆf(y)e ixy dy. (3.11) Hierbij s p.v. voor de hoofdwrde (principl vlue) vn de inegrl. Deze mehode kunnen we ook oepssen op inegrlvergelijkingen vn de eerse soor. We geven een voorbeeld: 1 voor x < Voorbeeld: L h (x) = voor x > me >. De Fouriergernsformeerde vn f is 1/2 voor x = ˆf(y) = Ui de omkeerformule volg dn h (x) = p.v. 1 π f(x)e iyx dx = e iyx dx = sin y e ixy dy = 1 y π De Fouriergernsformeerde vn de funcie K (x) = Beschouw nu de inegrlvergelijking Fourierrnsformeren geef dus ˆf(y) = en ui (3.11) volg dn d f(x) = λ 2(1 λπ) 1 1 f(x) = g(x) + λ sin x x ˆf(y) = ĝ(y) + λ ˆf(y) ˆK 1 (y) 2 sin y. y sin y cos xy dy. y is dus ˆK (y) = πh ( y) = πh (y). sin(x ) f()d. (3.12) x { ĝ(y) ĝ(y) voor y > 1 1 λπh 1 (y) = ĝ(y)/(1 λπ) voor y < 1 ĝ(y)e ixy dy + 1 2π ĝ(y)e ixy dy = g(x) + λ 1 ĝ(y)e ixy dy. 2(1 λπ) 1 Zols we n de oplossing kunnen zien, is λ = 1/π de enige krkerisieke wrde bij K(x, ) = sin(x )/(x ). Opmerking: Als de inegrlvergelijking vn Volerr-ype is, zols f(x) = g(x) + dn kunnen we een i.p.v. een Fourierrnsformie een Lplcernsformie Lf(s) = oepssen. De mehode verloop in groe lijnen ideniek. 7 f()k(x )d f(x)e xs dx