(iii) intervallen, bijvoorbeeld afgesloten intervallen zoals D = [0, 1] := {x en halfopen intervallen zoals D = (0, 1] := {x R 0 < x 1},

Transcriptie

1 Hoofdstuk II Clculus Les Differentitie vn functies Wrscijnlijk eeft iedereen wel een idee ervn wt een functie is, mr voor de duidelijkeid zl et ndig zijn om de meest belngrijke begrippen n te gn en fsprken te mken wt nu ect de betekenis vn enkele begrippen is. We zullen ons beperken tot reële functies, dus functies die op (een deel vn) de reële getllen gedefinieerd zijn.. Functies Een reële functie is een voorscrift die n elk element D vn een deelverzmeling D R een functiewrde f() R toevoegt. We noemen D et domein vn de functie f en de verzmeling {f() D} vn lle functiewrden et bereik vn de functie f. Merk op dt we ier nog niets over de structuur vn et domein D ebben geëist, dit kn inderdd een willekeurige deelverzmeling vn R zijn. Belngrijke voorbeelden zijn: (i) lle reële getllen, dus D = R, (ii) lle reële getllen belve één, bijvoorbeeld R \ {0}, (iii) intervllen, bijvoorbeeld fgesloten intervllen zols D = [0, ] := { R 0 }, open intervllen zols D = (0, ) := { R 0 < < }, en lfopen intervllen zols D = (0, ] := { R 0 < }, (v) de vereniging vn (fgesloten, open of lfopen) intervllen. Een specil type vn lfopen intervllen zijn de niet-negtieve reële getllen D = { R 0}. Deze worden vk met D = [0, ) genoteerd. Er zijn trouwens ook rre domeinen mogelijk, bijvoorbeeld D = { + b, b Q}. Dit is (net ls de rtionle getllen Q) een deelverzmeling vn R wr tussen elke twee punten vn D overftelbr veel punten uit R liggen die niet in D zijn. An de ndere knt liggen l de punten vn D willekeurig dict bij elkr, dus geldt dit ook voor D. Een functie f wordt bescreven door zijn domein D en een fbeeldingsvoorscrift, die zegt oe je n een D zijn functiewrde f() toevoegt. Dit 48

2 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 003 wordt vk gescreven ls f : D R, y ls y de wrde vn f in et punt is, dus ls y = f(). Hier zijn een pr voorbeelden vn functies, die lten zien dt et soms om redelijk gekke dingen gt: (i) D = R, f :, ls < 0 (ii) D = R, f() := 0 ls = 0 ls > 0 (dit et soms ook de signum-functie), (iii) D = R, f() := { ls Q 0 ls R \ Q (iv) D = R \ {, }, f : 3+ nooit nul wordt), (merk op dt voor D de noemer (v) D = R \ {n π n Z}, f : sin(), (vi) D = R, f() := n ls n et ntl vn 7en in de decimle ontwikkeling vn is, f() := π ls er oneindig veel 7en in de decimle ontwikkeling zitten. 0 8 y Figuur II.: f() := sin() Om ingewikkeldere functies te bouwen worden vk eenvoudigere functies gecombineerd. Hierbij wordt belve vn et optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen vn functies ook de smenstelling vn functies gebruikt. Voor een functie f met domein D f en bereik B f en een functie g met domein D g wrvoor D g B f geldt, definiëren we de smengestelde functie g f met domein D f door g f : D f R, g(f()). Bijvoorbeeld kunnen we de functie f : R R, + bescrijven ls f = g met : R R, en g : R R, +, mr ook door 49

3 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 003 f = g met : R R, + en g : R R, en zelfs door f = g 3 g met g 3 : R R, +. Merk op dt = g 3 en g = g 3 g, dus is ( g 3 ) g = (g 3 g ). Omdt ook in et lgemeen geldt dt de smenstelling vn functies ssocitief is, d.w.z. dt ( g) f = (g f), oeven we in de smenstelling vn drie of meer functies niet op kjes te letten. Om bij een functie f een punt te vinden die een gegeven wrde y oplevert, ebben we een soort vn omkering vn f nodig. We willen nmelijk de vergelijking f() = y nr oplossen. Dit kn, ls we bij de functie f een functie g kunnen vinden, zo dt g f() = voor lle in et domein vn f. Dn geldt nmelijk = g(f()) = g(y). Als zo n functie g bestt noemen we g de inverse functie vn f en noteren deze ls f. Merk op dt et domein vn f et bereik vn f is. Verder kn de inverse functie f lleen mr bestn ls f n verscillende punten y ook verscillende wrden f() f(y) toevoegt. Voor f() = f(y) is nmelijk = f (f()) = f (f(y)) = y, dus zou voor f() = f(y) met y de inverse functie twee verscillende wrden n f() moeten toevoegen, en dt kn niet. Een functie met f() = f(y) = y et een injectieve functie. We ebben dus gezien dt lleen mr injectieve functies een inverse functie ebben. We kunnen de grfiek vn de inverse functie gemkkelijk uit de grfiek vn f fleiden: de grfiek vn f bestt uit de punten (, f()) in et y-vlk, en omdt f (f()) =, bestt de grfiek vn f uit de punten (f(), ). Dit is dus de gespiegelde vn de grfiek vn f in de digonl = y. We zien nu ook meteen in dt f injectief moet zijn, wnt nders is er een orizontle lijn = die twee (of meer) snijpunten met de grfiek vn f eeft, en dn eeft de verticle lijn y = twee snijpunten met de grfiek vn f en dit kn niet voor een functie. f() := ^ f^( )() y Figuur II.: f() := eeft de inverse functie f () := 50

4 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 003. Continue functies Een belngrijke klsse vn functies zijn functies die we intuïtief gld zouden noemen, omdt we un grfiek kunnen tekenen zonder de pen f te zetten. Dit wil zeggen, dt er geen sprongen in de grfiek zijn. Omdt wiskundige soms eel rre functies verzinnen, wr we niet eens weten oe we un grfiek kunnen tekenen, ebben we een iets lgemenere definitie vn gldeid nodig. De functie f() := sin( ) scommelt bijvoorbeeld in de buurt vn 0 sneller en sneller tussen en en we kunnen niet zeggen wt voor een wrde we n 0 moeten toewijzen Figuur II.3: f() := sin( ) in de buurt vn = 0 We zeggen dt een functie f : D R continu in et punt D is, ls de functiewrden in een klein stukje om een lleml dict bij f() liggen. Dit wordt door de beroemde ε δ-definitie uitgedrukt: II. Definitie Een functie f : D R eet continu in et punt D ls er voor lle ε > 0 een δ > 0 bestt, zo dt uit < δ volgt, dt f() f() < ε is. Deze definitie betekent, dt er voor een in continue functie f voor een willekeurig klein intervl (f() ε, f() + ε) om de functiewrde f() een intervl I = ( δ, + δ) om een bestt, zo dt lle functiewrden f() voor I in et gekozen ε-intervl om f() liggen. In et voorbeeld vn de functie f() := sin( ) neemt de functie tussen n en n elke wrde tussen en n, dus kunnen we l voor ε = geen δ > 0 vinden, zo dt we f nr een in 0 continue functie kunnen voortzetten. 5

5 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 003 An de ndere knt is de functie { sin( f : R R, ) ls 0 0 ls = 0. wel continu, wnt sin(), en dus is f() f(0) = sin( ), dus kunnen we ltijd δ = ε kiezen Figuur II.4: f() := sin( ) Omgekeerd zien we dt een functie in een punt, wr een sprong is, niet continu is. We kijken ls voorbeeld nr de signum-functie ls < 0 sign : R R, 0 ls = 0. ls > 0 Als we ε = kiezen, zien we dt sign() niet continu in 0 is, wnt voor elk δ > 0 is sign( δ ) = en sign( δ ) =, dus liggen de functiewrden niet in et ε-intervl om f(0) = 0. We ebben nu gezien wt et betekent dt een functie continu in een punt is. We noemen een functie een continue functie ls ij continu in elk punt vn zijn domein is. In toepssingen ebben we et meestl met continue functies te mken, mr er zijn ook situties wr we functies met sprongen nodig ebben. Een voorbeeld iervoor is et volgende eperiment: we willen de intensiteit vn et lict op een lijn bescrijven, wr in = een gloeilmp stt en in = 0 een niet-trnsprnte muur. De intensiteit vn et lict in een fstnd r vn de lmp is /r. Dus wordt de intensiteit bescreven door de functie 5

6 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 003 { 0 ls 0 I : R \ {} R,. Voor de bescrijving vn dit soort ls > 0 ( ) { 0 ls 0 functies is de Heviside-functie H ndig: H : R R, ls > 0. We kunnen de functie I dn bescrijven ls I() =.3 De fgeleide vn een functie H() ( ) voor. Het meest belngrijke bij een functie zijn ntuurlijk de wrden, mr soms zijn we ook nog in ndere dingen geïnteresseerd, bijvoorbeeld of een functie rond een gegeven punt fneemt of toeneemt. Bijvoorbeeld willen we weten of de tempertuur stijgend of dlend is en vrgen we ons f of et eell eeuwig epndeert of uiteindelijk weer in elkr stort. (Eigenlijk willen we zelfs weten of de sneleid vn de epnsie fneemt of toeneemt.) Als we nr de grfiek vn een functie kijken, kunnen we ntuurlijk in de meeste gevllen meteen zien, wt er met stijgen en dlen n de nd is. Mr soms is de voorscrift vn een functie te ingewikkeld om er een grfiek vn te mken, en soms zijn zelfs de grfieken zo comple, dt we niet kunnen zeggen of een functie stijgt of dlt. Drom ebben we ook ier (net ls bij de continue functies) en precieze definitie nodig. Het idee is, dt we een functie in een punt door een lijn benderen, die de grfiek vn de functie in et punt rkt. Als deze rklijn een positieve rictingscoëfficiënt eeft, noemen we de functie stijgend, ls ij negtief is noemen we de functie dlend. Mr oe vinden we de rictingscoëfficiënt vn de rklijn in een punt? Hiervoor kijken we nr de functiewrden vn f in de buurt vn, dus we kijken nr f( + ) voor kleine wrden vn. Als we nu een lijn door de punten (, f()) en ( +, f( + )) leggen, eeft deze de rictingscoëfficiënt f(+) f(). Als we kleiner lten worden, lijkt de lijn door (, f()) en ( +, f( + )) ltijd meer op een rklijn in et punt, dus vinden we de rictingscoëfficiënt ls de limiet vn f(+) f() ls nr 0 gt. We moeten nu eerst definiëren, wt et betekent dt een functie een limiet voor gt nr eeft. Dit lijkt erg op de definitie vn continue functies. II. Definitie Een functie f : D R eeft voor de limiet b, ls er voor lle ε > 0 een δ > 0 bestt, zo dt uit < δ volgt, dt f() b < ε is. We noteren dit ls lim f() = b. Merk op dt we niet eisen dt in et domein vn f ligt. Als de limiet lim f() bestt en de wrde b eeft, betekent dit, dt we door f() := b een functie definiëren die continu in is. We kunnen et nu over limieten vn functies ebben, en we gebruiken deze nieuwe definitie meteen voor de definitie vn de fgeleide. II.3 Definitie Een functie f : D R eet in een punt D differentieerbr, ls de limiet f( + ) f() lim 0 53

7 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 003 bestt. In dit gevl noteren we de limiet met f () en noemen dit de fgeleide vn f in et punt. Een functie eeft dus de fgeleide f () in et punt, ls de functie { f(+) f() : D R, ls 0 f () ls = 0 een in 0 continue functie is. Een functie f eet differentieerbr ls de fgeleide f () voor elk D bestt. In dit gevl eet de functie f : D R, f () de fgeleide functie vn f. We ebben gezien dt continue functies geen sprongen ebben. Dit is niet voldoende, om een differentieerbre functie te ebben. Bijvoorbeeld is de functie f : R R, continu, mr in et punt = 0 niet differentieerbr. Er geldt nmelijk f(+) f() f(+) f() bestt lim 0 = voor > 0 en f(+) f() = voor < 0, dus in dit gevl niet. Het probleem ligt in et feit dt de bsoluutwrde-functie in et punt = 0 een knik eeft. Differentieerbre functies zijn dus functies die geen knikken ebben Figuur II.5: f() := is voor = 0 niet differentieerbr Men zou misscien denken, dt continue functies, lleen mr een pr knikken kunnen ebben, mr in de meeste punten wel differentieerbr zijn. Hels is dit niet zo. Het is inderdd mogelijk een functie n te geven, die in elk punt continu, mr in geen punt differentieerbr is. Zo n functie bestt dus lleen mr uit knikken. Het idee voor zo n functie begint met een zg-functie zo ls in Figuur II.6. Vervolgens wordt elk lijnsegment tussen twee knikken in drie even grote delen onderverdeeld. Voor een lijnsegment met rictingscoëfficiënt c krijgt et eerste stuk de oude rictingscoëfficiënt c, et tweede de rictingscoëfficiënt c en et derde de rictingscoëfficiënt 3c. Op deze mnier komen er twee nieuwe knikken in elk rect lijnsegment. Als we deze constructie oneindig vk erlen, leidt dit tot een limiet-functie die inderdd continu mr in geen punt differentieerbr is. We komen nu terug op de vrg, of een functie stijgend of dlend is. In principe kunnen we dit ook voor functies definiëren, die niet continu zijn. Zij f : [, b] R een functie: 54

8 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, Figuur II.6: Een zg-functie (i) f eet stijgend, ls > f( ) f( ). (ii) f eet strikt stijgend, ls > f( ) > f( ). (iii) f eet dlend, ls > f( ) f( ). (iv) f eet strikt dlend, ls > f( ) < f( ). Voor differentieerbre functies kunnen we dit nu vertlen nr een criterium voor de fgeleide: Zij f op een intervl [, b] differentieerbr: (i) Is f () 0 voor lle [, b] dn is f stijgend op [, b]. (ii) Is f () > 0 voor lle [, b] dn is f strikt stijgend op [, b]. (iii) Is f () 0 voor lle [, b] dn is f dlend op [, b]. (i) Is f () < 0 voor lle [, b] dn is f strikt dlend op [, b]. Merk op dt et voor een functie f, die in een punt een knik eeft, ook niet zinvol is te zeggen of f in stijgend of dlend is..4 Regels voor differentitie Als we een functie f : D R ebben dn is f vk verkregen uit eenvoudigere functies, die we door optellen, ftrekken, vermenigvuldigen, delen en smenstellen combineren. Drom zou et ndig zijn om regels voor de fgeleide vn dit soort combinties te ebben. We gn er nu vn uit, dt de functies die we bekijken in de ngegeven punten ook inderdd differentieerbr zijn. (0) Constnte functies f() = c ebben fgeleide 0, de functie f() = eeft de fgeleide. 55

9 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 003 () Optellen: (f + g) () = f () + g (). Dit geldt omdt (f + g)( + ) (f + g)() = (f( + ) f()) + (g( + ) g()) is. Hierbij ebben we nog nodig, dt lim (f + g)() = lim f()+lim g() ls de twee limieten op de recte zijde bestn. () Vermenigvuldigen met een fctor c R: (cf) () = cf (). Hier gebruiken we dt (cf)( + ) (cf)() = c(f( + ) f()) is. Uit () en () volgt, dt de fbeelding f f een lineire fbeelding op de vectorruimte vn differentieerbre fbeeldingen is. (3) Vermenigvuldigen (productregel): (f g) () = f ()g() + f()g (). We ebben f(+)g(+) f()g() = f(+)g(+) f()g(+)+ f()g(+) f()g() = (f(+) f())g(+)+f()(g(+) g()), dus is f(+)g(+) f()g() = f(+) f() g(+)+f() g(+) g(), en dus lim 0 f(+)g(+) f()g() = f ()g() + f()g (). (4) Delen: ( f g ) () = f ()g() f()g () g. () Hiervoor lten we eerst zien dt ( g ) () = g () g (). 0 = (g g ) () = g () g() + g()( g ) (), dus is g() g pssen nu (3) op f g toe, dn geldt: ( f g ) () = f () geeft de bewering. (5) Smenstelling (kettingregel): g(f(+)) g(f()) f(+) f() Uit (3) volgt dt () = g () g(). g() f()g () g () (g f) ()= (g f)()f () = g (f())f (). = g(f()+(f(+) f()) g(f()) f(+) f() We, en dit In plts vn een voedzme 0 die we bij de productregel gebruikt ebben, (g f)(+) (g f)() gebruiken we nu een voedzme : = g(f(+)) g(f()) = f(+) f() f(+) f(). Als we k := k() = f( + ) f() definiëren, gt wegens de continuïteit vn f voor 0 ook k 0. Dus is lim 0 (g f)(+) (g f)() lim 0 g(f()+k) g(f()) k f(+) f() = g (f()) f (). = We ebben ier op een plek gesjoemeld, wnt f(+) f() kn ook voor 0 gelijk n 0 zijn en dn mogen wie ier niet door delen. Mr dit kunnen we erstellen, door in et gevl dt f(+) f() = 0 de quotiënt g(f(+)) g(f()) f(+) f() te vervngen door g (f()). Het lt zic ntonen dt de zo gedefinieerde functie continu is en et rgument gt door. 56

10 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 003 We lten nog een pr voorbeelden vn fgeleiden zien, de we eenvoudig kunnen beplen. Voor n N is de fgeleide vn f n () = n de functie f n () = nn. Dit is duidelijk voor n = en ls we et voor een n ebben bewezen dn geldt f n+ () = (f nf ) () = f n()f () + f n ()f () = nn + n = (n + ) n. Dus klopt et ook voor n + en dus per volledige inductie voor lle n N. Mr dezelfde formule geldt ook voor f n () = n = voor n N. We n ebben f n() = ( f n ) () = nn = ( n) n. n En dezelfde formule klopt zelfs voor n =. Er geldt nmelijk + = + ++ = ++, en dus is lim + 0 =. Dus zien we dt ook ier geldt, dt f () =. Deze formule lt zic inderdd voor willekeurige mcten c R ntonen: f() = c f () = c c. Wij gn dit ier lleen mr voor rtionle mcten c = m n ntonen. Hiervoor gebruiken we een trucje, wrmee we de fgeleide vn de inverse functie kunnen beplen. Er geldt nmelijk: (f f )() =, dus volgt met de kettingregel dt f (f ())f () = en dus is f () = f (f ()). We weten dt f () = n = n de inverse functie vn f() = n is, drom geldt f () = = n n( n ) n n n = n n. We kunnen nu met de kettingregel de fgeleide vn f() = m n = ( m ) n berekenen ls f () = n (m ) n m m = m n m n m m = m n m n. Belngrijke begrippen in deze les functies, domein, bereik inverse functie continuïteit fgeleide vn een functie stijgen en dlen vn functies productregel, kettingregel fgeleide vn de inverse functie 57

11 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 003 Opgven 7. Bepl de limiet n y n lim y y op twee mnieren: rectstreeks en vi fleiden. 8. Een functie f eet even ls f() = f( ) voor lle geldt en oneven ls f() = f( ) voor lle geldt. Lt zien dt voor een differentieerbre functie f, die even is, geldt, dt f () = f ( ) (dus de fgeleide vn een even functie is oneven). Lt zien dt voor een differentieerbre functie f, die oneven is, geldt, dt f () = f ( ) (dus de fgeleide vn een oneven functie is even). 9. Zij f : R R, Bepl de inverse functie vn f. 30. Bepl de fgeleiden vn: (i) f () := +, (ii) f () :=

12 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 003 Les Specile functies. Eponentiële functie en ntuurlijke logritme We ebben nog niet ngegeven oe we voor een niet-rtionl zullen berekenen. Het voor de nd liggende is dit door een limiet-process met rtionle wrden voor te benderen. Het lt zic nu ntonen dt de functie f : R R, voor > 0 in 0 differentieerbr is en omdt + = volgt dt f() een differentieerbre functie is. Als we nu verder eisen dt f (0) = is, kunnen we ieruit de wrde vn e beplen. Dit geeft et Euler-getl e.788. Mr ls lim e = geldt, dn is f e () = lim + e 0 = e e lim 0 e = e = f(). We ebben dus gezien dt f() = e een functie is die voldoet n f() = f (). Deze functie eet de eponentiële functie en wordt vk ook met f() = ep() genoteerd. Smenvttend ebben we dus: ep () = ep() en ep(0) =. De eponentiële functie speelt in veel toepssingen een rol, bijvoorbeeld in de bescrijving vn rdioctief vervl of bij de ontwikkeling vn populties. Mr ook bij et remmen vn een uto of bij et verloop vn de tempertuur tussen twee kmers met verscillende temperturen is ep() vn toepssing. We weten (uit ervring) dt we met evenveel remkrct niet zo snel vn 00 nr 80 km per uur kunnen fremmen, dn vn 50 nr 30. De verndering vn de sneleid bij et remmen is dus fnkelijk vn de sneleid zelfs. Ook bij de tempertuur zien we een soortgelijk effect: ls we een kmer vn 0 nst een kmer vn 50 ebben zullen de temperturen sneller vernderen dn bij kmers vn 0 en 30. Bij veel processen vinden we dus een fnkelijkeid vn de vorm f () = C f(), wrbij C een constnte is. De oplossingen vn dit soort vergelijking ngen nuw smen met de eponentiële functie. Algemeen noemen we vergelijkingen tussen een functie f() en un fgeleiden f (), f () enz. een differentilvergelijking. Een belngrijke eigenscp vn de eponentiële functie is, dt ze door f () = f() en f(0) = eenduidig bepld is. Dit zien we ls volgt in: Neem n dt f() een functie is met f () = f() en f(0) =, dn beplen we de fgeleide vn de functie g() := f() ep(). Hiervoor geldt g () = f () ep() f() ep() g() = 0, omdt f () = f(). Mr ieruit volgt dt g() een constnte functie is, dus is f() = c ep() en uit f(0) = ep(0) = volgt f() = ep(). Uit e > volgt dt ep() > 0 voor lle en ep() > voor lle 0, drom is ep(y) ep() = (ep(y ) ) ep() > 0 voor y >. Dit toont n dt ep() een op R strikt stijgende functie is. Het bereik is (0, ), dus kunnen we op et open intervl (0, ) de inverse functie vn ep() definiëren. Deze noemen we de ntuurlijke logritme en noteren deze ls log() of ln(). 59

13 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 003 Uit onze formule voor de fgeleide vn de inverse functie kunnen we de fgeleide vn log() mkkelijk berekenen, er geldt log () = ep (log()) = (ep log)()) =. 4 ep() y = + 3 y log() y = Figuur II.7: Eponentiële functie en ntuurlijke logritme Om de functie f() = f te leiden is et ndig om de reltie = e log() en dus = e log() = ep(log()) te gebruiken. Tenslotte nog twee belngrijke relties voor et optellen en vermenigvuldigen bij ep en log: ep( + y) = ep() ep(y) en log(y) = log() + log(y).. Trigonometrisce functies De trigonometrisce (of goniometrisce) functies zijn gebseerd op de meetkunde vn rectoekige drieoeken. Als in een rectoekig drieoek de scuine zijde lengte eeft, en een vn de niet-recte oeken is, dn noemen we de lengte vn de zijde tegenover de sinus sin() en de lengte vn de ndere rectoekszijde de cosinus cos() vn. In et pltje vn Figuur II.8 is 0B de scuine zijde in et drieoek 0BC en we ebben sin() = BC en cos() = 0C. Een vn de belngrijkste relties voor sinus en cosinus volgt meteen uit de stelling vn Pytgors, nmelijk sin () + cos () =. Om de fgeleide vn sin() te beplen moeten we iets over de quotiënt sin(+) sin() zeggen. Mr oe kunnen we de sinus vn een som vn twee oeken beplen? Hiervoor geeft et volgende pltje een nleiding. We weten (uit Lineire Algebr) dt we de vector w = (cos(+), sin(+)) kunnen scrijven ls de som vn zijn ortogonle projecties op de ortonormle bsisvectoren v = (cos(), sin()) en v = ( sin(), cos()). Mr de lengte 60

14 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, y A B C Figuur II.8: sin() = BC, cos() = 0C (cos(+), sin(+)) (cos(), sin()) (-sin(), cos()) Figuur II.9: De sinus vn de som vn twee oeken vn de projectie vn w in de ricting vn v is cos() en de lengte vn de projectie in de ricting vn v is sin(). Dus geldt: (cos( + ), sin( + )) = cos()v +sin()v = (cos() cos() sin() sin(), sin() cos()+cos() sin()). Dit geeft de twee optelteorem s: cos( + ) = cos() cos() sin() sin(), sin( + ) = sin() cos() + cos() sin(). We kunnen de quotiënt sin(+) sin() dus erscrijven ls sin() cos(). We weten dt lim 0 sin() = 0 en lim 0 cos() =, mr om cos() sin() de limiet vn sin(+) sin() moeten we nog iets meer weten. + Eerst een lgemene opmerking: Vk worden oeken niet in grden mr in rdilen ngegeven. Het idee ierbij is, een oek door de lengte vn de bij orende cirkelboog in een cirkel vn strl te bescrijven. Een oek vn 360 eeft een volle cirkel ls boog en die eeft lengte π. Omgekeerd oort een boog vn π bij een oek vn 80. Dus komen we vn grden nr rdilen door de π oek in grden met 80 te vermenigvuldigen en vn rdilen nr grden door te vermenigvuldigen. We zullen oeken meestl in rdilen ngeven. met 80 π 6

15 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 003 We kunnen nu ook lgemeen de lengte vn een cirkelboog ngeven, dt is nmelijk r, ls r de strl vn de cirkel is en de bij de boog orende oek in rdilen. In Figuur II.8 eeft dus de boog vn B nr lengte en de boog vn A nr C lengte cos(). Omdt de boog AC korter is dn de lijn BC geldt cos() < sin(). en omdt de lijn BC korter is dn de boog B geldt sin() <. Hieruit volgt (voor oeken met 0 π ) dt cos() < sin() <. Dit toont in et bijzonder n dt lim 0 sin() cos () (cos()+) = sin () (cos()+) 0 = sin() sin() cos()+ = is. Verder is cos() en omdt sin() cos()+ = voor 0 nr = 0 gt is lim 0 cos() = 0 = 0. Als we lles bij elkr nemen volgt dus sin( + ) sin() lim = lim sin() cos() + cos() sin() 0 0 Kort en goed: de fgeleide vn de sinus is de cosinus, ofwel sin () = cos(). = cos(). We kunnen de fgeleide vn de cosinus nu op dezelfde mnier beplen, mr met een klein trucje gt et sneller. We weten dt sin () + cos () = is, dus geldt 0 = (sin () + cos ()) = cos() cos () + sin() sin () = cos()(cos () + sin()). Hieruit volgt meteen: cos () = sin(). cos() 0.5 sin() Figuur II.0: Sinus- en cosinus-functie Net zo ls we de eponentiële functie ep() door de differentilvergelijking f () = f() ebben gekrkteriseerd, kunnen we ook sinus en cosinus door een differentilvergelijking krkteriseren. Het is duidelijk dt voor de tweede fgeleiden geldt dt sin () = sin() en cos () = cos(). Differentilvergelijkingen vn de vorm f () = C f() spelen bijvoorbeeld bij de bescrijving vn trillingen een belngrijke rol. De bewering is nu, dt een functie f() met f () + f() = 0 een lineire combintie vn sin() en cos() is. Neem eerst n we ebben een functie f() met f () + f() = 0, f(0) = 0 en f (0) = 0. Dn is 0 = f ()(f () + f()) = (f () +f() ), dus is f () +f() een constnte functie en omdt f (0) = f(0) = 0 is f () + f() = 0 voor lle. Mr omdt een som vn kwdrten lleen mr 0 is ls lle kwdrten 0 zijn volgt ieruit dt f() = 0 voor lle, dus is f() de constnte 0-functie. 6

16 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 003 Neem nu n dt f () + f() = 0, f (0) = en f(0) = b. Dn geldt voor g() := f() sin() b cos() dt g () + g() = 0, g (0) = f (0) = 0 en g(0) = f(0) b = 0. Dus is g() = 0 en dus f() = sin() + b cos(). Uit de functies sin() en cos() worden een ntl ndere functies fgeleidt, de belngrijkste iervn is de tngens de gedefinieerd is door tn() := sin() cos(). Het domein vn de tngens zijn de punten R met cos() 0, dus π +nπ met n Z. Voor tn() geldt de reltie + tn () = cos ()+sin () = cos () cos (). Toevllig is dit ook de fgeleide, wnt tn () = ( sin(). Er geldt dus: cos () tn () = + tn () = cos() ) = cos (). cos() cos() sin()( sin() cos () = 4 3 y Figuur II.: Tngens-functie De inverse functies vn de trigonometrisce functies eten rcus-functies en worden ls rcsin() := sin (), rccos() := cos () en rctn() := tn () genoteerd. De fgeleiden vn deze functies worden mkkelijk met de formule f () = f (f ()) gevonden. Het bereik vn sin() is et intervl [, ] dus eeft rcsin() dit intervl ls domein. We ebben rcsin () = cos(rcsin()) = =. sin (rcsin()) Het domein voor rccos() is ook [, ] en op dezelfde mnier ls voor rcsin() tonen we n dt rccos () = sin(rccos()) = = cos (rccos()). We ebben dus: 63

17 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 003 rcsin () =, rccos () = Figuur II.: Arcussinus- en rcuscosinus-functie Het bereik vn tn() is R, mr de functie is lleen mr monotoon op een intervl ( π, π ) (of een verscuiving iervn om nπ. De rcustngens-functie is dus op R gedefinieerd en eeft wrden tussen π en π. Voor de fgeleide geldt: rctn () = dus ( cos ) = cos (rctn()) = +tn (rctn()) = +, (rctn()) rctn () = Figuur II.3: Arcustngens-functie De rcustngens-functie wordt vk gebruikt om eperimentele wrden nr een genormeerd intervl f te beelden. Bijvoorbeeld zijn de wrden, die een zoekmcine voor de kwliteit vn een zoekresultt ngeeft meestl wrden tussen 0 en (of tussen 0% en 00%). Mr de gebruikte metoden 64

18 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 003 leveren vk wrden die niet eens nr beneden of boven begrensd zijn. Dn is et ndig om zo n wrde f te beelden met de functie f : R R, π (rctn() + π )..3 Hyperbolisce functies Een verdere klsse vn belngrijke functies zijn de yperbolisce functies. Deze zijn fgeleidt vn de eponentiële functie, mr ebben eigenscppen die op eigenscppen vn sin() en cos() lijken. We definiëren de sinusyperbolicus en cosinusyperbolicus door sin() := (ep() ep( )), cos() := (ep() + ep( )). We gn eenvoudig n dt sin () = cos() en cos () = sin(). Verder vinden we dt cos () sin () =. 3 cos() 0 sin() 3 Figuur II.4: Sinusyperbolicus en cosinusyperbolicus 65

19 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 003 De nm vn de yperbolisce functies eeft betrekking tot de yperbolisce meetkunde. Terwijl we in de Euclidisce meetkunde fstnden met de norm + y meten, wordt dit in de yperbolisce meetkunde met y gedn. In de Euclidisce meetkunde prmetriseren we punten met fstnd r vn et nulpunt door r(cos(t), sin(t)). In de yperbolisce meetkunde wordt dit r(cos(t), sin(t)). De meest belngrijke toepssing vn yperbolisce meetkunde is de ruimtetijd uit de specile reltiviteitsteorie. Anloog met de tngens-functie wordt ook een tngensyperbolicus gedefinieerd: tn() := sin() cos(). We ebben tn () = cos () sin () cos () tn () = cos () sin () cos () = cos (), dus tn () = tn () = = cos () cos (). en voor de fgeleide geldt Figuur II.5: Tngensyperbolicus Merk op dt ook de functie tn() net ls rctn() voor et normliseren vn eperimentele wrden gebruikt kn worden. Ook de yperbolisce functies ebben inverse functies, deze eten de refuncties en worden met rsin() := sin (), rcos() := cos () en rtn() := tn () genoteerd. We kunnen deze inverse functies epliciet beplen, wnt uit y = sin() = (ep() ep( )) volgt door vermenigvuldiging met ep() dt ep() y ep() = 0. Dit geeft de oplossingen ep() = y ± y +, mr omdt ep() > 0 is lleen mr et plusteken mogelijk. Het domein vn rsin() is R omdt dit et bereik vn sin() is. Dus geldt voor R: rsin() = log( + + ). Voor de fgeleide geldt rsin () = +. Dus is rsin () = cos(rsin()) = +sin (rsin()) +. = 66

20 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 003 Het trucje vn sin() toegepst op cos() geeft ep() y ep()+ = 0, dus ep() = y ± y. In dit gevl moeten we erop letten, dt cos() niet monotoon is, we kunnen dus of een inverse functie voor > 0 of voor < 0 ngeven. Voor de inverse functie vn cos() met > 0 geldt et plusteken, dus is rcos() = log( + ). De fgeleide vn rcos() vinden we net ls voor rsin(): rcos () = =. Dus geldt cos (rcos()) sin(rcos()) = rcos () = Figuur II.6: Aresinusyperbolics en recosinusyperbolics Tenslotte kijken we nr rtn(). Voor y = sin() cos() = ep() ep( ) ep()+ep( ) eb- ep() ep()+ep( ) en y = ep( ) ep()+ep( ), dus geldt + y = ben we + y = ep()( y) en dus ep() = +y y. Hieruit volgt + rtn() = log( = log( + ) Figuur II.7: Aretngensyperbolicus 67

21 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 003 De fgeleide vn rtn() vinden we door rtn () = tn (rtn()) = cos (rtn()) = tn(rtn()) =, dus is rtn () =. Belngrijke begrippen in deze les eponentiële functie, logritme trigonometrisce functies yperbolisce functies Opgven 3. Lten f, g : R R de functies zijn met f() := log( + ) en g() := ep(3). Bereken de smengestelde functies f g en g f en de fgeleiden f (), g (), (f g) () en (g f) (). 3. Toon n dt voor lle (0, ) geldt dt log(). 33. Lt zien dt sin + tn > voor lle (0, π/). (Hint: Differentieeren.) 34. Definieer f : R R door f() := + sin + rctn(3). Toon n dt f een inverse functie met domein R bezit. Drvoor moet je bewijzen dt f injectief is en et geeel vn R ls bereik eeft. 35. Bepl de fgeleiden vn: (i) f () =, (ii) f () = sin(), (iii) f 3 () = log(cos() + sin()), (iv) f 4 () = sin ( 3 cos( 3 ) ), (v) f5 () = ep( ), (vi) f 6 () = ep(rctn()), (vii) f 7 () = 5 cos(), (viii) f 8 () = log ( ), (i) f9 + () = rcsin ( ) Bereken voor f() := + de functies g() := f(f ()) en () := f (f()). 68

22 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 003 Les 3 Minim en mim vn functies Een reden wrom we de fgeleide vn een functie bekijken is dt we iets over et stijgen of dlen vn de functie willen weten. Als we et met een differentieerbre functie te mken ebben is de functie stijgend ls de fgeleide positief is en dlend ls de fgeleide negtief is. Mr soms zijn we ook geïnteresseerd in de verndering vn et stijgen en dlen vn een functie. Bijvoorbeeld gt et er in de economie vk niet om of een bedrijf een groei in de omzet eeft, mr lleen mr of de groei toeneemt of fneemt. De groei wordt bescreven door de fgeleide vn de omzet-functie, de verndering vn de groei door de fgeleide vn de groei-functie, dus door de tweede fgeleide vn de omzet-functie. We kijken dus voor een functie f() niet lleen mr nr de eerste fgeleide f () mr ook nr de tweede fgeleide f () := (f ()) en ook nr ogere fgeleiden f () enz. Omdt et onndig wordt, meer en meer streepjes te scrijven, gebruiken we een nieuwe nottie: We scrijven f (3) () voor f () en in et lgemeen f (n) () voor de n-de fgeleide. Merk op dt ogere fgeleide { niet ltijd oeven te bestn. Bijvoorbeeld ls < 0 eeft de functie f() := ls 0 de fgeleide f () = en dus bestt de tweede fgeleide niet voor = 0. We zullen zien, dt ogere fgeleide een rol spelen om minim en mim vn functies te krkteriseren. 3. Minim en mim In veel toepssingen komt een probleem er op neer een wrde te beplen zo dt de functie f() een minimle (of mimle) wrde nneemt. Bijvoorbeeld wordt er in de productie vn blikken nr gekeken, een zo klein mogelijk oeveeleid mteril voor een gegeven volume te gebruiken. In de economie ngt de vrg nr een product ntuurlijk ook vn de prijs f. Die wordt dus zo gekozen dt et product vn prijs een ntl verkocte producten miml wordt. De definities vn (bsolute) minim en mim vn functies in un domein is eel voor de nd liggend. Een functie f : D R eeft in een bsoluut minimum ls f() f() voor lle D. Evenzo eeft een functie een bsoluut mimum ls f() f() voor lle D. Soms is et ook interessnt om nr lokle minim en mim te kijken. Dt zijn punten D zo dt f voor een klein intervl om een een bsoluut minimum/mimum in eeft. Preciezer zeggen we: Een functie f eeft in D een lokl (of reltief) minimum/mimum ls er een δ > 0 bestt zo dt f() f() (f() f()) voor lle ( δ, + δ). Voor willekeurige functies f kunnen we niet veel verder dn deze definities, mr ls f een differentieerbre functie is, zegt de fgeleide inderdd iets over minim en mim. Stel dt f in een lokl minimum eeft en differentieerbr in is. Dn geldt voor kleine < 0 dt f( + ) f() en dus is f(+) f() 0 en voor 69

23 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 003 kleine > 0 is ook f( + ) f() en dus f(+) f() 0. Omdt de fgeleide f f(+) f() () lleen mr bestt ls de limiet lim 0 voor < 0 en > 0 bestt, geldt f () = 0. Dezelfde redenering geeft ook voor een lokl mimum dt f () = 0 is. We ebben dus gezien: II.4 Stelling Voor een functie f : D R die in D differentieerbr is en een lokl minimum/mimum in eeft, geldt f () = 0. Hels geldt de omkering vn deze stelling niet: Bijvoorbeeld is voor f() = 3 de fgeleide f () = 3 en dus is f (0) = 0, mr 0 is geen lokl minimum of mimum, omdt f() < 0 voor < 0 en f() > 0 voor > 0. Mr tenminste kunnen we zo vk een lijst vn kndidten opzetten, wr een functie misscien een minimum/mimum eeft, nmelijk de punten wr f () = 0 is. Dit noemen we ook de kritieke punten vn f(). Als er punten zijn wr f() niet differentieerbr is, tellen we deze ook bij de kritieke punten. Bijvoorbeeld is f() = in = 0 niet differentieerbr, mr zijn (bsoluut) minimum zit in = 0. Als een functie op een intervl gedefinieerd is oren ook nog de rndwrden vn et intervl bij de kritieke punten. Mr oe kunnen we nu flezen of een functie nu ect een lokl minimum of mimum in een punt eeft? Voor een lokl minimum weten we l dt f () = 0 moet zijn. Verder weten we dt f() dlend is ls f () < 0 en f() is stijgend ls f () > 0. Als we dus zien dt f () < 0 voor < en f () > 0 voor >, eeft f() inderdd in een lokl minimum. Omgekeerd eeft f() een lokl mimum in ls f () = 0, f () > 0 voor < en f () < 0 voor >. Merk op dt f () > 0 of f () < 0 lleen mr in een klein intervl om een nodig is. Om een lokl minimum te identificeren kunnen we soms ook de tweede fgeleide gebruiken: Als f () = 0 en f () > 0 voor ( δ, + δ), dn is f () een op dit intervl strikt stijgende functie en dus is f () < 0 voor < en f () > 0 voor >. Evenzo vinden we een lokl mimum door f () = 0 en f () < 0 op ( δ, + δ). Dit ouden we in de volgende stelling vst: II.5 Stelling Een differentieerbre functie f() eeft een lokl minimum in ls er een δ > 0 bestt zo dt f () = 0, f () 0 voor ( δ, ) en f () 0 voor (, + δ). Dit geldt in et bijzonder ls f () = 0 en f () 0 voor ( δ, + δ). Een differentieerbre functie f() eeft een lokl mimum in ls er een δ > 0 bestt zo dt f () = 0, f () 0 voor ( δ, ) en f () 0 voor (, + δ). Dit geldt in et bijzonder ls f () = 0 en f () 0 voor ( δ, + δ). De beste mnier om nr dit soort vrgen te kijken zijn voorbeelden. Voorbeeld : We gn n oe we de vorm vn een blik moeten kiezen zo dt et gebruikte mteril (de oppervlkte) miniml wordt. Een blik nemen we n ls een 70

24 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 003 cilinder vn oogte met ls grondvlk een cirkel vn strl r. Dn is et volume V vn de cilinder gegeven door V = πr en de oppervlkte O door O = πr +πr = πr(r+). Bij een gegeven volume willen we nu de minimle oppervlkte vinden. Uit de vergelijking voor et volume vinden we = V π r, dus kunnen we O scrijven ls een functie vn r door O(r) = πr(r + V π r ) = πr + V r. Voor de fgeleide geldt O (r) = 4πr V r en we ebben O (r) = 0 voor πr 3 = V = πr. Hieruit volgt r =, dus de strl vn de cirkel is lf zo groot ls de oogte vn de blik. Voor een blik vn 850ml vinden we dus r = 3 V π 5.3cm en 0.7cm. Dit zijn inderdd ongeveer de fmetingen vn een stndrdblik vn dit volume r Figuur II.8: Oppervlkte vn een blik vn 850ml fnkelijk vn de strl vn et grondvlk Voorbeeld : De kosten vn een uto zijn bepld door de kosten vn et benzine en de vste kosten die lleen mr fnkelijk zijn vn de tijd die de uto rijdt. Neem n dt de kosten voor et benzine met et kwdrt vn de sneleid stijgen. Wt is dn de sneleid om een gegeven fstnd et goedkoopste te rijden? Hiervoor moeten we de kosten per gereden km beplen. Als in de tijd t de fstnd s met sneleid v gereden wordt, dn geldt v = s t. De kosten voor et benzine op een fstnd s zijn dus b = b(vt) = cv t = cv s v = csv en de vste kosten voor dezelfde fstnd zijn f = dt = d s v. De totle kosten fnkelijk vn de sneleid v zijn dus k(v) = csv+dsv en de fgeleide iervn is k (v) = cs dsv. We ebben k (v) = 0 voor v = d c, dus is de meest economisce sneleid v =. Dit kunnen we ook kwlittief bevestigen, wnt d c 7

25 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 003 ls de vste kosten oger worden, is et goedkoper om sneller te rijden. Voorbeeld 3: We ebben n punten,..., n op de -s gegeven en willen een punt beplen zo dt de som vn de kwdrtisce fstnden f() := ( ) ( n ) miniml wordt. Voor de fgeleide f () geldt f () = ( ) ( n ) = n ( +... n ). We ebben dus f () = 0 ls = n ( +..., n ), dus ls et rekenkundig gemiddelde vn de i is. 3. Functies vn meerdere vernderlijke en de prtiële fgeleide Tot nu toe ebben we lleen mr nr functies gekeken die vn een vernderlijke fngen. Mr in de prktijk komen we vk functies tegen die vn een ntl prmeters fngen. Bijvoorbeeld is de fstnd vn de oorsprong vn een punt (, y, z) in de 3-dimensionle ruimte gegeven door de functie f(, y, z) = + y + z. Het is nu niet meer onmiddellijk duidelijk, oe we een fgeleide vn zo n functie moeten definiëren. Wt we wel kunnen doen is tot op een n lle vernderlijke ls een constnte op te vtten. Dn is de functie weer een functie met een vernderlijke en die kunnen we fleiden. Voor een functie vn twee vernderlijke kunnen we dit ook grfisc interpreteren: De grfiek vn zo n functie kunnen we zien ls de verzmeling vn punten (, y, f(, y)) in de 3- dimensionle ruimte, net zo ls we de grfiek vn een gewone functie ls de verzmeling vn punten (, f()) in et -dimensionle vlk bekijken. Als we nu y tot een constnte y 0 verklren dn kijken we nr de doorsnede vn de grfiek (, y, f(, y)) met et vlk dt bepld is door y = y 0. Dit is dn een gewone grfiek vn een functie in een vernderlijke. En iervoor kunnen we ook weer zeggen wt de fgeleide zou zijn, nmelijk de rictingscoëfficiënt vn de rklijn n deze grfiek. Deze fgeleide noemen we de prtiële fgeleide nr. In ons gevl kunnen f(+,y) f(,y) we deze ook definiëren ls lim 0. Algemeen definiëren we de prtiële fgeleide vn een functie f(,..., n ) nr de vernderlijke i ls de limiet f f(,..., i +,..., n ) f(,..., n ) := lim i 0 ls deze limiet bestt. Vk wordt de prtiële fgeleide f i ook kort ls f i gescreven. f Als we bijvoorbeeld nr de functie f(, y, z) := log(yz) kijken, dn is f = log(yz), y = (yz) z = f y en z = (yz) y = z. Merk op dt we ook prtiële fgeleide kunnen itereren, dus we kunnen f weer prtieel fleiden. Als we dit bijvoorbeeld prtieel nr y fleiden, scrijven we dit ls y ( f ) = f y = (yz) z = y. Omgekeerd kunnen we ook f y prtieel nr fleiden, dit geeft f y = y. Het is eleml niet vnzelfsprekend dt f y = f y mr dit geldt inderdd en eet de Stelling vn Scwrz. We oeven dus bij et cter elkr uitvoeren vn prtiële fgeleiden niet op de volgorde te letten. 7

26 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 003 Ook bij functies vn meerdere vernderlijke kunnen we ons ntuurlijk fvrgen oe we minim en mim kunnen vinden. Door de interprettie vn de prtiële fgeleide zien we, dt in een lokl minimum lle prtiële fgeleiden gelijk n 0 moeten zijn. Net ls bij de functies vn een vernderlijke is dit lleen mr een noodzkelijke voorwrde, mr geeft toc kndidten voor minim en mim. We kunnen bijvoorbeeld n gn dt een kubus de blk met minimle oppervlkte voor gegeven volume is. Het volume vn een blk met zijden, y, z is geven ls V = yz de oppervlkte ls O(, y, z) = (y + yz + z). We kunnen de derde coördint z uitdrukken door z = V y, dn wordt O = O(, y) = (y + V + V O y ). We ebben = (y V ) en O y = ( V y ). Uit O = O y = 0 volgt dus y = V en y = V. Als we deze twee vergelijkingen vn elkr ftrekken vinden we y( y) = 0, dus = y. Dn geldt V = y = 3, dus is ook z = y Figuur II.9: Oppervlkte vn een blk vn volume fnkelijk vn de lengten vn de - en y-zijden Een verdere toepssing ligt in et vinden vn een regressielijn door een ntl gegeven punten. De regressielijn door de punten is bepld door de eigenscp dt de som vn de kwdrten vn de verticle fstnden tussen de punten en de lijn miniml wordt. Stel we ebben punten (, y ),..., ( n, y n ) gegeven. Als we door deze punten de lijn y = +b leggen, wordt de som vn de kwdrtisce fstnden gelijk n f(, b) := ( +b y ) +...+( n +b y n ). De prtiële fgeleide vn f nr is gegeven door f = ( + b y ) ( n + b y n ) n = n i= ( i + b y i ) i en de prtiële fgeleide nr b is f b = ( + b y ) ( n + b y n ) = n i= ( i + b y i ). De voorwrden f f = 0 en b = 0 kunnen we nu scrijven ls een stelsel lineire vergelijkingen voor en b. Hiervoor is et ndig een nottie vn Guss te 73

27 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 003 gebruiken, nmelijk een som n i= z i f te korten ls [z]. We ebben dn: ( [ ) ( ) ( ) ] [] [y] =. [] n b [y] Deze mtri kunnen we epliciet inverteren, de determinnt is n[ ] [] en dus geldt ( ) ( ) ( ) ( ) (n[ ] [] n [] [y] n[y] [][y] ) = b [] [ = ] [y] [ ][y] [][y] en dus = n[y] [][y] n[ ] [], b = [ ][y] [][y] n[ ] []. Belngrijke begrippen in deze les ogere fgeleide lokl (bsoluut) minimum/mimum kritieke wrden prtiële fgeleide Opgven 37. Bepl voor elk vn de volgende functies de lokle minim en mim op et gegeven domein (let ook op de rndpunten). (i) f : [, ] R, , (ii) f : [, ] R, 5 ++, (iii) f : [, (iv) f : [0, 5] R, ] R, + +,. 38. Bepl voor de functie f : R R, ep() de lokle minim en mim. 39. Zij > 0 en f : R R gegeven door f() := Bepl et bsolute mimum vn f. (Hint: Bepl de fgeleide prt op de deelintervllen (, 0), (0, ) en (, ). 40. Iemnd wil vn een punt A n et oever vn een km breed knl nr een punt B n et ndere oever vn et knl. Het punt A rectstreeks tegenover A n et ndere oever eeft een fstnd vn 3km vn et punt B. Op et knl kn ij met een sneleid vn 3km/ roeien, n et lnd loopt ij met een sneleid vn 6km/. Wt is de snelste weg om vn A nr B te komen? 74

28 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, Bepl de oogte en et volume vn de grootste cilinder (qu volume) die in een kogel vn strl r pst. 4. Bron Müncusen wordt op zijn kogel met een oek vn α tegen de grond en een sneleid vn v fgevuurd. Zijn trject wordt bescreven door (, y) = (v cos(α)t, v sin(α)t g t ), wrbij g de ccelertie door de ntrekking vn de rde is (dus ongeveer 9.8 m s ). (i) Nr welke tijd t komt de Bron weer nr de grond? (ii) Bepl de oek α zo dt de Bron zo ver ls mogelijk op zijn kogel kn rijden. (iii) Als de Bron vn een ogere punt (bijvoorbeeld zijn dkterrs) wordt fgevuurd, moet de optimle oek α dn groter of kleiner gekozen worden? 43. Bepl voor elk vn de volgende functies de prtiële fgeleiden nr en nr y: (i) f(, y) := y + y, (ii) f(, y) := sin( + 3y), (iii) f(, y) := rctn( y) + rctn(y ), (iv) f(, y) := ep( + y). 44. Bewijs de volgende identiteiten: (i) Voor f(, y) := y y is f + y f y + y f y = 0. (ii) Voor f(, y, t) := ep( t)(sin() + cos(y)) is f + f y = f t. 45. Een ellipsoïd is gegeven door de vergelijking + y b + z c = (voor = b = c = r geeft dit een kogel vn strl r). Bepl et mimle volume vn een blk die in et ellipsoïd pst. 75

29 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 003 Les 4 Primitieve en integrl Een motivtie om nr de fgeleide vn een functie f te kijken is et beplen vn de rictingscoëfficiënt vn de rklijn n de grfiek vn f. Uiteindelijk ebben we de fgeleide gedefinieerd ls de limiet f () := lim 0 f( + ) f() ls deze bestt. De fgeleide f () geeft informtie over et stijgen en dlen vn f() en is drom ook een belngrijk ulpmiddel bij et opsporen vn minim en mim vn de functie f(). Het is nu een (min of meer) voor de nd liggende vrg, of we ook n de overgng vn f () nr f() iets ebben. Met ndere woorden: Stel, F () is een functie zo dt F () = f(), wt voor informtie geeft dn de functie F ()? Er geldt in dit gevl f() = F () = lim 0 F ( + ) F () en dus f() F ( + ) F () en dus bendert et verscil F ( + ) F () de oppervlkte vn et rectoek met oogte f() en breedte. We kunnen dus verwcten, dt de functie F () iets met de oppervlkte onder de grfiek vn f() de mken eeft: Om de oppervlkte onder de grfiek vn f() tussen en b te beplen, delen we et intervl [, b] in N even grote delen, deze ebben dus breedte = b N. De oppervlkte O onder de grfiek wordt dn benderd door de som vn de oppervlkten vn de N rectoeken vn oogte f( + i) en breedte voor 0 =,..., N Figuur II.0: Bendering vn de oppervlkte onder een grfiek door rectoeken We ebben dus O = f() + f( + ) f( + (N )). Mr zo ls boven gezien is f() F ( + ) F (), en ieruit volgt dt 76

30 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 003 O = (F (+) F ())+(F (+) F (+))+...+(F (b) F (+(N ))) = F (b) F (). Het lijkt dus, dt we een functie F () met F () = f() kunnen gebruiken om de oppervlkte onder de grfiek vn f() te beplen. 4. De oppervlkte onder een grfiek Boven ebben we gezien dt een functie F () met F () = f() betekenis eeft ls we de oppervlkte onder de grfiek vn f() willen beplen. We gn nu omgekeerd ntonen dt uit twee voor de nd liggende eisen n een functie, die de oppervlkte onder de grfiek vn f() ngeeft, volgt dt de fgeleide vn deze functie f() is. Voor een functie f() zij O f (, b) de oppervlkte onder de grfiek vn f() in et intervl [, b]. Onze twee eisen zijn ls volgt: (i) O f (, b) + O f (b, c) = O f (, c), dus et opsplitsen vn een intervl in twee deelintervllen verndert de oppervlkte niet. (ii) Als m f() M voor lle [, b] dn is m(b ) O f (, b) M(b ), dus de oppervlkte ligt tussen de oppervlkten vn de rectoeken met oogte kleiner of groter dn lle functiewrden. Uit et feit dt O f (, ) = 0 omdt een lijn geen oppervlkte eeft en eis (i) volgt dt O f (, b) = O f (b, ). Als we een oppervlkte vn rects nr links ngeven eeft ij dus de negtieve wrde vn de gewone oriënttie. Ook ls f() < 0 en dus de grfiek onder de -s ligt krijgen we een negtieve oppervlkte. Het is fnkelijk vn de toepssing of we inderdd de oppervlkten onder de -s negtief of positief willen tellen, in et ltste gevl kijken dn nr de functie g() := f() in plts vn f(). Als we et intervl [, b] onderverdelen in N deelintervllen [, ], [, 3 ],..., [ N, N+ ] met = en N+ = b, dn geldt volgens eis (i): O f (, b) = O f (, ) + O f (, 3 ) O f ( N, N+ ). Als we nu nnemen dt f() op [, b] continu is, weten we dt in een intervl ( i δ, i +δ) om i de functiewrden f() in et intervl (f( i ) ε, f( i )+ε) liggen. Als we een ε > 0 kiezen kunnen we een onderverdeling nnemen zo dt f() f( i ) < ε voor lle [ i, i+ ]. Dn geldt volgens eis (ii) dt (f( i ) ε)( i+ i ) O f ( i, i+ ) (f( i ) + ε)( i+ i ) en dus (f( i ) ε) O f ( i, i+ ) i+ i Door de limiet ε 0 te nemen zien we dt de limiet O f ( i, i + ) lim 0 (f( i ) + ε). bestt en de wrde f( i ) eeft. In et bijzonder kunnen we nu voor een vst gekozen punt 0 een functie F : [, b] R, F () := O f ( 0, ) 77

31 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 003 definiëren. Dn geldt F (+) F () = O f ( 0, +) O f ( 0, ) = O f (, +) en dus is F () een differentieerbre functie met fgeleide f(). De oppervlkte O f (, b) is dus F (b) F () voor een functie F () met F () = f(). Als we een tweede functie G() ebben met G () = f() dn is (F G) () = F () G () = f() f() = 0, dus is (F G)() een constnte functie en dus G() = F () + C voor een constnte C R. Mr dn is G(b) G() = F (b) + C F () C = F (b) F () en dus kunnen we de oppervlkte O f (, b) ook met beulp vn de functie G() ngeven. We ebben dus ngetoond: II.6 Stelling De oppervlkte onder de grfiek vn een continue functie f() in et intervl [, b] is F (b) F () voor een functie F () met F () = f(). Dit is onfnkelijk vn de keuze vn de functie F (). 4. De primitieve en de integrl We noemen een functie F () met F () = f() een primitieve vn f(). Als F () een primitieve vn f() dn is ook F ()+C voor een constnte C R een primitieve vn f(), dus is de primitieve niet eenduidig bepld. An de ndere knt verscillen twee primitieve functies vn f() lleen mr om een constnte, drom wordt de primitieve vn een functie vk met F () + C ngegeven, wrbij C een niet verder beplde constnte is. We ebben boven gezien dt een continue functie ltijd een primitieve eeft en dt deze een differentieerbre functie is. Als een functie f : [, b] R continu is belve in een punt c [, b] kunnen we een differentieerbre primitieve F () op et intervl [, c] en een differentieerbre { primitieve F () op et intervl [c, b] F () ls vinden. Dn is de functie F () := een F () F (c) + F (c) ls > c continue functie op [, b] die voor c differentieerbr is met F () = f(). Op deze mnier kunnen we continue primitieven voor functies vinden, die lleen mr in geïsoleerde punten niet continu zijn. Voor functies f() die in willekeurig kleine intervllen in oneindig veel punten niet continu zijn is een iets ingewikkeldere definitie vn een primitieve nodig, mr dit soort eotisce functies gn we ier niet verder bekijken. De gebruikelijke nottie voor de primitieve functie F () vn f() is de integrl F () = f(t)dt of F () = f()d. 0 De eerste vorm (met grenzen) noemen we ook de beplde integrl de tweede (zonder grenzen) de onbeplde integrl. Bij de onbeplde integrl identificeren we primitieven die om een constnte verscillen. De nottie vn de integrl is ingevoerd door Gottfried Wilelm Leibniz die prllel met Isc Newton de crucile principes vn de clculus ontwikkeld eeft. De nottie is fgeleid vn de betekenis vn de primitieve voor de oppervlkte 78

32 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 003 onder de grfiek vn een functie: b f(t)dt = O f (, b) = N n O f ( i, i+ ) f( i )( i+ i ) = i= i= n f( i ) i. i= Het Σ is de Griekse letter S en stt voor som (of Summe), et teken voor de integrl lijkt op een uitgerekt S. Om n te duiden dt er een limiet voor i 0 plts vindt, wordt et symbool d gescreven. Dit is even ls i in de prtiële fgeleide een formeel symbool dt ngeeft welke vribel gevrieerd wordt. Uit de definitie vn de integrl en de eigenscppen vn de fgeleide volgen meteen een pr belngrijke eigenscppen: b c f()d + b b f()d = g()d = b b (f + g)()d (cf)()d voor c R We zien dus dt de integrl een lineire fbeelding op de vectorruimte vn continue functies is. Een woord vn wrscuwing: Bij et fleiden vn functies ebben we gezien dt er regels bestn zo dt we de fgeleide f () vn een functie f() die uit elementire functies (veelterm-functies, eponentiële functie, logritme, trigonometrisce functies en un inverse functies) opgebouwd is, weer ls combintie vn elementire functies kunnen scrijven. Voor de integrl geldt dit niet! Er zijn functies f() zo dt we de integrl f()d niet ls combintie vn elementire functies kunnen scrijven. Dit ligt niet ern dt we te stom zijn om zo n functie te vinden mr et is mogelijk te bewijzen dt zo n functie niet bestt. Een voorbeeld iervoor is de functie f() := ep( ). Deze functie is continu (zelfs differentieerbr), mr de enige mnier om de primitieve F () vn deze functie te scrijven is de integrl F () = ep( )d. Een ingewikkelder voorbeeld is de Γ-functie Γ() := 0 ep( t)t dt. Ook deze functie is niet zonder integrl te scrijven. Er lt zic wel ntonen dt Γ(n) = n! voor n N, dus is de Γ-functie een soort interpoltie voor de fculteit. Een ntl integrlen kunnen we l berekenen, omdt we bij et differentiëren gezien ebben, dt zeker functies eenvoudige fgeleiden ebben. Een pr voorbeelden zijn: (i) d = + + voor, (ii) ep()d = ep(), (iii) sin()d = cos() en cos()d = sin(), 79