Wiskundige Analyse I:

Transcriptie

1 Universiteit Gent Fculteit Ingenieurswetenschppen en Architectuur Wiskundige Anlyse I: uittreksel ten behoeve vn de Open Lessen F Brckx & H De Schepper Vkgroep Wiskundige Anlyse Acdemiejr 25-26

2 Voorwoord Het leermteril voor het vk Wiskundige Anlyse I vn de ste bchelor ingenieurswetenschppen, cdemiejr 24-5, omvt: onderhvige syllbus wrin chtern een oeeningenbundel is opgenomen; de op Minerv beschikbre Mple-werkblden vn de contctsessies; de op Minerv beschikbre werkdocumenten m.b.t. oeeningensessies en werkcolleges. In de loop vn het semester zullen vi Minerv ook elektronische zeltesten, bestnde uit vrgen vn het type wr-o-vls, ter beschikking worden gesteld. Deze zeltesten werden en worden ontwikkeld in smenwerking met het monitort Ingenieurswetenschppen en Architectuur. Er wordt de student bovendien ngerden de contctsessies die voor dit vk worden georgniseerd bij te wonen. In de syllbus werden lle onderwerpen immers op een wiskundig ccurte en bstrcte mnier ontwikkeld; in de contctsessies zullen diezelde onderwerpen op een meer intuïtieve mnier worden geduid, teneinde het inzicht erin te vergroten; een en nder zl ook zoveel mogelijk worden geïllustreerd n de hnd vn relevnte voorbeelden (en tegenvoorbeelden!). In de oeeningensessies en werkcolleges worden deze onderwerpen dn verder ingeoeend. De verwchte ttitude hierbij is het voorbereiden vn de leersto die zl worden gedoceerd o de oeeningen die n bod zullen komen; zo kn volop en optiml gebruik worden gemkt vn de geboden uitleg. Hiertoe zl de klender vn de contctsessies ter beschikking worden gesteld vi Minerv en zullen ook de opgven vn de oeeningenlessen en PC-klssen steeds op voorhnd bekend zijn. Voor de bordoeeningen zullen ook prte documenten ter beschikking worden gesteld wrin een n te rden methodologie en werkwijze worden uiteengezet. Weliswr zl niet de totliteit vn de leersto kunnen worden gedoceerd: in de meest recente progrmmhervorming heet de Fculteit Ingenieurswetenschppen en Architectuur ervoor gekozen het ntl contctsessies voor elk opleidingsonderdeel wt terug te dringen, dit ten voordele vn de zelwerkzmheid vn de student. Een beperkt ntl onderwerpen zl dn ook door zelstudie moeten worden verworven. Hierbij dient dezelde ilosoie gevolgd ls in de hoorcolleges: de bstrcte deinities en eigenschppen uit de syllbus proberen te interpreteren en intuïtie te duiden, zonder evenwel n nuwkeurigheid en correctheid te verzken. De student kn ook desgewenst gebruikmken vn de voorziene uitlegsessies voor bijkomende toelichting, o beroep doen op de studiebegeleiding door het monitort. Voor de inhoud vn het vk verwijzen we nr de studieiche; drin stn ook de doelstellingen en eindcompetenties vn het vk vermeld en wt nvullende inormtie. Deze studieiche en hr betekenis zullen ook worden toegelicht tijdens het eerste hoorcollege. Grg bednk ik mijn colleg Em. Pro. Fred Brckx, co-uteur vn deze syllbus, voor zijn grote inbreng in de ontwikkeling vn dit vk en het bijhorend leermteril. Ook bednk ik ssistent Dr. Rob De Stelen voor de smenstelling vn de oeeningenbundel en de bijhorende werkdocumenten voor studenten, en lle begeleiders voor hun inzet. Hennie De Schepper september 25 ii

3 Inhoudsopgve Integreren De riemnnintegrl Uitbreiding vn het integrlbegrip tot onbegrensde uncties De Bèt-unctie Oneigenlijke integrlen 5 Deinitie Convergentietesten Absolute convergentie De Gmm-unctie iii

4 Hoodstuk Integreren Integreren wordt gessocieerd n het beplen vn een oppervlkte onder een kromme (zie ook verder). Dergelijke oppervlkte kn in ingenieurstoepssingen verschillende interpretties hebben. Stelt de griek het vermogen vn een motor voor, o beter gezegd: het verloop vn dt vermogen in de tijd, dn zl de oppervlkte de totle energie representeren dt die motor verbruikt over een bepld tijdsintervl. Kijken we evenwel nr de griek vn de stroomsterkte doorheen een condenstor, dn is de bewuste oppervlkte een mt voor de totle lding opgeslgen in die condenstor. Gezien de uiteenlopende toepssingen vn integrlen, is het derhlve vn belng deze niet enkel vlot te kunnen uitrekenen, mr ook inzicht te hebben in de opbouw vn het integrlbegrip en het principe vn integreerbrheid ls dusdnig. De riemnnintegrl Er bestn veel integrlconcepten. De hier voorgestelde riemnnintegrl vertoont duidelijke tekortkomingen wnneer men er dieper op ingt, mr op het niveu vn eenvoudige toepssingen zijn die niet zichtbr. De riemnnintegrl is een begrip dt globl over een gegeven eindig intervl [, b] wordt ingevoerd. Dit intervl [, b] wordt opgesplitst in een eindig ntl niet-overlppende deelintervllen m.b.v. een zogenmde prtitie: P := { = x < x <... < x n < x n = b} De norm vn de prtitie P is gedeinieerd ls P := mx{x x, x 2 x,..., x n x n } i.e. de lengte vn het grootste deelintervl. In elk deelintervl [x j, x j ], j =,..., n kiest men nu een punt t j ; een prtitie P met de verzmeling {t j : j =,..., n} vn de ldus geselecteerde punten, noemt men een gelbelde prtitie (Engels: tgged prtition), genoteerd Ṗ := {([x j, x j ], t j ) : j =,..., n} Een prtitie kn dus op oneindig veel mnieren gelbeld worden; de norm vn de prtitie hngt uiterrd niet vn de geselecteerde punten t j.

5 Voor een gegeven unctie op [, b] deinieert men een riemnnsom ls n S(; Ṗ) := j= (t j )(x j x j ) Een riemnnsom vn in [, b] hngt dus vn de beschouwde prtitie én vn de geselecteerde punten t j. Deinitie. De unctie wordt riemnnintegreerbr over [, b] genoemd, ls er een getl L bestt, zodnig dt voor elke ε >, hoe klein ook, een δ(ε) > kn worden gevonden wrvoor S(; Ṗ) L < ε voor elke gelbelde prtitie Ṗ wrvn de norm Ṗ < δ(ε). Dit getl L wordt de riemnnintegrl vn over [, b] genoemd; een stndrdnottie hiervoor is L = o L = (x)dx Volgende stelling drukt uit wt intuïtie wordt ngevoeld: de integrl vn een gegeven unctie is uniek. Stelling. Als integreerbr over [, b] is, dn is hr integrl over [, b] uniek. Bewijs Onderstel dt er twee getllen L en L 2 kunnen worden gevonden die ( beide voldoen n de deinitie ε ) vn integrl vn over [, b]. Gee ε > voorop. Er bestt een δ > wrvoor uit 2 Ṗ < δ volgt dt S(; ε Ṗ ) L < 2. ( ε ) Er bestt een δ 2 > wrvoor uit 2 Ṗ < δ 2 volgt dt S(; Ṗ2) ε L 2 < 2. { ( ε ) ( ε )} Stel δ(ε) = min δ, δ 2 en neem een gelbelde prtitie Ṗ met Ṗ < δ; dn is zowel 2 2 Ṗ < δ ls Ṗ < δ 2 zodt terzeldertijd: S(; Ṗ) L < ε S(; 2 en ε Ṗ) L 2 < 2 Hieruit volgt: L L 2 = L S(; Ṗ) + S(; Ṗ) L 2 < ε Angezien ε willekeurig ws, volgt hieruit dt L = L 2. Het is niet zinvol de integrl vn en unctie over een intervl te willen beplen ls men niet verzekerd is vn de integreerbrheid vn deze unctie over dit intervl. Vndr enkele stellingen hieromtrent. 2

6 Stelling.2 Als integreerbr over [, b] is, dn is begrensd op [, b]. Bewijs (uit het ongerijmde). Onderstel dt niet begrensd is op [, b]. Voor elke prtitie vn [, b] kn er dn een deelintervl ngewezen worden wrop niet begrensd is. Noem L de integrl vn over [, b]. Dn bestt er een δ > wrvoor uit Ṗ < δ volgt dt S(; Ṗ) L < wruit S(; Ṗ) < L + Neem een prtitie Q met Q < δ en onderstel dt [x k, x k ] het deelintervl vn Q is wrop niet begrensd is. Kies de lbels t j, j =,..., n ls volgt: t j = x j voor j k en t k [x k, x k ] zodnig dt (t k )(x k x k ) > L + + (t j )(x j x j ) Angezien niet begrensd is op het bewuste intervl, kn dit steeds: welke wrde men in het rechterlid vn deze ongelijkheid ook opgeet, er bestt steeds een punt t k [x k, x k ] wrvoor de unctiewrde in t k (hier zels nog vermenigvuldigd met de lengte vn het intervl) deze wrde overtret. Bovendien werd de wrde zo gekozen dt we voor de corresponderende Riemnnsom bekomen: S(; Q) = = j k n (t j )(x j x j ) j= (t j )(x j x j ) + (t k )(x k x k ) j k (t k )(x k x k ) (t j )(x j x j ) > L + wt duidelijk een tegensprk oplevert. Het belng vn stelling.2 ligt ondermeer hierin dt ls een unctie niet-begrensd is op een intervl [, b], deze unctie niet integreerbr over [, b] is. We zullen verder (zie prgr 2) het begrip riemnnintegreerbrheid uitbreiden tot zekere onbegrensde uncties. Stelling.3 (zonder bewijs). Als stuksgewijs continu is in [, b], dn is riemnnintegreerbr in [, b]. Herinner u (zie Hoodstuk??) dt een stuksgewijs continue unctie in [, b] niet in elk punt vn [, b] moet zijn gedeinieerd. Dus is het voor een integreerbre unctie in [, b] evenmin vereist dt zij in elk punt vn [, b] is gedeinieerd. Let op: stuksgewijze continuïteit vn een unctie in een intervl is een voldoende voorwrde voor integreerbrheid vn deze unctie in dit intervl, echter geen nodige voorwrde! j k 3

7 Stelling.4 Als de uncties en g integreerbr over [, b] zijn, dn is (i) elke lineire combintie vn en g: α + βg, voor α, β R o C (ii) de complexe toegevoegde integreerbr over [, b]. Stelling.5 Als de reëelwrdige uncties en g integreerbr over [, b] zijn en (x) g(x) voor lle x [, b] dn is g. Bewijs bovenstnde stellingen ls oeening. Stelling.6 (zonder bewijs). Als de unctie monotoon is in [, b] dn is integreerbr over [, b]. Stelling.7 (zonder bewijs). Als de unctie integreerbr over [, b] is en c is een inwendig punt vn dit intervl, dn is integreerbr over [, c] en over [c, b] en er geldt: = c + c. Deinitie.2 (i) Als integreerbr over [, b] is en c [, b] dn is per deinitie: c c :=. (ii) Als integreerbr over [, b] is dn is per deinitie: b :=. De volgende stelling, die zowel vn theoretisch ls vn prktisch belng is, legt een verbnd tussen integrlen en primitieven, en zl nleiding geven tot de zogenmde hoodstelling vn de integrlrekening, die ons in stt zl stellen integrlen uit te rekenen vi het beplen vn een primitieve vn het integrndum. 4

8 Stelling.8 Als continu is op [, b] dn is de unctie F gedeinieerd door: leidbr in [, b] en er geldt: F (x) := x, x [, b] F (x) = (x) voor lle x [, b]. Bewijs Uit de continuïteit vn op [, b] volgt de integreerbrheid vn over [, b] (stelling.3) en dus ook de integreerbrheid vn over [, x] voor lle x [, b] (stelling.7 en deinitie.2). De unctie F is dus wel gedeinieerd in elk punt vn [, b]. Neem nu een willekeurig punt c [, b]. We tonen n dt F leidbr is in c (rechts-, dn wel links-leidbr in de uiteinden vn het intervl). Dit doen we door, m.b.v. de deinitie vn leidbrheid, de rechter- en linkergeleide vn F te berekenen. Gee ε > voorop. De unctie is ondersteld continu te zijn in [, b] en dus in het punt c. Er bestt dus een δ(ε) > wrvoor uit c x < c + δ volgt dt (c) ε < (x) < (c) + ε Neem h > willekeurig mr kleiner dn δ. De unctie is integreerbr over [, b] dus ook over de intervllen [, c], [, c + h] en [c, c + h] zodt In het intervl [c, c + h] geldt zeker: en dus is o wruit volgt dt c+h c F (c + h) F (c) = c+h (c) ε < (x) < (c) + ε ((c) ε) c+h c c c+h c ((c) + ε) ((c) ε) h F (c + h) F (c) ((c) + ε) h (F (c + h) F (c)) (c) h ε Angezien ε willekeurig ws, volgt hieruit dt F rechts-leidbr is in het punt c en dt de wrde vn de rechtergeleide vn F in c precies (c) is. Op nloge wijze behndelt men de linkergeleide vn F is c. De conclusie is dt F leidbr is in c en dt F (c) = (c). Angezien c willekeurig in [, b] ws gekozen, volgt hieruit het gestelde. Gevolg. Als continu is op [, b], dn is de unctie F gedeinieerd door een primitieve vn in [, b]. F (x) = x, x [, b] 5

9 Dit is een prrzering vn stelling.8 en drmee is stelling III.?? bewezen. Gevolg.2 (Hoodstelling vn de integrlrekening) Als continu is op [, b] en F is een primitieve vn in [, b] dn is = F (b) F () Bewijs We kennen twee primitieven vn in [, b]: de unctie F uit de opgve vn de stelling en de unctie x uit stelling.8. Er bestt dus een constnte γ wrvoor F (x) = x + γ, voor lle x [, b] Neem x = en er komt: F () = γ; neem dn x = b en het gestelde volgt. Opmerking. De continuïteitseis in stelling.8 is essentieel. Neem bvb. de unctie sgn in het intervl [, ]. Deze unctie is dr stuksgewijs continu en dus integreerbr over [, ]. Dus bestt voor lle x [, ]: F (x) := en het is onmiddellijk duidelijk dt deze unctie F gegeven wordt door: x sgn F (x) = x Deze unctie F is zeker geen primitieve vn sgn in [, ] wnt F is niet leidbr in de oorsprong x =. Stelling.9 Als stuksgewijs continu is op [, b] dn is de unctie F gedeinieerd door: continu in [, b]. Bewijs deze stelling ls oeening. F (x) := x, x [, b] Nu volgen twee belngrijke resultten om in de prktijk integrlen te berekenen: de zogenmde substitutiestelling en het principe vn prtiële integrtie. Stelling. (Substitutiestelling) Als de unctie ϕ : [α, β] R een continue geleide ϕ op [α, β] bezit en is continu op een intervl [, b] dt ϕ ([α, β]) omvt, dn geldt: β α (ϕ(t)) ϕ (t) dt = ϕ(β) ϕ(α) (x) dx 6

10 Bewijs De unctie is continu op [, b]; de unctie F gedeinieerd door is dus leidbr in [, b] en er geldt: F (u) := u ϕ(α) F (u) = (u), voor lle u [, b] Stel G(t) := (F ϕ)(t) = F (ϕ(t)), t [α, β]; ls smenstelling vn de continu leidbre unctie ϕ met de leidbre unctie F is de unctie G leidbr in [α, β] met geleide (kettingregel): G (t) = F (ϕ(t)).ϕ (t) = (ϕ(t)).ϕ (t), t [α, β] De unctie G is continu in [α, β], wnt en ϕ zijn continu in de corresponderende intervllen, zodt Mr G(α) = F (ϕ(α)) = en Aldus komt er: Opmerking.2 De populire nottie β α G (t) = G(β) G(α) G(β) = F (ϕ(β)) = β α (ϕ(t)).ϕ (t) = (x)dx ϕ(β) ϕ(α) ϕ(β) voor de integrl vn de unctie over het intervl [, b] hlt hr legitimtie uit deze substitutiestelling. Het is lso dx = ϕ (t)dt o dx dt = ϕ (t) wrbij x = ϕ(t), t [α, β], hierbij hndig inspelend op de leibniznottie voor de geleide unctie. Stelling. (zonder bewijs) Als de unctie riemnnintegreerbr over [, b] is en ([, b]) [c, d], en ls de unctie ϕ continu op [c, d] is, dn is de smengestelde unctie ϕ riemnnintegreerbr over [, b]. Gevolg.3 Als de reëelwrdige unctie integreerbr over [, b] is, dn is ook integreerbr over [, b] en er geldt: ϕ(α) 7

11 Bewijs Uit stelling.2 weten we dt begrensd is op [, b] zodt er een getl M > bestt wrvoor (x) M voor lle x [, b]. Stel ϕ(t) := t, t [ M, M]; uit stelling. volgt dn dt ϕ integreerbr over [, b] is. Mr ϕ (x) = ϕ ((x)) = (x), voor lle x [, b]. Verder is steeds en dus zodt wel degelijk Tenslotte volgt uit (x) M voor lle x [, b] dt M(b ) Gevolg.4 Als de complexe unctie integreerbr over (, b) is, dn is ook integreerbr over [, b], en er geldt: Bewijs deze stelling ls oeening. Stelling.2 Als en g integreerbr over [, b] zijn, dn is ook het product g integreerbr over [, b]. Bewijs Strt het bewijs zols voor gevolg.3 en neem nu ϕ(t) = t 2, t [ M, M]. De unctie ϕ = 2 is drmee integreerbr over [, b]. Op nloge wijze toont men n dt ( + g) 2 en g 2 integreerbr zijn over [, b]. Merk nu op dt g = 2 ( ( + g) 2 2 g 2) Stelling.3 (Prtiële integrtie) Als de uncties F en G leidbr zijn in [, b] en hun geleiden := F en g := G zijn continu in [, b], dn geldt: G = F (b)g(b) F ()G)() F g 8

12 Bewijs Het product FG is leidbr in [, b]: (F G) = F G + F G = G + F g, en bovendien is deze geleide continu in [, b]. Wegens gevolg.2 is dn: (F G)(b) (F G)() = G + F g Opmerking.3 (i) De ormule vn de prtiële integrtie in stelling.3 wordt meestl geschreven ls: GF = F (b)g(b) F ()G() (ii) Onderstel dt de unctie leidbr is in [, b] tot en met de (n + )de orde, en dt (n+) integreerbr over [, b] is. Beschouw dn de integrl R n gedeinieerd door: n! wrop prtiële integrtie wordt toegepst: (n+) (t)(b t) n dt R n = ] t=b n! (n) (t)(b t) n + (n )! t= = n! (n) ()(b ) n + N verdere prtiële integrties komt er: (n )! F G (n) (t)(b t) n dt (n) (t)(b t) n dt. zodt R n = n (n) ()(b ) n...! ()(b ) + (t)dt (b) = () +! ()(b ) n! (n) ()(b ) n + R n Dit is de tylorormule met de sluitterm R n in integrlgednte. (iii) Prtiële integrtie leidt soms tot een recurrente betrekking wrmee een integrl kn worden bepld. Als voorbeeld nemen we de integrl Prtiële integrtie levert: I n = π 2 cos n x dx I n = cos n x sin x ] x= π π 2 x= + (n ) 2 = (n )I n 2 (n )I n 9 sin 2 x cos n 2 x dx

13 wruit volgt dt Gelet op I = π 2 en I =, bekomen we: I n = n n I n 2 en Hetzelde resultt geldt voor I 2m = 2m 2m 3 2m 2m 2... π 2 2 I 2m = 2m 2 2m 4 2m 2m I n = π 2 sin n x dx Addendum: criterium voor riemnnintegreerbrheid Stellingen.3 en.6 zijn duidelijk voldoende voorwrden voor integreerbrheid vn een unctie in een bepld intervl. Er bestt echter ook een criterium, i.e. een nodige en voldoende voorwrde, voor riemnnintegreerbrheid, het zogenmde criterium vn Lebesgue. Drtoe dient een nieuw begrip ingevoerd. Deinitie.3 Een niet-ledige verzmeling S vn reële getllen heet mt nul ls voor elke ε > een telbre verzmeling vn open intervllen kn worden gevonden die S overdekt: S ] i, b i [ wrvoor geldt dt i= (b i i ) ε i= De ledige verzmeling heet per deinitie mt nul. Voorbeelden (i) Elke verzmeling die een eindig ntl punten bevt, heet mt nul. (ii) Elke verzmeling die een telbr ntl punten bevt, heet mt nul. Immers, stel dt S = {x i : i N} en gee ε > voorop. Voor elke i N geldt: x i ] x i ε 2 i+, x i + ε 2 i+ [ De unie vn l deze intervllen is duidelijk een open overdekking vn S en bovendien is ε (b i i ) = 2 i = ε (iii) Elke verzmeling vn rtionle getllen heet mt nul. i= Stelling.4 (Lebesgue) (zonder bewijs) Opdt de unctie integreerbr zou zijn over [, b] is het nodig en voldoende dt begrensd is op [, b] en de verzmeling vn de discontinuïteitspunten vn in [, b] mt nul heet. i=

14 2 Uitbreiding vn het integrlbegrip tot onbegrensde uncties In vorige prgr werd ngetoond dt begrensdheid vn een unctie op het gesloten intervl een nodige voorwrde is om over integreerbrheid te kunnen spreken. Sommige toepssingen vereisen evenwel dt er ook voor onbegrensde uncties een soort integrlbegrip kn worden gedeinieerd. We spreken in dt gevl vn een uitgebreide riemnnintegrl, om duidelijk te mken dt het hier een concept betret dt verder reikt dn de trditionele deinitie. Onderstel dt de unctie continu is in [, b[, en met lim (x) = ± x b < De unctie is dus duidelijk onbegrensd in [, b] zodt onmogelijk integreerbr kn zijn over [, b]; m..w. we bendrukken nogmls dt de riemnnintegrl vn over [, b] niet bestt. Neem nu een willekeurig punt c ], b[, dn is wel continu op [, c] en dus riemnnintegreerbr over [, c]; m..w. de riemnnintegrl c bestt wel, en dit voor elke c ], b[. Het resultt vn die integrl kunnen we dus beschouwen ls een unctie vn c, zodt het ook zinvol is de volgende limiet te beschouwen: lim c < b c Er zijn nu twee mogelijkheden nrgelng deze limiet l dn niet bestt. Als de limiet niet bestt, zegt men dt de uitgebreide riemnnintegrl vn divergeert. Als de limiet wel bestt, stel L, zegt men dt de uitgebreide riemnnintegrl convergeert nr L, en men noteert dit zels op dezelde mnier ls een gewone riemnnintegrl: = L, hoewel het hier dus gt over een uitbreiding vn het integrlbegrip tot onbegrensde uncties. Twee voorbeelden ter illustrtie. Voorbeeld Beschouw de unctie (x) =, continu in het intervl ], ]. Er geldt: x lim (x) = + x > zodt deze unctie duidelijk onbegrensd is op [, ] en dus niet riemnnintegreerbr over [, ] kn zijn. Nu geldt er voor willekeurige c ], [: c x dx = ln c

15 zodt lim dx = + c > c x We concluderen dt de uitgebreide riemnnintegrl Toon zel n, ls oeening, dt x dx divergeert. x β dx convergeert ls en slechts dn ls β >. Voorbeeld 2 Beschouw nu de unctie g(x) = ln x; ook deze unctie is continu op het intervl ], ] en wordt onbegrensd voor x : lim g(x) = x > Hier geldt evenwel, voor willekeurige c ], [, dt zodt c ln x dx = c c ln c lim c > c ln x dx =. We concluderen dn ook dt de uitgebreide riemnnintegrl noteren dit ls: ln x dx = ln x dx convergeert nr en Bij sommige toepssingen is het niet nodig de uitgebreide riemnnintegrl expliciet uit te rekenen, mr zl het volstt te weten o hij l dn niet convergeert. Bijvoorbeeld bij systemen met veel onbekende prmeters, kn het nuttig zijn te weten voor welke wrden vn die prmeters er convergentie zl optreden. Tot een dergelijke nlyse kunnen convergentiestellingen (gebseerd op vergelijking met gekende uncties) hndig bijdrgen. Stelling 2. Onderstel dt continu is in [, b[ en er een vst positie teken bezit; verder is lim (x) = +. x < b Indien dl zl (i) convergeren ls α < en K ; lim (b x b x)α (x) = K < (ii) divergeren ls α en K > o K = +. Het is belngrijk op te merken dt deze stelling in sommige gevllen niet tot een conclusie leidt, bvb. voor een combintie vn α < en K = +. 2

16 Bewijs Onderstel dt K = en α <. Gee ε > voorop. Er bestt dn een δ(ε) wrvoor uit b δ < x < b volgt dt wruit volgt dt (b x) α (x) < ε o < (x) < convergeert. ε (b x) α Onderstel vervolgens dt K >. Kies willekeurig ε > mr zodnig dt ε < K. Er bestt een δ(ε) > wrvoor uit b δ < x < b volgt dt K ε < (b x) α (x) < K + ε o < K ε (b x) α < (x) < K + ε (b x) α Hieruit volgt dt zl convergeren ls α < en zl divergeren ls α. Onderstel tot slot dt K = +. Gee ζ > voorop. Er bestt dn δ(ζ) > wrvoor uit b δ < x < b volgt dt (b x) α (x) > ζ o (x) > ζ (b x) α zodt divergeert ls α. 3 De Bèt-unctie Beschouw de integrl wrin p, q reële prmeters zijn. x p ( x) q dx, Als p en q is dit een gewone riemnnintegrl, wrvn de wrde hngt vn p en q. Hoe eenvoudig het integrndum er ook uitziet, deze integrl kn niet zomr voor willekeurige p en q worden uitgerekend binnen de klsse der elementire uncties! Voor p < o q < wordt het integrndum onbegrensd in het linker- o rechteruiteinde vn het intervl [, ] en zels in beide rndpunten terzeldertijd ls p én q beide kleiner zijn dn. De vrg is dn voor welke wrden vn de prmeters p en q de uitgebreide integrl zl convergeren. We onderzoeken de limiet lim (x x )α x p ( x) q = lim x > xα+p > die zl gelijk zijn n ls α + p =. M.b.v. stelling 2. leiden we hieruit dt 2 x p ( x) q dx 3

17 zl convergeren ls p >, en zl divergeren ls p. Nu onderzoeken we de limiet lim ( x x)α x p ( x) q = lim( x)α+q x < < die zl gelijk zijn n ls α + q =. Wruit we besluiten dt 2 x p ( x) q dx zl convergeren ls q > en zl divergeren ls q. Deinitie 3. Voor p > en q > deinieert men de Bèt-unctie B(p, q) ls: B(p, q) := x p ( x) q dx Het specile gevl wrbij p en q ntuurlijke getllen zijn, verdient bijzondere ndcht. Stel p = m en q = n, m, n N en voer de substitutie [ x = sin 2 t, t, π ] 2 door; er komt π 2 B(m, n) = 2 sin 2m t cos 2n t dt Prtiële integrtie leidt tot de recurrente betrekking B(m, n) = n B(m +, n ) m zodt, n herhlde toepssing hiervn, we volgend resultt bekomen: Nu is wt uiteindelijk resulteert in: B(m, n) = n m. n 2 m +... B(m + n, ) m + n 2 B(m + n, ) = B(m, n) = x m+n 2 dx = (n )!(m )! (m + n )! m + n De Bèt-unctie is een voorbeeld vn een zogenmde specile unctie (zie ook Appendix A). 4

18 Hoodstuk 2 Oneigenlijke integrlen Deinitie In vorig hoodstuk werd de riemnnintegrl vn een begrensde unctie over een begrensd intervl ingevoerd. Nderhnd werd dit begrip uitgebreid tot zekere onbegrensde uncties over een begrensd intervl. Een tweede uitbreiding vn het riemnnintegrlbegrip bestt erin nu ook onbegrensde intervllen vn het type [, + [ o ], b] te beschouwen. Onderstel dt de unctie integreerbr is over het intervl [, P ] voor lle P > ; dn bestt voor lle P > wrvn de wrde uiterrd hnkelijk is vn P. Als lim = L P + dn zegt men dt de oneigenlijke integrl convergeert, en men noteert: = L Op nloge wijze deinieert men de oneigenlijke integrl Als de unctie integreerbr is over [Q, b] voor elke Q < b en dn zegt men dt de oneigenlijke integrl lim Q Q = M convergeert, en men noteert: = M 5

19 Als tenslotte integreerbr is over [Q, P ] voor elke P en elke Q derwijze Q < P, en ls lim lim Q P + Q = N wrbij beide limieten onhnkelijk vn elkr worden genomen, dn zegt men dt de oneigenlijke integrl convergeert nr N. Men ziet onmiddellijk in dt convergeert ls en slechts dn ls zowel convergeren, wrbij en b willekeurig mogen worden gekozen. Voorbeeld. De oneigenlijke integrl Immers, voor elke P > is zodt voor lle α <. Voor α, is 2 Convergentietesten x α dx convergeert ls en slechts dn ls α <. x α dx = α + (P α+ ) lim P + x α dx = x α dx divergent. α + ls Om nloge redenen ls in voorgnde prgr (bij de uitgebreide riemnnintegrl) zullen we ook hier ndcht besteden n zogenmde convergentiestellingen, die ons in stt zullen stellen in vele gevllen te voorspellen o een oneigenlijke integrl l dn niet zl convergeren. Stelling 2. Als de reëelwrdige uncties en g integreerbr over [, P ] zijn, voor lle P >, en voldoen n (x) g(x) voor lle x op een verzmeling vn mt nul n, dn zl: (i) (ii) convergeren ls g divergeren ls g convergeert; divergeert. 6

20 Bewijs (i) Uit de gegeven ongelijkheid volgt dt Angezien de oneigenlijke integrl convergeert, stel nr L, zl ook, gelet op g(x) : { De verzmeling g g L g } : P > is dus nr boven begrensd en heet dus een supremum: Voor elke ε > bestt een P ε > wrvoor: { } sup : P > = ξ wruit volgt dt voor lle P P ε. Dus is (ii) Volgt meteen uit (i). ξ ε < ξ ε < ε < ξ < ξ lim = ξ P + Stelling 2.2 Onderstel dt de unctie integreerbr is over [, P ] voor lle P >, en een vst positie teken bezit in [, + [ op een verzmeling vn mt nul n. Indien dn zl lim x + xα (x) = K (i) convergeren ls α > en K ; (ii) divergeren ls α en K > o K = +. Bewijs Anloog n het bewijs vn stelling VI.2.. 7

21 3 Absolute convergentie Deinitie 3. (i) Men zegt dt de oneigenlijke integrl (ii) Men zegt dt de oneigenlijke integrl Voorbeeld 3. De oneigenlijke integrl convergeert én convergeert en bsoluut convergeert, ls convergeert betrekkelijk convergeert, ls divergeert dx convergeert bsoluut. Immers, x2 + x 2 dx = x 2 dx = Voorbeeld 3.2 sin x De oneigenlijke integrl dx convergeert betrekkelijk. x Inderdd, neem > en P > ; vi prtiële integrtie bekomt men Voor α = 3 2 is sin x x cos dx = cos P P cos x x 2 lim x 3 2 = zodt, wegens stelling 2.2, de oneigenlijke integrl x + x2 bsoluut convergeert. Nu is ook lim P + cos P lim P + P sin x x cos x x 2 dx =, zodt cos + cos x dx = x 2 sin x Merk op dt dx een gewone riemnnintegrl is vn een continue unctie in ], ], continu x uitbreidbr tot [, ], en besluit dt de oneigenlijke integrl sin x x dx dx dx convergeert, meer bepld nr π 2 (zie bijvoorbeeld Mple). 8

22 Beschouw nu de unctie sin x x ; voor de integrl vn deze unctie over het intervl [nπ, (n + )π] bekomen we, m.b.v. de substitutie x = u + nπ, de volgende schtting: (n+)π sin x π nπ x dx = sin(u + nπ) u + nπ du π sin u π = u + nπ du > sin u π + nπ du = 2 π n + wruit volgt dt sin x x dx divergeert. Stelling 3. Als en integreerbr zijn over [, P ], voor lle P >, dn geldt er: convergeert = Bewijs Onderstel eerst dt reëelwrdig is. Voor elke P > geldt: = ( + ) = convergeert ( + ) Uit (x) + (x) 2 (x), voor lle x, volgt dt de convergentie vn de oneigenlijke integrl ook de convergentie vn, de convergentie vn de oneigenlijke integrl. ( + ) meebrengt, en dus Onderstel nu dt complexwrdig is. Angezien Re() en Im(), zl de convergentie vn de oneigenlijke integrl vn de convergentie vn de oneigenlijke integrlen vn Re() en Im() impliceren. Uit het eerste deel vn het bewijs volgt dn de convergentie vn de oneigenlijke integrlen vn Re() en vn Im(), en dus ook vn = Re() + iim(). Noot. Een unctie wrvoor de oneigenlijke integrl bsoluut convergeert, noemt men soms bsoluut riemnnintegreerbr over R. 4 De Gmm-unctie Beschouw de oneigenlijke integrl exp( x)x p dx wrin p een reële prmeter is, en schrij deze meteen ls exp( x)x p dx + 9 exp( x)x p dx

23 De eerste term doet beroep op de uitbreiding vn het riemnnintegrlbegrip tot onbegrensde uncties, de tweede term op de uitbreiding tot een onbegrensd intervl. Als p dn is de eerste term een gewone riemnnintegrl vn een continue unctie in [, ]. Als < p <, neem dn α = p < en stel vst dt lim x > xα exp( x)x p =, zodt dn wel convergeert. exp( x)x p dx Als p, neem dn α = p en bekom de divergentie vn diezelde uitgebreide riemnnintegrl. Voor de oneigenlijke integrl stellen we vst dt exp( x)x p dx lim x + xα exp( x)x p = voor elke p en voor elke α, dus ook i.h.b. voor α > ; m..w. deze oneigenlijke integrl is steeds convergent voor lle p R. De conclusie luidt dus dt de unctie Γ(p) := genmd, Gmm-unctie, bestt voor p >. M.b.v. een prtiële integrtie toont men n dt exp( x)x p dx Γ(p + ) = p Γ(p), p >. In het bijzonder volgt hieruit voor ntuurlijke wrden vn p dt zodt, gelet op: uiteindelijk: Γ(n + ) = nγ(n) Γ() = = n(n )Γ(n ) =... = n(n )...Γ() exp( x)dx = Γ(n + ) = n! Uit de ormule Γ(p + ) = pγ(p), p > volgt ook dt Γ(p) = Γ(p + ), p > p 2

24 en dus dt lim Γ(p) = + p > m..w. de griek vn Γ(p), p > vertoont een verticle symptoot voor p >. Γ(p + ) Door te deiniëren Γ(p) =, < p < wordt het domein vn de Gmm-unctie uitgebreid met ], [, wr de griek verticle symptoten vertoont voor p en p. Op nloge p > < wijze deinieert men de Gmm-unctie in elk intervl ] n, n[, n N. De Gmm-unctie, een specile unctie (zie Appendix A), houdt verbnd met de Bet-unctie (zie prgr.3). We hebben ngetoond dt B(m, n) = Deze ormule geldt lgemener: (n )!(m )! (m + n )! = Γ(m)Γ(n) Γ(m + n), m, n N B(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p + q), p >, q > 2